MENSAGEM FINAL
Um dia eu tive um sonho...
Sonhei que estava andando na praia com o Senhor
e no céu passavam cenas da minha vida. Para cada cena
que passava, percebi que eram deixados dois pares de pegadas
na areia: um era meu e o outro era do Senhor.
Quando a última cena da minha vida passou diante de nós,
olhei para trás, para as pegadas na areia, e notei que
muitas vezes, no caminho da minha vida, havia apenas um par
de pegadas na areia.
Notei também que isso aconteceu nos momentos mais difíceis
e angustiantes da minha vida. Isso aborreceu-me deveras
e perguntei então ao meu Senhor:
Senhor, tu não me disseste que, tendo eu resolvido te seguir,
Tu andarias sempre comigo, em todo o caminho? Contudo,
notei que durante as maiores atribulações do meu viver,
havia apenas um par de pegadas na areia. Não compreendo
por que nas horas em que eu mais necessitava de ti,
tu me deixaste sozinho?
O Senhor me respondeu:
Meu querido filho, jamais eu te deixaria nas horas da prova
e do sofrimento. Quando vistes na areia, apenas um par
de pegadas, eram as minhas. Foi exatamente aí
que te carreguei nos braços.
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MENSAGEM INICIAL
O JOVEM INFELIZ
(Melcíades Brito)
Um jovem triste queria saber onde encontrar a felicidade. Contrariando seus
pais, decidiu sair pelo mundo à sua procura. Partiu para lugar distante, na
expectativa de encontrá-la.
Chegou numa cidade desconhecida e logo encontrou um velho doente, que
estava sendo levado numa padiola para um hospital, a quem perguntou: Senhor,
onde está a felicidade? O doente, fitando-o surpreendido, apontou para o hospital e
disse: bem ali, meu filho, bem ali.
Adiante, encontrou um casal que se despedia, visto que o homem partia
para uma longa viagem. Perguntou: Senhor, onde está a felicidade? O homem,
apontando para o seu lar disse: bem ali, meu jovem, bem ali.
Mais na frente, deparou-se com um moço desempregado que caminhava nas
proximidades de próspera indústria. Aproximou-se e perguntou: moço, onde está a
felicidade? O desempregado, apontando para a indústria, disse: bem ali,
companheiro, bem ali.
Seguiu adiante e viu um grupo de pessoas que cantavam e sorriam
distraidamente. Aproximando-se de um desconhecido, que, sozinho e sem amigos,
observava o grupo à distância, fez a mesma pergunta: amigo, onde está a felicidade?
A pessoa interrogada, apontando para o grupo que cantava disse: bem ali, meu
colega, bem ali.
Andou um pouco mais e deparou-se com um prisioneiro que acenava-lhe com
as mãos por trás das grades de uma cadeia. Perguntou: irmão, onde está a
felicidade? O prisioneiro, apontando para a rua, onde muitos transitavam
livremente, disse: bem ali, camarada, bem ali.
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O jovem não se conformou. Ele queria algo diferente. Saúde, lar, emprego,
11) (qoj) (x)
12) j (q(x))
13) f (t(x))
14) t (f(x))
amigos, liberdade, tudo isso ele possuía e não se sentia feliz. Permaneceu ali algum
tempo, meditativo e tristonho.
Meses depois, retornou à sua cidade, sem alcançar o intento de encontrar a
felicidade. Ao aproximar-se do local onde residia, uma surpresa desagradável o
esperava. O imóvel, com todos os seus pertences, havia sido destruído por um
incêndio. Entristecidos, os moradores daquele lar, haviam deixado a cidade, com
destino ignorado.
O coração do jovem bateu mais forte. Sentiu uma angústia profunda,
remorso, insegurança e medo. Aflito, chorou, desejando muito que tudo aquilo não
passasse de uma ilusão. Sozinho, sentado sobre os escombros e cinzas daquela que
era sua moradia, sentiu saudades.
Recordou seu passado, sua infância, suas brincadeiras, seus amigos, sua
família, seus pertences. Veio-lhe à mente, então, tudo aquilo que disseram os
entrevistados de sua peregrinação pela cidade desconhecida. Todos haviam perdido
alguma coisa e, nessa coisa perdida, estava a felicidade. Compreendendo a verdade
do que eles afirmaram, escreveu com os dedos sobre as cinzas: “A felicidade morava
bem aqui, só eu que não via”.
15) (toj) (x)
Conclusão:
Goste da vida, do que é seu, do espaço que você ocupa no mundo. Veja
nisto um presente de Deus. Aceite-o.
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HISTÓRICO
77. Dadas as funções cujas leis de formação são:
q(x) = x
t(x)
f(x) = 3x + 4
g(x) =
2x 1 se x 2
3x se x 2
x
4
3
j(x)
h(x) = x2 + 1
2x 3 se x 4
4x 1 se x 4
RENNÉ DESCARTES (1596 – 1650)
v(x) = 5
René DESCARTES nasceu em La Haye, França,
formando-se em Direito,
mas seu grande interesse foi
sempre a Filosofia e a Matemática. Descartes ficou conhecido
como o “Pai da Filosofia Moderna”, por seu tratado Discurso
Obtenha a lei de formação das compostas
do Método, escrito em 1637, onde pregava a universalidade
1) (fohof) (x)
2) f (g(h(x)))
da razão.
Na
Matemática,
Descartes
criou
a
Geometria
Cartesiana, que pode ser vista como a aplicação da geometria
e da
3) f (g(x))
4) g (f(x))
DESCARTES
álgebra à geometria, teoria que deu origem ao que conhecemos hoje por
Geometria Analítica. Nela, Descartes introduz a noção de coordenadas, com dois
eixos que se cruzam num ponto, a origem do sistema. Esta noção evoluiu para o que
hoje conhecemos como Plano Cartesiano. Aliás, cartesiano vem de “Cartesius”,
tradução latina do nome Descartes.
5)(fov) (x)
6) (vof) (x)
Foi com René Descartes que surgiu a Geometria Analítica.
Fixando as bases de seu trabalho em dois eixos fixos, que se interceptam em
um ponto, Descartes escreveu La Géometrie, na qual introduz a noção de
7) (qog) (x)
8) (goq) (x)
coordenadas.
Considerando duas grandezas relacionadas entre si, representou uma
delas sobre um dos eixos e a outra sobre o outro eixo; construindo, por meio de
paralelas, os outros dois lados, completou a figura de um paralelogramo, definindo e
9) (vot) (x)
10) (tov) (x)
caracterizando um ponto do plano. Mostrou, a seguir, que a relação entre as
grandezas pode ser representada por uma curva bem definida, ao mesmo tempo que
demonstrava que a cada curva correspondia uma equação e que a equação de uma
curva permitia o estudo das propriedades dessa curva.
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Todo seu trabalho consistia, então, em partir de um problema geométrico,
73. Sejam f e g funções reais tais que g(x) = -4x + 2 e g(f(x)) = -12x – 18. Obtenha f(x).
traduzi-lo para uma linguagem de equação algébrica e, simplificando o máximo essa
equação, resolvê-la geometricamente. Sua obra La Géometrie se caracteriza, então,
por uma completa aplicação da Álgebra à Geometria e da Geometria à Álgebra.
A utilização do método cartesiano contribuiu decisivamente para o progresso
das ciências. As representações cartesianas de fenômenos como a variação da
temperatura de um doente, ou a oscilação dos valores das ações na Bolsa, que nos
74. Sabendo que f(x) = 3x + 5 e g(f(x)) = 3x + 3, obtenha g(x).
permitem avaliar, por um exame simples das curvas representadas num sistema de
eixos coordenados, a marcha de uma transformação e prever seu desenvolvimento,
com certa precisão, mostram, entre outros exemplos, a importância do método de
Descartes para o desenvolvimento dos conhecimentos humanos.
75. Dados f(x)=3x + 1 e gof(x) = 5x + 2, obter g(x).
76. Dados f(x) = 3x -1 e f(g(x)) = 6x + 8, calcular g(x).
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69. Sendo f(x) = 3x - 2 e g(x) = 2x + 1, calcule f(g(2)) e g(f(-1)).
70. Sabendo que f(x) = 2x - 5 e g(x) = 3x + m, determine m de modo que f(g(x)) = g(f(x)).
71. Sabendo que f(x) = x2 + 1 e g(x) = f(x + 1) – f(x), calcule g(f(x)).
72. Se f: IR
IR é da forma f(x) = ax + b e verifica f(f(x)) = x + 1 para todo x real, então a e b
valem, respectivamente:
a) 1 e 1/2
b) -1 e 1/2
c) 1 e 2
d) 1 e -2
e) 1 e 1
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7
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6)
Designemos por:
fC = FUNÇÃO CRESCENTE
Então:
7)
fD = FUNÇÃO DECRESCENTE
(fC) o (fC) = fC
(fC) o (fD) = fD
(fD) o (fD) = fC
(fD) o (fC) = fD
Designemos por:
fP = FUNÇÃO PAR
Então:
fI = FUNÇÃO ÍMPAR
(fP) o (fP) = fP
(fI) o (fP) = fP
(fP) o (fI) = fP
(fI) o (fI) = fI
EXERCÍCIOS
67. Dados f(x) = x2 - 4 e g(x) = 2x + 1, calcule f(g(x)) e g(f(x)).
68. Dadas as funções f(x) = x2 + 1 e g(x) = 3x - 1, calcule f(f(x)) e g(g(x)).
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g
Note que: Dgof = Df
CDgof =
CDg
Observações:
1)
A composição de funções não é comutativa.
f e g | fog ≠ gof
2)
ÍNDICE
A composição de funções não é anti-comutativa.
f e g | fog = gof
3)
Se as funções f e g forem inversas entre si a composição comuta e a função
composta em qualquer ordem será sempre igual à função identidade.
Se f = g-1
4)
(fog)(x) = (gof)(x) = x
A função identidade, f(x) = x, é o elemento neutro da composição de
funções.
Se f (x) = x então f(g) = g(f) = g
5)
Se uma das funções da composição é função constante a função composta é
constante.
Página
01 - O plano cartesiano
11
02 - Simetrias no plano cartesiano
17
03 - Produto cartesiano
21
04 - Relações binárias
28
05 - Relações binárias entre conjuntos densos
35
06 - Relação inversa de uma relação binária
40
07 - Noções de função
45
Se f(x) = k então f(g(x)) = f(x) = k e g(f(x)) é constante
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65. Seja f uma função par, se k
de x é:
Df e sabendo que f(k) = 3x + 1 e f(-k) = x + 5, então o valor
66. Seja f uma função ímpar, e k um elemento de domínio da função, se nesta função
f(k) = 3x + 4 e f(-k) = -x + 10 o valor absoluto de x é:
07. COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES (FUNÇÃO COMPOSTA)
Considere as funções f: A
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10
B e g: B
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C representadas por diagrama sagital:
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RELAÇÕES BINÁRIAS
61. Seja a função f : IR - {a}  IR - {b} dada por f(x) = 3x 2 . Determine os valores de a e b
-x
para que exista sua inversa.
1
01. O PLANO CARTESIANO
Consideremos um plano euclidiano determinado por duas retas reais concorrentes
e perpendiculares em suas respectivas origens.
62. Em uma função f estritamente crescente f(2x + 1) > f(x + 9). Determine os possíveis
valores de x.
63. Em uma função f estritamente decrescente f(2x + 1) > f(x + 9). Determine os possíveis
valores de x.
Este plano assim obtido será definido como sendo o plano cartesiano.
 PAR ORDENADO
A noção (idéia) de par ordenado será aqui adotada como conceito primitivo:
Considere dois números reais quaisquer escritos entre parênteses, separados por
vírgula, numa determinada ordem, satisfeitas tais condições teremos um par ordenado.
64. Em uma função f injetora f(3x + 4) = f(x + 6). Calcule os possíveis valores de x.
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Dois pares ordenados são iguais entre si, se e somente se, tiverem as coordenadas
respectivamente iguais (abscissas iguais e ordenadas iguais).
 CORRESPONDÊNCIA BIUNÍVOCA DE D’ESCARTES
58. Dada uma função f bijetora, definida por f(x) = 3x 1 obtenha a lei de formação da sua
-x
inversa.
4
59. Qual a lei de formação da função inversa da função dada por f(x) = 2x - 4 .
-x
IR
YP
2
y (EIXO DAS ORDENADAS}
.
(ORIGEM) 0
.
.
P
x (EIXO DAS ABSCISSAS)
XP
IR
60. Verifique se a função dada por f(x) = 3x
x
4 pode ser inversível, e em caso afirmativo,
1
defina-a para que seja, assim como sua inversa.
Cada ponto do plano cartesiano está associado a um único para ordenado
e cada par ordenado está associado a um
único ponto do plano cartesiano.
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c)
Pontos distintos no IR2 estão associados a pares ordenados diferentes e pares
ordenados iguais estão associados a pontos coincidentes.
 PROPRIEDADES DOS QUADRANTES
d)
e)
f)

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PROPRIEDADES DOS EIXOS COORDENADOS
h) h(x) = 3x2 + 2x - 1
Todo ponto do eixo das
abscissas tem ordenada
igual
a
zero
e,
reciprocamente, todo ponto
de ordenada nula está no
eixo das abscissas.
57. Em cada caso abaixo é dado o gráfico de uma função f sobrejetora, caso seja inversível,
obter o gráfico de sua respectiva função inversa:
a)
Todo ponto do eixo das ordenadas tem abscissa igual a zero e,
reciprocamente, todo ponto de abscissa nula está no eixo das
ordenadas.
 PROPRIEDADES DAS BISSETRIZES DOS QUADRANTES
b)
Todo ponto da bissetriz dos quadrantes
ímpares (1º e 3º, quadrantes) tem ordenada
igual à abscissa e, reciprocamente, todo
ponto de coordenadas iguais está na
bissetriz dos quadrantes ímpares.
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b) f(x) =
3x
4
2
c) f(x) =
3
4x 1
d) g(x) =
4x 3
4x 1
e) g(x) =
2x 1
3x 4
Todo ponto da bissetriz dos quadrantes
pares (2º e 4º quadrantes) tem ordenada
igual
ao
oposto
da
abscissa
e,
reciprocamente, todo ponto de coordenadas
simétricas está na bissetriz dos quadrantes
pares.
EXERCÍCIOS
01. Entre os pontos A(0, 7), B(3, 3), C(-2, 0), D(-1, -1), E ( 3 , 0), F(-4, 4), G(0, - 2 ),
H
1 1
e I(0, 0).
,
2 2
a) quais estão no eixo 0x?
f) g(x) = x2 - 3
b) quais estão no eixo 0y?
c) quais estão na bissetriz dos quadrantes ímpares?
3
g) h(x) = 4x + 1
d) quais estão na bissetriz dos quadrantes pares?
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02. Representar no plano cartesiano os pontos A(4, 3), B(-2, 5), C(-4, -2), D(3, -4), E(2, 0)
e F(0, 3).
 REGRA PRÁTICA PARA DETERMINAÇÃO DA LEI DE FORMAÇÃO
DA FUNÇÃO INVERSA
Para obter a função inversa de uma função f(x), basta reescrever f permutando as
variáveis x e y e expressar y em função de x.
Vejamos qual é a inversa da função y = 2x – 1.
Trocando x por y e y por x, temos:
x 1
.
2
x 1
Então, a inversa de y = 2x – 1é y
.
2
X = 2y – 1
2y = x + 1
y
Os gráficos de uma função e de sua inversa são simétricos em relação à
bissetriz dos quadrantes ímpares (1° e 3°) do plano cartesiano:
03. Dizer qual é o quadrante onde são representados os pontos:
a) ( 2 , - 3 )
b) ( -
1
2
)
,
2 2
c) (2 -
2,1- 2)
EXERCÍCIOS
56. Considere bijetoras as funções cujas leis de formação são dadas a seguir, obtenha as leis
de formação de suas inversas:
a) f(x) = 2x + 1
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PROCESSO PARA DETERMINAR A FUNÇÃO INVERSA DE UMA
FUNÇÃO BIJETORA DADA
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 6, 8, 10}, consideremos a função
f = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)} de A em B.
Esquematizando, temos:
f = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}
AxB
f-1 = {(2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4), (10, 5)}
BxA
02. SIMETRIAS NO PLANO CARTESIANO
 Simetria em Relação ao Eixo
das Abscissas
 Simetria em Relação ao Eixo
das Ordenadas.
Ex.: Obter o Simétrico do ponto (4, 3)
em relação ao eixo dos x.
Ex.: Obter o Simétrico do ponto (4, 3) em
relação ao eixo dos y.
 RELAÇÃO ENTRE O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO BIJETORA E O
GRÁFICO DE SUA INVERSA
O ponto (x; y) está no
gráfico de se, e só se, o ponto (y;
x) estiver no gráfico
de -1.
Isto significa que os dois gráficos
apresentam simetria axial em
relação à bissetriz do 1º e
3º
quadrantes do sistema cartesiano.
Df = CDf-1 = If-1 = [-3; 2]
Df-1 = CDf-1 = If-1 = [1; 5]
 Conclusão: Pontos Simétricos em
relação ao eixo das abscissas possuem
abscissas iguais e ordenadas simétricas.
 Conclusão: Pontos Simétricos em
relação ao eixo das ordenadas possuem
abscissas simétricas e ordenadas
iguais.
f e f-1 são bijetoras
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 Simetria em Relação à Bissetriz dos
Quadrantes ímpares.
 Simetria em Relação à Bissetriz dos
Quadrantes pares.
Ex.: Obter o Simétrico do ponto
(4, 3)
em relação à bissetriz dos quadrantes
ímpares
Ex.: Obter o Simétrico do ponto
(4, 3)
em relação à bissetriz dos quadrantes pares.
 Conclusão: Pontos Simétricos em
relação à bissetriz dos quadrantes ímpares
possuem coordenadas permutadas.

06. INVERSÃO DE FUNÇÕES
 CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DA INVERSA
A condição para que exista a função inversa de f é que f seja bijetora. Observe que
somente quando a função é bijetora é que existe função inversa.
 Conclusão: Pontos Simétricos em
relação à bissetriz dos quadrantes pares
possuem coordenadas permutadas e
simétricas.
Simetria em Relação à origem do
plano cartesiano.
Ex.: Obter o Simétrico do ponto (4, 3)
em relação à origem do IR2.
Se f: A
 Conclusão: Pontos Simétricos em relação à origem do plano cartesiano possuem
Coordenadas Simétricas.
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f-1 : B
B é bijetora
-1
-1
A = {(y,x) | (x,y)
f}
-1
Df = CDf = If
e CDf = If = Df
1
f é inversível ou invertível
f 1
f
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EXERCÍCIOS
EXERCÍCIOS
53. Classifique as funções abaixo quanto à paridade, supondo que seus extremos de domínio
são simétricos.
a)
f(x) = x8
b)
f(x) = x7
c)
f(x) =
d) f(x) =
3
x4
x4
x 7 x3
g) f(x) = (x4 – x6). x9
e) f(x) = x4 + 7
h) f(x) = x2 + x4 + 7
f) (x) = x3 + x6
i)f(x) =
x5
. x2
x4 1
04. Analise as afirmações:
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
A ordenada de um ponto é a sua projeção ortogonal sobre o eixo das ordenadas.
Todo ponto no eixo das abscissas tem ordenada nula.
A distância de um ponto ao eixo das abscissas é igual ao módulo da sua ordenada.
Todo ponto de terceiro quadrante possui coordenadas negativas.
Todo ponto na bissetriz dos quadrantes pares possui coordenadas simétricas.
05. Determine o maior valor de k para que o ponto P(2k 2 - k ; -1) pertença à bissetriz dos
quadrantes pares.
7
06. (Cescem-SP) O ponto (a, -b) pertence ao segundo quadrante. Os pontos (-a; b) e (-a, -b)
pertencem respectivamente, aos quadrantes:
a) 3ºe 1º
b) 3º e 4º
c) 4º e 1º
d) 2º e 4º
e) 1º e 3º
54. (UNICAP/Mat II) Sejam f e g duas funções não-nulas.
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
Se f é
Se f é
Se f é
Se f é
Se f é
ímpar e g é ímpar, então f . g é ímpar.
par e g é ímpar, então f + g é ímpar.
ímpar e g é ímpar, então f - g é ímpar.
par e g é par então f . g é par.
ímpar e g é ímpar então g : f é par.
07. Qual a amplitude do intervalo ao qual pertencem os valores de x que obrigam o ponto
P(2x - 4; 5x - 15) a pertencer ao quarto quadrante.
55. (COVEST/MAT-I) Seja f uma função contínua definida no conjunto dos números reais.
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
Se f
Se f
Se f
Se f
Se f
é par jamais f será injetora.
é função par, f é simétrica em relação à bissetriz dos quadrantes pares.
é injetora então f não é par.
é estritamente crescente então f é uma função ímpar.
é uma função bijetora então f pode ser uma função par.
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08. Calcule x e y de modo que (5x + 2y, 2x + y) = (12, 5).
Algebrismo da paridade de funções monomiais.
 Sejam f e g duas funções monomiais de mesmo domínio com extremidades simétricas e
não-nulas:
feg
f+g
f-g
f.g
f:g
par
par
par
par
ímpar
ímpar
par
par
f é par
não-par
não-par
e
g é ímpar
e
não-ímpar
e
não ímpar
ímpar
ímpar
f é par
e
g é par
f é ímpar
e
g é ímpar
09. Analise as afirmações:
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
O ponto P(k2 - 3k ; 6) pertence ao eixo das ordenadas se k = 3.
O ponto P(-1 ; k2 - 4) pertence ao eixo das abscissas se e somente se k = 2.
O ponto (2 3 ; -1) está no 4º. Quadrante e sua distância ao eixo das abscissas é 2 3
O ponto P(2x - 4 ; 5x - 1) pode pertencer ao quarto quadrante.
Pontos que possuem ordenadas iguais sempre estão numa mesma reta paralela ao
eixo das ordenadas.
Observações:
I) Quando adicionamos ou subtraímos funções de mesma paridade, a
paridade se mantém. Se as funções tiverem paridade contrárias
resultará numa função não-par e não ímpar.
10. Sobre o ponto P(- 2 ; ) é correto afirmar que:
II) Quando multiplicamos ou dividimos funções de mesma paridade o
0
0
Seu simétrico em relação ao eixo das abscissas é o ponto ( 2 ; - ).
resultado será uma função par. Se tiverem paridades contrárias
1
1
Seu simétrico em relação ao eixo das ordenadas é o ponto (- 2 ; ).
resultará numa função ímpar.
2
2 Seu simétrico em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares é o ponto (- ;
3
3
Seu simétrico em relação à origem do plano cartesiano é o ponto ( ; - 2 ).
4
4
Seu Simétrico em relação à bissetriz dos quadrantes pares é (- 2 ; - ).
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2 ).
III) A única função simultaneamente função par e ímpar é a função
nula, f(x) = 0, definida a extremos de domínios simétricos.
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
Logo as mesmas podem ser classificadas quanto à paridade, se seus extremos de
domínio forem simétricos, observando-se apenas seus expoentes.
f (x) = kxn
Expoente par
função par
Expoente ímpar
função ímpar
03. PRODUTO CARTESIANO
Dados dois conjuntos A e B definiremos como sendo o produto cartesiano entre A e B
o conjunto A X B (A cartesiano B) cujos elementos são todos os pares ordenados possíveis de
ser obtido com abscissa elemento de A e ordenada elemento de B.
Segundo fator do produto cartesiano (fornece as ordenadas)
A X B = {(x, y) x
Aey
B}
Primeiro fator do produto cartesiano (fornece as abscissas)
Observe as figuras:
 FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DO PRODUTO CARTESIANO
A = {1; 2; 3} e B = {1; 2; 3; 4} vamos representar A X B.
Neste caso fixamos o valor de k (k = 1) e
variamos o expoente n = 1, 2, 3, 4, 5.
Álgebra | Caderno 02
Neste caso fixamos o expoente n (n = 1) e
variamos o coeficiente k = 1, 3, -3.
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 PROPRIEDADE DO PRODUTO CARTESIANO
P1) O PRODUTO CARTESIANO NÃO É COMUTATIVO
Se A ≠ B
Paridade das Funções Monomiais
AXB ≠ BXA
f(x) = kxn
k
Dados A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e B { 3, 4, 5, 6,}, representar graficamente A X B e B X
IR* e n
IN*
A.
Como A X B = {(x, y) x A e y B}, o gráfico de A X B é formado pelos pontos cujas
abscissas são elementos de A e cujas ordenadas são elementos de B.
O gráfico de B X A = {(x, y) x B e y A} é formado pelos pontos que têm abscissas
em B e ordenadas em A.
 Estas funções apresentam seis possibilidades de gráficos dependendo dos valores de k
e n.
n=1
n par
n ímpar (n ≠ 1)
k>0
P2) SE OS FATORES FOREM IGUAIS TEREMOS UM QUADRADO CARTESIANO (A ORDEM
DOS FATORES NÃO ALTERA O PRODUTO)
Se A = B
A X B = B X A = A2 = B2
K< 0
P3) SE UM DOS FATORES FOR O CONJUNTO VAZIO O PRODUTO CARTESIANO SERÁ O
CONJUNTO VAZIO (A ORDEM DOS FATORES NÃO ALTERA O PRODUTO)
Se A =
Álgebra | Caderno 02
OU B =
AXB=BXA =
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g)
h)
P4) O CARDINAL DO PRODUTO CARTESIANO É IGUAL AO PRODUTO DO CARDINAL DOS
FATORES (SE OS FATORES FOREM CONJUNTOS FINITOS)
n(A X B) = n(A) . n(B) = n(B X A)
 PRODUTO CARTESIANO DE CONJUNTOS DENSOS
i)
j)
EXEMPLO 1:
Vamos estudar como se representa, no plano
cartesiano, A X B quando
A ={ x
B={y
IR 1 x 4} e
IR 2 y 5} ;
Como A e B são intervalos, o produto
cartesiano, neste caso, será o conjunto dos pontos
do plano hachurado da figura.
l)
m)
EXEMPLO 2:
n)
Álgebra | Caderno 02
o)
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A = {x
IR
1
x
5} e B = IR
Resolução:
As abscissas dos pares ordenados de A X B são
todos os números reais de 1 até 5 e as ordenadas
são todos os números reais.
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52. Dados os gráficos abaixo, classifique a função quanto à paridade:
EXEMPLO 3:
A = {X
IR 1
x
a)
b)
c)
d)
e)
f)
4} e B = {1, 2}
EXERCÍCIOS
11. Represente graficamente os produtos cartesianos abaixo:
a) {1, 2, 3} x {1, 2, 3, 4}
b) {-3, -1, 0} x {3, 4, 5}
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 CONCLUSÃO
c) [1; 4] x [2;
13 ]
No gráfico de uma função par, dois pontos de abscissas simétricas, x, e -x têm a
mesma ordenada y = f(x) = f(-x). Por isso, o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
No gráfico de uma função ímpar, dois pontos de abscissas simétricas, x e -x, têm
ordenadas simétricas y = f(x) e -y = -f(x). Por isso o gráfico é simétrico em relação à origem
do sistema cartesiano.
d) ] -3; -1/2 [ x [2; 3[
e)
{ [-4; -1]
[ 2 ; 3]
} x [1; 7/2 [
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE:
Uma função cujo gráfico não satisfaz nenhuma das condições acima, não é função
par nem função ímpar, logo podemos definir a mesma como uma função não-par e nãoímpar.
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f) [3; 5] x
( ] -2; -1 [
[2; 6[ )
 FUNÇÃO ÍMPAR
Uma função f com intervalo de domínio a extremos simétricos é uma função ímpar,
se e somente se, elementos simétricos de domínio possuírem imagens simétricas.
Exemplo:
f: [- 2 ; 2 ]
IR
f(-1) = -2
e f(1) = 2
1
1
f
= -1 e f
=1
2
2
f(x) = 2x
g) {1, 2, 3, 4} x {-2, -1, 0, 1, 2}
f é função ímpar
x
Df
f(x) = -f(-x)
 No gráfico de uma função ímpar, os pontos que têm abscissas x e -x são sempre simétricos
em relação à origem do sistema cartesiano.
h) [1; 4] x {2; 3}
O gráfico de uma função ímpar é
simétrico em relação à origem do
plano cartesiano.
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 FUNÇÃO PAR
i) {1, 2, 3} x [-4; - 2 [
Uma função f com intervalo de domínio a extremos simétricos é uma função par, se e
somente se, elementos simétricos de domínio possuírem imagens iguais.
Observe o exemplo:
f: [-2;2]
IR
f(-2) = f(2) = 4 e f(-1) = f(1) = 1
f(x) = x2
j) ( [-4; -1]
f é função par
x
Df
f(x) = f(-x)
{1,2,3,4} ) x ({-3, -2, -1}
] 2;5[ )
y
 Como os pares ordenados de qualquer função par têm sempre a mesma ordenada para
valores simétricos do domínio, os pontos do gráfico de qualquer função par são sempre
simétricos em relação ao eixo das ordenadas
x
O gráfico de uma função par é
simétrico em relação ao eixo das
ordenadas.
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g) h: [-4;4]
04. RELAÇÕES BINÁRIAS
[-2;2]
h) h: IR
IR
Dados dois Conjuntos A e B , estabelecer uma relação binária entre A e B é
determinar um certo subconjunto de A x B que obedeça a uma lei de formação dada :
R:A
B = { ( x,y)
AxB|xRy}
 REPRESENTAÇÃO DAS RELAÇÕES
Exemplo 1:
Dados os conjuntos A = {0,1,2,3} , B = {1,2,3,5,6} e a Relação Binária
R= { ( x,y) A x B | y= x + 1 } , podemos representar esta relação R das seguintes formas :
Efetuando o produto cartesiano A X B e determinando os pares que tornam
verdadeira a lei de formação teremos:
05. PARIDADE DAS FUNÇÕES
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c) f: [a;b] – {e;f}
[c;d]
d) f: [a;b]
[c;d]
Exemplo 2:
Considere a relação R de A em B, descrita pelo diagrama a seguir.
e) g: [-4;4]
IR
f) g: ]-3;4] – {2}
[-2;4]
Exemplo 3:
Sejam : A = {-2; 3; 5},
Temos: R = {(-2; 4), (-2; 6), (-2; 8), (3;
6)},
B = {-1; 1; 4; 6; 8} e
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D(R) = {-2; 3}
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e
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R = {(x; y)
A x B x é divisor de y}.
Im(R) = {4; 6; 8}
b)
d)
e)
f)
 CONSIDERAÇÕES FINAIS
1) Toda relação binária é subconjunto (PARTE) de um produto cartesiano.
(R: A
2) Existem tantas relações R: A
B)
(A X B)
B quantos forem os subconjuntos de A X B
n (R: A
B) = 2n(A X B)
51. Dados os gráficos abaixo, classifique as funções quanto à tipologia:
a) f: [a;b]
[c;d]
b) f: [a;b]
{c}
EXERCÍCIOS
12. Dados dois conjuntos A = {-2, -1, 0, 1, 2 }
R = {(x, y) A X B y = x + 2}. determine:
e B = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} e a relação
a) a relação R por extensão;
b) conjunto domínio e conjunto imagem;
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FUNÇÃO BIJETORA (FUNÇÃO BIJETIVA)
Uma função
:A
d) gráfico cartesiano;
c) diagrama de flechas;
B é bijetora se, e somente se, é injetora e sobrejetora.
Função bijetora
f é sobrejetora
e
f é injetora
f é bijetora
Observe que:
Não existe elemento de B que não seja imagem de um elemento de A (f é
sobrejetora).
Cada elemento de B é imagem de um único elemento de A (f é injetora). Neste caso,
quando a função f é, ao mesmo tempo, sobrejetora e injetora, dizemos que f é uma função
13. Dados os conjuntos M= {-2, -1, 0, 1, 2, 3} e N = {-1, 0, 2, 3, 5} e a relação
R = {(x, y) M x N y = x2 - 1} determine:
a) pares ordenados da relação R;
bijetora.
EXERCÍCIOS
b) conjunto domínio e conjunto imagem.
50. Os seguintes diagramas representam funções f de A em B. Classifique, em cada um dos
casos a função quanto ao tipo de aplicação:
a)
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b)
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c) diagrama de flechas;
d) gráfico cartesiano.
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x 1
} e os conjuntos E = { -3, -1, 1, 3, 5} e
2
F = { -1, 0 , 1 , 3, 5 } , determine a relação R pelos método da extensão.
14. Considerando a relação R = {(x,y)
ExF
y=
Neste caso, dizemos que a função f é injetora.
Graficamente, uma função
injetora fica caracterizada
pelo seguinte fato: toda reta
paralela ao eixo x que passa
pelas imagens da função corta
o seu gráfico em apenas um
ponto. Isso quer dizer que não
existem em f pares ordenados
com ordenadas iguais.
15. Dados os conjuntos A = {1, 5, 9, 13, 15} e B = {0, 2, 4, 6, 8} e a relação
R= {(x,y)
B x A y = 2x + 1}, determine o conjunto domínio e o conjunto imagem da
relação.
FUNÇÃO SOBREJETORA (FUNÇÃO SOBREJETIVA)
Uma função
16. Considerando a relação R: I
J = {(x,y) | y = x2 } e os conjuntos I = {-2,-1,0,1,2,3} e
J = {-1,0,1,2,3,4}, represente a relação na forma diagramática.
:A
B é sobrejetora se, e somente se, Im(f ) = B, onde B é CD ( ):
Função Sobrejetora
f:A
B é sobrejetora
Im(f ) = CDf
Observe que:
Não existe elemento de B que não seja imagem de um elemento de A, isto é, chegam
flechas em todos os elementos de B. O conjunto imagem é igual ao contradomínio da função.
Neste caso, dizemos que a função é sobrejetora.
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04. TIPOLOGIA DAS FUNÇÕES
17. Considerando a relação R= {(x,y) A x B y=3x + 1} e os conjuntos A= { -1; 0; 1; 2 } e
B = {-2; -1; 0; 1; 4; 6}, faça a representação analítica da relação.
FUNÇÃO INJETORA (FUNÇÃO INJETIVA)
Uma função
domínio de
: A B é injetora se, e somente se, elementos diferentes quaisquer do
possuem imagens diferentes.
18. Represente as seguintes relações por extensão:
x1
Função Injetora
x2
f (x1) f (x2)
a) R = {(x, y)
IN x IN 2x + y = 10}
b) S = {(x, y)
IN x IN x2 + y2 = 25}
Observe que:
Não existe elemento B que seja imagem de mais de um elemento de A, isto é, em
cada elemento de B que é imagem de um elemento de A chega apenas uma flecha.
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19. Se R = {x, y)
IN2 x + y = 10} e S = {(x, y)
IN2 x - y = 2}, determine R
S.
20. Dadas as relações binárias R: IN
IN = {(x, y) x2 + y = 5} e (S IN2) = {(x, y)
calcule as relações abaixo, representando-as pelo método da extensão:
a) R
e)
x + y = 3},
S
f)
b) R
S
c) R - S
d) S - R
21. Sejam dois conjuntos A e B tais que n(A) = 3 e n(B) = 2. Quantas relações binárias de A em
B podem ser definidas?
g)
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b)
05. RELAÇÕES BINÁRIAS ENTRE CONJUNTOS DENSOS
Exemplos:
Exemplo 1:
Dados os intervalos A = ] -2; 4] e B = [0; 3[
Considere, agora, a relação R de A em B:
R = {(x, y)
c)
A x B y = x + 1}
Como não podemos enumerar os infinitos pares ordenados de A x B, pois A e B são
conjuntos densos, devemos construir um gráfico para representar a relação R:
Representamos A x B
Encontramos alguns pontos
no gráfico cartesiano:
que satisfaçam y = x + 1.
Construímos o gráfico de R, unindo esses pontos:
d)
Logo:
D(R) = {x IR -1
Im(R) = {y IR 0
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x < 2}
y < 3}
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Notemos que:
Dado o gráfico cartesiano de uma relação R, projetando-o ortogonalmente, sobre
0x e sobre 0y obtemos, respectivamente, D(R) e Im(R).
Exemplo 2:
Considere agora os conjuntos
A = {x
IR 1
x
4}, B = {y
IR 2
y
R = {x, y)
4}, e a relação R: A
B definida por
A x B y = x}.
A representação de R através de seus pares ordenados, bem como através de
diagrama, é inconveniente, pois como A e B são conjuntos infinitos, R terá infinitos pares.
Neste caso, a única representação conveniente de R é o próprio gráfico:
EXERCÍCIOS
49. Dados os gráficos de funções a seguir, analise o seu comportamento.
a)
D = {x
Im = {y
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IR
2
x
IR 2
y
4}
4}
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Observe o exemplo:
Exemplo 3:
Dados os conjuntos A = [-1, 3) e B = [-2, 4] e a relação R dada por:
Df = [x1; x2]
R=
y = -x
DR
=
{(x, y) A x B
+ 1}
[-
1;3[
ImR = ]-
2;2]
EXERCÍCIOS
22. Sendo A = [2,5] e B = [1,2[ , represente graficamente no plano cartesiano:
R: A
B = {(x,y) y = x-2}
No ponto em que a função muda de comportamento de crescente para decrescente
definimos o ponto de máximo da função e no ponto em que muda de decrescente para
crescente definimos o ponto de mínimo.
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23. Sendo A = ]-1, 4] e B = [1,6[ , represente graficamente no plano cartesiano:
R:A
B = {(x,y)
y = 2x + 1}
03. ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DA FUNÇÃO (VARIAÇÃO)
y
FUNÇÃO
CRESCENTE
FUNÇÃO
DECRESCENTE
FUNÇÃO
CONSTANTE
A CURVA ASCENDE
A CURVA DESCENDE
A CURVA É HORIZONTAL
Quanto maior o elemento de
domínio, maior a respectiva
imagem.
Quanto maior o elemento de
domínio, menor a respectiva
imagem.
Elementos diferentes de
domínio, imagens iguais.
24. Determinar o D(R) e a Im(R), em cada caso abaixo:
a)
b)
c)
d)
x2 > x1
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f(x2) > f(x1)
x2 > x1
f(x2) < f(x1)
x1
x2
f(x1) = f(x2)
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e)
e)
f)
f)
06. RELAÇÃO INVERSA DE UMA RELAÇÃO BINÁRIA
Dada uma relação binária R: A
B sempre existirá a sua relação inversa, R-1: B
A,
que é obtida permutando-se as coordenadas dos pares ordenados de R.
R-1 : B
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A = {(x,y)
39
(y,x)
R: A
B}
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b)
Exemplo:
1º) Se A = {2, 3, 4, 5} e B = {1, 3, 7} quais são os elementos de R = {(x, y)
e de R-1 ?
A x B x < y}
Utilizando o esquema das flechas.
c)
Temos:
R = {(2,3), (2, 5), (2, 7), (3, 5), (3, 7), (4, 5), (4, 7), (5, 7)}
-1
R
2º) Se A = {x
e
= {(3, 2), (5, 2), (7, 2), (5, 3), (7, 3), (5, 4), (7, 4), (7, 5)}
IR 1
x
relações R = {(x, y)
4} e B = {y
IR 2
y
8} representar no plano cartesiano as
A x B y = 2x} e sua inversa R-1.
d)
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 PROPRIEDADES
São evidentes as seguintes propriedades:
1ª) D(R-1) = Im(R)
Isto é, o domínio de R-1 é igual à imagem de R.
2ª) Im(R-1) = D(R)
Isto é, a imagem de R-1 é igual ao domínio de R.
3ª) (R-1)-1 = R
Isto é, relação inversa de R-1 é a relação R.
4ª) O gráfico de uma relação binária e o gráfico da
sua inversa são sempre simétricos em relação a
bissetriz dos quadrantes ímpares. (VER FIGURA
AO LADO).
EXERCÍCIOS
48. Estude o sinal de cada uma das funções dadas, a partir de seus gráficos:
EXERCÍCIOS
25. Dadas as relações abaixo, obtenha as suas inversas.
a) R = {(1,2); (3,4); (3,7); (5,-2); (0,0)}
a)
b) S = {(-4,3); (1,0); (3, -4); (2,2); (0,1)}
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c)
d)
A função f é positiva nos intervalos de domínio em
que a curva estiver acima do eixo das abscissas.
A função f é negativa nos intervalos de domínio em
que a curva estiver abaixo do eixo das abscissas.
e) R: A
B = {(x,y) y = 2x + 1}
f) R: A
B = {(x,y) y = 3x 1 }
g) R: A
4
B = {(x,y)
y
3 2x + 5
As raízes são os elementos de domínio que
possuem imagem zero.
}
x é raiz
f(x) = 0
Analiticamente são as abscissas dos pontos da
curva que estão no eixo das abscissas.
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02. ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO
h) R: A
Estudar o sinal de uma função f de domínio Df
IR é obter os intervalos de
B = {(x,y) y = x2 + 2}
i) R: A
B = {(x,y)
y = x2 - 4x + 3}
j) R: A
B = {(x,y)
y = 4x2 - 12x + 1 }
l)
domínio para os quais:
(x) < 0 ou
(x) = 0 ou
(x) > 0
m)
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n)
o)
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e)
f)
g)
h)
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e)
f)
07. NOÇÕES DE FUNÇÃO
 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO (OU APLICAÇÃO)
Uma relação R: A
somente se:
B é uma função f: A
B ou uma aplicação f: A
B se e
1) Todo elemento do conjunto partida da relação tiver imagem.
47. Observe os gráficos abaixo e identifique os que podem ou não representar funções, em
caso afirmativo determinar o domínio e a imagem da possível função:
E
2) Cada elemento de domínio tiver imagem, única.
a)
b)
Observe que ser função é um caso particular de ser relação binária, ou seja, toda
função é relação binária, mas nem toda relação binária é função.
Exemplo:
Consideremos as relações R, S, f e g, de uma conjunto A num conjunto B,
representadas por diagramas de flechas:
c)
d)
São funções de A em B apenas as relações f e g.
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45
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46. Os esboços seguintes representam funções; observando-os, determine o domínio e o
conjunto imagem.
 A IDÉIA DE FUNÇÃO
abaixo:
Consideremos as relações binárias R1, R2 e R3 representadas por diagramas sagitais
a)
b)
c)
d)
A relação R1 não é uma função de A em B, pois
sobra elemento no conjunto partida da relação.
A relação R2 não é uma função de A em B, pois existe
elemento de domínio com mais de uma imagem.
A relação R3 é uma função de A em B, pois
não há sobra de elementos no conjunto
partida e não existe elemento de domínio
com mais de uma imagem.
Álgebra | Caderno 02
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c)
d)
A = [a; b]
B = [c; d]
A = [-2; 2]
B = IR
Observe a relação:
F
Observe que:
e)
A = [- ; ]
B = IR
f)
A = [-3; 3]
B = IR
Quando uma relação F: A
B é uma função f: A
B:
- O conjunto partida é sempre o domínio da função;
- Os conjuntos contra domínio e imagem da relação
respectivamente o contra domínio e imagem da função:
continuam
sendo
- A lei de formação da relação é a lei de formação da função:
g)
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h)
A = [0; 2]
B = IR
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A = [1; 3]
B = IR
- Esta função pode ser representada por compreensão das seguintes formas:
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 O SÍMBOLO f(x):
EXERCÍCIOS
Este símbolo tem várias interpretações:
44. Os gráficos abaixo representam relações binárias definidas no quadrado cartesiano de A,
sendo A = {1, 2, 3, 4, 5}, identifique entre eles os que definem uma função de A em A.
a)
b)
d)
e)
c)
f(X)
45. Das seguintes relações, dadas por seus gráficos cartesianos, dizer quais são funções de A
em B.
a)
A = {1; 2; 3; 4}
B = IR
b)
A = {2}
B = IR
EXERCÍCIOS
26. Os diagramas seguintes mostram relações de A em B. Indique as relações que são funções.
a)
Álgebra | Caderno 02
b)
c)
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Relação g
Relação R
d)
e)
f)
27. No diagrama seguinte está representada uma função f de M em N.
Determine:
a) O domínio de f.
b) O contra domínio de f.
Na relação g, a todo elemento de A
corresponde um único elemento de B;
logo, g é função de A em B (lembremos
que numa função é perfeitamente
possível dois elementos do domínio
terem uma mesma imagem).
c) O conjunto imagem de f.
Na relação R, a todo elemento de A
corresponde um único elemento de B;
logo, R é função de A em B.
d) O elemento de domínio que possui imagem 1.
e) A imagem do elemento de domínio 5.
f) O par ordenado da função que tem ordenada 3.
g) O par ordenado da função que possui abscissa 3.
Notemos, também, que, dado o gráfico cartesiano de uma função , suas projeções
ortogonais sobre 0x e 0y determinam, respectivamente, o domínio e o conjunto imagem de .
h) f(-2) =
i) O valor de x se f(x) = 2
j) f(2) =
k) O valor de x se f(x) = 7
l) O valor da variável livre se a variável dependente valer 1.
m) O valor da variável independente que obriga a variável dependente a ser 1.
n) A representação de f por extensão.
o) A representação cartesiana de f.
Projetando a curva sobre o eixo das abscissas obtemos o domínio da função e
projetando sobre o eixo das ordenadas obtemos o conjunto imagem:
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28. Os diagramas a seguir representam relações binárias F de A em B, classifique-os como
sendo funções ou não e represente-os pelo método da compreensão.
a)
ANÁLISE DE FUNÇÕES REAIS
b)
01. RECONHECIMENTO ANALÍTICO DE UMA FUNÇÃO
Através do gráfico cartesiano podemos reconhecer se uma relação é ou não função.
Para identificarmos uma função a partir de seu gráfico, traçamos perpendiculares ao eixo x
por valores pertencentes ao domínio. Se todas as perpendiculares cortarem o gráfico em
apenas um ponto, ele representa uma função.
c)
d)
e)
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Relação S
Relação h
Na relação S, existe, por exemplo, o
elemento a
A ao qual correspondem
dois elementos distintos de B; logo S não
é função de A em B.
Na relação h, existem os elementos a e
b em A que não têm correspondentes
em B; logo, h não é função de A em B.
f)
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29. O diagrama seguinte representa uma função g de A em B; determine:
a) Uma possível lei de formação para g.
b) A representação da função g pelo
método da compreensão.
h) A representação de g por extensão.
30. Dada a função
de A em B, descrita pelo diagrama ao lado, calcular:
f(1) 3f(-2)
4f(0) - f(-1) . f(-3)
31. Dados os conjuntos A = [1, 5], B = [6, 18] e a função
calcular:
= {(x, (x))
AxB
(x) = 2x + 4},
a) (1)
b) (7)
c) O valor de x se (x) = 10
d) (7)
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32. Seja uma função de R em R definida por f(x) = ax + 2. Determinar a, sabendo que f(1) = 5.
33. Seja f:R
ÍNDICE
R uma função tal que:
I. f(x) = x2 + mx + n;
II. f(1) = -1 e f(-1) = 7.
Nessas condições, determine f(3).
Página
01 - Reconhecimento analítico de uma função
63
02 - Estudo do sinal de uma função
70
03 - Análise do comportamento (variação) de uma função
75
04 - Tipologia das funções
80
05 - Paridade das funções
85
06 - Inversão de funções
95
07 - Composição de funções
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34. Uma espécie de animal, cuja família inicial era de 200 elementos, foi testada num
laboratório sob ação de uma certa droga, e constatou-se que a lei de sobrevivência entre
esta família obedecia à relação n(t) = at2 + b, em que n(t) é igual ao número de elementos
vivos no tempo t (dado em horas) e a e b, parâmetros que dependiam da droga
ministrada. Sabe-se que a família desapareceu (morreu o último elemento) após 10 horas
do início da experiência. Determine quantos elementos tinha esta família após 8 horas do
início da experiência.
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35. O número de diagonais de um polígono convexo é dado em função de seu número n de
n(n 3)
lados por f(n)
.
2
a) Dê o domínio D desta função.
b)
Determine o número de lados de um polígono convexo que tem exatamente 44
diagonais.
36. Em uma experiência realizada com camundongos, foi observado que o tempo requerido
para um camundongo percorrer um labirinto, na n-ésima tentativa, era dado pela função
12
minutos.
f(n) 3
n
a)
Qual é o tempo necessário para o camundongo percorrer o labirinto na terceira
tentativa ?
b)
Em qual tentativa o camundongo leva 3 minutos e 30 segundos para percorrer o
labirinto ?
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37. Um pedaço de cartolina, quadrado, tem lados de 10 cm. Nos cantos inferiores foram
cortados dois quadrados congruentes. A parte restante tem a
forma de um T. Seja x a medida dos lados dos dois quadrados
inferiores (em cm) e y a área do T (em cm2). Obtenha a lei
de formação da função g que associa x a y.
38. Um pedaço de cartolina EFGH quadrado, tem lados de 6 cm. Os pontos A, B, C e D podem
se deslocar nos lados, mas sempre de modo que as
medidas de EA, ED, GB e GC sejam iguais. Seja x a
medida (em cm) desses quatro segmentos e y a área
(em cm2) do retângulo ABCD . Obtenha a lei de
formação da função f que associa x a y.
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39. Sabendo que f(x+2) = 2x - 1. Obter f(x).
42. Sabendo que f(3x + 1) =
x
4
2
. Obter f(2).
40. Sabendo que f(3x - 4) = x2 + 2. Obter f(x).
43. Sabendo que f(x
4)
3x 1
. Calcule f(2x):
2
41. Sabendo que f(2x + 3) = x + 11. Obter f(3x - 1).
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