MAC-015 Resistência dos Materiais
Cabos Flexíveis
Engenharia Elétrica
Engenharia de Produção
Engenharia Sanitária e Ambiental
Leonardo Goliatt
Departamento de Mecânica Aplicada e Computacional
Universidade Federal de Juiz de Fora
versão 15.03
Leonardo Goliatt (MAC/UFJF)
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Cabos Flexíveis
Programa
1
Cabos Flexíveis
Equação Diferencial dos Cabos
Cabos Parabólicos
Cabos em Catenária
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Cabos Flexíveis
Introdução
Cabos flexíveis são elementos estruturais longos, delgados e flexíveis,
projetados para suportar esforços axiais de tração.
Aplicações
Pontes suspensas
Teleféricos
Linhas de transmissão
Nos dois primeiros casos, o peso do cabo pode ser desconsiderado na
análise de forças.
No último caso, seu peso torna-se importante e deve ser incluído nas
forças analisadas.
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Cabos Flexíveis
Introdução
A catenária é a curva formada por um cabo carregado com o seu próprio
peso
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Cabos Flexíveis
Introdução
Ponte pênsil: cabo sujeito a um carregamento horizontal
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Cabos Flexíveis
Introdução
Linha de transmissão elétrica: catenária
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Cabos Flexíveis
Introdução
Hipóteses para o estudo dos cabos:
1
2
3
Carregamentos coplanares: Os carregamentos aplicados são coplanares
aos cabos.
Flexibilidade: não há resistência à flexão; há resistência somente a
esforços de tração, que são paralelos aos cabos.
Inextensibilidade: o cabo possui comprimento constante antes e após o
carregamento; com resultado, a geometria permanece fixa e nas condições
de equilíbrio o cabo é tratado como um corpo rígido.
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Cabos Flexíveis
Equação Diferencial dos Cabos
Programa
1
Cabos Flexíveis
Equação Diferencial dos Cabos
Cabos Parabólicos
Cabos em Catenária
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Cabos Flexíveis
Equação Diferencial dos Cabos
Equação Diferencial do Cabo Flexível
A condição de equilíbrio do cabo é satisfeita se cada elemento
infinitesimal estiver em equilíbrio.
+ → ∑ Fx = 0 = −T cos θ + (T + ∆T ) cos(θ + ∆θ )
+ ↑ ∑ Fy = 0 = −T sen θ + (T + ∆T )sen (θ + ∆θ ) − w(x)(∆x)
+ ∑ MO = 0 = w(x)(∆x) ∆x
2 − T cos θ (∆y) + T sen θ (∆x)
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Cabos Flexíveis
Equação Diferencial dos Cabos
Equação Diferencial do Cabo Flexível
Da primeira equação temos que
0 = −T cos θ + (T + ∆T ) cos(θ + ∆θ )
0 = −T cos θ + T cos(θ + ∆θ ) + ∆T cos(θ + ∆θ )
0 = −T cos θ + T (cos θ cos ∆θ − sen θ sen ∆θ )
+∆T (cos θ cos ∆θ − sen θ sen ∆θ )
0 = −T cos θ + T cos θ cos ∆θ − T sen θ sen ∆θ
+∆T cos θ cos ∆θ − ∆T sen θ sen ∆θ
Assumindo que ∆θ ≈ 0, então cos ∆θ = 1 e sen ∆θ = ∆θ . Temos então
0 = −T cos θ + T cos θ − T sen θ ∆θ + ∆T cos θ − ∆T ∆θ sen θ
0 = −T sen θ ∆θ + ∆T cos θ − ∆T ∆θ sen θ
Desprezando o termo quadrático ∆T ∆θ
0 = −T sen θ ∆θ + ∆T cos θ
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Cabos Flexíveis
Equação Diferencial dos Cabos
Equação Diferencial do Cabo Flexível
Da primeira equação temos que
0 = −T cos θ + (T + ∆T ) cos(θ + ∆θ )
0 = −T cos θ + T cos(θ + ∆θ ) + ∆T cos(θ + ∆θ )
0 = −T cos θ + T (cos θ cos ∆θ − sen θ sen ∆θ )
+∆T (cos θ cos ∆θ − sen θ sen ∆θ )
0 = −T cos θ + T cos θ cos ∆θ − T sen θ sen ∆θ
+∆T cos θ cos ∆θ − ∆T sen θ sen ∆θ
Assumindo que ∆θ ≈ 0, então cos ∆θ = 1 e sen ∆θ = ∆θ . Temos então
0 = −T cos θ + T cos θ − T sen θ ∆θ + ∆T cos θ − ∆T ∆θ sen θ
0 = −T sen θ ∆θ + ∆T cos θ − ∆T ∆θ sen θ
Desprezando o termo quadrático ∆T ∆θ
0 = −T sen θ ∆θ + ∆T cos θ
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Cabos Flexíveis
Equação Diferencial dos Cabos
Equação Diferencial do Cabo Flexível
Da primeira equação temos que
0 = −T cos θ + (T + ∆T ) cos(θ + ∆θ )
0 = −T cos θ + T cos(θ + ∆θ ) + ∆T cos(θ + ∆θ )
0 = −T cos θ + T (cos θ cos ∆θ − sen θ sen ∆θ )
+∆T (cos θ cos ∆θ − sen θ sen ∆θ )
0 = −T cos θ + T cos θ cos ∆θ − T sen θ sen ∆θ
+∆T cos θ cos ∆θ − ∆T sen θ sen ∆θ
Assumindo que ∆θ ≈ 0, então cos ∆θ = 1 e sen ∆θ = ∆θ . Temos então
0 = −T cos θ + T cos θ − T sen θ ∆θ + ∆T cos θ − ∆T ∆θ sen θ
0 = −T sen θ ∆θ + ∆T cos θ − ∆T ∆θ sen θ
Desprezando o termo quadrático ∆T ∆θ
0 = −T sen θ ∆θ + ∆T cos θ
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Cabos Flexíveis
Equação Diferencial dos Cabos
Equação Diferencial do Cabo Flexível
Dividindo cada equação por ∆x temos
∆T
0 = −T sen θ ∆θ
∆x + ∆x cos θ
e tomando o limite ∆x → 0, vem
∆x → 0 ⇒
resultando em
Leonardo Goliatt (MAC/UFJF)


∆θ
∆x
→
dθ
dx

∆T
∆x
→
dT
dx
dT
0 = −T sen θ dθ
dx + dx cos θ
d
0 = dx
(T cos θ )
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Cabos Flexíveis
Equação Diferencial dos Cabos
Equação Diferencial do Cabo Flexível
Dividindo cada equação por ∆x temos
∆T
0 = −T sen θ ∆θ
∆x + ∆x cos θ
e tomando o limite ∆x → 0, vem
∆x → 0 ⇒
resultando em
Leonardo Goliatt (MAC/UFJF)


∆θ
∆x
→
dθ
dx

∆T
∆x
→
dT
dx
dT
0 = −T sen θ dθ
dx + dx cos θ
d
0 = dx
(T cos θ )
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Cabos Flexíveis
Equação Diferencial dos Cabos
Equação Diferencial do Cabo Flexível
Dividindo cada equação por ∆x temos
∆T
0 = −T sen θ ∆θ
∆x + ∆x cos θ
e tomando o limite ∆x → 0, vem
∆x → 0 ⇒
resultando em
Leonardo Goliatt (MAC/UFJF)


∆θ
∆x
→
dθ
dx

∆T
∆x
→
dT
dx
dT
0 = −T sen θ dθ
dx + dx cos θ
d
0 = dx
(T cos θ )
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Cabos Flexíveis
Equação Diferencial dos Cabos
Equação Diferencial do Cabo Flexível
Da segunda equação temos que
0 = −T sen θ + (T + ∆T )sen (θ + ∆θ ) − w(x)∆x
0 = −T sen θ + T sen (θ + ∆θ ) + ∆T sen (θ + ∆θ ) − w(x)∆x
0 = −T sen θ + T (sen θ cos ∆θ + cos θ sen ∆θ )
+∆T (sen θ cos ∆θ + cos θ sen ∆θ ) − w(x)∆x
0 = −T sen θ + T sen θ cos ∆θ + T sen ∆θ cos θ
+∆T sen θ cos ∆θ + ∆T sen ∆θ cos θ − w(x)∆x
Assumindo que ∆θ ≈ 0, então cos ∆θ = 1 e sen ∆θ = ∆θ . Temos então
0 = −T sen θ + T sen θ + T ∆θ cos θ + ∆T sen θ + ∆T ∆θ cos θ − w(x)∆x
0 = T ∆θ cos θ + ∆T sen θ + ∆T ∆θ cos θ − w(x)∆x
Desprezando o termo quadrático ∆T ∆θ
0 = T ∆θ cos θ + ∆T sen θ − w(x)∆x
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Cabos Flexíveis
Equação Diferencial dos Cabos
Equação Diferencial do Cabo Flexível
Da segunda equação temos que
0 = −T sen θ + (T + ∆T )sen (θ + ∆θ ) − w(x)∆x
0 = −T sen θ + T sen (θ + ∆θ ) + ∆T sen (θ + ∆θ ) − w(x)∆x
0 = −T sen θ + T (sen θ cos ∆θ + cos θ sen ∆θ )
+∆T (sen θ cos ∆θ + cos θ sen ∆θ ) − w(x)∆x
0 = −T sen θ + T sen θ cos ∆θ + T sen ∆θ cos θ
+∆T sen θ cos ∆θ + ∆T sen ∆θ cos θ − w(x)∆x
Assumindo que ∆θ ≈ 0, então cos ∆θ = 1 e sen ∆θ = ∆θ . Temos então
0 = −T sen θ + T sen θ + T ∆θ cos θ + ∆T sen θ + ∆T ∆θ cos θ − w(x)∆x
0 = T ∆θ cos θ + ∆T sen θ + ∆T ∆θ cos θ − w(x)∆x
Desprezando o termo quadrático ∆T ∆θ
0 = T ∆θ cos θ + ∆T sen θ − w(x)∆x
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Cabos Flexíveis
Equação Diferencial dos Cabos
Equação Diferencial do Cabo Flexível
Da segunda equação temos que
0 = −T sen θ + (T + ∆T )sen (θ + ∆θ ) − w(x)∆x
0 = −T sen θ + T sen (θ + ∆θ ) + ∆T sen (θ + ∆θ ) − w(x)∆x
0 = −T sen θ + T (sen θ cos ∆θ + cos θ sen ∆θ )
+∆T (sen θ cos ∆θ + cos θ sen ∆θ ) − w(x)∆x
0 = −T sen θ + T sen θ cos ∆θ + T sen ∆θ cos θ
+∆T sen θ cos ∆θ + ∆T sen ∆θ cos θ − w(x)∆x
Assumindo que ∆θ ≈ 0, então cos ∆θ = 1 e sen ∆θ = ∆θ . Temos então
0 = −T sen θ + T sen θ + T ∆θ cos θ + ∆T sen θ + ∆T ∆θ cos θ − w(x)∆x
0 = T ∆θ cos θ + ∆T sen θ + ∆T ∆θ cos θ − w(x)∆x
Desprezando o termo quadrático ∆T ∆θ
0 = T ∆θ cos θ + ∆T sen θ − w(x)∆x
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Cabos Flexíveis
Equação Diferencial dos Cabos
Equação Diferencial do Cabo Flexível
Dividindo cada equação por ∆x temos
∆T
0 = T cos θ ∆θ
∆x + ∆x sen θ − w(x)
e tomando o limite ∆x → 0, vem
∆x → 0 ⇒


∆θ
∆x
→
dθ
dx

∆T
∆x
→
dT
dx
resultando em
dT
0 = T cos θ dθ
dx + dx sen θ − w(x)
d
0 = dx (T sen θ ) − w(x)
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Equação Diferencial dos Cabos
Equação Diferencial do Cabo Flexível
Dividindo cada equação por ∆x temos
∆T
0 = T cos θ ∆θ
∆x + ∆x sen θ − w(x)
e tomando o limite ∆x → 0, vem
∆x → 0 ⇒


∆θ
∆x
→
dθ
dx

∆T
∆x
→
dT
dx
resultando em
dT
0 = T cos θ dθ
dx + dx sen θ − w(x)
d
0 = dx (T sen θ ) − w(x)
Leonardo Goliatt (MAC/UFJF)
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Cabos Flexíveis
Equação Diferencial dos Cabos
Equação Diferencial do Cabo Flexível
Dividindo cada equação por ∆x temos
∆T
0 = T cos θ ∆θ
∆x + ∆x sen θ − w(x)
e tomando o limite ∆x → 0, vem
∆x → 0 ⇒


∆θ
∆x
→
dθ
dx

∆T
∆x
→
dT
dx
resultando em
dT
0 = T cos θ dθ
dx + dx sen θ − w(x)
d
0 = dx (T sen θ ) − w(x)
Leonardo Goliatt (MAC/UFJF)
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Cabos Flexíveis
Equação Diferencial dos Cabos
Equação Diferencial do Cabo Flexível
Da terceira equação temos que
0 = w(x)(∆x) ∆x
2 − T cos θ (∆y) + T sen θ (∆x)
Dividindo cada equação por ∆x temos
∆y
0 = w(x) ∆x
2 − T cos θ ∆x + T sen θ
que pode ser re-escrita como
0=
1
∆x
cos θ w(x) 2
∆y
− T ∆x
+T
sen θ
cos θ
e tomando o limite ∆x → 0, vem
∆x → 0 ⇒
n
∆y
∆x
→
dy
dx
resultando em
dy
dx
Leonardo Goliatt (MAC/UFJF)
= tan θ
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Cabos Flexíveis
Equação Diferencial dos Cabos
Equação Diferencial do Cabo Flexível
Da terceira equação temos que
0 = w(x)(∆x) ∆x
2 − T cos θ (∆y) + T sen θ (∆x)
Dividindo cada equação por ∆x temos
∆y
0 = w(x) ∆x
2 − T cos θ ∆x + T sen θ
que pode ser re-escrita como
0=
1
∆x
cos θ w(x) 2
∆y
− T ∆x
+T
sen θ
cos θ
e tomando o limite ∆x → 0, vem
∆x → 0 ⇒
n
∆y
∆x
→
dy
dx
resultando em
dy
dx
Leonardo Goliatt (MAC/UFJF)
= tan θ
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Cabos Flexíveis
Equação Diferencial dos Cabos
Equação Diferencial do Cabo Flexível
Da terceira equação temos que
0 = w(x)(∆x) ∆x
2 − T cos θ (∆y) + T sen θ (∆x)
Dividindo cada equação por ∆x temos
∆y
0 = w(x) ∆x
2 − T cos θ ∆x + T sen θ
que pode ser re-escrita como
0=
1
∆x
cos θ w(x) 2
∆y
− T ∆x
+T
sen θ
cos θ
e tomando o limite ∆x → 0, vem
∆x → 0 ⇒
n
∆y
∆x
→
dy
dx
resultando em
dy
dx
Leonardo Goliatt (MAC/UFJF)
= tan θ
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Cabos Flexíveis
Equação Diferencial dos Cabos
Equação Diferencial do Cabo Flexível
Da terceira equação temos que
0 = w(x)(∆x) ∆x
2 − T cos θ (∆y) + T sen θ (∆x)
Dividindo cada equação por ∆x temos
∆y
0 = w(x) ∆x
2 − T cos θ ∆x + T sen θ
que pode ser re-escrita como
0=
1
∆x
cos θ w(x) 2
∆y
− T ∆x
+T
sen θ
cos θ
e tomando o limite ∆x → 0, vem
∆x → 0 ⇒
n
∆y
∆x
→
dy
dx
resultando em
dy
dx
Leonardo Goliatt (MAC/UFJF)
= tan θ
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Cabos Flexíveis
Equação Diferencial dos Cabos
Equação Diferencial do Cabo Flexível
Da terceira equação temos que
0 = w(x)(∆x) ∆x
2 − T cos θ (∆y) + T sen θ (∆x)
Dividindo cada equação por ∆x temos
∆y
0 = w(x) ∆x
2 − T cos θ ∆x + T sen θ
que pode ser re-escrita como
0=
1
∆x
cos θ w(x) 2
∆y
− T ∆x
+T
sen θ
cos θ
e tomando o limite ∆x → 0, vem
∆x → 0 ⇒
n
∆y
∆x
→
dy
dx
resultando em
dy
dx
Leonardo Goliatt (MAC/UFJF)
= tan θ
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Cabos Flexíveis
Equação Diferencial dos Cabos
Equação Diferencial do Cabo Flexível
Temos por fim
Leonardo Goliatt (MAC/UFJF)
d(T cos θ )
dx
= 0
d(T sen θ )
dx
= w(x)
dy
dx
= tan θ
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Cabos Flexíveis
Equação Diferencial dos Cabos
Equação Diferencial do Cabo Flexível
Da primeira equação temos que
d(T cos θ )
T0
= 0 ⇒ T cos θ = cte = T0 ⇒ T =
dx
cos θ
Substituindo, temos
d(T sen θ )
d T0 sen θ
= w(x) ⇒
= w(x)
dx
dx
cos θ
Usando
dy
dx
= tan θ ,
d
d
(T0 tan θ ) = T0
dx
dx
dy
dx
= w(x)
Chegamos na Equação Diferencial dos Cabos
y00 =
Leonardo Goliatt (MAC/UFJF)
w(x)
T0
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Cabos Flexíveis
Equação Diferencial dos Cabos
Equação Diferencial do Cabo Flexível
Da primeira equação temos que
d(T cos θ )
T0
= 0 ⇒ T cos θ = cte = T0 ⇒ T =
dx
cos θ
Substituindo, temos
d(T sen θ )
d T0 sen θ
= w(x) ⇒
= w(x)
dx
dx
cos θ
Usando
dy
dx
= tan θ ,
d
d
(T0 tan θ ) = T0
dx
dx
dy
dx
= w(x)
Chegamos na Equação Diferencial dos Cabos
y00 =
Leonardo Goliatt (MAC/UFJF)
w(x)
T0
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Cabos Flexíveis
Equação Diferencial dos Cabos
Equação Diferencial do Cabo Flexível
Da primeira equação temos que
d(T cos θ )
T0
= 0 ⇒ T cos θ = cte = T0 ⇒ T =
dx
cos θ
Substituindo, temos
d(T sen θ )
d T0 sen θ
= w(x) ⇒
= w(x)
dx
dx
cos θ
Usando
dy
dx
= tan θ ,
d
d
(T0 tan θ ) = T0
dx
dx
dy
dx
= w(x)
Chegamos na Equação Diferencial dos Cabos
y00 =
Leonardo Goliatt (MAC/UFJF)
w(x)
T0
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Cabos Flexíveis
Equação Diferencial dos Cabos
Equação Diferencial do Cabo Flexível
Da primeira equação temos que
d(T cos θ )
T0
= 0 ⇒ T cos θ = cte = T0 ⇒ T =
dx
cos θ
Substituindo, temos
d(T sen θ )
d T0 sen θ
= w(x) ⇒
= w(x)
dx
dx
cos θ
Usando
dy
dx
= tan θ ,
d
d
(T0 tan θ ) = T0
dx
dx
dy
dx
= w(x)
Chegamos na Equação Diferencial dos Cabos
y00 =
Leonardo Goliatt (MAC/UFJF)
w(x)
T0
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Cabos Flexíveis
Cabos Parabólicos
Programa
1
Cabos Flexíveis
Equação Diferencial dos Cabos
Cabos Parabólicos
Cabos em Catenária
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Cabos Flexíveis
Cabos Parabólicos
Cabos Parabólicos
Quando o carregamento w(x) é constante, a configuração se aproxima a
de uma ponte suspensa.
A hipótese é que o peso do cabo é desprezível em comparação com o
carregamento.
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Cabos Flexíveis
Cabos Parabólicos
Cabos Parabólicos
Nessas condições.
y00 =
w0
w0
w0 2
⇒ y0 =
x +C1 ⇒ y(x) =
x +C1 x +C2
T0
T0
2T0
Colocando a origem no ponto mais baixo do cabo, temos a equação dos
cabos parabólicos
w0 2
x
y(x) =
2T0
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Cabos Flexíveis
Cabos Parabólicos
Cabos Parabólicos
A força (de tração) no cabo pode ser calculada equilibrando uma porção
do cabo (a partir do ponto mais baixo)
2
T (x) =
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T02 + (w0 x)2
q
⇒ T (x) = T02 + (w0 x)2
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Cabos Flexíveis
Cabos Parabólicos
Cabos Parabólicos
O comprimento no cabo fica
Z A
S=
ds =
B
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Z xA >0 q
1 + (y0 )2 dx =
xB <0
Z xA >0
xB <0
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s
w0 x
1+
2T0
2
dx
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Cabos Flexíveis
Cabos Parabólicos
Cabos Parabólicos
De onde obtemos
onde ui = arcsenh
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T0
senh 2u uA
S=
u+
2w0
2
uB
w0
T0 xi ,
i = B, A
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Cabos Flexíveis
Cabos Parabólicos
Cabos Parabólicos
Alternativamente, podemos expandir a raiz em
Z A
S=
ds =
B
Z xA >0 q
1 + (y0 )2 dx
Z xA >0
=
xB <0
xB <0
s
w0 x
1+
2T0
2
dx
usando
(1 + x)n = 1 + nx +
n(n − 1) 2 n(n − 1)(n − 2) 3
x +
x +···
2!
3!
Obs.: Esta série é convergente se x2 < 1.
E fazendo n = 21 , x = (w0 x/T0 )2 e integrando ...
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Cabos Flexíveis
Cabos Parabólicos
Cabos Parabólicos
Obtemos
"
#
2 hA 2 2 hA 4
sA = lA 1 +
−
+··· ,
3 lA
5 lA
#
"
2 hB 2 2 hB 4
−
+··· ,
sB = lB 1 +
3 lB
5 lB
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hA 1
<
lA
2
hB 1
<
lB
2
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Cabos Flexíveis
Cabos Parabólicos
Cabos Parabólicos
Em resumo, para os cabos parabólicos:
y(x) =
w0 2
x
2T0
q
T (x) = T02 + (w0 x)2
#
2 hA 2 2 hA 4
sA = lA 1 +
−
+··· ,
3 lA
5 lA
"
#
2 hB 2 2 hB 4
−
+··· ,
sB = lB 1 +
3 lB
5 lB
"
Leonardo Goliatt (MAC/UFJF)
MAC-015 Resistência dos Materiais
hA 1
<
lA
2
hB 1
<
lB
2
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Cabos Flexíveis
Cabos em Catenária
Programa
1
Cabos Flexíveis
Equação Diferencial dos Cabos
Cabos Parabólicos
Cabos em Catenária
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Cabos em Catenária
Catenária
A catenária é uma curva formada por um cabo flexível sujeito ao seu
próprio peso (uniformemente distribuído ao longo de seu comprimento).
Exemplo: linhas de transmissão de energia.
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Cabos em Catenária
Catenária
A diferença para os cabos parabólicos: a resultante dR é calculada
usando-se o comprimento s do cabo, não mais sua projeção horizontal.
O peso do cabo: µ kN/m.
Cabo Parabólico
dR = w(x)dx
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Catenária
dR = µds
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Cabos em Catenária
Catenária
A condição de equilíbrio do elemento infinitesimal:
+ ← ∑ Fx = 0 = −T cos θ + (T + ∆T ) cos(θ + ∆θ )
+ ↑ ∑ Fy = 0 = −T sen θ + (T + ∆T )sen (θ + ∆θ ) − µ(∆s)
+ ∑ MO = 0 = µ(∆s) ∆x
2 − T cos θ (∆y) + T sen θ (∆x)
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Cabos em Catenária
Catenária
Dividindo cada equação por ∆x,
considerando que ds2 = dx2 + dy2
e tomando o limite ∆x → 0, chegamos em
d(T cos θ )
= 0
dx
p
d(T sen θ )
= µ 1 + (y0 )2
dx
dy
= tan θ
dx
o que após alguma álgebra resulta na equação da catenária
q
µ
00
y =
1 + (y0 )2
T0
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Cabos em Catenária
Catenária
Para resolver esta equação diferencial, fazemos a transformação
senh z = y0 , onde senh z =
ez − e−z
2
e então temos
y00
=
d
senh z
dx
dz
cosh z
dx
dz
dx
z(x)
Leonardo Goliatt (MAC/UFJF)
=
=
=
=
p
µ
1 + (y0 )2
T0
p
µ
1 + senh 2 z
T0
µ
T0
cosh z
µ
T0
µ
x +C1
T0
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⇒
⇒
⇒
⇒
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Cabos em Catenária
Catenária
Considerando a origem no ponto mais baixo do cabo,
y(0) = y0 (0) = 0 ⇒ C1 = 0 e C2 = 0
y0 (x)
z(x)
=
= senh (z(x)) =
=
y(x)
e a catenária fica
Leonardo Goliatt (MAC/UFJF)
µ
x +C1
T0
µ
T0 x
senh Tµ0 x
=
z(x)
T0
y(x) =
µ
T0
µ
⇒
⇒
⇒
cosh Tµ0 x +C2
⇒
µ
cosh x − 1
T0
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Catenária
O comprimento no cabo fica
Z A
S=
ds =
B
Z xA q
1 + (y0 )2 dx
xB
Z xA r
1 + senh 2
=
xB
µx
dx
T0
T0
µx xA
S = sB + sA = senh
µ
T0 xB
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Catenária
A tração pode ser obtida através de
T cos θ
T dx
ds
T
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=
=
=
T0
T0
ds
T0 dx
q
1 + senh 2 µx
T0
⇒
⇒
⇒
⇒
T
= T0
T
=
T0 cosh Tµ0 x
⇒
T
=
T0 ( Tµ0 y + 1)
⇒
T
=
T0 + µy
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