Circunferência, áreas e resolução de triângulos quaisquer
Slides
Circunferência
Áreas:
medidas de superfície
Resolução de triângulos quaisquer:
resolução de triângulos retângulos
Resolução de triângulos quaisquer:
lei dos senos e lei dos cossenos
Esquadros de madeira
Internet
Trigonometria
1
Circunferência
Posições relativas entre retas e circunferências
RETAS TANGENTES:
-Tem um único ponto em
comum com a circunferência.
- A distância entre o centro e
a reta é igual ao raio
dc,t = raio
RETAS SECANTES:
-Tem dois pontos em comum
com a circunferência.
- A distância entre o centro e
a reta é menor que o raio
dc,t < raio
RETAS EXTERNAS:
- Não tem nenhum ponto em
comum com a circunferência.
- A distância entre o centro e
a reta é maior que o raio
dc,t > raio
2
Circunferência
Posições relativas entre duas circunferências
Pontos comuns Posição relativa
Distância entre os centros em
função dos raios
2
Secantes
r1 – r2 < d < r1 + r2
1
Tangentes
internas
d = r1 – r2
1
Tangentes
externas
d = r1 + r2
0
Internas
concêntricas
d=0
0
Internas não
concêntricas
d < r1 – r2
0
Externas
d > r1 + r2
Figura
3
Circunferência
Ângulos em uma circunferência
Ângulo central:
É um ângulo que tem
como vértice o centro
da circunferência e
seus lados passam
por pontos
pertencentes a ela.
Se um ângulo central e um
ângulo inscrito em uma
circunferência tem o mesmo
arco, então a medida do
ângulo central é o dobro da
medida do ângulo inscrito.
Ângulo inscrito: É um
ângulo que tem como vértice
um ponto da circunferência e
cujos lados passam por dois
outros pontos da
circunferência, determinando
nela duas cordas.
Ângulo de segmento:
É um ângulo que tem como
vértice um ponto da
circunferência, um lado
secante à circunferência e
outro tangente a ela.
4
Circunferência
Relações métricas na circunferência
Cruzamento de
duas cordas:
Dois segmentos
secantes a partir de
um mesmo ponto:
PA  PB  PC  PD
Segmento secante
e segmento
tangente a partir de
um mesmo ponto:
PA  PB  PT 
2
5
Circunferência
Polígonos regulares inscritos na circunferência
Polígono regular é aquele que possui todos os lados (l) congruentes e todos
os ângulos congruentes.
Apótema (a) é um segmento com uma extremidade no centro da
circunferência e outra no ponto médio de um dos lados do polígono. Ele também
equivale ao raio da circunferência inscrita ao polígono.
Raio da circunferência circunscrita (r) é o segmento com uma extremidade
no centro da circunferência e a outra na própria circunferência.
l 3 r 3
a3 
r
2
l 4 r 2
r 2
a4 
2
l 6 r
a6 
r 3
2
6
Áreas: medidas de superfície
Área do quadrado, do retângulo e do paralelogramo
Quadrado
A=l
2
Retângulo
A = b h
Paralelogramo
A = b h
7
Áreas: medidas de superfície
Área do triângulo
Área do
triângulo sendo
conhecido os
três lados
Área do
triângulo
equilátero
A  p   p  a    p  b   p  c 
l2 3
A
4
Área do
triângulo
b h 1
A
 b h
2
2
p
a b c
2
Área do
triângulo com
o auxílio da
trigonometria
A
1
 a  b  senα
2
8
Áreas: medidas de superfície
Área do trapézio e do losango
Trapézio
B  b h

A=
2
Losango
Dd
A=
2
9
Áreas: medidas de superfície
Área de polígonos regulares
(l) lado do polígono
(a) apótema
(n) número de lados do polígono
(p) semiperímetro
n  .l
p
2
A  pa
10
Áreas: medidas de superfície
Área do círculo e do setor circular
Círculo
A  πr
Setor circular
2
Asetor  graus
=
=
2
πr
360º 2  π  r
l
11
Resolução de triângulos quaisquer
Resolução de triângulos retângulos
a = hipotenusa
b = cateto oposto ao ângulo 
c = cateto adjacente ao ângulo 
30º
45º
sen
1
2
cos
3
tg
3
2
2
3
2
1
2
60º
3
1
2
a 2  b2  c 2
cateto oposto b
senα 

hipotenusa
a
cateto adjacente c
cosα 

hipotenusa
a
cateto oposto
b
tgα 

cateto adjacente c
2
2
3
12
Resolução de triângulos quaisquer
Seno e cosseno de ângulos obtusos
É necessário saber que:
sen 90º = 1 e cos 90º = 0
Senos de ângulos obtusos são exatamente iguais
aos senos dos suplementos desses ângulos:
sen x = sen (180º - x)
Cossenos de ângulos obtusos são opostos aos
cossenos dos suplementos desses ângulos:
cos x = - cos (180º - x)
13
Resolução de triângulos quaisquer
Lei dos senos e cossenos
Lei dos senos:
a
ˆ
sen A

b
ˆ
sen B

c
ˆ
sen C
 2 R
Lei dos cossenos:
ˆ
a2  b2  c2  2  b  c  cosA
ˆ
b2  a2  c2  2  a  c  cosB
ˆ
c2  a2  b2  2  a  b  cosC
14