130
GRAVTTAçÃO, ONDAS E TERMODINÂMICA
f =;,: #",
Ressonância
Ondas estacionárias numa cordã são geradas por reflexão das ondas que
se propagam nas pontas da corda. Ao fixarmos uma ponta, definimos a
posição de um nó neste ponto; se a deixarmos livre, será a posição de
um antinó. Essas condições limitam as possíveis freqüências das ondas
estacionárias numa determinada corda. Cada freqüência possível é uma
freqüência de ressonância e o padrão de onda estacionária correspondente é um modo de oscilação. Para uma corda esticada com extremidades fixas, as freqüências ressonantes são
paru
n:
1,2,3,
(17-56r
O modo de oscilação correspondente a n : | é chamado de modo fimdamental ou de primeiro harmônico; o modo correspondente a n -- 2 ê
o segundo harmônico; e assim por diante. A corda absorverá energia de
forma intensa se for agitada em uma das freqüências ressonantes
éo
- efenômeno de ressonância. Agitada em outras freqüências, ela absorr
rá pouca energia.
QUESTIONÁNIO
1. Como você poderia provar experimentalmente que energia pode ser
transportada por uma onda?
ser transferida por partículas bem como por ondas.
Como podemos distinguir experimentalmente esses métodos de transferência de energia?
2. Energia pode
3.
Pode ser gerado um movimento ondulatório onde as partículas do
meio vibrem num movimento harmônico simples angular? Em caso positivo, explique como e descreva a onda.
4. As seguintes
+
funções, nas quais A é uma constante, são da forma ft ("r
Dt):
,:A(rc-t)t),
l=A(x+'vt)z,
y:Affit,
l=Aln(x+vt).
Explique por que essas funções não são úteis para descrever movimentos ondulatórios.
-: E possível
5.
geÍar-se, numa corda, uma forma de onda que possua uma
descontinuidade de inclinação num ponto, isto é, fazendo um ângulo
agudo? Explique.
6. Compare o comportamento
de (a) um sistema massa-mola oscilando num movimento harmônico simples e (b) um elemento de uma corda esticada onde uma onda senoidal se propaga. Discuta do ponto de
vista de deslocamento, velocidade vetorial, aceleração e transferências
de energia.
estão no mesmo plano, diz-se que a onda Iempolarízação
plana.Pode-
rão existir deslocamentos em outro plano além do plano único que consideramos? Em caso afirmativo, será possível combinar ondas polarizadas em diferentes planos? Qual seria a aparência de tais ondas combinadas?
13. Uma onda transmite energia. Ela também transfere momento linear? Será possível transferir momento angular?
14. No terremoto da Cidade do México. de l9 de setembro de 1985.
áreas muito destruídas alternaram-se com áreas de pouca destruição.
Além disso, prédios de 5 a l5 andares foram os mais atingidos. Discuta
esses efeitos em termos de ondas estacionárias e ressonância.
15. Uma corda é esticada entre dois suportes fixos separados de uma
distância /. (a) Para quais harmônicos existirá um nó no ponto que dista
//3 de um dos suportes? Existirá um nó, um antinó ou uma condição intermediária num ponto que dista2ll1 de um dos suportes, se (b) o quinto harmônico foi gerado? (c) o décimo harmônico foi gerado?
16. As cordas A e B têm comprimentos e densidades linear idênticos.
mas a corda B está sob uma tensão maior do que a Á. Na Fig. 17-22.
mostram-se quatro situações, de (a) a (d), em que padrões de ondas estacionárias existem nas cordas. Em quais situações existe a possibilidade das cordas A e B oscilarem na mesma freqüência de ressonância?
Corda A
Corda B
(a)
7, A passagem de um barco a motor cria uma
perturbação que faz com
que ondas cheguem à praia. A medida que o tempo passa, o período das
ondas que chegam fica cada vez menor. Por quê?
(b\
8.
Quando duas ondas interferem, uma atrapalha a propagação da outra? ExpÌique.
9. Quando duas
ondas interferem, existe perda de energia? Justifique
(c)
sua resposta.
10. De acordo com a Fig. 17-15, duas vezes durante uma oscilação, a
configuração das ondas estacionárias numa corda esticada é uma linha
reta, como se a corda não estivesse oscilando. Onde está a energia da
onda estacionária nesses momentos?
(d)
Fig. 17-22 Questão
16.
11. Se duas ondas diferem somente em amplitude e se propagam em
sentidos opostos através de um meio, produzirão elas ondas estacionárias? Existirá energia transportada? Existirão nós?
12. Na discussão sobre ondas transversais numa corda, consideramos
deslocamentos num único plano; o plano xy. Se todos os deslocamentos
17. Violonistas sabem que, antes de um concerto, deve-se tocar um pouco
o violão e ajustar suas cordas porque, após alguns minutos de execução,
as cordas se aquecem e cedem
ligeiramente. Como esse pequeno afrouxamento afeta as freqüências de ressonância das cordas?
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y
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132
GRAVTTAçÃO, ONDAS E TERMODINÂMICA
de tensão S e da densidade volumétrica p, a velocidade de ondas transversais u, num fio, é dada por
2LE. Mostre que, em termos do esforço
f
228. A equação de uma onda transversal numa corda
):
(2,0 mm)
sen [
(20 m- t) x
A tensão na corda é 15 N. (a) Qual é
a
-
s
(600
e
a corda 1 tem uma densidade linear de 3,00 gm
a2 tem uma densidade linear de 5,00 g/m. Elas estão sob tensão derr
:
do a um bloco suspenso de massa M
500 g. (a) Calcule a velocid'*i'
de onda em cada corda. (b) O bloco é agora dividido em dois (com ma*<sl
M | + M2: W1, de acordo com a configuração daFig. 11-25b. Deternr
ne as massas M, e M, para que as velocidades de onda, nas duas cordsi
sejam iguais.
é
') t]
29P. Na Fig. 17-25a,
.
velocidade da onda? (b) Ache
a
densidade linear da corda em gramas por metro.
a
de uma corda vibrante é 1,6 x l0 kg/m. Uma
pela
seguinte
equapropaga
na
corda
e
é
descrita
onda transversal se
-l
(a)
(30
velocidade
(0,021
é
a
y
s-r)t].
m)
sen
m
Qual
[(2,0
ção:
')x
-da onda? (b) Qual é a tensão na corda?
23E. A densidade linear
24E. Qual
vés de um
é a onda transversal mais rápida que pode ser enviada atra-
fio de aço? Levando em consideração um fator de segurança
razoâve\, o esforço máximo de tensão a que fios de aço podem ser submetidos é 7,0
108 N/m2. A densidade do aço é 7.800 kg/m3. Mostre
que sua resposta independe do diâmetro do fio.
x
25P. Uma corda esticada tem uma massa por unidade de comprimento
l0 N. Uma onda senoidal nessa corda tem
uma amplitude de 0,12 mm e uma freqüência de 100 Hz e se propaga
no sentido de -r decrescente. Escreva uma equação para essa onda.
de 5,0 g/cm e uma tensão de
(á)
26P. Para uma onda numa corda esticada, ache arazão entre a velocidade máxima da partícula (a velocidade com que uma única partícula
na corda se move transversalmente à onda) e a velocidade da onda. Se
uma onda com uma certa freqüência e amplitude é transmitida pela corda, a razão entre velocidades dependeria do material de que é feita a
corda, por exemplo, metal ou náilon?
27P. Uma onda transversal senoidal está se propagando ao longo de uma
corda no sentido de x decrescente. AFig. 17-24 mostra um gráfico do
deslocamento como função da posição, no instante r : 0. A tensão na
corda é 3,6 N e sua densidade linear é 25 glm. Calcule (a) a amplitude,
(b) o comprimento de onda, (c) a velocidade de onda e (d) o período da
onda. (e) Ache a velocidade máxima de uma partícula da corda. (f) Escreva uma equação descrevendo a onda progressiva.
Fig. l7-25 Problema 29.
30P. Um fio de 10,0 m de comprimento
e de massa 100 g é tracionadc
por uma tensão de 250 N. Se dois pulsos, separados no tempo de 30.['
ms, são gerados, um em cada extremidade do fio, onde eles se encontrarão pela primeira vez?
31P. O tipo
de elástico usado no interior de algumas bolas de beiseboi
golfe obedece à lei de Hooke para uma larga faixa de alongamentt
do elástico. Um segmento desse material tem um comprimento (nãoesticado) / e uma massa r??. Quando uma força F é aplicada, o elástict
estica de um comprimento adicional A/. (a) Qual é a velocidade escalar
e de
(em termos de m, A/ e a constante elástica fr) das ondas transversais nesse
elástico? (b) Usando sua resposta em (a), mostre que o tempo necessá-
rio para um pulso [ansversal percorrer o comprimento do elástico
proporcional a ll I Al se A/ ( i eéconstante se A/ > /.
é
32P*. Uma corda uniforme
I
^o
-r0
-2
\
í
I
1
t
I
u : !Sl . (b) Mostre que o tempo que uma onda transversal leva para
percoÍrer o comprimento da corda é dado por t : 2\W
\
.
-4
-6
de massa rr e comprimento / está pendurada no teto. (a) Mostre que a velocidade de uma onda transversal na coÍda é função de -y, a distância até a extremidade mais baixa, e é dada por
Seção L7-8 Energia e Potência numa Onda Progressiva
l0 20 30 40 50 60 70
80
r (cm)
Fig. 17-24 Problema 27.
28P. Uma onda senoidal está se propagando numa corda com velocidade escalar 40 cm/s. O deslocamento de partículas da corda em x : l0
cm varia com o tempo, de acordo com a equação ) : (5,0 cm) sen [ 1 ,0
- (4,0 s -')tl. A densidade linear da corda é 4,0 glcm. Quais são (a) a
sua freqüência e (b) o seu comprimento de onda? (c) Escreva a equação
geral do deslocamento transversal das partículas da corda em função da
posição e tempo. (d) Calcule a tensão na corda.
33E. A potência P, é transmitida por uma onda de freqüência /, numa
corda sob tensão 7r . Qual é a potência transmitida P, em termos de P,
(a) se a tensão da corda for aumentada para r: 4r, e (b) se, ao invés.
a freqüência for diminuída para f . : f ,12?
34E. Uma corda
de comprimento 2,7 mtem massa de 260 g. A tensão
na corda é de 36 N. Qual deve ser a freqüência das ondas progressivas
de amplitude 7,7 mm para que a potência média transmitida seja 85 W?
35P. Uma onda senoidal transversal
é gerada numa extremidade de uma
longa corda horizontal, por uma barra que se move para cima e para baixo
entre extremos que distam 1,00 cm. O movimento é contínuo e repetido
I
'seluepuodsarroc s€rJ€uorJplse supuo sp ãJoqsg
ippJoJ
usseu sPrJBuorJ€lse sEpuo eJed srê^lssod epuo âp solueluudlüoc soSuol
slEru sgrl so o€s slenÒ'82-tl '8lC eu opErtsoru euJo.luoJ'olul? lues
âlseq PlUn êp o8uol oe r€zrlsop epod enb osed uâs IeuE un e eseJd e
?luod Erlno V 'eyrJ eprlu€lu g ruJ 0Z I ãp epJoc urun âp uluod eun .gZS
liy
ep sourrel rue epuo ep olueruudutoc o (q) â €/ ap sow
-Jet uã op5epcso ep urcugnber; e (e) gres pnb 'ocrugru;eq oJrâcrât Lru
'telrJso u epe^el eluâruulou Bp toc e altp : r.r ured epelueurn€ loJ opsua
e ãS 'ty €puo âp olueurudruoc ruel BpJoc eu sepuo su e 'tl urcugnbaq
eun ruoc oJrugtuJ€q oJreclel ou elrcso 1r oesuel qos €ploc €tun .3Ut
'JOrJeluu
i
tuêlr op sâo5rpuoc s€lusêtu suu 'ssuguor)?lsâ sspuo rueznpold enb
sepuo sep sstJu?nbê{ se (c) ã orJ essâu 'ppuo ep soluãrurJdruor soreu
slop â tUn rüoJ 'serJeuorJelsâ supuo ruêznpoJd ânb epuo âp solusurJd
-tuoJ so (q) 'org ou sppuo sup âp€prrolâ^ e (e) a1nc1e3 .l€rqr^ e ope^
-el e sâpupnüãllxâ se sequu rua o:n8es elueruupr8rr g oU O 'N 0ZI ep
eun qos oprtusru g â 3 OL'g uss€u tuâl ru 0ç,I ep ou lun .gls
ogsuãt
aN 0çz ep ogsuet
etun qos opeJrlsã a anb e 3 661 usseru uel ânb ru 0'0I ep orJ rrrnu su
-Irpuorcelse supuo e'ted sexr?q sreu serJu?nbê{ sgJl sE oES sren} .ggg
€rJuguosseu a sEuguol'slsg sBpuo
€I-tI
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'per
7,lrL ep ase; ep e5ueJeJrp e ruJ 0't e ruc 0'g ep sepntqdruu rugl 'erouggb
-ê{ erusãtu Iuânssod'oprlues ourseu ou ue8udo:d as enb sreprouês s€purì
senp ep og5eurquoc up atuullnsãr epuo up epnlrlduru u euuureteq
.*dll
'ecseJc
I
uâ ãluellnser upuo
enb uprperu e oluerueuodruoJ nês o elnJsrp e 0 = j
ãp eruJoJ e âr{uâseq euunb e e epun8es e tuoJ ãse-;
ãperoJ.08l oglsã€puoeJrãJlâle eeJrãrurJdu'6
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/ opuenÒ
'aluauu,rrlcedsãr 'V/11l:al11 ap op5:odo:d B optse sâpnlrldue sen;
ep oe5:odo;d e oplse sur:uenbo4 sens 'epJoc Eruseru up o8uol
ï ep oprlues ou ruuSedord es sr€proues sepuo o.r1un| .46ç
e
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etcugnberg exreq sruru e 9
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(q) òeproJ ussau upuo up âpeptJole^
Eg
1en| (u) 'soxq seyodns srop êrluã N 00'l êp opsuâl eun qos €pecusê g
3 66'7 esseu ruel uc ç71 u pnSr olueuudtuoc ãp Epror erufì .g6t
ulg
'seluapuodser
-ro3 sBuPuorculsã sepuo se âJoqsg iupJoJ esseu wusuorJetse sepuo e:ed
sta,r,rssod so8uoy sreu €puo ep soluerurrdruoc seJl so ops sren| .soxr;
sauodns ârluã epecÌlse 9 olueruuduroc ep tuc 0ZI âp uploc elun .ggt
:
'ecsêJf, I anb eprpeu q oluãul
-uuoduroc nes o elnJsrp ê âluellnsâr €puo ep eruJoJ u âquâsaq 'ãluãrue \
-rtcadse: 'JL e ZlrL'0 oes srerJrur seseJ ssns ã
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134 cRAVrrAçÃo,
oNDAS E TERMoDTNÂrurca
59P. Duas ondas numa corda são descritas pelas equaçòes
yr
y2:
Fig. 17-28 Exercício 52.
53E. A corda Á está esticada entre dois grampos separados por uma distância /. A corda B. de mesma densidade linear e submetida à mesma
tensão que a corda Á, está esticada entre dois grampos separados por
uma distância 4/. Considere os primeiros oito harmônicos da corda B.
se algum
tem uma freqüência de ressonância igual a
Qual deles
alguma freqüência de ressonância de A?
-
-
:
54P. Duas ondas estão se propagando
na mesma corda, muito comprida. Um vibrador no extremo esquerdo da corda gera uma onda dada por
(0,10 m) sen
Q,ZO
2z [(0.50 ttr- t)x
m) sen 2z'[(O50
*
m-t)x -
Esboce a resposta total para o ponto da corda em r
senhe o gráfico de y versus / para esse valor de x.
:
3,0 m; isto é.
d*
,l
60P. Uma corda de 3,0 m
de comprimento está oscilando na forma
uma onda estacionária de três meios comprimentos de onda, cuja amplitude é 1 ,0 cm. A velocidade escalar da onda é de 100 m/s. (a) Qual
a freqüência? (b) Escreva equações para duas ondas que, combinadar
resultem nessa onda estacionária.
:
61P. A vibração de um diapasão a600Hz estabelece ondas estacioní
)
:
(6,0 cm) cos
enquanto um outro
i
no.",r"rnl
ttr.o
m
rias numa corda presa nas duas extremidades. A velocidade escalar,La
onda na corda é 400 m/s. A onda estacionária tem dois comprimenrt.
de onda e uma amplitude de 2,0 mm. (a) Qual é o comprimento da corda? (b) Escreva uma equação para o deslocamento da corda em funçãr
r;x + (8.0 s t)rl,
direito da corda gera a onda
da posição e do tempo.
,:
(6,0 cm) cos
22' Ur,O m-,)x -
(8,0
s r)ll.
62P. Numa experiência com ondas estacionárias, uma corda
(a) Calcule a freqüência, o comprimento de onda e a velocidade escalar
de cada onda. (b) Determine os pontos onde não existe movimento (os
nós). (c) Em quais pontos o movimento da corda é máximo?
55P. Uma corda oscila de acordo com a equação
1
:
(0,50 cm)
["" (;',"-') ']
cosr(4oz
s
63P. Considere uma onda estacionária que
:
:
é a soma de duas ondas idênticas se propagando em sentidos opostos. Mostre que a energia cinética
máxima em cada meio comprimento de onda dessa onda estacionária é
2dpty'z,,,f u.
56P. Uma corda está esticada entre suportes fixos separados por 75,0
cm. Observou-se que tem freqüências ressonantes em 420 e 315 Hz
tz----1
e
nenhuma outra neste intervalo. (a) Qual é a freqüência de ressonância mais
baixa dessa corda? (b) Qual é a velocidade de onda para essa corda?
se
cn
da?
-Ì)ll.
(a) Quais são a amplitude e a velocidade escalar das ondas cuja superposição dá essa oscilação? (b) Qual é a distância entre os nós? (c) Qual é a velocidade escalar de uma partícula da corda na posição -r
1,5 cm quando I
(9/8)s?
57P. Duas ondas senoidais transversais
de 90
de comprimento está conectada ao terminal de um diapasão elétrico:
oscilando perpendicularmente ao seu comprimento, na freqüência de
60H2. A massa da corda é 0,044 kg. (a) A que tensão deve a corda estar submetida (pesos estão presos na outra ponta) para ela vibrr
com dois comprimentos de onda? (b) O que aconteceria se o diapasãc
fosse girado de forma a vibrar paralelamente ao comprimento da cor-
-rr---*F----
propagam em sentidos opos-
tos ao longo de uma corda. Cada onda tem uma amplitude de 0,30 cm e
um comprimento de onda de 6,0 cm. A veÌocidade escalar de uma onda
transversal na corda é 1.5 m/s. Desenhe a forma da corda nos instantes
t 0(arbitrário), r :5,0, t 10, t 15 e I 20ms.
:
:
58P. Dois pulsos
:
:
propagam ao longo de uma corda em sentidos opostos, como naFig. 17-29. (a) Se a velocidade de onda u é 2,0 m/s e os pulsos estão a uma distância de 6,0 cm em /
0, esboce os padrões resultantesparaÍ 5,0, 10, 15,20 e25ms. (b) Oque aconteceucom aenergiaem
15ms?
Fig. 17-30 Problema 64
se
:
:
t:
f.------6,0 crrr--_--i
\5
64P. Um fio de alumínio de comprimento /,
:
60,0 cm com área da
seção transversal igual a 1,00
l0 2 cmr e densidade 2,60 g/cmr é conectado a um fio de aço, de densidade 7,80 g/cmr e mesma área de seção transversal. O fio composto é conectado a um bloco de massa rr
10,0 kg, conforme a Fig. 17-30, de forma que a distância /, entre a junção e a roldana de suporte seja 86,6 cm. Ondas transversais são estabe-
x
:
lecidas no fio usando-se uma fonte externa de freqüência variável. (a)
Ache a mais baixa freqüência de vibração que dará origem a uma onda
estacionária com nó no ponto de junção. (b) Quantos nós são Observa-
Fig. 17-29 Problema 58
dos nessa freqüência?
ôorâz epuprJole^ glet 0 = Íruã slncJued e s 0ç,0> /
0 olB^relur
ou sãtuutsur srenb urg (q) ;gu un e apuodse:roc enb r ep= o,rrlrsod:o1
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Í rüê elncyued ep olueueJolsãp O .ulleJlp e e-red opue8edord es ulse
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log5elcso ep opoped
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-ud runu lulrJso epJoJ E ãS (p) ò€proc ep Essuru e (c) a uproc EU sppuo
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