Exercício 42: (prova de FT-I das turmas 3E, 3F e 3D do 2o semestre de 2002)
Um tanque de grandes dimensões contém ar levemente pressurizado. Admitindo que o
ar se comporte como um fluido incompressível e sabendo que a vazão volumétrica que
sai do tanque pela tubulação de 2.7 mm aberta à atmosfera feita por um material com
rugosidade relativa de ε / D = 0,003 é de 5, 4 ⋅ 10 −5 m3 / s , determine:
a) o regime de escoamento pelo tubo (laminar ou turbulento). Adote para o ar as
seguintes propriedades: µ Ar = 1,8 ⋅ 10 −5 Pa ⋅ s ; ρ Ar = 0,736 kg / m 3
b) o fator de atrito no tubo
são dadas as fórmulas para o fator de atrito de Darcy em tubos:
64
f =
em escoamento laminar:
Re
1.325
f =
em escoamento turbulento para tubos rugosos:
2
 ε

5.74
ln  d + 0.9  
  3.7 Re  

 
c) o desnível h na coluna de água de um tubo manométrico de vidro instalado na
parte superior do reservatório. Considere que a densidade da água seja 1000
kg/m3 e adote para a aceleração da gravidade o valor de 9,81m/s2. Considere
ainda as seguintes hipóteses:
• as diferenças de cota são desprezíveis.
• despreze também as perdas de carga na entrada e saída da tubulação.
• o tubo tem comprimento de 610 mm
• admita para a pressão atmosférica o valor de 105 Pa.
Dica: Note que a densidade da água é muito superior à densidade do ar!
Resp.: 5.35cm
23
Exercício 43: (adaptado da prova de FT-I das turmas 3E, 3F e 3D do 2o semestre
de 2002)
Para apagar o incêndio de um edifício próximo a um grande lago, os bombeiros
retiraram água do lago, usando para tanto uma bomba e dirigiram o jato d’água para o
edifício. Ambas as mangueiras conectadas à bomba são de plástico semiflexível e tem
um diâmetro interno de 50 mm, sendo que a mangueira de recalque possui 10 m de
comprimento e a de sucção 20 m de comprimento. A inclinação da porção final da
mangueira de recalque é mantida pelos bombeiros em 45o em relação à horizontal,
como mostra a figura e a sua saída está a exatamente 3m acima da superfície do lago.
Sabendo-se que, existe uma válvula gaveta flangeada totalmente aberta na tubulação de
recalque e que o componente horizontal da velocidade do jato livre na saída da
tubulação de recalque é de 2,1 m/s, determinar a potência da bomba, sabendo que o
seu rendimento é de 75%. Haverá risco de cavitação na bomba da forma que ela foi
instalada na figura?
Adote a densidade da água como sendo 1000 kg/m3, a viscosidade da água como sendo
10-3 (Pa s) e a aceleração da gravidade como sendo 9,81 m/s2.
Resp.: 625W
Exercício 44: (PAF de FT-I da turma 3E/F do 2o semestre de 2003) – adaptado do
exercício 3.161 de White
A figura a seguir mostra um tubo convergente-divergente, também denominado de
venturi. Na garganta do venturi (seção 1) pode ser acoplado um tubo que poderá
permitir a sucção de fluido de um reservatório. Este problema trata desta aplicação do
venturi. Pede-se:
24
a-)
b-)
resp.:
determinar em função de h, Patm e do peso específico do fluido a pressão limite na
garganta para que o fluido comece a subir. O que acontecerá com o fluido no tubo
vertical se o valor da pressão na garganta foi maior que o do limite calculado?
(dica: pense na estática de fluidos)
use a equação de Bernoulli entre as seções 1 e 2 para determinar a velocidade
limite na garganta em função de h, D1 e D2 e da aceleração da gravidade para que
ocorra a aspersão de líquido do tanque. (dicas: na situação limite a velocidade de
sucção do líquido pode ser considerada nula? Não se esqueça da Lei de
Conservação de massas!)
v2 ≥
2 gh
4
 D2 

 −1
 D1 
2
; v1,min
D 
=  2  v2,min
 D1 
Exercício 45: (PAF de FT-I da turma 3E do 1o semestre de 2002)
Calcule para o sifão da figura a seguir qual a maior altura h para que não ocorra
cavitação. Despreze as perdas por atrito. O diâmetro do tubo do sifão é constante. A
seção (2) expele o fluido para a atmosfera. O fluido é água a 20°C. Adote para a água
uma densidade de 1000 (SI) e considere a aceleração da gravidade como sendo 10
(m/s2) e a pressão atmosférica como sendo 105Pa (para facilitar os cálculos).
Dado adicional: Pressão de saturação (ou pressão de vapor) para a água a 20°C
=2338,5 Pa;
Resp.: 2.77m
Exercício 46: (PAF de FT-I da turma 4C do 1o semestre de 2002)
Fenol a 40oC (densidade 1059 (SI); viscosidade dinâmica de 0.005 (SI)) escoa de 1 para
4 pela instalação desenhada a seguir com uma vazão mássica de 1.08 (SI). Sabe-se que
o ponto 3 está a 10 m acima dos pontos 1 e 2 (que podem ser considerados à mesma
cota). O rendimento da bomba é de 80% e a energia elétrica fornecida à bomba é de
1kW. Considere neste exercício a aceleração da gravidade como sendo 9.8 m/s2 e que a
perda de carga na tubulação de sucção seja de 60m. Pede-se:
25
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Se o tubo 2 tem um diâmetro de 2 cm e nele escoa o fenol com uma velocidade
de 1.5 m/s, qual a vazão volumétrica que passa pelo tubo 3? Resp.: 0.0005488 (m3/s)
Qual a pressão na saída da bomba (Ps), sabendo-se que a pressão em 1 (P1) é de
6 × 104 (Pa)? Considere que a tubulação imediatamente à saída da bomba tenha o
mesmo diâmetro da tubulação de entrada, i.e., que o diâmetro do tubo 4 seja
idêntico ao do tubo 1. Resp.: 221796 Pa
Entre os pontos 2 e 3 a perda de carga distribuída na tubulação 2 é de 9m e o
único acessório presente é o cotovelo (coeficiente de perda de carga localizada de
0.9). Qual a perda de carga na tubulação 2 entre os pontos 2 e 3? Resp.: 9.103m
Qual a pressão em 3? Considere (para facilitar a resolução) que a pressão em 2
seja a mesma da saída da bomba, obtida no item (a). Resp.: 23541Pa
Qual a perda de carga na tubulação 3 entre os pontos 2 e 3? Resp.: 9.103m
Se o tubo 3 também tem um diâmetro de 2 cm, qual o seu comprimento?
Considere que o fator de atrito de Darcy seja de 0.02 no tubo 3 e que apenas a perda
de carga distribuída seja significativa neste trecho da tubulação. Resp.: 58.4m
Exercício 47: (PAF de FT-I da turma 3D do 1o semestre de 2003)
Uma válvula borboleta é ensaiada para determinação do coeficiente de perda de carga
para vários ângulos de abertura. A figura mostra as curvas para três fabricantes de
válvulas borboleta diferentes. Supondo que o ângulo de abertura (para um ensaio em
específico) seja de 60o, qual deve ser a diferença de pressões entre os dois manômetros?
Qual indicará a maior pressão? Para o teste a vazão é de 5 litros/segundo e o diâmetro
da tubulação de entrada e saída na válvula é de 50 mm. Os ensaios são realizados com
água a 20oC. Escolha para o cálculo uma das curvas apresentadas. Dados:
ρ água = 998 kg / m 3 , µ água = 1 ⋅ 10 −3 Pa ⋅ s e g = 9,81 m / s 2
Aparato experimental
Figura 6.19 (White) coeficientes de perda de carga (três diferentes fabricantes) para válvulas borboleta em função do
ângulo de abertura.
26
Exercício 48: (PAF de FT-I da turma 3E do 2o semestre de 2001)
A tabela abaixo apresenta os dados obtidos com um tubo de Pitot ao longo de um
diâmetro da seção transversal de um cano de diâmetro interno de 7.793cm, pelo qual
escola água a 15oC. Sabe-se que a densidade do CCl4 é 1.584g/cm3 e a da água é
1.0g/cm3 e que ao mesmo tempo em que eram feitas estas medidas foram feitas diversas
medidas descarregando a corrente em um tanque, e o resultado encontrado foi de 635 kg
de água em 194,4s. Adote g=10m/s2.
distância à parede (cm)
leitura no manômetro (cm de CCl4 a 15oC)
0.71
5.59
1.35
6.1
1.98
6.6
2.62
7.11
3.25
7.62
3.90
7.87
4.52
7.24
5.16
6.86
5.79
6.1
6.43
5.08
7.06
4.19
Pede-se:
(a)
(b)
a-) A figura acima mostra o tubo em que foi colocado o tubo de Pitot. Pede-se
identificar, justificando qual das figuras (a) ou (b) é a correta e o sentido do
escoamento do fluxo de água.
b-)Determinar a partir da vazão mássica medida, a velocidade média de escoamento
pelo tubo e o número de Reynolds. Verifique que o escoamento é em regime
turbulento e estime a partir do valor da velocidade média o valor da velocidade
máxima de escoamento pelo tubo. Resp.: 0.6847m/s; 53380; 0.838m/s
c-) Deduzir, usando a equação de Bernoulli, a expressão para o cálculo da velocidade
local ao longo da posição radial.
d-)Calcular, usando a fórmula deduzida no item c-) e a partir dos dados experimentais
obtidos no tubo de Pitot, a velocidade máxima de escoamento pelo tubo.
Observe que o valor aqui encontrado é diferente do valor obtido no item b-). Isto ocorre
porque existem erros na tomada dos dados experimentais de modo que para o
cálculo correto da velocidade nos tubos a partir de medidas feitas num tubo de
Pitot, o tubo de Pitot deve ser calibrado, o que é feito conforme o procedimento
descrito nos itens e-) e f-). Resp.: 0.9588 m/s
e-) Calcule a velocidade média de escoamento a partir dos dados obtidos no medidor de
Pitot. Divida esta velocidade média pela velocidade máxima obtida no item d-) e
27
verifique que o valor é compatível com o valor esperado para o escoamento
turbulento. Resp.: 0.852; 0.798 m/s
DICA: Para o cálculo da velocidade basta lembrar que a velocidade média pode ser
obtida como:
π R
1
2π R
vm =
vdA
v
r
dr
v r dr
=
=
Atubo ∫∫
Atubo ∫0
Atubo ∫− R
A
sendo, vm a velocidade média, Atubo a área da seção transversal do tubo, v a
velocidade avaliada no ponto r. A integral pode ser determinada a partir da área sob
a curva da função constante do termo da integral. Para tanto, note que a figura 2
apresenta o gráfico da função v r em função de r para os dados experimentais. Assim,
basta se obter a área sob a curva conforme a definição da integral (preste atenção em
seu cálculo e justifique o procedimento adotado!). Para o cálculo da área, lembre-se
que a curva pode ser aproximada por trechos retos como indicado na figura 3. A área
bh
de um triângulo é obtida como
, sendo b a base e h a altura e a área de um
2
h(b + B)
, sendo h a altura, b a base menor e B a base maior.
trapézio é dada por
2
f-) Finalmente, a calibração do tubo de Pitot é feita, a partir do cálculo de uma constante
v
C como: C = m1 ; sendo, vm1 a velocidade média obtida conforme o item b-) e vm2 a
vm 2
velocidade média obtida no item e-). A constante C é usada para corrigir as medidas
de velocidade, como: vreal _ estimado = Cvmedido
Pede-se calcular a constante C e verificar que o valor de velocidade máxima obtida
pelo tubo de Pitot calibrado é compatível com o valor esperado, obtido a partir do
item b-).
figura 3
figura 2
Exercício 49: (PAF de FT-I da turma 3E do 2o semestre de 2003)
Para uniformizar o escoamento de ar em um duto de seção quadrada de 50cm de lado
que alimentará a seção de testes de um túnel de vento, é instalada uma “colméia” de
tubos de aço lisos muito finos (ou seja a espessura da parede destes tubos é muito
pequena e pode ser desprezada). Cada um destes tubos tem 4mm de diâmetro interno e
30 cm de comprimento e estes tubos são dispostos paralelamente como mostra a figura.
O escoamento de ar no ponto 0 se dá a 110 kPa e 20oC. No interior de cada tubo o ar
tem uma velocidade média de 6m/s. Para que o escoamento de ar ocorra apenas no
interior dos tubos finos, o espaço entre eles é preenchido por uma resina. O escoamento
pode ser adotado como sendo isotérmico. Pede-se:
28
a-) calcular a massa específica de ar na seção 0. Resp: 1.3 (SI)
b-) obter a quantidade de tubos que pode ser instalada no duto de 50 cm de lado.
(dica: pense na geometria!) Resp: Arranjo quadrangular: 15624, arranjo triangular:
17360, máximo teórico 19904
c-) determinar o diâmetro hidráulico na seção 0. Resp: 0.5m
d-) assumindo que o escoamento seja incompressível, verificar se ocorre alteração do
regime de escoamento da seção 0 para o interior de cada tubo. Determinar também
a velocidade na linha de centro de cada tubo. (dica: calcule o número de Reynolds
em cada tubo). Resp: sim/turbulento para laminar/12m/s para quadrangular
e-) verificar se de fato o escoamento pode ser considerado incompressível. Resp:
sim/Ma<0.3
f-) calcular a queda de pressão através da colméia, i.e., a diferença de pressão entre as
seções 1 e 2. Despreze perdas por atrito na entrada e na saída dos tubos. (dicas:
efetue um BEM ou um BQM para um tubo entre os trechos 1 e 2 e lembre-se que
os tubos estão em paralelo!) Resp: 64.8Pa
g-) qual seria o coeficiente de perda de carga localizada calculado em relação à
velocidade na seção 0 desse arranjo de tubos caso fossem considerados como uma
única singularidade? (dicas: use os resultados obtidos no item f-) e analise as
fórmulas para o cálculo de perda de carga) Resp: 3.64
h-) se um manômetro diferencial (tubo em U) contendo água como fluido manométrico
for instalado entre as seções 1 e 2, determinar a leitura obtida e montar um esquema
deste manômetro. Admita que a densidade da água seja 998 kg/m3. Resp: 6.6mm
Exercício 50 (baseado nas notas de aula do prof. Edvaldo)
Na instalação hidráulica da figura a pressão
manométrica indicada por um manômetro
instalado na seção (2) é de 1.84 kgf/cm2. As
seções (1) e (3) situam-se sobre a superfície de
dois reservatórios de grandes dimensões. A
vazão de escoamento é de 10 l/s e os tubos de
ferro fundido têm diâmetro de 7.5 cm.
Considere que o fluido seja água esteja a 25oC.
Pede-se:
a-) Calcular a velocidade na seção 2 e as perdas de carga entre as seções (1) e (3) e
entre as seções (1) e (2). Resp.: 2.26m/s; 1.96m; 1.30m
29
b-) Determinar o sentido do escoamento e verificar se a máquina, indicada por M na
figura, é uma bomba ou turbina.
c-) Calcular a potência da máquina, sabendo-se que seu rendimento é de 75%. Resp.:
1.6kW
Exercício 51: (adaptado do exemplo 7.7-1 de Bird et al., 2004)
Um cilindro aberto, de altura H e raio R, está inicialmente cheio por completo com um
líquido. No tempo t=0, drena-se o líquido através do pequeno orifício de raio Ro aberto à
atmosfera situado no fundo do tanque como mostra a figura.
Pede-se:
a-) Considere que a descarga do tanque se dê em regime quasi-estacionário (=pseudoestacionário) e despreze todas as perdas por atrito. Nestas condições, deduza a
seguinte expressão para a velocidade de descarga pelo duto (chamada de equação
de Torricelli): v = 2 gh (esta expressão é uma boa aproximação quando
4
b-)
 R
  ! 1 ).
 Ro 
Encontre o tempo de descarga do tanque, usando o balanço transiente de massa e
considerando a equação de Torricelli para descrever a relação entre a velocidade
de saída e a altura instantânea do líquido. (Bird et al. deduzem ainda uma
expressão para avaliar o erro em se trabalhar com a equação de Torricelli. No
conforto de seu lar, você pode apreciar esta dedução...)
Exercício 52:
a-)
b-)
Assinale com um (V) se a frase for verdadeira e com um (F) se a frase for falsa.
No último caso, corrigir o que está errado.
vd
1. A expressão Re =
serve para avaliar se o escoamento de ar sobre uma placa
ν
plana se dá em regime laminar (v é velocidade e ν é a viscosidade cinemática).
ρ v  4ab 
2. Quando
é
possível
utilizar
a
expressão
= 93200
µ  a + b 
1.1

ε
 
 6.9  d H  
1
para o cálculo da perda de carga em duto
= −1.8log 
+
 3.7  
Re
f
H


 

retangular de lados a e b feito de aço rebitado.
Complete a frase:
30
3. Água a 40oC escoando por um tubo de 2.5 cm de diâmetro interno poderá cavitar
quando a pressão cair a __________ Pa. (apresente o cálculo!)
4. Amido de milho em água apresenta um comportamento de um fluido
__________________(Newtoniano/ não Newtoniano) porque _____________
_______________________________________________________________
Exercício 53:
Para o problema do helicóptero (exercício 3) à p. 73 do portfolio, determine a potência
requerida pelo motor para mantê-lo parado no ar a 100 m de altitude do solo. Assuma
um rendimento de 80% do motor. Discuta também de que forma a altitude em que o
helicóptero se encontra afeta o cálculo da potência do motor.
Exercício 54: (exercício 7A.2 de Bird et al.)
Uma solução diluída de ácido clorídrico, de densidade e viscosidade constantes e iguais
respectivamente a 62.4lb/ft3 e 1 cP, deve ser bombeada do tanque 1 para o tanque 2,
sem variação global na elevação. As pressões nos espaços contendo gás dos dois
tanques são P1=1atm e P2=4atm. O raio do tubo é 2” e o número de Reynolds é 7.11
×104. A velocidade média no tubo deve ser 2.30 ft/s. Qual a potência que tem de ser
dada pela bomba? Resp: 2.4 hp = 1.8 kW
Exercício 55: (exercício 7B.4 de Bird et al.)
Um fluido está escoando entre dois tanques A e B, pelo fato de PA>PB. Os
tanques estão no mesmo nível e não há bomba na linha. A linha de conexão
tem uma área de seção transversal SI e a taxa mássica é w para uma queda de
pressão de (PA-PB)I.
Caso II: Deseja-se trocar a linha de conexão por duas linhas, cada uma com seção
transversal SII=SI/2. Qual é a diferença de pressão (PA-PB)II necessária para
fornecer a mesma taxa mássica total igual à do caso I? Considere escoamento
turbulento e use a fórmula de Blasius para o fator de atrito. Despreze as
( PA − PB )II 58
=2
perdas na entrada e na saída. Resp.:
( PA − PB )I
Caso I:
31
Exercício 56: (exercício 7B.5 de Bird et al.)
Um duto horizontal e reto foi instalado em uma fábrica. Supôs-se que o duto tivesse 4ft
× 4ft de seção transversal. Por causa de uma obstrução, o duto pôde ter somente 2ft de
altura, mas podendo ter qualquer largura. Qual deve ser a largura do duto, de modo a se
ter as mesmas pressões terminais e a mesma vazão volumétrica? Considere escoamento
turbulento e que a fórmula de Blasius seja satisfatória para esse cálculo. O ar pode ser
considerado como incompressível nessa situação. Resp.: 9.2ft
Dicas para resolução:
(a) Escreva as versões simplificadas do balanço de energia mecânica para os dutos I e
II.
(b) Iguale as quedas de pressão para os dois dutos e obtenha uma equação relacionando
as larguras e alturas dos dois dutos.
(c) Resolva numericamente a equação em (b), com a finalidade de encontrar a largura
que deve ser usada para o duto II.
Exercício 57: (adaptado do exercício 7B.9 de Bird et al.)
Um tanque cilíndrico da figura está totalmente cheio com um fluido. No instante t=0, a
válvula do fundo do tubo de drenagem é aberta. Pede-se:
a-) Assumindo que o escoamento pelo tubo seja laminar e que no tubo possa se
considerar um estado pseudo-estacionário, quanto tempo levará para o tanque ser
128µ LR 2  H 
drenado? t =
ln 1 + 
L
ρ gD 4

b-) Repita o item a-) para escoamento turbulento.
32
Exercício 58: (adaptado dos exemplos 7.2-1 e 7.4-1 de Bird et al.)
Um jato turbulento sai de um tubo de raio 2.5cm, com uma velocidade de 6m/s,
conforme mostrado na figura a seguir. O jato colide em um arranjo de disco-bastão de
massa 5.5kg, que está livre para se mover verticalmente. O atrito entre o bastão e a
manga será desprezado. Encontre a altura h na qual o disco flutuará como um resultado
do jato para os casos (a) e (b).
caso (a): admitindo que não haja alteração da seção transversal do jato. Dica: efetue
um BQM entre os planos 1 e 2 sobre o fluido, não esquecendo de incorporar o
peso do fluido. Resp.: 0.87m
caso (b): à medida que o jato sobe, a seção transversal não se mantém constante devido
à ação da gravidade. Assim, nesse caso considere o efeito do espalhamento do
jato de água. Dica: Use o BM e BEM para descrever o movimento do fluido
até imediatamente antes da colisão com o disco e em seguida monte um BQM
para o instante da colisão. Resolva as três equações para determinar a altura.
Resp.: 0.77m
33