Parabéns aos alunos do CPV,
o curso que mais aprova na GV.
1º lugar
Rafael Martini Bueno Ávila
3º lugar
4º lugar
7º lugar
8º lugar
Matthew Glenn McLendon
Ibrahim Estephan Neto
Saulo Taffarello Pinotti
Thiago Temer Santelmo
O CPV aprovou 149 dos 700 alunos para a 2a Fase-GV,
concorrendo com apenas 210 dos 2460 inscritos.
ResoluÇão de Raciocínio Matemático
01. a) Num triângulo equilátero ABC, unindo-se os pontos médios de
AB e de AC , obtém-se um segmento de medida igual a 4cm.
Qual a área do triângulo ABC ?
b) Num triângulo retângulo ABC, de hipotenusa BC , a altura
relativa à hipotenusa é AH . Se BH = 3 cm e HC = 8 cm, qual
a medida do cateto AC ?
Resolução:
a) Se MN = 4 cm, então BC = 8 cm.
S=
A
2
3 = 64 3 ⇒
4
M
N
4
A área do ∆ABC é 16 3 cm2.
C
B
b) Temos que: b2 = a . n
portanto x2 = 11 . 8 = 88
b=x
h
A medida de AC é
2 22 cm.
m=3
B
C
a = 11
02. O Sr. Macedo possui uma loja de sapatos. Cada par é comprado por
um certo valor e é vendido com uma margem de contribuição (diferença
entre o preço de venda e de compra) igual a 30% do preço de venda.
a) Se cada par for vendido por R$ 60,00, qual o preço de compra?
b) Se o preço de compra for de R$ 40,00, qual a margem de
contribuição, expressa como porcentagem do preço de compra?
Resolução:

 V=C+L
C: preço de compra

V: preço de venda
 V = C + 0,3V
L: margem de contribuição (lucro) 
a) V = 60
V – 0,3V = C ⇒ C = 60 – 18 = 42
O preço de compra é R$ 42,00 o par.
b) C = 40
 1000 = a (3) + b
 para x = 3 ⇒ y = 1000
 para x = 4 ⇒ y = 800 ⇒  800 = a (4) + b


–810
x = xv = 2 (–180) = 2,25.
n=8
H
a) Chamando de y o número de carros que passam por dia e de x
o preço do pedágio por carro, expresse y em função de x.
b) Se a relação fosse y = –180 x + 810, qual o preço que maximizaria
a receita diária do pedágio ?
Resolução:
a) Vamos admitir que a relação entre y e x represente uma função
polinomial de 1o grau (embora os dados do enunciado não
permitam tirar essa conclusão).
Temos que: y = ax + b
De onde: a = –200 e b = 1600
logo: y = –200 x + 1600
b) Supondo que o número diário de carros seja y = –180 x + 810,
a receita diária é R = x . y = x (–180 x + 810) = – 180x2 + 810x.
A receita será máxima quando o preço do pedágio x for igual a:
A
x = 2 22
03. A administração de uma auto-estrada observou que, quando o preço
do pedágio por carro é R$ 3,00, passam por dia 1 000 carros. Além
disso, a cada R$ 0,10 a mais no preço do pedágio, passam 20 carros
a menos por dia.
L
=?
C
40
V = 40 + 0,3V ⇒ (1 – 0,3)V = 40 ⇒ V =
0,7
1,2
12
L
40
0,7
≅ 0,429 ⇒ L ≅ 42,9%C
= 0,7 ⇒
=
L = 0,3 .
C
40
0,7
A margem de contribuição é aprox. 42,9% do preço de compra.
A receita será máxima para o pedágio custando R$ 2,25.
04. Conhecidas as relações trigonométricas
cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b e
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a,
a) Obtenha, justificando, a expressão de cos 2x em função de cos x.
b) Obtenha, justificando, a expressão de tg (a + b) em função de
tg a e tg b.
Resolução:
a) Na 1a relação dada, fazendo b = x e a = x
cos (x + x) = cos x . cos x – sen x . sen x
cos 2x = cos2x – sen2x = 2 cos2x – 1
sen θ
:
b) Lembrando que tg θ =
cos θ
sen (a + b)
sen a . cos b + sen b . cos a
tg (a + b) = cos (a + b) = cos a . cos b − sen b . sen a
Dividindo o numerador e o denominador por (cos a . cos b):
sen a
cos a
tg(a+b) =
cos a
cos a
sen a
. cos b sen b . cos a
+
+
cos a
. cos b cos a . cos b
=
sen a
. cos b sen b . sen a
1−
−
cos a
. cos b cos a . cos b
tg a + tg b
Logo: tg (a + b) = 1 − tg a . tg b
sen b
cos b
sen b
.
cos b
05. a) Uma senha de um banco é constituída de 3 letras escolhidas entre as
26 do alfabeto, seguidas de 3 algarismos, escolhidos entre os
10 algarismos de 0 a 9. Quantas senhas podem ser formadas usando-se 3 vogais e 3 algarismos pares ?
b) Um professor precisa elaborar uma prova de matemática com
5 questões, sendo uma de trigonometria, duas de álgebra e duas de
geometria. Ele dispõe de 3 questões de trigonometria, 6 de álgebra e
5 de geometria. De quantas formas a prova pode ser elaborada, não se
levando em conta a ordem das questões ?
08. Neste ano (2002), estima-se que o PIB (Produto Interno Bruto) de um
país seja 400 bilhões de dólares. Daqui a t anos, estima-se que o PIB
seja 400(1,05)t bilhões de dólares.
a) Em quantos bilhões de dólares crescerá o PIB entre 2009 e
2010 ?
b) Para que valores de t, o PIB superará a marca dos 800 bilhões de
dólares ?
Obs.: não é necessário fazer as contas; deixar o resultado indicado.
Resolução:
Resolução:
a) Há 5 vogais e 5 algarismos pares disponíves. Um grupo ordenado de
3 vogais (podendo haver repetição) pode ser formado de
53 = 125 modos. Um grupo ordenado de 3 algarismos pares (também
podendo haver repetição) pode ser escolhido de 53 = 125 modos.
Podem ser formados 125 x 125 = 15 625 senhas.
b) Número de possibilidades de escolher:
1o) 1 questão de trigonometria: C3,1 = 3
2o) 2 questões de álgebra:
C6,2 = 15
3o) 2 questões de geometria: C5,2 = 10
Para elaborar a prova, existem 3 x 15 x 10 = 450 formas.
a) PIB (2009) = 400 (1,05)7
PIB (2010) = 400 (1,05)8
∴PIB (2010) – PIB (2009) = 400 (1,05)7 (1,05 – 1) = 20 (1,05)7
O PIB entre 2009 e 2010 crescerá em US$ 20(1,05)7 bilhões.
b) PIB (t) = 400 (1,05)t > 800 ⇒ (1,05)t > 2
O PIB superará US$ 800 bilhões para t > log1,052.
09. a) Sejam r1, r2 e r3 as raízes da equação x3 – 4x2 + 6x – 1 = 0. Calcule
o valor da expressão:
06. a) Uma urna contém 1 000 bolinhas numeradas de 1 a 1 000. Uma
bolinha é sorteada. Qual a probabilidade de observarmos um múltiplo
de 7 ?
b) Se a urna contivesse 10 bolinhas numeradas de 1 a 10, e duas fossem
sorteadas simultaneamente sem reposição, qual a probabilidade de
que a soma dos números observados fosse 8?
b) Resolva a equação x3 – 2x2 – 5x + 6 = 0, sabendo que a soma de duas
raízes vale 4.
Resolução:
a) Temos que
Resolução:
O valor de
a) Os múltiplos de 7 entre 1 e 1000 formam a
PA (7, 14, 21, 28, ..., 994), a qual tem 142 termos.
A probabilidade de observarmos um múltiplo de 7 é
p=
142
71
=
1000 500
b) Há C10,2 = 45 duplas possíveis de bolas a serem sorteadas.
Os casos em que a soma dos números observados é 8 são:
(1; 7), (2; 6) e (3; 5), em número de 3.
A probabilidade da soma dos números ser 8 é p =
3
1
=
45 15
x
x
x
+
–
+ ... = 8 ,
4 16 64
onde o 1o membro é a soma dos termos de uma progressão geométrica
infinita.
b) Numa progressão geométrica infinita, a soma dos termos de ordem
par é 10/3, ao passo que a soma dos termos de ordem ímpar é 20/3.
Obtenha o 1o termo e a razão dessa progressão.
07. a) Resolva a equação x –
r1 + r2 + r3 = 4
r1 . r2 . r3 = 1
1
1
1
r + r2 + r1
4
+
+
= 3
=
é 4
r1 .r2 r1 .r3 r2 .r3
r1 .r2 .r3
1
b) Sejam α, β e γ as raízes da equação x3 – 2x2 – 5x + 6 = 0.
Então, α + β = 4 (I)
Temos que
α + β + γ = 2
(II)
α.β.γ = –6
(III)
Substituindo (I) em (II) temos 4 + γ = 2 ⇒ γ = –2 (IV)
Substituindo (III) em (IV) vem α . β = 3 (V)
De (I) e (V) temos α = 1 e β = 3
∴ S2 {1; 3; –2}
10. a) No plano cartesiano, mostre que as retas de equações
x – y – 1 = 0
4x – y – 10 = 0
2x + y – 8 = 0
concorrem num mesmo ponto e obtenha esse ponto.
b) Discuta, em função do parâmetro m, a posição relativa das retas de
equações
3x – 2y – 5 = 0
mx – y + 2 = 0
Resolução:
a) A intersecção das duas primeiras retas é dada pela solução do sistema
Resolução:
1
a) Na PG infinita, temos: a1 = x e q = – .
4
Como S =
1
1
1
+
+
r1 . r2 r1 . r3 r2 . r3
x
a1
, de onde se obtém x = 10.
, resulta 8 =
1
1– q
1+
4
b) A soma a2 + a4 + a6 + ... corresponde a uma PG infinita e seu limite
a2
a1 .q
10
é
. Daí , obtemos
=
(1)
2
2
3
1– q
1– q
A soma a1 + a3 + a5 + ... corresponde também a uma PG infinita e seu
a1
a1
20
=
. Então,
limite é
(2)
1 – q2
3
1 – q2
De (1) e (2) obtemos q =
1
e, em seguida, a1 = 5.
2
x − y − 1 = 0

isto é, é o ponto P(3; 2).
4x − y − 10 = 0
A terceira reta (2x + y – 8 = 0) não é paralela nem coincidente
com qualquer das outras duas e passa por P: 2 . (3) + (2) – 8 = 0
Isto mostra que as três retas concorrem no ponto P(3; 2).
b) 1o) Se
3
m −1
, as retas são concorrentes e isto ocorre se m ≠ .
≠
2
3
−2
2o) Se m =
3x − 2y − 5 = 0
3

as equações ficam  3
2
 2 x − y + 2 = 0
3x − 2y − 5 = 0
isto é, 
e as retas são, portanto, paralelas.
3x − 2y + 4 = 0
Para m ≠
3
3
as retas são concorrentes; para m = , são paralelas.
2
2
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