Lista 4 - Análise I
1 - Sejam X e Y subconjuntos de R. Mostre que:
(a) int(int X) = int X
(b) X ⊂ Y ⇒ int X ⊂ int Y
(c) int (X ∩Y ) = int X ∩int Y
(d) int X ∪ int Y ⊂ int (X ∪ Y ) e dê um exemplo em que esta inclusão é própria.
2 - Seja X ⊂ R. A fronteira de X, denotada por fr X, é o conjunto formado pelos pontos
de x ∈ R tais que todo intervalo centrado em x contém pontos de X e pontos de R \ X.
Prove que X é aberto se, e somente se, X ∩ fr X = ∅.
3 - Sejam A e B subconjuntos abertos de R. Mostre que os seguintes conjuntos são
abertos:
(a) x + B = {x + y ; y ∈ B} , x ∈ R
(b) xB = {xy ; y ∈ B}, x ∈ R \ {0}
(c) A + B = {x + y ; x ∈ A , y ∈ B}
(d) AB = {xy ; x ∈ A ; y ∈ B}
4 - Sejam X e Y subconjuntos de R. Mostre que:
(a) X = X
(b) R \ int X = R \ X
(d) X ⊂ Y ⇒ X ⊂ Y
(e) X ∪ Y = X ∪ Y
(c) R \ X = int (R \ X)
(f) X ∩ Y ⊂ X ∩ Y e dê um exemplo em que esta inclusão é própria.
5 - Seja X ⊂ R limitado inferiormente e Y ⊂ R limitado superiormente. Mostre que
inf X ∈ X e sup Y ∈ Y .
6 - Mostre que o conjunto dos valores de aderência de uma sequência numérica é fechado.
7 - Dada uma sequência (xn ), prove que o fecho do conjunto X = {xn ; n ∈ N} é
X = X ∪ A onde A é o conjunto dos valores de aderência de (xn ).
8 - Definimos a distância de um ponto a ∈ R a um conjunto não vazio X ⊂ R como
d(a, X) = inf {|x − a| ; x ∈ X}.
(a) Mostre que d(a, X) = 0 ⇔ x ∈ X.
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(b) Se X ⊂ R é fechado, mostre que para todo a ∈ R existe b ∈ X tal que d(a, X) = d(a, b).
9 - Sejam X e Y subconjuntos de R. Mostre que:
(a) X 0 = X 0
(b) X ⊂ Y ⇒ X 0 ⊂ Y 0
(c) (X ∪ Y )0 = X 0 ∪ Y 0
10 - Mostre que todo ponto de um conjunto aberto A é um ponto de acumulação de A.
11 - Prove que se todos os pontos do conjunto X ⊂ R são isolados então pode-se escolher,
para cada x ∈ X, um intervalo aberto Ix , de centro x, tal que x 6= y ⇒ Ix ∩ Iy = ∅.
12 - Seja a um ponto de acumulação de X ⊂ R. Prove que existe uma sequência crescente
ou uma sequência decrescente de pontos xn ∈ X tal que lim xn = a.
13 - Obtenha coberturas abertas de Q e [0 , +∞ [ que não admitam subcoberturas finitas.
14 - Prove que a reunião finita e uma interseção arbitrária de conjuntos compactos é um
conjunto compacto.
15 - Dê exemplo de uma sequência decrescente de conjuntos fechados não vazio (Fn )
e uma sequência decrescente de conjuntos limitados não vazios (Ln ) tais que ∩Fn = ∅ e
∩Ln = ∅.
16 - Se X ⊂ R é um compacto cujos pontos são isolados, então X é finito. Dê um
exmeplo de um conjunto fechado ilimitado X e um conjunto limitado não fechado Y cujos
pontos são isolados.
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