1. Introdução
Definição: Parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano cujas distâncias entre
uma reta fixa, chamada de reta diretriz, e a um ponto fixo situado fora desta reta,
chamado de foco da parábola, são iguais.
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Lugar geométrico é uma figura cujos pontos e somente eles satisfazem
determinada condição. Se os pontos de um lugar geométrico pertencem a um plano,
dizemos lugar geométrico plano.
A teoria dos lugares geométricos é atribuída a Platão (427 – 347 a.C.).
Os gregos dividiam os lugares geométricos em três classes. Denominavam de
lugares geométricos planos a reta e a circunferência; de lugares geométricos sólidos
a elipse, hipérbole e parábola; e de lugares lineares as outras curvas não retas,
círculos e cônicas.
Bongiovanni et. All, Desenho geométrico para o 2ª grau, p. 78.
Todo ponto da parábola tem essa propriedade e todo ponto do plano que possui
essa propriedade é parábola.
Deduziremos a partir de sua definição a equação da parábola. Vamos antes
conhecer os elementos da parábola.
2. Elementos da parábola
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foco da parábola: é o ponto F;
reta diretriz: é a reta d;
eixo de simetria: é a reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz;
̅̅̅̅, isto é, 𝑚(𝐹𝑉
̅̅̅̅ ) =
vértice da parábola: é o ponto V, ponto médio do segmento 𝐹𝐷
̅̅̅̅).
𝑚(𝑉𝐷
Chamamos de corda de uma parábola um segmento de reta que une dois pontos
quaisquer e distintos da parábola. Em particular, uma corda que passa pelo foco é
chamada de corda focal. Uma corda focal perpendicular ao eixo de simetria é chamada de
lado reto da parábola.
Uma parábola não possui assíntotas verticais nem horizontais.
3. Equação reduzida da parábola
3.1. Equação da parábola de vértice na origem e eixo de simetria em um eixo
coordenado
Veremos que a equação de uma parábola toma sua forma mais simples quando seu
vértice está na origem e seu eixo de simetria coincide com um dos eixos coordenados. De
acordo com isto, consideremos a parábola cujo vértice está na origem e cujo eixo coincide
com o eixo Oy.
Então, o foco F está sobre o eixo Oy; sejam (0, p) suas coordenadas. Por definição
de parábola, a equação da reta diretriz é 𝑦 = – 𝑝. Seja P (x, y) um ponto qualquer da
parábola. Assim, pela definição de parábola temos:
𝑑(𝑃, 𝐹) = 𝑑(𝑃, 𝑑)
√(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 𝑝)2 = 𝑦 + 𝑝
(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 𝑝)2 = (𝑦 + 𝑝)2
2
𝑥 + 𝑦 2 − 2𝑝𝑦 + 𝑝2 = 𝑦 2 + 2𝑝𝑦 + 𝑝2
𝑥² = 4𝑝𝑦 𝑜𝑢 𝑥 = ±2√𝑝𝑦
Se p > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima. E se p < 0, a parábola
tem a concavidade voltada para baixo.
Veja a tabela abaixo:
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2
p>0
p<0
Se o vértice da parábola está na origem e seu eixo de simetria coincide com o eixo Ox, se
demonstra, analogamente, que a equação da parábola é
𝑦² = 4𝑝𝑥
𝑜𝑢
𝑦 = ±2√𝑝𝑥
Neste caso, se p > 0, a parábola tem a concavidade voltada para a direita. E se
p < 0, a parábola tem a concavidade voltada para a esquerda.
Veja a tabela abaixo:
p>0
p<0
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3.2. Equação da parábola de vértice distinto da origem e eixo de simetria
paralelo a um eixo coordenado
Agora, consideremos uma parábola com vértice num ponto V (x0, y0), diferente da
origem, e o eixo de simetria paralelo ao eixo coordenado Oy.
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Consideremos a distância entre V e F igual a p, isto é, 𝑑 (𝑉, 𝐹) = 𝑝 (1). Assim,
usando a fórmula da distância aplicada em (1), colocaremos y' de V (x0, y') em função de
x0, y0 e p.
𝑑(𝑉, 𝐹) = 𝑝
√(𝑥0 − 𝑥0 + (𝑦 − 𝑦 ′ )2 = 𝑝
√(𝑦 − 𝑦 ′ )2 = 𝑝
𝑦 ′ = 𝑝 + 𝑦0
)2
Seja um ponto P (x, y) um ponto qualquer da parábola. Então, pela definição de
parábola, temos:
𝑑(𝑃, 𝐹) = (𝑃, 𝑑)
2
√(𝑥 − 𝑥0 ) + (𝑦 − 𝑦 ′ )2 = (𝑦 − 𝑦0 ) + 𝑝
√(𝑥 − 𝑥0 )2 + 𝑦 − (𝑝 + 𝑦0 )) = (𝑦 − 𝑦0 ) + 𝑝
2
(𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑦 − (𝑝 + 𝑦0 )) = ((𝑦 − 𝑦0 )2 + 𝑝)²
Resolvendo os produtos notáveis e simplificando a equação acima, obtemos:
(𝑥 − 𝑥0 )2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑦0 )
De forma análoga, demonstramos que equação da parábola com vértice V(x0, y0)
distinto da origem e com eixo de simetria paralelo ao eixo Ox é dada por
(𝑦 − 𝑦0 )² = 4𝑝(𝑥 − 𝑥0 )
Assim como nas equações anteriores, o sinal de p influencia da mesma maneira no
comportamento do gráfico das parábolas.
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4. Como construir uma parábola
Um processo simples para construir uma parábola consiste em se obter pontos da
curva situados em retas paralelas à diretriz.
1. Traçam-se as retas r1, r2 e r3 paralelas à diretriz;
5
2. Com centro em F e
pontos P1 e P'1;
3. Com centro em F e
pontos P2 e P'2;
4. Com centro em F e
pontos P3 e P'3;
5. Continuando com
parábola.
raio A1D traça-se o arco de circunferência que intercepta r1 nos
raio A2D traça-se o arco de circunferência que intercepta r2 nos
raio A3D traça-se o arco de circunferência que intercepta r3 nos
o processo podemos obter quantos pontos quisermos da
Para determinar qualquer cônica, inclusive a parábola, é necessário apenas saber
três de seus pontos.
Agora é sua vez!
Tente construir uma parábola no Geogebra seguindo os passos acima. Lembramos
que para definir uma parábola, basta conhecer apenas 5 (cinco) pontos que pertencem a
mesma.
Após encontrar esses cinco pontos, utilize a ferramenta “Cônica definida por cinco
pontos”.
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5. Aplicação das Parábolas
“(...) Por que as antenas que captam sinais do espaço são parábolas? Por que os
espelhos dos telescópios astronômicos são parabólicos?
Nos dois exemplos acima, os sinais que recebemos (ondas de rádio ou luz) são
muito fracos. Por isso é necessário captá-los em uma área relativamente grande e
concentrá-los em um único ponto para que sejam naturalmente amplificados.
Portanto, a superfície da antena (ou do espelho) deve ser tal que todos os sinais
recebidos de uma mesma direção sejam direcionados para um único ponto após a
reflexão.
A antena ideal deve
dirigir todos os sinais
recebidos ao ponto F.
A parábola possui exatamente essa propriedade e, por isso, as antenas
e os espelhos precisam ser parabólicos (...)”.
Eduardo Wagner, Revista do Professor de Matemática, nº 33, pp. 10 a 13, 1997.
Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Faculdade de Educação da Baixada Fluminense
Material elaborado por:
Rodrigo Ramos de Souza
Rio de Janeiro
Dezembro / 2011
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