SOLUCÃO DAS ATIVIDADES COM VARETAS
Em todas as atividades é usado o Material: Varetas.
Nos casos específicos onde o trabalho é realizado com varetas congruentes será especificado como
Material: varetas do mesmo comprimento. Neste caso, cada vareta representa um segmento de uma
unidade de comprimento. Notação: uma unidade, 1u.
Observação. Em casos onde é utilizado o Material: varetas do mesmo comprimento, chamamos,
respectivamente, de triângulo equilátero de ordem n e quadrado de ordem n a esses polígonos se
eles têm todos os lados formados por n varetas congruentes, isto é, se cada um dos lados desses
polígonos mede n unidades, nu.
1. Representação de retas paralelas e de retas concorrentes.
i. Retas paralelas
ii. Retas concorrentes
2. Representação de planos mediante retângulos e das regiões do plano determinadas por conjuntos
formados por 1 reta (I), por 2 retas (II) e por 3 retas (III). As regiões do plano têm identificação
numérica.
I
II
III
Representação em tabela.
Retas
Regiões no plano
1
2
2
4
3
7
4
11
5
16
1
3. Representação de pontos de intersecção possíveis em conjuntos de retas dados.
Retas
Pontos de intersecção das retas
3 retas
0 ponto
1 ponto
2 pontos
3 pontos
Não existe
4 retas
0 ponto
4pontos
1 ponto
2 pontos
3 pontos
Não existe
Não existe
5 pontos
0 ponto
1 ponto
2 pontos
3 pontos
4 pontos
5 pontos
6 pontos
7 pontos
8 pontos
9 pontos
10 pontos
5 retas
2
4. Regiões poligonais justapostas no plano, determinadas por quatro, cinco ou seis retas:
Representação dos dados em tabela.
Retas
4 5 6
Regiões poligonais 3 6 10
5. Classificação e representação de poligonais:
i. Aberta simples
ii. Aberta não simples
iii. Fechada simples
iv. Fechada não simples
3
6. Classificação e representação de ângulos:
i. Ângulo agudo
ii. Ângulo reto
iii. Ângulo obtuso.
7. Pares de retas perpendiculares entre si:
8. Representação dos ângulos retos formados por dois, três, quatro, cinco ou seis retas.
Representação dos dados em tabela.
Retas
2 3 4 5 6
Ângulos retos 4 8 16 24 36
4
9. i. Ângulos opostos pelo vértice
ii. Ângulos complementares
iii. Ângulos suplementares
10. Classificação de polígonos pela convexidade:
i. Polígono convexo
ii. Polígono não convexo.
11. Classificação dos polígonos pelo número de lados:
triângulo
hexágono
quadrilátero
pentágono
heptágono
5
12. Representação das diagonais de polígonos.
13. O número N de diagonais de um polígono P com n lados é dado por:
(Número de diagonais do polígono P)
N=
n(n−3)
2
14. Polígono equiangular e não equilátero. Este polígono tem dois pares de lados de diferente
comprimento. Os lados opostos são iguais.
15. Polígono equilátero e não equiangular. Este polígono tem dois ângulos agudos e os outros dois
ângulos são obtusos. Os ângulos opostos são iguais.
16. Um método para efetuar a soma das medidas dos ângulos internos de polígonos convexos
consiste na triangulação do polígono. A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é
igual a 180º, portanto a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono e igual ao produto
do número de triângulos que contém vezes 180º.
6
17. A soma S das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo P de n lados é dada por:
S = (n-2) 180
18. Representação dos ângulos externos de um pentágono convexo.
A soma S dos ângulos externos de um pentágono convexo é igual a:
S = 360º
19. A soma S das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo de n lados é dada por
S = 360º
20. Representação de polígonos regulares convexos, ordenados pelo número de lados.
triângulo equilátero
hexágono regular
quadrado
pentágono regular
heptágono regular
octógono regular
21. A medida de um ângulo interno 𝛼̂ de um polígono convexo regular de n lados é dada por
med(𝛼̂) =
(𝑛−2) 180
𝑛
7
22. Na figura estão representados os seis ângulos centrais do
hexágono regular, todos eles com vértice no centro do polígono.
Todos os ângulos centrais de um polígono regular têm a mesma
medida. Um ângulo central 𝛼̂ do hexágono regular mede
360
6
, isto é,
med(𝛼̂) = 60º.
23. Representação de polígonos regulares não convexos.
decágono regular não convexo
dodecágono regular não convexo
24. Classificação de triângulos pelos lados.
triângulo equilátero
triângulo isóscele
triângulo escaleno
25. Classificação dos triângulos pelos ângulos.
triângulo acutângulo
triângulo retângulo
triângulo obtusângulo
8
26. Representação de triângulos justapostos no plano que são determinados por três, por quatro, por
cinco ou por seis retas.
Representação dos dados em tabela.
Retas
3 4 5 6
Triângulos 1 2 5 7
27. Representação e classificação dos triângulos.
Triângulo
Equilátero
Acutângulo
Retângulo
Obtusângulo
Não existe
Não existe
Isóscele
Escaleno
9
28. Construção de triângulos equiláteros de ordem um, de ordem dois, de ordem três e com divisões
internas para a formação de todos os triângulos de ordem um possível.
Os resultados da contagem do número de varetas utilizadas na construção de cada triângulo e da
contagem do número de triângulos de lado 1u contidos em cada um dos triângulos construídos são
representados na seguinte tabela.
Varetas em cada lado do triângulo
1 2 3
4
5
Total de varetas no triângulo subdividido 3 9 19 30 45
Triângulos de ordem um
1 4 9
16 25
29. Classificação e contagem dos triângulos de cada tipo representados na figura.
Triângulos de ordem um: 9
Triângulos de ordem dois: 3
Triângulos de ordem três: 1
10
30. Determinação do menor número de varetas necessárias para construir 1, 2, 3, 4, 5,... triângulos
equiláteros justapostos em uma linha, com lados medindo 1u.
Representação dos dados de em tabela.
Triângulos 1 2 3 4 5
Varetas
3 5 7 9 11
31. i. Determinação do menor número de varetas necessárias para construir 1,2, 3, 4, 5, 6,... “rodas
de nora” justapostas em uma linha, formadas por seis triângulos equiláteros com lados medindo 1u.
ii. Representação dos dados de (i) em tabela.
Número de “rodas de nora” 1 2 3 4 5
Número de varetas
12 23 34 45 56
11
32. Com triângulos equiláteros podem ser construídas diversas figuras planas utilizando diferentes
formulações: unindo somente os vértices, unindo lado com vértice, unindo lado com lado, etc.
Observação. As construções acima também podem ser realizadas com cada um dos outros tipos de
triângulos e também combinando peças pertencentes a dois ou mais tipos de triângulos.
33. Representação e identificação dos distintos tipos de paralelogramos.
quadrado
retângulo
losango ou rombo
romboide
34. Classificação e representação dos diferentes tipos de trapézios.
trapézio isóscele
trapézio retângulo
trapézio escaleno
12
35. Representação e identificação de quadriláteros que não são paralelogramos ou trapézios.
pipa
seta
trapezoide
36. Construção de diferentes tipos de quadriláteros e representação em uma tabela.
Quadrilátero
Quatro ângulos iguais
Ângulos dois a
Outros casos
dois iguais
Quatro lados iguais
Não é possível
quadrado
losango ou rombo
Lados dois a dois iguais
retângulo
Outros casos
paralelogramo
Não é possível
pipa
seta
Várias
possibilidades
trapézio isósceles
13
37. Classificação e contagem dos quadrados de cada tipo representados na figura formada por
quarenta varetas.
Quadrados de ordem um: 16
Quadrados de ordem dois: 9
Quadrados de ordem três: 4
Quadrados de ordem quatro: 1
38. Representação de polígonos congruentes.
39. Representação de dois triângulos equiláteros congruentes com somente cinco varetas.
14
40. Representação das três retas de simetria do triângulo equilátero e das quatro retas de simetria do
quadrado.
41. i. Representação de polígonos semelhantes.
ii. Representação de polígonos semelhantes e não homotéticos.
15
42. Cálculo do perímetro P de cada uma das seguintes figuras planas, levando em conta que todas as
varetas utilizadas na representação são iguais e que o comprimento das varetas foi adotado como
uma unidade de comprimento, 1u.
P = 7u
P = 8u
P = 8u
43. Construção de um losango ou rombo utilizando dezesseis varetas, este quadrilátero convexo tem
área igual a do retângulo formado por esse mesmo número de peças.
16
44. Construção de figuras planas formadas com doze varetas e com as áreas indicadas.
Apresentamos dois exemplos para A = 3u², A = 4u², A = 5u², A = 6u², A = 7u², A = 8u² e um
exemplo para A = 9u².
- A = 3u²
- A = 4u²
- A = 5u²
17
- A = 6u²,
- A=7u²
A = 8u²
- A = 9u²
18
45. Dissecção de um quadrado construído com dezesseis varetas em quatro superfícies equivalentes,
usando um número ímpar de varetas. O quadrado original foi seccionado em quatro superfícies
equivalentes: um quadrado, um retângulo e dois hexágonos irregulares não convexos congruentes,
todas elas com a mesma área A = 4u².
46. O número de varetas que devem ser removidas para que em cada uma das seguintes figuras não
fique nenhum quadrado são:
.........
uma vareta
.......
três varetas
......
cinco varetas
19
47. Construção da curva floco de neve.
20
48. Construção da curva antifloco de neve.
21