Propriedades importantes
de um Triângulo Qualquer
P
Propriedades importantes
de um Triângulo Retângulo
Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2
Teorema das Bissetrizes
Propriedades importantes do Triângulo Eqüilátero
H
Teorema de Tales
Semelhança de
triângulos
OP OQ OR
=
=
OA OB OC
Paralelas cortadas por transversal
ângulos opostos pelo vértice: a e c, b e d, e e g, e f e h.
ângulos correspondentes: b e f, a e e, d e h, e c e g.
ângulos alternos internos: d e f, e c e e.
ângulos alternos externos: b e h, e a e g.
ângulos colaterais internos: d e e, e c e f.
ângulos colaterais externos: b e g, e a e h.
Observa-se que:
• os ângulos opostos pelo vértice são congruentes (medidas iguais).
• os ângulos correspondentes são congruentes (medidas iguais).
• os ângulos alternos são congruentes (medidas iguais).
• os ângulos colaterais são suplementares, isto é, somam 180° .
Círculo Trigonométrico
y
B
C
Q
II
D
Grau – equivale a 1/360 da circunferência;
Grado – equivale a 1/400 da circunferência;
Radiano – é o ângulo que subtende um arco
cujo comprimento é igual ao raio.
I
θ
O
A´
Unidades usuais para medidas de ângulos:
E
P
III
IV
B´
A
x
Seno de um arco θ
É a medida algébrica da projeção do raio OC
sobre o eixo y (eixo dos senos).
Cosseno de um arco θ
É a medida algébrica da projeção do raio OC
sobre o eixo x (eixo dos cossenos).
Observação: Todas as demais funções circulares
são derivadas do seno e do cosseno.
Os números em algarismos romanos
representam os quadrantes do círculo
trigonométrico.
Tangente: é a razão entre o seno e o cosseno;
Cotangente: é o inverso da tangente;
Secante: é o inverso do cosseno;
Cossecante: é o inverso do seno.
Círculo Trigonométrico
y
B
E
C
Q
II
D
I
θ
O
A´
P
III
A
x
IV
B´
No círculo trigonométrico, os valores à direita
e acima do ponto O são considerados
positivos, enquanto que aqueles que estão
à esquerda e abaixo são considerados
negativos.
Portanto, todas as funções são positivas no
primeiro quadrante.
Como exercício, tente deduzir os sinais de
todas as funções nos demais quadrantes.
Relações importantes
sen 2θ + cos2 θ = 1
1 + tan 2 θ = sec 2 θ
1 + cot 2 θ = cossec 2θ
sen ( a ± b) ) = sena ⋅ cos b ± senb ⋅ cos a
cos ( a ± b) ) = cos a ⋅ cos b ∓ senb ⋅ sena
sen ( 2a ) = 2 ⋅ sena ⋅ cos a
cos ( 2a ) = cos2 a − sen 2a