Banco do Brasil + BaCen
Prof. Pacher
FORMULAS QUADRO 1
I)
Cálculo do desconto racional simples
2. DESCONTOS
Quando o portador de títulos de crédito, tais como:
• Duplicatas
• Nota Promissória
• Cheque Pré Datado
• Letras de Câmbio (papéis federais)
• etc
D = A ⋅ id ⋅ nd
II)
▬ Valor Nominal “N”
È o valor de um fluxo de caixa na data de seu
vencimento.
▬ Valor Atual “A”
È o valor de um fluxo de caixa numa data anterior ao seu
vencimento (anterior ao valor nominal).
▬ Valor Futuro “M”
É o valor de um fluxo de caixa posterior a data presente.
NO
REGIME
SIMPLES
DE
LEGENDA
▬
Substituindo ( II ) em ( I )
D=
N ⋅ id ⋅ nd
1 + i d ⋅ nd
2.1.2. DESCONTO COMERCIAL SIMPLES [DCS]
“POR FORA”
INFORMAÇÕES:
▬ Denominado desconto por fora.
▬ A taxa no tempo incide sobre o valor nominal (N)
▬ Usa o regime simples de formação [juros simples].
▬ Utilizado em operações de desconto à curto
prazo.
▬ Tem comportamento linear.
▬ A taxa efetiva de desconto é diferente da taxa
efetiva para a formação de juros no mesmo fluxo de
caixa.
▬ A taxa de desconto é fornecida pela instituição
financeira.
D = N ⋅ id ⋅ nd
II)
Cálculo do valor líquido.
A = N ⋅ ( 1− id ⋅ nd )
2.2. DESCONTOS NO REGIME COMPOSTO DE
FORMAÇÃO
“POR
INFORMAÇÕES:
▬ Denominado desconto por dentro.
▬ A taxa de desconto no tempo incide sobre o valor atual
(valor presente).
▬ Usa o regime simples de formação [Juros Simples ].
▬ Tem comportamento linear.
▬ Tipo de desconto matematicamente justo [ correto ].
▬ Utilizado em operações de desconto a curto prazo.
▬ O valor atual é igual ao valor presente na data de
desconto.
Atualizada 04/06/2009
III)
N
1 + id ⋅ nd
FORMULAS QUADRO 2
I)
Cálculo do desconto comercial simples
Valor de face
N = Valor nominal pode Valor futuro
estar expresso como:
Valor do título
Montante
▬
Valor atual
A = Valor líquido pode Valor presente
estar expresso como:
Valor descontado
Capital
▬
id = taxa de desconto
nd = números de unidades de tempo do desconto
que falta decorrer até o vencimento.
2.1.1. DESCONTO RACINAL SIMPLES [DRS]
DENTRO”
Cálculo do valor líquido.
A=
com vencimentos certos e líquidos, necessita de caixa
(dinheiro), pode, mediante a transferência da propriedade
desses títulos, levantar fundos de que necessita junto às
instituições financeiras ou a um capitalista.
A instituição financeira desconta esses títulos, pagando,
naturalmente pelo empate de capital, até o vencimento, a
quantia menor do que o nominal do título. Essa diferença,
entre o valor nominal e o líquido pago ao portador, dito
valor atual, é chamado de desconto.
2.1. DESCONTOS
FORMAÇÃO
Matemática
LEGENDA
▬
Valor de face
N = Valor nominal pode Valor futuro
estar expresso como:
Valor do título
Montante
▬
Valor atual
A = Valor líquido pode Valor presente
estar expresso como:
Valor descontado
Capital
▬
id = taxa de desconto
nd = números de unidades de tempo do desconto
que falta decorrer até o vencimento.
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Matemática
2.2.1. DESCONTO RACIONAL COMPOSTO [D RC]
TESTES RESOLVIDOS
INFORMAÇÕES:
ENUNCIADO PRINCIPAL
▬ Denominado desconto por dentro.
▬ A taxa de desconto no tempo incide sobre o valor atual
(valor presente).
▬ Usa o regime composto de formação [Juros
Compostos ].
▬ Tem decrescimento exponencial.
▬ Tem fundamento teórico matemático.
▬ Utilizado pelo mercado financeiro em operações de
desconto à longo prazo.
Unindo experiência e credibilidade
O financiamento imobiliário da Associação de
Poupança e Empréstimos (POUPEX) é o resultado
da parceria entre o Banco do Brasil S.A. (BB) e a
POUPEX, uma empresa com
25 anos de mercado e que já financiou milhares de
imóveis em todo o país. Com a nova linha, o cliente
tem acesso a condições
especiais para financiar em até 180 meses (15 anos)
a sua casa, nova ou usada, ou construir o seu
imóvel. Considere a tabela de
modalidades residenciais a seguir.
FORMULAS QUADRO 3
I)
Cálculo do desconto racional composto
n
⎤
⎡
⎢ ( 1+ id ) d − 1⎥
D = N⋅ ⎢
⎥ ou
⎢ ( 1+ i )nd ⎥
⎥⎦
⎢⎣
d
n
⎡
⎤
D = A ⋅ ⎢( 1− id ) d − 1⎥
⎣⎢
⎦⎥
II)
Cálculo do valor atual.
A=
III)
N
n
( 1+ id ) d
De ( I ) e ( II )
A=N–D
2.1.2. DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO [DCC]
“POR FORA”
Com referência ao texto acima, julgue os seguintes
itens.
INFORMAÇÕES:
▬ Denominado desconto por fora.
▬ A taxa no tempo incide sobre o valor nominal (N)
▬ Usa o regime simples de formação [juros compostos].
▬ Tem comportamento exponencial.
▬ A taxa efetiva de desconto é diferente da taxa efetiva
para a formação de juros no mesmo fluxo de caixa.
▬ Pouquíssima aplicação prática.
FORMULAS QUADRO 4
I)
Cálculo do desconto comercial composto
n
D
= N ⋅ [1 − (1 − i ) d ]
cc
d
II)
01. (CESPE-BB) Considere que uma pessoa tenha
solicitado o financiamento do valor máximo
financiável para a compra de um imóvel de
valor igual a R$ 180 mil, pelo prazo de dois anos.
Considere ainda que o financiamento tenha sido
concedido de acordo com a tabela apresentada no
texto, com capitalização mensal e regime de juros
simples; que o solicitante tenha quitado o
empréstimo 6 meses antes do prazo combinado e
tenha tido desconto do tipo racional (ou por dentro).
Nesse caso, considerando-se 1,16 como valor
aproximado para
1,22
,
1,055
conclui-se que o valor total pago pelo empréstimo foi
superior a R$ 157.000,00.
Valor atual
n
A = N ⋅ (1 − i ) d
d
III)
Aquisição ou construção do imóvel
Faixa de valores de imóveis a
serem financiados
Acima de Acima de
condições
R$
150 R$
350
Até
R$
mil e até mil e até
150 mil
R$
350 R$
1
mil
milhão
Valor máximo R$
120 R$
245 R$
450
financiamento mil
mil
mil
Percentual
financiável do 80%
75%
70%
imóvel
Prazo
15 anos
15 anos
15 anos
máximo
Taxas
de
juros
10% aa
11% aa
12% aa
nominais
Encarte de publicidade POUPEX – Associação de
Poupança e Empréstimos
( com adaptações).
Valor atual
RESOLUÇÃO
>
I) Valor imóvel “VI = 180 000”
A = N – Dcc
2
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Valor limitado para a 2ª faixa da tabela dada, incidindo
75% sobre 180 000, resultando no valor financiável “VF”
conforme cálculo que segue:
135 000.1,22 = A ( 1 +
VF = 180 000 . 75%
135 000.1,22 = A
VF = 180 000 .
75
100
Dividindo
VF = 135 000
O valor financiável será o nosso valor capital no próximo
item.
>
II) Dados
n = 24 meses
C = 135 000
A taxa é nominal, portando convertida proporcionalmente
para a taxa de capitalização.
i=
>
11
12
% am =
1200
1200
11
11
100
.2=
22
100
)
IV) Cálculo do desconto racional simples “por dentro”
A fórmula é a mesma para o montante de juros simples,
bastando trocar M por N “ N = valor nominal” e C por A “
valor atual”
N = A ( 1 + i.nd)
11
1200
135 000 ⋅ 1,22
1,055
A razão
1,22
1,055
foi dada, e, é igual a
A = 156 000
EXERCÍCIOS E TESTES
01. Uma duplicata de $ 70.000,00, com 90 dias
decorrer até o seu vencimento, foi descontada por
um banco (desconto bancário) à taxa de 2,70% ao
mês. Calcular o valor líquido entregue ou creditado
ao cliente.
02. (BACEN) O valor do desconto simples por fora,
de um título de R$ 2 000,00,
com vencimento para 120 dias à taxa de 3% ao mês,
é, em reais:
a) 320,00;
b) 120,00;
c) 240,00;
d) 340,00;
e) 420,00.
03. Um título de $ 140.000,00 foi descontado a 33%
ao ano, 5 meses antes do seu vencimento.
Determinar o valor líquido entregue ao seu portador.
Considere desconto bancário.
am
nd = 6 meses
N= M = 135 000.1,22
Resposta: $ 120.750,00
N = A ( 1 + i.nd)
135 000.1,22 = A ( 1 +
Simplificando
A=
Resposta: C
Dados
i=
135 000.1,22 = A. 1,055
Isolar A
Resposta: a) $ 64.330,00
)
M = 135 000.1,22
>
, obtemos: 1,055
.24)
.24, teremos:
100
122
100
200
Conclusão: a afirmativa do enunciado está
ERRADA
11
M = 135 000( 1+
M = 135 000(
211
A= 135 000. 1,16
M = C ( 1 + i.n )
1200
22
)
am
III) Cálculo do valor a ser pago após 12 meses.
Simplificando
200
200
1,16.
11
M = 135 000( 1 +
211
11
11
1200
11
1200
04. Qual o valor do desconto comercial simples de
um título de R$ 3.000,00, com vencimento para 90
dias, à taxa de 2,5% ao mês?
.6)
.6, obtemos
Resposta: R$ 225,00
11
200
05. Qual a taxa mensal simples de desconto
comercial simples utilizada numa operação a 120
dias cujo valor nominal é de R$ 1.000,00 e cujo valor
líquido é de R$ 880,00?
Resposta: 3% ao mês
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06. (ANALISTA DE ORÇAMENTO-RJ) Uma Empresa
dispõe de uma duplicata de R$12.000,00, com
vencimento em três meses. Ao procurar um banco e
propor o desconto da duplicata, é informada que a taxa
de desconto simples por fora é de 10% a.m. e ainda há a
cobrança de uma taxa fixa de R$ 20,00 (cobrada na data
de desconto) a título de taxa de administração. Que taxa
de juros simples mensal equivalente foi cobrada pelo
banco, referente ao adiantamento dos recursos?
a) 14,10%;
b) 14,40%;
c) 14,15%;
d) 14,60%.
Resposta:B
07. Uma duplicata de R$ 32.000,00, com 90 dias a
decorrer até o seu vencimento, foi descontada por um
banco à taxa de 2,70% ao mês. Calcular o valor líquido
entregue ou creditado ao cliente. Adote o desconto
bancário simples.
Resposta: R$ 29.408,00
08. Determinar quantos dias faltam para o vencimento de
uma duplicata (desconto bancário), no valor de R$
9.800,00, que sofreu um desconto de R$ 448,50, à taxa
de 18% ao ano.
Resposta: 92 dias
09. (TC-DF) Um título, com valor nominal de R$
110.000,00, foi resgatado 2 meses antes do seu
vencimento, sendo-lhe por isso, concedido um desconto
racional simples à taxa de 60% ao mês. Neste caso, de
quanto foi o valor pago pelo título?
Resposta: R$ 50.000,00
10. (CEB) Um título com valor nominal de R$ 3.836,00,
foi resgatado 4 meses antes do seu vencimento, tendo
sido concedido um desconto racional simples à taxa de
10% a.m. De quanto foi o valor pago pelo título?
Matemática
14. (AFTN-ESAF) O desconto comercial simples de
um título 4 meses antes do seu vencimento é de R$
600,00. Considerando uma taxa de 5% ao mês,
obtenha o valor correspondente no caso de um
desconto racional simples.
Resposta: R$ 500,00
15. (AFTN-ESAF) Uma empresa descontou uma
duplicata em um banco que adota uma taxa de 84%
a.a. e o desconto comercial simples. O valor do
desconto foi de R$ 10.164,00. Se na operação fosse
adotado o desconto racional simples, o valor do
desconto seria reduzido em R$ 1.764,00. Nessas
condições, o valor nominal da duplicata é de:
Resposta: R$ 48.400,00
16. (AFPS-ESAF) Um título no valor nominal de R$
10.900,00 deve sofrer um desconto comercial
simples de R$ 981,00 três meses antes do seu
vencimento. Todavia uma negociação levou a troca
do desconto comercial por um desconto racional
simples. Calcule o novo desconto, considerando a
mesma taxa de desconto mensal.
a) R$ 890,00
b) R$ 900,00
c) R$ 924,96
d) R$ 981,00
e) R$ 1.090,00
Resposta: B
17. (ANALISTA DE COMÉRCIO EXTERIOR - ESAF)
O desconto simples racional de um título descontado
à taxa de 24% ao ano, três meses antes de seu
vencimento, é de R$ 720,00. Calcular o valor do
desconto correspondente caso fosse um desconto
simples comercial.
a) R$ 43,20
b) R$ 676,80
c) R$ 720,00
d) R$ 763,20
e) R$ 12.000,00
Respostas: R$ 2.740,00
Resposta: D
11. (METRÔ) Um título com valor nominal de R$
7.420,00 foi resgatado 2 meses antes do seu vencimento,
sendo-lhe por isso concedido um desconto racional
simples à taxa de 20% a.m. Neste caso, de quando foi o
valor pago pelo título?
Resposta: R$ 5.300,00
12. (METRÔ) Uma pessoa pretende saldar uma dívida
cujo valor nominal é de US$ 2,040.00, 4 meses antes de
seu vencimento. Qual o valor, em dólar, que deverá
pagar pelo título, se a taxa racional simples usada no
mercado é de 5% ao mês?
Resposta: US$ 1.700,00
13. (ISS-SP) Em uma operação de resgate de um título, a
vencer em 4 meses, a taxa anual empregada deve ser de
18%. Se o desconto comercial simples excede o racional
simples em R$ 18,00, o valor nominal do título é:
Resposta: 5.300,00
4
Atualizada 04/06/2009
18. (AFTN-ESAF) O desconto comercial simples de
um título quatro meses antes do seu vencimento é de
R$ 600,00. Considerando uma taxa de 5% ao mês,
obtenha o valor correspondente no caso de um
desconto racional simples.
a) R$ 400,00
b) R$ 800,00
c) R$ 500,00
d) R$ 700,00
e) R$ 600,00
Resposta: C
19. (AFCE-ESAF) Qual o valor hoje de um título de
valor nominal de R$ 24.000,00, vencível ao fim de 6
meses, a uma taxa de 40% ao ano, considerando um
desconto simples comercial?
a) R$ 19.200,00
b) R$ 20.000,00
c) R$ 20.400,00
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores
Professores
Banco do Brasil + BaCen
Prof. Pacher
d) R$ 21.000,00
e) R$ 21.600,00
Matemática
Resposta: B
20. (AFRF-ESAF) O desconto racional simples de uma
nota promissória, cinco meses antes do vencimento, é de
R$ 800,00, a uma taxa de 4% ao mês. Calcule o
desconto comercial simples correspondente, isto é,
considerando o mesmo título, a mesma taxa e o mesmo
prazo.
a) R$ 960,00
b) R$ 666,67
c) R$ 973,32
d) R$ 640,00
e) R$ 800,00
25. (TTN - ESAF) Admita-se que uma duplicata
tenha sido submetida a 2 tipos de descontos. No
primeiro caso, a juros simples, a uma taxa de 10%
a.a., vencível em 180 dias, com desconto comercial
(por fora). No segundo caso, com desconto racional
(por dentro), mantendo as demais condições.
Sabendo-se que a soma dos descontos, por fora e
por dentro, foi de R$ 635,50, o valor nominal do título
era de R$:
a) 6.510,00
b) 6.430,00
c) 6.590,00
d) 5.970,00
e) 6.240,00
Resposta: A
Resposta: A
21. (BACEN) Um título deve sofrer um desconto
comercial simples de R$ 560,00 três meses antes do seu
vencimento. Todavia uma negociação levou à troca do
desconto comercial por um desconto racional simples.
Calcule o novo desconto, considerando a taxa de 4% ao
mês.
a) R$ 500,00
b) R$ 540,00
c) R$ 560,00
d) R$ 600,00
e) R$ 620,00
26. (CVM) Certa empresa desconta em um banco
três duplicatas na mesma data, a taxa de desconto
comercial simples de 6% ao mês, conforme abaixo:
Resposta: E
Resposta: A
22. (AFRF-ESAF) Um título sofre um desconto comercial
de R$ 9.810,00 três meses antes do seu vencimento a
uma taxa de desconto simples de 3% ao mês. Indique
qual seria o desconto à mesma taxa se o desconto fosse
simples e racional.
a) R$ 9.810,00
b) R$ 9.521,34
c) R$ 9.500,00
d) R$ 9.200,00
e) R$ 9.000,00
Resposta: E
23. (TTN - ESAF) O valor atual racional de um título é
igual a metade de seu valor nominal. Calcular a taxa de
desconto, sabendo-se que o pagamento desse título foi
antecipado de 5 meses.
a) 200% a.a.
b) 20% a.m.
c) 25% a.m.
d) 28% a.m.
e) 220% a.a.
Resposta: B
24. (TTN - ESAF) Utilizando o desconto racional, o valor
que devo pagar por um título com vencimento daqui a 6
meses, se o seu valor nominal for de R$ 29.500,00 e eu
desejo ganhar 36% ao ano, é de:
a) R$ 24.000,00
b) R$ 25.000,00
c) R$ 27.500,00
d) R$ 18.880,00
e) R$ 24.190,00
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Duplicata
1
2
3
Valor
Nominal (R$)
10 000,00
12 000,00
20 000,00
Prazo até o
vencimento
30 dias
75 dias
90 dias
O valor líquido recebido pela empresa foi de:
a) R$ 42.000,00;
b) R$ 39.000,00;
c) R$ 36.720,00;
d) R$ 36.000,00;
e) R$ 25.620,00.
Resposta: D
27. (CESGRANRIO) Um título de valor nominal R$
24.200,00 será descontado dois meses antes do
vencimento, com taxa composta de desconto de 10%
ao mês. Sejam D o valor do desconto comercial
composto e d o valor do desconto racional composto.
A diferença D – d, em reais, vale
a) 399,00
b) 398,00
c) 397,00
d) 396,00
e) 395,00
Resposta: B
28. Calcular o valor do desconto racional composto
concedido num Certificado de Depósito Bancário, de
valor d resgate igual a R$ 109 270,00, sabendo-se
que faltam 90 dias para o seu vencimento e que a
taxa de desconto é de 3% ao mês.
Resposta: R$ 9 270,00
29. Calcular o valor atual de um título de valor de
resgate igual a $ 90.000,00,
com 4 meses a
vencer, sabendo-se que a taxa de desconto racional
composto é de 3% ao mês.
Resposta: $ 79 964,00
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30. Calcular o valor do desconto racional composto
concedido num Certificado de Depósito
Bancário, de
valor de resgate igual a $ 200.000,00, sabendo-se que
faltam 90 dias para o seu vencimento e que a taxa de
desconto é de 3,8% ao mês.
a) R$ 111.000,00;
b) R$ 112.000,00;
c) R$ 114.000,00;
d) R$ 117.000,00;
e) R$ 121.000,00.
Resposta: a) $ 21.171,00
Resposta: E
Matemática
31. (AFTN-ESAF) Um comercial papper com valor de
face de US$ 1.000.000,00 e vencimento daqui a 3 anos
deve ser resgatado hoje a uma taxa de juros compostos
de 10% ao ano, e considerado o desconto racional
composto, obtenha o valor do resgate.
Resposta: US$ 751.314,80
32. (TC-DF) Uma empresa estabelece um contrato de
leasing para o arredamento de um equipamento e recebe
como pagamento uma promissória no valor nominal de
US$ 1.166.400,00, descontada 2 meses antes de seu
vencimento, à taxa de 8% a.m. Admitindo-se que foi
utilizado o sistema de capitalização composta, o valor do
desconto racional será de:
Resposta: US$ 116.640,00
33. (CESPE/UNB-TCDF/FCE) Uma duplicata, no valor de
R$ 2.000,00, é resgatada 2 meses antes do vencimento,
obedecendo ao critério de desconto racional composto.
Sabendo-se que a taxa de desconto é de 10% ao mês, o
valor descontado e os valores do desconto são,
respectivamente:
Resposta: R$ 1.652,90 e R$ 347,10
34. (ISS-SP) Um título de valor nominal de R$ 59.895,00
foi pago 3 meses antes do vencimento. Se a taxa mensal
de desconto racional composto era 10%, o valor líquido
desse título era:
Resposta: R$ 45.000,00
35. Uma empresa deseja descontar uma nota
promissória 3 meses antes de seu vencimento. O valor
nominal deste título é de R$ 50 000,00. Sendo de 4% ao
mês a taxa de desconto racional composto. Calcule o
valor liquido.
Resposta: 44 450,00
36. Sabe-se que um título, para ser pago daqui a 12
meses, foi descontado 5 meses antes de seu
vencimento. O valor nominal do título é de R$ 42 000,00
e a taxa de desconto é de 3% ao mês. Calcule o valor
liquido liberado nesta operação, sabendo-se que foi
adotado o desconto racional composto.
Resposta: 36 230,00
37. (TCI) Dois títulos com o mesmo valor nominal foram
descontados cinco meses antes do vencimento,
aplicando-se uma taxa simples de desconto de 2% ao
mês. O primeiro foi descontado pela modalidade de
desconto racional simples e o segundo pelo desconto
comercial simples. Se o desconto sofrido totalizou R$
23.100,00, o valor nominal de cada título é de:
6
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