J - Deformações na Flexão
10.0 – Deformações na Flexão.
Nos capítulos anteriores obtivemos expressões (com formatos semelhantes) que
relacionam as deformações para cada um dos esforços solicitantes, a saber:
δL
N
δL = NL/EA
# na tração pura:
# no corte puro:
δh = QL/GA
# na torção* pura :
δθ = TL/GJP
δh
Q
T
δθ
*eixos circulares
δϕ
δϕ = ML/EI
# na flexão pura:
M
L
10.1 – Deflexões por curvatura das vigas
No caso de uma viga reta carregada transversalmente, seu eixo longitudinal se encurvará tomando o formato da chamada linha elástica. O raio de curvatura da linha elástica será obtido, como
visto através da equação 5.7.3, escrevendo (1/ρ) = M/EI. Realmente: a fig. 10.1.1 nos mostra que
tg dϕ dϕ = ε ds / y.
Como ε = σ/E e σ = (Μ/Ι)y, obtem-se:
dϕ / ds = M / E I............................. (10.1.1)
sendo (EI) o chamado “produto de rigidez”.
Levando em conta que ds = ρ dϕ, chega-se a
5.7.3.
Por outro lado, nos cursos de Cálculo Diferencial
determinou-se a curvatura (k = 1/ρ) das curvas planas como sendo dada por:
ρ
dϕ
ds
y
k = 1/ρ = (d2y/dx2)/[1+(dy/dx)2]3/2
já que ds2 = dx2 + dy2.
Representando por “f” a ordenada correspondente à flecha do eixo neutro a cada valor da
abscissa x da seção, e como a declividade das vigas
(df/dx = tgϕ) é sempre muito pequena, tornando o
seu quadrado desprezível em presença da unidade,
podemos escrever:
df/dx = ϕ; 1/ρ = d2f/dx2 , obtendo-se a denominada “equação diferencial da linha elástica”:
(1 + ε) ds
dϕ
f (Flecha)
ρ
Eixo neutro da
viga defletida
dϕ
ds
dy
f
x
ϕ
................(10.1.2)
d2f / dx2 = dϕ
ϕ/dx = Μ/EI
x
dx
Fig. 10.1.1 – Flechas e deflexões
nas vigas fletidas.
Conhecendo-se como variam o momento fletor
M e o momento de inércia I a cada ordenada x da
seção, a integração sucessiva da equação 10.1.2 nos
informará a deflexão ϕ = ϕ (x) e a flecha f = f(x).
1
J - Deformações na Flexão
10.2 – Linha Elástica por Integração.
Através de alguns exemplos, apresentaremos o método para determinação da equação da linha elástica, por integração da equação 10.1.2, permitindo-nos obter valores
de deflexões angulares e flechas nas vigas.
q
Exemplo10.2.1 - Para a viga bi-apoiada representada, de comprimento L, seção com momento de inércia baricêntrico I e material com módulo de elasticidade E, submetida a um carregamento uniformemente distribuído q, estabelecer os valores da flecha máxima no meio do vão
e as deflexões angulares nos dois apoios.
x
L/2
qL/2
↑+
Q
↓-
Solução: q(x) = q; Q(x) = - ∫ q dx = -qx + C1;
Q = qL/2 para x=0 → Q(x) = q(L/2 – x);
M(x) = ∫ Q dx = ½ qL x – q x2/2 + C2;
Como M=0 para x = 0 → M(x) = ½ q (Lx – x2);
EI dφ/dx = M(x) = ½ q (Lx – x2);
EI (φ) = ∫ M(x)dx = ½ q (Lx2/2 – x3/3 + C3);
Pela simetria, pode-se inferir que φ = 0 p/ x = L/2 e
EI (φ) = ½ q (Lx2/2 – x3/3 + L3/12);
φ(x) = (q/24EI) (6Lx2 – 4x3 + L3); para x = 0,
φ0 = - qL3/24EI; φL = + qL3/24EI
f(x)=∫φ(x)dx=(q/24EI)(6Lx3/3 – 4x4/4 + L3x + C4);
Como f(0)=0, C4 =0 e
f(x) = (q/24EI) (2Lx3 – x4 + L3x); para x = L/2,
f máx = - 5 q L4 / 384 EI
qL/2
-qL/2
↑M
↓+
↑+
ϕ
↓↑+
f
↓-
φ0
f máx
9,92kN
Exemplo 10.2.2 – Para o perfil de aço S127x15 esquematizado (E = 210GPa e G = 80GPa), calcular a flecha na extremidade livre do balanço.
Para a seção reta do perfil são conhecidos:
Área – 1850mm2; I = 5,04 x 106 mm4; h = 127mm
127
800
P
x
Solução: Q(x) = P; M(x) =-P(x – L); EI φ(x) = P(x2/2 - Lx);
φ(x) = (P/EI)(x2/2 - Lx); f(x) = (P/2EI)(x3/3 – Lx2)
L
φ(L) = -PL2/2EI; f(L) = -PL3/3EI
Q
Para os valores numéricos apresentados teremos:
σmáx =(9,92x103 x0,8 / 5,04x10-6)x(0,127/ 2)= 100MPa
M
φ
f máx = 9,9 2x103 x0,83
/ 3x210x109x5,04x10-6= 1,6x10-3m
f máx = 1,6mm
ϕL
f
Se avaliarmos o deslocamento vertical do eixo neutro na
extremidade em balanço da viga, decorrente da força cortante, verificaremos ser ele desprezível em presença do provocada pela flexão:
δh = ξ QL/GA = (3/2) 9,92x103x0,8 / 80x109 x 1850x10-6 =
80,4x10-6m
fL
ϕL
2
B/2
B/2
L
H
x
b
J - Deformações na Flexão
Exemplo 10.2.3: A viga esquematizada é denomiP
nada “de igual resistência”, sendo empregada (após cortes longitudinais e montagem como mostra
a figura) na fabricação de feixe de molas. Mostre
que a máxima tensão normal é a mesma ao longo
de toda a sua extensão e calcule a flecha máxima
na extremidade do balanço.
*
* (prolongamento para levar em conta a tensão limite de
cisalhamento devido à força cortante).
Solução: Numa seção genérica, distante (x) do engaste teremos: M(x) = - P(L –x); I(x) = bH3/12 sendo b = B/L(L – x).
(σmáx)x = (M/I)H/2 =[6P(L-x)/(B/L)(L-x)H3]H=6PL/BH2,
valor constante.
Da mesma forma: dϕ/dx = -M/EI = 12P(L-x)/E(B/L)(L-x)H3=
= 12PL/EBH3; ϕ = (12PL/EBH2)x + C1; C1=0 pois ϕ = 0
quando x = 0. Finalmente:
f = f(x) = (6PL/EBH2)x2+ C2 , sendo C2 = 0 já que f(0)=0.
A flecha na extremidade (x = L) valerá:
fmáx = 6PL3/EBH3 (Resp.)
P
Exemplo 10.2.3: A simetria no caso de viga bi-apoiada
com carga concentrada no meio do vão, permite evitar
que se enfrente a dificuldade de se ter duas equações
para M(x), a saber:
x(0→L/2)........ M(x) = ½ Px
x(L/2→L)....... M(x) = ½ Px – P(x – L/2).
No trecho x(0→L/2)........ (EI)ϕ(x) = Px2/4 + C1.
A simetria nos permite concluir que ϕ=0 para
x=L/2, dando C1= -PL2/16.
x(0→L/2)........ (EI)f(x) = Px3/12 –(PL2/16)x + C2. Como f=0 para x=0, C2 = 0, e finalmente obtemos:
ϕ = (P/EI)(x2/4 – L2/16); f =(P/EI)[x3/12 – (PL2/16)x].
2
Para x=0, ϕ0 = − PL / 16EI;
3
Para x = L/2, fmáx = PL /48EI.
P
a
Pb/L
Q
M
Pab/L
ϕ
xm
f
ϕ0
fmáx ϕL
L/2
L/2
P/2
P/2
P/2
-P/2
M
PL/4
ϕ
f
ϕ0
fmáx
Exemplo 10.2.4: Para a viga bi-apoiada, com carga concentrada fora do meio do vão, o trabalho algébrico fica bastante eb
xaustivo, pois teremos duas equações para o momento fletor:
Pa/L
- no intervalo x (0, a) → M1(x) = (Pb/L)x
- no intervalo x (a, L) → M2(x) = (Pb/L)x – P(x – a).
-P/2 Integrando duas vezes as duas expressões de M(x)/EI, os resultados incluirão 4 constantes arbitrárias que serão determinadas
através das 2 condições de contorno (f = 0 para x = 0 e para x
= L) e das 2 condições de compatibilidade de deformações
(para x = a, tanto o ângulo ϕ como a flecha f deverão ter valores idênticos, quando se utiliza as equações de momento, à
esquerda e à direita do ponto de aplicação da força P).
Após cálculos enfadonhos obtemos:
ϕ0 = - Pb(L2 – b2) / 6EI; ϕL = + Pa(L2 – a2) / 6EI;
fmáx = - Pb(L2 – b2)3/2 /9(√3)EIL, em xm=√(L2 – b2)/3
f(L/2) = -Pb(3L2 – 4b2)/48EI (≠fmáx)
3
J - Deformações na Flexão
10.3 – Linha Elástica por Integração, utilizando Funções Singulares.
Objetivando evitar o transtorno de representar matematicamente o momento fletor M(x) através
de várias equações, correspondentes aos trechos onde o carregamento se diversifica, surgem as funções
chamadas “singulares” (pois não satisfazem as condições exigidas pelos matemáticos para a designação das funções, por suas descontinuidades).
Tais funções singulares têm a seguinte definição:
(x – a)n ........ para x ≥ a
n
<S(x)> = <x – a> =
Zero ............ para x < a
A integração e a derivação de tal tipo de função fornecem:
∫ < x – a >n dx = [1/(n+1)]< x – a > n+1 ............... (n ≥ 0)
(d/dx) < x – a >n = n < x – a > n-1 ..................... (n ≥ 1)
n=0
n=1
n=2
n=3
< x – a >0
< x – a >1
< x – a >2
< x – a >3
1
0
a
x
0
0
0
a
a
x
Exemplo 10.3.1: Para a viga esquematizada, determinar: (a) o ângulo de deflexão da viga no apoio A da esquerda e (b) a flecha no meio do vão.
a
x
x
q
P
M
A
B
a
a
a
a
RA
RB
Solução: Reações nos apoios: RA = M/4a + P/2 + qa/8; RB = - M/4a + P/2 + 7qa/8;
0
1
2
Momento Fletor: M(x) = RA x – M < x-a > – P < x – 2a > – ½ q < x-3a>
Integrando uma vez para obtenção dos ângulos ϕ da linha elástica teremos:
EI ϕ(x) = RA x2/2 – M < x-a >1 – ½ P < x – 2a >2 – q/6 < x-3a >3 + C1
Integrando mais uma vez, para obtenção das flechas f da linha elástica teremos:
EI f(x) = RA x3/6 – ½ M < x-a >2 – P/6 < x – 2a >3 – q/24 < x-3a >4+C1x + C2;
As condições de contorno nos informam que: f(0)=0, → C2 = 0; e f (4a) = 0, portanto:
0 = RA (4a)3/6 – ½ M (3a)2 – P/6 ( 2a )3 – q/24 (a)4 +C1(4a),de onde tiramos o valor de C1,
levando em conta o valor de RA escrito acima:
C1 = (11/24) Ma – Pa2 –(31/96) qa3;
A deflexão angular da linha elástica no apoio da esquerda corresponde ao valor de ϕ(0), ou seja:
ϕ(0) = C1 / EI =(11/24) Ma / EI – Pa2 /EI –(31/96) qa3 / EI (Resp.a)
A flecha no meio do vão será calculada fazendo x = 2a, obtendo-se:
EI f(2a)= (M/4a + P/2 + qa/8)(2a)3/6 - ½ Ma2 + [(11/24) Ma – Pa2 –(31/96) qa3](2a)
f(meio do vão)* = 13Ma2/12EI – 4Pa3/3EI – 23qa4/48EI (Resp. b).
* Obs.: a flecha calculada não é a flecha máxima (que ocorre na seção onde ϕ = 0)
4
J - Deformações na Flexão
Exemplo 10.3.2 – Para o eixo ABC esquematizado, de aço (E = 200 GPa) maciço (D = 150
mm), calcule as flechas na extremidade A do balanço e no meio do vão entre os mancais B e
C.
9,00 kN
12,0 kN/m
D = 150 mm
B
C
A
2,00 m
x
2,00 m
1,00 m
RB = 25,5 kN
O cálculo das reações dos mancais fornece RB = 25,5 kN (↑).
A equação para o momento fletor em função da ordenada x será:
1,00 m
RC = 7,5 kN
M(x) = - 9 x + 25,5 <x – 2> - (12/2) <x – 3 >2 + (12/2) < x – 5 >2
* Observe que para representar o carregamento distribuído lançou-se mão da expres2
são (q/2) < x – 3 > , que se estende desde x = 3m até x = 7m (em C), da qual foi diminuí2
do um carregamento fictício (q/2) < x – 5 > que se estende desde x = 5m até x = 7m.
Procedendo a uma primeira integração obtemos:
EI ϕ (x) = - (9/2) x2 + (25,5/2) <x – 2>2 – (6/3) <x – 3>3 + (6/3) <x – 5>3 + C1
Integrando novamente teremos:
EI f (x) = - (9/6) x3 + (25,5/6) <x – 2>3 – (2/4) <x – 3>4 + (2/4) <x – 5>4 + C1x + C2
A condição de contorno f = 0 para x = 2 fornece: ...............2 C1 + C2 = 12,
enquanto que a condição f = 0 para x = 6 indica que: ..................... 6 C1 + C2 = 92.
Resolvendo o sistema obtemos: C1 = + 20 kN.m2; C2 = - 28 kN.m
Como E = 200 x 109 N/m2 e I = (π/64)D4 = (π/64)(0,150)4 = 24,85 x 10-6 m4,
o produto de rigidez EI = 4,970 x 106 N.m2
A flecha na extremidade em balanço (x = 0) é f(0) = C2 / EI = -28x103/4,970 x 106
f(0) = 5,634 mm (↓).
A flecha no meio do vão entre os mancais (x = 4) valerá:
f(4) x EI = [- (9/6) 43 + (25,5/6) <4 – 2>3 – (2/4) <4 – 3>4 + (2/4) (0) + 20x4 + (-28)]
f(4) = 2,113mm (↓).
Caso se quisesse pesquisar o valor da máxima flecha positiva (↑) do eixo, concluiríamos que ela ocorreria ente o mancal B (x = 2, f = 0) e o meio do vão (x = 4), onde a flecha
já é negativa. Em tal seção (f é máx) ϕ = 0 e então:
0 = - (9/2) x2 + (25,5/2)(x - 2)2 – (6/3)(x - 3)3 + 20.
Admitindo que a seção procurada ocorra entre o mancal e o início da carga distribuída (portanto, para 2<x<3) teríamos: 0 = - (9/2) x2 + (25,5/2)(x-2)2 – (6/3)( 0 )3 + 20.
ou seja: 7,75 x2 – 49 x + 69 = 0, tendo como soluções: x = 2,117 e x = 4,205.
A solução que se enquadra na hipótese feita é x = 2,117m (à direita do mancal B).
Para tal seção:
(EI) f + = - (9/6) (2,117)3 + (25,5/6)(2,117 – 2)3 + 20 x 2,117 - 28 = + 0,1666.
6
fmáx + = 0,1666 x 103 / 4,970 x 10 = + 0,035 mm
5
J - Deformações na Flexão
10.4 – Cálculo de flechas e deflexões pela analogia de Mohr (momentos de áreas momento do momento/EI)
A dupla integração da equação d2M/dx2 = -q(x) para obtenção de M = M(x), seguida da dupla integração da equação d2f/dx2 = M(x)/EI para obtenção de f = f(x), levou
Mohr a propor a seguinte analogia: encarando as ordenadas do diagrama invertido de
momentos fletores M = M(x), divididas pelo produto de rigidez EI, como um “carregamento fictício” distribuído sobre uma “viga fictícia equivalente”, o diagrama de forças
cortantes fictício para tal carregamento virtual corresponderá às deflexões angulares
ϕ = ϕ (x), enquanto o diagrama de momentos fletores fictícios corresponderá à linha
elástica f = f(x).
P
a
Exemplo 10.4.1 – Utilizando a analogia de Mohr, determinar os valores máximos de deflexão angular e
flecha para a viga bi-apoiada esquematizada na figura.
b
(q)
A
L
RB=Pa/L
RA=Pb/L
+Pb/L
(Q)
(M)
Solução: o traçado do diagrama de momentos fletores
indica uma variação linear, à esquerda e à direita do
ponto de aplicação da carga P, onde atinge o valor máximo Pab/L. Invertendo o desenho, dividindo suas ordenadas pelo produto de rigidez EI e encarando a figura formada como uma distribuição de carga virtual (qv)
-Pa/L com dois trechos lineares, atingindo o valor máximo
Pab/LEI, aplicada a uma viga também fictícia, de
mesmas dimensões, as reações fictícias seriam obtidas
fazendo:
(RA)V L = [½ (Pab/LEI)a](b+a/3) + [½ (Pab/LEI)b](2b/3);
(RA)V = Qv (0) = ϕ (0) = - (Pab/6L2EI)(a2 + 3ab + 2b2)=
+
= - Pb(L2 – b2)/6LEI;
Pab/L
Analogamente obtem-se:
(RB)V = QV(L) = ϕ(L) = +(Pab/6L2EI(b2 + 3ab + 2a2)=
= + Pa(L2 – a2)/6LEI, que correspondem aos ângulos
de deflexão da elástica nos dois apoios da viga.
Pab/LEI
qv ≡ (M/EI)
(RA)v
(RB)v
xm
Qv ≡ (ϕ
ϕ)
Para a determinação da flecha máxima calcularemos a ordenada x para a qual o ângulo ϕ da linha
elástica se anula, escrevendo:
(Pab/6L2EI)(a2 + 3ab + 2b2)=½ (Pbxm /LEI)xm, ou:
(xm)2 = (a/3L)(a2 + 3ab + 2b2); xm=√(L2 – b2)/3
A flecha máxima será determinada calculando-se
o momento fletor virtual provocado pelo carregamento
virtual na seção de abscissa xm para a qual ϕ = 0:
Mv ≡ (f)
fmáx = MV(xm)= (RA)v xm – [½ (Pbxm)LEI]xm(2/3 xm)
obtendo-se:
fmáx = -Pb(L2 – b2)3/2 / 9√3 LEI.
fmáx
Observe os sinais de ϕ nos dois apoios,
correspondentes ao sinais das forças
cortantes do carregamento virtual.
Fazendo a = b = L/2 nas equações acima, obtemos os resultados apresentados no exemplo 3 (carregamento simétrico).
6
J - Deformações na Flexão
No exemplo estudado, a “viga virtual” à qual se aplica o carregamento virtual (M/EI), segundo
a analogia de Mohr, foi idêntica à viga real bi-apoiada à qual se aplica o carregamento real. No caso da
existência de extremidades em balanço ou engastadas, a “viga virtual” deverá ser modificada para considerar:
1) na extremidade livre em balanço da viga real, a força cortante e o momento fletor serão nulos,
porém a deflexão angular e a flecha não;
2) numa extremidade engastada da viga real, a força cortante e o momento fletor não serão nulos,
mas tanto a flecha como o ângulo da elástica serão nulos;
3) numa rótula há força cortante, porém o momento fletor é nulo.
Para levar em conta tais circunstâncias, a “viga virtual” auxiliar deve ser conjugada em relação à
real, como nos exemplos a seguir.
P
P
Viga Real
L
a
3a
Pa/EI
PL/EI
Viga Auxiliar
livre
engaste
rótula
apoio
q(x)
Exemplo 10.4.2: Utilizando a analogia de Mohr,
determinar a inclinação e a flecha da linha elástica na extremidade livre da viga em balanço carregada com uma força uniformemente distribuída.
Q(x)
-qL2/2
M(x)
qL2/2EI
7
Área=⅓bh
qV(x) =
M/EI
3L/4
cg
QV(x) =
ϕ(x)
MV(x) =
f(x)
(MV)D = fD = (-qL3/6EI)(3/4 L) = - qL4/8EI.
L
+qL
Solução: Para a viga real, teremos no engastamento: Q = qL; M = - ½ qL2;
O carregamento virtual terá a forma de
uma parábola do 2º grau, atingindo o valor máximo qL2/2EI.
A viga auxiliar virtual será livre à esquerda (onde o cortante e o momento virtuais serão
nulos, correspondendo a ângulo e flecha nulos na
viga real) e será engastada à direita (onde os valores de cortante e momento virtuais corresponderão ao ângulo e à flecha na extremidade da viga
real).
Teremos:
(QV)D = ϕD = - 1/3 (qL2/2EI)L = - qL3/6EI ( área
sob a parábola = ⅓ bh, com cg em b/4).
q
J - Deformações na Flexão
Exemplo 10.4.3 – Para o eixo mostrado na figura, de aço (E = 210 GPa) com diâmetros escalonados pede-se determinar a flecha e o ângulo de deflexão na extremidade livre do balanço.
20 kN
700mm
900mm
10 kN
D = 137mm
d = 92mm
Solução:
O diagrama de momentos fletores é o representado abaixo:
30,00
M (kN.m)
Os momentos de inércia do eixo valem
em d=92mm → I = π (92)4/64 = 3,517 x 106 mm4
em D=137mm → I = π (137)4/64 = 17,29x106 mm4
Os correspondentes produtos de inércia serão:
9,00
700mm
em d = 92mm → EI = 0,7386 x 106 Nm2
em D=137mm → EI = 3,631 x 106 Nm2
900mm
Através da analogia de Mohr, o carregamento fictício, obtido utilizando o diagrama de momentos fletores invertido (portanto positivo) dividido pelos correspondentes produtos de inércia
(EI) e aplicado à viga auxiliar, fornece:
12,19x10-3 m-1
8,262x10-3 m-1
+
2,479x10-3 m-1
700mm
M
900mm
A reação vertical fictícia V no engaste da viga auxiliar corresponde ao V
ângulo de deflexão na extremidade livre da viga real:
ϕ = V = ½ (8,262 – 2,479) x10-3 x 0,700 + 2,479x10-3 x 0,700 + ½ 12,19 x 10-3 x 0,900 = 0,009245 rd
= 0,53º
O momento fletor fictício M no engaste da viga auxiliar corresponde à flecha na extremidade
livre da viga real:
f = M= [½ (8,262 – 2,479) x10-3 x 0,700] x [0,9 + (2/3) 0,7] + [2,479x10-3 x 0,700] x (0,9 + ½ 0,7) +
-3
+ [½ 12,19 x 10 x 0,900] x (2/3)0,9 = 0,008227 m = 8,23 mm
8
J - Deformações na Flexão
10.5 – Método da Energia.
A energia armazenada sob a forma potencial elástica em uma
peça carregada iguala o valor do trabalho realizado pelos esforços
externos (forças e momentos) ao se deslocarem em suas direções pela
P
deformação da estrutura (por deslocamentos lineares ou angulares,
respectivamente).
No caso de um corpo submetido a uma única força ativa (ou conjugado), o cálculo do trabalho W realizado será obtido efetuando o semiproduto da força (ou momento) pelo deslocamento
linear (ou angular) no sentido do esforço (W = ½ P δx ou W = ½ M δϕ). Computada a energia total
armazenada pela estrutura e igualada ao trabalho realizado, poderá ser determinada a deformação
no local de aplicação do esforço (os esforços reativos não trabalham).
A energia U armazenada em uma viga, submetidx
da à flexão reta cujo momento fletor M = M(x) é conhecido em cada seção, será determinada por integração ao longo do volume V da peça, levando em conta
que:
y
U =ΙΙΙ ½ (σ2/ E) dV.
dA
Como na flexão reta, σ = (M/I)y, e fazendo dV
= dA dx, teremos:
σ
U = (1/2E)ΙΙ(M2/ I2)y2 dA dx.
Efetuando a primeira integração ao longo de uma
dada seção (onde M, I e dx são invariantes), temos:
Fig. 10.5.1 – Energia na Flexão.
U = (1/2E) Ι(M2/ I) dx ......................................................... (10.5.1)
P
x
f
L
Tomando como exemplo o caso de uma viga engastada submetida a uma carga concentrada P na extremidade livre teremos:
Ι
M = - P (L – x) e U = (1/2EI) 0 L P2 (L-x)2 dx
ou seja, U = (1/6EI)P2 L3 = W = ½ P f, obtendo-se
f = PL3/ 3EI
Considerando agora o caso de uma viga bi-apoiada,
como mostrado na fig. 10.5.2, submetida às duas forças
P1 e P2 assinaladas, cujos pontos de aplicação se deslocam nas distâncias f1 e f2, respectivamente, quando a
viga se deforma, produzindo tais flechas, a energia U
armazenada (igual ao trabalho das forças aplicadas de
forma gradativa, crescendo de zero até seu valor final)
será dada por:
δP1
P2
f1
f2
P1
δf1
δf2
U = ½ P1 f1 + ½ P2 f2 ..................................................................................
(a)
Fig. 10.5.2 – Método da Energia.
Se, após as forças P1 e P2 atingirem seus valores finais, admitirmos que um pequeno incremento δP1 fosse dado ao valor de P1, tal acréscimo provocará pequenas variações nas flechas (δf1 e δf2), acarretando um incremento na energia armazenada, de valor:
δU = ½ δP1 δf1 + P1 δf1 + P2 δf2 ..................................................................(b)
Se, ao contrário, a ordem do carregamento fosse invertida, carregando inicialmente a
força incremental δP1 e, em seguida, aplicando as forças P1 e P2, teríamos ao final:
9
δ
J - Deformações na Flexão
U + δU = ½ δP1 δf1 + δP1 f1 + ½ P1 f1 + ½ P2 f2 ..........................................(c)
Como a energia de deformação deve ser a mesma, independentemente da ordem
de aplicação das forças, da igualdade (a) + (b) = (c) tiramos:
P1 δf1 + P2 δf2 = δP1 f1 , que, levada em (b) nos fornece: δU = ½ δP1 δf1 + δP1 f1,
ou seja: f1 = δU / δP1 – ½ δf1. No limite, quando δP1 → 0, tornando δf1 → 0, e considerando
que U é função tanto de P1 como de P2 teremos:
f1 = ΜU/Μ
ΜP1 ................................................................... (10.5.1)
A equação acima (teorema de Castigliano) permite calcular a flecha f1 em uma dada
seção de uma viga submetida a um carregamento qualquer, admitindo-se a existência de uma
força concentrada P1 aplicada exatamente na seção em que se quer determinar a flecha, bastando para tal estabelecer a expressão da energia U decorrente do carregamento (incluindo a tal
força P1) e computando-se sua derivada parcial em relação à P1 e, ao final, fazendo P1 = 0 (se
não existir força concentrada na seção que se quer determinar a flecha).
Como
U = (1/2E)Ι (M
( 2/ I) dx ........................................................................................
(10.5.2)
Efetuando a derivação parcial proposta em 10.5.1 teremos:
f1 = (1/E) Ι(M// I) ΜM/Μ
ΜP1 dx ........................................................ (10.5.3)
Uma dedução análoga seria feita para estabelecer a expressão que permite calcular o
ângulo ϕ de inclinação da linha elástica numa dada seção, imaginando a existência de um conjugado de momento M1 aplicado na seção correspondente, computando a energia total armazenada em função do carregamento (e do momento aplicado), efetuando a derivação parcial e, ao
final, fazendo M1 = 0:
ϕ1 = ΜU/Μ
ΜM1 = (1/E)
Ι(M// I)
(10.5.4)
Exemplo 10.5.1: Determinar, utilizando o método da
energia, a flecha f e o ângulo de deflexão ϕ na extremidade em balanço da viga engastada submetida
a um carregamento linearmente distribuído, variando entre zero na extremidade livre e w no engaste.
Solução: acrescentando ao carregamento real q(x) =
w(L-x)/L, sucessivamente, uma força P1 e um momento M1, aplicados na extremidade em balanço
onde se quer determinar a flecha e a declividade da
linha elástica, teremos para equação de momentos
(tracionando as fibras superiores da viga):
M(x)=-{½[w(L–x)/L](L–x)[⅓(L-x)]+P1(L–x)+M1};
M(x) = - {1/6[(w/L)(L – x)3 + P1 (L –x) + M1).
ΜM/Μ
ΜM1 dx .....................................
w
L
w
w (L -x) / L
P1
x
Para o cálculo da flecha f1 teremos ΜM/ΜP1 = - (L –x) e fazendo P1 = M1 = 0,
M1
f1
ϕ1
f1 = (1/E)Ι(M/ I) ΜM/ΜP1 dx = (1/EI)Ι{1/6[(w/L)(L – x)4}dx = (w/30LEI)[(L –x)5]oL = - wL4 / 30EI
Para o cálculo da declinação ϕ1, teremos ΜM/ΜM1 = -1 e fazendo M1 = 0,
ϕ1 =(1/E)Ι(M/ I) ΜM/ΜM1 dx = (1/EI)Ι{1/6[(w/L)(L – x)3}dx = (w/24LEI)[(L –x)4]oL = - wL3 /
10
24EI
J - Deformações na Flexão
Um teorema auxiliar, o teorema da reciprocidade (enunciado por Maxwell), pode, muitas
vezes, ser útil na determinação de deformações: - “a deformação numa seção A, provocada por um
dado esforço aplicado numa seção B, é igual à deformação que o mesmo esforço provocaria na seção
B, como se estivesse aplicado na seção A”.
(*) força ou momento
P1
1
(**) flecha ou deflexão
Admitindo que, após a aplicação de um esforço
angular.
P1(*) na seção “1”, provocando uma deformação
(**) δ11, fosse aplicado um esforço P2, na seção
2, a energia total armazenada pela viga seria:
U = ½ P1 δ11 + ½ P2 δ22 + P1 δ12
P1
P2
2
onde δ12 é a deformação provocada em “1” devido ao esforço aplicado em “2”, com o esforço P1
já aplicado em “1”.
Invertendo a ordem na aplicação dos esforços:
---- aplicando inicialmente o esforço P2 na seção
P2
“2”, esta provocaria uma deformação δ22, e, após
aplicado o esforço P1, na seção “1”, a energia
armazenada seria:
U = ½ P2 δ22 + ½ P1 δ11 + P2 δ21
P1
onde δ21 é a deformação provocada em “2” deviP2
do ao esforço aplicado em “1”, com esforço P2
já aplicado em “1”.
O princípio da superposição dos efeitos
(decorrente da linearidade da relação entre esforços e deformações) permite concluir que a
energia total armazenada não deve depender da
P1 δ12 = P2 δ21
ordem de aplicação dos esforços, portanto:
que no caso de P1 = P2 nos dá
δ12 = δ21
Exemplo11.5.2 – Calcular a flecha δ provocada na seção média de uma viga em
balanço submetida em sua extremidade
livre:
a) a uma força P
b) a um momento M.
P
L
L/2
M
δ
Utilizando o teorema da reciprocidade podemos concluir que:
- a flecha no meio do balanço da viga, decorrente das cargas aplicadas em sua extremidade livre, será
igual à flecha na extremidade livre causada pelas cargas supostamente aplicadas no meio do balanço.
P
Dos resultados obtidos no ex. 10.2.2:
L
φ1 = φ (L/2) = -P(L/2)2/2EI = -P(L)2/8EI
f1 = f (L/2) = -P(L/2)3/3EI = -P(L)3/24EI
Levando em conta que no trecho da viga entre
o meio do balanço até a extremidade o momento M
é nulo e, portanto, o eixo da viga será reto, podemos
escrever para a extremidade livre:
L/2
f1
M
ϕ1
δ = f1 + ϕ1 (L/2) = [-P(L)3/24EI] + [-P(L)2/8EI](L/2) = - 5P(L)3/48EI (resp. a)
Para o caso de ser um momento M aplicado no meio do vão livre da viga teremos:
φ1 = φ (L/2) = -M(L/2)2/EI = -M(L)2/4EI
f1 = f (L/2) = -M(L/2)3/2EI = -M(L)3/16EI.
Analogamente podemos escrever:
δ = f1 + ϕ1 (L/2) = [-M(L)3/16EI] + [-M(L)2/4EI](L/2) = - 3M(L)3/16EI (resp. b)
11
δ
J - Deformações na Flexão
10.6 – Método da Superposição.
A linearidade da relação entre esforços e deformações nas estruturas que trabalham na fase elástica permite aplicar o princípio da superposição dos efeitos, computando-se o valor global da deformação para um carregamento complexo, como sendo o resultado da soma algébrica das deformações causadas pelas cargas, como se tivessem
sido aplicadas isoladamente.
Realmente: se para um esforço F1 (força ou momento) corresponder uma deformação x1 (linear ou angular) para a qual se puder escrever, segundo a Lei de Hooke, que
F1 = K x1, para um outro esforço F2 teremos que F2 = K x2. Adicionando tais resultados
obtemos F1 + F2 = K (x1 + x2), ou seja, se encararmos a superposição dos esforços F1 +
F2 como um terceiro esforço F3, a deformação correspondente x3 = x1 + x2.
A seguir são apresentados alguns exemplos de valores para as constantes elásticas K de estruturas elásticas equiparadas a “molas”, sendo F um esforço (força ou momento) e x uma deformação (linear ou angular), tais que se possa escrever F = Kx.
Tipo de Solicitação
Esquema
F
K da “Mola”(F/x)
L
Barra de Tração
x
E
K=EA/L
F
A
L
F
D
Barra de Torção
x
G
K = πGD4/32L
F
d
Mola de Torção
R
F
K = G d4/64 n R3
F
G
n espiras
E
F
b
Barra Chata de Flexão
K = E b h3 / 4 L3
h
L
x
2a F
Feixe de Mola
Flexão
x
4a
6a
12
K = 8 E b h3 / 37 a3
J - Deformações na Flexão
10.7- Vigas estaticamente indeterminadas.
A possibilidade de se calcular as deformações da linha elástica nas vigas submetidas à flexão
reta nos permite levantar a indeterminação para o cálculo das reações nos apoios das vigas hiperestáticas, bastando para tal utilizar-se das equações de compatibilidade de deslocamento, como realizado na
solução dos problemas estaticamente indeterminados para as solicitações anteriormente estudadas.
Os exemplos a seguir apresentam caminhos para a determinação dos esforços vinculares de vigas hiperestáticas, utilizando os vários métodos para cálculo de flechas e deflexões angulares.
Exemplo 10.7.1: Traçar os diagramas de esforços soliciq
tantes da viga de comprimento L, engastada em uma extreMA
midade e apoiada na outra, submetida a uma carga uniformemente distribuída q. Supondo tratar-se de uma viga de
B
A
concreto, estabelecer a extensão para distribuição da arLq
madura de aço ao longo de seu comprimento (atendendo à
circunstância de estar posicionada sempre no lado traciof1
nado da viga).
Solução: Admitindo que o apoio B à direita não existisse, a
flecha f1 provocada pelo carregamento distribuído na exf2
tremidade livre seria:
4
f1 = - qL / 8EI ............................(exemplo 10.4.2);
B
Se na extremidade livre atuasse uma força vertical B, esta
(5/8)qL
provocaria ali uma flecha f2 dada por:
f2 = + BL3 / 3EI .........................(exemplo 10.2.2).
A existência do apoio em B implica em ser nula a flecha Q
xm
nessa extremidade, o que nos leva a:
3
4
-(3/8)qL
BL / 3EI = qL / 8EI, e B = (3/8)qL. Das equações da
Estática correspondentes ao equilíbrio de forças e momen-qL2/8
-qL2/8
tos obtemos: A = (5/8)qL e MA = -qL2 / 8.
9qL2/128
Levantada a indeterminação hiperestática, podemos
traçar os diagramas de cortante e momento fletor, verifican- M
do-se que a força cortante se anula na seção distante 5L/8
x
do engastamento, onde atuará o momento fletor máximo
2
2
positivo (M+) = (3/8)qL(3L/8) – ½ qL[(3L/8) = (9/128)qL
3L/4
O momento máximo negativo será: (M-) = MA =
= (3/8) qL (L) – ½ qL2 = - qL2 / 8 = - (16/128) qL2
A equação do momento fletor em função da ordenada x da seção (contada a partir do apoio da direita B*), será:
M = M(x) = (3/8) qLx – ½ (qx2), que se anula (invertendo o
sinal do momento) na seção x = (3/4)L , seção na qual a
armadura de ferro numa viga de concreto armado, passaria
A
L
da face inferior para a superior.
A equação da elástica será obtida integrando:
d2f / dx2 = dϕ / dx = M/EI = (l / EI)(3qLx/8 - ½ qx2), ou
ϕ(x) = (1/EI) (3qLx2/16 - qx3/6 ) + C1. Como no engastamento (x=L), ϕ = 0, tiramos C1 = - qL3/48EI (que corresponde ao ângulo da elástica no apoio B). Computando o
valor de x que torna nula a declinação ϕ obtem-se:
fmáx
x =(1 + √33)L/16 = 0,42154L, seção onde ocorre a fmáx.
13
J - Deformações na Flexão
Integrando ϕ=df/dx obtem-se f =(q/48EI)(-2x4 + 3Lx3-L3x), que, para x = 0,42154L fornece fmáx
=qL4/185EI.
* - a inversão do sentido positivo para a ordenada x implica na troca dos sinais para as
flechas f e os ângulos ϕ..
P/2
L/4
L/4
A
L/4
Solução: A simetria do problema nos aponta para a solução utilizando o princípio da superposição. Imaginando inexistente o apoio central B (tornando isostática a
viga), pode-se determinar a flecha que ocorreria no meio
do vão. Para tal será adequado utilizar a analogia de
Mohr calculando o momento fletor fictício no meio do
vão causado pelo carregamento virtual M/EI, que provoca as reações virtuais: R = ½ [(PL/8EI)(L/2 + L/4)]=
3PL2/64EI. A flecha valeria:
L/4
B
C
P/2
L/4
Exemplo 10.7.2 – Para a viga contínua sobre três apoios
e submetida às forças concentradas mostradas, pede-se
traçar o diagrama de momentos fletores.
P/2
P/2
L/4
L/4
A’ = P/2
L/4
f1 = [3PL2/64EI]L/2 – ½(PL/8EI)(L/4)(L/4+L/12) –
- (PL/8EI)(L/4)(L/8) =(29/768)PL3/EI.
C’ = P/2
+
M
PL/8
PL/8EI
M/EI
R
R
Para a viga de comprimento L, submetida a uma carga
concentrada B no meio do vão, a flecha correspondente
seria (cf. exemplo 10.2.3) f2 = BL3/48EI.
Como a flecha final no apoio B deve ser nula, igualando
f1 a f2 obtemos:
B = (11/16)P. Portanto, A = C = (5/32)P.
Levantada a indeterminação hiperestática, podemos fazer
o traçado do diagrama de momentos, determinando seus
valores extremos, bem como as posições das seções em
que seu valor se anula, invertendo de sinal.
P/2
P/2
f1
5P/32
B/2
5P/32
22P/32
(4/11)L
B/2
6PL/128
f2
L/4
L/4
L/4
L/4
5PL/128
5PL/128
B
Exemplo 10.7.3: Utilize o Teorema de Castigliano para
determinar a reação no apoio B da viga mostrada no
exemplo 10.7.1.
Solução: o momento fletor ao longo da viga será, em
função da reação B desconhecida e do carregamento:
M = M (x) = Bx – qx2/ 2.
q
A
Ι
Como fB = (1/E) (M/ I) ΜM/ΜB dx = 0, e
ΜM/ΜB = x, vem:
0=
B
x
Ι(Bx – qx2/2) x dx =[Bx3/3 – qx4/8]0L......
BL3/3 =qL4/8 ........... e finalmente:
B =3qL/8
L
M
14
J - Deformações na Flexão
Exemplo 10.7.4 – Determinar o maior valor alcançado pelo momento fletor nas vigas da estrutura
mostrada (tipo “grelha”), com duas vigas de mesmo material, mesma seção transversal, mesmo comprimento L, sendo uma (AB) bi-apoiada e a outra (CD), engastada em C e livre em D, onde se aplica a
carga P.
L/2
P
L/2
L/2
C
A
L/2
D
B
Solução: designando por F a força de contato desconhecida entre as duas vigas, os diagramas de cargas para cada uma delas será:
P
F
A
B
f2
D
C
f1
F
A compatibilidade de deslocamentos nos indica que a flecha f1 causada pela deformação da
viga AB, no meio do vão, deve ser igual à flecha f2 ocorrente no meio do balanço da viga CD.
3
Dos estudos já feitos (exemplo 10.2.3) temos que f1 = - FL /48EI.
No cômputo da flecha f2 utilizaremos o princípio da superposição, calculando a flecha no meio
do balanço devido à ação da força P e subtraindo o valor da flecha no local, devido à força F.
À força P, atuando isoladamente, corresponderia
um diagrama de momentos como indicado na figura ao
lado, com a equação: M = M(x) = -Px. A equação da
elástica será obtida integrando: d2f/dx2= M/EI = -Px/EI.
df/dx = ϕ = −Px2/2EI + C1. Como ϕ = 0 para x = L,
tiramos C1 = + PL2/2EI (ângulo em x = 0). Integrando
mais uma vez obtemos: f = (P/2EI)(-x3/3 + L2x + C2).
Como para x = L, f = 0, tiramos C2 = -2L3/3 (confirmando que para x = 0, f = -PL3/3EI – exemplo 10.7.2).
15
Na metade do balanço (x = L/2), a flecha devido
à força P, atuando sozinha, seria: (f1/2L)P = -5PL3/48EI.
(ver ex. 11.5.2)
P
L/2
-PL
x
M
J - Deformações na Flexão
A força F, atuando isoladamente, provocaria
uma flecha no meio do vão dada por:
(f1/2L)F = + F(L/2)3/3EI = FL3/24EI.. (exemplo 10.7.2).
Compondo os dois deslocamentos, a flecha
total f2 = (f)P – (f)F será:
f2 = - 5PL3/48EI + FL3/24EI.
A compatibilidade de deformações no contato
entre as duas vigas implica, como dito, em que f1 = f2 e
L/2
F
f1 = - FL3/48EI = f2 = - 5PL3/48EI + FL3/24EI,
dando → F = (5/3)P
Levantada a indeterminação hiperestática, podemos calcular as reações nos apoios
e traçar os diagramas de esforços solicitantes.
MC = -PL + (5/3)P(L/2) = - (1/6) PL
C
P
(2/3)P
C
A
F = (5/3)P
F = (5/3)P
D
-(1/2)PL
-(1/6)PL
B
(5/6)P
(5/6)P
(5/12)PL
Resposta: o maior valor do momento fletor negativo (1/2)PL ocorre na viga CD, no contato entre as
duas vigas. O maior momento positivo(5/12)PL ocorre no meio do vão da viga AB.
Exercício Proposto. Demonstre que, para uma viga biengastada, submetida a uma carga P concentrada no meio
do vão L, o momento fletor extremo e a flecha máxima
atingem, respectivamente, os valores PL2/8 e PL3/192EI.
(sugestão: torne a viga isostática liberando os engastes e
calculando os ângulos nos apoios devidos ao carregaϕ
mento; em seguida compute os momentos que deveriam
ser aplicados nas extremidades, necessários para
16 tornar
nulos os giros ali ocorridos).
L/2
P
L/2
ϕ
J - Deformações na Flexão
M
M
10.8 – Cargas Dinâmicas. Choque
Quando a aplicação da carga na estrutura não se dá estaticamente (ou seja, não cresce lentamente, desde zero até seu valor final), dando-se de forma repentina (choque), as tensões máximas ocorrentes serão aumentadas. Adota-se a hipótese conservativa de que toda a energia mecânica do esforço
de impacto se converta em energia elástica armazenada pela estrutura ao alcançar sua configuração de
máxima deformação (situação mais desfavorável, já que não teriam sido consideradas as energias perdidas no choque, por vibrações ou recuperadas por ricocheteamento do objeto impactante).
Seja, por exemplo, o caso de uma estaca de comprimento L e área de seção A,
engastada na base e que receba o impacto (↓) na extremidade livre com uma eH
nergia U (cinética = ½ mv2 = mgH, após uma queda livre de uma altura H). Ao
atingir a deformação máxima δmáx (↓) por compressão após o impacto, a energia
armazenada na estaca valerá:
U = ½ [K]( x )2 = ½ [EA/L]( δmáx )2 = ½ (σmáx )2 AL/E, sendo AL = V
(volume da estaca). Teremos, portanto:
L
σmáx =[ 2 E U / V ]1/2 ......................... (10.8.1)
No caso de o impacto ser no sentido transversal (→), a estaca flexionará como
uma viga engastada e, quando a extremidade atingir a flecha fmáx (→) teremos:
U = ½ [ 3EI/L3](fmáx )2. Como σmáx = (Mmáx/I)y* e I = Ar2, onde y* é a
distância à linha neutra da fibra mais afastada e r o raio de giração da seção, obtem-se:
σmáx =[ 2 E U / ξ V ]1/2 onde ξ =1/3 (r / y*)2 ...(10.8.2)
Fig.10.8 - Bate-estaca
Note que, quanto maior o volume da peça (*) , menor a tensão alcançada.
Para uma estaca de seção circular de diâmetro d, y* = ½ d, r = d/4 e ξ = 0,1667.
Tratando-se de uma seção retangular (bxh), y* = ½ h, r = 0.2887h e ξ = 0, 1111 → (1/9)
(*) de seção uniforme
Exemplo:
10.8.1
–
Um
objeto
de peso P = 2,0 kgf
m
(m = 2,0 kg) cai de uma altura H = 6m sobre o meio
do vão de uma viga de aço (E = 200 GPa), bi-apoiada
H
de comprimento L = 4m, com seção retangular b= 60
mm x h = 100mm. Calcular a máxima tensão normal
f
despertada pelo choque.
½L
½L
A solução literal da questão nos fornece: U = mg (H + f) = ½ [48EI/L3] f2 que leva à equação do
2º grau: f2 – [L3mg/24EI] f + [L3mg/24EI] = 0, cuja solução positiva dá:
f = mg L3/48EI + [mg L3/48EI]2 + [mg L3/24EI]H
- (observar que, no caso de H = 0 – abandono repentino de um corpo de peso mg sobre um sistema elástico – a
deformação máxima conseqüente é o dobro daquela correspondente à aplicação estática da força igual ao peso
do objeto).
De uma forma genérica podemos escrever: fdin = fest + (fest)2 + 2 fest H = fest [1 + 1 + 2 H / fest]
O termo Φ = [1 + 1 + 2 H / fest] é o chamado “fator de ampliação dinâmica”.
Para os dados numéricos do problema enunciado teremos, com m = 2,0 kg, g = 9,81m/s2, E =
200 x 109 N/m2, H = 6m, I = bh3/12 = (60 x 1003/ 12)x 10-12 = 5 x 10-6 m4, L = 4,0m:
fest = mg L3/ 48 E I = 2,0 x 9,81 x 4,03 x 48 x 200 x 109 x 5 x 10-6 = 0,0262 mm
O fator de ampliação valerá: Φ = [1 + 1 + 2 x 6000 / 0,0262 ] = 678.
A tensão máxima para a aplicação estática da força P = mg = 2 x 9,81 = 19,62 N valeria:
σest = (M/I)y* = [(PL/4)/(bh3/12)] x (h/2) = [19,62 x 4/4] / (60 x 1002 /6)x10-9 = 0,1962MPa.
A tensão máxima para a aplicação dinâmica, decorrente da queda do corpo da altura H = 6m que provoca uma ampliação nas deformações (e portanto das tensões que lhes são proporcionais) de valor Φ = 678,
será:
17
σdin = Φ σest = 678 x 0.1962 = 133 MPa.
Para o caso em análise, o fator ξ apresentado na equação 10.8.2 valerá: ξ = 2E U / V (σmáx)2 =
9
-3
-6
6 2
= 2 x 200 x 10 x 2,0 x 9,81 x (6 + 678 x 0,0262 x 10 ) / 4 x 60 x 100 x 10 x (133 x 10 ) = 0,111.
J - Deformações na Flexão
10.9 – Elementos acelerados
A avaliação das tensões em elementos de máquinas que se movimentam sofrendo aceleração pode ser feita utilizando-se o Teorema de d’Alembert, que transforma o problema dinâmico em
um problema de Estática, bastando acrescentar ao conjunto de forças externas, forças fictícias,
chamadas “forças de inércia”. Realmente: os teoremas gerais da Dinâmica:Σ Fext = Mac e Σ Mext =
Ic α se reescritos na forma: Σ Fext + (- Mac) = 0 e Σ Mext + (- Ic α) = 0, transformam a questão como se tratando de forças em equilíbrio, quando acrescentamos (- Mac) e (- Ic α) como “esforços”.
Seja, como exemplo, o caso de uma barra delgada e homogênea AB,
R
de
comprimento
L, massa M, seção quadrada de lado a, suspensa por um piA
no em A e que sofra a ação de uma força F repentina na extremidade B, desejando-se avaliar as tensões máximas despertadas no momento da aplicação
α
da força. Além do peso e da componente vertical da reação no pino A, aparea
cerá um componente horizontal na reação em A (força R).
Pelo teorema do centro de massa : F – R = Mac .
ac
C
Pelo teorema do momento cinético: F x L = IA α, sendo IA = ML2/3.
Como ac = α L/2, obtem-se ac = (3/2)(F/M), α = 3F/ML e R = - ½ F.
Observando tão somente as componentes horizontais das forças: a força ativa
F (em B), a força reativa R = F/2 (em A) e admitindo uma força de inércia
distribuída ao longo da barra, obtida pelo produto da massa de cada elemento
F
dm = (M/L) dx por sua aceleração a = α x = (3F/ML) x, configurando uma
B
carga fictícia linearmente distribuída q(x) = (3F/L2)x, que atinge o valor máximo em B → qB = 3F/L.
3F/L
Redesenhando a barra coR
=
F/2
mo uma viga e seu carreA
gamento em posição usual,
fica evidente que os esforxm
α
F
F/2
ços mostrados (incluindo
x
os de inércia) estão em
equilíbrio, permitindo-nos
Q
traçar os diagramas de força cortante e momento fletor para a obtenção de seus
dx
valores extremos:
M
- o máximo momento fletor
F
ocorre na seção onde Q = 0.
3F/L
B
Do diagrama de Q tiramos: (F/2) = ½ (3F/L2) xm2 , obtendo xm = 0,5774 L.
O momento fletor (o máximo) em tal seção valerá:
Mmáx = (F/2) xm – [½ (3F/L2)xm2](1/3 )xm = 0,19245 FL
A máxima tensão normal valerá σ = (M/I)y* = [0,19245 FL/ (a4/12)](a/2) = 1,155 FL/a3
Exercício proposto. No sistema bielamanivela representado, a manivela gira
com velocidade constante ω = 3000rpm.
A biela, de massa 0,300 kg,, deve ser r =50
suposta como uma barra homogênea.
Para a posição mostrada pede-se determinar o momento fletor máximo na
18
biela.
ω
120
J - Deformações na Flexão
10.10 – Tabela de flechas e deflexões angulares para algumas vigas isostáticas.
Viga
Deflexão angular na extremidade
Carregamento e Vinculação
(comprimento L)
+
P
1
ϕ =-PL2 / 2EI
f
ϕ
Flecha Máxima
+↑
f = - PL3/ 3 EI
q
ϕ =-qL3 / 6EI
2
f
f = - qL4/ 8 EI
ϕ
w
3
f
ϕ
ϕ =-wL3 / 24EI
f = - w L4 / 30 EI
ϕ = + ML / EI
f = + ML2 / 2 EI
ϕΑ =-PL2 / 16 EI
ϕΒ =+PL2 / 16 EI
f = - PL3/ 48 EI
ϕ
f
4
M
5
P
ϕΑ
ϕΒ
L/2
6
f
L/2
P
xm
ϕΑ
ϕΒ
f
a
b
ϕΑ =-Pb(L2 – b2) / 6 LEI
ϕΒ =+Pa(L2 – a2)/ 6 LEI
2
2 3/2
f= - P b (L - b )
9√3 LEI
para xm = √(L2- b2)/3
q
7
ϕΑ
ϕΒ
ϕΑ = - qL3 / 24 EI
ϕΒ =+ qL3 / 24 EI
f = - 5 q L4 / 384 EI
f
P/2
8
ϕΑ
a
b
P/2
a
ϕΒ
f
M
xm
ϕΒ
ϕΑ
f
a ser preenchido pelo estudante
a ser preenchido pelo
estudante
ϕΑ = - ML / 6 EI
f = - ML2 / 9√3 EI
19
J - Deformações na Flexão
ϕΒ =+ ML / 3 EI
9
para xm = L / √ 3
10.11 – Tabela de Reações Vinculares e flechas para algumas vigas hiperestáticas.
Viga
Carregamento e Vinculação
(comprimento L)
L/2
M
P
1
A
f
B
q
M
2
A
M
f
B
P
L/2
M
3
A
B
f
q
M
A = B = (1/2)P
M= qL2/12
(MMAX)(+) = + qL2/24
(MMAX)(-) = - qL2/12
B
f
P/2
P/2
B
A = B = (5/32)P
C = (11/16)P
(MMAX)(+) =+(5/128)PL
(MMAX)(-) =-(3/64)PL
B
A = B = (3/16)qL
C = (5/8)qL
(MMAX)(+) = +(9qL2/512)
(MMAX)(-) = - qL2/32
5
A
L/2
C
L/2
q
6
A
A = B = (1/2)P
M= (1/8)PL
(MMAX)(+) = +(1/8)PL
(MMAX)(-) =-(1/8)PL
Flecha Máxima
+↑
f = - 7PL3/ 768 EI
f = - qL4 / 185 EI
f = - P L3 / 192 EI
M
4
A
Reações Vinculares e Momentos Máximos
A = (11/16)P
B = (5/16)
M= (3/16)PL
(MMAX)(+) = +(5/32)PL
(MMAX)(-) = - (3/16)PL
A = (3/8)qL
B =(5/8)qL
M= qL2/8
(MMAX)(+) =(9/128)qL2
(MMAX)(-) = - qL2/8
L/2
L/2
C
f = - qL4 / 384 EI
a ser calculada pelo
estudante
(observe a equivalência
entre o trecho CB da viga 5
e o trecho AB da viga 1)
f = - qL4 / 2960 EI
10.12 – Métodos Computacionais para determinação de tensões e deformações.
Programa FTOOL.
Para a solução de problemas complexos, envolvendo múltiplos carregamentos,
além de apoios hiperestáticos e geometria diversificada da estrutura, existem métodos
computacionais que poupam o trabalho exaustivo para o cálculo utilizando o método
analítico. Um bom exemplo de tal ferramenta é o “Ftool – 2 Dimensional Frame Analysis Tool”, apresentado em um dos links da página da Internet www .uff / teleresmat.
20
J - Deformações na Flexão
No elenco dos exercícios resolvidos, correspondentes às aplicações do programa
Ftool, é apresentado (ao final) o Exercício 1 – passo-a-passo, que indica o procedimento
a ser adotado para o uso do programa.
O exemplo apresenta uma viga sobre dois apoios, com as dimensões mostradas
(tendo um balanço), e submetida a 4 cargas concentradas, além de mais 4 cargas uniformemente distribuídas.
70kN
25kN
10kN
40kNm
40kNm
20kNm
15kNm
2,50m
40kN
3,00m
3,50m
3,50m
4,00m
O painel de controle do programa é mostrado sendo apresentadas as sucessivas
fases (orientadas por uma seta vermelha), para inserção do desenho dos diversos tramos
da viga, suas dimensões, apoios, cargas aplicadas (com suas intensidades e sentidos),
material da viga, suas propriedades mecânicas, características geométricas da seção (área, momento de inércia, altura e posição do centróide do perfil).
O programa, ao final, apresenta, sob a forma de diagramas cotados com os valores
extremos, a distribuição ao longo da viga de forças normais, das forças cortantes e do
momento fletor, além das flechas da linha elástica.
Q
M
f
Outros programas para análise estrutural estão disponíveis pela Internet (vide – SAP – Structural Analysis Program – SAP 2000 V. 7.42). Pesquise também sites do American Insitute of Steel Construction, Inc (www.aisc.org/ ) e da Aço Minas (www.acominas.com.br/perfis/index).
21
J - Deformações na Flexão
Universidade Federal Fluminense – Departamento de Engenharia Civil – Resistência dos Materiais XI
FTOOL – Programa Gráfico-Interativo para Ensino de Comportamento de Estruturas – Luiz Fernando Martha
PUC – Rio – Versão Educacional 2.11.
RESUMO
I
Diagramas
TT – ftool – Two Dimensional Frame Analysis Tool
File Options Transform
Display
_ _ _ _ _
I_ _ _
_
N Q M
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
Rigidez Articulações
Apoios Seção Reta
Materiais
Variação de Temperatura
Carga Linear Distribuída
Carga Uniforme Distrib.
Momento em extremidade
Cargas concentradas nos nós
_
Deformações
Section
Properties
Seleciona barra/nó
Insere barra
Insere nó
Insere cota
Aciona o Grid
Espaçamento entre
pontos do Grid
H
V
x
y
Grid x
22
y
Snap
Atrai o cursor para os
pontos do Grid
_