Conjuntos e Funções - Lista I
Prof. Dr. Caius Lucius Selhorst
3 de Fevereiro de 2011
1. Sejam A = {1, 3, 5, 7}, B = {5, 7, 9, 11} e C =
{3, 7, 9, 13}. Determine:
8. Se A e B são dois conjuntos não vazios tais que:
A∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A−B = {1, 3, 6, 7}
e B − A = {4, 8} então qual o conjunto A ∩ B?
(a) A − B
9. No concurso para a Petrobrás foram entrevistados 979 candidatos, dos quais 527 falam a
lı́ngua inglesa, 251 a lı́ngua francesa e 321 não
falam nenhum desses idiomas. Qual o número
de candidatos que falam as lı́nguas inglesa e
francesa?
(b) C − A
(c) B − C
(d) A ∩ (B ∪ C)
(e) B − A
(f) (A ∪ B) − C
10. Uma pesquisa de mercado sobre a preferência
de 200 consumidores por três produtos P1, P2
e P3 mostrou que, dos entrevistados, 20 consumiam os três produtos; 30 os produtos P1 e P2;
50 os produtos P2 e P3; 60 os produtos P1 e P3;
120 o produto P1; 75 o produto P2. Se todas
as 200 pessoas entrevistadas deram preferência
a pelo menos um dos produtos, pergunta-se:
2. Escreva os conjuntos a seguir:
(a) A = {x ∈ R|x2 = 16}
(b) B = {x ∈ N|x ≥ 2}
(c) C = {x ∈ Z|x < 4}
(d) D = {x ∈ N|x + 3 = 0}
(e) E = {x ∈ Z| − 2 < x < 2}
(a) Quantas consumiam somente o produto
P3?
3. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {3, 4} e
C = {1, 2, 4}, determinar o conjunto X tal que
X ∪ B = A ∪ C e X ∩ B = ø.
(b) Quantas consumiam pelo menos dois dos
produtos?
(c) Quantas consumiam os produtos P1 e P2,
e não P3?
4. Determinar o conjunto X tal que:
{a, b, c, d} ∪ X = {a, b, c, d, e},
11. Numa prova constituı́da de dois problemas, 300
alunos acertaram somente um deles, 260 o segundo, 100 alunos acertaram os dois e 210 erraram o primeiro, quantos alunos fizeram a
prova?
{c, d} ∪ X = {a, c, d, e}, e
{b, c, d} ∩ X = {c}.
5. Classifique em V ou F:
(a) (A − B) ∪ (B − A) = (A ∪ B) − (A ∩ B)
(c) (A − B) ⊂ A0
12. Digamos que um conjunto A tem 10 elementos
e um conjunto B tem 20 elementos. Quantos
elementos A ∪ B pode ter?
(d) (A − B) ⊂ B 0
13. Classifique em V ou F:
(b) A ⊂ B =⇒ B 0 ⊂ A0
6. Determine A∪B, A∩B e A−B, sabendo-se que
A = {x ∈ N|2 ≤ x < 9} e B = {x ∈ N|x ≤ 7}
(a) N ∪ Z− = Z
(b) (2 − 3) ∈ Z+
7. Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença simétrica de A com B o conjunto A∆B =
(A − B) ∪ (B − A). Determine A∆B, sendo
A = {a, b, c, d} e B = {c, d, e, f, g}. Desenhe
o diagrama de Euler-Venn que represente esse
problema, assinalando a região correspondente
à diferença simétrica.
(c) Z+ ∪ Z− = ø
(d) 0 ∈ Z−
(e) N ⊂ Z
(f) (−3)2 ∈ Z−
14. Classifique em V ou F:
1
(a) 0.47474747 ∈ Q
20. Utilizando a representação gráfica dos intervalos sobre a reta real, determinar A ∪ B e A ∩ B
sendo A = [0, 3] e B = [1, 4]
(b) Z ⊂ Q
(c) 1 ∈ (Q − Z)
21. Determine e represente graficamente os seguintes conjuntos em <:
(d) { 47 , 11
3 }⊂Q
(e)
14
2
∈ (Q − Z)
(a) [0, 2] ∩ [1, 3]
(f) r ∈ Q =⇒ −r ∈ Q
(b) [0, 2] ∩ (1, 3)
15. Coloque os seguintes números racionais em
forma de fração irredutı́vel:
(c) (−1, 52 ) ∩ (0, 34 )
(d) (−∞, 2] ∩ [0, +∞)
(a) 0, 4444...
(e) [−1, +∞) ∩ [− 29 , 2)
(b) 0, 32
(f) [1, 2] ∩ [0, 3] ∩ [−1, 4]
(c) 0, 32323232...
22. Efetue:
(d) 54, 2
(a) x12 x7 =
(e) 4, 423423423...
(b) x3 x9 /x10 =
(f) 0, 6666...
(c) (3x)3 =
(g) 2, 958888...
(d) 3x3 x−3 =
16. Represente sobre uma reta orientada os
números racionais a seguir: −2, − 32 , −1, − 41 ,
0, 23 , 1, 43 , 2, 37 e 62 .
(e) 7x10 /2x11 =
(f) (3x/2)3 =
(g) (2x4 )5 =
17. Resolver as seguintes equações na incógnita x:
(h) (x3 )4 x4 =
(a) 5x + 10 = 13
(i) [(2x2 )3 ]4 =
(b) 4x − 12 = 7
(j) 2x.3y.x3 .y 5
(c) 6 + 4x = −3
(k) (x2 y 4 z 3 x−1 )/(y 3 z 2 )
(d) 2 − x = 1
(l) (−3y)y 5
(m) −(−z 3 /2)(−8z)2
(e) 5 = 4 − 4x
(n) (4rs2 )(−3xr3 )
18. Verdadeiro ou falso?
(o) y 4 (−1)3 x3 y 3
c
2
(p) (−x)6 /(−x)3
(b) Se a + b + c + d = c + d + k + a então b = k
(q) (−x6 )/(−x3 )
(a) Se 3a + 2b + 12 = 3a + c + 12 então b =
(c) Se 1 + 3x + a − 4y = a + 1 então 3x = −4y
23. Verdadeiro ou falso:
(d) Se 3a + 2y + 3 = 3b + 2c + 3 então a + y =
b+c
(a) Para todo real a, tem-se −(−a+8) = a+8
(b) Para todo real a, tem-se −(−5+a) = 5−a
(e) Se ab + 4z + ac = 4z + 4a então b + c = 4
(c) Para todo real a, tem-se −(−a − 17) =
a − 17
19. Responda:
(a) Quantos números
entre 1 e 10?
Naturais
existem
(d) Para todo real a, tem-se −(a + 1/2) =
−a − 1/2
(b) Quantos números Inteiros existem entre
1 e 10?
(e) Para todo real a, tem-se −1−a = −(a+1)
(f) Para todo real a, tem-se −(1−a) = −a−1
(c) Quantos números Reais existem entre 1
e 2?
24. Verifique se cada igualdade abaixo é verdadeira
ou falsa:
(d) Quantos números Reais existem entre 1
e 1,1?
(a) (4 − x)4 = 16 − 4x
(b) z(−z − w) = −2z − 2w
(e) Quantos números Reais existem entre 0
e 0,00001?
(c) −a(b − c) = −ab − ac
2
(d) a(5 − b) = 5a − b
(c) o domı́nio e a imagem de R
(e) (−4)(a − b) = −4a + 4b
35. Enumerar os elementos de R−1 , relação inversa
de R, nos seguintes casos:
25. Sob quais condições nos conjuntos A e B será
verdade que A × B = B × A?
(a) R = {(1, 2), (3, 1), (2, 3)}
26. Calcular a distância entre os pontos A(−2, 5) e
B(4, −3).
(b) R = {(1, −1), (2, −1), (3, −1), (−2, 1)}
27. Calcular a distância do ponto P (−6, 8) à origem do sistema cartesiano.
36. Dados os conjuntos A = {x ∈ <| 1 6 x 6
6}, B = {y ∈ <| 2 6 x 6 10} e as seguintes
relações binárias:
(c) R = {(−3, −2), (1, 3), (−2, −3), (3, 1)}
28. Calcule o perı́metro do triângulo ABC, sendo
dados A(2, 1), B(−1, 3) e C(4, −2).
(a) R = {(x, y) ∈ A × B| y = x}
(b) S = {(x, y) ∈ A × B| y = 2x}
29. Determinar x de modo que o triângulo ABC
seja retângulo e representa-lo no plano cartesiano. São dados: A(4, 5), B(1, 1) e C(x, 4).
(c) T = {(x, y) ∈ A × B| y = x + 2}
(d) V = {(x, y) ∈ A × B| x + y = 7}
30. Dados os conjuntos A = {1, 3, 4}, B = {−2, 1}
e C = {−1, 0, 2}, representar pelos elementos e
pelo gráfico cartesiano os seguintes produtos:
pede-se o gráfico cartesiano dessas relações e
das respectivas relações inversas.
37. Construir o gráfico cartesiano das funções de <
em <:
(a) A × B
(b) B × A
(a) x = 4
(c) A × C
(b) y = 3
(d) C × A
(c) y = x
(e) B 2
(d) y = 2x
(f) C 2
(e) y = −3x
31. Dados os conjuntos
A = {x ∈ < |1 6 x 6 3}
B = {x ∈ < | − 2 6 x 6 2}
C = {x ∈ < | − 4 < x 6 1}
representar graficamente os seguintes produtos:
(f) y = 3x + 2
(g) y = −2x + 1
38. Resolver analı́tica e graficamente os sistemas
de equações:
x − y = −3
(a)
2x + 3y = 4
x+y =5
(b)
x−y =1
2x − 5y = 9
(c)
7x + 4y = 10
x + 2y = 1
(d)
2x + 4y = 3
(a) A × B
(b) A × C
(c) B × C
(d) C × B
(e) A2
(f) C 2
32. Sabendo que {(1, −2), (3, 0)} ⊂ A2 e #(A2 ) =
16, represente, pelos elementos, o conjunto A2 .
39. Obter a equação da reta que passa pelos pontos
(1, 2) e (3, −2).
33. Se A = {0, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} qual é
o domı́nio e a imagem da relação R = {(x, y) ∈
A × B | y é múltiplo de x}?
40. Obter a equação da reta que passa pelo ponto
(1, 3) e tem coeficiente angular igual a 2.
34. Se R é a relação binária de A = {x ∈ <| 1 6
x 6 3} em B = {y ∈ <| 1 6 y 6 4}, definida
por R = {(x, y) ∈ A × B| y = 2x}. Pede-se:
(a) a representação cartesiana de A × B
(b) a representação cartesiana de R
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