Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matemática
Departamento de Métodos Matemáticos
2a Lista Especial de Cálculo III - MAA
1. Seja F⃗ (x, y) =
ao longo de C,
(
)
y
, −(x−1) . Calcule o trabalho realizado por F⃗
(x−1)2 +y 2 (x−1)2 +y 2
dada por x2 + y 2 = 4, orientada no sentido anti-horário.
2. Seja F⃗ (x, y) = (
√
x2 + y 2 , y Ln(x +
√
para mover um objeto
x2 + y 2 )).
(a) Verifique se F⃗ é conservativo em D, nos seguintes casos: D = {(x, y) , x ≥ 0};
D = {(x, y) , x < 0 , y > 0}.
(b) Determine o trabalho realizado por F⃗ ao longo de C, nos seguintes casos:
i. C tem equação (x − 2)2 + y 2 = 1, orientada no sentido anti-horário;
ii. C tem equação (x − 2)2 + y 2 = 1, y ≥ 0, de A(3, 0) até B(1, 0);
iii. C tem equação
(x+3)2
4
+ (y − 3)2 = 1, orientada no sentido horário.
3. Seja C a curva plana astróide, com equação cartesiana x2/3 + y 2/3 = 22/3 , e parametrização
σ(t) = (2 cos3 t, 2 sen 3 t), 0 ≤ t ≤ 2π. Determine a área da região D limitada pela curva C.
√
4. Seja C a curva plana com equação cartesiana x2 + y 2 − x2 + y 2 = x (cardióide).
(a) Determine a equação polar da curva C;
(b) Esboce a curva C, no plano cartesiano;
(c) Determine a área da região D limitada pela curva C;
(d) Determine o comprimento de C; (Sugestão: se a equação polar de C for r = g(θ), uma
parametrização de C será σ(θ) = (g(θ) cos θ, g(θ) sen θ) );
(e) Determine a massa de C, se a densidade for f (x, y) = (x2 + y 2 )1/4 .
∂F1
2
2
2
5. Seja F⃗ ∈ C 1 (IR2 − (1, 0)). Suponha que ∂F
∂x − ∂y = x + y , para todo (x, y) ̸= (1, 0). Sejam C1
a curva x2 + y 2 H= 4 e C2 a curva (x −
1)2 + y 2 = 1, ambas orientadas no sentido anti-horário.
H
⃗ = π , calcule
⃗ ⃗
Sabendo-se que C2 F⃗ .dl
2
C1 F .dl.
6. Seja F⃗ (x, y, z) = (y +
x
,x
x2 +y 2 +z 2
+
y
z
,
).
x2 +y 2 +z 2 x2 +y 2 +z 2
(a) Verifique se F⃗ é conservativo em seu domı́nio;
(b) Determine o trabalho realizado por F⃗ ao longo da curva C, obtida interceptando-se a esfera
x2 + y 2 + (z − 1)2 = 1, com o plano y + z = 2;
(c) Determine o trabalho realizado por F⃗ ao longo da hélice σ(t) = (cos t, sen t, t), 0 ≤ t ≤ π.