PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC-SP
Helena Tavares de Souza
Um estudo com professores do Ensino Médio sobre Função Modular por meio
de Resolução de Problemas utilizando o software GeoGebra como estratégia
pedagógica
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA
SÃO PAULO
2013
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC-SP
Helena Tavares de Souza
Um estudo com professores do Ensino Médio sobre Função Modular por meio
de Resolução de Problemas utilizando o software GeoGebra como estratégia
pedagógica
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA
SÃO PAULO
2013
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC-SP
Helena Tavares de Souza
Um estudo com professores do Ensino Médio sobre Função Modular por meio
de Resolução de Problemas utilizando o software GeoGebra como estratégia
pedagógica
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA
Dissertação apresentada à Banca Examinadora
da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo,
como requisito parcial para obtenção do título de
MESTRE PROFISSIONAL em ENSINO DE
MATEMÁTICA, sob orientação da Professora
Doutora Barbara Lutaif Bianchini.
SÃO PAULO
2013
Banca Examinadora
__________________________________
__________________________________
__________________________________
Autorizo exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial
desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura:_______________________________Local e Data:_____________
DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho ao meu grande amor, meu marido Francisco, que há duas
décadas se alegra com as minhas alegrias e enxuga as minhas lágrimas nos
momentos tristes.
A esse homem encantador que durante todos estes anos têm me apoiado para que os
meus sonhos e metas sejam reais e vivenciados com plenitude.
AGRADECIMENTOS
A Deus pelo seu grande, infinito e incondicional amor e cuidado em todos os meus dias.
À minha orientadora Professora Doutora Barbara Lutaif Bianchini por todos os seus
ensinamentos, os quais contribuíram para o meu amadurecimento como pesquisadora e
profissional.
Aos professores que ministraram disciplinas durante o curso de Mestrado Profissional,
proporcionando-me momentos de reflexões e experiências.
Aos Professores Doutores Gerson Pastre Oliveira e Marcos Roberto Celestino que gentilmente
fizeram parte da Banca Examinadora, contribuindo com sugestões riquíssimas para a minha
pesquisa.
Aos meus colegas de sala Adriana, Cláudia, Eliane, Jefferson, Nalva, Nilza, Neto, Maria
Tereza, Regina, Regina Lúcia, Raquel, Ronaldo, Silvana, Silvia e Thereza e aos colegas do
GPEA que, em muitos momentos me deram força e ajudaram em diversas tomadas de decisão.
Ao meu marido Francisco por toda cumplicidade durante todo o curso.
Aos meus pais (in memorian) pelos infinitos ensinamentos. Que saudade de vocês!
Ao meu irmão Raul que continua com o mesmo instinto protetor de quando eu era criança,
pelo apoio e credibilidade e por sempre pronunciar que sou o seu orgulho.
Ao meu cunhado Cícero e minhas cunhadas Dora, Edna e Ninha pela credibilidade. E em
especial, à minha cunhada Teca por todo carinho, cuidado e por todos os almoços e jantares
que me ofereceu em sua casa, fazendo com que eu remisse o tempo para os estudos.
Aos meus sobrinhos pelo apoio e credibilidade. Em especial, Andréia, Alexandre e Vanessa.
Aos meus afilhados Anna Clara e Nycollas Eduardo por terem chegado à minha história
trazendo mais brilho e alegria.
Aos meus padrinhos Adenilson, Andreia e Santino por todo o carinho, cuidado e amizade
durante todos estes anos.
Aos meus amigos Cláudio, Débora Binja, Débora Flores, Elias Binja, e Selma pela
credibilidade e apoio.
Ao meu amigo Agnaldo por todas as ajudas.
Ao casal Tião e Neneca pelo carinho e apoio e por terem me hospedado em sua casa quando
participei do XI EPEM em 2012.
Ao meu amigo cubano Professor Doutor Lino Sanchéz Telléz por seus conselhos sábios e por
todo incentivo para que eu voltasse ao Brasil para esta formação.
À Universidade Óscar Ribas em Angola por ter me acolhido durante quatro anos, fazendo
vivenciar momentos ímpares e pelo consentimento do meu retorno ao Brasil para a formação
no Mestrado Profissional em Ensino de Matemática da PUC-SP.
A todos muito obrigada!
“De tudo só ficam três coisas:
A certeza de que estamos sempre começando.
A certeza de que é preciso continuar.
A certeza de que seremos interrompidos antes
de terminar”.
Fernando Pessoa
SOUZA, Helena Tavares de. 2013. Um estudo com professores do Ensino
Médio sobre Função Modular por meio de Resolução de Problemas utilizando
o software GeoGebra como estratégia pedagógica. Dissertação (Mestrado
Profissional em Educação Matemática). São Paulo: Pontifícia Universidade
Católica de São Paulo: Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação
Matemática (Orientadora: Professora Doutora Barbara Lutaif Bianchini).
RESUMO
Este trabalho tem como objetivo investigar possíveis contribuições a Educação
Básica para o ensino de função modular. Para atender tal objetivo, as investigações
foram delineadas de forma a responder à questão de pesquisa: De que forma o uso
de uma estratégia pedagógica baseada em Resolução de Problemas com o
emprego do software GeoGebra concorre para ampliar a compreensão de
professores do Ensino Médio sobre o tema função modular dos pontos de vista
algébrico e geométrico? A pesquisa tem uma abordagem qualitativa com análise de
conteúdo realizada com quatro professores do Ensino Médio de escolas da rede
pública e privada de São Paulo e que também são estudantes do curso de PósGraduação em Educação Matemática de uma universidade do Estado de São Paulo.
Os instrumentos aplicados correspondem a um questionário semiestruturado
dividido em quatro partes e entrevistas não-estruturadas. As análises são descritas
na perspectiva da Resolução de Problemas sob à luz da Educação Matemática. A
pesquisa não tem como foco principal analisar o uso das tecnologias, mas propõe a
utilização do software GeoGebra como estratégia pedagógica para o ensino do tema
em questão. Os resultados apontam que há diferenças nas concepções dos sujeitos
da pesquisa quanto a exercícios e problemas matemáticos (o que é exercício
matemático para alguns professores para outros é problema matemático) e também
mostram que o emprego do software GeoGebra concorre para ampliar a
compreensão de alguns professores do Ensino Médio quanto ao tema função
modular.
Palavras-chave: Educação Algébrica; Resolução de Problemas; Função Modular;
GeoGebra.
SOUZA, Helena Tavares de. 2013. A Study with High School Teachers about
Modular Function by solving problems using the software GeoGebra as a
pedagogical strategy. Thesis (Masters Degree in Mathematic Education). São
Paulo: Pontifícia Universidade Católica de São Paulo: Program of postgraduate
studies in Mathematic education (Orientadora: Professora Doutora Barbara
Lutaif Bianchini).
ABSTRACT
The purpose of the present paper is to investigate possible contributions to the Basic
Education in the teaching of Modular function. To attend such purpose, the
investigations were designed in a way so they answer to the research question: In
what way the use of a pedagogical strategy based on the problem solving approach
of with the software GeoGebra concur to amplify the understanding of High Schools
teachers about the Modular Function theme under the algebraic and geometric points
of view? This research has a qualitative approach with a content analysis made with
four public and private High School teachers, who are also students of a Mathematic
Education postgraduate course from a São Paulo’s University. The instruments
applied to this paper correspond to a semi structured questionnaire divided in four
parts and non-structured interviews. The analyses are described under the light of
Mathematic Education perspective by solving problems. This research does not
focus mainly in the use of technologies, howeveroffers the software GeoGebra as a
pedagogical strategy to the teaching of the issue in question. The results point to no
differences in the investigated people’s ideas related to mathematic problems and
exercises; mathematic exercises, for some teachers are exercises, and for others
they are mathematic problems, so this also shows that the use of the GeoGebra
software concurs to amplify the understanding of some High School teachers about
the Modular Function theme.
Key-words: Algebraic Education; Solving Problems; Modular Function;
GeoGebra.
LISTA DE QUADROS
Quadro 1-Diferenças entre exercícios e problemas matemáticos.............................40
Quadro 2-Critérios para transformar as tarefas escolares em problemas.................41
Quadro 3-Método de resolução de problemas...........................................................51
Quadro 4-Tipologia de ações para resolução de problemas na teoria das
Situações....................................................................................................................56
Quadro 5-Similaridades entre as ideias de Polya e Brousseau.................................57
Quadro 6-Distribuição dos conteúdos sobre Relação e Função propostos nos
Guias Curriculares para o Ensino da Matemática do Estado de São Paulo(1976)....64
Quadro 7-Níveis de utilização para a tecnologia........................................................84
Quadro 8-Apresentação de um esquema da situação-problema 2- autora.............110
Quadro 9-Exercícios de Funções Modulares - professor A......................................112
Quadro10 -Resolução da situação-problema 1 algebricamente - professor A........113
Quadro 11-Resolução da situação-problema 2 algebricamente - professor A........114
Quadro 12-Exercícios sobre Funções Modulares pelo professor B.........................115
Quadro 13-Resolução da situação-problema 1 algebricamente - professor A........116
Quadro 14-Resulução da situação-problema 2 algebricamente - professor B........117
Quadro 15-Exercícios de Funções Modulares - professor C...................................118
Quadro16-Resolução
das situações – problema 1 e 2 algebricamente –
professor C...............................................................................................................119
Quadro 17-Exercícios sobre Funções Modulares pelo professor D........................120
Quadro 18-Resolução
das situações - problema 1 e 2 algebricamente –
professor D...............................................................................................................121
Quadro 19-Respostas da atividade B pelo professor A..........................................123
Quadro 20-Respostas da atividade B pelo professor B.........................................127
Quadro 21-Resolução da situação-problema 2 noGeoGebra-professor B..............130
Quadro 22-Respostas da atividade B pelo professor C...........................................131
Quadro 23-Resolução da situação-problema 2 no GeoGebra-professor C.............134
Quadro 24-Respostas da atividade B pelo professor D..........................................135
Quadro 25-Resolução da situações-problema 1 e 2 no GeoGebra -professor D....137
Quadro 26-Questões sobre as contribuições do GeoGebra – professor A..............139
Quadro 27-Questões sobre as contribuições do GeoGebra – professor B..............140
Quadro 28-Questões sobre as contribuições do GeoGebra – professor C.............141
Quadro 29-Questões sobre as contribuições do GeoGebra – professor D.............141
Lista de Figuras
Figura 1-Gráfico da Função Modular f dada por f(x)=|x|............................................73
Figura 2-Apresentação de um esquema da situação-problema 1 no GeoGebra.....109
Figura 3-Apresentação de um esquema da situação-problema 2 no GeoGebra.....111
Figura 4-Gráfico de f, dada por f(x)=|x+a| no GeoGebra pelo professor A..............124
Figura 5-Gráfico de f, dada por f(x)=|x|+a no GeoGebra pelo professor A..............124
Figura 6-Resolução da situação-problema 1 no GeoGebra pelo professor A.........125
Figura 7-Resolução da situação-problema 2 no GeoGebra pelo professor A.........126
Figura 8-Gráfico de f, dada por f(x)=|x| no GeoGebra pelo professor B..................128
Figura 9-Gráfico de f, dada por f(x)=|x+a| no GeoGebra pelo professor B..............128
Figura10-Gráfico de f, dada por f(x)=|x|+a no GeoGebra pelo professor B.............129
Figura11-Resolução da situação-problema 1 no GeoGebra pelo professor B........130
Figura12-Função Modulares no GeoGebra pelo professor C.................................132
Figura13-Resolução da situação-problema 1 no GeoGebra pelo professor C........133
Figura14-Função Modulares no GeoGebra - professor D........................................136
SUMÁRIO
Introdução.................................................................................................................17
Capítulo I - Resolução de Problemas.....................................................................30
1.1
Breve histórico sobre a Resolução de Problemas..................................30
1.1.1 Ensinar sobre Resolução de Problemas................................................33
1.1.2 Ensinar Matemática para resolver problemas........................................34
1.1.3 Ensinar Matemática através da resolução de problemas.......................35
1.2
A Resolução de Problemas nos documentos oficiais brasileiros...........36
1.3
Conceitos de exercícios e problemas matemáticos...............................39
1.4
A Resolução de Problemas à luz da Educação Matemática..................43
1.4.1 Resolução de Problemas como contexto...............................................44
1.4.2 Resolução de Problemas como habilidade............................................45
1.4.3 Resolução de Problemas como arte......................................................45
1.5
Ensinar e aprender com ideias de Polya................................................46
1.6
Ensinar e aprender com ideias de Brousseau........................................52
1.7
Similaridade entre as ideia de Polya e Brousseau.................................57
Capítulo II- Função e a sua importância na Matemática.................................60
2.1
Breve histórico do ensino de função no Brasil........................................60
2.2
Conceito de Função................................................................................68
2.3
Conceito de Módulo.................................................................................71
2.3.1 Conceito de Função Modular..................................................................72
2.4
O uso de tecnologias na Educação Matemática.....................................75
2.5
Niveis do ciclo de apropriação de TiCs na Educação Matemática..........80
Capítulo III- Referencial Teórico- Metodológico..............................................85
3.1
Pesquisa Qualitativa................................................................................85
3.2
A descrição na abordagem qualitativa....................................................88
3.3
Coleta de dados......................................................................................88
3.4
Análise dos dados...................................................................................89
3.5
Plano de análise da pesquisa..................................................................92
3.6
Descrição dos sujeitos da pesquisa........................................................94
3.7
Descrição dos instrumentos da pesquisa................................................96
3.8
Descrição dos sujeitos da pesquisa........................................................99
Capítulo IV- Descrição e Análise dos dados..................................................101
4.1
Organização das análises dos dados coletados...................................101
4.2
Concepções dos professores A,B,C e D sobre exercícios e problemas
matemáticos.......................................................................................................102
4.2.1 Concepções dos professores A e D sobre exercícios e problemas
matemáticos.......................................................................................................104
4.2.2 Concepções dos professores B e C sobre exercícios e problemas
matemáticos.......................................................................................................104
4.3
Concepções dos professores A, B, C e D sobre as situaçõesproblema.............................................................................................................106
4.4
Compreensão da Função Modular........................................................107
4.4.1 Resolução apresentada pelo professor A..........................................112
4.4.2 Resolução apresentada pelo professor B..........................................115
4.4.3 Resolução apresentada pelo professor C..........................................118
4.4.4 Resolução apresentada pelo professor D..........................................120
4.5
Uso do GeoGebra para resolução de problemas no âmbito de
situações didáticas.............................................................................................122
4.5.1 O uso do GeoGebra – professor A.......................................................123
4.5.2 O uso do GeoGebra – professor B.......................................................127
4.5.3 O uso do GeoGebra – professor C.......................................................131
4.5.4 O uso do GeoGebra – professor D.......................................................135
4.6
Estratégias pedagógicas com o GeoGebra..........................................139
4.6.1 Contribuições apresentadas pelo professor A......................................139
4.6.2 Contribuições apresentadas pelo professor B......................................140
4.6.3 Contribuições apresentadas pelo professor C.....................................141
4.6.4 Contribuições apresentadas pelo professor D.....................................141
4.7
Síntese dos dados coletados dos professores A, B, C e D..................143
Considerações finais.......................................................................................146
Referências.......................................................................................................150
Anexos..............................................................................................................155
17
INTRODUÇÃO
“Não há ensino sem pesquisa e pesquisa
sem ensino... Ensino porque busco, porque
indaguei, porque indago e me indago.
Pesquiso para constatar, constatando
intervenho, intervindo educo e me educo”.
PAULO FREIRE
Trajetória Profissional
Minha primeira formação acadêmica foi em Licenciatura Plena em Matemática
na Fundação Santo André (FSA) em 1993. Nos dois anos consecutivos, na mesma
faculdade, continuei sendo discente no curso Lato Sensu em Metodologia do Ensino
Superior e em 2003 conclui o curso de Licenciatura Plena em Pedagogia e
Supervisão Escolar na UNIABC- Universidade do Grande ABC.
Em junho de 2012 completei vinte e um anos de experiência na docência, pois
comecei a lecionar quando ainda cursava o segundo ano da faculdade da primeira
formação. Durante todos esses anos lecionei no ensino fundamental II, ensino
médio, ensino técnico e ensino superior. Em 2008, solicitei afastamento das escolas
pública e particular nas quais trabalhava, ambas localizadas na região de Santo
André, São Paulo, e aceitei um convite para lecionar no continente africano, em
Angola, na Universidade Óscar Ribas, instituição particular que acabara de começar
os seus processos acadêmicos. Meu contrato de trabalho naquele momento era de
um ano; entretanto, com o envolvimento intenso no processo de ensino e
aprendizagem em outra cultura, e com experiências ímpares, permaneci em terras
angolanas por quatro anos consecutivos. Lecionei as disciplinas de Matemática e
Estatística nos cursos de Psicologia, Gestão em Administração e Marketing e
Engenharia. E em agosto de 2011, ainda vinculada à universidade em Talatona
(Luanda) retornei ao Brasil, pois era momento de sentar novamente nas cadeiras da
academia como discente para aprender o aprender e também aprender o ensinar.
Entendo que a docência é uma profissão que pede sempre a busca por
aprendizado. Assim, iniciei meu momento como aluna no mestrado profissional em
18
Ensino da Matemática do Programa de Estudos da Pós-Graduação em Educação
Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo - PUC-SP.
Motivações da Pesquisa
No princípio, eu tinha poucas ideias sobre as investigações que faria em minha
pesquisa. Conforme fui participando a cada semana do Grupo de Pesquisa em
Educação Algébrica (GPEA) e observando as investigações dos outros orientandos,
temas foram despontando. O aluno João Pereira Viana Filho, do grupo, relatou, em
um dos nossos encontros, que em suas buscas e levantamentos de dissertações e
teses sobre “ensino e aprendizagem de função por meio da modelagem
matemática”, em 2012 notou haver poucas investigações com os temas valor
absoluto, função modular, equação modular e inequação modular, inclusive, não
encontrou nenhuma pesquisa abordando esse tema e a modelagem matemática.
Diante desta observação, iniciei as investigações sobre função modular.
Meu próximo passo foi decidir: o que pesquisar sobre função modular?
Participando das aulas Tecnologia de Informação e Comunicação de Educação
Matemática (TIC) fui observando que alguns colegas de turma não dominavam os
conteúdos de alguns exercícios e problemas matemáticos, e também, a utilização
das ferramentas de alguns softwares, inclusive o GeoGebra. O que mais ressaltou
nesta observação é que esses alunos são professores do Ensino Fundamental,
Médio e Superior. Assim, me fiz as seguintes perguntas: será que nestas
dificuldades apresentadas estão presentes dúvidas quanto às diferenças entre
exercícios e problemas matemáticos? Existem caminhos para a resolução de tais
exercícios ou problemas matemáticos?
Desta pergunta surgiu outra indagação: quais são estas etapas? Ao investigar
vários autores, uma das leituras feitas nas aulas de Teoria e Prática de Educação
Matemática, deste mesmo Programa, o artigo de Cury (1988) chamou-me a atenção,
quando cita Polya, explicando que um problema, para ser bem resolvido, deve
seguir quatro fases: compreensão do problema, estabelecimento de um plano,
execução do plano e retrospecto (POLYA, 2006).
19
O caminho sugerido por Polya trouxe-me a seguinte questão: estas quatro
fases para a resolução de um problema também podem ser aplicados em exercícios
matemáticos?
Esta investigação poderia acontecer por dois caminhos: com estudantes ou
docentes do Ensino Médio ou do Ensino Superior. Considerando que o professor é
um elemento fundamental no processo de ensino e aprendizagem e é ele quem cria
estratégias para que o aluno acesse o conhecimento, passei a investigar a função
modular por meio da resolução de problemas utilizando as TICs, mais
especificamente, o software GeoGebra, com professores do Ensino Médio.
É importante destacar que a investigação foi realizada com docentes,
exclusivamente, do Ensino Médio de escolas públicas e particulares, que também
são alunos de um curso de Pós-Graduação em Educação Matemática de uma
universidade do Estado de São Paulo.
Desta forma, nossa investigação passou a ser um estudo com professores do
Ensino Médio sobre Função Modular por meio de Resolução de Problemas
utilizando o software GeoGebra como estratégia pedagógica. Esta pesquisa está
inserida
no
projeto
“A
aprendizagem
de
Álgebra
com
a
utilização
de
ferramentas tecnológicas”, do Grupo de Pesquisa em Educação Algébrica (GPEA)
da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP).
Justificativa do tema, problemática e objetivos
Polya (2006) afirma que para o aluno desenvolver a capacidade de resolver
problemas, o professor deve despertar em sua mente algum interesse,
proporcionando-lhe oportunidades de imitar e praticar tais problemas. Além disso, o
professor deve colocar-se na posição do aluno, em relação às suas dificuldades de
compreensão, interpretação e resolução, ou seja, deve pensar nas suas próprias
experiências, dificuldades e sucessos obtidos ao resolver problemas.
O trabalho com resolução de problemas amplia os valores educativos do saber
matemático e do desenvolvimento dessa competência, além de contribuir na
20
capacitação do aluno para melhor enfrentar os desafios do mundo contemporâneo
(PAIS, 2008).
Encontramos nos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental
(BRASIL,1998, p.112) que a “resolução de problemas é peça central para o ensino
de Matemática, pois o pensar e o fazer se mobilizam e se desenvolvem quando o
indivíduo está engajado ativamente no enfrentamento de desafios”.
A palavra problema nos faz pensar em algo que necessita ser resolvido,
superado e que exige um pensar consciente para solucioná-lo. “O que é problema
para alguns pode não ser para outros, ou o que é um problema num determinado
contexto pode não ser em outro” (DANTE, 2010, p.23). Para Onuchic (1999, p.215)
problema é “tudo aquilo que não se sabe fazer, mas que se está interessado em
resolver”.
Quando pensamos em problemas matemáticos, como podemos defini-los ou
conceituá-los? De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino
Fundamental “um problema matemático é uma situação que demanda a realização
de uma sequência de ações ou operações para obter um resultado. Ou seja, a
solução não está disponível de início, mas é possível construí-la” (BRASIL, 1998,
p.82).
Onuchic e Allevato (2004) afirmam que problemas de Matemática têm ocupado
um lugar central no currículo escolar há muito tempo, fato que atualmente é muito
mais significativo. A necessidade de se “entender” e “ser capaz” de usar Matemática
na vida diária e nos locais de trabalho nunca foi tão grande.
A resolução de problemas é considerada uma metodologia que pode ser
aplicada a qualquer tema matemático, desta forma, optamos por função modular.
Friedlander e Hadas (1995) propõem o ensino de valor absoluto numa
abordagem associada à interação com a Geometria Analítica e sugerem a aplicação
de três etapas: descrever em palavras (usar notação1 de distância); achar o conjunto
solução (usar a reta numérica2) e escrever o conjunto solução (usar notação
algébrica). Uma das aplicações do conceito de função modular consiste em resolver
1
2
Original do texto. A descrição dos autores significa usar o conceito de distância.
Original do texto. A descrição dos autores significa usar a reta real.
21
geometricamente equações e inequações modulares no plano cartesiano. Segundo
Friedlander e Hadas (1995, p.252):
O sistema de coordenadas cartesianas, contudo tem algumas vantagens:
Permite-nos resolver inequações com valor absoluto de maior complexidade
[...]. Utiliza mais ou menos a mesma estratégia em todos os casos.
Ademais, ela poderá ser utilizada posteriormente para resolver inequações
de qualquer tipo.
Para os autores Friedlander e Hadas (1995) é estabelecida a análise entre
Álgebra e Geometria destacando um aporte à propriedade que, normalmente, são
melhores observadas na parte gráfica, tal como ocorre quando se analisam as
funções do ponto de vista geométrico. A função modular por ser estudada
posteriormente às funções do 1º e 2º grau, exponencial, logarítmica e trigonométrica,
consolida o conhecimento das representações algébricas e gráficas dessas,
coroando, então, o conhecimento sobre o conceito de função. Além dessas
propriedades, a interpretação geométrica da interseção entre gráficos de duas ou
mais funções e o conceito de distância estão presentes neste tipo de resolução
integrada entre Álgebra e Geometria.
Quanto à visualização e compreensão dos gráficos referentes às funções
investigadas, utilizamos as Tecnologias de Informação e Comunicação como
estratégia pedagógica para o desenvolvimento das atividades aplicadas. O
GeoGebra3 foi o software utilizado como interface mediadora para o aprendizado da
função modular. Vale à pena ressaltar que os softwares por mais que sejam
considerados os elementos essenciais para o funcionamento de tecnologias digitais,
não são os elementos mais relevantes, visto que, os programas em si, não são
elementos didáticos.
Podemos constatar na afirmação de Oliveira (2009a, p.6) que:
O termo software didático é meramente relativo, no máximo a uma intenção,
mas sua efetividade didática depende de estratégia, planejamento, crítica,
debate e significação. Não há software didático, por si, assim como não há
tecnologias que educam.
3
Criado em 2001 por Markus Hohenwarter da Universidade de Salzburg, na Áustria. O software
GeoGebra é gratuito e vêm ao encontro de novas estratégias de ensino e aprendizagem de conteúdo
de geometria, álgebra, cálculo e estatística, permitindo professores e alunos à possibilidade de
explorar, conjecturar, investigar tais conteúdos na construção do conhecimento matemático.
Informações contidas no site www.pucsp.br/geogebrasp.
22
O foco, para o autor, não são as tecnologias, mas os conteúdos e as pessoas
que aprendem, servindo às tecnologias como interfaces mediadoras entre situaçõesproblema e o conhecimento que se pretende consolidar.
No âmbito desta problematização torna-se importante mencionar a visão de
Brousseau (citado por Oliveira, 2009a), relativa às situações adidáticas, parte
fundamental do estudo das situações didáticas, e que refletem de maneira bastante
completa a pretensão desta pesquisa. Brousseau (2008) menciona a possiblidade
de criação de situações nas quais o professor constrói ambientações ideais para a
estruturação do conhecimento matemático dos estudantes, sem que os mesmos
percebam a intenção do docente.
Para Oliveira (2009a, p.3):
[...] em relação à problematização proposta, a questão matemática
envolvida deve ser tal que a figura do aluno assuma maior centralidade no
processo, à medida que, autonomamente, materialize suas reflexões em
declarações e ações voltadas à própria aprendizagem. Para BROUSSEAU
(1997), o professor tem o papel de criador das situações de aprendizagem,
uma vez que, como mediador, “cria condições para o aluno ser o principal
ator da construção de seus conhecimentos a partir da(s) atividade(s)
proposta(s)”.
Conforme levantamento realizado no período de outubro de 2011 a dezembro
de 2012 no banco de dados da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de
Nível Superior - Capes4, observamos que a produção acadêmica em Educação
Matemática no Brasil, no que diz respeito ao ensino e aprendizagem de valor
absoluto, função modular, equação modular e inequação modular, apresenta poucos
trabalhos sobre o tema, despertando-nos ainda mais interesse para tal investigação.
Encontramos 260 investigações que abordam o tema “resolução de problemas” de
conteúdos da Matemática e da Física no período de 1994 a 2011; sobre o tema
“software GeoGebra” há 45 pesquisas entre os anos de 2008 a 2011; com o tema
“função modular” não há, então buscamos com as palavras módulo e valor absoluto
e encontra-se no site apenas 1 pesquisa. Encontramos ainda um artigo que trata
sobre a função modular nos livros didáticos segundo os registros de representação
semiótica publicado em uma universidade do Estado de São Paulo.
4
www.capes.gov.br
23
Diante desta quantidade de teses, dissertações e artigo encontrados adotamos
os seguintes critérios para a escolha de pesquisas correlatas:
 Pesquisas realizadas nos últimos quatro anos, no período de 2008 a 2011.
 Pesquisas realizadas em outras instituições, como também da PUC-SP, por
estarmos em formação continuada no Programa de Estudos Pós-Graduados
em Educação Matemática.
Destacamos e justificamos, então, a escolha de cada investigação correlata a
nossa pesquisa:

Júnior (2008) da Universidade Católica de Minas Gerais (PUC-MG) por ser a
pesquisa mais recente encontrada sobre módulo e valor absoluto.

Botta (2010) da Universidade Estadual Paulista de Rio Claro (UNESP) em
função do tema “Resolução de Problemas no ensino de conceito de função ao
Ensino Médio”, e também por estar inserida no Grupo de Trabalho e Estudo
em Resolução de Problemas (GTERP) da UNESP - Rio Claro.

Santos (2010) da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP)
por ter investigado a utilização do software GeoGebra como estratégia
pedagógica com professores e também pela metodologia escolhida ter sido a
mesma da nossa pesquisa.

Silva (2011) da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP) por
ter abordado algumas pesquisas que investigaram o tema Resolução de
Problemas como metodologia de ensino da Matemática.
Apresentamos a seguir um resumo das pesquisas escolhidas.
Júnior (2008) em sua pesquisa qualitativa de mestrado em Ensino de Ciências
e Matemática, realizada na PUC-MG, despertou interesse pelo tema ensino e
aprendizagem de valor absoluto e função modular, tendo em vista que a produção
24
acadêmica em Educação Matemática no Brasil apresenta poucos trabalhos
específicos sobre este assunto. A pesquisa teve o objetivo de investigar como a
elaboração de uma sequência didática, aplicada ao estudo de valor absoluto e
função modular, usando a concepção e organização de currículo em rede (PIRES,
2000) poderia estabelecer relações e interações com os diversos saberes envolvidos
na aprendizagem de função no Ensino Médio. Foram propostas quatro atividades
investigativas utilizando o software GeoGebra para construção e exploração dos
gráficos de função modular a doze alunos voluntários do Ensino Médio de uma
escola Federal de Belo Horizonte. As informações obtidas durante a elaboração da
sequência comparadas com os dados obtidos na aplicação das atividades
contribuíram para a consolidação do produto da pesquisa. As contribuições na
aprendizagem de valor absoluto foram percebidas no estabelecimento da rede por
meio da interação entre álgebra, a representação na reta real e a representação
gráfica. A investigação também mostrou que a ordem entre os tipos de resolução
possíveis no estudo de determinado tema não segue a coerência rígida presente no
currículo linear e compartimentado, antes, segue a flexibilidade condicionada à
organização curricular em rede.
Botta (2010) em sua pesquisa qualitativa de mestrado em Educação
Matemática, realizada na UNESP – Rio Claro investigou o ensino e aprendizagem
do conceito de função, no Ensino Fundamental e Ensino Médio, fazendo uso da
metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática por meio da
Resolução de Problemas segundo os trabalhos de Onuchic (1999), Onuchic e
Allevato (2004), e também, fazendo uso de análise de erros e concepções errôneas.
O trabalho teve o objetivo de investigar as seguintes questões: É possível antecipar
o conceito de função para as diversas séries do Ensino Fundamental II com o uso da
metodologia Resolução de Problemas? Como o estudo dos erros cometido pelos
alunos pode ajudar no processo de ensino e aprendizagem?
Foram analisados
trabalhos de alunos das diferentes séries dos ensinos Fundamental e Médio,
realizados em sala de aula, sob a orientação da professora-pesquisadora. As
respostas a essas questões se apoiaram em pontos-chave da pesquisa, referentes a
diferentes concepções da álgebra, a princípios da aprendizagem e estudo de erros.
As análises concluem que é possível antecipar o ensino do conceito de função para
a 5ª série/6º ano do Ensino Fundamental, de forma intuitiva, ao invés de, como é
25
usual, introduzi-lo formalmente na 1ª série do Ensino Médio, mas ressalta que o
professor não deve esperar dos alunos de 5ª série/6º ano muito mais do que uma
compreensão intuitiva da relação funcional. A pesquisa também revelou que para a
seleção de problemas envolvendo o conceito de função, destinados aos alunos do
Ensino Médio, o professor deve dar atenção ao tema Resolução de Problemas como
Prática, em que os problemas fornecem a prática necessária para reforçar
habilidades e conceitos ensinados previamente.
Santos (2010), em sua pesquisa qualitativa de mestrado profissional em Ensino
da Matemática, realizada na PUC-SP, utilizou a metodologia análise de conteúdo e
verificou quais são as dificuldades e possibilidades de professores de Matemática ao
utilizarem o software GeoGebra em atividades que envolvem o Teorema de Tales.
Subsidiariamente, pretendeu-se, também, investigar qual seria o papel das
tecnologias no eventual trabalho didático dos professores em relação ao Teorema
de Tales. Tomaram parte desta investigação quatro professoras da rede pública do
Estado de São Paulo do Ensino Fundamental II, que participaram de uma oficina
didática na qual se propunha a elaboração de estratégias pedagógicas com o uso do
software GeoGebra como tema da investigação. A partir das descrições das
professoras, distintos perfis de uso da tecnologia e de atuação docente, em relação
às estratégias pedagógicas, foram identificados, com destaque para conexão entre o
grau de conhecimento do saber matemático de referência e as abordagens
propostas como mediação da interface computacional. Além disto, foi possível
detectar estratégias didáticas do professor a partir das quais, ao usar o software,
possibilidades de maior experimentação das construções e de autonomia são
criadas. E ainda, o conhecimento matemático do professor é essencial para que a
estratégia seja efetiva, ou seja, professores com maior segurança nos conteúdos
matemáticos tendem a explorar melhor as potencialidades do software.
Silva (2011) em sua pesquisa de mestrado profissional em Ensino da
Matemática, realizada na PUC-SP, considerando a importância do tema Resolução
de Problemas no processo de ensino e aprendizagem em matemática, teve por
objetivo investigar qual a abordagem teórica e quais as diferenças na forma de
entendimento do termo “resolução de problemas” nas dissertações e teses
produzidas por alunos do Programa de Estudo de Pós-Graduados em Educação
Matemática da PUC-SP, no período de 1992 a 2009 que possuíam o foco no objeto
26
Resolução de Problemas ou na metodologia de ensino por Resolução de Problemas.
Metodologicamente a pesquisa se caracteriza como um estudo documental
denominado metanálise qualitativa na qual se procurou fazer uma revisão
sistemática de um conjunto de pesquisas visando à produção de novos resultados
ou sínteses. A pesquisa fundamentou-se nos trabalhos de Ponte (2004) e Dante
(2009), buscando confrontar as formas diferenciadas que a Resolução de Problemas
tem sido abordada nas pesquisas; assim, verificou-se que de dez dissertações
analisadas, sete caracterizam-se pelo ensino POR MEIO da Resolução de
problemas. Portanto, a pesquisa conclui que o ensino POR MEIO de Resolução de
Problemas nem sempre oferece um método específico para encontrar soluções dos
problemas propostos, mas a interação da pessoa com o problema e a relação
professor-aluno é mais intensa que no ensino PARA Resolução de Problemas,
assim, ambas as abordagens colaboram com o encontro das possíveis alternativas e
a efetivação do processo de ensino e aprendizagem.
Consideramos que as pesquisas descritas geram ambiência à nossa
investigação. Botta (2010) e Silva (2011) tratam da Resolução de Problemas e citam
teorias pertinentes aos objetivos da pesquisa aqui relatada. Júnior (2008) trata de
um dos temas específicos da nossa pesquisa: módulo e valor absoluto. Santos
(2010) aborda a metodologia análise de conteúdo e também utiliza o software
GeoGebra como estratégia pedagógica, contribuindo assim, com dados relevantes
ao tema presente.
A intenção desta pesquisa é desenvolver reflexões sobre o ensino de função
modular por meio de Resolução de Problemas utilizando o software GeoGebra como
estratégia pedagógica. A intenção é a de que, ao final dessa investigação, o
professor vislumbre a possiblidade de atuar como facilitador, mediador, desafiador e
elabore atividades de aprendizagem a fim de que a interação do aluno com o
conhecimento em construção seja desenvolvida no decorrer do aprendizado.
Segundo Pais (2008), o trabalho do professor é recontextualizar o conteúdo na
tentativa de expor ao aluno situações mais compreensíveis.
Com a aplicação de atividades que abordam função modular, o esperado é que
seja valorizado o raciocínio lógico e argumentativo, e para isso, se torna necessário
a busca de problemas que permitam tal abordagem.
27
Em relação à utilização de TICs nas aulas, Borba e Penteado (2007) salientam
que o professor precisa ser flexível à organização de suas aulas e ter a ousadia de
inovação em sua prática, há necessidade de encontrar formas para oferecer um
suporte constante no seu trabalho. Neste aspecto, relativo à sua formação
continuada, pode-se dizer que as oficinas são boas oportunidades para uma
progressão nesse sentido.
Desta forma, a partir destes pressupostos, a questão desta investigação é:
De que forma o uso de uma estratégia pedagógica baseada em Resolução
de Problemas com o emprego do software GeoGebra concorre para ampliar a
compreensão de professores do Ensino Médio sobre o tema função modular
dos pontos de vista algébrico e geométrico?
A investigação tem por foco principal utilizar o software GeoGebra como uma
estratégia pedagógica para o ensino do tema em questão e não analisar as
expressões do ponto de vista algébrico e geométrico da função modular com o uso
das tecnologias. Desta forma, torna-se importante ressaltar conforme argumenta
Oliveira (2007) que os computadores não substituem os seres humanos ou
simplesmente os complementam, mas auxiliam na reorganização do pensamento
com outras formas de proceder à formulação e a resolução de problemas.
Nesta pesquisa são destacas algumas finalidades:

Propor uma abordagem de Função Modular dos pontos de vista algébrico
e geométrico por meio de Resolução de Problemas,
de modo a
aproximar o processo de construção do conhecimento do aluno, usando
estratégias pedagógicas com as TICs.

Estudar diferentes abordagens para o ensino de Função Modular por
meio de Resolução de Problemas com professores de Matemática do
Ensino Médio de escolas da rede pública e particular do Estado de São
Paulo, a partir de situações-problema.
28

Buscar condições que contribuam para o ensino, possibilitando ao
professor do Ensino Médio, a oportunidade de conjecturar, refletir e
resolver atividades com Função Modular, propostas pela pesquisadora,
para compreensão do tema.
Estrutura do Trabalho
O relato desta pesquisa encontra-se estruturado em uma introdução, quatro
capítulos, as considerações finais e as referências.
O Capítulo I apresenta abordagens relevantes de alguns teóricos sobre
Resolução de Problemas: Stanic e Kilpatrick (1990), Onuchic (1999), Onuchic e
Allevato (2004), Schoroeder e Lester (1989), Van de Walle (2001). São trazidas as
diferenças entre exercícios e problemas matemáticos segundo os autores Vila e
Callejo (2006) e Pozo e Echeverría (1998). Trata também da Resolução de
Problemas à luz dos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998, 1999, 2002,
2006). Além disso, é descrito o referencial teórico com base nas ideias de Polya
(2006) e também as similaridades entre as teorias de Polya (2006) e Brousseau
(2008).
O Capítulo II discorre sobre o ensino de função no âmbito brasileiro com base
em Doria (1997), Braga (2006), Roxo (1929), Pires (2009) e os Guias Curriculares
para o Ensino de Matemática do Primeiro Grau (SÃO PAULO, 1976). Apresenta uma
breve trajetória do conceito de função no universo matemático segundo Eves (2011)
e Caraça (2005). Trata ainda dos conceitos de módulo e função modular relevantes
a Friedlander e Hadas (1995), Lima (1997), Stewart (2009) e Júnior (2008). Aborda
o uso de tecnologias como estratégia pedagógica segundo Kenski (2003, 2007),
Borba e Penteado (2007), Oliveira (2007, 2008, 2009a,b) para o ensino do objeto
matemático estudado.
No Capítulo III são descritos os aportes metodológicos segundo a visão de
Appolinário (2009), Borba (2004), Oliveira (2007), Bogdan e Biklen (1994), Laville e
Dionne (1999), Fiorentini e Lorenzato (2009), Ludke e André (1986) e Bardin (2011).
Apresenta também a descrição dos sujeitos da pesquisa, juntamente com os
instrumentos utilizados na investigação.
29
O Capítulo IV apresenta a análise das respostas dadas pelos professores do
Ensino Médio de escolas da rede pública e privada do Estado de São Paulo na
atividade aplicada.
Em seguida, são trazidas as considerações finais, com recomendações de
novas pesquisas relativas ao tema, alinhando as principais observações resultantes
da análise.
30
CAPÍTULO I
“Isto é, em resumo, a minha esperança
para a resolução de problemas. Se nós
fizermos o nosso trabalho corretamente,
talvez as escolas se tornem lugares onde
os alunos realmente aprendam a pensar”.
ALAN SCHOENFELD
Resolução de Problemas
O objetivo deste capítulo é apresentar um breve histórico sobre a Resolução de
Problemas, diferenciar os conceitos de exercícios e problemas matemáticos,
descrever o conceito à luz dos documentos oficiais brasileiros e de teóricos que se
dedicam a este tema e destacar a importância da Resolução de Problemas no
ensino e aprendizagem da Matemática.
1.1 Breve histórico sobre a Resolução de Problemas
Iniciamos este capítulo esclarecendo que usaremos Resolução de Problemas
quando nos referirmos à teorização e resolução de problemas quando nos
referirmos ao processo.
O ensino da matemática por meio da Resolução de Problemas é também
relatado por George Polya (Universidade de Stanford), com a sua obra A Arte de
Resolver Problemas (1944), publicado a primeira edição em 1945, argumentando
que existem quatro etapas para a resolução de problemas. O autor faz relação de
“como pensar” para a Resolução de Problemas por meio do raciocínio heurístico,
que tem por objetivo estudar os métodos e regras da descoberta e da invenção, na
qual grandes matemáticos e filósofos, como Pappus, Descartes, Leibnitz, Bolzano e
outros, pesquisaram sobre tais indagações heurísticas (POLYA, 2006).
31
Stanic e Kilpatrick (1990) afirmam que o papel da resolução de problemas na
Matemática escolar é o resultado do conflito entre forças ligadas as ideias antigas e
persistentes acerca das vantagens do estudo da Matemática e uma variedade de
acontecimentos que se influenciaram uns aos outros ocorridos no início do século
XX. Os autores ainda descrevem que em certo sentido, a resolução de problemas
nos currículos foi simplesmente um meio de conseguir que os alunos estudassem
Matemática. Os problemas foram um elemento do currículo de Matemática que
contribuiu, tal como outros elementos, para o desenvolvimento do poder de
raciocinar.
Nas décadas de 60 e 70 o ensino de Matemática no Brasil e em outros países
foi influenciado por um movimento de renovação – a Matemática Moderna. Ela
apresentava uma estrutura lógica, algébrica, topologica e de ordem, e enfatizava a
teoria dos conjuntos. Tinha preocupações excessivas com abstrações Matemáticas,
o ensino era trabalhado com um excesso de formalização, distanciando-se das
questões práticas. Concomitantemente, no início da década de 70, iniciaram as
investigações sobre Resolução de Problemas e suas implicações curriculares.
Apenas nesta década os educadores matemáticos passaram a aceitar a ideia de
que o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas merecia mais atenção.
No fim dos anos 70, a Resolução de Problemas ganha espaço no mundo inteiro
(ONUCHIC; ALLEVATO, 2004).
A proposta de Resolução de Problemas passou por várias modificações e
aperfeiçoamentos, sendo que o Nacional Council of teachers of mathematics
(NCTM) - Conselho Nacional de Professores de Matemática, entidade norteamericana, apresentou o documento “An Agenda for Action” (Uma Agenda para
Ação), recomendando que “resolver problemas deveria ser o foco da matemática
escolar nos anos 80” (NCTM, 1980, p.1). Havia entre os educadores matemáticos,
um grande interesse em fazer da resolução de problemas um foco do currículo de
matemática, com isso desenvolveram materiais por meio de coleções de problemas,
listas de estratégias, sugestões de atividades, os quais ajudaram muitos professores
a fazer da Resolução de Problemas o ponto central do seu trabalho (Ibid).
32
Em abril do ano 2000, nos EUA, o NCTM após uma década defendendo às
ideias nos Standards5, publica o Standards 2000 que possuem reformulações
contendo seis Princípios: Equidade, Currículo, Ensino, Aprendizagem, Avaliação e
Tecnologia, sendo estes ligados aos programas da Matemática escolar e divididos
em dois grupos: Padrões de Conteúdo – Números e Operações; Álgebra;
Geometria; Medida e análise de Dados e Probabilidade. Padrões de Processo –
Resolução de Problemas; Raciocínio e Prova; Comunicação, Conexões e
Representação (ONUCHIC; ALLEVATO, 2004).
No Brasil, na década de 90, foram implementados os PCN – Parâmetros
Curriculares Nacionais, semelhantes às ideias dos Standards 2000. Tais Parâmetros
indicaram a Resolução de Problemas como ponto de partida da atividade
matemática e discutiram caminhos para “fazer matemática” na sala de aula,
destacando a importância da História da Matemática e das Tecnologias de
Informação e Comunicação. Apontaram também a importância de estabelecer
conexões entre os blocos de conteúdos, entre a matemática e as outras áreas do
conhecimento e suas relações com o cotidiano e os Temas Sociais Urgentes (como
meio ambiente, saúde, pluralidade cultural, ética, etc) (PIRES, 2009).
Durante a década de 1980, muitos recursos em resolução de problemas foram
desenvolvidos, visando o trabalho na sala de aula, na forma de coleções de
problemas, listas de estratégias, sugestões de atividades e orientações para avaliar
o desempenho em resolução de problemas. Muito desse material passou a ajudar os
professores a fazerem da resolução de problemas o ponto central de seu trabalho,
entretanto, não teve coerência e nem a direção necessária para um bom resultado,
porque havia pouca concordância no objetivo. Essa falta de aceitação ocorreu
possivelmente, pelas grandes diferenças existentes entre as concepções que
pessoas e grupos tinham sobre o significado de resolução de problemas ser o
objetivo principal da matemática escolar (ONUCHIC, 1999).
Schroeder e Lester (1989) apresentam três caminhos para abordar Resolução
de Problemas, que ajudam a refletir sobre essas diferenças: ensinar sobre
Resolução de Problemas matemáticos; ensinar para resolver problemas de
5
Documentos com objetivos e princípios das práticas curriculares, de ensino e de avaliação para
ajudar professores e educadores a desenvolverem uma Matemática forte para todos (ONUCHIC;
ALLEVATO, 2004).
33
matemática e ensinar Matemática através da resolução de problemas. Os autores
ressaltam que, embora na teoria estes três caminhos de trabalhar Resolução de
Problemas possam ser separados, na prática eles se superpõem e podem acontecer
em várias combinações e sequências. Apresentaremos, separadamente, a
explicação dos três caminhos da Resolução de Problemas.
1.1.1 Ensinar sobre Resolução de Problemas
O ensino, durante o período em que se assumia a Matemática Moderna no
Brasil,
preocupava-se
excessivamente
com
as
abstrações
matemáticas
e
apresentava uma linguagem matemática precisamente universal que, embora
concisa e precisa, caracterizava-se por adotar uma terminologia complexa que
comprometia o aprendizado, no sentido de que os alunos não conseguiam lhe
atribuir significados (ONUCHIC, 1999).
Segundo a autora, o quadro de insucesso configurado na Matemática Moderna
levou pesquisadores e educadores matemáticos a buscar alternativas para o ensino
da Matemática. Voltaram-se, então, os olhos para a resolução de problemas. As
heurísticas ganharam força, constituindo-se em listas de sugestões e estratégias
gerais, independente do assunto particular. Elas auxiliavam a fazer aproximações,
compreender um problema e dispor, eficientemente, os recursos para resolvê-lo.
Portanto, foi sedimentada a crença de que era preciso ensinar os estudantes a
resolver problemas, ou o que é o mesmo, ensinar sobre Resolução de Problemas.
Para Schroeder e Lester (1989) o professor que ensina sobre Resolução de
Problemas realça o modelo de Polya de 1944, ou alguma variação dele. Este
modelo descreve um conjunto de quatro fases interdependentes no processo de
resolver problemas matemáticos: compreender o problema; elaborar um plano; levar
avante esse plano e olhar de volta o problema original para analisar a validade da
solução encontrada.
34
1.1.2 Ensinar Matemática para resolver problemas
Segundo Schroeder e Lester (1989, pp.32-33) “ao ensinar para resolver
problemas de Matemática”, o professor se concentra sobre modos em que a
Matemática que está sendo ensinada pode ser aplicada na resolução tanto de
problemas rotineiros como de não rotineiros. Embora a aquisição do conhecimento
matemático seja de primeira importância, o propósito essencial para aprender
Matemática é ser capaz de usá-la. Portanto, aos estudantes são dados muitos
exemplos de conceitos e de estruturas matemáticas sobre o que eles estão
estudando e muitas oportunidades para aplicar aquela Matemática estudada na
resolução de problemas. Posteriormente, o professor que ensina para resolver
problemas está preocupado com a habilidade dos estudantes em transferir o que
eles aprenderam num contexto de um problema para outros.
Van de Walle (2001, p.42) nomeia este caminho de “paradigma teach-thensolve (ensine-então-resolva)”, no qual há uma nítida separação entre o que é
ensinar Matemática e o que é resolver problemas. O autor afirma que, neste
caminho, tradicionalmente o professor inicia o trabalho apresentando o novo
conteúdo, e mostrando, em seguida, algumas aplicações por meio de exemplos.
Depois o professor dá uma imensa lista de exercícios de fixação no qual o aluno
deverá aplicar o novo conhecimento. O aluno não fixando bem os conceitos, pois
tem somente uma absorção passiva de ideias, depende exclusivamente da ação do
professor. Este caminho de ensino está separado do aluno e de seu aprendizado. A
aprendizagem, segundo o autor, deveria começar “onde o aluno está”, isto é
“partindo do que ele já sabe”.
Para Onuchic (1999) os usos e aplicações da Matemática merecem a atenção
de professores e estudantes, entretanto, não pode ser ensinada como uma
ferramenta, dependendo dos seus campos de aplicação. A autora também
argumenta que a repetição de uma estratégia ou técnica operatória, mesmo que
realizada corretamente, não garante a compreensão do conceito ou conteúdo
envolvido.
35
1.1.3 Ensinar Matemática através da resolução de problemas
Para Schroeder e Lester (1989) ensinar Matemática através da resolução de
problemas é a abordagem mais consistente, pois conceitos e habilidades
matemáticas são aprendidos no contexto da resolução de problemas. Os problemas
são avaliados não somente como um propósito para aprender Matemática, mas
também, como um meio importante de fazê-lo. Os autores argumentam que a
aprendizagem de Matemática deve ser vista como um movimento do concreto (um
problema do mundo real serve como exemplo do conceito ou técnica matemática)
para o abstrato (uma representação simbólica de uma classe de problemas e
técnicas para operar com esses símbolos).
Em seu texto, dirigido especificamente aos professores, Van de Walle (2001)
afirma, assim como Schroeder e Lester (1989), que é difícil ensinar através da
resolução de problemas. Entretanto, os últimos autores apresentam algumas razões
que justificam o esforço e entre elas estão:

A resolução de problemas coloca o foco da atenção dos estudantes
sobre as ideias e sobre o “dar sentido”.

A resolução de problemas envolve os estudantes nos cinco padrões
de
processo
problemas,
descritos
raciocínio
nos
e
Standards
prova
2000:
comunicação,
resolução de
conexões
e
representação.

A resolução de problemas desenvolve nos estudantes a crença de
que eles são capazes de fazer Matemática e de que ela faz sentido,
isto é, aumenta a confiança e a auto-estima.

A resolução de problemas fornece, ao professor, dados de
avaliação que lhe permite tomar decisões sobre o ensino e ajudar
os estudantes a ter sucesso com a aprendizagem.
36

Os alunos se entusiasmam com o desenvolvimento da capacidade
de compreensão que experimentam através de seu próprio
raciocínio.
Quando os professores ensinam matemática através da resolução de
problemas, eles estão dando aos seus alunos um meio poderoso e muito importante
de desenvolver a sua própria compreensão. À medida que a compreensão dos
alunos se torna mais profunda e mais rica, sua habilidade em usar matemática para
resolver problemas aumenta consideravelmente (ONUCHIC, 1999).
Vale destacar que a resolução de problemas como metodologia de ensino,
defendida pelos autores supramencionados, não exclui as demais concepções. Isto
significa que, quando o professor adota essa metodologia, os alunos podem
aprender tanto sobre Resolução de Problemas, quanto aprendem Matemática para
resolver novos problemas, enquanto aprendem Matemática através da resolução de
problemas.
No que se refere à Matemática, os Parâmetros Curriculares Nacionais do
Ensino Fundamental (BRASIL, 1998) indicam a Resolução de Problemas como
ponto de partida das atividades Matemáticas e apresentam caminhos para se fazer
Matemática na sala de aula. Veremos no próximo item quais são estes caminhos
dados pelos documentos oficiais brasileiros para a Resolução de Problemas.
1.2 A Resolução de Problemas nos documentos oficiais brasileiros
No Brasil foram estabelecidos os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN):
PCN - Matemática - 1º e 2º ciclos - 1ª a 4ª séries - 1997.
PCN - Matemática - 3º e 4º ciclos - 5ª a 8ª séries - 1998.
PCN - Matemática - Ensino Médio - 1999.
PCN+ - Matemática - Ensino Médio - 2002.
Orientações Curriculares – Ensino Médio - 2006.
37
Os objetivos gerais da área de Matemática contidos nos Parâmetros
Curriculares Nacionais tem como propósito fazer com que os alunos possam pensar
matematicamente, levantar ideias Matemáticas, estabelecer relações entre elas,
saber se comunicar ao falar e escrever sobre elas, desenvolver formas de raciocínio,
estabelecer conexões entre temas matemáticos e fora da Matemática e desenvolver
a capacidade de resolver problemas, explorá-los, generalizá-los e até propor novos
problemas a partir deles (ONUCHIC; ALLEVATO, 2004).
Quanto à resolução de problemas os educadores matemáticos brasileiros
apontam-na como ponto de partida da atividade matemática. A questão é descrita da
seguinte forma nos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental:
A resolução de problemas, na perspectiva indicada pelos educadores
matemáticos, possibilita aos alunos mobilizar conhecimentos e desenvolver
a capacidade para gerenciar as informações que estão ao seu alcance.
Assim, os alunos terão oportunidade de ampliar seus conhecimentos acerca
de conceitos e procedimentos matemáticos bem como de ampliar a visão
que têm dos problemas, da Matemática, do mundo em geral e desenvolver
sua autoconfiança (BRASIL, 1998, p.40).
Os princípios da resolução de problemas, como eixo organizador do ensino e
aprendizagem de Matemática, são especificados também nos Parâmetros
Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental conforme descrição a seguir:
A situação-problema é o ponto de partida da atividade matemática e não a
definição. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, ideias e
métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de
problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver
algum tipo de estratégia para resolvê-las. A resolução de problemas não é
uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como aplicação de
aprendizagem, mas uma orientação para a aprendizagem, pois proporciona
o contexto em que se pode apreender conceitos, procedimentos e atitudes
matemáticas (Ibid., pp.40-41).
Em relação às Competências em Matemática entendemos que as situações
envolvendo
problemas
matemáticos,
na
maioria
das
vezes,
podem
ser
indispensáveis ao processo de ensino e aprendizagem. Esta ideia é afirmada nos
Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio:
A resolução de problemas é peça central para o ensino de Matemática, pois
o pensar e o fazer se mobilizam e se desenvolvem quando o indivíduo está
engajado ativamente no enfrentamento de desafios. Essa competência não
se desenvolve quando propomos apenas exercícios de aplicação dos
conceitos e técnicas matemáticas, pois, neste caso, o que está em ação é
38
uma simples transposição analógica: o aluno busca na memória um
exercício semelhante e desenvolve passos análogos aos daquela situação,
o que não garante que seja capaz de utilizar seus conhecimentos em
situações diferentes ou mais complexas (BRASIL, 1999, p.112).
Na resolução de problemas as situações complexas e diversificadas oferecem
ao aluno a oportunidade de pensar por si mesmo, construir estratégias de resolução
e argumentações, relacionar diferentes conhecimentos, ou seja, persistir na busca
da solução e, para isso, os desafios devem ser reais e fazer sentido (Ibid).
As Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares
Nacionais para o Ensino Médio também apontam sugestões quanto à forma de
trabalhar os contéudos, destacando a resolução de problemas e descartando as
exigências de memorização, as apresentações de “regras”, desprovidas de
explicações, a resolução de exercícios repetitivos de “fixação” ou a aplicação direta
de fórmulas. Conforme indicado abaixo (BRASIL, 2006):
No trabalho com Números e operações deve-se proporcionar aos alunos
uma diversidade de situações, de forma a capacitá-los a resolver problemas
do cotidiano (p.70).
Também é preciso proporcionar aos alunos uma diversidade de problemas
geradores da necessidade de ampliação dos campos numéricos e suas
operações, dos números naturais para contar aos números reais para medir
(p. 71).
O estudo da função quadrática pode ser motivado via problemas de
aplicação, em que é preciso encontrar um certo ponto de máximo (clássicos
problemas de determinação de área máxima) (p.73).
Problemas de cálculos de distâncias inacessíveis são interessantes
aplicações da trigonometria, e esse é um assunto que merece ser priorizado
na escola (p.74).
O estudo da Geometria deve possibilitar aos alunos o desenvolvimento da
capacidade de resolver problemas práticos do cotidiano (p.75).
Os apontamentos acima sobre a Resolução de Problemas trazem amplo
significado quanto à preparação no cotidiano do aluno além da sala de aula,
tornando-o um cidadão com autonomia para desenvolver a todo momento suas
competências e habilidades nos vários papéis que assumirá na sociedade.
39
Para se aprender a resolver problemas é preciso conhecer os conceitos e
diferenças entre problemas e exercícios matemáticos. Portanto, propomos no item a
seguir estas explicações.
1.3 Conceitos de exercícios e problemas matemáticos
Do ponto de vista educacional o termo problema para Vila e Callejo (2006, p.6)
é visto da seguinte forma:
Reservaremos, pois, o termo problema para designar uma situação,
proposta com finalidade educativa, que propõe uma questão matemática,
cujo método de solução não é imediatamente acessível ao aluno/resolvedor
ou ao grupo de alunos que tenta resolvê-la, porque não dispõe de um
algoritmo que relaciona os dados e a incógnita com conclusão e, portanto,
deverá buscar, investigar, estabelecer relações e envolver sua emoções
para enfrentar uma situação nova.
Percebemos que esta definição traz a informação no que se constitui um
problema para um determinado indivíduo pode ser apenas exercício para outro.
Assim, é necessário que o professor tenha clareza quanto à diferenciação de
exercícios e problemas matemáticos para que o aluno não resolva exercícios de
fixação, após a teoria apresentada, deixando de estabelecer relações importantes e
mecanizando todo o processo de resolução. Conforme afirmam Pozo e Echeverría
(1998, p.160):
A realização de tarefas em contextos muito definidos e fechados – por
exemplo, como ilustração ou aplicação dos conceitos explicados num ponto
determinado – faz com que os alunos realizem mecanicamente as
atividades, sem problematizar a questão.
Para tornar mais clara à diferenciação de exercícios e problemas matemáticos,
o quadro a seguir destaca algumas características de ambos.
40
Quadro 1: Diferenças entre exercícios e problemas matemáticos
EXERCÍCIOS MATEMÁTICOS
PROBLEMAS MATEMÁTICOS
1. Ao ler um exercício, vê-se imediatamente em
1. Diante de um problema não se sabe, à
que consiste a questão e qual é o meio de resolvê-
primeira vista, como atacá-lo e resolvê-lo; às
la.
vezes, nem se quer se vê com clareza em que
consiste o problema.
2. O objetivo que o professor persegue quando
2. O objetivo que o professor persegue ao
propõe um exercício é que o aluno aplique de
propor um problema é que o aluno busque,
forma mecânica conhecimentos de algoritmos já
investigue, utilize a intuição, aprofunde o
adquiridos e fáceis de identificar.
conjunto de conhecimentos e experiências
anteriores e elabore
uma estratégia de
resolução.
3. Em geral, a resolução de um exercício exige
3. Em geral, a resolução de um problema
pouco tempo e este pode ser previsto de antemão.
exige um tempo que é impossível de prever
de antemão.
4. A resolução de um exercício não costuma
4. A resolução de um problema supõe um
envolver os afetos.
forte investimento de energia e afeto. Ao
longo da resolução, é normal experimentar
sentimentos de ansiedade, de confiança, de
frustração, de entusiasmo, de alegria etc.
5. Em geral, os exercícios são questões fechadas.
5. Os problemas estão abertos a possíveis
variantes
e
generalizações
e
a
novos
problemas.
6. Os exercícios são abundantes nos livros
6. Os problemas costumam ser escassos nos
didáticos.
livros didáticos.
Fonte: VILA; CALLEJO, 2006, adaptado.
É preciso que o professor tenha a clareza que a habilidade de resolver
problemas não é inata, muito pelo contrário, pode e deve ser desenvolvida. Os
alunos precisam ser estimulados e amparados durante a resolução de uma situação
a fim de que possam estabelecer os vínculos necessários entre o que já sabem e o
que se pretendem desenvolver. Segundo Vila e Callejo (2006) os alunos costumam
valorizar mais o produto que o processo, porque observam o mesmo ato nos seus
professores, razão pela qual destacam a necessidade de mudança na postura do
41
professor. Os autores relatam ainda que os sistemas de crenças dos professores
quanto à ideia de problema e os seus papéis na educação matemática levam-os a
tomar decisões, em alguns casos de modo inconsistente, sobre a tipologia de
problemas que propõem.
Segundo os autores, um estudo realizado na Catalunha com quatro professores
mostrou grande discrepância em relação ao que cada um considera como problema
em Matemática. Eles ainda destacam que as crenças dos alunos em torno da
resolução de problemas não são modeladas apenas na escola, tendo uma grande
importância a família e outros espaços de socialização. Sugerem como forma de
auxiliar os alunos a desenvolver crenças adequadas a respeito da resolução de
problemas:
- Começar logo a propor problemas.
- Assegurar-se de que os problemas propostos sejam verdadeiros.
- Apresentar-se aos alunos como resolvedores de problemas que não
conhecem todas as respostas.
- Centrar-se nos processos de resolução, não só nos resultados.
- Incentivar-se seguidamente os alunos a trabalharem em pequenos grupos,
animando-os a discutir e a buscar soluções alternativas.
- Ajudar os alunos a reconhecerem tanto os seus próprios bloqueios quando
se deparam com problemas difíceis e a superá-los como a satisfação e
prazer que experimentam quando encontram a solução.
- Valorizar os processos, as explicações e as estratégias dos alunos, além
de suas respostas, e animá-los a dar conta de seu trabalho.
- Não enfatizar o cálculo (VILA; CALLEJO, 2006, p.77).
Pozo e Echeverría (1998) identificam alguns critérios que permitem transformar
as tarefas escolares em problemas, ao invés de exercícios, como se expõe no
quadro 2 a seguir:
Quadro 2: Critérios para transformar as tarefas escolares em problemas
Na proposição do problema
1. Propor tarefas abertas que admitam vários caminhos possíveis de resolução e, inclusive, varias
soluções possíveis, evitando as tarefas fechadas.
2. Modificar o formato ou a definição dos problemas, evitando que o aluno identifique uma forma de
apresentação com um tipo de problema.
3. Diversificar os conteúdos nos quais se propõe a aplicação de uma mesma estratégia, fazendo
com que o aluno trabalhe os mesmos tipos de problemas em diferentes momentos do currículo,
42
diante de conteúdos conceituais diferentes.
4. Propor as tarefas não só como um formato acadêmico mais também dentro de cenários
cotidianos e significativos para o aluno, procurando fazer com que o aluno estabeleça conexões
entre ambos os tipos de situações.
5. Adequar à definição do problema, as perguntas e a informação proporcionada aos objetivos da
tarefa, usando, em diferentes momentos, formatos mais ou menos abertos, em função desses
mesmos objetivos.
6. Usar os problemas com fins diversos durante o desenvolvimento ou sequência didática de um
tema, evitando que as tarefas práticas apareçam como ilustração, demonstração ou exemplificação
de alguns conteúdos previamente apresentados pelos alunos.
Durante a solução do problema
7. Habituar o aluno a adotar as suas próprias decisões sobre o processo de resolução, assim como
a refletir sobre esse processo, dando-lhe uma autonomia crescente nesse processo de tomada de
decisões.
8. Fomentar a cooperação entre os alunos na realização das tarefas, mas também incentivar a
discussão e os pontos diversos, que obriguem a explorar o espaço do problema para comparar as
soluções ou caminhos de resolução alternativos.
9. Proporcionar aos alunos a informação que precisarem durante ao processo de resolução,
realizando um trabalho de apoio, dirigido mais a fazer perguntas ou fomentar nos alunos o hábito de
perguntar-se do que a dar resposta às perguntas dos alunos.
Na avaliação do problema
10. Avaliar mais os processos de resolução seguidos pelo aluno do que a correção final da resposta
obtida. Ou seja, avaliar mais do que corrigir.
11. Valorizar especialmente o grau em que esse processo de resolução envolve um planejamento
prévio, uma reflexão durante a realização da tarefa e uma auto-avaliação pelo aluno do processo
seguido.
12. Valorizar a reflexão e a profundidade das soluções alcançadas pelos alunos e não a rapidez com
que são obtidas.
Fonte: POZO; ECHEVERRÍA, 1998, adaptado.
Conforme vimos no quadro 2, a proposta dos problemas pode variar em função
dos objetivos do professor no desenvolvimento dos tópicos em Matemática. Desta
forma, cabe ao docente selecionar os problemas ou exercícios para atingir da
43
melhor forma possível os objetivos específicos ou gerais referente a determinado
conteúdo matemático, mas sempre destacando que a proposta essencial para o
ensino e aprendizagem da Matemática é a sua utilização dentro e fora da sala de
aula.
A Resolução de Problemas vai muito além de resolver problemas. Para vários
autores o tema traz alguns destaques no ensino e aprendizagem da Matemática,
como por exemplo: relevância, significado e reflexão. O próximo tópico abordará as
ideias de alguns teóricos sobre o assunto.
1.4 A Resolução de Problemas à luz da Educação Matemática
As pesquisas mostram que muitos investigadores em Educação Matemática
escrevem sobre Resolução de Problemas. Entendemos que o objetivo maior na
resolução de problemas é aprender a aprender, portanto, dentre tantos autores,
citaremos às ideias de Polya (2006) e Brousseau (2008) junto às suas relevâncias,
reflexões e significados do presente tema no ensino da Matemática.
O pensamento de González (2005, p.9) nos traz o seguinte alerta:
Investigar sobre a resolução de problemas parece ser uma atividade
constante entre os educadores matemáticos que assumem este assunto
como preocupação prioritária de seu trabalho investigativo [...] os problemas
e sua didática serão tema de investigação sempre vigente num âmbito da
Educação Matemática como campo para a produção do conhecimento de
6
saberes .
Nossa proposta é apontar nas ideias de Polya (2006) sobre Resolução de
Problemas e nas de Brousseau (2008) sobre a Teoria das Situações Didáticas os
problemas e seu ensino na Educação Matemática como espaço para a produção
profissional de saberes, conforme citado por González (2005).
Stanic e Kilpatrick (1990) apontam três temas gerais caracterizando o papel da
resolução de problemas nos currículos de Matemática: 1º) resolução de problemas
como contexto; 2º) resolução de problemas como habilidade; 3º) resolução de
problemas como arte.
6
Investigar acerca de la resolución de problemas parece ser una actividad permanente entre los educadores
matemáticos que assumen este asunto como preocupación prioritaria de su quehacer investigador [...] los
problemas y su didáctica serán un tema de investigación siempre vigente en el âmbito de la Educación
Matemática como campo para la producción profesional de saberes (GONZÁLEZ, 2005, p.9).
44
1.4.1 Resolução de Problemas como contexto
Os autores Stanic e Kilpatrick (1990) apresentam cinco subtemas sobre
Resolução de Problemas, todos baseados na ideia que tanto os problemas quanto
as suas resoluções são meios para atingir fins importantes.

Resolução de problemas como justificação: Historicamente, resolução de
problemas tem, em parte, sido incluída no currículo de Matemática porque
os problemas dão justificativa ao ensino de Matemática como um todo.

Resolução de problemas como motivação: Este subtema está relacionado
com o da justificação, em que os problemas justificam a Matemática que
está sendo ensinada. Entretanto, no caso da motivação, a conexão é
muito mais específica e a finalidade buscada é a de ganhar o interesse do
aluno.

Resolução de problemas como atividade lúdica: Este está relacionado
com a motivação porque o interesse do aluno está envolvido, mas, no
caso da atividade lúdica, problemas são dados não tanto para motivar os
alunos a aprenderem como para lhes permitirem ter alguma alegria com a
Matemática que já aprenderam.

Resolução
de
problemas
como
um
veículo:
Problemas
são
frequentemente dados não apenas para motivar os alunos a se
interessarem no ensino direto sobre um tópico, mas como um veículo
através do qual um novo conceito ou habilidade deve ser aprendido. Em
parte, descobrir técnicas reflete a ideia de que resolver problemas pode
ser um veículo para aprender novos conceitos e habilidades.

Resolução de problemas como prática: Dos cinco subtemas, resolver
problemas como prática, tem tido a maior influência no currículo de
Matemática. Neste subtema, os problemas não providenciam justificação,
45
motivação, atividade lúdica, ou veículo, mas visam à prática necessária
para reforçar habilidades e conceitos ensinados.
1.4.2 Resolução de Problemas como habilidade
Stanic e Kilpatrick (1990) afirmam que a resolução de problemas é
frequentemente vista como uma das muitas capacidades a serem ensinadas no
currículo escolar.
Embora a resolução de problemas como contexto permaneça um tema forte e
persistente, como habilidade tem se tornado dominante para aqueles que a veem
como um valioso fim curricular merecendo atenção especial, mais do que
simplesmente um meio para alcançar outros fins ou um inevitável resultado do
estudo da Matemática.
Estabelecer a resolução de problemas na hierarquia das habilidades a serem
adquiridas pelos alunos conduz a certas consequências: uma delas é que dentro das
capacidades gerais da resolução de problemas, fazem-se distinções hierárquicas
entre resolver problemas de rotina e não rotineiros. E que, a resolução de problemas
não rotineiros é caracterizada como uma habilidade de nível elevado a ser adquirida
depois da habilidade de resolução de problemas de rotina (que, por sua vez é
adquirido depois de os alunos apreenderem conceitos e capacidades matemáticas
básicas). Esta visão retarda a atenção à resolução de problemas não rotineiros e,
como resultado, apenas alguns alunos que conseguiram dominar os pré-requisitos
chegam a ser expostos a tais problemas. Mais do que para todos os alunos, a
resolução de problemas não rotineiros torna-se então uma atividade para os
estudantes especialmente capazes.
1.4.3 Resolução de Problemas como arte
Para Stanic e Kilpatrick (1990) a resolução de problemas como arte é a visão
mais profunda e compreensiva nos currículos escolares de Matemática. Emergiu do
trabalho de George Polya, em 1944, revivendo no nosso tempo a ideia da heurística
(a arte da descoberta). Matemáticos antigos como Euclides e Pappus e mais
46
recentes como Descartes, Leibnitz e Bolzano, discutiram métodos e regras para a
descoberta e invenção em Matemática, mas as suas ideias nunca tiveram grande
eco nos currículos escolares. Ficou para Polya a tarefa de reformular, continuar e
ilustrar várias ideias acerca da descoberta matemática de tal modo que os
professores as pudessem compreender e usar.
A resolução de problemas, segundo Polya (2006, p.4), é como praticar natação:
Ao tentarmos nadar, imitamos o que os outros fazem com as mãos e os pés
para manterem suas cabeças fora d´água e, afinal, aprendemos a nadar
pela prática da natação. Ao tentarmos resolver problemas, temos de
observar e imitar o que fazem outras pessoas quando resolvem os seus
problemas e, por fim, aprendemos a resolver problemas, resolvendo-os. [...]
o professor que deseja desenvolver nos estudantes a capacidade de
resolver problemas deve incutir em suas mentes algum interesse por
problemas e proporcionar-lhes muitas oportunidades de imitar e de praticar.
Na formulação do autor, o professor é o personagem principal sobre ensinar,
pois ninguém pode programar ou mecanizar o ensino de resolução de problemas.
Deve ter a sensibilidade para escolher bem o problema a ser resolvido, “nem muito
difícil, nem muito fácil, natural e interessante”. Também precisa auxiliar o aluno na
medida equilibrada, “nem demais, nem de menos”. Se o professor ajudar demais,
nada restará para o aluno fazer; se deixá-lo sozinho, sem auxílio suficiente; o aluno
poderá não ter nenhum progresso. Portanto, “o professor deve auxiliá-lo de tal modo
que tenha uma parcela razoável do trabalho” (Ibid., pp.1-2).
A seguir veremos com mais detalhes as ideias e sugestões de Polya para o
ensino e aprendizagem com a resolução de problemas.
1.5 Ensinar e aprender com as ideias de Polya
George Polya foi um dos estudiosos no assunto sobre resolução de problemas.
Publicou algumas de suas principais ideias, as quais estão descritas no seu livro
clássico A arte de resolver problemas, de 1944. Essa obra, além da análise de
estratégias, de padrões e analogias, identifica quatro etapas fundamentais que
ocorrem na resolução de problemas: compreensão do problema, estabelecimento de
um plano, execução do plano e retrospecto. Nas duas primeiras etapas o autor
mostra a importância dos processos de descoberta, que ele mesmo denominou
47
heurística, ressaltando a importância de explorar analogias, identificar padrões e
analisar problemas correlatos mais simples. Por outro lado, nas outras duas etapas,
o enfoque é dado para a execução e a garantia que a solução está correta.
Destacamos a seguir as quatro etapas da resolução de problemas sugeridas
por Polya (2006, pp.xix-xx):
1) Compreensão do problema: é preciso compreender o problema, ou seja as
primeiras descobertas com os seguintes passos:

Qual é a incógnita? Quais são os dados? Qual é a condicionante?

É possível satisfazer à condicionante? A condicionante é suficiente
para determinar à incógnita? Ou é insuficiente? Ou redundante? Ou
contraditória?

Trace uma figura. Adote uma notação adequada.

Separe as diversas partes da condicionante. É possível anotá-las?
2) Estabelecimento de um plano: encontre a conexão entre os dados e a incógnita. É
possível que seja obrigado a considerar problemas auxiliares se não puder encontrar
uma conexão imediata. É preciso chegar afinal a um plano para a resolução por
meio dos seguintes passos:

Já o viu antes? Ou já viu o mesmo problema apresentado sob uma
forma ligeiramente diferente?

Conhece um problema correlato?

Conhece um problema que lhe poderia ser útil?

Considere a incógnita! E procure pensar num problema conhecido
que tenha a mesma incógnita ou outra semelhante.

Eis um problema correlato e já antes resolvido. É possível utilizá-lo?
É possível utilizar o seu resultado? É possível utilizar o seu
método?

Deve-se introduzir algum elemento auxiliar para tornar possível a
sua utilização?

É possível reformular o problema? É possível reformulá-lo ainda de
outra maneira? Volte às definições.
48

Se não puder resolver o problema proposto, procure antes resolver
algum problema correlato. É possível imaginar um problema
correlato mais acessível? Um problema mais genérico? Um
problema mais específico? Um problema análogo? É possível
resolver uma parte do problema? Mantenha apenas uma parte da
condicionante, deixe a outra de lado; até que ponto fica assim
determinada a incógnita? Como pode ela variar? É possível obter
dos dados alguma coisa de útil? É possível variar a incógnita, ou os
dados, ou todos eles, se necessário, de tal maneira que fiquem
mais próximos entre si?

Utilizou todos os dados? Utilizou toda a condicionante? Levou em
conta todas as noções essenciais implicadas no problema?
3) Execução do plano: execute o seu plano usando os seguintes passos:

Ao executar o seu plano de resolução, verifique cada passo.

É possível verificar claramente que o passo está correto?

É possível demonstrar que ele está correto?
4) Retrospecto: examine a solução obtida com os seguintes passos:

É possível verificar o resultado? É possível verificar o argumento?

É possível chegar ao resultado por um caminho diferente? É
possível perceber isto num relance?

É possível utilizar o resultado, ou o método, em algum outro
problema?
Cada uma das etapas apresentadas tem a sua importância. Deixar de lado
qualquer uma das quatro fases sem dela ter uma perfeita noção, acarretará em
resoluções sem compreensões do problema, não existirá uma percepção quanto à
conexão principal da variável. Muitos enganos acontecerão na execução de um
plano, caso não seja verificado cada passo e muitos dos melhores efeitos podem
49
ficar perdidos se não for reexaminado (o plano) e reconsiderado em relação à
solução completa.
Desta forma, Polya (2006) reforça por meio de um diálogo com o leitor, o
ensino e aprendizagem da resolução de problemas, explicando com minúcias
simples e objetivas a utilização dos métodos de como resolver um problema:
a) Familiarização: Comece pelo enunciado do problema. Visualize o
problema como um todo, com tanta clareza e nitidez quanto possível.
É preciso compreender o problema, familiarizar-se com ele, gravar na
mente o seu objetivo. A atenção concedida ao problema pode
também estimular a memória e propiciar a recordação de pontos
relevantes.
b) Aperfeiçoamento da compreensão: Comece de novo pelo enunciado
do problema, quando estiver tão claro e tão bem gravado em sua
mente que poderá até perdê-lo de vista por um momento sem temor
de deixá-lo por completo. Isole e verifique as partes principais do
problema, a hipótese e a conclusão, considerando-as uma a uma, em
seguida examine-as em várias combinações, relacionando cada
detalhe com os outros detalhes e cada um com a totalidade do
problema.
c) Procura da ideia proveitosa: Considere o problema sob diversos
pontos
de
vista.
Destaque
as
diferentes
partes,
examine
repetidamente os diversos detalhes de maneiras diferentes. Procure
perceber algum significado novo em cada detalhe, alguma nova
interpretação do conjunto. Mesmo que, por algum tempo, não lhe
ocorra qualquer nova ideia apreciável, deverá ficar agradecido se a
sua concepção do problema tornar-se mais completa, coerente,
homogênea ou equilibrada.
50
d) Execução do plano: Comece da ideia feliz que o levou à resolução.
Principie quando se sentir seguro de que dominou a conexão
principal e confiante em que pode proporcionar os detalhes menores
que faltam. Realize detalhadamente todas as operações algébricas e
geométricas que já verificou serem viáveis. Verifique a correção de
cada passo, pelo raciocínio formal ou pela intuição, ou de ambas as
maneiras. Se o problema é muito complexo, pode distinguir passos
“grandes” e “pequenos”, constituindo-se cada grande passo de
diversos pequenos. Verifique primeiro os grandes e passe depois
para os pequenos.
e) Retrospecto: Considere os detalhes da resolução e procure torná-los
tão simples quanto possível; examine as partes mais amplas da
resolução e procure abreviá-las; perceba toda a resolução num
relance. Procure modificar vantajosamente as partes maiores e
menores da resolução, melhorá-la toda e inseri-la tão naturalmente
quanto
for
possível,
nos
seus
conhecimentos
anteriormente
adquiridos. Examine o método que o levou à resolução, para
caracterizá-lo e utilizá-lo em outros problemas. Examine o resultado e
procure utilizá-lo em outros problemas. É possível que encontre outra
resolução melhor, que descubra fatos novos e interessantes. De
qualquer maneira, se adquirir o hábito de verificar e examinar desse
modo as suas resoluções, obterá alguns conhecimentos bem
ordenados e prontos a serem utilizados e assim desenvolverá a sua
capacidade de resolver problemas.
Todas as etapas mostram que o grande objetivo de Polya é enfatizar que na
resolução de um problema deve-se ter sempre começo, meio e fim. Considerar
sempre a variável, os meios e maneiras para encontrá-las e por fim, considerar a
conclusão, ou seja, a validação da resolução. O autor faz a seguinte observação:
Não esqueça a sua meta. Pense naquilo que deseja obter. Tenha em mente
aquilo para que está a trabalhar. Considere a incógnita [...]. Ao focalizar a
atenção e concentrar a vontade no nosso objetivo, pensamos em meios e
maneiras de alcançá-lo. Quais os meios para este fim? Como podemos
51
chegar a ele? Que causas poderiam produzir este resultado? [...]. Considere
a conclusão (POLYA, 2006, p.42).
Para uma melhor aplicação destes métodos à resolução de problemas, Polya
indica caminhos aos professores e alunos. Tais instruções aos “estudantes” tanto
podem ser para um aluno de curso básico ou superior como qualquer pessoa que
esteja estudando Matemática. Da mesma forma, o “professor” pode ser do ensino
básico ou universitário, ou qualquer pessoa interessada no ensino da Matemática.
Propomos um quadro com alguns destes caminhos apresentados por Polya
correspondentes aos professores e alunos.
Quadro 3: Método de resolução de problemas
Professor
Aluno
1.Auxiliar seus alunos discretamente, sem dar
1.Adquirir
tanta
experiência
pelo
trabalho
na vista.
independente quanto lhe for possível.
2.Não ajudar demais nem de menos o seu aluno
2.Adquirir uma parcela razoável do trabalho.
3.Colocar-se no lugar do aluno, perceber o
3.Não se sentir sozinho, sem ajuda ou com auxílio
ponto de vista deste, procurar compreender o
insuficiente. Experimentar qualquer progresso na
que se passa em sua cabeça.
compreensão.
4.Fazer uma pergunta ou indicar um passo que
4.Desenvolver a capacidade de resolver futuros
poderia ter ocorrido ao próprio estudante.
problemas por si próprio.
5.A cada problema fazer as mesmas perguntas
5.Se o aluno conseguir resolver o problema que lhe
e indicar os mesmos passos: Qual é a
é apresentado, terá acrescentado alguma coisa à
incógnita? Do que se precisa? O que se deve
sua capacidade de resolver problemas.
procurar?
6.Fazer indagações proveitosamente repetidas.
6.Chegar a ideia certa pela repetição da indagação.
7.Provocar a operação mental, útil para a
7.Assimilar a maneira correta para apresentar a si
resolução de problemas por meio da indagação
próprio realizando com naturalidade e vigor a
e da sugestão.
operação mental correspondente.
8.Ao resolver um problema em aula, fazer a si
8.Descobrir o uso correto das indagações e
próprio as mesmas indagações que utiliza para
sugestões e, ao fazê-lo, adquirirá algo mais
52
ajudar o aluno.
importante que o simples conhecimento de um fato
matemático qualquer.
9.Trabalhar para um fim que se deseja.
9.Desejar resolver o problema.
10.Escolher bem o problema: nem muito difícil
10.Estar em condições de identificar as partes
nem muito fácil. O enunciado verbal precisa
principais do problema, a incógnita, os dados, a
ficar bem entendido.
condicionante.
11.Transmitir ao aluno o conceito de que
11.Escrever a resolução, verificar cada passo e
problema algum fica completamente esgotado.
acreditar que resolveu corretamente o problema,
É sempre possível aperfeiçoar a compreensão
mas assim mesmo perguntar: É possível verificar o
da resolução.
resultado?
12.Não dar ao aluno a impressão de que os
12.Investigar as relações de um problema ao fazer
problemas matemáticos têm pouca relação uns
o retrospecto de sua resolução.
com os outros.
Fonte: POLYA, 2006, adaptado.
Entendemos que o quadro acima indica que a ação do professor é encorajar o
aluno a pensar, questionar, resolver problemas e discutir suas ideias, estratégias e
soluções. As atividades do docente e do aluno podem compor as situações
didáticas, teoria sistematizada por Brousseau. No próximo item apresentaremos uma
síntese sobre a Teoria das Situações Didáticas.
1.6 Ensinar e aprender com as ideias de Brousseau
A Teoria das Situações Didáticas foi sistematizada em 19707, por Guy
Brousseau, pesquisador francês da Universidade de Bordeaux.
O objetivo da teoria é estudar os fenômenos que interferem no processo de
ensino e aprendizagem da matemática e propor um modelo teórico para a
7
Neste ano os primeiros elementos da teoria das situações foram comunicados numa conferência do
Congresso da Associação dos Professores de Matemática do Ensino Público (Apmep) de ClermontFerrand. No final dos anos 70 desempenhou um papel preponderante no desenvolvimento da didática
da matemática como disciplina científica. Apesar dos primeiros elementos da teoria das situações
didáticas terem se tornado públicos em 1970, os conceitos que forjou no decorrer de 20 anos de
pesquisa foram apresentados de forma organizada como um quadro coerente em sua tese de
doutorado de Estado (BROUSSEAU, 2008).
53
construção, a análise e a experimentação de situações didáticas. Um dos pontos
fundamentais que dão suporte a essa teoria é a noção do milieu, que foi introduzida
por Brousseau para analisar, de um lado, as relações entre os alunos, os
conhecimentos ou saberes e as situações e, por outro lado, as relações entre os
próprios conhecimentos e as situações (ALMOULOUD, 2010).
Esta teoria caracteriza todo o contexto que cerca o aluno, nele incluídos o
professor e o sistema educacional, ou seja, baseia-se no princípio de que "cada
conhecimento ou saber pode ser determinado por uma situação", entendida como
uma interação entre duas ou mais pessoas com um meio determinado. Desta forma,
interpreta-se a relação didática como uma comunicação de informações: “o
professor organiza o conhecimento a ser transmitido em uma série de mensagens,
das quais o aluno toma para si o que deve adquirir” (BROUSSEAU, 2008, p.16).
Para Brousseau (2008) o objeto central de estudo nessa teoria não é o sujeito
cognitivo, mas a situação didática na qual são identificadas as interações
estabelecidas entre professor, aluno e saber. O autor procura teorizar os fenômenos
ligados as interações, buscando a especificidade do conhecimento ensinado. Para
isto, considera fundamental a estrutura formada pelo sistema minimal: sistema
didático stricto sensu, ou seja, as interações entre professor e alunos mediadas pelo
saber nas situações do ensino.
A situação didática é definida como:
O conjunto de relações estabelecidas explicitamente e/ou implicitamente
entre um aluno ou grupo de alunos, certo milieu (contendo eventualmente
instrumentos ou objetos) e um sistema educativo (o professor) para que
esses alunos adquiram um saber constituído ou em constituição (Ibid.,
p.53).
Esta série de mensagens transmitidas pelo professor devem ser problemas que
propõem adaptações desejáveis ao aluno, tais como fazê-lo atuar, falar, refletir e
evoluir. Assim, o professor passa a ser um não fornecedor dos conhecimentos. Tal
situação denomina-se adidática conforme descrição abaixo:
Do momento em que o aluno aceita o problema como seu até aquele em
que se produz a resposta, o professor se recusa a intervir como fornecedor
dos conhecimentos que quer ver surgir. O aluno sabe que o problema foi
escolhido para fazer com que ele adquira um conhecimento novo, mas
54
precisa saber, também, que esse conhecimento é inteiramente justificado
pela lógica interna da situação e que pode prescindir das razões didáticas
para construí-lo. Não só pode como deve, pois não terá adquirido, de fato,
esse saber até que o consiga usar fora do contexto de ensino e sem
nenhuma indicação intencional. Tal situação denomina-se adidática
(BROUSSEAU, 2008, p.35).
Considerar as situações adidáticas como necessárias no desenvolvimento do
aluno elimina a ideia de que o professor possa ser somente um transmissor de
conhecimentos. O problema escolhido pelo professor é parte de uma situação mais
ampla e tem por objetivo ser mais um dispositivo, ou seja, um meio que responde ao
sujeito. O autor argumenta ainda:
O único meio de “fazer” matemática é procurar e resolver determinados
problemas específicos e, a este propósito, colocar novas questões. O
professor tem, pois, de efetuar, não a comunicação de um conhecimento,
mas a devolução do problema adequado. Se esta devolução se opera, o
aluno entra no jogo e, se ele acaba por ganhar, a aprendizagem teve lugar
(Ibid., p.49).
Observamos, que para o autor, o aprendiz é desafiado a adaptar os seus
conhecimentos anteriores às condições de solução de um novo problema. O
problema inicialmente propostos sempre terá a finalidade de desenvolver as
habilidades de autonomia e a busca de elos entre o que já é sabido e aquilo que se
deseja saber.
Na Teoria das Situações Didáticas (TSD) “bons problemas” compõem uma
situação que depende de três dialéticas adidáticas (ação, formulação e validação) e
uma didática (interações entre professor, aluno e o saber), e de retroações em
relação ao milieu (material, social, tecnológico), necessariamente antagônicas ao
sujeito, ou seja, o aprendiz é o responsável pelo processo de sua aprendizagem
(ALMOULOUD, 2010).
Brousseau (2008) salienta
que o milieu sem intenções didáticas é
manifestamente insuficiente para induzir no aluno todos os conhecimentos que ele
deseja adquir. A relação didática tem por finalidade desaparecer, e o sujeito deverá
então, utilizar os conhecimentos assim construídos fora de todo contexto com
intenção didática.
55
Segundo Almouloud (2010) as quatro dialéticas da Teoria das Situações
Didáticas são descritas das seguintes formas:
1º) Situação de ação: é aquela em que o aluno realiza procedimentos mais
imediatos para a resolução de um problema, resultando na produção de um
conhecimento de natureza mais experimental e intuitiva do que teórica. Nessa etapa
busca-se que o aluno resolva o problema sem a preocupação de explicitar todos os
argumentos utilizados na elaboração. Almouloud (2010, p.37) comenta que:
Uma boa situação de ação não é somente uma situação de manipulação
livre ou que exija uma lista de instruções para o seu desenvolvimento. Ela
deve permitir ao aluno julgar o resultado de sua ação e ajustá-lo, se
necessário, sem a intervenção do mestre, graças à retroação do milieu.
Assim, o aluno pode melhorar ou abandonar seu modelo para criar um
outro: a situação provoca assim uma aprendizagem por adaptação.
2º) Situação de formulação: é aquela em que o aluno passa a utilizar na
resolução de um problema algum esquema de natureza teórica, contendo um
raciocínio mais elaborado do que um procedimento experimental. O aluno troca
informações com uma ou várias pessoas, que serão os emissores e receptores,
trocando mensagens escritas ou orais.
A situação de formulação proporciona ao aluno condições para que este
construa, progressivamente, uma linguagem compreensível por todos, que
considere os objetos e as relações matemáticas envolvidas na situação adidática. O
autor afirma que:
O objetivo da dialética de formulação é a troca de informações. Por
exemplo, se o aluno deve agir e não dispõe de toda a informação e se seu
parceiro no jogo dispõe das informações que lhe faltam, pode haver, nessas
trocas, julgamentos, debates de validade, sem que isto constitua
necessariamente uma situação de formulação (Ibid., p.38).
3º) Situação de validação: é aquela em que o aluno já utiliza mecanismos de
provas e o saber já elaborado por ele passa a ser usado com uma finalidade de
natureza essencialmente teórica, ou seja, vincular de forma segura um
conhecimento a um campo de saberes já consolidados.
56
É a etapa na qual o aprendiz deve mostrar a validade do modelo por ele
criado, submetendo a mensagem matemática (modelo de situação) ao
julgamento de um interlocutor. De um lado, o emissor deve justificar a
exatidão e a pertinência de seu modelo e fornecer, se possível, uma
validação semântica e sintática. O receptor, por sua vez, pode pedir mais
explicações ou rejeitar as mensagens que não entende ou de que discorda,
justificando sua rejeição. Assim, a teoria funciona, nos debates científicos e
nas discussões entre alunos, como milieu de estabelecer provas ou de
refutá-las (ALMOULOUD, 2010, p.39).
4º) Situação de institucionalização: tem a finalidade de buscar o caráter objetivo
e
universal
do
conhecimento
estudado
pelo
aluno.
O
professor
fixa
convencionalmente e explicitamente o estatuto cognitivo do saber. O autor
complementa
o
pensamento
de
Brousseau
afirmando
que:
“depois
da
institucionalização, feita pelo professor, o saber torna-se oficial e os alunos devem
incorporá-los a seus esquemas mentais, tornando-o assim disponível para utilização
na resolução de problemas matemáticos” (Ibid., p.40)
O quadro a seguir traduz de forma mais clara e resumida as diferenças entre
cada uma das situações apresentadas por Brousseau.
Quadro 4: Tipologia de ações para resolução de problemas na Teoria das Situações
Fases
Investigação do Professor
Fase de ação
Trabalho dos Alunos
Os
O professor propõe o problema.
alunos
trabalham
individualmente ou em grupo.
O
Fase de formulação
Fase
institucionalização
estimula,
Os alunos explicitam oralmente ou
desbloqueia, mas deve evitar intervir
por escrito como resolveram os
sobre o conteúdo.
problemas e a solução encontrada.
O
Fase de validação
de
professor
professor
anima,
as
Os alunos devem argumentar em
intervenções dos alunos, mas deve
favor da validação de sua solução,
evitar intervir sobre o conteúdo.
tentando convencer seus colegas.
O professor deve identificar o novo
Os alunos reestruturam os seus
saber, saber-fazer e precisar as
conhecimentos.
convenções.
intermedia
Trata-se
de
homogeneizar os conhecimentos da
turma e de identificar quais dos
saberes
construídos
devem
ser
57
retidos e de que forma.
Fase
de
seguida
exercício
de
uma
O professor ajuda os alunos a se
Os
familiarizarem
problemas e aplicam os novos
conhecimentos,
avaliação
com
a
os
usá-los
novos
em
alunos
resolvem
novos
conhecimentos.
diferentes situações para que se
conscientizem de seu campo de
aplicação.
Fonte: VILA; CALLEJO, 2006, adaptado.
Cada situação pode fazer com que o sujeito progrida de tal forma que ocorra
uma sucessão (espontânea ou não) de novas perguntas e respostas. Nesses
processos, as sucessões de situações de ação, formulação e validação podem
conjugar-se para acelerar as aprendizagens e ao final com a institucionalização,
constituir uma ordem para a construção dos saberes (BROUSSEAU, 2008).
1.7 Similaridades entre as ideias de Polya e Brousseau
Neste item procuramos identificar os pontos de contato entre as ideias de Polya
(2006) e Brousseau (2008) sobre a resolução de problemas.
Propomos abaixo o quadro com as quatro divisões das etapas da resolução de
problemas e as dialéticas da teoria das situações didáticas. É importante ressaltar
que as teorias não são correspondentes umas as outras, conforme a ordem descrita.
O objetivo é apenas a visualização resumida de ambas.
Quadro 5: Similaridades entre as ideias de Polya e Brousseau
POLYA
BROUSSEAU
Compreender o problema
Situação de ação
Estabelecimento de um plano
Situação de formulação
Execução do plano
Situação de validação
Retrospecto
Institucionalização
Fonte: Elaborado pela autora.
58
Brousseau (2008) afirma que a base para a criação de situações didáticas
interessantes, que coloquem o aluno no trabalho investigativo e que o faça imitá-lo,
é justamente a existência de bons problemas. Para o autor, o docente é apenas o
mediador, não se encontra no âmbito do problema e o aluno não resolve tal questão
com o objetivo de dar satisfações ao professor, mas, justamente, para criar
expectativas de validade para a solução que está propondo.
Polya (2006) no seu estudo sobre Resolução de Problemas, não se preocupa
com o milieu e as retroações a partir dele; o papel do professor é auxiliar o aluno
com discrição, naturalidade, fazendo sempre as mesmas perguntas e indicando os
mesmos passos para a solução da questão.
Brousseau (2008) menciona as diversas abordagens e caminhos na dialética
de formulação, para ele este processo não é estático, resume-se em aplicação para
problemas novos. Nesta dialética é encontrada a etapa retrospecto, a qual Polya
(2006, p.13) sugere ao “aluno verificar se é possível chegar num resultado por
caminhos diferentes”, expressão essa que Brousseau (2008, p.29) descreve como
“busca de informações no milieu”.
Vale à pena destacar que:

As quatro etapas da resolução de problemas, sempre os mesmos
passos, são consideradas como solução completa para novos
problemas. Nestas fases o professor auxilia o aluno durante todo o
processo, desenvolvendo nesse a capacidade de resolver futuros
problemas por si próprio (POLYA, 2006).

As quatro dialéticas na Teoria das Situações Didáticas são vários ciclos
interligados, pois o conhecimento é substrato para novos problemas com
novas complexidades. Nessas fases o professor trabalha como
mediador, de forma a criar condições para que o aluno seja o ator
principal no processo de construção do conhecimento proposto pela
atividade (BROUSSEAU, 2008).
59
Na teoria das situações a prática da validação é de fundamental importância no
aprendizado da matemática. Os autores nas duas primeiras fases mostram a
importância dos processos de descoberta e compreensão, ou seja, o principal
objetivo é encontrar soluções do problema. Por outro lado, nas etapas seguintes, o
enfoque é dado para a execução e a garantia destas soluções argumenta a
necessidade da verificação e demonstração de cada passo executado, ou seja, a
validação pode possibilitar conjecturas se os passos, etapas, procedimentos e a
própria proposta estão corretos, mas o erro pode ocorrer, e esse, pode ser tratado e
compreendido no âmbito do trabalho didático. (POLYA, 2006; BROUSSEAU, 2008).
As etapas da resolução de problemas podem ser aplicadas a qualquer
problema de ordem algébrica, geométrica ou até mesmo a um simples enigma.
Polya (2006, pp.2-3) afirma que:
O nosso problema pode ser algébrico ou geométrico, matemático ou não,
um problema científico importante ou um mero enigma. Não há diferença,
as indagações fazem sentido e podem auxiliar-nos a resolver o problema.
[...] Tem um problema qualquer? Deseja então encontrar uma certa
incógnita e pensar em maneiras conhecidas de encontrar essa ou outra
incógnita semelhante. Se fizer isso, estará seguindo exatamente a sugestão
que citamos [...]. E estará assim no caminho certo, pois a sugestão é boa e
indica um procedimento que frequentemente apresenta bons resultados.
No momento das análises dos dados coletados dos sujeitos da pesquisa
abordaremos as ideias de Polya (2006) sobre Resolução de Problemas e as de
Brousseau (2008) quanto ao estudo das situações didáticas.
60
CAPÍTULO II
“Sempre me pareceu estranho que todos
aqueles que estudam seriamente esta
ciência acabam tomados de uma espécie
de paixão pela mesma. Em verdade, o que
propicia o máximo de prazer não é o
conhecimento e sim a aprendizagem, não é
a posse, mas a aquisição, não é a
presença, mas o ato de atingir a meta”.
CARL FRIEDRICH GAUSS
Função e a sua importância na Matemática
O objetivo deste capítulo é apresentar um breve histórico do ensino de função
no Brasil, como também os conceitos de função, módulo e função modular. E
também abordar as tecnologias como mediadoras ao ensino e aprendizagem de
função modular.
2.1 Breve histórico do ensino de função no Brasil
Entendemos ser importante iniciarmos este capítulo discorrendo sobre o ensino
de função no âmbito nacional brasileiro para situarmos a pesquisa no tempo,
explicitando as transformações ocorridas ao longo de sua implementação e
possibilitando a constatação das tendências do ensino.
Segundo Doria (1997) da proclamação da República, em 1889 até 1925, o
governo brasileiro promoveu cinco reformas educacionais que buscavam implantar
propostas e alterações no ensino brasileiro. Criado o Decreto 16.782-A, conhecido
por Reforma Rocha Vaz, fazia constar que no Colégio Pedro II, no Rio de Janeiro,
seria ensinado apenas o estabelecido no programa de aulas, incluindo a aritmética,
a álgebra e a geometria, conforme descrição a seguir:
61
Decreto 16.782-A [...]. Art. 3º Neste collegio serão ensinadas as linguas
latina, grega, franceza, ingleza, rhetorica e os principios de geographia,
história, philosophia, zoologia, mineralogia, botânica, chimica e phisyca,
arithmetica, álgebra, geometria e astronomia (COLÉGIO PEDRO II, 1914,
p.44).
Na década de 20 do século XX, os professores de matemática do Colégio
Pedro II propuseram ao Conselho Nacional de Ensino, uma mudança no currículo do
ensino secundário que era composto pela aritmética, álgebra e geometria (no qual
era incluída a trigonometria). Não existia uma disciplina intitulada “matemática”, pois
o seu ensino era realizado de forma fragmentada por meio de seus diferentes
ramos. Por intermédio do professor catedrático Euclides de Medeiros Guimarães
Roxo, Diretor do Externato do Colégio Pedro II, em 29 de janeiro de 1929 unificaram
as três áreas, ocorrendo assim, a criação da disciplina chamada Matemática
(BRAGA, 2006).
Tal constatação pode ser extraída do seguinte trecho do Relatório concernente
aos anos letivos de 1927 a 1929, encaminhado por Euclides Roxo ao Diretor do
Departamento Nacional de Ensino:
Na cadeira de Matemática fez-se uma completa renovação, de acordo com
as atuais diretivas pedagógicas dominantes, quanto a essa disciplina, em
quase todos os países civilizados. Adotados somente para o 1º ano em
1929, será a nova orientação estendida, em 1930, ao 2º ano e, assim
sucessivamente, a todos os anos do curso. Em conseqüência dessa
reforma, deverão os alunos, ao invés de um exame final de Aritmética, outro
de Álgebra e um terceiro de Geometria, fazer, no 4º ano, um exame final
único de Matemática, sendo os do 1º, 2º e 3º de simples promoção (ROXO,
1929, p.2).
Comenta Braga (2006) que nas 1ª e 2ª séries, a criação da disciplina
Matemática trouxe modificações substanciais em relação ao currículo adotado na
Reforma Rocha Vaz (1925), então vigente, em que os dois primeiros anos eram
dedicados exclusivamente ao estudo da aritmética. De maneira geral, fundiram-se a
aritmética, a álgebra e a geometria; foi eliminado o estudo da aritmética teórica;
incluído um conjunto de noções geométricas que os alunos deveriam adquirir de
maneira intuitiva; e reintroduzido o estudo da função (“reintroduzido” porque esse
assunto já havia feito parte do programa de matemática do Colégio Pedro II, quando
da Reforma Benjamin Constant, ocorrida em 1890). O conceito de função não
62
ocupava lugar destacado nem era trabalhado de forma mais elaborada como hoje.
Seu ensino se resumia a um “compartimento” no campo da álgebra, isolado de
qualquer relação mais profunda com outros temas, abordados somente em alguns
manuais.
Com o objetivo de introduzir o Cálculo Diferencial e Integral no curso
secundário da Alemanha, Felix Klein, catedrático de matemática e membro do
Conselho da Universidade de Erlanger, no início do século XIX, estabelece um
princípio para o movimento reformista que é a aplicações práticas da matemática,
sustentando que o conceito de “função é a alma da matemática”. Com este ideário,
Roxo elabora em 1929, seus princípios na defesa do conceito de função como
centralizador do ensino de Matemática. Tratava-se não de eleger tal conceito como
aquele a ser estudado de forma isolada, mas de que o pensamento funcional
pudesse ser utilizado como “pano de fundo” no estudo de outros objetos
matemáticos, com preocupações em privilegiar mais os processos e conceitos do
que o treino de resolução de exercícios (BRAGA, 2006). Tal descrição é encontrada
na obra Matemática na Escola Secundária:
A noção de função deve ser adotada como ideia axial no ensino da
matemática, capaz de estabelecer um elo unificador dos vários assuntos
tratados na escola secundária e de modo a ser a alma do corpo em que se
organiza toda a matéria. [...] a ideia de função vem ainda dar ao ensino de
matemática secundária mais vida e mais interesse permitindo não só tratar
de questões de maior realidade para o aluno, como estabelecer conexões a
outras matérias mais concretas (ROXO, 1937, pp.193-194).
O autor ressalta que na reforma, os catedráticos de matemática do Colégio
Pedro II deveriam seguir duas concepções modernizadoras:
Sempre que possível dever-se-iam fazer entrelaçamentos e paralelos entre
a aritmética, a álgebra e a geometria. A segunda concepção delegava à
noção de função com suas representações algébrica, geométrica e tabular o
papel de coordenadora dos diversos assuntos da matemática do secundário
(BRAGA, op.cit., p.69).
De acordo com os documentos apresentados o tema função constava do
programa do então, ensino secundário, além de figurar como conteúdo importante
na estrutura matemática. De 1931 até o final da década de 1970, os autores de
livros didáticos procuravam atender às especificações, não de forma plena, mas
63
reservando os últimos capítulos para o tema, o que possibilitava aos professores o
não cumprimento do assunto, e muitas vezes, sequer a abordagem (BRAGA, 2006).
Entre os anos de 1965 a 1980, o ensino da Matemática sofre uma grande
renovação, sem sombra de dúvidas, tendo como principal marco da reforma o
Movimento Matemática Moderna. Este movimento valorizava as grandes estruturas
e a linguagem da teoria dos Conjuntos, caracterizado por uma excessiva
preocupação com o formalismo, provocando assim, alterações curriculares em
vários países com sistemas educativos e realidades diversas (PIRES, 2009).
No Brasil, em 1976, no sistema de ensino público do Estado de São Paulo, a
presença da Matemática Moderna ficou especialmente registrada na elaboração dos
documentos oficiais, chamados Guias Curriculares, organizados para orientar as
escolas de 1º grau, que se estruturavam em cursos de oito anos, por força de Lei de
Diretrizes e Bases da Educação Nacional. A preocupação da Secretaria da
Educação era oferecer sugestões de caráter metodológico, definir objetivos e
apresentar os conteúdos (Ibid).
O documento retratava as seguintes orientações:
O que deve ser feito, e isso é importante, é uma reformulação radical dos
programas, para adaptá-los às novas concepções surgidas, reformulação
essa que deve atingir as técnicas e estratégias utilizadas para a obtenção
dos objetivos propostos. [...] a orientação dada a um curso de Matemática
deve ser moderna e, parar isso, é necessário que se dê ênfase no estudo
da matéria, a certos aspectos que visam destacar a indiscutível unidade da
Matemática, mostrando-a como uma construção única sem compartimentos
estanques. Dentre esses aspectos, gostaríamos de evidenciar dois deles,
que consideramos de importância fundamental: o papel central
desempenhado pelas estruturas matemáticas, estruturas essas que podem
ser evidenciadas no estudo dos campos numéricos bem como na
geometria, e o importantíssimo conceito de relação e, mais especificamente,
o conceito de função, que pode ser abordado não só no estudo das funções
numéricas, como também no estudo das transformações geométricas. Além
disso, é de importância primordial destacar o papel do raciocínio
matemático (SÃO PAULO, 1976, p.171).
O documento explicava ainda:
Para a apresentação do programa foi adotado um agrupamento dos
assuntos que, por ser um programa de transição, não atinge a unidade
completa que consideramos ideal, mas que pode ser sentida principalmente
no primeiro tema, que é indiscutivelmente o fator unificador da Matemática.
A divisão foi feita em quatro temas enumerados a seguir:
I. Relações e funções.
II. Campos numéricos.
III. Equações e Inequações.
IV. Geometria (Ibid., p.172)
64
Para cada tema citado anteriormente, os guias curriculares apresentavam o
conceito de relação e especificamente o de função, como temas fundamentais para
o ensino de matemática. O primeiro tema que tratava o documento era sobre
“relações e funções”, em que o conteúdo de relações aparecia indicado para o
ensino de 1ª à 5ª série e o de aplicações ou funções à 5ª, 6ª e 8ª séries.
Apresentaremos a seguir os objetivos e a distribuição dos níveis e séries
referentes ao tema “Relações e funções”, vigentes em 1976.
Tema I: Relações e Funções
Objetivos

Adquirir uma linguagem e conceitos que se constituem em elementos
unificadores da matemática e aplicá-los sempre que necessário.

Desenvolver habilidades de construir e interpretar gráficos cartesianos e
diagramas de relações.
Quadro 6: Distribuição dos conteúdos sobre Relação e Função propostos nos
Guias Curriculares para o Ensino de Matemática do Estado de São Paulo (1976)
Nível I
Conteúdo
Nível II
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
X
x
(*)
X
x
Igualdade e inclusão
(*)
(*)
(*)
(*)
x
Reunião e intersecção
(*)
(*)
(*)
(*)
x
Partição
(*)
(*)
(*)
(*)
x
(*)
(*)
(*)
(*)
x
X
x
X
X
x
Conjuntos;
elementos;
pertinência; diagramas
Par
ordenado;
Produto
cartesiano
Relações
6ª
7ª
8ª
65
Propriedades das relações:
(*)
(*)
(*)
X
x
(*)
(*)
(*)
(*)
x
Aplicações ou funções
(*)
(*)
(*)
(*)
x
Equipotência
(*)
(*)
(*)
(*)
x
reflexiva, simétrica
e
transitiva,
relações
de
equivalência
Propriedade
antissimétrica.
Relação de ordem
x
(*)
X
Fonte: SÃO PAULO, 1976, p.568.
Talvez seja possível afirmar que o esforço realizado por Roxo em 1929 constitui
as raízes do que se verifica a partir da década de 1970.
Com muitas discussões sobre o Movimento da Matemática Moderna e também
sob as tensões acerca do fim da ditadura militar, os anos 80 no Brasil foram
marcados com um novo contexto político e social favorável à apresentação de
propostas para a construção de uma escola inspirada em valores democráticos e de
grande inspiração da sociedade brasileira. As Secretarias Estaduais e Municipais de
Educação foram motivadas a elaborarem novas propostas curriculares para o ensino
de matemática. Em 1985, a rede pública estadual de São Paulo, inicia o processo de
elaboração da Proposta Curricular para o ensino de 1º grau (PIRES, 2009).
O documento que teve sua primeira publicação em 1986 e reeditado em 1988,
1991 e 1997 não há nenhuma orientação quanto ao ensino de função. O referido
conteúdo aparece apenas nos documentos destinados ao 2º grau. Somente nas
orientações sobre o conteúdo da 7ª série há conceitos que estão relacionados, como
proporcionalidade entre grandezas e representação gráfica de uma equação a duas
incógnitas. Ainda assim, sem nenhuma menção à função ou mesmo relação.
8
X: indica que o conteúdo é trabalhado explicitamente e (*): indica que o conteúdo é trabalhado
implicitamente nas atividades.
66
No final da década de 1990, tendências modernas expressas em vários
documentos, dentre eles os Parâmetros Curriculares Nacionais, reconhecem o
estudo da álgebra no ensino da matemática. De acordo com Lopes (2006, p. 30):
A partir da década de 1990, tendências modernas expressas em vários
documentos, dentre eles os PCN, consideram a Álgebra “um espaço
bastante significativo para que o aluno desenvolva e exercite sua
capacidade de abstração e generalização”. Assim sugerem a exploração de
situações que levem os alunos a construir noções algébricas pela
observação de regularidades: em tabelas, gráficos e outros registros de
representação, estabelecendo relações que sejam mais significativas e não
apenas um trabalho de “manipulações” com expressões e equações como
acontece na maioria das vezes.
Com o declínio da Matemática Moderna, em todo o mundo buscou-se construir
currículos de matemática mais ricos, contextualizados e socialmente, com
possibilidades de estabelecimento de “relações intra e extramatemática”, com a
conceituação e os rigores matemáticos apropriados e acessíveis aos estudantes,
evidenciando o poder explicativo da matemática, com estruturas mais criativas
(PIRES, 2009). O incentivo ao ensino da Matemática, como algo essencial na
formação básica da sociedade, passa a ser objeto de trabalho dos governamentais
brasileiros, conforme apresentado nos PCN+:
Em nossa sociedade, o conhecimento matemático é necessário em uma
grande diversidade de situações, como apoio a outras áreas do
conhecimento, como instrumento para lidar com situações da vida cotidiana,
ou ainda, como forma de desenvolver habilidades de pensamento (BRASIL,
2002, p.111).
A comunicação do indivíduo moderno gera demanda de formação mais
abrangente e atenta às necessidades da sociedade contemporânea. A linguagem
científica torna-se uma necessidade no conhecimento do indivíduo comum segundo
os PCN+: “alunos que não falam sobre matemática e não têm a oportunidade de
produzir seus próprios textos nessa linguagem, dificilmente serão autônomos para
se comunicarem nessa área” (Ibid., p.120).
Desta forma, o estudo de funções parece se firmar como uma necessidade na
formação básica do cidadão. As pretensões de Roxo, no passado, se constituem
como as raízes desta transformação no presente. Esta consolidação do ensino de
função como articulador da formação matemática do indivíduo, e também, como
67
conceito fundamental na articulação das diversas áreas do conhecimento, é
apresentada nos PCN+ da seguinte forma:
O estudo das funções permite ao aluno adquirir a linguagem algébrica,
como a linguagem das ciências, necessária para expressar a relação entre
grandezas e modelar situações-problema, construindo modelos descritivos
de fenômenos e permitindo várias conexões dentro e fora da própria
matemática (BRASIL, 2002, p.121).
Em outro texto encontramos a afirmação de Lopes (2006, p.31) sobre o mesmo
assunto:
O ensino de função precisa garantir que os alunos trabalhem com
problemas e que os mesmos possam dar significado à linguagem e às
ideias matemáticas, promovendo assim, uma maior integração das ciências
que fazem uso desse objeto matemático.
O tema função também é indicado na nova Proposta Curricular do Estado de
São Paulo, elaborada em 2008, para a 8ª série do ensino fundamental, atual nono
ano, sob os tópicos: noções básicas sobre funções; a ideia de variação e construção
de tabelas e gráficos para representar funções do 1º e 2 graus. No nível médio, essa
proposta apresenta o conteúdo distribuído entre os três anos, introduzindo o assunto
a partir da primeira série, com o estudo das funções afim, quadrática, exponencial e
logarítmica, prosseguindo no segundo ano, em que propõe a abordagem das
funções trigonométricas e, finalizando no terceiro ano, propondo o estudo e análise
das propriedades das funções trigonométricas, exponenciais, logarítmicas e
polinomiais. As Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros
Curriculares Nacionais para o Ensino Médio apontam que:
O ensino pode ser iniciado diretamente pela noção de função para
descrever situações de dependência entre duas grandezas, o que permite o
estudo a partir de situações contextualizadas, descritas algébrica e
graficamente (BRASIL, 2006, p.121).
O mesmo documento ainda aponta que:
O estudo de funções permite ao aluno adquirir a linguagem algébrica como
a linguagem das ciências, necessária para expressar a relação entre
grandezas e modelar situações-problema, construindo modelos descritivos
de fenômenos e permitindo várias conexões dentro e fora da própria
matemática. Assim, a ênfase do estudo das diferentes funções deve estar
no conceito de função e em suas propriedades em relação às operações, na
interpretação de seus gráficos e nas aplicações dessas funções (Ibid).
68
Entendemos, portanto, que os documentos oficiais brasileiros entram em
conformidade com um caminho que teve início em 1931, no Colégio Pedro II do Rio
de Janeiro.
Considerando os argumentos citados e a importância do conceito de função na
Educação Matemática, descreveremos nos próximos itens tal assunto.
2.2 Conceito de Função
Com o intuito de apresentar a trajetória do conceito de função no universo
matemático, abordaremos a evolução do conceito de função ao longo da história e a
sua definição. Para nos referirmos ao conceito matemático de função nos valeremos
de algumas considerações iniciais.
A palavra função, na forma latina equivalente, parece ter sido introduzida por
Leibniz em 1694, segundo afirma Eves (2011, p.660):
A palavra função, na forma latina equivalente, parece ter sido introduzida
por Leibniz em 1694, inicialmente para expressar qualquer quantidade
associada a uma curva, como por exemplo, as coordenadas de um ponto da
curva, a inclinação de uma curva e o raio da curvatura de uma curva.
Eves (2011) ainda relata que após duas décadas, Bernoulli considera uma
função sendo uma expressão qualquer formada por uma variável e algumas
constantes. À medida que atribuíam significado o conceito de função foi sendo
“aperfeiçoado”. Pouco tempo depois Euler considerou uma função como uma
equação ou fórmula qualquer envolvendo variáveis e constantes, até que Joseph
Fourier, estudando profundamente a natureza, que considerava ser a fonte mais rica
de descobertas matemáticas, estudou a propagação do calor como um fluído sutil,
que podia ser expresso por uma equação matemática contínua. Considerou,
portanto, a temperatura como uma função de duas variáveis: o tempo e o espaço.
Desenvolveu então, as chamadas séries trigonométricas.
O autor descreve que:
Em 1807 Fourier apresentou um artigo sobre a teoria analítica do calor, à
Academia de Ciências da França que deu início a um novo e extremamente
frutífero capítulo da história da matemática. O artigo trata do problema
69
prático da propagação do calor em barras, chapas e sólidos metálicos. No
desenvolvimento do artigo, Fourier fez a surpreendente afirmação de que
toda função definida num intervalo finito por um gráfico descrito
arbitrariamente pode ser decomposta numa soma de funções seno e coseno (EVES, 2011, p.526).
No século XIX, Dirichlet formula uma definição de função e as variações que
surgiram em torno dela. Estas atenderam e contribuíram para o desenvolvimento da
matemática, embora não apresentasse nenhuma definição geral de função:
Uma variável é um símbolo que representa qualquer dos elementos de um
conjunto de números; se duas variáveis x e y estão relacionadas de maneira
que, sempre se atribui um valor a x, corresponde automaticamente, por
alguma lei ou regra, um valor a y, então se diz que y é uma função
(unívoca) de x. A variável x, à qual se atribuem valores à vontade, é
chamada variável independente. Os valores possíveis que x pode assumir
constituem o campo de definição da função e os valores assumidos por y
constituem o campo de valores da função (Ibid., p.661).
Tal definição, apesar de bastante abrangente, se limitava à relação entre
números. No final do século XIX com o surgimento da Teoria dos Conjuntos de
Georg Cantor, uma função passa a ser representada por meio de correspondência
entre dois conjuntos A e B. Assim, foi possível ampliar este conceito para relações
entre conjuntos de elementos quaisquer, de natureza diferente da numérica. Com a
contribuição da Teoria dos Conjuntos foi inserida a estruturação e formalização
simbólica do conceito de função e também os termos produto cartesiano, domínio e
imagem de uma função (Ibidem).
O conceito de função que hoje pode parecer tão simples foi resultado de um
processo de evolução histórica lenta e progressiva, iniciado há muitos anos, cuja
utilização data de milênios, rendendo um grande impulso para a Matemática,
principalmente à sua aplicabilidade em outras ciências.
A necessidade dos matemáticos nos séculos XVIII e XIX em descreverem os
fenômenos naturais, procurando quantificar e estabelecer relações entre grandezas
variáveis, uma dependendo da outra, foi que tornou o conceito de função um
instrumento fundamental para a ciência em geral.
Desta forma, diante da ideia de relação entre dois conjuntos de números,
Caraça (2005) afirma que a relação de um conjunto numérico a um conjunto de
70
imagens simbólicas pode ser denominada variável e esta pode ser definida como
sendo o símbolo que representa os elementos de um conjunto qualquer de números
reais ou complexo. O autor ainda descreve que:
Seja E um conjunto qualquer de números, conjunto finito ou infinito, e
convencionemos representar qualquer de seus elementos por um símbolo,
por exemplo, x. A este símbolo, representativo de qualquer dos elementos
do conjunto E, chamamos variável. [...] uma variável é o que for
determinado pelo conjunto numérico que ela representa (CARAÇA, 2005,
p.127).
Define ainda o autor:
Sejam x e y duas variáveis representativas de conjuntos de números; diz-se
que y é função de x e escreve-se y=f(x), se entre as duas variáveis existe
uma correspondência unívoca no sentido x→y. A x chama-se variável
independente, a y variável dependente (Ibid., p.121).
O conceito de função pode ser um guia natural e efetivo para textos
matemáticos e é inquestionável que quanto mais familiarizado o aluno estiver com
tal conceito, melhor será a sua formação matemática, conforme afirma Eves (2011):
O conceito parece representar um guia natural e efetivo para a seleção e
desenvolvimento do material de textos de matemática. Enfim, é
inquestionável que quanto antes se familiarize um estudante com o conceito
de função, tanto melhor para a sua formação matemática (p.661).
Segundo Bianchini e Puga (2006, p.6) “o conceito de função inicia no ensino
infantil quando a criança começa a estabelecer correspondência entre conjuntos de
certos objetos”. Esta afirmação vem a corroborar com a ideia que o aluno deve estar
familiarizado o quanto antes com o conceito de função, melhorando assim, a sua
formação matemática e até mesmo em outras áreas do conhecimento que permitem
a aplicação de tal conceito, como por exemplo, a Física, Química, Informática,
Biologia entre outras.
Diante do exposto, apontamos o campo matemático do estudo de funções
como um importante ramo da educação matemática básica, em que a pesquisa se
faz necessária.
71
A importância de pesquisas que busquem sintetizar estudos realizados sobre
temas mais específicos evitando as grandes generalizações, é uma tendência
trazida pela ascendência das pesquisas qualitativas em Educação Matemática,
como destacam Fiorentini e Lorenzato (2009, p.42): “a principal mudança verificada
nos últimos anos é que estes estudos [...] passam a centrar foco na aprendizagem
de conteúdos matemáticos mais específicos”.
Partindo desta afirmação, abordaremos especificamente o estudo da função
modular com o objetivo de contribuir ainda mais com as pesquisas na Educação
Matemática e também com o ensino e aprendizagem na Educação Básica.
Desta forma, trataremos no próximo item sobre os conceitos de módulo, função
modular e suas expressões dos pontos de vista algébricos e geométricos.
2.3 Conceito de Módulo
O conceito de módulo pode ser abordado de diversas maneiras de acordo com
o nível escolar. Friedlander e Hadas (1995) relatam que a maioria dos livros
didáticos define valor absoluto de um número como a distância do ponto
correspondente da reta real a origem, mas essa abordagem gráfica rapidamente é
abandonada em favor de uma definição aritmética. Os autores ainda destacam que
o valor absoluto é estudado em várias etapas do ensino de Álgebra, e em cada
etapa é desenvolvida a capacidade do aluno em compreender e visualizar situaçõesproblema de complexidade crescente.
Afirmam ainda que:
Traduzir em palavras e distância considerações sobre a reta numerada
incentiva os alunos a ter em mente um quadro completo da questão, em vez
de enveredar por manipulações mecânicas de sentenças algébricas.
A tradução da forma matemática em palavras é uma aptidão das mais
necessárias, frequentemente negligenciada em sala de aula. Em geral,
nosso enfoque se limita a problemas que requerem uma tradução para a
álgebra e não vice-versa (Ibid., p. 248).
Outra forma de definição do valor absoluto de um número é apresentada por
Lima (2009), o qual propõe que o módulo de um número x é o maior dos números x
e – x. Segundo o autor, a interpretação de valor absoluto como distância no eixo
72
real,
entre
dois
pontos
de
coordenadas
estabelecidas
permite
visualizar
intuitivamente o significado e as respostas de algumas questões envolvendo
módulos, como a resolução de equações e inequações modulares.
Com o conceito de módulo é possível expressar algébrica e geometricamente a
função modular. Abordaremos esse assunto a seguir.
2.3.1 Conceito de Função Modular
A definição de função modular permite a aplicação do conceito de módulo no
plano cartesiano. Esta aplicação abre perspectivas para inúmeras relações e
aplicações do conceito de módulo com o conceito de função, gráfico de uma função,
função composta, translação de eixos, distância, resolução de equações e
inequações na reta numérica e no plano cartesiano.
A definição de função modular decorre diretamente da definição de módulo.
Portanto, a função f, de IR em IR, que a todo número x associa o seu módulo é
denominada função modular, ou seja, f: IR→ IR então x ↦ |x|.
Torna-se essencial compreender que em certas funções é necessário o uso de
duas ou mais sentenças. De forma abreviada, costuma-se dizer que a função
modular9 é definida por y = |x| ou f(x) = |x|, no qual o seu domínio é IR.
Neste caso a função modular é descrita por:
x para x ≥ 0
f(x) = |x| =
-x para x<0
Por se tratar de uma função definida por duas sentenças, a representação
gráfica desta função no plano cartesiano é para y=x, com x≥0, o gráfico dessa
função é a bissetriz do 1º quadrante para valores positivos do domínio da função f e
9
As informações foram retiradas da obra: STEWART, J. Cálculo volume 1. 6 ed. São Paulo: Cengage
Learning, 2009.
73
para y=-x, com x<0, o gráfico dessa função é a reta bissetriz do 3º quadrante para
valores negativos do domínio da função f. Assim, o gráfico cartesiano de y=|x|, de
domínio IR, é a reunião das bissetrizes do 1º e 2º quadrantes. Logo, a imagem da
função é formada por todos os números reais não negativos. Portanto: Im(f)= IR+=
[0, +∞[.
Figura 1: Gráfico da Função Modular f, dada por f(x)=|x|
Fonte: STEWART, 2009, p.120.
A função modular é aplicada em outras funções transformadas. Para estudar
essas transformações é possível fazer a aplicação do conceito de valor absoluto de
uma função. Se y=|f(x)|, então, de acordo com a definição de valor absoluto, y = f(x)
quando f(x) ≥ 0 e y=-f(x) quando f(x)<0. Isso nos mostra como obter o gráfico de
y=|f(x)| a partir de y=f(x): a parte do gráfico que está acima do eixo permanece a
mesma, enquanto a parte que está abaixo do eixo x é refletida em torno do eixo de
x10.
Para justificar a importância da construção do gráfico de uma função modular
em outras funções transformadas, Friedlander e Hadas (1995) apontam suas
aplicações na resolução de equações e inequações modulares por meio da
10
STEWART, J. Cálculo volume 1. 6 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2009.
74
representação gráfica no plano cartesiano além da utilização significativa das
habilidades em trabalhar com simetria, reflexão e translação.
Uma das aplicações do conceito de função modular consiste em resolver
geometricamente equações e inequações modulares no plano cartesiano. Sobre
este tipo de resolução os autores afirmam que:
O sistema de coordenadas cartesianas, contudo tem algumas vantagens:
Permite-nos resolver inequações com valor absoluto de maior complexidade
[...]. Utiliza mais ou menos a mesma estratégia em todos os casos.
Ademais, ela poderá ser utilizada posteriormente para resolver inequações
de qualquer tipo [...]. É um dos poucos casos do currículo matemático em
que uma resolução gráfica é menos tediosa e consome menos tempo que a
resolução algébrica [...]. Utiliza de maneira significativa a habilidade em
trabalhar com simetria, reflexão e translação (FRIEDLANDER; HADAS,
1995, pp.252-253).
Para resolver uma inequação modular, os autores propõem separar cada
desigualdade em duas partes, separadas pelo sinal da desigualdade e representar o
gráfico das funções individualmente. A partir dos pontos de interseção entre os
gráficos, caso existam, se determina a solução. Se não existir ponto de interseção,
basta fazer uma comparação direta entre as funções e determinar se ambas
satisfazem a inequação modular.
Quanto à aplicação do conceito de módulo e função modular na reta numérica
possibilitada em equações do tipo |x-a|= b com b≥0, destacamos que na reta real,
esta igualdade significa que o número x está a uma distância b do número a. Nesta
linha de aplicação, Lima (2009, pp.73-74) afirma que: “Se tivermos uma
desigualdade, como |x-a|<ε, com ε>0, isto significa que a distância de x ao ponto a é
menor do que ε, logo x deve estar entre a - ε e a+ε. Portanto, o conjunto
{x ϵ IR; |x-a|< ε} é o intervalo aberto (a-ε, a+ε)”.
A partir da interpretação na reta real de problemas que envolvem igualdades e
desigualdades modulares, é possível determinar o conjunto solução de equações e
inequações que envolvem adição de módulos sem a necessidade de recorrer à
resolução algébrica por casos. Abordagens geométricas, tanto na reta real como no
plano cartesiano contribuem ao estudo de definições e aplicações em Matemática,
tais como: conceito de distância na Geometria Analítica e suas aplicações para
casos como distância entre um ponto e uma reta, a definição de limite de uma
75
função e a interpretação geométrica da solução de sistemas lineares em IR 2 e IR3
(JÚNIOR, 2008).
Desta forma, o estudo do conceito de módulo e função modular é uma
oportunidade para estabelecer ligações entre as funções estudadas, em especial, no
primeiro ano do Ensino Médio, e aplicação de propriedades de função e as
propriedades geométricas, como simetria, reflexão e translação, usadas também em
Geometria Analítica. Ao associar a Álgebra e a Geometria, especialmente pela
construção de gráficos e sua análise interpretativa, a função modular estabelece um
conhecimento que se interliga as diversas funções, suas aplicações e propriedades
geométricas à definição de valor absoluto de um número real (Ibid., 2008).
Dentre outros assuntos sobre o estudo gráfico de funções, tais reflexões de
função modular encontramos na obra de Silva et al. (2002): Atividades para o estudo
de Funções em ambiente computacional. O objetivo dos autores é explorar as
concepções de professores e alunos do Ensino Médio e do Ensino Superior quanto
às suas dificuldades relacionadas à função. Desta forma, propõem atividades
envolvendo funções (domínio, contra-domínio, distinção entre a variável dependente
e a independente, registros de representação quanto à linguagem natural, simbólica
e gráfica, bem como à mudança entre os registros) que podem ser exploradas em
um
ambiente
informático,
favorecendo
a
formulação
de
conjecturas,
os
questionamentos e a validação ou não dos resultados, por parte do sujeito.
Para auxiliar na compreensão de função modular, propomos o uso das
tecnologias, mas especificamente, a utilização do software GeoGebra como uma
estratégia pedagógica para o ensino algébrico e geométrico do tema em questão.
2.4 O uso de tecnologias na Educação Matemática
Quando abordamos o assunto “tecnologias”, logo identificamos os objetos
relacionados como sendo computadores, filmadoras, televisões, celulares, iphone,
ipad, tablets e equipamentos eletrônicos em geral. Porém, a tecnologia não precisa
ser vista somente em processos que utilizam equipamentos, mas também, de forma
independente dos artefatos. Kenski (2007, p.23) afirma que:
76
[...] existem outras tecnologias que não estão ligadas diretamente a
equipamentos e que são muito utilizadas pela raça humana desde o início
da civilização. A linguagem, por exemplo, é um tipo específico de tecnologia
que não necessariamente se apresenta através de máquinas e
equipamentos. A linguagem é uma construção criada pela inteligência
humana para possibilitar a comunicação entre os membros de determinado
grupo social. Estruturada pelo uso, por inúmeras gerações e transformadas
pelas múltiplas interações entre grupos diferentes, a linguagem deu origem
aos diferentes idiomas existentes e que são característicos da identidade de
um determinado povo, de uma cultura.
A vida cotidiana traz uma série de ferramentas tecnológicas, como livros,
canetas, sabonetes, fogão, sapatos, entre outros, e, “quando falamos da maneira
como utilizamos cada ferramenta para realizar determinada ação, referimo-nos à
técnica. A tecnologia é o conjunto de tudo isso: as ferramentas e as técnicas que
correspondem aos usos que lhes destinamos, em cada época” (KENSKI, 2003,
p.19).
A autora em outro texto relata que o desenvolvimento tecnológico de cada
época da civilização marcou a cultura e a forma de compreender a sua história. O
homem transita mediado pelas tecnologias que lhe são contemporâneas (Id., 2007).
Oliveira (2007) corrobora com essa ideia quando comenta que as tecnologias
são mediadoras, agentes das conexões. Programas, máquinas, redes das mais
diversas topologias e assentadas sobre os mais diversos meios de transmissão e
recepção, constituem a ambientação, permitindo a extensão de possibilidades das
pessoas, que passam a alcançar mais longe, projetando-se à distância.
Kenski (2007) afirma que as tecnologias são utilizadas como auxiliares na
educação, presentes todo tempo no processo pedagógico desde o planejamento até
a formação dos alunos. E, em outro texto, a autora ainda comenta que:
[...] não são as tecnologias que vão revolucionar o ensino e, por extensão, a
educação em geral, mas a maneira como essa tecnologia é utilizada na
mediação entre professores, alunos e a informação. Essa maneira pode ser
revolucionária, ou não. Os processos de interação e comunicação no ensino
sempre dependeram muito mais das pessoas envolvidas no processo do
que das tecnologias utilizadas, seja o livro, o giz, o computador e as redes
(Id., 2003, p.121).
Borba (2001) apoiado na visão de Levy (1993) e Tikhomirov (1981) quando
afirmam que não deve haver uma dicotomia entre a técnica e os seres humanos,
77
pois a história das mídias sempre esteve entrelaçada com a história da própria
humanidade, traz para o âmbito da Educação Matemática uma perspectiva de que o
conhecimento é produzido por um coletivo formado por seres-humanos-com-mídias.
Para o autor a informática é uma nova extensão da memória com diferenças
qualitativas em relação às outras tecnologias permitindo que a linearidade de
raciocínios seja desafiada por modos de pensar, baseados na simulação, na
experimentação, e uma “nova linguagem” que envolve escrita, oralidade, imagens e
comunicação instantânea. Ainda argumenta que os seres humanos são constituídos
por técnicas que estendem e modificam seu raciocínio e, ao mesmo tempo, esses
mesmos seres humanos estão constantemente transformando essas técnicas, desta
forma, o conhecimento só é produzido com uma determinada mídia, ou com uma
tecnologia da inteligência.
Borba (2001, p.139) relata que:
Do meu ponto de vista, creio que essa metáfora [seres-humanos-commídias] sitetiza uma visão de cognição e de história das técnicas que
permite que seja analisada a participação de “novos atores” informáticos
nesses coletivos pensantes de uma forma que não julgamos se há
“melhorias” ou não, mas sim de uma forma que identifica transformações
em práticas. [...] tal noção é adequada para mostrar como o pensamento se
reorganiza com a presença das tecnologias da informação e que tipos de
problemas são gerados por coletivos que incluem lápis e papel e diversas
facetas das tecnologias da informação (grifos do autor).
O autor ainda destaca que não existe uma mídia melhor ou pior, mas sim,
diferentes tipos de mídias que têm ao longo da história condicionada a produção de
conhecimentos qualitativamente diferentes, ou seja, os seres humanos ao
interagirem com as mídias, reorganizam o pensamento de acordo com múltiplas
possibilidades e restrições que elas oferecem.
Oliveira (2007, p.35) corrobora com essa perspectiva teórica quando afirma que
“os computadores não substituem os seres humanos nem os complementam
simplesmente, mas auxiliam na reorganização do pensamento com outras formas de
proceder à formulação e à resolução de problemas”.
78
Os documentos oficiais brasileiros apontam a importância da utilização dos
computadores para integrar muito mais experiências educacionais no ensino e
aprendizado de Matemática. Eles podem ser utilizados para as finalidades:
Como fonte de informação, poderosos recurso para alimentar o processo de
ensino e aprendizagem. Como auxiliar no processo de construção de
conhecimento. Como meio para desenvolver autonomia pelo uso de
softwares que possibilitem pensar, refletir e criar soluções. Como ferramenta
para realizar determinadas atividades de uso de planilhas eletrônicas,
processadores de textos, banco de dados etc (BRASIL, 1998, p.44).
O Ministério da Educação no Brasil também entende que o impacto da
tecnologia sobre a sociedade atual é essencial para o aprendizado de matemática e
sua aplicação em situações cotidianas, conforme consta nas Orientações
Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais para o
Ensino Médio:
Não se pode negar o impacto provocado pela tecnologia de informação e
comunicação na configuração da sociedade atual. Por um lado, tem-se a
inserção dessa tecnologia no dia-a-dia da sociedade, a exigir indivíduos
com capacitação para bem usá-la; por outro lado, tem-se nessa mesma
tecnologia um recurso que pode subsidiar o processo de aprendizagem da
Matemática. É importante contemplar uma formação escolar nesses dois
sentidos, ou seja, a Matemática como ferramenta para entender a
tecnologia, e a tecnologia como ferramenta para entender a Matemática (Id.,
2006, p.87).
Vários autores mencionam o uso das tecnologias de informação e comunicação
(TICs) integradas à prática dos professores e ao movimento de construção do
conhecimento dos alunos, sugerindo a elaboração de novas formas de pensar e
fazer matemática, com as tecnologias digitais como extensões pessoais e/ou como
elementos integradores de estratégias pedagógicas inovadoras (OLIVEIRA, 2008).
Em outro texto Oliveira (2007, p.40) ainda afirma que:
As TICs por si só são insuficientes como elementos que proporcionam
ambiência à construção do conhecimento. Os processos de interação e
comunicação entre os sujeitos do ensino e aprendizagem e as estratégias
pedagógicas dos professores são mais importantes que as tecnologias em
questão.
Assim, valendo-nos destas afirmações, propomos em nossa pesquisa a
utilização das tecnologias de informação e comunicação (TICs) como mediadoras do
79
estudo da função modular, tendo por alvo construir conhecimentos e promover a
autonomia dos estudantes e também auxiliar o professor em seu papel de
orientação e promoção de interações, segundo indica Oliveira (2009a, p.4):
Os artefatos tecnológicos presentes nas situações didáticas podem ter um
caráter mediador, permanecendo a serviço de uma estratégia didática que
têm o aprendiz como foco, que busca entender e planejar de acordo com as
mais diversas propostas que lhe permitam ampliar a autonomia diante do
desafio de aprender.
Optamos então, pelo software GeoGebra como componente de uma estratégia
pedagógica
para o ensino da função modular, devido ser um software gratuito,
multiplataforma para todos os níveis de ensino e voltado para a educação. Criado
em 2001 como tese de doutorado de Markus Hohenwarter da Universidade de
Salzburg, na Áustria, sua popularidade tem crescido desde então. O GeoGebra é
usado em 190 países, traduzido para 55 idiomas, com mais de 300000 downloads
mensais, 62 Institutos de GeoGebra em 44 países para dar suporte para o seu uso,
é instalável nos ambientes Windows, no Linux ou no Mac. Por ser livre, o software
vem ao encontro de novas estratégias de ensino e aprendizagem de conteúdo de
geometria, álgebra, cálculo e estatística, permitindo que professores e alunos
tenham a possibilidade de explorar, conjecturar, investigar tais conteúdos na
construção do conhecimento matemático11.
O software GeoGebra é um sistema de geometria dinâmica e permite realizar
construções com pontos, vetores, segmentos, retas paralelas, perpendiculares,
bissetrizes, mediatrizes, medianas, alturas, circunferências, polígonos, gráficos e
outros conteúdos pertinentes à Matemática. As construções geométricas virtuais não
ficam estáticas, podem ser movimentadas. Os pontos geométricos iniciais de uma
construção podem ser arrastados com o mouse sem destruir as relações
matemáticas que vigoram entre eles e os demais objetos. Além disso, possui dois
ambientes: uma janela de geometria e outra de álgebra. Uma expressão na janela
algébrica corresponde a um objeto na janela geométrica e vice-versa (SÁ, 2010).
Vale à pena ressaltar que mesmo com todas essas vantagens que o software
oferece, ele não ensina nada sozinho, segundo Araújo e Nóbrega (2010):
11
Informações contidas no site www.pucsp.br/geogebrasp.
80
O Geogebra não ensina nada sozinho. Para que haja aprendizagem, é
necessário que o aluno reflita durante a execução das atividades, buscando
experimentar diferentes maneiras, percebendo as propriedades,
conjecturando e justificando. O papel do professor é fundamental nesse
processo, pois precisa criar novos mecanismos para fazer com que os
alunos reflitam e percebam o que de fato está por trás das construções que
eles estão fazendo, além de auxiliá-los nas justificativas das construções
(ARAÚJO; NOBREGA, 2010, pp.1-2).
Em relação à determinada estratégia os recursos tecnológicos não são
autossuificentes. Portanto, o professor não será substituído por computadores,
segundo os autores Borba e Penteado (2007), Kenski (2007) e Oliveira (2007). Para
os autores, o professor deve saber lidar com as mudanças tecnológicas, ou seja,
não se imunizar da possibilidade de uso dos recursos tecnológicos. Desta forma, as
inovações educacionais implicam em mudanças na prática docente, na ampliação
dos seus conceitos sobre estratégias pedagógicas em sala de aula e na reflexão
sobre a própria prática.
2.5 Níveis do ciclo de apropriação de TICs na Educação Matemática
Segundo Borba e Penteado (2007) a informática na educação matemática deve
ser vista como um direito que inclui a alfabetização tecnológica, não sendo apenas
um simples curso de informática, mas sim um aprender e interpretar a nova mídia.
Para os autores a informática na educação justifica-se em dois momentos:
alfabetização tecnológica e direito ao acesso. Argumentam ainda que é necessário
que os professores assumam a incorporação das novas mídias em suas práticas,
sendo esse um objetivo a ser alcançado, o que implica em fugir de certa “zona de
conforto”, no qual muitos docentes se colocam, não aceitando os riscos de mudar,
aprender e assumir uma nova prática.
Para Frota e Borges (2004) o uso efetivo de tecnologias nas escolas depende
de dois momentos que seguem paralelos. No primeiro momento, o professor é visto
como sujeito, mas especificamente na sua formação, para incorporar as tecnologias.
No segundo momento, foca-se o sistema educacional, que deve fornecer as
condições de incorporação das tecnologias nas escolas.
81
Apoiados nas ideias de Goos et al. (2003), os pesquisadores Frota e Borges
(2004) analisam os documentos oficiais brasileiros e identificam duas concepções
em relação ao uso de tecnologias na Educação Matemática: consumir tecnologias e
incorporar tecnologias. Os autores também propõem uma terceira abordagem, que
diz respeito à matematização das tecnologias. Tais concepções são esclarecidas da
seguinte forma:

Consumir tecnologia: os resultados tecnológicos são reconhecidos como
poderosos para ensinar e aprender matemática. Neste passo, o sujeito
acredita que os processos tecnológicos são capazes de modificar o ensino,
tornando-o mais atrativo e motivador. Além disso, há o encantamento pela
automatização das tarefas.

Incorporar tecnologia: a tecnologia é tomada como ferramenta e instrumento
cognitivo.

Matematizar tecnologia: a tecnologia torna-se fonte de renovação para novas
abordagens curriculares em Matemática, correlacionando os conteúdos
matemáticos com as produções sociais e vice-versa.
Quanto ao ato de “consumir tecnologias”, segundo os autores, as pessoas
podem tornar-se dependentes das ferramentas para realizar tarefas que já resolviam
sem estes recursos. Para essa afirmação, Frota e Borges (2004) apontam dois
níveis:

Consumir tecnologia para automatização das tarefas: as tecnologias são
utilizadas apenas como um recurso para promover a mesma concepção
didática que vinha tendo, ou seja, muda-se o suporte e continua-se sem
avançar no processo de ensino da Matemática. Representa da mesma forma
uma maneira de automatizar cálculos e algoritmos, permanecendo a mesma
dimensão didática.

Consumir tecnologia para mudar o foco das tarefas: uso das tecnologias para
realizar tarefas antigas, mas focalizando aspectos que não eram valorizados
82
manualmente. Entretanto, o foco permanece na leitura e materialização de
roteiros predefinidos, sem qualquer autonomia, refinando a fluência no
recurso tecnológico sem atenção ao desenvolvimento do saber matemático.
Para Frota e Borges (2004) a fase de incorporação da tecnologia, no qual o
ensino de matemática com o uso das TICs pode ampliar a possibilidade de
compreensão, também pode gerar obstáculos didáticos ao entendimento de diversos
conceitos. Desta forma, os autores subdividem essa fase em dois níveis.

Tecnologia como parceria: a incorporação da tecnologia se acentua e as
formas de fazer matemática se modificam, o que implica em assumir tarefas
em versões mais complexas. Neste nível a tecnologia assume o papel de
mediadora, e permite explorar diferentes perspectivas do problema.

Tecnologia como extensão do self: a incorporação da competência
tecnológica faz parte do processo, o que implica em entender que maneiras
novas de fazer matemática implicam no desenvolvimento de novas formas de
pensar e solucionar problemas.
A fase matematizar a tecnologia aborda a mesma como objeto curricular, desta
maneira Frota e Borges (2004) subdividem essa fase em dois níveis.

Matematizar a tecnologia enquanto fonte de temas matemáticos: há o
reconhecimento de que a matemática pode ser incorporada aos objetos
tecnológicos, bem como os processos tecnológicos, ou seja, implica ver a
matemática semelhante à realidade social. Neste nível o indivíduo já
tomou posse da tecnologia e transcendeu a capacidade de críticas ao uso
de cada tecnologia que utiliza.

Matematizar a tecnologia modelando objetos e processos: visa o
desenvolvimento da habilidade de elaborar modelos matemáticos e novas
tecnologias mais eficazes e adequadas para cada problema abordado.
83
No que diz respeito ao uso de recursos tecnológicos por professores de
Matemática, Oliveira (2009b) sintetiza e completa as definições de Borba e
Penteado (2007), Frota e Borges (2004) e Goos et al. (2003), indicando quatro níveis
pelos quais os docentes precisariam passar para utilizar de forma crítica as
tecnologias em suas práticas.

Apropriação das interfaces e dos recursos desenvolvendo fluência na
manipulação das ferramentas.

Inclusão das tecnologias como partes integrantes do seu fazer didático.

Exploração dos elementos matemáticos envolvidos nos problemas e
contextos trabalhados em sala de aula, do ponto de vista do
desenvolvimento de tecnologias.

Criação de estratégias pedagógicas que integrem todas as tecnologias,
novas e velhas, como suportes e elementos de mediação em relação ao
aprendizado dos estudantes e ao conteúdo matemático (esta dimensão
permite empregar de forma integrada as anteriores).
Para Oliveira (2009b) estas quatro concepções podem representar um ciclo – e
deveriam fazê-lo, idealmente – de modo que o professor de Matemática transite de
uma para outra conforme refina seu entendimento teórico-prático sobre o uso das
tecnologias em seu trabalho. Segundo o autor à medida que avança apropriação
destes níveis e dos conhecimentos correspondentes, o ciclo se repete para uma
instância superior.
O quadro a seguir sintetiza os quatro níveis do ciclo de apropriação de TICs
para o docente.
84
Quadro 7: Níveis de utilização para a tecnologia
Desenvolver
Fluência
Incorporar
Tecnologia
Elaborar
Estratégias
Pedagógicas
com
Tecnologia
Explorar e
Desenvolver
Matemática
a Partir de
Tecnologia
Fonte: OLIVEIRA, 2009b, adaptado.
Considerando
as
Tecnologias
de
Informação
e
Comunicação
como
possibilidades mediadoras e pertinentes na Educação Matemática, entendemos que
a ideia descrita acima pode ser aplicada à nossa pesquisa no momento em que
analisarmos a interação dos sujeitos com o software GeoGebra.
85
CAPÍTULO III
“A pesquisa científica exige criatividade,
disciplina, baseando-se no confronto
permanente entre o possível e o
impossível, entre o conhecimento e a
ignorância”.
MIRIAM GOLDENBERG
Referencial Teórico-Metodológico
O objetivo deste capítulo é apresentar o referencial teórico-metodológico, bem
como descrever os procedimentos metodológicos desenvolvidos na pesquisa.
3.1 Pesquisa Qualitativa
A opção metodológica desta pesquisa foi a metodologia qualitativa, na qual,
segundo Appolinário (2009, p.155), “os dados são coletados através de interações
sociais e analisados subjetivamente pelo pesquisador”.
Acreditamos que a pesquisa qualitativa é a mais indicada para atingir os nossos
objetivos, pois não nos interessa apontar a quantidade de erros ou acertos dos
professores quando expressarem algébrica e geometricamente a função modular,
mas quais foram as condições propiciadas aos sujeitos da pesquisa que permitiram
a eles desenvolver um raciocínio para chegar a tais respostas, e também, se a
abordagem por nós utilizada na investigação, propicia, ou não, um entendimento
sobre o assunto, quais foram as dificuldades encontradas e os avanços percebidos.
Uma questão importante que justifica a abordagem qualitativa é a sua essência
descritiva, fundamental para a compreensão dos fenômenos que surgirão nesta
pesquisa. Para Oliveira (2007) tal característica pode ser resumida da seguinte
forma:
86
Uma pesquisa de caráter qualitativo é descritiva, sendo que palavras e/ou
imagens são mais adequadas à descrição do que os números. São comuns
na apresentação dos resultados, excertos retirados dos dados, de forma a
“ilustrar e substanciar a apresentação”, procurando respeitar a forma pela
qual foram obtidos. Os relatórios resultantes podem, desta maneira, surgir
de forma minuciosa, considerando que nenhuma visão de mundo pode ser
reduzida à trivialidade e nenhum detalhe é vazio de significado (OLIVEIRA,
2007, p.30).
Sobre o mesmo assunto Borba (2004, p.3) comenta que:
Desta forma, quando falo de pesquisa qualitativa, estou falando de uma
forma de conhecer o mundo que se materializa fundamentalmente através
dos procedimentos conhecidos como qualitativos, que entende que o
conhecimento não é isento de valores, de intenção e da história de vida do
pesquisador, e muito menos das condições sócio-políticas do momento.
Como já dizia Paulo Freire: da escolha da pergunta de pesquisa já é em si
um ato embebido de subjetividade.
Outros autores apoiam as ideias supramencionadas. Para Ludke e André
(1986, p.18) “o estudo qualitativo [...] é o que se desenvolve numa situação natural,
é rico em dados descritivos, tem um plano aberto e flexível e focaliza a realidade de
forma complexa e contextualizada”. As autoras também afirmam que o foco deste
gênero de pesquisa é muito mais o processo do que o produto: “o interesse do
pesquisador ao estudar um determinado problema é verificar como ele se manifesta
nas atividades, nos procedimentos e nas interações cotidianas [...], os estudos
qualitativos permitem iluminar o dinamismo interno das situações” (Ibid., p.12).
Neste aspecto, Godoy (1995) argumenta que a pesquisa qualitativa tem caráter
descritivo, possui enfoque indutivo, permanece atenta para os significados que as
pessoas atribuem aos elementos que cercam a própria vida e adota o que a autora
nomeia de “ ambiente natural”, como fonte direta dos dados, bem como analisa o
pesquisador como
instrumento primordial. Além disso, o caráter da pesquisa
qualitativa não é o da comparação, seja entre grupos, seja entre momentos “antes
versus depois”, ou seja, não pretende estabelecer relações causais entre
ocorrências, coisas ou fenômenos; por outro lado permite ao pesquisador atentar
para os diversos fatores ligados a um problema para compreender-lhes o jogo e,
uma vez adquirida esta compreensão, torna-se conhecida esta relação (LAVILLE e
DIONNE, 1999).
87
Para Bogdan e Biklen (1994) algumas características marcam a pesquisa
qualitativa de forma bastante intensa. São elas:
a) O pesquisador é o instrumento mais relevante nesta modalidade de
investigação, sendo o “ambiente natural” o local de onde surgem, de
forma direta, os dados de interesse. Mesmo quando do uso de aparelhos
de registro de falas ou imagens, por exemplo, cabe ao pesquisador o
trabalho de revisar as descrições de forma constante. Sendo assim, o
contexto é de importância fundamental na pesquisa, influenciando o
comportamento das pessoas, o que deve levar o investigador a
frequentá-lo, na tentativa de compreendê-lo em suas diversas
perspectivas.
b) O processo é o foco da pesquisa qualitativa, muito mais do que
resultados ou produtos. Como não se trata de, simplesmente, verificar se
uma mudança ocorreu, por exemplo, e em que percentual, mas de que
forma, em que contexto, o processo serve mais à descrição do que os
resultados em si.
c) O método indutivo é usado de preferência por pesquisadores
qualitativos, o que faz com que os dados recolhidos não tenham por
base confirmar ou rejeitar hipóteses previamente conjecturadas. Para os
autores, aqui, deve-se “construir um quadro que vai ganhando forma à
medida que se recolhem e examinem as partes”, O recorte, então, vai
sendo definido ao longo do estudo, como argumentado pelos autores,
em um funil.
d) Na abordagem qualitativa, o significado possui importância ímpar.
Para desvendá-lo, o pesquisador se põe em contato e analisa as
diferentes perspectivas de determinados fatos ou descrições, sob o
ponto de vista dos diversos sujeitos.
88
3.2 A descrição na abordagem qualitativa
De acordo com Oliveira (2007) descrever é importante, pois segundo
Bachelard (2004, p.13) “conhecer é descrever para re-conhecer. [...] é preciso ser
exaustivo, mas é preciso manter a clareza. É preciso manter o contato, um contato
cada vez mais estreito com o real, mas o espírito deve estar alerta, ciente de suas
perspectivas, seguro de seus pontos de referência”.
Para Martins (1999, p.57) a descrição é vista da seguinte forma:
No que se refere à descrição em si, porém não há lugar, para uma distinção
branco-preto dizendo-se que ela é verdadeira ou falsa. Descrição, descrever
implicam sempre um sucesso. Quando X descreve algo para Y isto implica
dizer-se que sua emissão satisfaz as condições para uma descrição, isto é,
que ela é suficientemente ampla, justa, precisa e equilibrada. Se sentirmos
que este não seja o caso, o máximo que podemos dizer é que X não
descreve a coisa – o que ele disse é uma interpretação má, nunca que está
errada, falsa ou que não seja verdadeira.
Para Ludke e André (1986, p.12) os dados coletados nesta modalidade de
pesquisa são predominantemente descritos, envolvendo pessoas, situações e
acontecimentos, o que pode envolver “transcrições de entrevistas e depoimentos,
fotografias, desenhos e extratos de vários tipos de documentos”.
Assim, para os autores supramencionados, há uma importância significativa
quanto à descrição na abordagem qualitativa.
3.3 Coleta de dados
Segundo Demo (2000) as maneiras de apropriação de dados devem ser
coerentes em relação aos pressupostos da pesquisa qualitativa, contemplando,
desta forma, a flexibilidade quanto à dinâmica, ela mesma marcada pela
subjetividade, pela intensidade, permeada pelas ideologias e com características de
profundidade e provisoriedade.
Os autores Fiorentini e Lorenzato (2009) também argumentam que a coleta de
dados deve estar de acordo com a questão de investigação e dos objetivos da
pesquisa. Ainda afirmam que:
89
Se o pesquisador pretende investigar o movimento do pensamento dos
alunos na resolução de problemas matemáticos, terá de escolher um
instrumento que permita explicar as estratégias e heurísticas utilizadas
pelos alunos. Ou seja, pedir, nesse caso, que os alunos pensem em voz
alta, durante a resolução do problema, ou registrem no caderno como
construíram sua resolução. Esse levantamento pode ser complementado
como registros em áudio e em vídeo (FIORENTINI e LORENZATO, 2009, p
Especificamente nesta pesquisa a coleta de dados foi realizada com dois
instrumentos: questionário semiestrututado e entrevista não-estruturada, ambos
aplicados a alunos de um curso de Pós-Graduação em Educação Matemática de
uma universidade de São Paulo, os quais também são professores de escolas da
rede pública e privada de São Paulo.
A investigação procurou evidenciar a forma como os professores compreendem
as expressões dos pontos de vista algébrico e geométrico da função modular por
meio de Resolução de Problemas, bem como a influência das TICs e de estratégias
a elas ligadas na compreensão e na propositura de métodos mais interativos e
experimentais de construção do conhecimento.
3.4 Análise dos dados
É controverso este ponto da abordagem metodológica. Gomes (1994, p.68)
afirma:
Há autores que entendem a análise como descrição dos dados e a
interpretação como articulação dessa descrição com conhecimentos mais
amplos e que extrapolam os dados específicos da pesquisa. Outros autores
compreendem a análise num sentido mais amplo, abrangendo a
interpretação.
Neste estudo, adotamos o último posicionamento, por entendermos, assim
como o autor menciona, que “a análise e a interpretação estão no mesmo
movimento: o de olhar atentamente para os dados da pesquisa” (Ibid., p.69). Bogdan
e Biklen (1994, pp.205-206) argumentan sobre a mesma abordagem e afirmam que
a tarefa analítica consiste no trabalho de “interpretar e tornar compreensíveis os
materiais recolhidos [...]. E que a tarefa de análise pode ser concomitante em
90
relação à coleta de dados, sendo esta a abordagem mais frequentemente utilizada
pelos pesquisadores qualitativos”.
Para Ludke e André (1986) analisar os dados equivale a utilizar o material
apreendido no decorrer da investigação por meio das diversas técnicas de coletas
eventualmente empregadas. As autoras afirmam que as diversas fases da pesquisa
comportam a análise, de modo a encontrar, preliminarmente, “tendências e
padrões”, que, mais tarde, são reavaliados, de modo a permitir que se encontre
“relações e interferências num nível de abstração mais elevado”. Apesar de ser mais
sistemática e formal após a coleta de dados, o trabalho de análise, permeia todo o
estudo, o que, em uma abordagem qualitativa, é extremamente importante, já que o
objeto, as hipóteses, as categorias não permanecem engessadas, mas submetemse às variações constantes em quaisquer elementos presentes no tecido social em
foco. Assim, procedemos nesta investigação, inclusive quanto à formação das
categorias de análise, as quais trataremos a seguir.
Nossa pesquisa, portanto, tem a abordagem qualitativa de análise, sendo este
método chamado por alguns autores de “análise de conteúdo”, considerada como
uma técnica de tratamento de dados em pesquisa.
A análise de conteúdo surgiu no início do século XX nos Estados Unidos e é
concebida, hoje, como uma técnica que tem como principal função descobrir o que
está por trás de uma mensagem, de uma comunicação, de uma fala, de um texto, de
uma prática (FIORENTINI e LORENZATO, 2009).
Segundo Rizzini, Castro e Sartor (1999, p.91):
É uma técnica de investigação que tem por objetivo ir além da compreensão
imediata e espontânea, ou seja, ela teria como função básica a observação
mais atenta dos significados de um texto, e isso pressupõe uma construção
de ligações entre as premissas de análise e os elementos que aparecem no
texto. Essa atividade é, assim, essencialmente interpretativa.
Fiorentini e Lorenzato (2009) argumentam que a análise de conteúdo exige a
utilização de critérios claramente definidos sobre registros fornecidos pelas pessoas
interrogadas; tais critérios consideram as palavras utilizadas nas respostas, as ideias
ou opiniões expressas e as interpretações e justificativas apresentadas. Para tanto,
todos os registros devem ser atentamente lidos, vistos e revistos a fim de efetuar-se
91
um levantamento das principais informações neles contidas. Em seguida, elas
devem ser organizadas em categorias.
Dessa forma, as categorias de análise desta pesquisa estão organizadas em:
 Compreensão da função modular.
 Uso do GeoGebra para resolução de problemas no âmbito de
situações didáticas.
 Estratégias pedagógicas com o GeoGebra.
Laville e Dionne (1999, p.214) descrevem o princípio da análise de conteúdo:
“consiste em desmontar a estrutura e os elementos desse conteúdo para esclarecer
suas diferentes características e extrair sua significação”.
Para que o processo de análise do conteúdo seja bem-sucedido, Bardin (2011)
recomenda que o pesquisador faça reiteradas leituras dos registros escritos (textos),
de modo que evidencie os elementos comuns e divergentes subjacentes aos
discursos, os quais permitem estabelecer relações e promover compreensões
acerca do objeto de estudo. A autora argumenta que análise de conteúdo é a
“manipulação de mensagem (conteúdo e expressão desse conteúdo) para
evidenciar os indicadores que permitam inferir sobre uma outra realidade que não a
da mensagem” (Ibid., p.48).
Segundo a autora os procedimentos que o pesquisador deve utilizar no
desenvolvimento da investigação são: pré-análise; exploração do material e
tratamento dos resultados; interferência e interpretação.
A primeira fase da análise de contéudo é a
pré-análise, que é a fase de
organização propriamente dita. Bardin (2011) argumenta que geralmente esta fase
possui três missões: a escolha dos documentos, a formulação das hipóteses e a
elaboração de indicadores que fundamentem a interpretação final. A autora destaca
que:
Estes três fatores, não se sucedem, obrigatoriamente, segundo uma ordem
cronológica, embora se mantenham estreitamente ligados uns aos outros: A
escolha de documentos depende dos objetivos, ou inversamente, o objetivo
só é possível em função de documentos disponíveis; os indicadores serão
construídos em função das hipóteses, ou, pelo contrário, as hipóteses serão
92
criadas na presença de certos índices. A pré-análise é a fase de
organização propriamente dita. Corresponde a um período de intuições,
mas, tem por objetivo tornar operacionais e sistematizar as ideias, de
maneira a conduzir a um esquema preciso do desenvolvimento das
operações sucessivas, num plano de análise (BARDIN, 2011, p.121).
A segunda fase da análise de conteúdo é a exploração do material e o
tratamento dos resultados. A autora argumenta que:
Se as diferenças operacionais da pré-análise foram convenientemente
concluídas, a fase de análise propriamente dita não é mais do que a
administração sistemática das decisões tomadas. Quer se trate de
procedimentos aplicados manualmente ou de operações efetuadas pelo
ordenador, o decorrer do programa completa-se mecanicamente, esta fase
longa e fastidiosa, consiste essencialmente de operações de codificação,
desconto ou enumeração em função de regras previamente formuladas. [...]
a exploração do material é a etapa em que se realiza a codificação das
informações e sua organização. No tratamento dos resultados ocorre a
síntese e a seleção dos resultados para confronto com o referencial teórico,
síntese e interpretações (Ibid., p.128).
A terceira fase da análise de contéudo é a interferência e interpretação. A
autora comenta que nesta fase:
O analista, tendo à sua disposição resultados significativos e fiéis pode
então propor inferências e adiantar interpretações a propósito dos objetivos
previstos, ou que digam respeito a outras descobertas inesperadas. [...] por
outro lado, os resultados obtidos, a confrontação sistemática com o material
e o tipo de inferências alcançadas, podem servir de base a uma outra
análise disposta em torno de novas dimensões teóricas ou praticada graças
a técnicas diferentes (Ibidem).
3.5 Plano de análise da pesquisa
Bardin (2011) afirma que a primeira fase da análise de conteúdo não é preciso
acontecer
segundo
uma
ordem
cronológica,
porém,
em
nossa
pesquisa
descreveremos a seguir, as etapas desenvolvidas para o plano de análise após a
escolha do tema.

Levantamento no banco de dados da Coordenação de Aperfeiçoamento
de Pessoal de Nível Superior (Capes) das pesquisas de mestrado e
doutorado correlatas aos assuntos: função modular, resolução de
problemas e tecnologia de informação e comunicação.
93

Destacamos as pesquisas de Júnior (2008), Botta (2010), Santos (2010) e
Silva (2011).

Posteriormente, escolhemos o referencial teórico: Polya (2006) e
delimitamos os aportes teóricos: Borba (2004), Borba e Penteado (2007),
Braga (2006), Brousseau (2008), Caraça (2005), Eves (2011), Friedlander
e Hadas (1995), Lima (2009), Oliveira (2007, 2008, 2009a,b), Onuchic
(1999), Onuchic e Allevato (2004), Pires (2009), Pozo e Echeverría (1998),
Stanic e Kilpatrick (1990), Stewart (2009), Van de Walle (2001), Vila e
Callejo (2006). E também os aportes metodológicos: Appolinário (2009),
Bardin (2011), Bogdan e Biklen (1994), Borba (2004), Demo (2000),
Fiorentini e Lorenzato (2009), Godoy (1995), Gomes (1994),
Laville e
Dionne (1999), Ludke e André (1986), Martins (1999) e Oliveira (2007).

Abordamos também os documentos oficiais brasileiros: Guias Curriculares
para o Ensino de Matemática Primeiro Grau (SÃO PAULO, 1976),
Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental (BRASIL,
1998), Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (BRASIL,
1999, 2002), Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL,
2006).

Para analisarmos as respostas dos sujeitos da pesquisa junto às
categorias organizadas, fizemos uma pré-análise a partir de um piloto
composto por um questionário semiestruturado e uma entrevista nãoestruturada, tendo por objetivo o levantamento das concepções e dos
perfis dos professores sobre o uso de tecnologias, diferenças entre
exercício e problema matemático e o próprio perfil profissiográfico dos
docentes.
Quanto à segunda fase da análise de conteúdo, que se refere a exploração do
material e o tratamento dos resultados, a análise interpretativa da questão de
94
pesquisa a partir das categorias, motivado pelo instrumento, abordamos duas
situações- problema com função modular para analisarmos as vantagens com o uso
do software GeoGebra a partir da teoria das situações didáticas e das etapas de
resolução de problemas apresentadas por Polya.
A terceira fase da análise de conteúdo, descrevemos, interpretamos,
conjecturamos, concluímos e generalizamos os dados coletados, tendo em vista os
objetivos previstos junto ao tema da pesquisa.
Com base na proposta de Bardin (2011), quanto ao método de pesquisa
“análise de conteúdo”, nos próximos itens descrevemos os sujeitos investigados, os
instrumentos aplicados e as respectivas análises dos dados coletados.
3.6 Descrição dos sujeitos da pesquisa
Para a escolha dos sujeitos da pesquisa estabelecemos os seguintes critérios:
 Os professores investigados deveriam lecionar no Ensino Médio, em
escola da rede pública ou privada, porque apenas neste grau da Educação
Básica é visto o tema função modular.
 Escolhemos professores que também são discentes de um curso de PósGraduação em Educação Matemática de uma universidade do Estado de
São Paulo.
 A seleção dos sujeitos foi conforme o interesse pessoal e a disponibilidade
de cada um quanto ao dia e hora para a aplicação dos instrumentos de
coleta de dados das atividades A, B, C e D.
A seguir faremos uma breve explicação cronológica da aplicação dos
instrumentos da pesquisa.
95

Conversamos aleatóriamente com 18 mestrandos e 5 doutorandos,
desses, 12 são professores do Ensino Médio, sendo que apenas 4
aceitaram fazer parte da nossa pesquisa: 1 doutorando e 3 mestrandos.
 Por termos agendado a aplicação dos instrumentos no mês de julho de
2012, os outros 8 sujeitos justificaram não terem disponibidades nas férias
e nem em outro momento, por motivos pessoais e por estarem também
envolvidos com as suas pesquisas.
 Antes do dia marcado para a aplicação dos instrumentos, conversamos e
explicamos individualmente aos sujeitos voluntários o objetivo da nossa
pesquisa e pedimos que cada um levasse o
conversa,
seu notebook. Nessa
os professores disseram ter conhecimento do software
GeoGebra e também terem o software instalado em seus computadores,
isto fez com que não utilizássemos o laboratório de informática da
universidade.

Os instrumentos foram aplicados na biblioteca da universidade em dois
dias com o tempo estimado de 3 horas no primeiro dia e de 4 horas no
segundo dia.
 No primeiro dia aplicamos as atividades A (levantamento de dados quanto
ao perfil profissional), B (levantamento de dados quanto ao conhecimento e
a familiarização do docente com os softwares matemáticos e o software
GeoGebra), C (concepções dos docentes quanto a exercícios e problemas
matemáticos e as expressões de algumas funções modulares do ponto de
vista algébrico e geométrico).
 No segundo dia aplicamos a atividade D (duas situações-problema
envolvendo função modular para serem expressas do ponto de vista
algébrico e geométrico).
96
 Pedimos aos sujeitos que utilizassem o software GeoGebra para expressar
geometricamente os exercícios e os problemas com função modular. Tais
resultados foram salvos no pen drive da pesquisadora.
 Em ambos os encontros durante o procedimento não houve comunicação
tanto entre os sujeitos como entre a pesquisadora e esses.
 O segundo instrumento da pesquisa foi entrevista não-estruturada, gravada
em um aparelho MP4, com o objetivo de complementar as respostas dadas
que entendemos ser insuficientes nas comunicações escritas. Tais
intervenções ocorreram após a aplicação do questionário.
Por termos como objetivo de análise os protocolos recolhidos, as gravações e
as observações feitas durante as aplicações, segue a descrição das respostas
dadas pelos professores do Ensino Médio nos instrumentos. Adotamos como critério
que os sujeitos pesquisados seriam citados como professores e não como alunos da
Pós-Graduação em Educação Matemática de uma universidade do Estado de São
Paulo. Portanto, nomeamos cada um deles por professor A, B, C e D.
3.7 Descrição dos instrumentos da pesquisa
A pesquisa abrangeu dois instrumentos: questionário semiestruturado e
entrevista não-estruturada.
O primeiro instrumento da pesquisa foi a aplicação de um questionário
semiestruturado dividido em quatro atividades (A, B, C e D) com os seguintes
objetivos:
1º) A atividade A abrangeu sete perguntas fechadas e uma pergunta aberta. O
objetivo foi conhecer o perfil profissional dos sujeitos por meio dos seguintes itens:
as titularizações em graduação e especialização, o tempo de profissão, experiências
anteriores em quais
níveis de ensino,
experiências atuais em quais níveis de
97
ensino, as séries que leciona atualmente, a escola que leciona (pública ou privada) e
a sua localização, as disciplinas lecionadas e a formação continuada da PósGraduação.
2º) A atividade B foi composta por três perguntas fechadas, elaboradas por
categorias e objetivando o conhecimento e a familiarização do docente com os
softwares matemáticos e também com o software GeoGebra.
 Quanto ao uso de tecnologias (softwares matemáticos) em sala de aula.
 O conhecimento do software GeoGebra.

A utilização do software GeoGebra nas práticas docentes.
Para complementar o assunto sobre tecnologias, propusemos mais duas
perguntas
abertas,
objetivando
identificar
as
contribuições
de
softwares
matemáticos, em específico o software GeoGebra.
Entendemos ser importante justificar a escolha das funções modulares
descritas adiante:

Antes de decidirmos qual seria o objeto matemático investigado,
conversamos informalmente com colegas professores do Ensino Médio e
esses relataram que os seus alunos tem dificuldades em expressar
algumas funções modulares algébrica e geometricamente tais como:
f(x)=|x|; f(x)=|x+a| e f(x)=|x|+a. Assim, decidimos analisar como o professor,
sujeito da pesquisa, compreende tais expressões.
 No primeiro momento, não optamos por situações-problema com função
modular para assim analisarmos quais as concepção de problema e
exercício matemático para os sujeitos investigados. Queremos analisar se
esses sujeitos entendem problema matemático como uma situaçãoproblema ou não.
98
 As funções modulares propostas no questionário foram retiradas da obra
de Stewart (2009).
3º) A atividade C continha três perguntas abertas.
 A primeira pergunta teve por objetivo verificar se para o docente do Ensino
Médio, sujeito da investigação, há diferenças ou não entre exercícios e
problemas matemáticos.
 A segunda pergunta teve por objetivo complementar a pergunta anterior,
sendo que o sujeito deveria classificar em exercício ou problema
matemático cada questão envolvendo as funções modulares: f(x)=|x|;
f(x)=|x+a| e f(x)=|x|+a.
 A terceira pergunta teve por objetivo analisar as expressões do ponto de
vista algébrico e geométrico dessas funções modulares descritas pelos
sujeitos.
4º) A atividade D objetivou a utilização do software GeoGebra como estratégia
pedagógica para a expressão do ponto de vista algébrico e geométrico de duas
situações-problema, bem como analisar, segundo os sujeitos da pesquisa, as
contribuições do software GeoGebra para o ensino da função modular, para o
docente e para o processo didático. Tais questões foram divididas em:
1) a) Há dois fios pendurados no teto de uma sala a certa distância um do
outro. Segurando um deles com a mão, não se consegue alcançar o
outro com a outra mão. Como amarrar as extremidades dos dois fios? 12
Com os conceitos de módulo e função modular, expresse o problema
algébrica e geometricamente. Utilize o software GeoGebra.
12
Adaptado da obra: BROLEZZI, A.C. Problemas e criatividade: uma breve introdução. São Paulo:
Factash, 2008.
99
b) Classifique a questão acima em exercício ou problema matemático.
2) a) Quatro pessoas chegam a um rio no meio da noite. Há uma ponte
estreita, mas ela só pode aguentar duas pessoas ao mesmo tempo. Porque
é noite, a tocha deve ser usada para atravessar a ponte. A pessoa A pode
atravessar a ponte em um minuto, a B em 2 minutos, a C em 5 minutos, e a
D em 8 minutos. Quando duas pessoas atravessam a ponte juntos, devem
se mover no ritmo da pessoa mais lenta. A questão é: todos poderão
atravessar a ponte em 15 minutos ou menos?13 Com os conceitos de
módulo
e
função
modular,
expresse
o
problema
algébrica
e
geometricamente. Utilize o software GeoGebra.
b) Classifique a questão acima em exercício ou problema matemático.
3) Descrever as contribuições do software GeoGebra para o ensino da
função modular.
4) Descrever as contribuições do software GeoGebra para o docente e o
processo didático.
3.8 Descrição dos sujeitos da pesquisa
Descreveremos a seguir, a atividade A do questionário, que diz respeito ao perfil
profissional de cada sujeito.
O professor A tem entre 15 anos a 20 anos de profissão na área docente nos
níveis de ensino Fundamental, Médio e Superior em escolas da rede pública e
privada do Estado de São Paulo. Leciona a disciplina de Matemática para os
primeiros, segundos e terceiros anos do Ensino Médio e a disciplina de Cálculo para
o curso de Engenharia Civil no ensino Superior, ambas as escolas da rede privada
em São Paulo. Em 1994 cursou Licenciatura Plena em Matemática e em 2005
13
Adaptado de: GRIBAKIN, G. Some simple and not so simple maths problems. Disponível em:
www.am.qub.ac.uk/users/...gribakin/problem.ht.
100
concluiu o mestrado em Ciências Matemática. Atualmente é aluno doutorando em
Educação Matemática de uma universidade do Estado de São Paulo.
O professor B tem entre 15 anos a 20 anos de profissão na área docente nos
níveis de ensino Fundamental e Médio em escolas da rede pública e privada do
Estado de São Paulo. Leciona as disciplinas de Matemática e
Física para os
primeiros, segundos e terceiros anos do Ensino Médio na rede pública e privada,
ambas no Grande ABCDM - São Paulo. Em 1993 cursou Licenciatura Plena em
Matemática e em 2004 uma especialização Latu Sensu em Ensino e Aprendizagem
de Matemática. Atualmente é aluno mestrando em Educação Matemática de uma
universidade do Estado de São Paulo.
O professor C tem entre 15 anos a 20 anos de profissão na área docente nos
níveis de ensino Fundamental e Médio em escolas da rede pública estadual e
municipal de São Paulo. Leciona a disciplina de Matemática para os segundos anos
do Ensino Médio em uma escola da rede pública no Grande ABCDM - São Paulo.
Em 1995 cursou Licenciatura Plena em Matemática e em 2006 uma especialização
Latu Sensu em Educação Matemática. Atualmente é aluno mestrando em Educação
Matemática de uma universidade do Estado de São Paulo.
O professor D tem mais de 20 anos de experiência na docência nos níveis de
ensino Fundamental e Médio em escolas da rede pública e particulares do Estado
de São Paulo. Leciona a disciplina de Matemática para os primeiros e segundos
anos do Ensino Médio em uma escola da rede pública em São Paulo. Sua primeira
formação na graduação foi em 1995 em Licenciatura Plena em Matemática, a
segunda formação no ano de 2000 em Pedagogia. Atualmente é aluno mestrando
em Educação Matemática de uma universidade do Estado de São Paulo.
101
CAPÍTULO IV
“Erros são, no final das contas,
fundamentos da verdade. Se um homem
não sabe o que uma coisa é, já é um
avanço do conhecimento saber o que ela
não é”.
CARL JUNG
Descrição e Análise dos dados
O objetivo deste capítulo é descrever e analisar os dados coletados do
questionário aplicado, bem como as entrevistas e as observações no decorrer da
experimentação.
4.1 Organização das análises dos dados coletados
Segundo Bardin (2011) na primeira fase da análise de conteúdo, as ideias
devem ser organizadas e sistematizadas, conduzindo assim, um esquema do
desenvolvimento das operações. Desta forma, para as análises dos dados coletados
organizamos o questionário aplicado da seguinte forma:

Concepções dos professores sobre exercícios e problemas matemáticos.

Expressão do ponto de vista algébrico de exercícios e situações-problema
com função modular.

Familiarização dos professores com os softwares matemáticos.

Expressão do ponto de vista geométrico de exercícios e situações-problema
com função modular utilizando o software GeoGebra.

Estratégias pedagógicas com o software GeoGebra e suas contribuições ao
ensino de função modular, à docência e ao processo didático.
102
Apresentaremos a seguir a análise dos dados coletados, selecionados,
codificados e organizados dos sujeitos participantes da investigação, segundo o
referencial e os aportes teóricos.
Vale à pena lembrar que o objetivo não será analisar os erros ou os acertos das
descrições dos sujeitos da pesquisa, e sim, fazer análises de acordo com as
seguintes categorias:

Compreensão da função modular.

Uso do GeoGebra para resolução de problemas no âmbito de situações
didáticas.

Estratégias pedagógicas com o GeoGebra.
4.2 Concepções dos professores A, B, C e D sobre exercícios e problemas
matemáticos
Por terem similaridades às respostas dos professores A, B, C e D na primeira
pergunta da atividade C, optamos em “organizá-las de acordo com a codificação dos
dados em relação a um tema, uma palavra ou uma frase” (BARDIN, 2011, p.127).
1) Existe diferença entre exercícios e problemas matemáticos? Justifique.
Sim. Exercício matemático é algo prático, rápido, resolução imediata e
segue-se um modelo, já um problema matemático precisa pensar mais para
responder, ter mais argumentações, ter pré-requisitos, a resposta não é
imediata (PROFESSOR A).
Sim. Exercício matemático é somente aplicação de algum conteúdo visto.
Não apresenta desafio para o aluno. Problema matemático é uma situação
desafiadora. O aluno dependerá de algumas relações anteriores e seu
conhecimento de mundo para determinar a solução (PROFESSOR B).
Sim. Exercício é uma atividade onde são utilizados alguns conhecimentos
matemáticos. Problemas são situações que apresentam desafios e exige
envolvimento e metodologia para resolver (PROFESSOR C).
Sim. O exercício é apenas prática do que se aprende e o problema exige
pensamento e provas de conjecturas e até demonstrações (PROFESSOR
D).
Analisamos que os professores A, B, C e D tem clareza sobre a diferença entre
exercício e problema matemático, suas respostas condizem com a ideia de Onuchic
103
(1999, p.215) ao afirmar que problema é “tudo aquilo que não se sabe fazer, mas
que se está interessado em resolver”. Tais respostas: “problema não tem uma
resposta imediata é preciso pensar mais, ter mais argumentações”(PROFESSOR A),
“problema é uma situação desafiadora” (PROFESSOR B), “problema exige
envolvimento e metodologia” (PROFESSOR C), “problema exige provas de
conjecturas e até demonstrações” (PROFESSOR D) estão inseridas na mesma
definição de problema para a autora “ é tudo que não se sabe fazer”,ou seja,revela
interesse em buscar uma resposta, “interessado em resolver”. Conforme os relatos
dos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental “a solução não está
disponível de início, mas é possível construí-la” (BRASIL, 1998, p.82).
Os sujeitos, ao afirmarem que para resolver um problema matemático “precisa
pensar mais para responder” (PROFESSOR A), “o aluno dependerá de algumas
relações anteriores e seu conhecimento de mundo para determinar a solução”
(PROFESSOR B), “apresentam desafios e exige envolvimento” (PROFESSOR C),
“exige pensamento” (PROFESSOR D), estabelecem similaridades com Vila e Callejo
(2006) quando comentam que o aluno, para resolver um problema, deve estabelecer
relações e envolver suas emoções para enfrentar uma situação nova. Estas
“relações anteriores” e o “conhecimento de mundo”, os “envolvimentos e os
pensamentos”, citados pelos professores, podem ser as “relações e as emoções”
que o aluno necessite buscar para a resolução de um problema. As mesmas
citações podem estar inseridas na afirmação de Brousseau (2008, p.19): “problema
matemático faz o sujeito agir, falar, refletir e evoluir [...]”.
As respostas dos sujeitos codificam-se em frases semelhantes ao descreverem
que para a resolução de exercícios matemáticos seguem-se “modelos já feitos
anteriormente”
(PROFESSOR
A),
“algum
conteúdo
já
resolvido
antes”
(PROFESSOR B), “uma atividade onde são utilizados alguns conhecimentos
matemáticos” (PROFESSOR C), é prática do que se aprende (PROFESSOR D).
Podemos inferir que,
para os professores, resolver exercícios matemáticos é o
mesmo que “realizar tarefas em contextos definidos e fechados, atividades
mecânicas” (POZO; ECHEVERRÍA,1998, p.160).
104
4.2.1 Concepções dos professores A e D sobre exercícios e problemas
matemáticos
Quanto à segunda questão da atividade C, as respostas dos professores A e D
apresentam similaridades na classificação das funções modulares f(x)=|x|; f(x)=|x+a|
e f(x)=|x|+a em exercício ou problema matemático.
f(x)=|x| é exercício matemático; f(x)=|x+a| é exercício matemático; f(x)=|x|+a
é exercício matemático (PROFESSOR A).
f(x)=|x| exercício matemático; f(x)=|x+a| exercício matemático; f(x)=|x|+a
exercício matemático (PROFESSOR D).
Os professores A e D classificam as funções modulares f(x)=|x|; f(x)=|x+a| e
f(x)=|x|+a em exercícios matemáticos, ou seja,
compreendem o conteúdo em
questão e conhecem os algoritmos necessários para uma resposta imediata,
segundo Souza e Bianchini (2012a,b,c). Os sujeitos A e D entendem que tais
funções modulares são exercícios matemáticos, por serem questões fechadas.
4.2.2 Concepções dos professores B e C sobre exercícios e problemas
matemáticos
Ainda em relação à segunda questão da atividade C, as respostas dos
professores B e C também apresentam similaridades.
f(x)=|x| exercício matemático; f(x)=|x+a| problema matemático; f(x)=|x|+a
problema matemático (PROFESSOR B).
f(x)=|x| problema matemático; f(x)=|x+a| problema matemático; f(x)=|x|+a
problema matemático (PROFESSOR C).
O professor B classifica apenas a função modular f(x)=|x| como exercício
matemático, conforme ele mesmo explica na pergunta 1 da mesma atividade C, “é
somente aplicação de algum conteúdo visto”, neste caso, refere-se ao conteúdo de
módulo. As funções f(x)=|x+a| e f(x)=|x|+a são classificadas como problemas
matemáticos, ou seja, uma “situação desafiadora”, definição sobre problemas dada
pelo próprio na pergunta 1 da atividade C. Descreve ainda que para a resolução de
um problema matemático “o aluno depende de algumas relações anteriores”. Por
105
meio da entrevista pedimos ao sujeito B que relatasse por que as funções modulares
são problemas matemáticos na sua concepção.
Na segunda e terceira função modular entendo que a expressão é “a
unidades”, portanto, são necessárias outras argumentações para o seu
desenvolvimento, como por exemplo, deslocamento da unidade a na vertical
ou horizontal referente à função f(x)=|x|. Por este motivo penso que podem
ser classificadas como problemas matemáticos (PROFESSOR B).
Desta forma, para o professor B, as funções modulares f(x)=|x+a| e f(x)=|x|+a
são “situações desafiadoras” envolvem “argumentações sobre deslocamento da
unidade a na vertical ou na horizontal referente à função f(x)=|x|”, ou seja, tal
afirmação classifica as funções em “problemas matemáticos” para esse sujeito.
A atividade C contém perguntas sobre as concepções tanto de exercícios
quanto de problemas matemáticos com função modular, desta forma, o professor B
classifica ambas as opções (exercício e problema), justificando ainda sua
interpretação quanto à unidade a relativa à função f(x)=|x|. Esta descrição indica que
o professor evita incorrer em um efeito do contrato didático14 (o Topázio), previsto
por Brousseau (2008), por meio dos quais, o professor não pode dizer
explicitamente, e de antemão, o que o aluno deverá fazer diante de uma questão
matemática, sem tirar-lhe, ao fazê-lo, a possibilidade de manifestar ou adquirir o
conhecimento correspondente.
Já o professor C classifica as três funções modulares como problemas
matemáticos. As funções apresentam “desafios e exigem envolvimento e
metodologia”, conforme suas concepções descritas na pergunta 1 da mesma
atividade C.
Na entrevista o sujeito C justifica o porquê da classificação em problemas
matemáticos as funções modulares:
Problemas matemáticos são desafios no sentido de serem mais difíceis de
resolver, portanto exige maior dedicação, investigação, tomada de decisão,
ou seja, maior envolvimento com métodos de resolução. Nas três funções
modulares, depende de quem vai resolver, pode ser um problema para
quem não tem conhecimento do assunto e tem que fazer demonstrações e
validar a questão. Se o indivíduo já conhece função modular, pode ser
14
“Conjunto de comportamentos específicos do professor esperado pelos alunos, e o conjunto de
comportamentos dos alunos esperado pelo professor. O professor e o aluno imaginam o que o outro
espera dele e o que cada um pensa do que o outro pensa... e essa ideia cria as possibilidades de
intervenção, de devolução da parte adidática das situações e de institucionalização” (BROUSSEAU,
2008, p.74).
106
apenas um exercício, pois vai utilizar demonstrações e definições já feitas
(PROFESSOR C).
Entendemos que a argumentação do professor C também está inserida no
“efeito do contrato didático” (BROUSSEAU, 2008) e, da mesma forma que o
professor B, teve a necessidade de dar uma resposta à pesquisadora, classificando
as três funções modulares como “problemas”.
Desta forma, podemos concluir neste item que as concepções dos
professores A, B, C e D sobre os conceitos de exercícios e problemas matemáticos
possuem similaridades em relação aos conceitos do tema investigado (exercícios e
problemas). No entanto, para os professores B e C não há associação entre as suas
respostas sobre os conceitos de exercícios e problemas matemáticos e as
classificações dos exercícios com funções modulares contidas na atividade C.
4.3 Concepções dos professores A, B, C e D sobre as situações-problema
Quanto à letra b das situações-problema da atividade D, as repostas dos
professores A, B, C e D apresentam similaridades na classificação das questões em
exercícios ou problemas.
Situação- problema 1:
Problema matemático (PROFESSOR A)
Problema matemático (PROFESSOR B)
Problema matemático (PROFESSOR C)
Problema matemático (PROFESSOR D)
Situação-problema 2:
Problema matemático (PROFESSOR A)
Problema matemático (PROFESSOR B)
Problema matemático (PROFESSOR C)
Problema matemático (PROFESSOR D)
Nesta atividade D os professores A, B, C e D classificam ambas as questões
como problema matemático. Perguntamos a todos na entrevista qual a justificativa
107
desta classificação e com frases semelhantes argumentaram: “preciso pensar muito
para resolvê-los” (PROFESSOR A), “tenho que encontrar estratégias matemáticas
para a solução dos dois” (PROFESSOR B), “não tenho nem ideia de respostas”
(PROFESSOR C), “não sei nem se consigo resolver, aparentemente são difíceis”
(PROFESSOR D). Tais justificativas corroboram com a afirmação dos autores Vila e
Callejo (2006) quanto à problema quando descrevem que a solução não é imediata
ao resolvedor porque não dispõe de um algoritmo que relaciona os dados e a
variável com a conclusão.
4.4 Compreensão da Função Modular
Neste item abordaremos a terceira questão da atividade C e as situaçõesproblema da atividade D. Entendemos ser relevante apresentarmos possíveis
soluções das situações-problema.
3) Expresse algebricamente as funções modulares: f(x)=|x|; f(x)=|x+a| e
f(x)=|x|+a.
x para x ≥ 0
f(x) = |x| =
-x para x<0
x+a ≥ 0 então x≥ -a
f(x)=|x+a| =
-x+a < 0 então x<-a
x+a se x≥ 0
f(x)=|x+a| =
-x+a se x< 0
108
Situação-problema 1: Há dois fios pendurados no teto de uma sala a certa
distância um do outro. Segurando um deles com a mão, não se consegue alcançar o
outro com a outra mão. Como amarrar as extremidades dos dois fios? Com os
conceitos de módulo e função modular, expresse algebricamente a questão15.
Solução algébrica
Hipóteses do problema:
a)
O problema não informa a distância entre os dois fios e nem os seus
comprimentos. Supomos que são do mesmo tamanho.
b) Um dos fios não se alcança com uma das mãos, então supomos que é
necessário algum objeto que complete esta distância que falta, por exemplo,
um alicate.
c) Expressaremos a distância em módulo.
Consideremos |x|: a distância do 1º fio até uma das mãos.
|x+a|: a distância do objeto que está na outra mão até o 2º
fio. Com a ϵ IR*.
Portanto teremos: f(x)= |x|+|x+a|
Solução geométrica
Utilizando o software GeoGebra visualizamos a resolução da situaçãoproblema 1.
15
Lembrando que a questão foi adaptada da obra: BROLEZZI, A.C. Problemas e criatividade: uma
breve introdução. São Paulo: Factash, 2008.
109
Figura 2: Apresentação de um esquema da situação-problema 1 no GeoGebra
Fonte: Elaborado pela autora
Situação-problema 2: Quatro pessoas chegam a um rio no meio da noite. Há
uma ponte estreita, mas ela só pode aguentar duas pessoas ao mesmo tempo.
Porque é noite, a tocha deve ser usada para atravessar a ponte. A pessoa A pode
atravessar a ponte em um minuto, a B em 2 minutos, a C em 5 minutos, e a D em 8
minutos. Quando duas pessoas atravessam a ponte juntos, devem se mover no
ritmo da pessoa mais lenta. A questão é: todos poderão atravessar a ponte em 15
minutos ou menos? Com os conceitos de módulo e função modular, expresse
algebricamente e geometricamente a questão. Utilize o software GeoGebra16.
Solução algébrica
Hipóteses do problema
a) Na ponte só passam no máximo duas pessoas ao mesmo tempo e uma
delas deve estar com a tocha.
16
Este problema foi adaptado de: GRIBAKIN, G. Some simple and not so simple maths problems.
Disponível em: www.am.qub.ac.uk/users/...gribakin/problem.ht.
110
b) A travessia deve ser no tempo da pessoa mais lenta.
c) Consideramos o sentido da ida como valor positivo e o da volta como valor
negativo. Devido não existir tempo negativo indicaremos por módulo a
distância do retorno.
d) A pessoa A atravessa em 1 minuto, a B em 2 minutos, a C em 5 minutos e a
D em 8 minutos.
e) Retornará com a tocha a pessoa mais rápida.
Sugerimos o esquema abaixo:
Quadro 8: Apresentação de um esquema da situação-problema 2
Estão no início da Ponte A, B,C e D
Saem juntos A e B
Ficaram C e D
Chega A
Travessia do tempo de B
que é o mais lento: 2 minutos
Travessia de volta é de 1 minuto
Chegam A e B
Fica A
Saem juntos C e D
Ficou A
Chega B
Travessia do tempo de D
que é o mais lento: 8 minutos
Travessia de volta é de 2 minutos
Agora estão B, C e D
Saem juntos A e B
Travessia do tempo de B
que é o mais lento: 2 minutos
Ficaram C e D
Chegaram A e B
Fica B
Retorna A
Ficam C e D
Retorna B
Fonte: Elaborado pela autora
Portanto: x = 2+|-1|+8+|-2|+2
x = 15
Resposta: 15 minutos
Solução geométrica
Utilizando o software GeoGebra podemos expressar o problema por meio de
segmento com comprimento fixo.
111
Figura 3: Apresentação de um esquema da situação-problema 2 no GeoGebra
Fonte: Elaborado pela autora
112
4.4.1 Resolução apresentada pelo professor A
Quadro 9: Exercícios de Funções Modulares pelo professor A
Protocolo do professor A - atividade C
O professor A mostra no desenvolvimento dos exercícios de funções modulares
que compreende as definições de módulo e função modular expressando-as
algebricamente.
113
Quadro 10: Resolução da situação-problema 1 algebricamente pelo professor A
Protocolo do professor A- atividade D
O professor A inicia a solução da situação-problema 1 conjecturando a ideia de
distância com o significado de módulo e depois considera duas hipóteses e as
expressa de forma algébrica. Entendemos que o sujeito possui compreensão dos
conceitos de módulo e de função modular, conforme associa Lima (2009) a
aplicação do conceito de módulo com distância. Sua observação quanto à
necessidade de algum objeto entre a distância da mão esquerda até o fio B, mostra
uma visualização detalhada no entendimento do problema. Tal solução corrobora os
apontamentos dos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental
(BRASIL, 1998) quando afirmam que a resolução de problemas é uma orientação
para a aprendizagem que proporciona o contexto para se apreender conceitos,
procedimentos e atitudes matemáticas.
114
Quadro 11: Resolução da situação-problema 2 algebricamente pelo professor A
Protocolo do professor A – atividade D
O professor A inicia a solução da situação-problema 2 conjecturando os dados
da questão com os conceitos de
módulo, definindo, claramente, que módulo
significa distância (STEWART, 2009). O sujeito adota suas próprias decisões sobre
a expressão algébrica do problema e segundo afirmam Pozo e Echeverría (1998)
reflete tendo autonomia crescente neste processo de tomada de decisões.
115
4.4.2 Resolução apresentada pelo professor B
Quadro 12: Exercícios sobre Funções Modulares pelo professor B
Protocolo do professor B – atividade C
116
O professor B possui compreensão quanto à definição de função modular, a
qual decorre diretamente do conceito de módulo, ou seja, é definida por y=|x| ou
f(x)=|x| e que em certas funções é necessário o uso de duas ou mais sentenças
(STEWART, 2009). Em cada função modular, o sujeito B descreve e mostra
conexões quanto às condições que satisfazem as variáveis.
Quadro 13: Resolução da situação-problema 1 algebricamente pelo professor A
Protocolo do professor B – atividade D
A descrição do professor B não é esclarecedora quanto à sua compreensão
dos conceitos de módulo e função modular expressos algebricamente na questão.
Perguntamos na entrevista ao sujeito B porque solucionou apenas geometricamente
a situação-problema 1. Respondeu que “a resolução geométrica era suficiente para
compreensão do problema”. Não significa que o professor não compreenda o
problema, ou não saiba expressá-lo algebricamente, pois mostra no quadro anterior,
referente a atividade C, um conhecimento satisfatório quanto aos conceitos e
definições de módulo e função modular. Segundo Vila e Callejo (2006) talvez não
dispunha no momento de um algoritmo que relacionasse os dados, as variáveis e a
conclusão, desta forma, não conseguiu estabelecer relações.
117
Quadro 14: Resolução da situação-problema 2 algebricamente pelo professor B
Protocolo do professor B – atividade D
Na situação-problema 2, o professor B compreende as informações da questão
e consegue dispor de um algoritmo que relaciona os dados, a variável e a
conclusão, conforme afirmam Vila e Callejo (2006). Mostra também entender o
significado de módulo enquanto distância (LIMA, 2009) e expressa o problema
algebricamente a partir de hipóteses descritas no enunciado.
118
4.4.3 Resolução apresentada pelo professor C
Quadro 15: Exercícios de Funções Modulares pelo professor C
Protocolo do professor C – atividade C
O professor C mostra nos exercícios de funções modulares que compreende,
segundo Stewart (2009) a notação de módulo e suas propriedades, bem como a
definição de função modular e a sua expressão algébrica.
119
Quadro 16: Resolução das situações-problema 1 e 2 algebricamente - professor C
Protocolo do professor C – atividade D
Com a afirmação do professor C, registrada no protocolo, não podemos
analisar sua compreensão quanto aos conceitos de módulo e função modular
referentes às expressões algébricas das situações-problema 1 e 2. Perguntamos na
entrevista por que não solucionou algebricamente as questões, e ele respondeu:
“não tenho nem ideia por onde começar nenhum desses problemas”.
120
4.4.4 Resolução apresentada pelo professor D
Quadro 17: Exercícios sobre Funções Modulares pelo professor D
Protocolo do professor D – atividade C
O professor D mostra não ter compreensão total da definição de módulo e de
função modular, não apresenta a definição por duas setenças, ou seja, y=|x| ou
f(x)=|x| descrevendo que f(x)=|x|= x para x≥0 e –x para x<0.
121
Quadro 18: Resolução das situações-problema 1 e 2 algebricamente – professor D
Protocolo do professor D – atividade D
O professor D não expressa algebricamente as situações-problema 1 e 2,
conforme registrado no protocolo, desta forma, não podemos analisar sua
compreensão quanto à definição de módulo e função modular.
122
Desta forma, podemos concluir neste item que os professores A e B mostram
em suas expressões algébricas de exercícios e situações-problema com função
modular que compreendem o conceito de módulo e função modular.
Nas respostas do professor C é possível analisar sua compreensão sobre
conceito de módulo e função modular apenas nos exercícios da atividade C.
O professor D mostra no exercício da atividade C que compreende
parcialmente o conceito de módulo e função modular e nas situações-problema, por
não apresentar soluções algébricas não podemos analisar sua compreensão sobre
o tema.
Vale à pena destacar que:
O professor A apresenta soluções algébricas para os exercícios com função
modular e para as duas situações-problema.
O professor B também apresenta solução algébrica para os exercícios com
função modular e para a situação-problema 2.
Os professores C e D apresentam soluções algébricas para os exercícios com
função modular e não apresentam nenhuma solução para as duas situaçõesproblema.
4.5 Uso do GeoGebra para resolução de problemas no âmbito de situações
didáticas
Apresentaremos para cada sujeito da pesquisa:
a) As respostas da atividade B quanto à familiarização com softwares matemáticos,
especificamente, o GeoGebra.
b) As respostas da atividade C sobre a expressão do ponto de vista geométrico das
funções modulares f(x)=|x|; f(x)=|x+a| e f(x)=|x|+a com o software GeoGebra.
c) As respostas da atividade D que contêm as situações-problema 1 e 2 no
GeoGebra.
123
4.5.1 O uso do GeoGebra - professor A
Quadro 19: Respostas da atividade B pelo professor A
1. Quanto ao uso de tecnologias (softwares matemáticos) em sala de
aula. Nunca utilizou.
2. Caso tenha dificuldades, especifique se são com todos os recursos
tecnológicos ou apenas com softwares matemáticos. Justifique a sua
resposta.
Não tenho segurança nas ferramentas dos softwares.
3. Conhece o software GeoGebra?
Sim.
4. Utiliza o software GeoGebra em suas práticas docentes?
Nunca utilizou.
5. Caso tenha dificuldades com o software GeoGebra, especifique
quais são.
Também tenho difculdades com algumas ferramentas.
Fonte: Professor A
124
Figura 4: Gráfico de f, dada por f(x)=|x+a| no GeoGebra pelo professor A
Protocolo do professor A – atividade C
Figura 5: Gráfico de f, dada por f(x)=|x|+a no GeoGebra pelo professor A
Protocolo do professor A – atividade C
125
O professor A não tem contato usual com softwares matemáticos e nem mesmo
com o GeoGebra, nunca utilizou nenhum desses em suas aulas, por falta de
habilidades com as ferramentas. Afirmam Borba e Penteado (2007) que esta
dificuldade de manuseio coloca o sujeito numa “zona de conforto”, deixando, então,
de aprender e assumir uma nova prática na docência com as tecnologias.
O sujeito A registra com caneta esferográfica no papel informações sobre as
funções modulares: a unidade a representa um deslocamento horizontal ou vertical
em relação à função de origem. Expressa geometricamente as funções no software
GeoGebra, conforme apresentadas no protocolo. Segundo Frota e Borges (2004), o
professor
enquadra-se
na
categoria
de
consumidor
de
tecnologias
para
automatização das tarefas, ou seja, usa a tecnologia, no caso o software GeoGebra,
apenas como um recurso para promover a concepção didática já obtida sobre
função modular, desta forma, automatiza os cálculos e algoritmos das funções
permancendo na mesma dimensão didática.
Figura 6: Resolução da situação-problema 1 no GeoGebra pelo professor A
Protocolo do professor A – atividade D
O professor A compreende o problema e a atenção dada ao enunciado
estimula a sua memória a ponto de recordar algo relevante (POLYA, 2006), ou seja,
126
quando descreve que os pontos A e B representam certa distância entre os fios, está
dando indícios das primeiras ideias do conceito de módulo. Para Brousseau (2008) o
sujeito A expressa a solução da situação-problema 1, estabelecendo as trocas e
buscas de informações dos seus conhecimentos matemáticos com o milieu, no caso
o GeoGebra, trazendo uma validação geométrica da função modular.
Com o uso do software GeoGebra e a validação da situação-problema 1, o
professor A, segundo Frota e Borges (2004) matematizou a tecnologia e também a
matemática foi incorporada aos objetivos tecnológicos. Neste aspecto, afirma
Oliveira (2009b) que o sujeito A domina o recurso tecnológico, incorpora ao
conhecimento que possui, mostrando-se apto para transformar suas limitações da
tecnologia para a capacidade de criação, o que indica que consegue avançar do
nível de consumidor tecnológico para a incorporação da tecnologia na prática.
Figura 7: Resolução da situação-problema 2 no GeoGebra pelo professor A
Protocolo do professor A – atividade D
De acordo com Polya (2006) o professor A possui clareza, compreensão e
familiarização com o enunciado da situação-problema 2, focalizando a atenção no
objetivo do problema e em meios para a solução, de modo que registra as setas na
127
figura justificando ser as idas e voltas das pessoas atravessando a ponte, ou seja,
relaciona a distância ao conceito de módulo. Segundo Brousseau (2008) o sujeito A
chega ao resultado por caminhos diferentes quando busca informações no milieu,
neste caso o GeoGebra, e assim, torna-se o ator principal no processo de
construção do conhecimento proposto no problema.
O professor A chega a uma interpretação da situação-problema 2, ampliando os
seus conhecimentos sobre módulo e função modular. Para Frota e Borges (2004) o
sujeito A está caracterizado na incorporação tecnológica, ou seja, a tecnologia é
tomada como ferramenta e instrumento cognitivo. Para Oliveira (2009b) o sujeito
desenvolve a fluência na manipulação da interface e explora os elementos
matemáticos envolvidos no problema, o que pode lhe permitir incorporar as
tecnologias digitais e sua prática.
4.5.2 O uso do GeoGebra - professor B
Quadro 20: Respostas da atividade B pelo professor B
1. Quanto ao uso de tecnologias (softwares matemáticos) em sala de aula.
Utiliza às vezes.
2. Caso tenha dificuldades, especifique se são com todos os recursos
tecnológicos ou apenas com softwares matemáticos. Justifique a sua
resposta.
A dificuldade maior é utilizar o recurso na escola, pois não podemos contar com
a sala de informática que está sem monitor desde o início do ano e o data show
nem sempre está disponível. Procuro incentivar os alunos a instalarem em seus
computadores os softwares matemáticos, mas nem todos completam as atividades.
3. Conhece o software GeoGebra? Sim.
4. Utiliza o software GeoGebra em suas práticas docentes? Às vezes.
5. Caso tenha dificuldades com o software GeoGebra, especifique quais são.
Nenhuma.
Fonte: Professor B
128
Figura 8: Gráfico de f, dada por f(x)=|x| no GeoGebra pelo professor B
Protocolo do professor B - atividade C
Figura 9: Gráfico de f, dada por f(x)=|x+a| no GeoGebra pelo professor B
Protocolo do professor B – atividade C
129
Figura 10: Gráfico de f, dada por f(x)=|x|+a no GeoGebra pelo professor B
Protocolo do professor B – atividade C
O professor B às vezes utiliza em suas aulas softwares matemáticos, inclusive
o GeoGebra, pois justifica que nem sempre pode contar com o monitor e também
com o data show da sala de informática da escola que leciona, mas comenta que
procura incentivar os seus alunos a instalarem em seus computadores os softwares
matemáticos. Tal atitude, para Borba e Penteado (2007) é vista como direito de
inclusão na alfabetização tecnológica, ou seja, um direito a aprender e interpretar a
nova mídia.
O sujeito B, segundo Oliveira (2009b) enquadra-se no nível de “desenvolver
fluência” na manipulação de ferramentas.
Quanto à figura 11 e o quadro 21 a seguir destacamos que fizemos uma cópia
fiel das resoluções das situações-problema 1 e 2 no GeoGebra pelo professor B,
conforme salvo em nosso pen drive no dia da aplicação das atividades.
130
Figura 11: Resolução da situação-problema 1 no GeoGebra pelo professor B
Considerando uma pessoa no meio da distância entre os dois fios pendurados
no teto e que segurando um deles com uma mão, ela consiga trazer a outra
extremidade, amarrando-os. Mantendo os fios puxados, o gráfico formado
lembra uma função modular, que no GeoGebra fica assim:
Protocolo do professor B – atividade D
O professor B realiza, segundo Brousseau (2008) procedimentos imediatos, o
quais resultam na produção de conhecimento intuitivo, sem explicar todos os
argumentos utilizados na elaboração, busca informações com o GeoGebra, ou seja,
com o milieu, validando a solução. Quanto ao uso das tecnologias o sujeito
encontra-se no primeiro nível de incorporar tecnologia, no qual, segundo Frota e
Borges (2004) a tecnologia é tomada como ferramenta e instrumento cognitivo.
Quadro 21: Resolução da situação-problema 2 no GeoGebra – professor B
AB cruzam
tempo 2 min
ficam no final da ponte AB
A volta
tempo -1
fica no final da ponte
B
CD cruzam
tempo 8 min
ficam no final da ponte
BCD
B volta
tempo -2 min
ficam no final da ponte
AB cruzam
tempo 2 min
ficam no final da ponte ABCD
Protocolo do professor B – atividade D
CD
131
O professor B compreende a situação-problema 2, estabelece relações dos
dados com a variável, conjectura os dados com os conceitos matemáticos e chega
ao resultado que entende ser o correto (POLYA, 2006).
O sujeito B não utiliza o software GeoGera para expressar alegebricamente o
problema, ou seja, não busca informações com o milieu, conforme sugere
Brousseau (2008). Segundo o autor, o sujeito cria outro modelo para tal situação,
provocando uma aprendizagem por adaptação e validando suas ideias na linguagem
matemática.
Os processos de interação, comunicação e a aprendizagem para o professor
foram mais importantes que as tecnologias em questão (OLIVEIRA, 2007).
4.5.3 O uso do GeoGebra - professor C
Quadro 22: Respostas das atividade B pelo professor C
1. Quanto ao uso de tecnologias (softwares matemáticos) em sala de aula.
Utiliza raramente.
2. Caso tenha dificuldades, especifique se são com todos os recursos
tecnológicos ou apenas com softwares matemáticos. Justifique a sua
resposta.
Não utilizo por falta de recursos da unidade em que trabalho.
3. Conhece o software GeoGebra?
Sim.
4. Utiliza o software GeoGebra em suas práticas docentes?
Às vezes.
5. Caso tenha dificuldades com o software GeoGebra, especifique quais
são.
Não tenho.
Fonte: Professor C
132
Figura 12: Funções Modulares no GeoGebra pelo professor C
Protocolo do professor C – atividade C
O professor C utiliza raramente em suas aulas softwares matemáticos, mas às
vezes o GeoGebra, justifica tal fato por falta de recursos na unidade escolar que
trabalha. Mesmo afirmando não ter dificuldades com o software GeoGebra, optou
expressar
geometricamente as funções modulares com caneta e régua,
consideradas outras tecnologias, segundo Kenski (2007) e quando perguntamos na
entrevista qual a justificativa para tal registro, disse que “sentia-se mais confortável
na resposta”.
Para Borba e Penteado (2007) o professor C parece estar na “zona de conforto
tecnológico” tendo a necessidade de assumir que a incorporação das novas mídias
133
em sua prática docente é um objetivo a ser alcançado, ou seja, alfabetizar-se
tecnologicamente
Figura 13: Resolução da situação-problema 1 no GeoGebra pelo professor C
Protocolo do professor C – atividade D
O professor C novamente nos disse na entrevista que não usaria o software
GeoGebra para expressar geometricamente a situação-problema 1, justificando ser
mais fácil colocar no papel o que entendeu do enunciado da questão. O sujeito não
busca informações com o software, o milieu, (BROUSSEAU, 2008) mas alcança os
processos de interação e comunicação no ensino, que segundo Kenski (2003)
depende muito mais de pessoas envolvidas do que das tecnologias utilizadas.
134
Quadro 23: Resolução da situação-problema 2 no GeoGebra pelo professor C
Protocolo do professor C – atividade D
O professor C não expressa geometricamente a situação-problema 2 no
GeoGebra, desta forma não é possível analisarmos o uso do software no âmbito de
situações didáticas.
Para Oliveira (2007, 2008, 2009a) o sujeito C não utiliza as tecnologias como
mediadoras na elaboração de novas formas de pensar e fazer matemática. E
segundo os autores Frota e Borges, o professor C, nesta atividade D, não enquadrase nas concepções de consumidor e incorporador de tecnologias, ou seja, não
mostra nesta atividade que os processos tecnológicos são atrativos e motivadores
para ensinar e aprender matemática.
135
4.5.4 O uso do GeoGebra - professor D
Quadro 24: Respostas da atividade B pelo professor D
1. Quanto ao uso de tecnologias (softwares matemáticos) em sala de aula.
Utiliza às vezes.
2. Caso tenha dificuldades, especifique se são com todos os recursos
tecnológicos ou apenas com softwares matemáticos. Justifique a sua
resposta.
Tenho dificuldades com os recursos tecnológicos, pois minha escola não está
preparada para utilização de sala de aula de 40 alunos .
3. Conhece o software GeoGebra?
Sim.
4. Utiliza o software GeoGebra em suas práticas docentes?
Às vezes.
5. Caso tenha dificuldades com o software GeoGebra, especifique quais
são.
Não sou conhecedor profundo do software, porém um conhecedor com prática
para ministrar aulas com conteúdos elementares.
Fonte: Professor D
136
Figura 14: Funções Modulares no GeoGebra pelo professor D
Protocolo do professor D – atividade C
O professor D às vezes utiliza em suas aulas softwares matemáticos e também
o GeoGebra, por motivos de sua escola não estar preparada com recursos
tecnológicos para 40 alunos. Relata não ser um conhecedor profundo do software,
entretanto, possui a prática para ministrar aulas com conteúdos elementares. Não
utiliza o GeoGebra
para expressar geometricamante as funções modulares,
registrando-as, conforme o protocolo, com caneta e régua, consideradas para
Kenski (2007) como outras tecnologias. Perguntamos na entrevista qual a
justificativa para a não utilização do software GeoGebra. Ele respondeu: “consigo
entender melhor no papel a resolução do que no GeoGebra”.
O sujeito D, segundo Borba e Penteado (2007) encontra-se na “zona de
conforto tecnológico” e necessita assumir que a incorporação das novas mídias em
137
sua prática docente é um objetivo a ser alcançado, ou seja, deve fazer parte da
alfabetização tecnológica.
Quadro 25: Resolução das situações-problema 1 e 2 no GeoGebra – professor D
Protocolo do professor D – atividade D
Perguntamos na entrevista ao professor D qual a justificativa de não ter
utilizado o software GeoGebra para expressar geometricamente as situaçõesproblema 1 e 2.
Respondeu: “eram apenas hipóteses sobre a resolução dos
problemas e por não ter certeza se seria o certo, preferi não utilizar o software”.
Para Brousseau (2008) o sujeito D não busca retroagir com o milieu, ou seja,
com o software GeoGebra.
O professor D não utiliza o software GeoGebra em nenhuma das atividades do
questionário aplicado. Para Borba e Penteado (2007), Kenski (2007) e Oliveira
(2007) o professor deve saber lidar com as mudanças tecnológicas, ou seja, não se
138
imuniza da possibilidade de uso dos recursos tecnológicos, pois as inovações
educacionais implicam em mudanças na prática docente, na ampliação dos seus
conceitos sobre estratégias pedagógicas em sala de aula e na reflexão sobre a
própria prática.
Desta forma, podemos concluir neste item sobre a familiarização dos
professores com os softwares matemáticos e a expressão do ponto de vista
geométrico de exercícios e situações-problema com função modular utilizando o
software GeoGebra que:
O professor A nunca utilizou tecnologias na sala de aula, conhece o software
GeoGebra, mas não utiliza com seus alunos por não ter segurança com as
ferramentas. Expressou do ponto de vista geométrico no software GeoGebra os
exercícios e as situações-problema 1 e 2 com função modular.
O professor B utiliza às vezes as tecnologias na sala de aula, inclusive o
software GeoGebra, devido a sala de informática da escola que trabalha estar sem
monitor e sem data show. Descreve que não possui dificuldades com o GeoGebra,
expressando do ponto de vista geométrico os exercícios e a situação-problema 1
com função modular.
O professor C utiliza raramente as tecnologias na sala de aula e às vezes o
software GeoGebra, por falta de resursos na sua escola. Descreve não ter
dificuldades com o software e não expressa do ponto de vista geométrico os
exercícios e as situações-problema 1 e 2 no GeoGebra, apresentando no papel com
caneta esferográfica.
O professor D emprega às vezes as tecnologias na sala de aula, inclusive o
software GeoGebra, por motivos da escola em que trabalha não estar preparada
para 40 alunos na sala de informática. Não é conhecedor profundo do software,
porém conhece as ferramentas do mesmo para lecionar conteúdos elementares da
matemática. Não expressa do ponto de vista geométrico os exercícios e as
situações-problema 1 e 2 no GeoGebra, apresenta apenas no papel com caneta
esferográfica.
139
4.6 Estratégias pedagógicas com o GeoGebra
A continuação da atividade D do questionário aborda as estratégias
pedagógicas com o software GeoGebra. Para cada sujeito apresentaremos as
perguntas e as respostas das questões:
4.6.1 Contribuições apresentadas pelo professor A
Quadro 26: Questões sobre as contribuições do GeoGebra pelo professor A
3.Quais são as contribuições do software GeoGebra para o ensino de função
modular?
Trabalhar com o software Geogebra é muito mais fácil para a compreensão dos
gráficos das funções, mas é preciso preparar muito bem o conteúdo para agregar
ao software para não ficar sem significado a atividade.
4.Quais são as contribuições do software GeoGebra ao docente e ao
processo didático?
Penso que o software GeoGebra ajuda o professor no processo didático quanto
a visualização dos gráficos, devido o software oferecer movimento nas funções
após a construção.
Fonte: Professor A – atividade D
O professor A descreve que o software GeoGebra contribui para o ensino de
função modular, ao docente e ao processo didático na visualização das construções
geométricas. O sujeito apresenta as soluções geométricas no GeoGebra dos
exercícios e das situações-problema 1 e 2, desta forma, enquadra-se nos níveis de
utilização para a tecnologia segundo Oliveira (2009b): desenvolvimento de fluência e
incorporação de tecnologia.
Quando o sujeito afirma “é preciso preparar muito bem o conteúdo para agregar
ao software para não ficar sem significado a atividade” significa que “o GeoGebra
não ensina sozinho e para que haja aprendizagem o professor precisa criar novos
mescanismos para fazer com que os alunos reflitam e percebam o que há por trás
das construções que estão fazendo” (ARAÚJO; NÓBREGA, 2010, pp.1-2).
140
4.6.2 Contribuições apresentadas pelo professor B
Quadro 27: Questões sobre as contribuições do GeoGebra pelo professor B
3. Quais são as contribuições do software GeoGebra para o ensino de função
modular?
Acredito que aumenta as possibilidades de reflexão e observação do aluno, pois
não ficará somente em atividades de construção de gráficos mais na sua análise
pessoal.
4. Quais são as contribuições do software GeoGebra ao docente e ao
processo didático?
O software GeoGebra quando inserido na prática e no contexto pedagógico do
professor é um recurso eficiente e se bem conduzido pode provocar no aluno uma
posição de reflexão, crítica, não somente um expectador mas a construção de sua
própria aprendizagem.
Fonte: Professor B – atividade D
O professor B descreve que o software GeoGebra contribui para o ensino de
função modular, ao docente e ao processo didático, aumentando as possibilidades
de reflexão, observação e análise das construções geométricas. O sujeito B
apresenta geometricamente no GeoGebra as funções modulares da atividade C a
situação-problema 1 da atividade D. Então, enquadra-se parcialmente nos níveis de
utilização para a tecnologia segundo Oliveira (2009b): desenvolvimento de fluência,
incorporação de tecnologia, exploração e desenvolvimento matemático a partir da
tecnologia e elaboração e estratégias pedagógicas com a tecnologia.
O sujeito afirma que o software GeoGebra “quando
inserido no contexto
pedagógico do professor é um recurso eficiente e se bem conduzido pode provocar
no aluno uma posição de reflexão”, significa que o software didático depende de
estratégia, planejamento, crítica e significação. “Não há software didático, por si só,
como não há tecnologias que educam” (OLIVEIRA, 2009a, p.6).
141
4.6.3 Contribuições apresentadas pelo professor C
Quadro 28: Questões sobre as contribuições do GeoGebra pelo professor C
3. Quais são as contribuições do software GeoGebra para o ensino de
função modular?
A praticidade, a visualização dos gráficos das funções e a agilidade para as
construções.
4. Quais são as contribuições do software GeoGebra ao docente e ao
processo didático?
O professor pode propor diferentes situações-problema e o software facilita a
visualização, possibilitando o entendimento.
Fonte: Professor C – atividade D
O professor C descreve que o software GeoGebra contribui para o ensino de
função modular, ao docente e ao processo didático, trazendo praticidade,
visualização e agilidade nas construções geométricas, mas por não utilizar o
software GeoGebra em nenhuma das atividades do questionário, não é possível
analisarmos em quais níveis de utilização para a tecnologia enquadra-se.
4.6.4 Contribuições apresentadas pelo professor D
Quadro 29: Questões sobre as contribuições do GeoGebra pelo professor D
3. Quais são as contribuições do software GeoGebra para o ensino de função
modular?
Contribui significativamente para que o aluno visualize as definições gráficas das
funções modulares, mas acho necessária a construção manual para a fixação do
aprendizado.
4. Quais são as contribuições do software GeoGebra ao docente e ao processo
didático?
Contribui ao docente para fazer demonstrações de seus ensinamentos e no
desenvolvimento de construções gráficas e algébricas. Destaco também, a
importância da construção com régua e do uso da prática algébrica manual no
fortalecimento do conhecimento.
Fonte: Professor D – atividade D
142
O professor D descreve que o software GeoGebra contribui para o ensino de
função modular, ao docente e ao processo didático, na forma de visualização de
definições gráficas. Por não utilizar o software GeoGebra em nenhuma das
atividades do questionário, não é possível analisarmos em quais níveis de utilização
para a tecnologia enquadra-se.
Quando destaca a importância da construção com régua, afirmando que o uso
da prática algébrica manual é um fortalecimento do conhecimento, ainda não se
valeu das tecnologias de informação e comunicação (TICs) como mediadoras nas
situações didáticas, de forma a utilizar uma estratégia didática que têm o aprendiz
como foco (OLIVEIRA, 2009a).
Desta forma, podemos concluir neste item sobre estratégias pedagógicas com
o software GeoGebra e suas contribuições ao ensino de função modular, a docência
e ao processo didático que:
Para o professor A, trabalhar com o software GeoGebra é facilitar a
compreensão e a visualização dos gráficos de funções modulares. Destaca ainda
que é preciso preparar bem o conteúdo matemático a ser desenvolvido com os
alunos e agregar ao software para não ficar sem signifcado a atividade. Quanto aos
quatro
níveis
de
utilização
para
a
tecnologia
enquadra-se
apenas
no
desenvolvimento de fluência e na incorporação de tecnologia.
Para o professor B, o software GeoGebra se for bem conduzido pelo professor,
possibilita reflexão, observação e crítica do aluno, não fazendo com que ele seja
apenas um expectador, mas construindo a sua própria aprendizagem. Quanto aos
níveis de utilização para a tecnologia enquadra-se no desenvolvimento de fluência,
na incorporação de tecnologia, referente aos exercícios e a situação-problema 1
com função modular. O sujeito não apresentou solução da situação-problema 2 no
GeoGebra.
Para o professor C o software GeoGebra possui praticidade e agilidade para as
construções dos gráficos das funções facilitando a visualização e a compreensão. O
sujeito não utiliza o software GeoGebra para expressar do ponto de vista geométrico
os exercícios e as situações-problema 1 e 2 com função modular, desta forma, não
é possível enquadrá-lo nos níveis de utilização para a tecnologia.
143
Para o professor D o software GeoGebra contribui significativamente para o
aluno visualizar os gráficos e para o docente nos seus ensinamentos. Destaca que a
construção manual de gráficos com régua fortalece o conhecimento. O sujeito não
utiliza o software GeoGebra para expressar do ponto de vista geométrico os
exercícios e as situações-problema 1 e 2 com função modular, desta forma, não é
possível enquadrá-lo nos níveis de utilização para a tecnologia.
4.7 Síntese dos dados coletados dos professores A, B, C e D
De acordo com os dados coletados nesta investigação destacamos as
seguintes análises dos sujeitos da pesquisa.
1. Os professores A, B, C e D possuem concepções similares sobre exercícios e
problemas matemáticos. Vale à pena destacar que os sujeitos B e C classificam
como problemas matemáticos as mesmas funções modulares f(x)=|x+a| e f(x)=|x|+a
e as expressam do ponto de vista algébrico como exercícios matemáticos. Conforme
analisamos, o professor evita incorrer em um efeito do contrato didático (o Topázio),
previsto por Brousseau (2008).
2. O professor A mesmo descrevendo ter dificuldades com algumas ferramentas
dos softwares matemáticos, inclusive o GeoGebra, desenvolveu todas as atividades
com função modular apresentadas nos protocolos mostrando estar inserido nos
quatro níveis de utilização para a tecnologia, segundo Oliveira (2009b):
desenvolve fluência na manipulação das ferramentas e incorpora as tecnologias
como partes integrantes do seu fazer didático.
3. O professor B também descreveu não ter nenhuma dificuldade com os softwares
matemáticos, nem mesmo com o GeoGebra, apresentando do ponto de vista
algébrico os protocolos dos exercícios e da situação-problema 2 com função
modular e do ponto de vista geométrico os resultados dos exercícios e da situaçãoproblema 1. Mostrou estar inserido nos dois primeiros níveis de utilização para
a tecnologia, segundo Oliveira (2009b) apenas nas atividades que utilizou o
software GeoGebra, as quais são os exercícios e a situação-problema 1.
144
4. Vale à pena destacar que os resultados dos professores A e B trazem
semelhanças com os resultados do sujeito D da pesquisa de Santos (2010) quanto
ao reconhecimento das interfaces tecnológicas como elementos mediadores do
processo de ensinar e aprender, mantendo o foco no conteúdo matemático. Em
ambas as investigações os sujeitos mostram que a interface computacional
representava uma extensão dos seus conhecimentos.
5. O professor C descreveu não ter dificuldades com os softwares matemáticos,
inclusive o GeoGebra, porém, não desenvolveu todas as atividades. Os exercícios
com função modular não utilizou o GeoGebra para expressá-los do ponto de vista
geométrico, registrando-os no papel com caneta esferográfica e régua. A situaçãoproblema 1 apresentou algebricamente também no papel e não utilizou o software
GeoGebr. A situação-problema 2 não apresentou algébrica e nem geometricamente
no papel e no GeoGebra. Desta forma, mostrou não estar inserido em nenhum
dos níveis de utilização para a tecnologia.
6. O professor D descreveu ser conhecedor com prática para ministrar aulas com
conteúdos elementares com os softwares matemáticos, até mesmo o com
GeoGebra, porém, não realizou nenhuma das atividades no software, portanto, não
está inserido em nenhum dos níveis de utilização para a tecnologia.
7. Os professores A e B quanto ao uso da estratégia pedagógica com o software
GeoGebra baseado na Resolução de Problemas, ampliaram os seus conhecimentos
em todas as atividades aplicadas sobre função modular expressas do ponto de vista
algebrico e geometrico, segundo Polya (2006) compreendendo, estabelecendo,
executando um plano e examinando a solução obtida. E nas mesmas atividades
desenvolveram o processo das situações didáticas, de acordo com Brousseau
(2008): ação, formulação e validação, buscando informações no milieu, ou seja, no
software GeoGebra.
8. Os professores C e D por terem deixado de responder algumas atividades do
questionário de acordo com o objetivo das questões, não completaram o caminho da
resolução de problemas, quanto à compreensão, estabelecimento, execução de um
plano e examinação das soluções obtidas (POLYA, 2006). Também não
desenvolveram totalmente o processo das situações didáticas: ação, formulação e
validação, não retroagiram com o milieu, ou seja, o software GeoGebra
145
(BROUSSEAU, 2008). Desta forma, entendemos que não ampliaram completamente
os seus conhecimentos sobre a função modular do ponto de vista algébrico e
geométrico.
9. Vale à pena destacar professores A, B, C e D desenvolveram o processo das
situações didáticas da seguinte maneira:
a) Ação: as primeiras leituras para compreensão das atividades que continham
os exercícios e as situações-problema 1 e 2 com função modular para as tomadas
de decisões. Houve neste momento a troca de informações e as decisões orientadas
pelo milieu, no caso o software GeoGebra.
b) Formulação: neste momento os professores explicitaram em linguagem
natural, algébrica ou geométrica das soluções encontradas fazendo a troca de
informações com o milieu, o software GeoGebra.
c) Validação: os professores validaram as asserções que foram formuladas nos
momentos de ação e de formulação com o milieu.
Os professores são os responsáveis de gerenciar suas relações com o saber
nas fases de ação, formulação e validação. A fase de institucionalização não foi
desenvolvida nesta pesquisa.
146
CONSIDERAÇÕES FINAIS
“Ler significa reler e compreender, interpretar. Cada um
lê com os olhos que tem. E interpretam a partir de onde os
pés pisam.
Todo ponto de vista é a vista de um ponto. Para entender
como alguém lê, é necessário saber como são os seus olhos e
qual é a sua visão de mundo. Isso faz da leitura sempre
uma releitura.
A cabeça pensa a partir de onde os pés pisam. Para
compreender, é essencial conhecer o lugar social de quem
olha. Vale dizer: como alguém vive, com quem convive,
que experiências tem, em que trabalha, que desejos
alimenta, como assume os dramas da vida e da morte e que
esperanças o animam. Isso faz da compreensão sempre
uma interpretação.
Sendo assim fica evidente que cada leitor é um co-autor.
Porque cada um lê e relê com os olhos que tem. Porque
compreende e interpreta a partir do mundo que habita”.
LEONARDO BOFF
A águia e a galinha
Antes de iniciarmos esta investigação, consultamos o banco de dados da
Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior – Capes e
observamos conforme descrevemos na introdução, que a produção acadêmica em
Educação Matemática no Brasil, sobre o ensino e aprendizagem de valor absoluto,
função modular, equação e inequação modular, apresenta poucos trabalhos. Desta
forma, para contribuirmos com o aumento desses dados realizamos um estudo com
professores do Ensino Médio sobre Função Modular por meio de Resolução de
Problemas utilizando o software GeoGebra como estratégia pedagógica.
A pesquisa buscou investigar: as concepções de professores do Ensino Médio
sobre exercícios e problemas matemáticos; a familiarização dos docentes com os
softwares matemáticos, inclusive o GeoGebra; a utilização do software GeoGebra
como estratégia pedagógica para o ensino de duas situações-problema com função
modular.
147
As investigações foram orientadas pela seguinte questão de pesquisa: “De que
forma o uso de uma estratégia pedagógica baseada em Resolução de Problemas
com o emprego do software GeoGebra concorre para ampliar a compreensão de
professores do Ensino Médio sobre o tema função modular e sua expressão, dos
pontos de vista algébrico e geométrico?”
A pesquisa também destacou algumas finalidades:

Propor uma abordagem de Função Modular e sua expressão algébrica e
geométrica por meio de Resolução de Problemas, na qual aproxime o
processo de construção do conhecimento do aluno, usando estratégias
pedagógicas com as TICs.

Estudar diferentes abordagens para o ensino de Função Modular por
meio de Resolução de Problemas com professores de Matemática do
Ensino Médio de escolas das redes pública e particular do Estado de São
Paulo, a partir de situações-problema.

Buscar condições que contribuam para o ensino, possibilitando ao
professor do Ensino Médio, a oportunidade de conjecturar, refletir e
resolver atividades com Função Modular, propostas pela pesquisadora,
para compreensão do tema.
Para responder estas questões aplicamos um questionário semiestruturado a
quatro professores do Ensino Médio que também são alunos de Pós-Graduação em
Educação Matemática de uma universidade de São Paulo. As análises foram
descritas de acordo com as seguintes categorias: compreensão da função modular;
uso do GeoGebra para resolução de problemas no âmbito de situações didáticas e
estratégias pedagógicas com o GeoGebra.
A pesquisa teve como foco principal a utilização do software GeoGebra como
estratégia pedagógica para o ensino de função modular e não analisar o uso das
tecnologias.
148
Segundo Vila e Callejo (2006) o professor necessita ter clareza que a
habilidade de resolver problemas não é inata e pode ser desenvolvida.
Para Borba e Penteado (2007) a informática na educação matemática deve ser
vista como um direito de inclusão de alfabetização tecnológica, ou seja, o aprender e
o interpretar a nova mídia.
Os autores Borba e Penteado (2007), Kenski (2007) e Oliveira (2007) afirmam
que o professor não deve se imunizar da possibilidade de uso dos recursos
tecnológicos. As inovações educacionais implicam em mudanças na prática docente,
na ampliação dos seus conceitos sobre estratégias pedagógicas em sala de aula e
na reflexão sobre a própria prática.
Com os resultados obtidos dos sujeitos da pesquisa entendemos que o perfil de
cada professor que utiliza elementos tecnológicos em suas práticas influi
decisivamente nas vantagens que pode auferir para si e para seus alunos, bem
como nas dificuldades que podem ser encontradas na trajetória que eventualmente
proponham para as suas aulas. Assim, como possibilidades relacionadas às
estratégias pedagógicas com uso de tecnologias em aulas de Matemática, mais
precisamente, na abordagem do tema Função Modular destacamos:

A possibilidade na criação de aulas mais dinâmicas, estabelecidas com o
propósito de incentivar a experimentação e a análise investigativa das
construções obtidas, no âmbito da abordagem geométrica do conteúdo.

Desenvolvimento da autonomia do aluno, à medida que o mesmo é
convidado a experimentar e a usar os resultados das conjecturas que faça na
obtenção de novos conhecimentos relativos ao tema matemático em estudo.
Finalmente, podemos concluir que a principal relevância do uso do software
GeoGebra para o ensino de Função Modular baseada em Resolução de Problemas
não reside no software em si, mas de planejamento dos professores para utilizá-lo
como elemento mediador das aprendizagens, ou seja, a estratégia didática do
professor é que, ao utilizar o software, cria possibilidades de maior experimentação
das construções de autonomia. Vale destacar que o conhecimento matemático do
professor é essencial para que a estratégia seja efetiva: problemas relativos aos
149
conteúdos de referência tendem a fragilizar a estratégia, transformando-a em
apêndices de práticas tradicionais.
Entendemos que os professores precisariam se apropriar mais das ferramentas
tecnológicas e utilizar com mais frequência os softwares matemáticos nas suas
aulas, pois só assim muitos alunos também terão acesso e estímulo para praticar o
uso desta ferramenta na escola.
Não basta os docentes participarem de formações continuadas, adquirirem
conhecimentos sobre as TICs, terem instalado em seus computadores softwares
matemáticos e não fazerem prática com seus alunos. É preciso haver uma
conscientização do professor quanto à sua própria relação do aumento gradativo de
colocar em prática com poucos ou muitos alunos todo o aprendizado que obteve.
Deixamos como sugestões de pesquisas futuras, sejam de mestrado ou de
doutorado investigações sobre: o ensino de equação ou inequação modular por
meio de Resolução de Problemas; o ensino de função modular no Cálculo
Diferencial e Integral com professores do Ensino Superior, um comparativo desta
pesquisa com sujeitos que não estão em formação continuada. Vale destacar que a
Resolução de Problema e a utilização das TICs como estratégia pedagógica, podem
ser investigadas com qualquer tema matemático.
Esperamos que esta pesquisa contribua para o grupo de pesquisa GPEA, bem
como para o Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática e que sirva à
comunidade científica que investiga a Resolução de Problemas e as tecnologias
como estratégias para o ensino e aprendizagem na Educação Básica.
Esta dissertação contribuiu para a nossa formação acadêmica como
pesquisadora em Educação Matemática enriquecendo os nossos conhecimentos, e
nos levou a compreender de forma mais crítica e consciente certos fenômenos que
permeiam este campo do conhecimento, como também contribuiu para reformular as
nossas compreensões quanto ao ensino de função modular baseada em Resolução
de Problemas utilizando o software GeoGebra como estratégia pedagógica.
Certamente, ao final desta pesquisa melhoramos tanto como pesquisadora quanto
como professora.
150
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Função Modular por meio de Resolução de Problemas utilizando o software
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na resolução de problemas. Porto Alegre: Artmed, 2006.
155
ANEXOS
Atividade A
1. Qual a sua titularização na graduação? E o ano de conclusão?
( ) Licenciatura Plena em Matemática – Ano:_______
( ) Bacharelado em Matemática – Ano: ___________
( ) Outros: _________________________________ Ano: ________
2. Possui titularização em Especialização? Qual? E o ano de conclusão?
______________________________________________ Ano: ______
3. Tempo de profissão na Educação:
( ) menos de 5 anos ( ) 5 anos a 10anos ( ) 10 anos a 15 anos
( ) 15 anos a 20 anos ( ) mais de 20 anos
4. Durante todo o tempo de profissão já lecionou para:
( ) Ensino fundamental
( ) Ensino Médio
( ) Ensino Superior
5. Atualmente leciona para quais séries:
( ) 1º ano do Ensino Médio ( ) 2º ano do Ensino Médio ( ) 3º ano do Ensino Médio
6. Escola que leciona:
( ) Escola Pública Estadual ( ) Escola Pública Municipal
( ) Escola particular
7. Localização da escola que leciona:
( ) São Paulo Capital ( ) São Paulo Interior ( ) Grande ABCDM Paulista ( ) Outros
8. Disciplinas que leciona:
( ) Matemática ( ) Física
( ) Outras
9. Formação Continuada no curso de Pós-Graduação:
( ) Mestrado
( ) Doutorado.
156
Atividade B
1. Quanto ao uso de tecnologias (softwares matemáticos) em sala de aula:
( ) faz uso frequentemente.
( ) faz uso regular.
( ) utiliza às vezes.
( ) utiliza raramente.
( ) nunca utilizou.
2. Caso tenha dificuldades, especifique se são com todos os recursos
tecnológicos ou apenas com softwares matemáticos. Justifique a sua resposta.
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
3. Conhece o software GeoGebra?
( ) sim
( ) não
4. Utiliza o software GeoGebra em suas práticas docentes?
( ) frequentemente.
( ) regularmente.
( ) às vezes.
( ) raramente.
( ) nunca utilizou.
5. Caso tenha dificuldades com o software GeoGebra, especifique quais são.
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
157
Atividade C
1. Existe diferença entre exercícios e problemas matemáticos? Justifique
( ) Sim
( ) Não
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_________________________________________________________________
_______________________________________________________
2. a) Classifique em exercício ou problema matemático cada função modular:
f(x)=|x|
_____________________________
f(x)=|x+a|
_____________________________
f(x)=|x|+a
_____________________________
3. Expresse algébrica e geometricamente cada função modular a seguir.
Utiliza o software GeoGebra.
f(x)=|x|
f(x)=|x+a|
f(x)=|x|+a
158
Atividade D
1. a) Há dois fios pendurados no teto de uma sala a certa distância um do outro.
Segurando um deles com a mão, não se consegue alcançar o outro com a outra
mão. Como amarrar as extremidades dos dois fios? Com os conceitos de módulo e
função modular, expresse algébrica e geometricamente a questão. Utilize o software
GeoGebra.
b) Classifique a questão acima em exercício ou problema matemático.
2. a) Quatro pessoas chegam a um rio no meio da noite. Há uma ponte estreita, mas
ela só pode aguentar duas pessoas ao mesmo tempo. Porque é noite, a tocha deve
ser usada para atravessar a ponte. A pessoa A pode atravessar a ponte em um
minuto, a B em 2 minutos, a C em 5 minutos, e a D em 8 minutos. Quando duas
pessoas atravessam a ponte juntos, devem se mover no ritmo da pessoa mais lenta.
A questão é: todos poderão atravessar a ponte em 15 minutos ou menos? Com os
conceitos de módulo e função modular, expresse algébrica e geometricamente a
questão. Utilize o software GeoGebra.
b) Classifique a questão acima em exercício ou problema matemático.
159
3. Quais são as contribuições do software GeoGebra para o ensino da função
modular?
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
4. Quais são as contribuições do software GeoGebra ao docente e ao processo
didático?
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________