Curso de Manejo de águas pluviais
Capitulo 149- Equação do momento
Engenheiro Plínio Tomaz 12 de janeiro de 2013 [email protected]
Capítulo 149
Equação do momento
149-1
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Capítulo 149- Equação do momento em canais abertos
149.1 Introdução
Na hidráulica as equações básicas são:
a) Conservação de massa ........Q= V.A
b) Conservação de energia ........E= z + y +α V2/2g
c) Conservação do momento .. ∑F=β.ρ.Q (V2-V1)
Vamos considerar o volume de controle da Figura (149.1) conforme
Subramanya, 2009.
O volume de controle é fixado em um espaço ladeado pelas faces
(1) e (2) e escolhemos os contornos do mesmo para facilitar os cálculos.
Figura 149.1- Esquema para aplicação da equação do momento
A somatória das forças agindo no volume de controle deverá ser
igual a variação do momento. Não devemos esquecer que o momento é
um vetor de quantidade.
Assim teremos:
∑ F = F1 – F2 – F3 + F4 = M2 – M1
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Mas, M1= β1. ρQ V1 que é o momento na entrada do volume de controle.
e M2= β2. ρQ V2que é o momento na saída do volume de controle.
Nota: β geralmente é considerado igual a 1.
A equação do momento segundo Subramanya, 2009 é particularmente
uma ótima ferramenta na análise do movimentos rapidamente variados
(RVF-Rapidly Varied Flow) em situações onde as perdas por energia são
complexas e não podem ser facilmente estimadas.
Segunda Lei de Newton
F= m. a
sendo:
F= força (N/m2)
m= massa (kg)
a= aceleração ( m/s2)
A aceleração “a” pode ser escrita:
a= (V2- V1)/ ∆t
F= m. a
F= m. (V2- V1)/ ∆t
F= (m/ ∆t) . (V2- V1)
F= M=ρ.Q (V2-V1)
ρ.Q.V= momento= massa x velocidade
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Exemplo 149.1
Calcular a força F que age sobre uma comporta móvel da Figura (149.2)
usando a equação do momento.
Figura 149.2- Descarga móvel
Fonte: Subramanya, 2009
Primeiramente temos o volume de controle que é a linha (1) e (2).
Aplicando o teorema do momento no volume de controle temos:
Na seção (1) a altura é γ.y1 e a área do triângulo de altura y1 será:
Base= γ.y1
Altura y1
Em um ponto qualquer da água temos P= γ. y
Para o fundo temos PA= γ. y1
Area= γ.y1 . y1/ 2= γ.y12/2
Portanto, teremos:
γ.y12/2 - γ.y22/2 -F= ρ.Q (V2-V1)
Donde facilmente podemos achar o valor de F.
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Exemplo 149.2
Usando a equação do momento achar a força FD que age sobre o bloco
sendo que o ressalto está sobre a horizontal.
Figura 149.3- Volume de controle do ressalto com o bloco
Aplicando a equação do momento no volume de controle (1) e (2) temos:
P1- FD – P2 = M2- M1
γ.y12/2 – FD - γ.y22/2 = ρ.Q (V2-V1)
Onde facilmente acharemos o valor de FD.
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Exemplo 149.3
Seja o volume de controle em um ressalto hidráulico definido pelas
seções (1) e (2).
γ.y12/2 - γ.y22/2 = ρ.Q (V2-V1)
Facilmente chegaremos a equação conhecida:
y1/y2 = 0,5 ( -1 + (1+8F12) 0,5)
Sendo:
F1= V1/(g.y1)0,5
Figura 149.4- Esquema de ressalto hidráulico em fundo plano
Fonte: Subramanya, 2009
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149.2 Aplicação a curvas pressurizadas em tubos
Ver página 455 do livro Applied fluid mechanics de Robert L.Mott onde
mostra que a equação do momento pode ser aplicada a condutos forçados e
neste caso temos duas posições: x e y para aplicação da equaçao do
momento.
Exemplo 149.4
Calcular a força exercida por um tubo em curva de 90º com objetivo de manter
o equilibrio.Na Figura (149.5) e (149.6) temos uma curva de 90º.
Figura 149.5- Curva de 90º
Figura 149.6- Esquema das forças agindo sobre o volume de controle
Aplicando a equação do momento em X e depois em Y.
Fx= ρQ(V2x-V1)
V2x=0
Fx=- ρQV1
mas Fx= p1.A1 – Rx
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Fx= p1.A1 – Rx= - ρQV1
Rx= p1.A1+ ρQV1
p1=550000 Pa
ρ= 1000 kg/m3
A1= 8,213 x 10-3 m2
Q= 0,05m3/s
V1= Q/A1= 6,09m/s
ρQV1 = 1000 x 0,05 x 6,09= 305 kg.m/s2= 305 N
p1.A1= 550000 x 8,213 x 10 -3 = 4517 N
Rx= p1.A1+ ρQV1
Rx= 4517+ 305= 4822 N
Assim achamos Rx= 4822 N
Para acharmos Ry façamos os calculos na direção Y.
Ry= p2.A2+ ρQV2
Acharemos Ry= 4822 N
As forças Rx e Ry serão usadas na ancoragem da curva de 90º.
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Exemplo 149.5
Calcular a reação em X e Y sobre uma proteção em um jato de água
sobre uma curva de 90º.
O problema é semelhante ao anterior coma diferença p1.A1=
p2.A2=0.
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149.19 Bibliografia e livros consultados
-CHANSON, HUBERT. The hydraulics of open channel flow: an introduction.
2a ed. 585 páginas. Elsevier, 2010 ISBN 978-0-7506-5978-9.
-MOTT, ROBERT L. Applied fluid mechanics. 4a ed. 579 páginas, 1994, New
York
-SUBRAMANYA, K. Flow in open channels. 3a ed. Tata McGraw-Hill, New
Delhi, 2009, 548 páginas, ISBN 0-07-069966-6.
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