ESTATÍSTICA I - 2º Ano/Economia, Finanças, 2º semestre, Época Especial.
1ª Parte - Teórica – 30m, Versão XYZ
04. 09. 07
Cotação da 1º Parte: 8 Valores. As respostas são efectuadas no espaço a seguir disponível. No decorrer da prova não serão
prestados quaisquer esclarecimentos. BOA SORTE!
Nome:__________________________________________________________________________Turma:_________
A, B acontecimentos do espaço de resultados Ω . Recorrendo aos axiomas da teoria
matemática da probabilidade e à propriedade A ⊂ B ⇒ P ( A) ≤ P ( B ) , demonstre que P ( A) ≤ 1 .
1. Sejam
[Cotação: 15]
2. Considere uma partição { A1 , A2 , A3 } de Ω e sejam os acontecimentos B, C ⊂ Ω . Indique as respostas
verdadeiras (V) ou falsas (F), assinalando com X na quadrícula respectiva:
V
F
Para P (C ) > 0 , P ( B | C ) = P (C | B ) P ( B ) /( P (C | A1 ) P ( A1 ) + P (C | A1 ) P ( A1 )) .
A1 ∪ A2 ∪ A3 = Ω e Ai ∩ A j = ∅ para i ≠ j e i, j = 1,2,3 .
P( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = 0 .
Os acontecimentos A1 , A2 e A3 são independentes.
[Atenção: Cada resposta certa vale 2,5 cada resposta errada vale –2,5. A classificação desta questão variará entre
um mínimo de zero e um máximo de 10]
3. Considere as variáveis aleatórias
seguintes:
x
1
f ( x) 0.5
X e Y cujas funções de probabilidade são, respectivamente, as
2
0.2
3
0.3
y
g ( y)
-3
0.3
-2
0.2
-1
0.5
Indique as respostas verdadeiras (V) ou falsas (F), assinalando com X na quadrícula respectiva:
V
F
As distribuições de X e Y são simétricas.
E ( X ) = E (−Y ) .
Os coeficientes de assimetria de
A variâncias de
X e Y são simétricos.
X e Y são iguais.
[Atenção: Cada resposta certa vale 2,5 cada resposta errada vale –2,5. A classificação desta questão variará entre
um mínimo de zero e um máximo de 10]
4. Seja X uma variável aleatória. Prove que:
Var( X ) = E ( X 2 ) − µ 2 , onde µ = E ( X ) .
[Cotação: 15]
vsff →
5. Considere as variáveis aleatórias
X
e Y com função distribuição conjunta F ( x, y ) e funções
distribuição marginais F1 ( x) e F2 ( y ) . Indique as respostas verdadeiras (V) ou falsas (F), assinalando
com X na quadrícula respectiva:
V
F
Se Cov( X , Y ) = 0 então X e Y são independentes em média.
Se
X
e Y são independentes então E ( X | Y = y ) = E (Y ) .
A probabilidade condicionada P ( X ≤ x | Y ≤ y ) = F ( x, y ) / F2 ( y ) .
Se
X
e
Y não são independentes então Cov( X , Y ) ≠ 0 .
[Atenção: Cada resposta certa vale 2,5 cada resposta errada vale –2,5. A classificação desta questão variará entre
um mínimo de zero e um máximo de 10]
6. Considere uma amostra casual ( X 1 , K , X n ) , n ≥ 2 , obtida de uma população
X com função distribuição
F (x) e seja X a média amostral. Indique as respostas verdadeiras (V) ou falsas (F), assinalando com X na
quadrícula respectiva:
V
F
Cov( X i , X j ) = 0 , i ≠ j .
P ( X j ≤ x) = F ( x) , ∀j = 1,..., n .
Se existir Var ( X ) , então existe Var ( X ) e Var ( X ) < Var ( X ) .
Se a média da população não for conhecida então a média amostral não é uma estatística.
[Atenção: Cada resposta certa vale 2,5 cada resposta errada vale –2,5. A classificação desta questão variará entre
um mínimo de zero e um máximo de 10]
7.
Seja a variável aleatória X e
( X 1 ,K , X n ) uma amostra casual de dimensão n retirada da população X.
Indique as respostas verdadeiras (V) ou falsas (F), assinalando com X na quadrícula respectiva:
V
Se X
Se
F
~ N ( µ , σ ) , então P ( X > µ ) = 0,5 qualquer que seja µ e σ .
2
X ~ Binomial (n, θ ) , então Y = n − X ~ Binomial (n − x, θ ) .
Se X
~ N ( µ , σ 2 ) , então
Se Y =
∑
m
i =1
∑
n
i =1
(( X i − µ ) / σ ) 2 ~ χ (2n ) .
X i é o tempo que decorre até à m-ésima ocorrência num processo de
Poisson, então Y tem distribuição Gama.
[Atenção: Cada resposta certa vale 2,5 cada resposta errada vale –2,5. A classificação desta questão variará entre
um mínimo de zero e um máximo de 10]
ESTATÍSTICA I - 2º Ano/Economia, Finanças, 2º semestre, Época Especial.
2ª Parte – Prática – 1h30m.
Versão XYZ
Cotação da 2ª Parte: 12 Valores.
04. 09. 07
As perguntas de resposta múltipla são respondidas no enunciado, que deve
ser devolvido conjuntamente e dentro da folha de prova. Durante o decorrer da prova não serão prestados quaisquer
esclarecimentos. Justifique todos os preocedimentos. BOA SORTE!
Nome:__________________________________________________________________________Turma:_________
1. Estudos efectuados mostram que em determinada região as famílias escolhem essencialmente três tipos
de férias: Na praia, viajando pelo país e férias no estrangeiro. 60% das famílias gozam o período de
férias na praia, e destas, 42% têm pelo menos dois filhos. 32% das famílias viajam no próprio país,
sendo de 18% a percentagem dos que têm dois ou mais filhos. As restantes famílias fazem férias no
estrangeiro, havendo 5% destas que têm pelo menos dois filhos.
a) A família Silva tem três filhos. Qual a probabilidade de fazer férias no estrangeiro?
b) Num grupo de 20 famílias desta região, escolhidas ao acaso, qual a probabilidade de pelo menos
metade não fazer férias na praia? (Assinale com uma cruz no quadrado adequado)
1) 0.1276 …
2) 0.2447 …
3) 0.7553 …
4) 0.8724 …
[Atenção: Resposta certa vale 10, resposta errada vale –2,5]
2. Sabe-se que a duração (em minutos) dos serviços noticiosos num canal de televisão com carácter
informativo, é uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo (10;15). Num dia são
emitidos 40 desses serviços noticiosos.
a) Qual a probabilidade da duração dum desses serviços ser de pelo menos 12 minutos? (Assinale com
uma cruz no quadrado adequado)
1) 0.6
…
2) 0.8
…
3) 0.4
…
4) 0.2
…
[Atenção: Resposta certa vale 10, resposta errada vale –2,5]
b) Seleccionados 5 ao acaso, qual a probabilidade do serviço noticioso mais longo ser inferior a 12
minutos?
3. O número de aviões que chegam, por hora, a um aeroporto é uma variável aleatória com distribuição de
Poisson de média 6. Assume-se que o processo de chegadas é um processo de Poisson homogéneo.
a) Qual a probabilidade de num período de 10 minutos haver no máximo duas chegadas? (Assinale com
uma cruz no quadrado adequado)
1) 0.3679 …
2) 0.1839 …
3) 0.7358 …
4) 0.9197 …
[Atenção: Resposta certa vale 10, resposta errada vale –2,5]
b) Qual a probabilidade do tempo que decorre entre duas chegadas consecutivas não exceder 5 minutos?
4. Durante o período de férias, o montante diário (em euros) gasto por uma família pode ser aproximado por
uma variável aleatória com distribuição normal, de média 80 e variância 100.
a) Qual a probabilidade de num dia de férias, a família gastar menos de 75 euros? (Assinale com uma
cruz no quadrado adequado)
1) 0.6915 …
2) 0.2743 …
3) 0.7257 …
4) 0.3085 …
[Atenção: Resposta certa vale 10, resposta errada vale –2,5]
b) A família dispõe para as férias (30 dias) de 2000 euros. Considera esse montante suficiente? Justifique
apropriadamente.
Cotação:
1.a)
20
b)
10
2.a)
10
b)
20
3.a)
10
b)
20
4.a)
10
b)
20