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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
Exercı́cios sobre EDO de 1a Ordem - Professor Raposo
www.carlosraposo.com.br
Seja I um intervalo da reta. Uma solução de uma equação diferencial da função incógnita y e na
variável independente x ∈ I ⊂ R, é uma função y = y(x) que verifica identicamente a equação. Por
exemplo, y = ex + e−x é solução da EDO y 0 + y = 2ex .
Uma EDO de 1a ordem pode ser apresentada:
• na forma normal y 0 = f (x, y),
• ou na forma diferencial M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0.
Quando f (x, y) = −p(x)y + q(x) dizemos que a EDO é Linear.
Quando para t ∈ R, f (t x, t y) = f (x, y), dizemos que a EDO é Homogênea.
Quando
∂N
∂M
=
,
∂y
∂x
dizemos que a EDO é Exata.
I - Exercı́cios sobre EDO Homogênea.
Resolva :
1.
y0 =
2.
y0 =
3.
y0 =
4.
y0 =
y+x
x
2y 4 + x4
xy 3
2xy
− y2
x2
x2 + y 2
xy
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II - Exercı́cios sobre EDO Exata.
Verifique se a EDO é Exata, e se sim, resolva.
1. 2xy dx + (1 + x2 ) dy = 0
2. (x + seny) dx + (−2y + x cosy) dy = 0
3. (xy + x2 ) dx + (−1) dy = 0
4. (2 + y exy ) dx + (x exy − 2y) dy = 0
III - Exercı́cios sobre Fator Integrante.
Em geral, uma EDO M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 não é exata, entretanto, quando existe uma função
I(x, y) tal que
I(x, y) [M (x, y) dx + N (x, y) dy] = 0
torna-se uma EDO exata, dizemos que I(x, y) é um fator integrante.
1. verifique se I = −1/x2 é um fator integrante para y dx − x dy = 0
2. verifique se I = −1/xy é um fator integrante para y dx − x dy = 0
3. Resolva (−2xy + x) dx + dy = 0.
Sugestão: Quando
∂N
1 ∂M
−
= g(x) função apenas de x
N ∂y
∂x
então
R
I = e g(x) dx
é um fator integrante para M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0.
4. Resolva y 2 dx + xy dy = 0.
Sugestão: Quando
1 ∂M
∂N
= h(y) função apenas de y
−
M ∂y
∂x
então
R
I = e− h(y) dy
é um fator integrante para M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0.
5. Prove que
I=e
é um fator integrante para y 0 + p(x) y = q(x).
R
p(x) dx
3
IV - Exercı́cios sobre EDO Linear.
Resolva.
1. y 0 − 3 y = 6
2. y 0 − 2x y = x
3. y 0 + y = sen x
4. y 0 + y = sen x, y(π) = 1.
5. y 0 − 7 y = ex
V - Aplicações das EDO de 1a Ordem.
1. Colaca-se uma barra de metal, à temperatura de 1000 C em um ambiente com temperatura
constante de 00 C. Se após 20 minutos a temperatura da barra é de 500 C, determine o tempo
necessário para a barra chegar a temperatura de 250 C e a temperatura da barra após 10 minutos.
2. Um corpo com à temperatura inicial de 250 C é colocado ao ar livre, onde a temperatura é de
1000 C. Se após 5 minutos a temperatura do corpo é de 600 C, determine o tempo necessário
para a temperatura do corpo atingir 750 C e a temperatura do corpo após 20 minutos.
3. Sabe-se que uma certa substância radioativa diminuea uma taxa proporcional à quantidade
presente. Se inicialmente, a quantidade do material é 50 miligramas, e se se observa que, após
duas horas, perderam-se 10 por cento da massa original, determine a expressão para a massa
de substância restante em um tempo arbitrario t, a massa restante após 4 horas e o tempo
necessário para que a massa fique reduzida à metade.
4. Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente.
Após 1 hora, observa-se 1000 núcleos de bactérias na cultura, e após 4 horas, 3000 núcleos.
Determine uma expressão para o número de núcleos presente na cultura no tempo arbitrário t
e o número de núcleos inicialmente existentes na cultura.
5. Sabe-se que a população de um determinado Estado cresce a uma taxa prporcional ao número
de habitantes existentes. Se após 2 anos a população é o dobro da inicial, e após 3 anos é de
20.000 habitantes, determine a população inicial.
6. Deixa-se cair um objeto de 5 kilos de uma altura de 100 metros com velocidade inicial zero.
Supondo que não haja resistência do ar, determine a expressão da velocidade do corpo em um
instante t, a expressão da posição do corpo no instante t e o tempo necessário para o corpo
atingir o solo.
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7. Lança-se um objeto de massa m verticalmente para cima, com velocidade inicial v0 . Se a
resistência de ar é proporcional à velocidade, determine a equação do movimento ( supondo
sentido positivo para cima ), a velocidade em um instante t qualquer e o instante em que o
objeto atinge a altura máxima.
8. Considere um objeto de massa m em queda vertical influenciada apenas pela gravidade g e
pela resistência do ar proporcional a velocidade. Admita que tanto a gravidade quanto a massa
permaneçam constantes e escolha o sentido positivo como sendo o sentido para baixo. Obtenha
a equação do movimento do objeto.
9. Deixa-se cair um objeto de peso w = 64 libras de peso, ( note que w = m g) de uma altura de
100 pés, com velocidade inicial de 10 pés por segundo. Supondo a resistência do ar proporcional
a velocidade ( constante de proporcionalidade indicada po k ), e sabendo que a velocidade limite
v` =
mg
k
é 128 pés por segundo, determine a expressão para a velocidade do corpo em um instante t e
a expressão para a posição do corpo em um instante t. ( usar g = 32 ).
10. Um objeto de 2 libras de massa é solto no espaço sem velocidade inicial e encontra uma
resistência do ar proporcional ao quadrado da velocidade de queda. Determine a expressão da
velocidade em um instante t. ( usar g = 32 )
11. Considere um tanque com um volume inicial v0 litros de uma salmoura com q0 kilos de sal.
Despeja-se no tanque mais salmoura, isto é, q1 kilos de sal na razão de g litros por minutos.
Suponha que a salmoura, bem misturada, se escoa por uma torneira, simultaneamente à razão
de f litros por minutos. Determine a quantidade de sal no tanque a cada instante t.
12. Um tanque contém inicialmente 100 litros de salmoura com 20 kilos de sal. No instante t = 0,
começa-se a jogar água pura no tanque à razão de 5 litros por minuto, enquanto que a mistura
resultante se escoa no tanque à mesma taxa. Determine a quantidade de sal no tanque no
instante t.
13. A equação básica que rege a quantidade de correnteI ( em ampères ) em um circuito simples
do tipo RL consistindo de uma resistência R ( em ohms ), um indutor L ( em henries ) e uma
força elotromotriz E ( dada em volts ) é
dI R
E
+ I= .
dt
L
L
Considere então um circuito RL que tem fen de 5 volts, resistência de 50 ohms e indutância de
1 henry. Se a corrente inicial é zero, determine a corrente no circuito no instante t.