ISEG
ESTATÍSTICA I - 2º Ano/Economia, 2º semestre, EEN
1ª Parte - Teórica – 30m, Versão xyz
04. 06. 07
Cotação da 1º Parte: 8 Valores. As respostas são efectuadas no espaço a seguir disponível. No decorrer da prova não serão
prestados quaisquer esclarecimentos. Não pode utilizar calculadora nem qualquer meio de consulta. BOA SORTE!
Nome:__________________________________________________________________________Turma:_________
1. Sejam os acontecimentos A, B ⊂ Ω . Se A e B são independentes, então... (Indique as respostas
verdadeiras (V) ou falsas (F), assinalando com X na quadrícula respectiva)
V
F
P( A ∩ B) = P( A | B) P( B) , se P(B)>0.
A∩B = ∅.
P(A | B) = P(A), se P(B)>0.
P( A ∩ B) = P( B) P( A) .
[Atenção: Cada resposta certa vale 2,5 cada resposta errada vale –2,5. A classificação desta questão variará entre um
mínimo de zero e um máximo de 10]
2. Sejam os acontecimentos A, B ⊂ Ω , incompatíveis e verificando P ( A) > 0 e P( B) > 0 . Mostre que
não podem ser independentes.
[Cotação: 10]
3. Considere uma v.a. X e a respectiva função distribuição F ( x) . Indique as respostas verdadeiras (V) ou
falsas (F), assinalando com X na quadrícula respectiva:
V
F
Seja a um número real e Y = X − a , então P (Y ≤ y ) = F ( y + a ) .
Se
+∞
X for contínua e f ( x) a sua função densidade, então F ( x) = 1 − ∫ f ( x)dx .
x
Suponha que X é discreta. Então, F ( x + 0) = F ( x) apenas se x é ponto de continuidade.
0 ≤ F ( x) ≤ 1 , quer X seja variável aleatória contínua, discreta ou mista.
[Atenção: Cada resposta certa vale 2,5 cada resposta errada vale –2,5. A classificação desta questão variará entre um
mínimo de zero e um máximo de 10]
4. Considere as variáveis aleatórias X e Y cujas funções de probabilidade são, respectivamente, as
seguintes:
y
x
0
1
2
-2
-1
0
f ( x) 0.1 0.5 0.4
g ( y ) 0.4 0.5 0.1
Indique as respostas verdadeiras (V) ou falsas (F), assinalando com X na quadrícula respectiva:
V
F
E ( X ) = E (Y ) .
Os coeficientes de assimetria de
X e Y são iguais a zero.
X e Y só podem ser independentes.
Var ( X ) = Var (Y ) .
[Atenção: Cada resposta certa vale 2,5 cada resposta errada vale –2,5. A classificação desta questão variará entre um
mínimo de zero e um máximo de 10]
vsff →
X ~ N ( µ ; σ ) . Sendo uma constante k > 0 , justifique porque é que a probabilidade
P( µ − kσ < X < µ + kσ ) se mantém inalterada quaisquer que sejam µ e σ .
5. Seja
[Cotação: 10]
6. Considere uma variável aleatória X e a sua distribuição. Indique as respostas verdadeiras (V) ou falsas (F),
assinalando com X na quadrícula respectiva:
V
F
Se X tem distribuição Normal, então a sua média, moda e mediana são iguais.
Sejam as variáveis aletórias
X e Y , i.i.d. com distribuição N (0;1) . Então ( X + Y ) 2 ~ χ 2 (2) .
Se X ~ B (10;0.6) . Então 10 − X ~ B (10; 0.4) .
Se X ~ Poisson(100) , então P ( X ≤ 90) ≈ Φ (−0.95) .
[Atenção: Cada resposta certa vale 2,5 cada resposta errada vale –2,5. A classificação desta questão variará entre um
mínimo de zero e um máximo de 10]
7. Considere uma amostra casual ( X 1 , K , X n ) obtida de uma população X com distribuição F (x) .
V
F
A variância corrigida da amostra só deve ser utilizada quando a variância amostral é negativa.
Seja n = 10 , então ( X 1 , X 2 ) não é uma estatística.
Var (∑i =1 X i ) = Var (10 X ) .
10
A Função de Distribuição da amostra é F ( x1 , x 2 , K , x n ) = F ( x1 ) F ( x 2 )...F ( x n ).
[Atenção: Cada resposta certa vale 2,5 cada resposta errada vale –2,5. A classificação desta questão variará entre um
mínimo de zero e um máximo de 10]
8.
Considere uma variável aleatória bidimensional (X,Y). Sejam F(x,y) a respectiva função de distribuição e f(x,y)
a respectiva função de probabilidade conjunta [se (X,Y) é discreta] ou a função densidade conjunta [se (X,Y) é
contínua].
Indique as respostas verdadeiras (V) ou falsas (F), assinalando com X na quadrícula respectiva:
V
F
Se X e Y são independentes, então E ( XY ) = 0 .
Se X e Y são independentes, então
Var ( X − Y 2 ) = Var ( X ) + 2Var (Y ) .
Se F (1;1) = 1 , então é porque f ( x, y ) = 0 para x > 1 e y > 1.
F ( x,+∞) = F1 ( x) .
[Atenção: Cada resposta certa vale 2,5 cada resposta errada vale –2,5. A classificação desta questão variará entre um
mínimo de zero e um máximo de 10]
ESTATÍSTICA I - 2º Ano/Gestão 2º semestre, PADEF.
2ª Parte – Prática – 1h30m.
Versão xyz
04. 06. 07
Cotação da 2ª Parte: 12 Valores – Todas as questões valem 15 pontos. As perguntas de resposta
múltipla são respondidas no enunciado, que deve ser devolvido conjuntamente e dentro da folha de
prova. Cada pergunta de resposta múltipla quando errada desconta 3.75. Durante o decorrer da prova
não serão prestados quaisquer esclarecimentos. Justifique todos os procedimentos. BOA SORTE!
Nome:__________________________________________________________________________Turma:_________
1. A resistência à fractura de um novo tipo de material de soldadura é uma variável aleatória
com distribuição normal de média 8 e desvio padrão 1.Determine um limite máximo de
resistência à fractura que se verifique em 95% dos casos.
1.645 □
6.355 □
9.282 □
9.645 □
2. Navios petroleiros chegam a determinada refinaria a uma média de 2 por dia (24 h). As
chegadas de navios à refinaria seguem um processo de Poisson.
a) Determine a probabilidade de chegarem pelo menos 4 navios em 12 horas.
□
□
□
□
0.9387
0.0803
0.019
0.9847
b) Seleccionou-se uma amostra aleatória de dimensão 3 do tempo de espera entre
chegadas de navios. Qual a probabilidade de o maior tempo registado entre chegadas
de navios, na amostra, ter sido inferior a 16 horas?
c) Um individuo observa o movimento do porto a partir das 0 horas de um dia. Qual a
probabilidade aproximada de ele ter de estar mais de 21 horas até observar a chegada
do 3º navio nesse dia.
0.005
□
0.25
□
0.001
□
0.75
□
3. Os consumos diários (em dezenas de kgs) de farinha e açúcar de uma pastelaria podem
ser bem representados pela variável aleatória (X,Y), respectivamente, com função
densidade probabilidade conjunta:
1
f ( x, y ) = x y 0 < x < 2 0 < y < 2
4
a) Calcule a probabilidade de o consumo de farinha ser inferior ao consumo de açúcar.
b) Considere que é igual a 0.5 a probabilidade de num dia o consumo de farinha ser
inferior ao consumo de açúcar. Seleccionados ao acaso 100 dias diga qual a
probabilidade de que em menos de 45 desses dias o consumo de farinha seja inferior
ao consumo de açúcar.
4. Numa empresa, 80% dos empregados são homens. As probabilidades de que os
empregados do sexo masculino sejam, não qualificados, qualificados e altamente
qualificados são respectivamente de 0.3, 0.6 e 0.1. As correspondentes probabilidades
para o sexo feminino são respectivamente de 0.4, 0.45 e 0.15.
a) Seleccionado aleatoriamente um empregado, constatou-se que era não qualificado.
Qual a probabilidade de que seja do sexo feminino?
b) Seleccionados casualmente 10 empregados dessa empresa, qual a probabilidade de pelo menos
6 serem do sexo masculino?
0.8791
□
0.9672
□
0.9736
□
0.9119
□