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Opções com Barreira: O Mercado é Capaz de Avaliá-las Corretamente?
Autoria: Maurel Alexis Weichert, Eduardo Facó Lemgruber
Resumo
A importância do estudo das opções com barreira aumenta à medida que o mercado passa a
empregar com maior freqüência estes derivativos. Paralelamente, o reconhecimento de que a
volatilidade da volatilidade (vol-vol) exerce forte influência nos preços das opções, nos leva a
pensar em modelos de avaliação de opções com barreira que sejam capazes de captar os
efeitos da vol-vol. Assim sendo, este estudo se propõe a analisar o emprego de uma fórmula
analítica para as opções com barreira, capaz de considerar a possibilidade de dois níveis
distintos para a volatilidade. A análise é efetuada através da realização de uma estratégia de
negociação de arbitragem, onde o preço fornecido por esta fórmula é contrastado diariamente
com uma avaliação alternativa obtida através de um modelo de simulação de Monte Carlo.
Modelo este que considera a volatilidade como uma função contínua do preço do ativo. A
realização da estratégia para três casos específicos nos mostra ser possível a obtenção de
lucros, o que sugere que a fórmula analítica não é capaz de captar satisfatoriamente os efeitos
da vol-vol.
1.
INTRODUÇÃO
As opções com barreira fazem parte da família das opções exóticas, em particular
daquelas cujos payoffs dependem da trajetória do ativo ao longo da vigência da opção – path
dependent options. O termo “exóticas” é bastante novo, possivelmente criado por Mark
Rubinstein no ano de 1990 (Ong, 1996), contudo, já na década de 60 surgiram as primeiras
opções “diferentes”, isto é, fora dos padrões até então conhecidos, e foram inicialmente
chamadas de “boutique options” ou “designer options”. As opções com barreira do tipo
down-and-out estão disponíveis no mercado de balcão nos Estados Unidos desde 1967 (Cox e
Rubinstein, 1985). Desde então, as exóticas vieram progressivamente ganhando espaço
dentro do mercado financeiro. A flexibilidade é tamanha que não há limites para a criação: se
há o desejo de uma nova estrutura, inventa-se uma nova exótica.
No Brasil a utilização de opções com barreira é bem mais recente e restrita, porém
algumas instituições financeiras internacionais instaladas no Brasil já incluem as opções com
barreira no rol de seus produtos financeiros. O público-alvo é composto por empresas e
investidores institucionais que buscam um instrumento de hedge específico e a custos mais
baixos. Assim sendo, o presente estudo é motivado pelo aumento da utilização de opções
com barreira no Brasil, o que vem a criar uma demanda por modelos de avaliação,
principalmente os que sejam capazes de contemplar os efeitos da vol-vol (volatilidade ou
variação da volatilidade) no preço da opção.
Diante disto, esta pesquisa tem por objetivo estudar a avaliação de opções com barreira
quando considerada a variação da volatilidade do ativo-objeto ao longo da vigência da opção,
a partir de uma análise do emprego da fórmula analítica desenvolvida por Heinen e Kat
(1994), doravante referenciada como H&K. Esta fórmula, originariamente desenvolvida para
opções com barreira com 2 ativos diferentes, tem sido utilizada para a avaliação de opções
com barreira com um único ativo, porém considerando dois níveis distintos de volatilidade,
de forma a permitir uma avaliação onde a premissa de homocedasticidade é assim relaxada.
Contudo, com o intuito de verificar se este uso específico da fórmula é capaz de captar
satisfatoriamente os efeitos da vol-vol, é realizada uma estratégia de negociação de
arbitragem buscando verificar a possibilidade de obtenção de lucros com a negociação
sistemática de uma opção com barreira e a realização simultânea de delta hedging, de forma
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que o investidor se mantenha livre de risco de mercado durante toda a realização da
estratégia. As operações de arbitragem são realizadas a partir da comparação diária do preço
de uma determinada opção com barreira obtido através de um modelo de simulação de Monte
Carlo, que considera a volatilidade como sendo uma função contínua do preço do ativo,
doravante denominado MC, e o valor fornecido por H&K.
Assim sendo, o experimento desenvolvido visa responder a seguinte pergunta: “É
possível a obtenção de lucros com a compra e venda sistemática de opções com barreira
através de uma estratégia de negociação de arbitragem do tipo delta-neutro, a partir da
utilização de um modelo alternativo para a avaliação das opções, que seja capaz de melhor
captar os efeitos da vol-vol ?” A constatação de que é possível obter lucros com a realização
da estratégia se apresenta como um indicador de que H&K não é capaz de considerar
adequadamente a vol-vol e, por conseqüência, não fornece o que seria o “preço justo” da
opção com barreira. A possível constatação de que H&K não é capaz de valorar
adequadamente tais instrumentos financeiros pode alertar os participantes deste mercado
quanto a necessidade de estudo e pesquisa de modelos que melhor reflitam o preço justo da
opção.
A Seção 2 a seguir inicia apresentando as opções com barreira, descrevendo suas
características e os tipos existentes. Em seguida, descreve sucintamente a teoria relacionada a
avaliação e hedge de opções com barreira, e termina abordando a teoria relativa à realização
de estratégias de negociação de arbitragem do tipo delta-neutro. Na Seção 3 é apresentada a
metodologia adotada neste experimento, ficando para a Seção 4 a apresentação dos
resultados. Nossa conclusão se encontra na Seção 5.
2.
REVISÃO TEÓRICA
2.1.
As opções com barreira
Uma opção com barreira é ativada (knocked in) ou extinta (knocked out) quando um
preço de um determinado ativo, índice ou taxa alcança determinado nível. A mais simples e
usual opção com barreira é aquela onde este ativo é o próprio ativo-objeto da opção.
Entretanto, existem também as opções com barreira com dois ativos, que possuem o ativo
determinante da barreira diferente do ativo utilizado para determinação do pagamento
(payoff). Heinen & Kat (1994) denominam estas de outside barrier options, devido a
existência de uma barreira “externa”. A inclusão da barreira em uma opção reduz seu preço e
possivelmente propicia uma distribuição de payoff que melhor se encaixe em um determinado
fluxo de caixa de um hedger ou de um especulador.
Para exemplificar o funcionamento de uma opção com barreira utiliza-se o caso de uma
opção de compra do tipo down-and-out. Considerando que S é o preço do ativo, K o preço de
exercício, e H, com H < S, o preço de barreira, uma down-and-out européia estará valendo
max[ST - K, 0] no vencimento T, como uma opção de compra européia comum, se S esteve
acima de H ao longo de toda a vida da opção. Porém, se St < H para qualquer t < T, a opção
terá rompido a barreira e portanto expirado sem qualquer valor, independentemente do preço
do ativo S no vencimento. Em muitos casos, a opção com barreira não expira sem valor
quando rompe a barreira, pagando um valor fixo de rebate (R).
Conhecido o funcionamento de uma opção com barreira, o Quadro 1 relaciona oito
diferentes tipos de opções com barreira, dependendo do tipo básico das opções (de compra ou
de venda), da natureza da barreira (in ou out) e da localização da barreira em relação ao preço
inicial do ativo-objeto (up ou down), com a respectiva descrição do payoff.
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Quadro 1 – Tipos de Opções com Barreira
Opção de Venda
(Put)
Opção de Compra
(call)
Tipo
Básico
Natureza da
Barreira
Localização da
Barreira
Relação entre
H e So
Up
H > So
Down
H < So
Up
H > So
Down
H < So
Up
H > So
Down
H < So
Up
H > So
Down
H < So
In
Out
In
Out
Payoff no Vencimento
Max(S*-K;0), se S(t) ≥ H para algum t ≤ T
R ou zero, se S(t) < H para todo t ≤ T
Max(S*-K;0), se S(t) ≤ H para algum t ≤ T
R ou zero, se S(t) > H para todo t ≤ T
Max(S*-K;0), se S(t) < H para todo t ≤ T
R ou zero, se S(t) ≥H para algum t ≤ T
Max(S*-K;0), se S(t) > H para todo t ≤ T
R ou zero, se S(t) ≤ H para algum t ≤ T
Max(K-S*;0), se S(t) ≥ H para algum t ≤ T
R ou zero, se S(t) < H para todo t ≤ T
Max(K-S*;0), se S(t) ≤ H para algum t ≤ T
R ou zero, se S(t) > H para todo t ≤ T
Max(K-S*;0), se S(t) < H para todo t ≤ T
R ou zero, se S(t) ≥H para algum t ≤ T
Max(K-S*;0), se S(t) > H para todo t ≤ T
R ou zero, se S(t) ≤ H para algum t ≤ T
Além destas classificações, as opções com barreira podem ainda se diferenciar pela
periodicidade do monitoramento da barreira, que pode ser contínua, quando o monitoramento
se dá durante todo o decorrer da vigência da opção, ou discreta, quando se estabelecem
momentos específicos para se verificar se a barreira foi alcançada ou não. Interessante
observar que o emprego do monitoramento discreto reduz a probabilidade da barreira ser
atingida, o que faz com que uma opção do tipo out tenha maior valor e do tipo in tenha menor
valor do que suas equivalentes com monitoramento contínuo. Algumas opções podem
também variar na forma de definição da barreira, enquanto umas podem possuir barreiras
variáveis no tempo, como uma barreira exponencial, outras podem estipular barreiras
descontínuas ou parciais, que se caracterizam por existirem somente durante determinado
período de tempo dentro da vigência total da opção. Outra variação possível é a existência de
múltiplas barreiras, podendo haver combinações entre barreiras up e down, inclusive sendo
uma in e outra out. Assim como as opções comuns, as opções com barreira podem ainda ser
do tipo européia ou americanai. Este estudo estará sempre se referindo a opções européias
quando nada dito em contrário.
2.2.
Modelos de avaliação de opções com barreira
Merton (1973) pode ser considerado o pioneiro na avaliação de opções com barreira,
especificamente pela fórmula que desenvolveu para as opções de compra do tipo down-andout. A origem da fórmula foi o modelo de Black-Scholes, mantidas portanto as premissas
básicas de volatilidade constante e de que o processo estocástico determinante da trajetória do
ativo-objeto segue o Movimento Geométrico Browniano. Cox e Rubinstein (1985) comentam
que a fórmula analítica para cálculo do preço de opções do tipo down-and-out, desenvolvida
por Merton (1973), pode ser interpretada como uma soma de três termos: (i) o valor de uma
opção de compra européia comum, isto é, sem barreira, (ii) menos a redução do valor devido a
possibilidade da extinção prematura da opção quando a barreira é alcançada, (iii) mais o valor
do rebate, se existente. Posteriormente, Reiner e Rubinstein (1991) generalizam as fórmulas
até então restritas para opções do tipo down-and-out.ii
Com o surgimento das opções com dois ativos, Heynen e Kat (1994) desenvolvem um
modelo analítico para avaliação destas, baseado em uma distribuição normal bivariada para o
preço dos dois ativos, visto que o valor de uma opção deste gênero se caracteriza pela
dependência do preço dos dois ativos distintos, onde o primeiro (S1) é responsável pela
determinação do exercício (se está dentro ou fora do dinheiro) e pelo payoff (S1-K, no caso de
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uma opção de compra), enquanto que o segundo ativo (S2) é o que estipula a barreira (H). A
formulação proposta também parte das premissas consideradas no modelo de Black-Scholes,
porém consideradas para dois ativos ao invés de apenas um.iii
Embora desenvolvido para ser aplicado especificamente na valoração de opções com
dois ativos, a fórmula de H&K se mostrou de grande utilidade para a avaliação de opções com
barreira de apenas um ativo, permitindo a adoção de dois níveis distintos para a volatilidade
deste ativo. A adaptação da fórmula para o caso de um único ativo permite assim relaxar a
hipótese de volatilidade constante, passando então a considerar uma variação discreta da
volatilidade, ainda que em apenas dois níveis. Wilmott (1998) comenta sobre a utilização
desta adaptação pelo mercado, mostrando que as volatilidades consideradas na fórmula são as
volatilidades implícitas nos preços das opções comuns. Nesta adaptação utiliza-se σK como
sendo a volatilidade implícita obtida de uma opção que tenha seu preço de exercício igual ao
preço de exercício (K) da opção com barreira e σH como a volatilidade implícita de uma
opção com preço de exercício igual ao valor da barreira (H) da opção com barreira.
Benson e Daniel (1992) comentam que, em geral, o emprego de fórmulas analíticas
levam a vieses no preço, subavaliando, na maioria das vezes, as opções com barreira,
sugerindo assim o emprego de métodos numéricos. Existem diversas técnicas numéricas para
obtenção de um valor aproximado para o preço de uma opção, sendo o modelo binomial o
mais utilizado, em especial o desenvolvido por Cox, Ross e Rubinstein (1979). Devido à sua
flexibilidade, o emprego de simulação é também bastante utilizado, sendo fortemente
indicado para opções exóticas em geral.
Boyle e Lau (1994) demonstram que a aplicação descuidada dos modelos binomiais
tradicionais para avaliação de opções com barreira pode levar a erros significativos, ainda que
um número grande de passos seja utilizado, e a uma demora muito grande na convergência.
Apresentam então uma metodologia para definir o que consideram o número ótimo de passos
para a avaliação de tais opções. Ritchken (1995) também chama a atenção dos problemas
relacionados à utilização de modelos binomiais para avaliação de opções com barreira,
especialmente àquelas que possuem barreiras variáveis ou múltiplas barreiras. Nestes casos,
embora de difícil implementação, o procedimento apresentado por Boyle e Lau (1994) pode
até reduzir o viés, porém Ritchken (1995) desenvolve um modelo trinomial capaz de valorar e
realizar hedge das opções de forma mais simples e eficiente. Cheuk e Vorst (1996)
desenvolvem um novo modelo trinomial para avaliação de opções com barreira, modelo este
que utiliza um shift dependente do tempo para otimizar o posicionamento com relação à
barreira. Confirmando constatações anteriores, Cheuk e Vorst (1996) verificam que a
convergência do modelo trinomial é melhor do que em um modelo binomial.
Adicionalmente, constatam também que opções com barreiras com observação discreta
requerem mais tempo para convergir do que no caso de barreiras contínuas. Figlewski e Gao
(1999) apresentam um aperfeiçoamento a ser empregado no método trinomial que denominam
de AMM – Adaptive Mesh Model. Esta técnica implica em aplicar uma malha de alta
resolução (pequeno ∆t) em determinado(s) trecho(s) da árvore trinomial (de grande ∆t),
permitindo assim reduzir o chamado “erro de não-linearidade”, inerente aos modelos
numéricos em geral.
No âmbito dos modelos de simulação, Boyle (1977) foi pioneiro no emprego destes em
finanças, desenvolvendo um modelo de Monte Carlo para solucionar uma série de problemas
relacionados à avaliação das opções. O modelo elaborado por Boyle (1977) simula o
processo de geração de preços do ativo-objeto e se baseia na premissa de neutralidade a risco
para obter numericamente o valor da opção. Johnson e Shanno (1987) também utilizam o
método de Monte Carlo para a avaliação de opções, porém consideram ainda um
comportamento estocástico para a volatilidade do ativo-objeto.
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A volatilidade tem um papel central na determinação do valor justo de uma opção.
Figlewski (1997) destaca que, no caso da avaliação de opções, a volatilidade a ser estimada é
a correspondente à variação de preço do ativo subjacente durante o período remanescente da
opção. Ressalta que a estimação de volatilidade através de dados históricos implica em supor
que a volatilidade passada será constante ao longo da vida da opção, porém Figlewski (1997)
mostra evidências empíricas de que isto não ocorre. Dessa forma, uma forma alternativa para
se estimar a volatilidade é através da obtenção da volatilidade implícita nos preços das opções
negociadas no mercado, fornecendo uma estimativa mais razoável da volatilidade real do que
a obtida através de dados históricos. Em poucas palavras, é possível definir a volatilidade
implícita como sendo aquela que corresponde a um valor para a opção, com uso da fórmula
de B-S ou outro modelo analítico, igual ao valor de mercado. A utilização da volatilidade
implícita nos preços das opções como estimativa da volatilidade real do ativo parte da
premissa de que o mercado é eficiente, no sentido de que os preços de mercado refletem
adequadamente todas as informações disponíveis e relevantes para a avaliação dos ativos.
Nas palavras de Figlewski (1997): “... a volatilidade implícita é a expectativa do mercado
para a volatilidade futura.”
Em teoria, a volatilidade implícita de um determinado ativo deveria ser única para todas
as opções existentes sobre o mesmo, porém a realidade tem mostrado que isto não ocorre,
sendo a volatilidade implícita fortemente dependente da maturidade e do preço de exercício
das opções. A dependência da volatilidade implícita em relação ao preço de exercício, para
determinada maturidade, é conhecida como “efeito smile” da volatilidade. Opções no dinheiro
possuem em geral volatilidades implícitas menores, que crescem suavemente na medida que o
preço de exercício é reduzido (opções dentro do dinheiro) ou aumentado (opções fora do
dinheiro), gerando uma curva em forma de U para a relação entre volatilidade implícita e
preço de exercício. Figlewski (1997) considera que isto é uma evidência forte de que o
mercado está avaliando as opções através de um “modelo” diferente do utilizado para a
obtenção da volatilidade implícita.
Enquanto no passado os modelos de avaliação de opções consideravam a volatilidade
constante, as exigências do mercado impõem hoje uma forte necessidade de considerar as
variações de volatilidade. Vários autores estudaram a avaliação de opções quando a
volatilidade é estocástica. Johnson e Shanno (1987), assim como Wiggins (1987), produziram
soluções numéricas, enquanto Hull e White (1987) trabalharam com soluções analíticas.
Scott (1987) testa a hipótese dos preços observados das opções serem consistentes com a
idéia da volatilidade estocástica. Outros consideraram o “efeito smile” na avaliação, tais
como Rubinstein (1994), Dupire (1994), e Derman e Kani (1994), que desenvolvem o
conceito da árvore binomial implícita. Dumas, Fleming e Whaley (1998) realizam testes
empíricos com opções do índice S&P500 exatamente com o intuito de estudar a hipótese da
volatilidade do ativo ser determinada pelo seu nível de preço e pelo decorrer do tempo.
Finalmente, novamente se tratando especificamente de pesquisas sobre avaliação de
opções com barreira, tem-se, no Brasil, o trabalho desenvolvido por Barros (1996), que
apresenta um estudo objetivando aumentar a compreensão das opções com barreira, em
particular das opções do tipo down-and-in call e down-and-out call, através da comparação
entre técnicas analíticas, numéricas e de simulação para a valoração de tais opções.
2.3.
O hedge de opções com barreira e as estratégias de arbitragem
A realização do hedge de opções com barreira é mais complexa do que no caso das
opções comuns. O delta da opção, por exemplo, é descontínuo, em virtude da existência da
barreira. Quando esta é rompida, uma opção do tipo out passa automaticamente a valer zero
(ou um valor de rebate), de forma que seu titular, se estiver adotando o seguro dinâmico em
sua carteira, fica de um momento para o outro totalmente desprotegido. Sendo assim, a
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realização de seguro dinâmico exige ajustes periódicos freqüentes na carteira, de forma a
mantê-la com um delta neutro, o que o torna caro e complexo. Com isso, alguns
pesquisadores buscaram outras alternativas para a realização do hedge. Bowie e Carr (1994),
assim como Derman, Ergener e Kani (1994 e 1995), desenvolvem uma técnica para
realização de um hedge estático para opções exóticas a partir de uma “carteira replicada”
formada por opções comuns, com preços de exercício e maturidades diferentes, e pelo ativoobjeto, que forneça o mesmo payoff que a opção exótica, seja qual for a trajetória do ativoobjeto.iv Entretanto, Toft e Xuan (1998) analisam a eficiência deste hedge estático no caso de
opções com barreira, concluindo que este somente é capaz de replicar satisfatoriamente as
opções com barreira quando a vol-vol é moderada ou quando o payoff da opção não apresenta
descontinuidade, como no caso de uma opção do tipo up-and-out com rebate igual a diferença
entre o valor da barreira e o preço de exercício (R = H – K). Desta forma, o seguro dinâmico,
embora mais custoso no caso das opções com barreira, ainda se configura como alternativa
para manutenção de uma carteira delta-neutra e, portanto, livre de risco de mercado, para
pequenas alterações no preço do ativo-objeto da opção.
A existência de diversas estratégias de negociação sistemática de ativos financeiros está
diretamente relacionada com a questão da eficiência de mercado. Mais especificamente, a
idéia por trás de uma estratégia de negociação é a obtenção de lucros em determinado
mercado a partir da possibilidade deste não apresentar a forma forte de eficiência. Uma
dessas estratégias é a denominada estratégia de carteira delta-neutra, que se caracteriza pela
realização do seguro dinâmico da carteira que a mantenha com um delta nulo. Becker e
Lemgruber (1989) descrevem a estratégia a partir da composição de uma carteira composta
por uma opção e uma fração da ação-objeto, fração esta determinada pelo delta (∆c) da opção.
Para uma posição comprada em opção de compra mantém-se uma posição vendida em ∆c
ações, o que implica na obtenção de uma carteira com delta nulo, onde o delta da carteira é
obtido a partir da ponderação dos deltas de seus componentes pela quantidade de cada ativo.
Esta estratégia, porém, não garante uma posição permanentemente neutra, visto que o
balanceamento é diário, não havendo ajuste da carteira a cada mudança de preços da açãoobjeto.
A metodologia adotada por Becker e Lemgruber (1989) para construção da carteira
passa por uma comparação entre o preço da opção conforme o modelo de Black-Scholes
(CBS) e o preço de fechamento no mercado (CM)v. Supondo-se que CBS está correto, a opção é
comprada se estiver subavaliada pelo mercado (CM < CBS) ou é vendida se estiver
superavaliada (CM > CBS), com o hedge sendo efetuado pela venda ou compra de ∆c açõesobjeto. A estratégia é realizada com ajustes diários da carteira a partir dos novos preços das
opções (tanto CBS quanto CM), sendo encerrada no último dia do período com o fechamento
das posições e cálculo do lucro ou perda da estratégia.
3.
METODOLOGIA
3.1.
A estratégia de negociação de arbitragem
Com o intuito de testar a adequabilidade do emprego da fórmula analítica de H&K
para avaliação de opções com barreira de um único ativo, realiza-se uma estratégia de carteira
delta-neutra. Para se testar a fórmula é assumido que seu resultado é utilizado pelo mercado
para avaliar as opções com barreira, o que permite pressupor que vai haver sempre
participantes do mercado dispostos a comprar ou vender a opção pelo preço fornecido pela
fórmula. Em contrapartida, desenvolve-se um modelo alternativo de avaliação que tenha uma
melhor capacidade de refletir a vol-vol em seu resultado. Este modelo alternativo é
desenvolvido com o emprego da simulação de Monte Carlo e considera um processo de
difusão de preços do ativo-objeto que tenha a volatilidade como função contínua do próprio
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preço do ativo. O modelo de simulação é descrito na seção 3.2. Assim sendo, durante todo o
período estipulado para a realização da estratégia, é realizada uma comparação diária entre o
preço simulado (MC) e o obtido pela fórmula analítica (H&K) para a opção com barreira em
questão, definindo a operação a ser realizada (compra ou venda). A estratégia pode ser
descrita nas seguintes etapas :
i) Em t0, inicia-se a estratégia a partir da comparação entre os dois preços existentes para a
opção com barreira, sendo um o obtido através do modelo desenvolvido (MC) e o outro
através da fórmula H&K, suposto como sendo o modelo utilizado pelo mercado. Pela
comparação é possível verificar se o preço adotado pelo mercado está superavaliado ou
subavaliado.
ii) Se a opção estiver subavaliada forma-se uma carteira com posição comprada na opção e
posição comprada ou vendida (dependendo do sinal do deltavi) de ∆ ações
correspondentes, de forma a ficar com uma carteira com delta igual a zero, portanto livre
de risco.
iii) No dia seguinte realiza-se nova comparação entre o preço do modelo e o da fórmula.
Caso o status tenha se alterado (de compra para venda ou vice-versa), desfaz-se a posição
de forma a calcular o lucro/prejuízo obtido e, em seguida, monta-se nova carteira
conforme o procedimento da etapa (ii). Caso o status não tenha sido alterado, o que
significa que a opção continua sendo subavaliada ou superavaliada pelo mercado, tal qual
no dia anterior, compra-se ou vende-se mais uma opção e ajusta-se a carteira ao novo ∆
da opção e à nova quantidade de opções, através da compra ou venda de fração da ação,
de forma a manter a carteira ajustada ao risco, isto é, com delta igual a zero.
iv) O procedimento (iii) é então continuado durante todo o período de realização da
estratégia, calculando-se diariamente o fluxo de caixa da negociação e calculando
também o lucro realizado sempre que a posição se inverter (de comprado para vendido ou
vice-versa). No caso do status se manter por n dias inalterado (indicação de compra ou
venda), a carteira ficará composta por (±nC±n∆S).
v) No último dia da estratégia, tomado como dia do vencimento da opção, é encerrada a
posição através do exercício da(s) opção(ões) (se S > K, naturalmente, e a opção não tiver
expirado antecipadamente por rompimento da barreira) e da compra ou venda da(s)
ação(ões). Calcula-se, então, o último fluxo de caixa gerado pelo encerramento e os
lucros parcial e total obtidos na estratégia.
Caso a opção expire antes do vencimento, devido ao fato da barreira ter sido
alcançada, a etapa (v) não chega a ocorrer, encerrando-se a estratégia antecipadamente no dia
em que a opção deixar de existir. Neste dia, a opção expira sem que haja qualquer pagamento
ao seu titular, já que não há rebate, e a posição comprada ou vendida em ações é fechada,
calculando-se o fluxo de caixa gerado neste dia e os lucros parcial e total obtidos.
A estratégia de negociação de arbitragem proposta nesta metodologia é realizada para
3 diferentes casos, que correspondem a 3 opções com barreira que divergem entre si apenas
pelo valor estipulado para a barreira. Custos de transação não são considerados.
3.2.
O modelo de simulação de Monte Carlo
Com o objetivo de se desenvolver um modelo de avaliação de opções com barreira
capaz de melhor captar os efeitos da variação da volatilidade ao longo da vigência da opção,
optou-se por um modelo de simulação de Monte Carlo com processo contínuo de difusão de
preços onde a volatilidade seja uma função contínua em relação ao próprio preço do ativo. O
modelo desenvolvido parte do conceito de avaliação baseada na neutralidade a risco,
conforme apresentado em Hull (1999, p.406), considerando um processo de difusão de preços
baseado no Movimento Geométrico Browniano, sob a forma:
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 dS 
ln  = µ(S, t )dt + σ(S, t )dz
 S 
onde ln(dS/S) é o retorno logarítmico do ativo S, µ(S,t) é a taxa média de crescimento do
preço do ativo (drift), σ(S,t) é a função de volatilidade do ativo e dz um processo de Wiener.
Considerando o drift como sendo determinado pela função:
σ(S, t )
2
sendo RF é a taxa livre de risco, e o processo de Wiener expresso por:
2
µ(S, t ) = R F −
dz = ε dt
onde ε é uma variável randômica obtida de uma distribuição normal padronizada, ou seja,
com média zero e desvio-padrão unitário – N(0;1), tem-se o preço do ativo na data t
determinado pela expressão:
St = St −1e

σ (S t , t )2
 R F −
2
 


 dt + σ (S t , t )ε dt 



Esta é portanto a expressão geral para o movimento de preços do ativo-objeto adotada
no modelo de simulação desenvolvido. Resta porém definir uma função para volatilidade
σ(S,t) que seja capaz de melhor refletir o comportamento da vol-vol no decorrer da vigência
da opção. Considerando a forma usual do smile da volatilidade, discutida por Figlewski
(1997), optou-se pelo emprego de uma função quadrática dependente do nível de preço do
ativo-objeto, ou seja, um função do tipo:
σ t (S) = aS 2t −1 + bS t −1 + c
onde os coeficientes da função são determinados a partir do smile formado pelo conjunto de
volatilidades implícitas obtidas das séries de opções comuns negociadas no mercado. É
utilizado o método dos mínimos quadrados para determinação da melhor função quadrática
que se ajuste ao smile. A função assim definida é capaz de considerar variações da
volatilidade no decorrer da vida da opção, através das diferentes volatilidades a serem
adotadas no processo de simulação das trajetórias, tanto em relação ao nível de preços do
ativo (S) quanto no decorrer do próprio tempo (t).
A simulação é portanto desenvolvida de forma a estimar as mais diversas trajetórias
para o ativo-objeto, em conformidade com o processo estocástico apresentado, onde a cada
passo da simulação é realizada uma verificação da barreira, isto é, se esta foi alcançada ou
não.vii Caso alcançada, automaticamente o payoff desta trajetória se torna igual a zero.viii
Caso a barreira não seja alcançada durante todo o período T de vigência da opção, o payoff da
trajetória é tomado como igual ao máximo entre ST-K e zero. A simulação é estruturada de tal
forma que forneça uma distribuição de possíveis valores para o pagamento da opção no
vencimento (payoff). O valor presente da média desta distribuição (descontado pela taxa livre
de risco) corresponde a estimativa do modelo para o valor da opção em análise.
O modelo de simulação não apenas fornece uma aproximação para o preço da opção
como também uma aproximação para o delta da opção. Assim como é obtido numericamente
o valor da opção (C) para um respectivo valor inicial do ativo-objeto (S0), são fornecidos
também valores (C+0.01) e (C-0.01), que correspondem a distribuições simuladas considerando o
valor inicial do ativo como sendo igual a (S0 + 0,01) e (S0 - 0,01), respectivamente,
permitindo o cálculo do delta como sendo igual a [∆C/∆S] = [(C+0,01 - C-0,01)/0,02].
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3.3.
Seleção dos dados
A premissa de que é possível obter lucros livres de risco com a realização de uma
estratégia de negociação de arbitragem leva em consideração que esta será realizada
sistematicamente durante um período razoável de tempo. Ou seja, não é de um dia para o
seguinte que estará garantida a obtenção de lucros. Portanto, a realização da estratégia é
efetuada durante um período de 6 meses, com negociação diária da opção (compra ou venda)
e o respectivo ajuste do hedge com a negociação do ativo-objeto. Assim sendo, foi escolhido
o período compreendido entre o dia 31 de julho de 2001 e 31 de janeiro de 2002.
Outra característica escolhida para a opção a ser empregada no experimento é de que
seu preço de exercício seja igual ao valor do ativo-objeto na data de lançamento da opção.
Portanto, considerando que a estratégia tem início no dia 31/07/01, com o lançamento e
primeira negociação da opção, esta possui seu preço de exercício (K) igual ao valor do ativoobjeto (S0), tomado como igual a cotação de fechamento do dia 30/07/01.
O experimento realizado considerou uma opção de compra do tipo up-and-out
hipotética, ou seja, sem que haja qualquer referência de que uma opção com tais
características tenha sido negociada no mercado. Entretanto, o ativo-objeto da opção com
barreira foi escolhido entre as ações existentes no mercado, considerando dois critérios de
escolha: apresentar boa liquidez e possuir uma quantidade significativa de séries de opções
comuns negociadas em bolsa. Embora a opção com barreira tenha sido criada especificamente
para o experimento, a utilização de uma ação que atenda a estes critérios nos permite obter os
smiles de volatilidade a partir dos preços de mercado das opções comuns negociadas. O valor
de mercado da ação também é utilizado para a realização da estratégia de negociação.
Atendendo ao critério estabelecido, decidiu-se pela ação preferencial da Telemar (TNLP4),
sendo utilizadas as cotações diárias de fechamento da ação e das respectivas opções para
obtenção das volatilidades implícitas no decorrer do experimento. Todas as cotações foram
obtidas através da Bovespa – Bolsa de Valores de São Paulo.
Definido o ativo-objeto da opção e por conseqüência seu preço de exercício (igual ao
valor inicial do ativo-objeto), resta ainda estipular o valor das barreiras. Sendo conhecido o
movimento real do preço do ativo-objeto durante o período do experimento, conforme
apresentado na Figura 1, foram escolhidas três barreiras (uma para cada opção) de acordo
com o seguinte critério: (i) uma barreira H1 que seja alcançada durante o período de
realização do experimento; (ii) uma barreira H2 que embora não seja alcançada, esteja
próxima do valor máximo do ativo ao longo do período; e (iii) uma barreira H3 distante do
valor máximo do ativo no período.
45.00
Figura 1 - Comportamento da ação preferencial da Telemar (TNLP4)
durante o período de 30/07/01 a 31/01/02
barreira: H = 42
40.00
barreira: H = 39
30.00
barreira: H = 36
preço de exercício: K = 31.55
25.00
20.00
15.00
30
/0
7/
01
06
/0
8/
01
13
/0
8/
01
20
/0
8/
01
27
/0
8/
01
03
/0
9/
01
10
/0
9/
01
17
/0
9/
01
24
/0
9/
01
01
/1
0/
01
08
/1
0/
01
15
/1
0/
01
22
/1
0/
01
29
/1
0/
01
05
/1
1/
01
12
/1
1/
01
19
/1
1/
01
26
/1
1/
01
03
/1
2/
01
10
/1
2/
01
17
/1
2/
01
24
/1
2/
01
31
/1
2/
01
07
/0
1/
02
14
/0
1/
02
21
/0
1/
02
28
/0
1/
02
Valor da Ação (R$)
35.00
10
Concluindo a escolha dos dados, adotou-se a taxa DI-Over como taxa livre de risco
(RF). O Quadro 2 apresenta uma síntese dos dados considerados no experimento.
Quadro 2 – Síntese dos dados considerados no experimento
Período:
Opções com Barreira:
Tipo:
Ativo-objeto:
Vencimento:
Preço de exercício:
Barreiras:
De 31/07/01 a 31/01/02
up-and-out, européia, barreira constante
TNLP4
(ação preferencial da Telemar)
31/01/02
K = 31,55
(igual a cotação inicial do ativo)
H1 = 36; H2 = 39; H3 = 42
Volatilidade: Obtida diariamente do smile das volatilidades implícitas das
opções sobre TNLP4
DI-Over
(taxa diária “anualizada”)
Taxa livre de risco:
4.
RESULTADOS
O principal resultado a ser obtido neste estudo é o montante financeiro resultante da
execução de cada uma das estratégias, confirmando ou não a hipótese de que é possível
auferir lucros com a realização sistemática das operações de arbitragem. Tais valores são
apresentados mais adiante. Antes porém, é oportuno analisar outros aspectos do experimento,
tais como o comportamento da volatilidade, os preços diariamente obtidos para as opções e a
variação do delta.
Conhecido o movimento de preços da ação da Telemar e as cotações das respectivas
opções, assim como as taxas de juro diárias, tem-se as volatilidades implícitas e os respectivos
smiles diários. A Figura 2 apresenta a variação das volatilidade implícitas no decorrer do
período, onde estão plotadas as volatilidades correspondentes ao preço de exercício da opção
com barreira (K = 31,55) e às barreiras consideradas (H1 = 36, H2 = 39 e H3 = 42).ix Essas
volatilidades implícitas foram utilizadas para cálculo do valor da opção com barreira através
da fórmula H&K, correspondendo a σK e σH, volatilidade do ativo determinante do payoff e
do ativo determinante do alcance da barreira, respectivamente.x Os smiles diários formados
pelo conjunto das volatilidades implícitas se prestaram ainda para definição das funções
quadráticas da volatilidade, empregadas nos modelos de simulação de Monte Carlo. Nota-se,
neste caso, uma grande variação da função quadrática, representada pela variação de seus
coeficientes, o que naturalmente acompanha a variação das volatilidades implícitas nas
opções.
Figura 2 - Volatilidades Implícitas
Volatilidades implícitas nos preços das opções comuns sobre TNLP4,
obtidas diariamente, no período de 30/07/01 a 31/01/02, para X = 31.55, 36, 39 e 42.
100.00%
X = K = 31.55
90.00%
X = H1 = 36
Volatilidade Diária Anualizada
80.00%
X = H2 = 39
X = H3 = 42
70.00%
60.00%
50.00%
40.00%
30.00%
30
/0
7
06 /01
/0
8
13 /01
/0
8
20 /01
/0
8
27 /01
/0
8
03 /01
/0
9
10 /01
/0
9
17 /01
/0
9
24 /01
/0
9
01 /01
/1
0
08 /01
/1
0
15 /01
/1
0
22 /01
/1
0/
29 01
/1
0
05 /01
/1
1
12 /01
/1
1
19 /01
/1
1
26 /01
/1
1
03 /01
/1
2
10 /01
/1
2
17 /01
/1
2
24 /01
/1
2
31 /01
/1
2
07 /01
/0
1
14 /02
/0
1
21 /02
/0
1
28 /02
/0
1/
02
20.00%
A análise da Figura 2 permite verificar que a volatilidade iniciou um processo de
crescimento a partir do início do mês de setembro de 2001, tendo explodido após 11 de
setembro, data que corresponde ao ataque terrorista nos Estados Unidos. Pode-se dizer que
11
em períodos de normalidade do mercado a volatilidade variou na faixa de 35% a 50%, tendo
no entanto chegado perto dos 100% no período pós ataque terrorista. Os padrões normais de
volatilidade se restabeleceram abruptamente no início do mês de outubro. Nota-se, ainda, que
existe uma alternância entre maiores e menores volatilidades implícitas a cada dia, o que se
reflete na forma do smile e, consequentemente, na definição da função quadrática, muito
embora a volatilidade relativa à maior barreira (42) foi a maior na grande maioria dos dias.
Em seguida, a partir das volatilidades implícitas e com as funções quadráticas
definidas, foram respectivamente calculados os preços das opções com barreira através da
fórmula H&K e do modelo desenvolvido (MC). A Figura 3 apresenta a variação dos preços
para cada uma das opções com barreira. É interessante analisar o comportamento dos preços
das opções em conjunto com a trajetória de preço da ação, apresentada anteriormente na
Figura 1. Na primeira metade do período, de agosto a outubro de 2001, com a crise
provocada pela forte recessão internacional, agravada pelos ataques terroristas, a redução do
preço da ação fez com que as opções estivessem “fora do dinheiro”. No período mais crítico,
entre meio de setembro e meio de outubro, todas as três opções possuíam valores muito
pequenos, abaixo de 50 centavos, de forma que as diferenças de preços entre as avaliações
(H&K e MC) fossem de pouca relevância. Até mesmo as diferenças de preços entre as
opções eram pequenas, pois em todas as três o preço da ação se encontrava demasiadamente
longe do valor da barreira. Ou seja, a probabilidade da barreira ser rompida era muito
pequena para todas as opções, o que significa dizer que os preços das três opções com barreira
eram próximos do preço de uma opção comum equivalente (sem barreira, com mesmo preço
de exercício e vencimento).
Figura 3 - Preços das opções com barreira
Opções de compra, do tipo up-and-out, K = 31,55, sem rebate, vencimento em 31/01/02,
avaliadas diariamente, no período de 30/07/01 a 31/01/02,
por um modelo de simulação de Monte Carlo (MC) e pela fórmula de H&K
4.00
MC(H=36)
H&K(H=36)
MC(H=39)
H&K(H=39)
MC(H=42)
H&K(H=42)
3.50
Preço da Opção (R$)
3.00
2.50
2.00
1.50
1.00
0.50
28/01/02
21/01/02
14/01/02
07/01/02
31/12/01
24/12/01
17/12/01
10/12/01
03/12/01
26/11/01
19/11/01
12/11/01
05/11/01
29/10/01
22/10/01
15/10/01
08/10/01
01/10/01
24/09/01
17/09/01
10/09/01
03/09/01
27/08/01
20/08/01
13/08/01
06/08/01
30/07/01
0.00
Com a recuperação dos mercados, já a partir do meio de outubro, as opções
apresentaram elevação de preço, porém a diferente proximidade do preço da ação em relação
às barreiras provocou comportamentos distintos. A opção com barreira menor (36) não
acompanhou a subida do preço da ação, visto que a probabilidade de rompimento da barreira
crescia acentuadamente, reduzindo o valor da opção. No extremo oposto, a opção com maior
barreira (42) teve maior crescimento de preço, enquanto a opção com barreira intermediária
(39) teve um certo crescimento de preço até o momento em que a probabilidade de
rompimento tornou-se mais significativa que a probabilidade de exercício, o que resultou em
nova redução do preço da opção, a partir da metade do mês de dezembro de 2001. No final
deste mês, o preço da ação ultrapassou o valor da menor barreira (36), de forma que a
respectiva opção expirou antecipadamente. No término do período, uma queda no preço da
ação resultou em queda também no preço das duas opções restantes, que ainda assim
terminaram ligeiramente “dentro do dinheiro”, permitindo o exercício.
12
A Figura 4 apresenta ainda a diferença de preços entre as duas avaliações para cada
uma das três opções. Pela análise do gráfico, é possível constatar que houve predominância
de valores maiores para os preços obtido via MC, o que implica em maior incidência de
diferenças de preço positivas, indicando que, em geral, a fórmula H&K subavalia as opções
com barreira. Conforme já comentado, as diferenças são pequenas quando as opções estão
“fora do dinheiro”, sendo mais significativas quando “dentro do dinheiro”.
Figura 4 - Diferenças de preços das opções combarreira (MC - H&K)
1
0.8
Opções de compra, do tipo up-and-out, K = 31,55, semrebate, vencimento em31/01/02, avaliadas diariamente, no
período de 30/07/01 a 31/01/02, por ummodelo de simulação de Monte Carlo (MC) e pela fórmula de H&K
H = 36
H = 39
H = 42
0.6
0.4
R$
0.2
30
/0
06 7/0
/0 1
13 8/0
/0 1
20 8/0
/0 1
27 8/0
/0 1
03 8/0
/0 1
10 9/0
/0 1
17 9/01
/0
24 9/0
/0 1
01 9/0
/1 1
08 0/0
/1 1
15 0/0
/1 1
22 0/0
/1 1
29 0/0
/1 1
05 0/0
/1 1
12 1/0
/1 1
19 1/0
/1 1
26 1/0
/1 1
03 1/0
/1 1
10 2/0
/1 1
17 2/01
/1
24 2/0
/1 1
31 2/0
/1 1
07 2/0
/0 1
14 1/0
/0 2
21 1/0
/0 2
28 1/0
/0 2
1/
02
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
A análise do comportamento do delta das opções, calculado através do modelo de MC,
é também bastante interessante. Conforme pode ser observado na Figura 5, a variação dos
deltas é bastante significativa, assumindo valores negativos com a proximidade do preço da
ação com as barreiras. Na primeira metade do período, caracterizado pela baixa do mercado,
os deltas das opções são predominantemente positivos e pequenos, visto que as probabilidades
de rompimento das barreiras são reduzidas e as opções se encontram “fora do dinheiro”. A
partir do momento em que o preço da ação sobe, aproximando-se das barreiras, inicia-se a
incidência de deltas negativos, visto que a continuidade da subida de preço da ação resulta em
menores valores para as opções, principalmente para a opção com menor barreira (36), que
acaba sendo alcançada. Com a redução do preço da ação a partir do início de janeiro de 2002,
os deltas das duas outras opções restantes começam a crescer, visto que uma nova alta de
preço da ação refletiria em alta do preço da opção, até mesmo porque a probabilidade de
rompimento da barreira estaria sendo reduzida pela proximidade do vencimento.
Figura 5 - Delta das opções com barreira
Opções de compra, do tipo up-and-out , K = 31,55, sem rebate, vencimento em 31/01/02. Delta calculado
diariamente, no período de 30/07/01 a 31/01/02, por um modelo de simulação de Monte Carlo (MC).
1
0.8
H = 36
H = 39
H = 42
0.6
0.4
Delta da opção
30
/0
7
06 /01
/0
8
13 /01
/0
8
20 /01
/0
8
27 /01
/0
8
03 /01
/0
9
10 /01
/0
9
17 /01
/0
9
24 /01
/0
9
01 /01
/1
0
08 /01
/1
0
15 /01
/1
0
22 /01
/1
0
29 /01
/1
0
05 /01
/1
1
12 /01
/1
1
19 /01
/1
1
26 /01
/1
1
03 /01
/1
2
10 /01
/1
2
17 /01
/1
2
24 /01
/1
2
31 /01
/1
2
07 /01
/0
1
14 /02
/0
1
21 /02
/0
1/
28 02
/0
1/
02
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
13
A partir dos preços calculados para as opções com barreira, através de ambos os
modelos, assim como dos deltas, as estratégias de negociação foram realizadas para as três
opções em estudo. Em todos os três casos, os resultados finais obtidos foram positivos, isto é,
obteve-se lucro com a realização das estratégias, conforme apresentado no Quadro 3. A
constatação de que foi possível obter lucros sugere que a fórmula H&K não é indicada para a
avaliação de opções com barreira de somente um ativo. Considerando que o emprego do
modelo alternativo (MC), que difere da fórmula essencialmente no modo como considera a
vol-vol, permite a obtenção de ganhos com operações de arbitragem, conclui-se que a
possibilidade de obtenção de lucros é devida à deficiência da fórmula H&K em considerar
adequadamente as variações da volatilidade.
Quadro 3 – Resultados das estratégias de negociação de arbitragem
Estratégias realizadas no período de 31/07/01 a 31/01/02, com a negociação diária de opções de
compra do tipo up-and-out, com K = 31,55, sem rebate e vencimento em 31/01/02.
Valor da Barreira (H)
36
39
42
Resultado Financeiro
R$ 2,39
R$ 14,79
R$ 11,36
É oportuno comentar que os lucros aqui apresentados referem-se à realização da
estratégia pelo período integral do experimento, ou seja, 6 meses, com exceção da opção com
barreira igual a 36, expirada antecipadamente em 27/12/01, devido ao rompimento da
barreira. No decorrer das estratégias, o status de compra e venda das opções se altera
inúmeras vezes, implicando em alterações na posição em opções de compradas para vendidas
(ou o contrário). A cada inversão desta, a carteira é fechada, calculando-se o resultado
parcial, e reaberta novamente com a posição contrária na opção e o respectivo hedge na ação.
Contudo, nestas inversões, nem sempre foram obtidos lucros, havendo diversos casos onde se
constatou prejuízo após o encerramento parcial da carteira. Como exemplo, no caso da opção
com barreira igual a 42, no período de 12 a 21/11/01, manteve-se uma carteira comprada em
opções e vendida em fração da ação por 7 dias consecutivos, tendo sido fechada no dia 21
com um prejuízo parcial de 5 centavos. Prejuízos maiores também foram constatados (de até
R$1,91), porém com fechamento de posições mantidas por um número menor de dias
consecutivos. Disto se conclui que a obtenção de lucros na estratégia não é garantida em
prazos curtos, havendo a necessidade de realização das operações de arbitragem por um
período significativo.
Outro aspecto a ser comentado refere-se à magnitude do lucro. Embora tenha sido
diferente para cada uma das estratégias, não é possível tirar qualquer conclusão comparativa,
visto que as estratégias não foram realizadas de forma controlada por risco, ou seja, o
montante investido ou em risco era diferente em cada caso.
Assim sendo, pelo estudo dos casos aqui propostos, considerando que o mercado
esteja adotando a fórmula H&K para avaliar opções deste tipo, o emprego de metodologia de
avaliação distinta, capaz de melhor captar a vol-vol, permite a obtenção de lucros através da
realização de uma negociação sistemática de arbitragem, sem que haja exposição ao risco de
mercado.
5.
CONCLUSÃO
Conforme colocado por Wilmott (1998), o uso da fórmula desenvolvida por Heinen e
Kat (1994), adaptada para opções com barreira que tenham apenas um único ativo, permite
que se considere dois níveis distintos de volatilidade, configurando assim um avanço no
processo de avaliação de opções em relação aos demais modelos analíticos existentes.
Entretanto, o estudo aqui realizado sugere que a referida fórmula não é ainda suficiente para
representar satisfatoriamente os efeitos da vol-vol no preço das opções. A realização de
estratégias de negociação de arbitragem do tipo delta-neutro para três diferentes opções com
14
barreira permitiu mostrar que é possível obter lucros quando realizadas operações diárias de
arbitragem, ao se comparar diariamente o preço fornecido pela fórmula H&K com uma
avaliação alternativa, obtida através de um modelo de simulação de Monte Carlo, que
considera a volatilidade como uma função contínua do preço do ativo.
Entretanto, embora tenha sido possível obter lucros na realização das estratégias para
as três opções escolhidas, sugerindo que o emprego da fórmula de Heinen & Kat (1994) não é
adequado, o resultado não pode ser generalizado para todas as opções com barreira, visto que
a análise aqui proposta e desenvolvida se caracteriza como um estudo de caso específico.
Além disso, as estratégias efetuadas não tiveram controle por risco, isto é, não foram
efetuadas com o mesmo montante de capital investido, não sendo assim possível comparar a
magnitude dos lucros obtidos. Adicionalmente, o estudo não considerou a existência de
custos de transação, que naturalmente reduzem os lucros. Novas pesquisas podem ser
realizadas considerando um maior número e tipos diferentes de opções com barreira, assim
como a incidência dos custos de transação. Pode-se também estruturar estratégias que sejam
controladas pelo risco envolvido.
6.
BIBLIOGRAFIA
BARROS, J.T. de. Precificação de opções exóticas: uma aplicação para opções de barreira.
Orientador: Tara Keshar Nanda Baidya.
Rio de Janeiro: PUC / Departamento de
Engenharia Industrial, 1996. 112p. Dissertação (Mestrado em Administração).
BECKER, J.L., LEMGRUBER, E.F. Uma análise de estratégias de negociação no mercado
brasileiro de opções: Evidências a partir das opções de compra mais negociadas durante o
Plano Cruzado. In: BRITO, N.R.O. Gestão de Investimentos. São Paulo: Atlas; Rio de
Janeiro: Editora da Universidade Federal do Rio de Janeiro, 1989. p.271-302.
BENSON, R., DANIEL, N. Up, over and out. In: From Black-Scholes to black holes:
new frontiers in options. Risk Magazine Ltd, 1992. p.179-182.
BOWIE, J., CARR, P. Static simplicity. Risk, v.7, n.8, August 1994.
BOYLE, P.P. Options: A Monte Carlo approach. Journal of Financial Economics, v.4,
p.323-338, 1977.
BOYLE, P.P., LAU, S.H. Bumping up against the barrier with the binomial method. The
Journal of Derivatives, v.1, n.4, p.6-14, 1994.
CARR, P. European put call symmetry with smiles. Cornell University working paper,
1995.
CHEUK, T.H.F., VORST, T.C.F. Complex barrier options. The Journal of Derivatives,
v.4, n.1, p.8-22, 1996.
COX, J.C., ROSS, S.A., RUBINSTEIN, M.,
Option pricing: a simplified approach.
Journal of Financial Economics, v.7, p.229-264, 1979.
COX, J.C., RUBINSTEIN, M. Options markets. New Jersey: Prentice-Hall, 1985.
DERMAN, E., ERGENER, D., KANI, I. Forever hedged. Risk, v.7, n.9, p.139-145,
September 1994.
__________. Static options replication. The Journal of Derivatives, v.2, n.4, p.78-95,
Summer 1995.
DERMAN, E., KANI, I. Riding on a smile. Risk, v.7, n.2, February 1994.
DUMAS, B., FLEMING, J., WHALEY, R.E., Implied volatility functions: empirical tests.
The Journal of Finance, v.53, n.6, p.2059-2106, December 1998.
DUPIRE, B. Pricing with a smile. Risk, v.7,n.1, January 1994.
FIGLEWSKI, S. Forecasting volatility. Financial Markets, Institutions & Instruments,
v.6, n.1, January 1997.
15
FIGLEWSKI, S., GAO, B. The adaptive mesh model: a new approach to efficient option
pricing. Journal of Financial Economics, 1999.
HAUG, E.G. The complete guide to option pricing formulas. McGraw-Hill, 1997.
HEYNEN, R.C., KAT, H.M. Crossing Barriers. Risk, v.7, n.6, June 1994.
HULL, J. Options, futures, and other derivatives. 4th.ed. Prentice-Hall, Inc., 1999.
HULL, J., WHITE, A. The pricing of options on assets with stochastic volatilities. The
Journal of Finance, v.42, n.2, p.281-300, June 1987.
JOHNSON, H.E., SHANNO, D. Option pricing when the variance is changing. Journal of
Financial and Quantitative Analysis, v.22, n.2, p.143-151, June 1987.
MERTON, R.C. Theory of rational option pricing. Bell Journal of Economics and
Management Science, v.4, p.141-183, 1973.
ONG, M. Exotic options: the market and their taxonomy. In: NELKEN, I. The handbook
of exotic options: instruments, analysis, and applications. Irwin, 1996. p.3-44.
REINER, E., RUBINSTEIN, M. Breaking down the barriers. Risk, v.4, n.8, p.28-35,
September 1991.
RITCHKEN, P. On pricing barrier options. The Journal of Derivatives, v.3, n.2, p.19-28,
1995.
RUBINSTEIN, M. Implied binomial trees. The Journal of Finance, v.49, n.3, p.771-818,
July 1994.
SCOTT, L.O. Option pricing when the variance changes randomly: theory, estimation, and
an application. Journal of Financial and Quantitative Analysis, v.22, n.4, p.419-438,
December 1987.
TOFT, K.B., XUAN, C. How well can barrier options be hedged by a static portfolio of
standard options? The Journal of Financial Engineering, v.7, n.2, p.147-175, June
1998.
WIGGINS, J.B. Option values under stochastic volatility: theory and empirical estimates.
Journal of Financial Economics, v.19, p.351-372, 1987.
WILMOTT, P. Derivatives: the theory and practice of financial engineering. John Wiley &
Sons, 1998.
i
A diferença entre opções européias e americanas está na possibilidade do exercício antecipado de uma opção
americana, enquanto que a européia somente pode ser exercida em seu vencimento.
ii
Haug (1997) apresenta um algoritmo para cálculo das opções com barreira a partir das fórmulas desenvolvidas
por Merton (1973) e Reiner e Rubinstein (1991).
iii
Haug (1997) apresenta um algoritmo para cálculo das opções com barreira para dois ativos a partir das
fórmulas desenvolvidas por Heynen e Kat (1994).
iv
Utilizam nesta técnica o conceito da put call symmetry, relação de paridade entre preços de opções européias
de compra e venda com preços de exercícios distintos, ainda que relacionados. Para uma apresentação formal da
put call symmetry, ver Carr(1995).
v
O estudo de Becker e Lemgruber (1989) se propôs a estudar a eficiência do mercado brasileiro de opções
durante o período de vigência do Plano Cruzado – março a novembro de 1986.
vi
As opções com barreira, tanto de compra como de venda, podem ter o delta positivo ou negativo. Uma opção
de compra do tipo up-and-out, por exemplo, pode ter o delta negativo quando o valor do ativo-objeto estiver
próximo da barreira, significando que um aumento do valor do ativo estaria reduzindo o valor da opção, ainda
que a opção estivesse se situando mais dentro do dinheiro. Isto ocorre pois a probabilidade da barreira ser
alcançada aumenta, reduzindo o valor da opção, muito embora a probabilidade de haver exercício seja também
maior. Na realização do experimento, o delta da opção é calculado pelo modelo de simulação de Monte Carlo.
vii
A simulação foi estruturada com 20.000 trajetórias (I), cada uma dividida em 4.000 passos (N).
viii
Não foi considerada a existência de rebate, o que acarretaria em um payoff igual ao valor do rebate quando a
barreira fosse alcançada em uma trajetória.
ix
Visto não haver séries de opções comuns com preços de exercício igual a 31,55 e 39, os valores relativos a K e
H2 foram obtidos através de interpolação linear efetuada entre os valores mais próximos: 30 e 32 para K; 38 e 40
para H2.
x
Convém lembrar que o emprego da fórmula de H&K neste caso se refere ao mesmo ativo, embora considere
dois níveis distintos para a volatilidade.