Mariana Geny Moreira
Análise da Propagação de Campos
Eletromagnéticos Emitidos por Antenas
Dipolo por Meio do Método de Diferenças
Finitas no Domı́nio do Tempo (FD-TD)
Dissertação submetida à Banca Examinadora designada pelo Colegiado do Programa de
Pós-Graduação em Modelagem Matemática e Computacional do Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais, como requisito parcial à obtenção do tı́tulo de Mestre
em Modelagem Matemática e Computacional.
Área de Concentração: Métodos Matemáticos Aplicados
Linha de Pesquisa: Eletromagnetismo Computacional
Orientador: Prof. Maria Elizabeth de Gouvêa
Co-orientador: Prof. Márcio Matias Afonso
Belo Horizonte
CEFET/MG
Julho de 2007
G211a MOREIRA, Mariana Geny
2007
Análise da Propagação de Campos Eletromagnéticos Emitidos por Antenas Dipolo por
Meio do Método de Diferenças Finitas no
Domı́nio do Tempo (FD-TD).
Belo Horizonte: CEFET-MG, 2007.
87 f. : il., figs., tabs
Orientadores: Maria Elizabeth de Gouvêa e Marcio Matias
Afonso
Dissertação (Mestrado)- Centro Federal de Educação
Tecnológica de Minas Gerais
CEFET/MG.
1. Campos Eletromagnéticos - Teses. 2. Antenas.
3. Diferenças Finitas.
I. Gouvêa, Maria Elizabeth. II. Afonso, Márcio Matias III. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. IV. Tı́tulo
CDD: 530.141
A mente que se abre a uma nova idéia jamais voltará ao seu tamanho original.
Albert Einstein
iii
Agradecimentos
À Professora Maria Elizabeth de Gouvêa, por sua orientação compreensiva e amiga. Foi
devido à sua generosidade em abster de seus interesses que este trabalho pôde se realizar.
Seu entusiasmo pela pesquisa e conhecimento enriqueceram a mim e a este trabalho.
Ao Prof. Márcio Matias Afonso, por estar sempre disposto a ajudar e me orientar. As
discussões sobre o trabalho foram sempre muito produtivas e entusiasmadas. Obrigada pela
forma amiga com que me incentivou constantemente.
Às amigas Júnia Taı́ze e Ana de Oliveira que, além de grandes companheiras de trabalho
são aliadas e comprometidas amigas. É com elas que divido esse trabalho.
Aos professores do colegiado do CEFET/MG, em especial ao Sérgio Ricardo, João
Franscisco, Elenice, Gray, e a todos os outros professores. Agradeço ainda, ao professor
Marco Aurélio, por suas valiosas contribuições e sugestões durante os seminários de grupo.
Aos companheiros de mestrado, que enfretaram comigo os mesmos desafios desse curso.
Aos amigos e à infra-estrutura do LEACOPI (CEFET/MG) e do GOPAC (UFMG),
que possibilitaram a viabilidade desse trabalho.
Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientı́fico e Tecnológico (CNPq), pelo suporte financeiro.
Aos meus pais, Mário Marcos e Mirtes Heloisa, que sempre me encorajaram e apoiaram.
Seu amor foi o que alimentou a minha força nos momentos difı́ceis e tornou maravilhoso
comemorar com vocês as vitórias. Amo muito vocês.
À minha irmã, Marcela Agda, pelo carinho com que sempre me apoiou, ouviu e deu sua
opinião.
Desejo agradecer ainda, de uma forma toda especial, a uma pessoa que não mais se
encontra entre nós, mas que sempre estará presente em minha vida. Alguém que, de algum
modo, sempre soube que esse dia aconteceria e que, incondicionalmente me amou e foi
amado por mim: meu querido avô Samuel.
Resumo
Neste trabalho pretende-se avaliar a propagação dos campos eletromagnéticos emitidos por uma
antena dipolo de meio comprimento de onda tanto em regiões de campo próximo como em regiões
de campo distante e comparar os resultados obtidos com os valores analı́ticos e os apresentados
na literatura.
Também é objetivo deste trabalho calcular a distribuição da Taxa de Absorção Especı́fica (SAR)
associada ao campo eletromagnético emitido pela antena do tipo dipolo.
Para atingir esses objetivos, foi utilizado o Método de Diferenças Finitas no Domı́nio do
Tempo (FD-TD). Uma série de problemas eletromagnéticos em três dimensões (3D) foram simulados. Para cumprir os objetivos, três modelos foram desenvolvidos.
O primeiro modelo desenvolvido é composto de 2 materiais: ar (para modelar o espaço em
estudo) e cobre (para modelar a antena). Para esse modelo, a antena dipolo de meia onda foi
simulada em duas situações: com frequências de 900MHz e 5GHz. A frequência de 900MHz é
comumente utilizada na telefonia e foi escolhida afim de possibilitar a análise de campo na região
de campo próximo. A frequência de 5GHz foi escolhida aleatoriamente, como uma frequência de
teste, afim de possibilitar a análise da propagação na região de campo distante. A comparação entre
os resultados calculados numericamente nesse trabalho e os analı́ticos disponı́veis na literatura é
boa. Os erros encontrados, entre 5% e 15%, são aceitáveis, considerando as aproximações inerentes
ao método, como, por exemplo, as condições de contorno adotadas (condição de contorno de Mur).
O segundo modelo inclui um obstáculo diante da antena (composta por cobre), que opera na
frequencia de 1900 MHz. O obstáculo, em formato de paralelepı́pedo, é composto por acrı́lico, que
reveste as paredes, e por um material com propriedades relativas ao cérebro humano, com o qual
o interior do obstáculo é preenchido. Os valores da SAR obtidos nas simulações foram comparados com valores medidos, obtidos na literatura. Os erros relativos encontrados nas comparações,
menores que 10%, também possuem ı́ndices aceitáveis.
Finalmente, o terceiro modelo, que inclui a antena (composta por cobre) e um obstáculo,
formado por duas camadas de materiais dielétricos. O primeiro material tem as propriedades
eletromagnéticas relativas ao osso e o segundo possui propriedades relativas ao cérebro humano.
Para esse modelo, a antena dipolo de meia onda foi simulada com frequência de 900MHz. Os
valores da SAR obtidos são menores que aqueles recomendados pelas organizações mundiais.
É importante salientar que, nesse trabalho, foi investigada a região de campo próximo, pouco
explorada pela literatura.
Abstract
In this paper we calculate the electromagnetic field generated by a half-wave dipole in the near-field
and far-field regions and the results obtained are compared to analytical results available in the
literature.
The Specific Absorption Rate (SAR) associated with the electromagnetic field generated by the
half-wave dipole is also calculate.
The calculation is done using the Finite-Difference Time-Domain (FD-TD) Method. Some
electromagnetic problems were simulated in three dimension. For these, three models were developed.
The first model presents the field propagation due to a dipole antenna, made with cooper,
immersed in air. Here, we considered the antenna operating in two frequencies: 900 MHz and 5.0
GHz. The 900 MHz frequency is close to the ones used in cellular phones and is used to simulate
the near field region. The 5 GHz frequency is used to simulate the far field region. The comparison
between the numerical and analytical results available in the literature presented a small error (5%
to 15%) which is not away from the precision expected considering the approximations included in
the method, as, for example, the boundary condition adopted here (Mur’s absorption condition),
and, also, the precision of a numeric method.
In the second model, an obstacle is positioned in front of the dipole antenna (made with cooper)
operating at 1900 MHz. The obstacle is a rectangular box, with acrylic walls, filled with a medium
with the electromagnetic properties of a human brain (phantom brain). Some experimental data
for this system are used to validate the SAR results obtained. Once again, the error is small (less
than 10%).
Finally, the third model considers a wall composed by two dielectric media; one with the properties of bone, and the other simulating, again, a human brain. In this model, the frequency was
900 MHz because this frequency is used in cellular phones in the USA. The results are good, since
the calculated SAR value is smaller than the one suggested by international institutions.
We also emphasize that, in this paper, we investigate the near-field region which has not been
studied in detail in the literature.
Sumário
1 Introdução
2 Considerações Gerais
2.1 A Taxa de Absorção Especı́fica
2.2 O Método FD-TD . . . . . . . .
2.3 Condições de Contorno . . . . .
2.4 A Antena Dipolo . . . . . . . .
2.5 Considerações Finais . . . . . .
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3 Formulação Matemática - FD-TD
3.1 Desenvolvimento Matemático do FD-TD . . . . . . . .
3.1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 FD-TD em 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Interface Dielétrico - Dielétrico . . . . . . . . .
3.1.4 Critérios de Dispersão e Estabilidade Numéricas
3.2 Condições de Contorno Absorventes de Mur . . . . . .
3.2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Formulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Antenas Dipolo
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Dipolo na Região de Campo Distante
4.3 Dipolo na Região de Campo Próximo
4.4 Implementação . . . . . . . . . . . .
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5 Resultados
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Propagação no Espaço Livre . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Condições de Dispersão e Estabilidade . . .
5.2.2 Comparação com Solução Analı́tica . . . . .
5.2.3 Discussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Cálculo da SAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 A SAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Cálculo da SAR no Modelo Proposto . . . .
5.3.3 Condições de Dispersão e Estabilidade . . .
5.3.4 Comparação com valores medidos por [Yu et
5.4 Campo Eletromagnético e SAR
em Camadas Dielétricas . . . . . . . . . . . . . . .
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SUMÁRIO
5.4.1
5.4.2
vii
Condições de Dispersão e Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . .
Comparação dos Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
65
6 Conclusões
6.1 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Propostas de Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
68
70
Lista de Sı́mbolos
E
H
B
D
Ji
Jc
M
ε
µ
σ
σ∗
qmv
qev
qms
qes
∆t
∆x
∆y
∆z
c
i, j, k
Vi,j,k
vetor campo elétrico
vetor campo magnético
vetor indução magnética
vetor densidade de fluxo elétrico
vetor densidade de corrente elétrica impressa
vetor densidade de corrente de condução = σE
vetor densidade de corrente magnética (teórica)
permissividade elétrica
permeabilidade magnética
condutividade elétrica
perda magnética equivalente
densidade volumétrica de carga magnética (teórica)
densidade volumétrica de carga elétrica
densidade superficial de carga magnética (teórica)
densidade superficial de carga elétrica
passo no tempo
passo no espaço na direção x
passo no espaço na direção y
passo no espaço na direção z
velocidade de propagação da onda no vácuo
localização no espaço nas coordenadas x, y e z
volume do cubo
[V /m]
[A/m]
[W b/m2 ]
[C/m2 ]
[A/m2 ]
[A/m2 ]
[V /m2 ]
[F/m]
[H/m]
[S/m]
[Ω/m]
[W b/m3 ]
[C/m3 ]
[W b/m2 ]
[C/m2 ]
[s]
[m]
[m]
[m]
[m/s]
[−]
[m3 ]
Lista de Siglas
ANATEL Agência Nacional de Telecomunicações
ANSI
Instituto Nacional de Padronização Americano American National Standards Institute
CC
Condição de Contorno
CCA
Condições de Contorno Absorventes
FD − TD Diferenças Finitas no Domı́nio do Tempo Finite Difference in the Time Domain
ICNIRP Comissão Internacional de Proteção Contra a Radiação Não-Ionizante International Commission on Non-Ionizing Radiation Protection
IEEE
Instituto de Engenharia Elétrica e Eletrônica Institute of Electrical Electronics Engineers
MEF
Método dos Elementos Finitos - Finite Elements Method
MOM
Método dos Momentos - Moment Method
PML
Camada Perfeitamente Casada - Perfectly Matched Layer
RF
Rádio Frequência
SAR
Taxa de Absorção Especı́fica - Specific Absorption Rate[W/kg]
TLM
Método de Linhas de Transmissão - Transmission Line Method
Lista de Figuras
2.1
2.2
Representação simplificada de um domı́nio . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Representação Geométrica do Dipolo Finito . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
3.2
3.3
3.4
Representação gráfica do Algoritmo de Yee . . . . . . . . . . . .
Representação do funcionamento do Algoritmo de Yee . . . . . .
Componentes de campo elétrico e magnético na interface . . . .
Distribuição dos componentes de campo E e H no Cubo de Yee
.
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12
13
16
19
4.1
4.2
4.3
Distribuição de Corrente no Dipolo de Meia Onda . . . . . . . . . . . . . .
Geometria de um dipolo finito [Balanis, 1997] . . . . . . . . . . . . . . . .
Representação Geométrica do Dipolo Finito . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
26
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5.2
5.3
5.4
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5.8
5.9
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5.20
5.21
5.22
5.23
5.24
5.25
5.26
5.27
Representação 3D do domı́nio com antena . . . . . . . . . . . . . .
Detalhamento em 2D das dimensões do modelo com antena . . . . .
Pontos para comparação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Erro relativo de Ez no ponto 1 (0.003,0.0,0.0)[m] para a situação 1 .
Erro relativo de Ez no ponto 2 (0.009,0.0,0.0)[m] para a situação 1 .
Erro relativo de Ez no ponto 3 (0.012,0.0,0.0)[m] para a situação 1 .
Erro relativo de Ez no ponto 4 (0.015,0.0,0.0)[m] para a situação 1 .
Erro relativo de Ez no ponto 5 (0.018,0.0,0.0)[m] para a situação 1 .
Erro relativo de Ez no ponto 6 (0.021,0.0,0.0)[m] para a situação 1 .
Erro relativo de Ez no ponto 7 (0.024,0.0,0.0)[m] para a situação 1 .
Erro relativo de Ez no ponto 8 (0.027,0.0,0.0)[m] para a situação 1 .
Erro relativo de Ez no ponto 9 (0.030,0.0,0.0)[m] para a situação 1 .
Erro relativo de Ez no ponto 10 (0.033,0.0,0.0)[m] para a situação 1
Erro relativo de Ez no ponto 1 (0.003,0.0,0.0)[m] para a situação 2 .
Erro relativo de Ez no ponto 2 (0.009,0.0,0.0)[m] para a situação 2 .
Erro relativo de Ez no ponto 3 (0.012,0.0,0.0)[m] para a situação 2 .
Erro relativo de Ez no ponto 4 (0.015,0.0,0.0)[m] para a situação 2 .
Erro relativo de Ez no ponto 5 (0.018,0.0,0.0)[m] para a situação 2 .
Erro relativo de Ez no ponto 6 (0.021,0.0,0.0)[m] para a situação 2 .
Erro relativo de Ez no ponto 7 (0.024,0.0,0.0)[m] para a situação 2 .
Erro relativo de Ez no ponto 8 (0.027,0.0,0.0)[m] para a situação 2 .
Erro relativo de Ez no ponto 9 (0.030,0.0,0.0)[m] para a situação 2 .
Erro relativo de Ez no ponto 10 (0.033,0.0,0.0)[m] para a situação 2
Erro relativo de Ez no ponto 1 (0.003,0.0,0.0)[m] para a situação 3 .
Erro relativo de Ez no ponto 2 (0.009,0.0,0.0)[m] para a situação 3 .
Erro relativo de Ez no ponto 3 (0.012,0.0,0.0)[m] para a situação 3 .
Erro relativo de Ez no ponto 4 (0.015,0.0,0.0)[m] para a situação 3 .
33
33
35
37
37
38
38
39
39
40
40
41
41
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42
43
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6
8
LISTA DE FIGURAS
5.28
5.29
5.30
5.31
5.32
5.33
5.34
5.35
5.36
5.37
5.38
5.39
5.40
5.41
5.42
5.43
5.44
5.45
5.46
5.47
5.48
5.49
5.50
5.51
Erro relativo de Ez no ponto 5 (0.018,0.0,0.0)[m] para a situação 3 . . . . .
Erro relativo de Ez no ponto 6 (0.021,0.0,0.0)[m] para a situação 3 . . . . .
Erro relativo de Ez no ponto 7 (0.024,0.0,0.0)[m] para a situação 3 . . . . .
Erro relativo de Ez no ponto 8 (0.027,0.0,0.0)[m] para a situação 3 . . . . .
Erro relativo de Ez no ponto 9 (0.030,0.0,0.0)[m] para a situação 3 . . . . .
Erro relativo de Ez no ponto 10 (0.033,0.0,0.0)[m] para a situação 3 . . . .
Erro relativo de Ez no ponto 1 (0.003,0.0,0.0)[m] para a situação 4 . . . . .
Erro relativo de Ez no ponto 2 (0.009,0.0,0.0)[m] para a situação 4 . . . . .
Erro relativo de Ez no ponto 3 (0.012,0.0,0.0)[m] para a situação 4 . . . . .
Erro relativo de Ez no ponto 4 (0.015,0.0,0.0)[m] para a situação 4 . . . . .
Erro relativo de Ez no ponto 5 (0.018,0.0,0.0)[m] para a situação 4 . . . . .
Erro relativo de Ez no ponto 6 (0.021,0.0,0.0)[m] para a situação 4 . . . . .
Erro relativo de Ez no ponto 7 (0.024,0.0,0.0)[m] para a situação 4 . . . . .
Erro relativo de Ez no ponto 8 (0.027,0.0,0.0)[m] para a situação 4 . . . . .
Erro relativo de Ez no ponto 9 (0.030,0.0,0.0)[m] para a situação 4 . . . . .
Erro relativo de Ez no ponto 10 (0.033,0.0,0.0)[m] para a situação 4 . . . .
Erro do valor máximo - Situação (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Erro do valor máximo - Situação (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Erro do valor máximo - Situação (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Erro do valor máximo - Situação (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Representação 3D do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comparação entre os resultados obtidos e os de [Yu et al., 1999] . . . . . .
Representação em 3D do Modelo de Camadas . . . . . . . . . . . . . . . .
Comparação entre o campo elétrico calculado neste trabalho e o calculado
analı́ticamente por [King, 1993] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.52 Distribuição da SAR no modelo de camadas . . . . . . . . . . . . . . . . .
xi
49
49
50
50
51
51
52
52
53
53
54
54
55
55
56
56
57
58
58
59
61
63
64
66
66
Lista de Tabelas
2.1
Restrições da SAR – ANSI/IEEE e FCC . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4.1
4.2
Separação das Regiões de Propagação Geral . . . . . . . . . . . . . . . . .
Separação das Regiões de Propagação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
25
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
Distâncias relativas dos pontos de comparação . . . . . .
Restrições da SAR – ANSI/IEEE e FCC . . . . . . . . .
Propriedades Fı́sicas e Eletromagnéticas dos Meios . . .
Comparação dos valores da SAR – Calculados e Medidos
Propriedades Fı́sicas e Eletromagnéticas dos Meios . . .
36
60
61
63
65
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Capı́tulo 1
Introdução
Os rápidos avanços promovidos na engenharia elétrica na primeira metade do último século
proporcionaram aos engenheiros a facilidade de avaliar com precisão o desempenho de
complicadas redes elétricas. Tais avanços se deveram ao desenvolvimento da teoria dos
circuitos.
Apesar da grande capacidade de aproximação da teoria dos circuitos, a engenharia de
comunicação baseada em microondas e rádio transmissões trouxe à tona suas limitações
[Jordan and Balmain, 1968]. Mesmo sendo eficiente no desenvolvimento dos equipamentos
terminais de um sistema de rádio comunicação, a teoria de circuitos falha no que se refere
aos fenômenos existentes entre os terminais de transmissão e recepção. Tais fenômenos
são explicados pela teoria dos campos eletromagnéticos que trabalha com os vetores de
campo elétrico (E) e magnético (H), enquanto a teoria dos circuitos trabalha com tensões
e correntes, que são efeitos dos campos E e H. Segundo [Jordan and Balmain, 1968] a teoria
dos campos eletromagnéticos é capaz de solucionar qualquer tipo de antena a partir das
equações de Maxwell e das condições de contorno adequadas.
Nas últimas décadas, comunicações via rádio e microondas tornaram-se essenciais para a
humanidade. Como as antenas são dispositivos indispensáveis ao desenvolvimento desse tipo
de comunicação, pois ocupam sempre o último lugar na cadeia de transmissão e o primeiro
lugar na cadeia de recepção, o entendimento de seu funcionamento é de importância fundamental.
A maior parte dos avanços tecnológicos obtidos na área do eletromagnetismo já são
utilizados, porém, muitas questões merecem maior investigação. Assim, por exemplo, é
preciso atender à demanda crescente por melhores performances dos sistemas de comunicação [Balanis, 1989] e é também necessário compreender o comportamento de alguns
materiais e tecidos humanos expostos a campos eletromagnéticos.
A antena linear é uma das mais antigas, simples, de baixo custo e, em muitos casos,
a mais versátil em muitas aplicações [Balanis, 1989]. Este fato justifica a escolha dessa
antena como objeto de estudo desse trabalho. Porém, a análise do comportamento dos
campos eletromagnéticos emitidos pelas antenas, é complexa e envolve solução numérica.
Várias técnicas numéricas têm sido discutidas na literatura para calcular campos eletromagnéticos através de simulações computacionais, como o método de elementos finitos
(MEF) [Zienkiewicz and Taylor, 2000], o método de linhas de transmissão (TLM)
[Christopoulos, 1997], o método dos momentos (MOM) [Harrington, 1993] e o método de
diferenças finitas no domı́nio do tempo (FD-TD) [Taflove, 2000].
Normalmente, os projetos de antenas são desenvolvidos e modelados no domı́nio fasorial.
No entanto, neste trabalho, optou-se por utilizar um método que trabalha no domı́nio
2
do tempo, o FD-TD. O FD-TD foi escolhido, no presente estudo, devido às seguintes
caracterı́sticas:
i) simplicidade na implementação de fontes de campos eletromagnéticos, como o dipolo;
ii) solução direta das equações de Maxwell;
iii) facilidade de implementação de novas estruturas.
Poucos trabalhos na área de radiação proveniente de antenas lineares são desenvolvidos
utilizando métodos no domı́nio do tempo. A maioria das pesquisas na área prioriza análises
fasoriais. Uma das maiores contribuições deste trabalho é a análise de antenas e propagação
de campo no domı́nio do tempo, feita por meio do FD-TD.
Tendo em vista o método numérico e a antena escolhidos, o presente trabalho tem
como objetivo geral calcular e avaliar os campos elétrico (E) e magnético (H) emitidos
por um dipolo operando nas frequências 900MHz (frequência comun na telefonia celular
e utilizada para simular a região de campo próximo) e 5GHz (escolhida para simular a
região de campo distante) tanto para região de campo próximo como para região de campo
distante por meio do FD-TD. Além disso, também é objetivo desse trabalho calcular a taxa
de absorção especı́fica (SAR) associada ao campo elétrico emitido por antenas dipolo nas
frequências de 900MHz e 1900MHz. Para tanto, serão construı́dos modelos que incluem a
fonte dos campos eletromagnéticos - a antena - e o meio através do qual os campos emitidos
propagarão.
Outra contribuição importante do presente trabalho é o estudo do comportamento de
campos eletromagnéticos na região de campo próximo, não amplamente explorado pela
literatura.
Esta dissertação está organizada da seguinte maneira: no Capı́tulo 2, serão apresentados,
sucintamente, os principais avanços obtidos, detalhando o estado da arte neste campo de
pesquisa; o Capı́tulo 3 detalha a formulação matemática utilizada para calcular os campos
eletromagnéticos induzidos; o Capı́tulo 4 detalha a formulação matemática envolvida nos
cálculos dos campos emitidos por antenas dipolo; os resultados obtidos são analisados e
discutidos no Capı́tulo 5, e, por fim, o Capı́tulo 6 apresenta as conclusões finais do trabalho,
e sugere continuações para o trabalho desenvolvido.
Capı́tulo 2
Considerações Gerais
Neste capı́tulo será feita uma revisão dos conceitos fundamentais para o desenvolvimento do
trabalho: taxa de absorção especı́fica (SAR), evolução e caracterı́sticas do método FD-TD,
dipolos e condições de contorno.
2.1
A Taxa de Absorção Especı́fica
A preocupação com os efeitos causados por exposição à rádio frequência (RF) vem crescendo
nos últimos anos. Uma grande parte dessa preocupação refere-se à utilização de telefones
celulares, justificada pela proximidade da antena junto à cabeça e pelo crescente número
de pessoas que o utilizam (102,9 milhões até o final do mês de abril de 2007, apenas no
Brasil)[ANATEL, web].
Em 1998, a Comissão Internacional de Proteção Contra a Radiaçõ Não-Ionizante
(ICNIRP), organização independente e reconhecida em todo o mundo, anunciou as diretrizes que recomendam os limites de exposição à RF, fornecendo grandes margens de
proteção para toda a população. As diretrizes do ICNIRP vêm sendo amplamente adotadas em muitos paı́ses e se tornaram padrões de segurança. Essas diretrizes são aplicadas
a telefones celulares, estações rádio-base e outros dispositivos sem fio.
Todos os efeitos estabelecidos de exposição à RF, nas rádio frequências utilizadas pela
telefonia móvel, relacionam-se ao aquecimento (efeitos térmicos). Quando a energia da onda
de rádio é absorvida pelos nossos corpos, um efeito de produ¸ao de calor pode ocorrer,
dependendo da intensidade de exposição.
Os limites para esposição foram estabelecidos de acordo com parâmetros que consideram a quantidade energia absorvida por um volume de massa. Um desses parâmetros é a
Absorção Especı́fica e é dado por
SA =
dW
dW
=
.
dm
ρ · dV
(2.1)
A equação 2.1 define a Absorção Especı́fica como o quociente da energia absorvida (dW )
por um elemento massa (dm). A massa por sua vez, possui uma determinada densidade
(ρ) e está contida num volume (dV ) [C95.1, 1999]. A Absorção Especı́fica é dada em Joule
por kilograma [J/kg].
Segundo [C95.1, 1999] a SAR, ou taxa de absorção especı́fica, é a variação no tempo da
energia absorvida , num elemento de massa dm e densidade ρ, e é dado por:
SAR =
d
dW
d dW
·(
)=
·(
).
dt dm
dt ρ · dV
(2.2)
2.2 O Método FD-TD
4
Ou seja, é a medida da taxa de energia, para cada RF, absorvida pelo corpo humano (volume
de massa) quando exposto a um campo eletromagnético. Outra equação que também define
a SAR é dada por:
SAR =
σ · |E|2
.
2·ρ
(2.3)
onde σ é a condutividade da massa do corpo na qual é absorvida a radiação [INIRC, 1988].
Observa-se a partir das equações acima que a SAR é diretamente proporcional ao
aumento local de temperatura e, por isso, é responsável pelos efeitos térmicos, ou seja:
dT /dt = (1/Cp)SAR [◦ C/s], onde T é a temperatura e Cp é o calor especı́fico do tecido
[C95.1, 1999].
A SAR é utilizada como medida de referência pelas principais normas e diretrizes internacionais de exposição segura às radiações não-ionizantes (ICNIRP, ANSI/IEEE) para
estabelecer o limiar fisiológico de risco [INIRC, 1988] [C95.1, 1999]. A tabela a seguir apresenta os valores sugeridos pelas normas internacionais [C95.1, 1999].
Tabela 2.1: Restrições básicas da ANSI/IEEE [ANSI/IEEE, 1992] e FCC [FCC, 1999] para
a exposição a campos de RF na faixa entre 100kHz e 6GHz
Categoria da Exposição SAR média
SAR localizada em 1g
corpo inteiro cabeça e tronco membros
Ocupacional
0,4 W/kg
8 W/kg
20 W/kg
Público em Geral
0,08 W/kg
1,6 W/kg
4 W/kg
Estudos experimentais com animais que detectaram que: “ Quando a energia eletromagnética absorvida pelo corpo é próxima de 4 W/kg durante aproximadamente 30 minutos de exposição, em condições ambientais normais, acontece um aumento de temperatura média do corpo de 1 a 2 graus Celsius, que pode causar estresse, problemas de
comportamento e outros efeitos parecidos com os provocados ou causados por febre.”
[Almaguer, 2003]
2.2
O Método FD-TD
Devido à complexidade matemática das equações de Maxwell - que envolvem rotacionais,
divergentes, derivadas temporais, etc - a obtenção de uma solução analı́tica para problemas
com estruturas relativamente simples pode ser muito elaborada e complexa, como pode
ser visto, por exemplo, no trabalho de [Shapiro et al., 1971], que tratou do espalhamento
de uma onda plana de 3GHz incidindo em um modelo de esferas concêntricas. Problemas envolvendo estruturas mais complexas podem ser resolvidos de maneira mais eficiente
numericamente.
Várias técnicas numéricas são empregadas para solução de problemas eletromagnéticos.
Dentre elas, as mais conhecidas e utilizadas são MEF, MoM, TLM e FD-TD.
O Método dos Elementos Finitos (MEF) é um método matemático que utiliza uma
aproximação discreta para um problema contı́nuo - o meio contı́nuo é discretizado (subdividido) em elementos que mantém as propriedades do meio que os originou. Esses problemas são descritos por equações diferenciais e resolvidos por modelos matemáticos
[Zienkiewicz and Taylor, 2000].
2.2 O Método FD-TD
5
O TLM, Método de Linhas de Transmissão, é um método utilizado na resolução numérica
no domı́nio do tempo das equações de Maxwell para os casos mais gerais de propagação de
ondas eletromagnéticas. Se baseia no uso de redes de circuitos elétricos para a solução de
problemas de espalhamento, segundo a teoria ondulatória da luz ou Princı́pio de Huygens
[Christopoulos, 1997].
O Método dos Momentos (MoM) consiste, matematicamente, em reduzir uma equação
integral em uma equação matricial através de equações não-homogêneas [Harrington, 1993].
O Método das Diferenças Finitas do Domı́nio do Tempo (FD-TD) vem se destacando
na solução de problemas termo e eletrodinâmicos. No eletromagnetismo, o método consiste
em resolver, diretamente, a forma discretizada das equações de Maxwell. Assim, o desenvolvimento do FD-TD apresenta-se como alternativa às extensas deduções necessárias para
a solução de problemas eletromagnéticos envolvendo estruturas complexas.
O FD-TD tem sido utilizado em diferentes áreas e aplicações, como cálculo de eficiência
de antenas, [Adachi, 1995], solução de problemas de espalhamento [Taflove and Brodwin, 1975b],
e cálculo de campo eletromagnético, SAR e aumento de temperatura na cabeça humana
[Dimbylow and Mann, 1994],
[Furse et al., 1996],
[Watanabe et al., 1996],
[Gandhi et al., 2001]. Estes trabalhos exemplificam a grande aplicação do FD-TD e a adequação deste para o trabalho proposto.
O método - que será discutido, em detalhes, no próximo capı́tulo - é baseado no algoritmo de Yee [Yee, 1966], que consiste em dividir o domı́nio espacial em células. Em
cada célula, os componentes do campo elétrico (E) e magnético (H) são separados espacial e temporalmente. Uma revisão completa sobre o método pode ser encontrada em
[Taflove, 2000].
Os artigos de [Gandhi et al., 2001], [Bernardi et al., 2000], [Dimbylow, 1991] e
[Hombach et al., 1996] demonstram a adequação do FD-TD para a solução de diversos
problemas de espalhamento. Estes trabalhos fazem uma avaliação das vantagens do FDTD em relação a outros métodos, como, por exemplo, o método de elementos finitos (MEF).
São também feitas comparações com modelos fı́sicos e medições. Segundo esses autores o
FD-TD é mais indicado para tratar este tipo de problema pelas seguintes razões:
• No FD-TD não é necessário resolver um sistema de equações lineares. Apesar dos
avanços consideráveis alcançados nos últimos anos na solução de sistemas de equações
de grandes dimensões, o FD-TD mostra-se mais simples de ser implementado do que
o MEF para problemas do tipo proposto no presente trabalho.
• A modelagem de estruturas complexas é simples no FD-TD, bastando identificar o
material contido em cada cubo do domı́nio. Esta caracterı́stica também é comum a
outros métodos, como o MEF.
• É possı́vel implementar novas estruturas sem a necessidade de re-escrever equações
ou refazer malhas. Para incluir uma nova estrutura, basta determinar quais cubos
representarão os novos materiais no modelo. Assim, a implementação de diferentes
antenas, por exemplo, pode utilizar o modelo e a formulação já desenvolvidos para
um tipo especı́fico de antena.
Ainda segundo esses autores, as principais limitações do FD-TD são:
i) restrição do passo de tempo ligada ao tamanho da célula;
ii) necessidade de grande quantidade de memória e capacidade de processamento para
resolver problemas de grandes dimensões, especialmente em 3D;
2.3 Condições de Contorno
6
iii) escolha das condições de contorno adequadas ao problema.
As duas primeiras estão diretamente ligadas às capacidades computacionais disponı́veis,
especialmente memória e velocidade de processamento. No entanto, o rápido crescimento da
tecnologia de construção de computadores tem reduzido significativamente estas limitações,
tornando o FD-TD uma ferramenta atraente para solucionar problemas eletromagnéticos.
O terceiro fator, relaciona-se com a necessidade de implementação de condições de
contorno (CC) nas fronteiras do domı́nio para simular problemas abertos. Nessa área, as
formulações propostas por Mur [Mur, 1981] e Berenger [Berenger, 1994] são as mais utilizadas. Neste trabalho a CC proposta por [Mur, 1981] será utilizada por ser mais simples
de implementar e requerer menor esforço computacional.
2.3
Condições de Contorno
As condições de contorno (CC) são um conjunto de equações que relacionam os valores de
campo na fronteira com aqueles no domı́nio de estudo, representadas esquematicamente na
Figura 2.1.
As CC são essenciais no FD-TD. A ausência de condições de contorno impossibilitaria
o cálculo em todas as células da fronteira do domı́nio.
Figura 2.1: Representação simplificada de um domı́nio
Usando as CCs é possı́vel simular o espaço livre e os limites do domı́nio, impedindo
reflexões nas fronteiras do domı́nio em estudo.
Inicialmente, as CC mais amplamente adotadas eram limitadas à média dos valores
próximos ou médias baseadas em soluções analı́ticas. A maior limitação apresentada por
esta escolha é a alta reflexão observada quando o ângulo de incidência não é perpendicular
à fronteira. Em 1981, Mur [Mur, 1981] discutiu, detalhadamente, a necessidade de definir
condições de contorno eficientes e propôs uma série de equações baseadas na solução da
equação de onda tridimensional.
Os cuidados necessários para evitar erros e instabilidade utilizando a CC proposta
por Mur, resumem-se em afastar a fonte da CC: quanto mais distante a fonte estiver das
bordas do domı́nio, menor será a reflexão observada. Entretanto, é desejável que o domı́nio
de estudo seja o menor possı́vel.
As CC propostas por Mur são simples de serem implementadas. Por outro lado, atingem
um coeficiente de reflexão da ordem de 0,5% a 5,0% e não são indicadas para incidências não
2.4 A Antena Dipolo
7
perpendiculares à fronteira. Porém, constituem uma boa escolha para a maioria dos estudos
de engenharia que utilizam o FD-TD, já que os coeficientes de reflexão são valores aceitáveis
dentro da margem de erro proposta nesse tipo de trabalho e seu custo computacional é
pequeno [Taflove, 2000].
Em 1994, Berenger [Berenger, 1994] sugeriu uma nova abordagem para as CCA’s. Esta
nova condição de contorno absorvente, chamada de perfectly matched layer - PML, implementa a idéia de uma borda absorvente ao redor do domı́nio, como sugerido por Taflove,
em 1975 [Taflove and Brodwin, 1975a] quando o alto custo computacional inviabilizou sua
implementação.
Berenger detalhou as equações da PML para 2D e sugeriu que estas substituı́ssem as
condições utilizadas até então, que apresentam grande reflexão quando a onda propaga em
direções diferentes da perpendicular à fronteira. A PML consiste em separar os componentes
do campo elétrico e magnético e adotar valores adequados de condutividade elétrica (σ) e
perda magnética equivalente (σ∗) em cada direção de forma a evitar reflexões nas camadas
exteriores ao domı́nio. Os resultados numéricos apresentados comprovam a independência
entre o ângulo de incidência e a absorção da onda.
Os valores de reflexão obtidos são uma ordem de grandeza menor do que os obtidos
anteriormente. Em relação aos resultados obtidos com a condição de contorno de segunda
ordem de Mur [Mur, 1981], por exemplo, o campo refletido total é 400 vezes menor e a
média do campo refletido no domı́nio é 100.000 vezes menor. A utilização dessa técnica
define o atual estado da arte das condições de contorno para FD-TD. Entretanto, sua
implementação em 3D implica em um aumento considerável do custo computacional e da
complexidade de implementação.
Avaliações posteriores mostraram que a condição de contorno de Mur [Mur, 1981] em
3D tende à instabilidade a longo prazo (longo tempo de processamento)
[Yusheng and Wenbing, 1996]. Este efeito é causado pela aproximação por expressões de
diferenças centrais. É demonstrado que aumentar a distância entre a fonte e a borda do
domı́nio melhora o desempenho do método, mas não elimina a instabilidade a longo prazo.
Apesar das limitações das CC de Mur apresentadas por [Yusheng and Wenbing, 1996] e
das vantagens de se implementar a PML apresentadas por [Taflove, 2000], a diferença nos
resultados entre implementar as CC de Mur ou a PML é de menos de 1% se a distância da
fonte à fronteira for “suficientemente grande” [Nikita et al., 2000]. Assim, neste trabalho
optou-se por utilizar as CC de Mur que, além de proporcionar uma boa precisão, possui um
custo computacional bem menor que a PML, já que se trata de um problema tridimensional.
2.4
A Antena Dipolo
As primeiras antenas de que se tem notı́cia foram produzidas por Hertz [Balanis, 1997].
Na verdade, eram feitas de duas placas de metal conectadas a dois bastões metálicos.
Estes dispositivos eram ligados a duas esferas, e estas separadas entre si por uma distância
pré-determinada. Nas esferas era adaptada uma bobina que gerava descargas por centelhamento. As centelhas por sua vez, ao atravessar o espaço entre esferas, produziam ondas
eletromagnéticas oscilatórias nos bastões [Wikipedia, web].
Desde as primeiras antenas até as da atualidade, os princı́pios fı́sicos que regem seu
projeto e desenvolvimento foram sendo aprimorados e novas maneiras e tecnologias de se
transmitir e receber sinais eletromagnéticos surgiram.
Atualmente, as antenas são estruturas de extrema importância nas comunicações, sendo
2.4 A Antena Dipolo
8
talvez para o homem moderno tão importantes quanto foi a descoberta do fogo e a invenção
da roda para o desenvolvimento tecnológico humano.
Antenas lineares ou filamentares são assim chamadas por serem constituı́das por um fio
de diâmetro muito menor do que seu comprimento. São as mais simples das configurações,
e familiares a todos já que são vistas diariamente em automóveis, edifı́cios, embarcações,
aviões, entre outros [Balanis, 1997]. Existem vários tipos de antenas lineares como helicoidais, circulares, retangulares, elı́pticas, e os dipolos.
A antena dipolo é considerada como a mais antiga, simples e básica configuração de antena linear. Ainda assim, é uma das antenas mais utilizadas na prática, como, por exemplo,
na telefonia [Balanis, 1997].
Uma antena dipolo pode ser representada por dois condutores retilı́neos (filamentares)
alinhados, contendo em seu comprimento total o “tamanho” desejado da onda que se deseja
captar ou transmitir, com a corrente orientada em uma direção - convencionalmente na
direção z - e alimentada por uma linha de transmissão balanceada, isto é, a corrente em
cada fio tem a mesma amplitude mas oposta em fase.
A figura 2.2 apresenta a descrição geométrica de um dipolo finito, onde h representa o
tamanho de cada braço do dipolo.
Figura 2.2: Representação Geométrica do Dipolo Finito
De acordo com a ANATEL, Agência Nacional de Telecomunicações, uma antena dipolo
pode ser qualquer classe de antena aberta, excitada de tal modo que a corrente é simétrica
em relação a seu ponto médio. Outra definição equivalente, considera a antena dipolo como
sendo uma estrutura metálica radiante semelhante a um condutor fino e retilı́neo que,
quando excitado, possui uma distribuição de corrente cujos pontos nodais se localizam nos
extremos da antena [ANATEL, web].
Dentre todos os dipolos, o mais comum é o dipolo de meio comprimento de onda, constituı́do pela abertura das extremidades dos fios da linha de transmissão. O comprimento fı́sico
total dos fios abertos (2h) é igual a meio comprimento de onda (2h = λ/2). Eletricamente,
a antena dipolo de meia onda é uma linha de transmissão de um quarto de comprimento de
onda, em circuito aberto, alimentada por um gerador [Hoffmann and Gómez, 2003]. Este
dipolo especı́fico tornou-se a mais popular das antenas devido ao valor da parte real de
sua impedância de entrada, que é de 73Ω, ser muito próxima da impedância caracterı́stica
2.5 Considerações Finais
9
de muitas linhas de transmissão comerciais, 75Ω. Essa caracterı́stica simplifica bastante
problemas de casamento de impedância [Balanis, 1997].
2.5
Considerações Finais
Neste capı́tulo, foi feita uma breve descrição das questões que se encontram na fronteira do
conhecimento nesta área de pesquisa:
• taxa de absorção especı́fica;
• cálculo de campo eletromagnético nas regiões de campo próximo e campo distante
por meio do FD-TD.
• aplicação de condições de contorno eficientes nas fronteiras do domı́nio; e
• antena dipolo (fonte);
Vários trabalhos abordam a modelagem de antenas do tipo dipolo, como, por exemplo, [Rodrigues, 2004], [Taflove, 2000], [Lima and Jr., 2004], [Tirkas and Balanis, 1992],
[Zunoubi et al., 1997], [King, 1993]. A partir desses trabalhos é possı́vel verificar que, apesar de sua simplicidade, as antenas dipolo tem sido amplamente utilizadas.
A questão da aplicação de condições de contorno que permitam simular o espaço
aberto nas fronteiras do domı́nio onde será feito o cálculo dos campos eletromagnéticos
atualmente recai nos modelos propostos por Berenger [Berenger, 1994] e Mur [Mur, 1981].
Análises comparativas dos dois modelos e dos resultados alcançados com cada um deles
[Taflove, 2000] mostram que o método proposto em [Berenger, 1994] apresenta resultados mais precisos do que os propostos por Mur [Mur, 1981]. Entretanto, a técnica desenvolvida em [Berenger, 1994] adiciona maior complexidade e maiores custos computacionais
ao cálculo.
Muitos dos trabalhos publicados dedicam-se a avaliar parâmetros que envolvem o cálculo
de campos eletromagenéticos emitidos por antenas ou fontes puntuais ou de onda plana,
[Mur, 1981], [Taflove, 2000], [Lima and Jr., 2004], [Rodrigues, 2004], [Moreira et al., 2004],
[Caires et al., 2000],
[Zunoubi et al., 1997],
[King, 1993],
[Berenger, 1994],
[Tirkas and Balanis, 1992]. Apesar de poucos tratarem da avaliação de campo próximo, ou
região de Fresnel, esses trabalhos constituem uma boa base bibliográfica e de comparação
para o presente estudo.
Neste trabalho, pretende-se avaliar a propagação dos campos eletromagnéticos emitidos
por um dipolo de meia onda tanto em regiões de campo próximo como em regiões de campo
distante e comparar os resultados obtidos com os valores analı́ticos e os apresentados na
literatura.
Será apresentada no próximo capı́tulo a metodologia utilizada para obtenção dos resultados no problema proposto.
Capı́tulo 3
Formulação Matemática - FD-TD
3.1
3.1.1
Desenvolvimento Matemático do FD-TD
Introdução
Nesta seção, será apresentado o método escolhido para o desenvolvimento deste trabalho: o
Método das Diferenças Finitas no Domı́nio do Tempo (FD-TD). Uma referência completa
e detalhada sobre o método e suas aplicações pode ser encontrada no livro do Taflove
[Taflove, 2000]. O método é baseado no Algoritmo de Yee [Yee, 1966], e, como comentado
no capı́tulo anterior, tem grande destaque na solução de equações diferenciais. O objetivo
do trabalho, calcular os campos elétrico e magnético gerados por uma antena, requer a
solução das equações de Maxwell que, na forma diferencial, para meios lineares homogêneos
e isotrópicos são dadas por
∇ × H = Ji + Jc + ε
∇ × E = −µ
∂E
,
∂t
(3.1)
∂H
+ σ ∗ H,
∂t
(3.2)
∇ · B = 0,
∇ · D = qev .
(3.3)
(3.4)
Nas equações acima, E denota o vetor intensidade de campo elétrico, H é o vetor intensidade
de campo magnético, B é o vetor indução magnética, D é o vetor densidade de fluxo elétrico,
Ji a densidade de corrente elétrica, Jc é a densidade de corrente de condução, σ ∗ é a perda
magnética equivalente e qev é a densidade volumétrica de carga elétrica. As propriedades
do meio no qual a onda eletromagnética se propaga são descritas por ε, a permissividade
elétrica do material, e por µ, a permeabilidade magnética do material. Vale dizer que cargas
e correntes magnéticas não foram incluı́das nas equações acima, pois não são utilizadas nos
modelos presentes neste trabalho.
As equações (3.1) e (3.2) podem ser re-escritas de modo a separar, para cada componente, as derivadas temporais e espaciais obtendo (3.5) a (3.10).
Ã
!
∂Hx
1
∂Ey ∂Ez
=
·
−
+ σ ∗ Hx ,
∂t
µ
∂z
∂y
!
Ã
∂Hy
1
∂Ez ∂Ex
∗
=
·
−
+ σ Hy ,
∂t
µ
∂x
∂z
(3.5)
(3.6)
3.1 Desenvolvimento Matemático do FD-TD
∂Hz
∂t
∂Ex
∂t
∂Ey
∂t
∂Ez
∂t
Ã
=
=
=
=
1
∂Ex
·
µ
∂y
Ã
1
∂Hz
·
ε
∂y
Ã
1
∂Hx
·
ε
∂z
Ã
1
∂Hy
·
ε
∂x
11
!
∂Ey
−
− σ ∗ Hz ,
∂x
!
∂Hy
−
+ σEx − Jix ,
∂z
!
∂Hz
−
− σEy − Jiy ,
∂x
!
∂Hx
−
− σEz − Jiz .
∂y
(3.7)
(3.8)
(3.9)
(3.10)
Esse sistema de seis equações diferenciais acopladas é a base do algoritmo numérico FD-TD
para interações de ondas eletromagnéticas com objetos tridimensionais em geral [Taflove, 2000].
Embora o FD-TD não inclua as equações (3.3) e (3.4) diretamente em sua formulação, é
possı́vel mostrar que estas são facilmente obtidas a partir de (3.1) e (3.2).Esta é a situação do
problema que estamos tratando; para qev 6= 0, serão necessárias modificações na formulação
apresentada acima. Dessa forma, Jc é também nulo e o efeito da antena é implementado
no algorı́tmo através de Ji .
O Algoritmo de Yee, representado na Figura 3.1, descreve a relação geométrica para a
amostragem dos componentes dos campos elétrico e magnético que representam as equações
de Maxwell, na forma dada pelas equações. (3.5) a (3.10).
Na Fig.3.1, é possı́vel observar a representação gráfica do rotacional dos campos elétrico
(E) e magnético (H) na célula clássica de Yee. Como pode ser observado, o algoritmo de Yee
posiciona tridimensionalmente os componentes de E e H de modo que todo componente de
E esteja circulado por componentes de H e todos os componentes de H estejam circulados
por componentes de E. Dessa forma, o algoritmo é capaz de atender às leis de Faraday e
Ampère, generalizadas, e representar geometricamente tanto a forma diferencial quanto a
forma integral das equações de Maxwell.
A principal vantagem do algoritmo de Yee é ser capaz de solucionar os campos elétrico
e magnético no tempo e no espaço diretamente através das equações acopladas de Maxwell,
sem recorrer à resolução de apenas um dos campos, separadamente, através da equação de
onda. As soluções obtidas utilizando as informações de E e H, como no algoritmo de Yee,
são mais robustas do que aquelas que utilizam informações de um campo apenas. Além
disso, caracterı́sticas únicas de cada campo como, por exemplo, a singularidade tangencial
de H próximo a extremidades e quinas, singularidades azimutais de H próximo a fios
finos e singularidades radiais de E próximo a pontos, extremidades e fios finos, podem ser
modeladas individualmente se ambos os campos estiverem disponı́veis [Taflove, 2000].
As propriedades elétrica e magnética dos materiais podem ser modeladas diretamente
atribuindo os valores de permissividade elétrica e permeabilidade magnética a cada parte
discretizada do domı́nio.
3.1 Desenvolvimento Matemático do FD-TD
12
Figura 3.1: Representação gráfica do Algoritmo de Yee
Uma malha formada pelas células de Yee possui atributos importantes como:
i) capacidade de atribuir a cada célula propriedades eletromagnéticas diferentes, representando regiões constituı́das ou preenchidas por materiais diferentes;
ii) manutenção da continuidade dos campos tangenciais E e H entre interfaces de materiais
diferentes, desde que tais interfaces sejam paralelas aos eixos coordenados. Assim, não
há necessidade de explicitar condições de contorno especiais entre as interfaces;
iii) na ausência de cargas elétricas (e magnéticas), os campos E e H não divergem.
A figura 3.2 ilustra o esquema tempo-espaço do algoritmo de Yee para a propagação de uma
onda em uma dimensão, mostrando a utilização de diferenças centrais – para os cálculos
no espaço – e os passos de tempo computacionais.
Inicialmente, os campos elétrico e magnético são definidos com intensidade nula em todo
o espaço em estudo. Esse procedimento evita problemas que aparecem em outros métodos
envolvendo cálculos com equações simultâneas e inversão de matrizes. Além disso, o método
é não dissipativo, ou seja, uma onda numérica propagando pela malha não decai de forma
espúria.
Na próxima seção, serão detalhadas as equações para o FD-TD em 3D com as considerações especı́ficas para o problema proposto.
3.1 Desenvolvimento Matemático do FD-TD
13
Figura 3.2: Representação do funcionamento do Algoritmo de Yee
3.1.2
FD-TD em 3D
Designando por ∆x, ∆y e ∆z os incrementos (espaçamentos) no espaço nas direções x, y,
e z, respectivamente, e por ∆t o passo no tempo, usamos a seguinte notação
(i, j, k) = (i∆x, j∆y, k∆z) ,
u (i∆x, j∆y, k∆z, n∆t) = uni,j,k .
(3.11)
(3.12)
A equação (3.11) designa um ponto no espaço e (3.12) representa o valor de uma função
u (que serão os componentes de E ou H) num determinado ponto – (i,j,k) – em um
determinado instante (t → n∆t).
Yee [Yee, 1966] utiliza expressões com diferenças finitas centrais tanto para derivações
no espaço quanto no tempo obtendo, até segunda ordem,
uni+ 1 ,j,k − uni− 1 ,j,k
∂u
2
2
(i∆x, j∆y, k∆z, n∆t) =
+ O[(∆x)2 ],
∂x
∆x
n+ 1
(3.13)
n− 1
u 2 − ui,j,k2
∂u
(i∆x, j∆y, k∆z, n∆t) = i,j,k
+ O[(∆t)2 ].
∂t
∆t
(3.14)
A equação (3.13) representa a derivada primeira parcial, espacial, de u na direção x ,
enquanto (3.14) é a expressão para a derivada primeira parcial, temporal, de u, calculadas,
para o ponto (i, j, k) no instante n. Esta notação foi utilizada por Yee [Yee, 1966] para
~ e H
~ no tempo em intervalos de ∆t/2 e
possibilitar a intercalação dos componentes E
facilitar a implementação do algoritmo.
Utilizando (3.11) a (3.14), pode-se re-escrever as equações (3.5) a (3.10). Para exemplificar, serão detalhadas apenas as passagens envolvendo a derivada temporal do componente
Ez , dado pela equação (3.10).
3.1 Desenvolvimento Matemático do FD-TD
14
É possı́vel obter
n+ 1
n− 1
Ez |i,j,k2 − Ez |i,j,k2
∆t
=
"
1
Hy |ni+ 1 ,j,k − Hy |ni− 1 ,j,k
2
2
εi,j,k
∆x
−
Hx |ni,j+ 1 ,k − Hx |ni,j− 1 ,k
2
2
∆y
#
−σi,j,k Ez |ni,j,k − Jiz |ni,j,k .
(3.15)
Observe, na equação acima, que as quantidades relativas ao meio, ε e σ, estão vinculadas
ao ponto (i, j, k) do espaço enquanto as derivadas de E e de H foram expressas seguindo
(3.13) e (3.14). No entanto, como o cálculo dos campos é feito de maneira intercalada, o
valor de Ez no tempo n ainda não foi obtido. Admite-se, então, que Ez |ni,j,k seja aproximado
pela média simples dos valores de Ez no tempo n − 1/2 (já calculado) e no tempo n + 1/2
(que aparece no lado esquerdo da equação), ou seja ,
n− 1
n+ 1
Ez |ni,j,k
Ez |i,j,k2 + Ez |i,j,k2
.
=
2
(3.16)
Assim, substituindo (3.16) em (3.15), obtém-se
n+ 1
n− 1
Ez |i,j,k2 − Ez |i,j,k2
∆t
=
"
1
Hy |ni+ 1 ,j,k − Hy |ni− 1 ,j,k
2
2
εi,j,k
∆x
−
Hx |ni,j+ 1 ,k − Hx |ni,j− 1 ,k
2
,
#
n− 1
n+ 1
2
∆y
Ez |i,j,k2 + Ez |i,j,k2
−σi,j,k
− Jiz |ni,j,k .
2
(3.17)
n+ 1
Pode-se, então, isolar o componente desejado, Ez |i,j,k2 , escrevendo
µ
¶
1+
σi,j,k ∆t
n+ 1
Ez |i,j,k2 =
2εi,j,k
µ
¶
σi,j,k ∆t
n− 1
Ez |i,j,k2 +
2εi,j,k
µ
¶" Hy |n 1
− Hy |ni− 1 ,j,k
∆t
i+ ,j,k
1−
+
−
Ã
=
1−
1+
Ã
2
εi,j,k
∆x
n
n
Hx |i,j+ 1 ,k − Hx |i,j− 1 ,k
Finalmente, dividindo ambos os lados por (1 +
a expressão
n+ 1
Ez |i,j,k2
2
2
2
∆y
σi,j,k ∆t
),
2εi,j,k
σi,j,k ∆t !
n− 12
2εi,j,k
E
|
z
i,j,k
σi,j,k ∆t
2εi,j,k
#
−
Jiz |ni,j,k
.
(3.18)
obtém-se, para o componente Ez ,
+
!"
∆t
Hy |ni+ 1 ,j,k − Hy |ni− 1 ,j,k
εi,j,k
2
2
+
σi,j,k ∆t .
∆x
1 + 2εi,j,k
#
Hx |ni,j+ 1 ,k − Hx |ni,j− 1 ,k
n
2
2
−
− Jiz |i,j,k
∆y
+
+
(3.19)
Os demais componentes, inclusive para o campo magnético, são obtidos de forma
análoga e podem ser deduzidas sem muita dificuldade. A seguir, estão apresentadas as
3.1 Desenvolvimento Matemático do FD-TD
15
expressões a serem utilizadas para o cômputo dos demais componentes:
n+ 1
Ex |i,j,k2
Ã
1−
=
1+
Ã
σi,j,k ∆t
2εi,j,k
σi,j,k ∆t
2εi,j,k
!
n− 1
Ex |i,j,k2 +
!"
∆t
Hz |ni,j+ 1 ,k − Hz |ni,j− 1 ,k
εi,j,k
2
2
+
σi,j,k ∆t .
∆y
1 + 2εi,j,k
#
Hy |ni,j,k+ 1 − Hy |ni,j,k− 1
n
2
2
−
− Jix |i,j,k ,
+
(3.20)
∆z
n+ 1
Ey |i,j,k2
Ã
=
1−
1+
Ã
σi,j,k ∆t
2εi,j,k
σi,j,k ∆t
2εi,j,k
!
n− 1
Ey |i,j,k2 +
!"
∆t
Hx |ni,j,k+ 1 − Hx |ni,j,k− 1
εi,j,k
2
2
+
σi,j,k ∆t .
∆z
1 + 2εi,j,k
#
Hz |ni+ 1 ,j,k − Hz |ni− 1 ,j,k
n
2
2
−
− Jix |i,j,k ,
+
(3.21)
∆x
n+ 1
Hx |i,j,k2
Ã
1−
=
1+
Ã
ρi,j,k ∆t
2µi,j,k
ρi,j,k ∆t
2µi,j,k
!
n− 1
Hx |i,j,k2 +
!"
∆t
Ey |ni,j,k+ 1 − Ey |ni,j,k− 1
µi,j,k
2
2
+
ρi,j,k ∆t .
∆z
1 + 2µ
i,j,k
Ez |ni,j+ 1 ,k − Ez |ni,j− 1 ,k #
2
2
−
n+ 1
Hy |i,j,k2
Ã
=
,
∆y
1−
1+
ρi,j,k ∆t
2µi,j,k
ρi,j,k ∆t
2µi,j,k
!
−
n+ 1
Hz |i,j,k2
Ã
n− 1
=
1+
ρi,j,k ∆t
2µi,j,k
ρi,j,k ∆t
2µi,j,k
!
−
(3.23)
n− 1
Hz |i,j,k2 +
!"
∆t
Ex |ni,j+ 1 ,k − Ex |ni,j− 1 ,k
µi,j,k
2
2
+
ρi,j,k ∆t .
∆y
1 + 2µi,j,k
Ey |ni+ 1 ,j,k − Ey |ni− 1 ,j,k #
2
2
Ã
+
,
∆z
1−
(3.22)
Hy |i,j,k2 +
!"
∆t
Ez |ni+ 1 ,j,k − Ez |ni− 1 ,j,k
µi,j,k
2
2
+
ρi,j,k ∆t .
∆x
1 + 2µi,j,k
Ex |ni,j,k+ 1 − Ex |ni,j,k− 1 #
2
2
Ã
+
∆x
.
+
(3.24)
3.1 Desenvolvimento Matemático do FD-TD
3.1.3
16
Interface Dielétrico - Dielétrico
Nas interfaces entre meios materiais diferentes, é necessário impor condições de interface
entre os campos [Balanis, 1989]. Como, no presente trabalho, não foram consideradas correntes ou cargas magnéticas, Ms , Js e qms são iguais a zero, assim:
−n̂ × (E2 − E1 )
n̂ × (H2 − H1 )
n̂ · (D2 − D1 )
n̂ · (B2 − B1 )
=
=
=
=
0,
0,
n̂ · (ε2 E2 − ε1 E1 ) = qes ,
n̂ · (µ2 H2 − µ1 H1 ) = 0.
(3.25)
(3.26)
(3.27)
(3.28)
Onde qes é a densidade de carga elétrica superficial, E1 e E2 representam os campos elétricos
(nos meios 1 e 2), H1 e H2 representam os campos magnéticos (nos meios 1 e 2), n̂ é um
vetor unitário na direção normal à superfı́cie, D1 e D2 representam as densidades de fluxo
de campo elétrico (nos meios 1 e 2) e B1 e B2 representam os vetores indução magnética
(nos meios 1 e 2).
Como no presente estudo, em todo o domı́nio µ = µ0 , (3.28) já é automaticamente
satisfeita. O método FD-TD satisfaz (3.25) e (3.26) automaticamente. Quando ε1 = ε2 ,
(3.27) também é automaticamente satisfeita [Taflove, 2000]. Como, no caso de interesse,
existem células onde ε1 6= ε2 e, consequentemente, qes 6= 0, serão necessárias alterações nas
equações apresentadas na sessão anterior para satisfazer (3.27) [Rodrigues, 2004].
Para satisfazer as condições de interface entre meios dielétricos com perdas (ε1 6= ε2 6=
ε0 e σ1 6= σ2 6= 0), adotou-se a dedução apresentada por [Li et al., 1997]. A Figura 3.3
representa uma interface entre dois meios dielétricos, no plano xy.
Figura 3.3: Representação dos componentes de campo elétrico e magnético na interface
(adaptado de [Li et al., 1997])
3.1 Desenvolvimento Matemático do FD-TD
17
Para demonstrar que o FD-TD assegura a continuidade dos componentes tangenciais
do campo elétrico, inicia-se com a lei de Ampère na forma integral, incluindo a corrente de
deslocamento, dada abaixo [Rodrigues, 2004]:
I
C
~ =
H · dl
ZZ ·
S
¸
∂D
~
+ σe E · dS.
∂t
(3.29)
Usando os parâmetros da Figura 3.3, (3.29) pode ser re-escrita como:
I
C
·
ZZ
~ =
H · dl
S1
·
¸
ε1
¸
ZZ
∂E1
∂E2
~ +
~
ε2
+ σe1 E1 ds
+ σe2 E2 dS.
∂t
∂t
S2
(3.30)
onde ε1 e σe1 denotam, respectivamente, a permissividade e a condutividade elétrica do
meio 1, e ε2 e σe2 denotam, respectivamente, a permissividade e a condutividade elétrica
do meio 2. Pode-se definir a superfı́cie S1 como a área do meio 1 e a superfı́cie S2 como
a área do meio 2, localizadas dentro da linha pontilhada. A linha pontilhada representa o
percurso fechado da integral de linha e os limites externos da célula de Yee.
Para calcular o valor de um componente dos campos E ou H, pode-se utilizar uma
interpolação simples (média), dada por:
1
V n+ 2 (i, j, k) =
V n+1 (i, j, k) + V n−1 (i, j, k)
,
2
(3.31)
onde V denota um dos componentes de campo.
Usando o sistema de coordenadas da figura 3.3 e a média definida por (3.31), pode-se
discretizar a equação (3.30), obtendo-se:
·
¸
1
1
1
1
n+ 1
(i, j + , k + ) − Hx 2 (i, j − , k + ) ∆x
2
2
2
2
·
¸
1
1
1
1
1
1
n+
n+
+ Hy 2 (i + , j, k + ) − Hy 2 (i − , j, k + ) ∆y =
2
2
2
2
·
1
n
n+1
E (i, j, k + 2 ) − Ez (i, j, k + 12 )
∆x∆y
ε1 z
2
∆t
média
n+ 12
− Hx
z
}|
{
¸
Ezn+1 (i, j, k + 12 ) + Ezn (i, j, k + 12 )
+σe1
2
·
Ezn+1 (i, j, k + 12 ) − Ezn (i, j, k + 12 )
∆x∆y
ε2
+
2
∆t
média
z
}|
{
¸
E n+1 (i, j, k + 12 ) + Ezn (i, j, k + 12 )
+σe2 z
.
2
(3.32)
Rearranjando-se (3.32) em função da variável desejada, Ezn+1 (i, j, k + 12 ), tem-se:
Ezn+1 (i, j, k
1
+ ) =
2
ε1 +ε2
2
ε1 +ε2
2
−
+
∆t σ1 +σ2
2
2
∆t σ1 +σ2
2
2
1
Ezn (i, j, k + )
2
·
+ ε1 +ε2
−
n+ 12
Hy
∆t
∆t σ1 +σ2
+ 2 2
2
n+ 1
Hx 2 (i, j
n+ 12
(i + 12 , j, k + 12 ) − Hy
∆x
n+ 12
+ 12 , k + 12 ) − Hx
∆y
(i, j − 21 , k + 12 )
(i − 12 , j, k + 12 )
¸
.
(3.33)
3.1 Desenvolvimento Matemático do FD-TD
18
Equações equivalentes podem ser desenvolvidas para Ex e Ey quando estes componentes
se encontram tangentes ao plano da interface entre dielétricos com perdas. É importante
ressaltar que se a permissividade e a condutividade da equação (3.19) forem substituı́das por
valores equivalentes à média das permissividades e condutividades dos meios que compõem
a interface obtém-se a equação (3.33).
No caso descrito, o modelo é composto de apenas dois meios. Para geometrias mais
complexas, valores equivalentes para a permissividade e a condutividade poderão ser obtidos
atribuindo-se um peso a cada parâmetro. Este peso corresponderá à proporção da área
composta por cada material em relação à área total da célula.
A equação (3.33) garante a continuidade do componente tangencial do campo elétrico.
Como explicado anteriormente, a continuidade dos componentes tangenciais do campo
magnético estão automaticamente garantidos uma vez que não há variação na permeabilidade magnética nos meios que compõem o modelo (µ = µ0 para todos os materiais).
Quanto ao campo elétrico normal, não é necessária nenhuma modificação na formulação
[Rodrigues, 2004].
O modelamento de interfaces entre meios dielétricos com perdas sobre o componente
normal do campo elétrico faria com que o campo elétrico fosse computado como um campo
contı́nuo. Um componente contı́nuo do campo elétrico entre dois meios com permissividades
diferentes acarreta em uma discontinuidade da densidade de fluxo elétrico (D). Isto significa
que esta modelagem criaria uma distribuição de carga “artificial” na superfı́cie entre os dois
meios [Li et al., 1997], ou seja, a carga estaria distribuı́da implicitamente nos valores acima
e abaixo da interface. Essa distribuição de carga na superfı́cie é a diferença entre os campos
que compõem a superfı́cie.
Para evitar esta distribuição de cargas artificial, os domı́nios deste trabalho foram modelados com células de Yee segundo o esquema da figura 3.4. Como o meio dentro do cubo
de Yee é único, esta distribuição garante que não haverá campo elétrico normal à superfı́cie
de dois meios diferentes. Os componentes normais entre meios diferentes serão de campo
magnético. Como, para todos os materiais deste estudo µ = µ0 , a continuidade dos campos
normais fica garantida [Rodrigues, 2004].
3.1 Desenvolvimento Matemático do FD-TD
19
Figura 3.4: Distribuição das componentes de campo elétrico e magnético no Cubo de Yee
3.1.4
Critérios de Dispersão e Estabilidade Numéricas
Nesta sub-seção, serão apresentados os conceitos de dispersão numérica e estabilidade
numérica, bem como as considerações especı́ficas para o problema em estudo.
O algoritmo do FD-TD visto na seção anterior causa dispersão das ondas simuladas
no espaço livre [Taflove, 2000]. A velocidade de fase da onda numérica pode diferir da velocidade da luz devido a variações do comprimento de onda, da direção de propagação na
malha e da discretização do domı́nio. Uma maneira intuitiva de perceber esse fenômeno,
segundo [Taflove, 2000], é que o FD-TD embute, na estrutura de interação das ondas eletromagnéticas, um tênue “éter numérico” que possui propriedades muito semelhantes, mas não
exatamente iguais, às do vácuo. Esse “éter” causa o acúmulo de atrasos ou erros de fase das
ondas numéricas que podem induzir resultados inválidos. Dispersão numérica é um fator
importante e que precisa ser considerado no FD-TD, até mesmo para que se conheça os
detalhes de sua operação e os limites de precisão – especialmente quando grandes estruturas
elétricas estão incluı́das no problema.
Além disso, o FD-TD requer uma relação especı́fica entre o passo de tempo (∆t) e os
incrementos espaciais da malha, ∆x, ∆y e ∆z que funciona, efetivamente, como um limite
em ∆t. Esse limite evita a instabilidade numérica, que provoca o indesejado crescimento
exagerado dos valores ao longo do tempo.
Dispersão Numérica
Dispersão numérica é definida como a variação do comprimento de onda λ com a freqüência
f . A análise apresentada a seguir é válida para os casos tridimensionais que envolvem todos
3.1 Desenvolvimento Matemático do FD-TD
20
~ e H.
~ Por conveniência, foi considerada uma região sem perdas
os seis componentes de E
√
com µ = 1, ² = 1, σ = 0, σ ∗ = 0 e c = 1. Fazendo j = −1, é possı́vel reunir as equações
de Maxwell escrevendo
³
~ + jE
~
j∆ × H
´
´
∂ ³~
~ ,
H + jE
∂t
=
(3.34)
ou, de modo ainda mais compacto, na forma da equação de Yee,
j∆ × V~
=
∂ V~
,
∂t
(3.35)
~ + j E).
~
onde V~ = (H
Substituindo a equação da onda viajante vetorial,
V~ |nI,J,K = V~0 ej(ωn∆t−k̃x I∆x−k̃y J∆y−k̃z K∆z) ,
(3.36)
na equação (3.35), obtém-se
"
Ã
!
Ã
x̃
k̃x ∆x
ỹ
k̃y ∆y
+
sin
sin
∆x
2
∆y
2
!
Ã
z̃
k̃z ∆z
+
sin
∆z
2
!#
µ
onde ω é a frequência angular da onda, k̃x , k̃y , k̃z são o número de onda. Pode-se notar
que as equações (3.36) e (3.37) possuem caráter vetorial e formam um sistema.
Igualando o determinante desse sistema a zero, tem-se:
·
µ
ω∆t
1
sin
∆t
2
"
¶¸2
=
Ã
1
k̃x ∆x
sin
∆x
2
!#2
"
Ã
1
k̃y ∆y
+
sin
∆y
2
!#2
"
Ã
1
k̃z ∆z
+
sin
∆z
2
!#2
(3.38)
E, finalmente, a relação geral de dispersão numérica em três dimensões é obtida:
·
µ
1
ω∆t
sin
c∆t
2
"
¶¸2
=
Ã
1
k̃x ∆x
sin
∆x
2
!#2
"
Ã
1
k̃y ∆y
+
sin
∆y
2
!#2
"
Ã
!#2
1
k̃z ∆z
+
sin
∆z
2
(3.39)
Num caso ideal, isto é, num meio homogêneo e sem perdas, a relação de dispersão para
uma onda plana propagando em três dimensões é simplesmente:
µ
ω
c
¶2
¶
ω∆t
−j ~ n
× V~ |nI,J,K =
V |I,J,K sin
.
∆t
2
(3.37)
= (kx )2 + (ky )2 + (kz )2
(3.40)
Em [Taflove, 2000] encontra-se detalhada a dedução da equação de dispersão para três
casos, com os seguintes resultados:
• Malha com alto refinamento (∆x → 0, ∆t → 0) : à medida que o passo no tempo e
a discretização da malha tendem para zero, a solução tende para a solução exata.
• Passo de tempo mágico (c∆x = ∆t): novamente, a solução numérica é exata.
3.2 Condições de Contorno Absorventes de Mur
21
• Solução geral: à medida que relações diferentes para ∆x/∆t são escolhidas, diferentes
erros na velocidade de propagação da onda (dispersão) são obtidos. Considerando
∆t “mágico”, para, por exemplo, ∆x = λ0 /10, onde λ0 é o comprimento de onda
no vácuo, o erro na velocidade de propagação é de 1,27%, com um erro de fase de
45,72o . Para ∆x = λ0 /20, o erro na velocidade de propagação é reduzido para -0,31%,
com conseqüente erro de fase de 11,20o . Ou seja, para uma redução pela metade no
∆x, o erro é reduzido em aproximadamente 4 vezes. Estas soluções demonstram a
necessidade de malhas refinadas para reduzir o erro de dispersão numérica.
Estabilidade Numérica
A instabilidade numérica é a possibilidade, indesejável, dos resultados calculados crescerem
de forma descontrolada à medida que os cálculos são feitos. Esta possibilidade está presente
nos métodos de solução de equações utilizando diferenças finitas explı́citas, como o FD-TD
[Taflove, 2000]. Para evitar esta instabilidade, o passo no tempo, ∆t, deve ser mantido
dentro de um certo limite, definido pela escolha dos incrementos espaciais (∆x, ∆y e ∆z).
Através da solução dos problemas de auto-valor no tempo e no espaço, é possı́vel mostrar
que a condição necessária e suficiente para a estabilidade é a adoção do chamado passo de
tempo mágico definido como [Taflove, 2000]
∆t ≤ q 1
v (∆x)2 +
1
1
(∆y)2
+
1
(∆z)2
(3.41)
onde v e a velocidade de propagação da onda no meio em questão. Percebe-se que a escolha
dos incrementos espaciais ∆x, ∆y e ∆z determinam o valor máximo de ∆t. A dedução que
leva à equação (3.41) é extensa e está detalhada na referência [Taflove, 2000]. Observa-se
que, se o meio for o vácuo, onde a velocidade de propagação assume seu valor máximo,
c = 3, 0 × 108 m/s, o ∆t deverá ser pequeno. Nos materiais que compõem os modelos
utilizados neste trabalho, a velocidade de propagação da onda é sempre menor do que a
velocidade no vácuo e o ∆t pode ser maior.
É importante ressaltar que estes procedimentos para garantir a estabilidade e evitar a
dispersão do método foram realizados, como discutido no Capı́tulo 5.
3.2
3.2.1
Condições de Contorno Absorventes de Mur
Introdução
No FD-TD, o cálculo dos campos em uma determinada célula do domı́nio requer o conhecimento dos campos na célula que estaria depois da célula de interesse como pode ser
observado nas equações (3.19) a (3.24). Sendo assim, o cálculo dos campos nas células da
fronteira do domı́nio requer o conhecimento dos campos nas células que estariam depois da
fronteira, ou seja, fora do domı́nio em estudo. Como isto não é possı́vel, é preciso definir
condições de contorno, adequadas, na fronteira. Para o problema proposto, o comportamento do campo ao atingir esta fronteira deve simular o espaço livre, impedindo qualquer
reflexão nas bordas do domı́nio. Nesta situação, são utilizadas as “condições de contorno
absorventes”(CCA).
Existem na literatura vários conjuntos de equações que permitem determinar o valor
dos campos nas células da fronteira, no contexto das CCA [Mur, 1981] e [Berenger, 1994].
Atualmente, as formas mais utilizadas para as CCA’s são:
3.2 Condições de Contorno Absorventes de Mur
22
• CCA Analı́ticas, como as propostas por Mur [Mur, 1981]; e
• CCA de Camada Perfeitamente Casada (Perfectly Matched Layer Absorbing Boundary Conditions - PML), propostas por Berenger [Berenger, 1994].
As CCA’s propostas por Mur são mais simples de serem implementadas do que as do
tipo PML. Por outro lado, enquanto as CCA de Mur atingem um coeficiente de reflexão
que varia entre 0,5% e 5,0%, as do tipo PML apresentam coeficientes de reflexão até 3000
vezes menores [Taflove, 2000]. No presente estudo, foi utilizada a CCA proposta por Mur,
uma vez que ela apresenta precisão suficiente para os propósitos do trabalho e é bem mais
simples de implementar. Na próxima seção, será discutido como esta condição de contorno
foi implementada no problema proposto.
3.2.2
Formulação
As condições de contorno propostas por [Mur, 1981] consistem em utilizar equações especı́ficas para fazer o cálculo na fronteira do domı́nio. A dedução das CCA de Mur, detalhadas em [Taflove, 2000], inicia-se com a equação de onda em três dimensões dada por
∂2U
∂ 2U
∂ 2U
1 ∂2U
+
+
−
= 0,
∂x2
∂y 2
∂z 2
c2 ∂t2
(3.42)
onde U é um componente escalar dos campos E ou H. A equação acima é obtida das
equações de Maxwell.
Utilizando, em (3.42), aproximações por séries de Taylor, chega-se ao seguinte conjunto
de equações para cada uma das fronteiras [Taflove, 2000]:
∂ 2U
∂x∂t
∂ 2U
∂x∂t
∂2U
∂y∂t
∂ 2U
∂y∂t
∂ 2U
∂z∂t
∂ 2U
∂z∂t
1 ∂ 2U
c ∂t2
1 ∂ 2U
+
c ∂t2
1 ∂ 2U
−
c ∂t2
1 ∂ 2U
+
c ∂t2
1 ∂ 2U
−
c ∂t2
1 ∂ 2U
+
c ∂t2
−
+
−
+
−
+
−
c ∂ 2U
2 ∂y 2
c ∂ 2U
2 ∂y 2
c ∂ 2U
2 ∂x2
c ∂ 2U
2 ∂x2
c ∂ 2U
2 ∂x2
c ∂ 2U
2 ∂x2
+
−
+
−
+
−
c ∂ 2U
2 ∂z 2
c ∂ 2U
2 ∂z 2
c ∂ 2U
2 ∂z 2
c ∂ 2U
2 ∂z 2
c ∂ 2U
2 ∂y 2
c ∂ 2U
2 ∂y 2
= 0 para x = 0,
(3.43)
= 0 para x = Xmax ,
(3.44)
= 0 para y = 0,
(3.45)
= 0 para y = Ymax ,
(3.46)
= 0 para z = 0,
(3.47)
= 0 para z = Zmax .
(3.48)
onde Xmax , Ymax e Zmax são os valores das coordenadas x, y e z, respectivamente, nas
fronteiras do domı́nio.
O próximo passo consiste em expressar, como antes, as derivadas parciais em (3.43) a
(3.48) em termos de diferenças centrais. Assumindo que U |n0,j,k representa um componente
cartesiano de E ou H, localizada em x = 0, y = j e z = k no instante de tempo n na malha
de Yee, e tangencial a x̂ (vetor unitário na direção x), tem-se
n−1
U |n+1
0,j,k = −U |1,j,k +
´
c∆t − ∆x ³ n+1
n−1
U |1,j,k + U |0,j,k
c∆t + ∆x
3.3 Considerações Finais
23
´
2∆x ³ n
U |0,j,k + U |n1,j,k
c∆t + ∆x
Ã
!
(c∆t)2 ∆x
U |n0,j+1,k −2U |n0,j,k +U |n0,j−1,k +
+
2∆y 2 (c∆t + ∆x) U |n1,j+1,k −2U |n1,j,k +U |n1,j−1,k
+
(c∆t)2 ∆x
+
2∆z 2 (c∆t + ∆x)
Ã
U |n0,j,k+1 −2U |n0,j,k +U |n0,j,k−1 +
U |n1,j,k+1 −2U |n1,j,k +U |n1,j,k−1
!
.
(3.49)
Para x = Xmax , y = 0, y = Ymax , z = 0 e z = Zmax as equações são análogas.
É interessante notar que, para alguns pontos, certos termos de (3.49) são indefinidos:
por exemplo, j = 0 provoca indefinição nos pontos onde y = j − 1. Nestes casos, deve-se
utilizar as condições de contorno de primeira,
n−1
U |n+1
0,j,k = −U |1,j,k +
+
´
c∆t − ∆x ³ n+1
U |1,j,k + U |n−1
0,j,k
c∆t + ∆x
´
2∆x ³ n
U |0,j,k + U |n1,j,k ,
c∆t + ∆x
(3.50)
ou de segunda ordem,
n−1
U |n+1
0,j,k = −U |1,j,k +
´
c∆t − ∆x ³ n+1
n−1
U |1,j,k + U |0,j,k
c∆t + ∆x
´
2∆x ³ n
U |0,j,k + U |n1,j,k
c∆t + ∆x
Ã
!
(c∆t)2 ∆x
U |n0,j+1,k −2U |n0,j,k +U |n0,j−1,k +
+
.
2∆y 2 (c∆t + ∆x) U |n1,j+1,k −2U |n1,j,k +U |n1,j−1,k
+
(3.51)
Um estudo detalhado a respeito de CCAs, inclusive da CCA de Mur, pode ser obtido em
[J.T.S.R.Compart, 2007].
No presente trabalho foi utilizada a CCA de Mur de primeira ordem, já que, apesar de
sua simplicidade, atende às necessidades do problema proposto.
3.3
Considerações Finais
Nesse capı́tulo foram apresentadas as equações do FD-TD que serão utilizadas para calcular
o campo eletromagnético emitido por uma antena dipolo, assim como as CCA indicadas e
os critérios de estabilidade do método. A seguir serão apresentados os estudos de campo
próximo e distante para as antenas dipolo.
Capı́tulo 4
Antenas Dipolo
4.1
Introdução
Uma antena dipolo é um radiador de energia, normalmente com alimentação central, que
produz radiação máxima no plano normal ao seu eixo.
Como este trabalho trata de dipolos de meio comprimento de onda (l = λ/2), serão
tratadas aqui apenas as equações especı́ficas para este tipo de antena-dipolo. É importante
destacar também que, nesse capı́tulo as equações estão apresentadas no domı́nio fasorial e
não no domı́nio do tempo como as equações do capı́tulo anterior. A discussão começa pelas
separações do espaço no entorno da antena.
A separação das regiões no espaço que circundam um dipolo é necessária já que tais
regiões definem a complexidade e o tipo de campo eletromagnético irradiados. Pode-se
definir, de maneira geral, duas regiões:
1. região de campo próximo,
2. região de campo distante.
A fronteira entre uma região e outra não é muito rı́gida [Balanis, 1997], já que o comportamento dos campos não se modifica abruptamente entre elas, sofre uma transição gradual.
Dessa forma, os critérios mais utilizados para delimitar tais regiões são dados na tabela 4.1,
onde r representa a distância a partir da antena e l representa o comprimento da antena.
Tabela 4.1: Separação das Regiões de Propagação Geral, [Balanis, 1997]
Região
Distância da Antena
Campo Próximo
r < 2l2 /λ
r ≥ 2l2 /λ
Campo Distante
É importante ressaltar que esses critérios são válidos apenas para aquelas antenas que
possuem comprimento total (l ) igual ou maior que um comprimento de onda (λ). A antena
utilizada nesse trabalho é um dipolo de meio comprimento de onda, ou seja, as definições
das regiões de Campo Próximo e de Campo Distante descritas acima, não são válidas para
esse caso. A tabela 4.2 apresenta os critérios de delimitação entre as regiões de campo
próximo e distante para antenas menores que um comprimento de onda (l < λ), como a
utilizada no presente estudo.
Será feita uma discussão e detalhamento dos campos elétrico e magnético nessas duas
regiões, de campo distante e de campo próximo. As equações referentes à região de campo
4.2 Dipolo na Região de Campo Distante
25
Tabela 4.2: Separação das Regiões de Propagação, [Balanis, 1997]
Região
Distância da Antena
Campo Próximo
r < λ/2π
Campo Distante
r > λ/2π
próximo apresentadas neste capı́tulo são válidas para qualquer distância da fonte, inclusive
para qualquer tamanho de antena dipolo.
4.2
Dipolo na Região de Campo Distante
Para dipolos muito finos, com diâmetro aproximadamante igual a zero, a distribuição de
corrente pode ser dada por
" Ã
l
0
Ie (x = 0, y = 0, z ) = âz I0 sin β
±z
2
0
0
0
!#
,
0
(4.1)
0
onde o sinal negativo vale para 0 ≤ z ≤ l/2 e o positivo vale para −l/2 ≤ z ≤ 0. A
distribuição (4.1) assegura que a alimentação da antena é central (como β = 2π/λ = π/l,
0
0
Ie = I0 para z = 0) e que não há corrente em suas extremidades (Ie = 0 para z = l/2). A
figura 4.1 mostra a distribuição de corrente para o dipolo de meia onda, onde Io indica o
valor da corrente inicial aplicada à antena.
Figura 4.1: Distribuição de Corrente no Dipolo de Meia Onda
Na figura 4.2, está representada a antena dipolo dividida em pequenos elementos de
0
0
0
dipolos de tamanho ∆z . Quando o número de divisões cresce, ∆z → dz . Para um dipolo
0
0
infinitesimal, de tamanho dz , posicionado no eixo z , os componentes de campo elétrico e
4.2 Dipolo na Região de Campo Distante
26
Figura 4.2: Geometria de um dipolo finito [Balanis, 1997]
magnético na região de campo distante são dados pelas expressões
0
dEθ
dEr
dHφ
βIe (0, 0, z )e−jβR
0
∼
sinθdz ,
= jη
4πR
∼
= dEφ = dHr = dHθ = 0,
0
βIe (0, 0, z )e−jβR
0
∼
sinθdz .
= j
4πR
(4.2)
(4.3)
(4.4)
q
onde R = x2 + y 2 + (z − z 0 )2 e η ∼
= Eθ /Hφ (ou simplesmente a impedância intrı́nseca do
meio - 377Ω para o ar).
Nesta região de campo distante, o termo de fase que aparece no expoente de e−jβR foi
0
aproximado usando R ≈ r − z cosθ enquanto no termo de amplitude de (4.2) e (4.4) foi
utilizada simplesmente R ≈ r. Dessa forma, pode-se escrever(4.2) como
0
−jβr
βIe (0, 0, z )e
dEθ ∼
= jη
4πr
0
0
sinθejβz cosθ dz .
(4.5)
Somando as contribuições de todos os elementos infinitesimais que compõem a antena,
obtém-se,
Z l/2
0
βe−jβr
0
0
sinθ[
Ie (0, 0, z )ejβz cosθ dz ].
Eθ =
dEθ = jη
4πr
−l/2
−l/2
Z l/2
(4.6)
Para a distribuição de corrente (4.1), (4.6) é dada por
Eθ
(Z
" Ã
!#
0
0
βe−jβr
l
0
0
= jη
sinθ
sin β
+z
ejβz cosθ dz
4πr
2
−l/2
" Ã
!#
)
Z l/2
0
l
0
0
+
sin β
−z
ejβz cosθ dz .
2
0
(4.7)
4.3 Dipolo na Região de Campo Próximo
27
Após algumas manipulações matemáticas, obtém-se [Balanis, 1997]
−jβr
Eθ = jη
I0 e
2πr


cos
³
βl
cosθ
2
´
− cos
³
βl
2
´
sinθ
.
(4.8)
Para o componente Hφ , dada por (4.9), pode-se usar Hφ = Eθ /η para escrever

Hφ
Eθ
I0 e−jβr  cos
=
=j
η
2πr
³
βl
cosθ
2
´
− cos
sinθ
³
βl
2
´
.
(4.9)
Os componentes dos campos elétrico e magnético do dipolo de meia onda, na região de
campo distante, são obtidos de (4.8) e (4.9), fazendo l = λ/2, o que fornece
−jβr
Eθ = jη
I0 e
2πr
e
−jβr
Hφ = j
4.3
I0 e
2πr




cos
cos
³
π
cosθ
2
´
sinθ
³
π
cosθ
2
,
(4.10)
´
sinθ
.
(4.11)
Dipolo na Região de Campo Próximo
O cálculo na região de campos próximos, região de vizinhança da antena, é importante,
entre outras coisas, para determinar a impedância mútua entre antenas. Este cálculo é mais
complexo que o cálculo de campo distante, já que, além da radiação dos campos, na região
de Fresnel, existe indução [Jordan and Balmain, 1968].
A questão de maior interesse é o componente de campo elétrico paralelo à antena, Ez .
Por esta razão, é conveniente a utilização de coordenadas cilı́ndricas, ou uma combinação
dos sistemas de coordenadas cilı́ndricas, esféricas e retangulares, como representado na
figura 4.3, onde a antena está ao longo do eixo z.
Não é difı́cil verificar, pela figura 4.3, que são válidas as seguintes relações:
q
R =
R1 =
R2 =
r =
(z − h)2 + y 2 ;
(4.12)
(z − H)2 + y 2 ;
(4.13)
(z + H)2 + y 2 ;
(4.14)
z2 + y2.
(4.15)
q
q
q
As coordenadas do ponto P em coordenadas cilı́ndricas são (ρ, φ, z) e (r, θ, φ) em coordenadas esféricas. Como, devido à simetria do problema, não há variações na direção φ,
0
pode-se localizar o ponto P no plano yz (φ = 90◦ ). Nesse caso, ρ = y e a coordenada z que
0
aparece na expressão para a distribuição de corrente, (4.1), será igual a H − h se z > 0 e
0
igual a H + h se z < 0. Desse modo, assumindo, como antes, uma distribuição de corrente
senoidal para a corrente na antena, tem-se
I = I0 sinβ(H − h) , para h > 0,
I = I0 sinβ(H + h) , para h < 0.
(4.16)
(4.17)
4.3 Dipolo na Região de Campo Próximo
28
Figura 4.3: Representação Geométrica do Dipolo Finito
onde β = ω/v = 2π/λ.
~B
~ ≡∇
~ × A],
~ no ponto P é dado por:
O componente z do potencial vetor, A[
Az
"
#
Z 0
µIm Z H sinβ(H − h)e−jβR
sinβ(H + h)e−jβR
=
dh +
dh .
4π
R
R
0
−H
(4.18)
Substituindo sinβ(H −h) por (ejβ(H−h) −e−jβ(H−h) )/2j e sinβ(H +h) por uma expressão
equivalente, tem-se,
"
Az
Z H −jβ(R−h)
µIm jβH Z H e−jβ(R+h)
e
−jβH
e
dh − e
dh
=
8πj
R
R
0
0
jβH
+e
Z 0 −jβ(R−h)
e
−H
R
−jβH
dh − e
Z 0 −jβ(R+h)
e
−H
R
#
dh .
(4.19)
Em coordenadas cilı́ndricas, o componente φ do campo magnético em P é
µHφ = (∆ × A)φ =
−∂Az
.
∂ρ
(4.20)
Se P estiver no plano yz , ρ = y e é possı́vel escrever
µHφ = −µHx =
−∂Az
.
∂y
(4.21)
4.3 Dipolo na Região de Campo Próximo
29
Assim, a expressão para Hφ é
"
Hφ
−Im jβH Z H ∂
=
e
8πj
0 ∂y
+e
jβH
Z 0
−H
∂
∂y
Ã
Ã
!
Z H
e−jβ(R+h)
∂
−jβH
dh − e
R
0 ∂y
!
Z 0
e−jβ(R−h)
∂
dh − e−jβH
R
−H ∂y
Ã
Ã
!
e−jβ(R−h)
dh
R
!
#
e−jβ(R+h)
dh .
R
(4.22)
Integrando (4.22) e fazendo as devidas manipulações matemáticas, obtém-se
Hφ
−Im
=
4πj
Ã
!
e−jβR1 e−jβR2
2cosβHe−jβr
+
−
.
y
y
y
~ =
O campo elétrico pode ser obtido através do campo magnético pela relação E
~ Assim, no plano yz , pode-se escrever
H.
´
1 ³
1 ∂
∇ × φ̂Hφ =
(yHφ ) ,
z
jω²
jω²y ∂y
´
−1 ∂
1 ³
∇ × φ̂Hφ =
(Hφ ) .
=
y
jω²
jω² ∂z
(4.23)
1
∇×
jω²
Ez =
(4.24)
Ey
(4.25)
onde φ̂ é o vetor unitário na direção φ.
Substituindo (4.23) em (4.24) e (4.25), tem-se:
Ã
Ez
Ey
!
e−jβR1 e−jβR2
e−jβr
= −j30Im
+
− 2cosβH
,
R1
R2
r
!
Ã
z − H e−jβR1 z + H e−jβR2
2zcosβH e−jβr
= j30Im
·
+
·
−
.
y
R1
y
R2
y
r
(4.26)
(4.27)
onde β/4πω² = 30 para o espaço livre.
Re-escrevendo (4.23), a expressão para o campo magnético torna-se
Hφ =
´
j30Im ³ −jβR1
e
+ e−jβR2 − 2cosβHe−jβr .
ηy
(4.28)
É importante ressaltar aqui, que as equações (4.26), (4.27) e (4.28) são válidas tanto
para a região de campo próximo quanto para a região de campo distante e descrevem
os campos elétrico e magnético irradiado por uma antena de qualquer comprimento com
distribuição de corrente senoidal [Jordan and Balmain, 1968].
Analisando a equação (4.26), observa-se que [Jordan and Balmain, 1968]:
i) o primeiro termo da equação representa uma onda esférica originada no topo da antena,
onde o exponencial é o fator de fase e o denominador é o fator do inverso da distância;
ii) o segundo termo também representa uma onda esférica, com a mesma amplitude da
anterior, porém originada na extremidade inferior da antena;
iii) o terceiro termo representa uma onda cuja origem se dá no centro da antena e amplitude
depende da altura H da antena. Essa amplitude é igual a zero no caso do dipolo de
meia onda porque H = λ/4
É notável que algo tão complexo quanto o campo eletromagnético próximo a uma antena
possa ser expresso por relações tão simples. Esse resultado deve-se à consideração feita a
respeito da distribuição de corrente na antena, que, por ser senoidal, torna os integrandos
da equação (4.22) diferenciais perfeitos [Jordan and Balmain, 1968].
4.4 Implementação
4.4
30
Implementação
A descrição de uma antena dipolo no método de diferenças finitas no domı́nio do tempo
(FD-TD) não é complexa. Existem dois tipos possı́veis de implementação:
• Antena Dipolo “FINA” : é a antena dipolo ideal, infinitesimalmente fina, com material de condutividade infinita. Consequentemente, não existe nenhum tipo de campo
elétrico dentro da antena;
• Antena Dipolo “ESPESSA” : é uma antena dipolo real, composta de um metal com
diâmetro pequeno, mas finito, e condutividade também finita.
Os valores de campo obtidos com estas duas implementações são ligeiramente diferentes
[Nikita et al., 2000]. Para simular esses dois tipos de dipolo, é necessário impor, na região
que separa os dois ramos da antena, um campo elétrico orientado na direção do eixo no
qual a antena dipolo se encontra. Assim, se adota-se como eixo da antena o eixo z, o campo
elétrico nesta região da antena pode ser determinado pela expressão
Ez |nigap ,jgap ,kgap =
Vigap ,jgap ,kgap
Rgap · Io · cos(ωt)
=
,
∆z
∆z
(4.29)
onde Rgap é a impedância de entrada da antena, Io é a corrente de entrada, ∆z é a distância
entre os dois ramos da antena (gap) e ω é a frequência de oscilação da corrente.
Antena Dipolo “Fina”
Para implementar a antena dipolo “Fina”, é necessário:
1. definir os valores de (4.29) na região de separação;
2. atribuir zero aos valores do campo elétrico E nos outros cubos que representam a
antena.
É importante notar que a etapa 1 precisa ser assegurada antes de cada passo ∆t nos
cálculos do FD-TD. A etapa 2 deve ser feita após cada passo ∆t nos cálculos do FDTD. Desta forma, garante-se que a corrente irá “fluir” através da antena, mas que o
campo elétrico irá permanecer nulo dentro dela após todos os cálculos. Esta implementação
também garante que a antena dipolo está sendo implementada como uma fonte “hard”
(dura), ou seja, o valor de campo da fonte não será influenciado por campos externos
[Rodrigues, 2004].
Antena Dipolo “Espessa”
Para implementar a antena dipolo “Espessa”, é necessário:
1. atribuir um material metálico (cobre, no caso desse trabaho) aos cubos que constituem
a antena;
2. atribuir os valores de (4.29) na região que separa os ramos da antena.
4.4 Implementação
31
Neste caso, o passo 1 será feito enquanto o modelo é construı́do, isto é, antes de começar
o cálculo do FD-TD no tempo. O passo 2 é feito dentro do cálculo do FD-TD. Como os valores de campo não são forçados na antena, com exceção da região de separação, este é um
modelamento do tipo “soft” (macio), ou seja, no modelamento da excitação não serão considerados os efeitos produzidos por materiais próximos à antena dipolo [Rodrigues, 2004].
Foram implementadas e simuladas nesse trabalho tanto antenas dipolo do tipo “hard”
quanto do tipo “soft”.
Capı́tulo 5
Resultados
5.1
Introdução
Neste capı́tulo, são apresentados os resultados obtidos, usando a metodologia e modelagens
apresentadas nos capı́tulos anteriores, para a distribuição dos campos eletromagnéticos de
uma antena do tipo dipolo.
Foram simulados três problemas:
1. Propagação do campo eletromagnético emitido por uma antena dipolo no espaço livre;
2. Cálculo da distribuição da SAR num modelo com um obstáculo constituı́do por dois
materiais dielétricos;
3. Propagação de campo eletromagnético e cálculo da SAR num modelo de camadas
dielétricas.
Os detalhes de cada problema bem como os resultados obtidos são apresentados a seguir.
5.2
Propagação no Espaço Livre
Foi simulada uma antena dipolo de l = λ/4, operando nas frequências de 900MHz e 5GHz,
posicionada no centro do domı́nio, constituı́do apenas de ar, apresentado na figura 5.1.
As dimensões do domı́nio são: 60 células (0,18m) na direção x, 60 células (0,18m) na
direção y e 60 células (0,18m) na direção z. As células são cubos regulares com aresta igual
a 3mm. O gap da antena dipolo está posicionado em x=0,09m, y=0,09m e z=0,09m. A
figura 5.2 mostra, em um corte bidimensional que passa pelo centro do domınio, a fonte e
o plano yz do domı́nio.
5.2.1
Condições de Dispersão e Estabilidade
Aplicando os conceitos apresentados, é possı́vel avaliar a precisão da malha utilizada no
presente estudo.
O comprimento de onda no vácuo, λ0 , é dado por:
λ0 = c/f
(5.1)
onde, c é a velocidade de propagação da onda no vácuo e f designa as freqüências de
interesse: 900MHz e 5GHz. Assim, o comprimento de onda é de 0,333m para 900MHz e
0,06m para 5GHz.
5.2 Propagação no Espaço Livre
33
Figura 5.1: Representação 3D do domı́nio com antena
Figura 5.2: Detalhamento em 2D das dimensões do modelo com antena
Como o lado dos cubos da malha que foi construı́da (para o modelo composto exclusivamente de ar) tem comprimento igual a 3mm, tem-se, no vácuo, 20 cubos por comprimento
de onda para a maior freqüência (5GHz) e de 110 cubos por comprimento de onda para a
freqüência de 900MHz. O número e o tamanho dos cubos em relação ao comprimento de
onda define o refinamento da malha no meio em estudo. É importante ressaltar que, na
região de campo próximo, um alto refinamento é necessário para calcular corretamente os
campos elétrico e magnético.
Para garantir uma avaliação precisa do comportamento dos campos dentro do domı́nio
e assegurar que o critério de dispersão numérica seja atingido, recomenda-se o uso de, no
5.2 Propagação no Espaço Livre
34
mı́nimo, 10 cubos por comprimento de onda [Taflove, 2000] na região de campo distante.
Para a região de campo próximo, não há uma recomendação especı́fica, mas é desejável
um número bem maior de cubos por comprimento de onda que para a região de campo
distante para que os campos sejam calculados com precisão.
Como, no modelo desenvolvido, o número de cubos por comprimento de onda na análise
da região de campo próximo é 110 (para 900MHz) e de 20 cubos por comprimento de onda
para a região de campo distante (5GHz), pode-se avaliar a malha como sendo de bom
refinamento e que o critério para evitar a dispersão numérica está sendo respeitado.
Para satisfazer o critério de estabilidade numérica, como discutido, foi adotado para ∆t
o chamado passo de tempo mágico, ou seja,
∆t = ∆tmágico = q 1
c (∆x)2 +
=
q
c
1
1
(∆y)2
1
1
(3mm)2
+
1
(3mm)2
+
1
(3mm)2
+
1
(∆z)2
= 2, 888e−12 s = 2, 9ps.
(5.2)
Foram apresentados os valores escolhidos para o refinamento da malha (∆x = 3mm,
∆y = 3mm e ∆z = 3mm) e do passo no tempo (∆t = 2,9ps), que garantem o bom
refinamento da malha e a estabilidade do método.
5.2.2
Comparação com Solução Analı́tica
Conforme exposto no Capı́tulo 3, para simular antenas dipolo, é necessário impor um campo
elétrico no gap do dipolo, orientado na direção do eixo no qual o dipolo se encontra. Assim,
um dipolo orientado ao longo do eixo z, terá o campo elétrico no gap dado por
Ez |nigap ,jgap ,kgap =
Vigap ,jgap ,kgap
Rgap · Io · cos(ωt)
=
,
∆z
∆z
(5.3)
onde Rgap é a impedância de entrada da antena, Io é a corrente de entrada e ∆z é a
separação do gap, que é igual a 3mm.
Os campos de um dipolo, em coordenadas cilı́ndricas, são independentes da coordenada
φ, por causa da simetria no eixo azimutal. Por esta razão, é possı́vel escolher qualquer valor
de φ para calcular o campo próximo de um dipolo. Escolhendo φ = π2 , ou seja, o plano yz ,
os campos elétrico (E) e magnético (H) são expressos por
"
Ã
!
#
Io
kl −jkr
e−jkR1 + e−jkR2 − 2 cos
e
,
(5.4)
Hφ (~r) = Hy = −
4πjy
2
"Ã
!
Ã
!
Ã !
#
ηIo
l e−jkR1
l e−jkR2
kl e−jkr
Eρ (~r) = Ey = j
z−
+ z+
− 2z cos
,(5.5)
4πy
2
R1
2
R2
2
r
"
Ã !
#
ηIo e−jkR1 e−jkR2
kl e−jkr
Ez (~r) = −j
+
− 2 cos
,
(5.6)
4π
R1
R2
2
r
q
q
√
onde r = x2 + y 2 + z 2 , R1 = x2 + y 2 + (z − l/2)2 e R2 = x2 + y 2 + (z + l/2)2 .
Note que as expressões utilizadas são válidas para qualquer região do espaço, tanto para
regiões de campo próximo quanto para regiões de campo distante.
Para expressar estes campos no domı́nio do tempo, foram utilizadas
n
o
Hy (t, ~r) = real Hy · ejωt ,
(5.7)
5.2 Propagação no Espaço Livre
35
n
o
n
o
Ey (t, ~r) = real Ey · ejωt ,
(5.8)
Ez (t, ~r) = real Ez · ejωt .
(5.9)
As equações (5.7) a (5.9) representam a solução analı́tica do problema e foram implementadas no Matlab. Dessa forma, pode-se validar os cálculos obtidos com o FD-TD
comparando os resultados numéricos, obtidos nesse trabalho, com o resultado analı́tico. A
figura 5.3 mostra os pontos do domı́nio utilizados para tal comparação.
1.5
Dominio em Z, [m]
1
0.5
0
−0.5
−1
0.09
0.1
0.11
0.12
Dominio em X, [m]
0.13
0.14
0.15
Figura 5.3: Pontos para comparação
Como pode-se perceber pela figura 5.3, os pontos de teste estão alinhados na direção
x do domı́nio e estão separados entre si por uma distância de 6mm. A distância entre a
antena e o primeiro ponto é de 3mm. Considerando as frequências utilizadas, 900MHz e
5GHz, pode-se perceber que, de acordo com os critérios apresentados no capı́tulo anterior,
trataremos tanto da propagação em campo próximo (para a frequência de 900MHz) quanto
em campo distante (para a frequência de 5GHz).
A tabela 5.1 mostra as distâncias de localização dos pontos utilizados para comparação
em relação aos comprimentos de onda utilizados.
5.2 Propagação no Espaço Livre
36
Tabela 5.1: Distância relativas dos pontos de comparação
Pontos Distância em relação a λ
900MHz
5GHz
P1
0,009λ
0,05λ
P2
0,027λ
0,15λ
P3
0,045λ
0,25λ
P4
0,063λ
0,35λ
P5
0,081λ
0,45λ
P6
0,099λ
0,55λ
P7
0,117λ
0,65λ
P8
0,135λ
0,75λ
P9
0,153λ
0,85λ
P10
0,171λ
0,95λ
Nos cálculos realizados, foram simuladas quatro situações, como descrito a seguir:
1) Frequência de operação de 5GHz e antena dipolo do tipo hard ;
2) Frequência de operação de 5GHz e antena dipolo do tipo soft;
3) Frequência de operação de 900MHz e antena dipolo do tipo hard ;
4) Frequência de operação de 900MHz e antena dipolo do tipo soft;
Para todas as simulações, foi implementada uma antena dipolo de meio comprimento
de onda com as seguintes caracterı́sticas:
i) Para a frequência de 5GHz, a corrente de entrada é I0 = 100mA, a impedância de
entrada é de 73Ω e a tensão de 7, 3V ;
ii) Para a frequência de 900MHz, a corrente de entrada é I0 = 300mA, a impedância de
entrada é de 77Ω e a tensão de 23, 1V (telefone comercial 1 ).
Embora os cálculos realizados forneçam todas os componentes dos campos eletromagnéticos,
escolhemos o componente Ez para apresentar os resultados.
As comparações entre os resultados calculados e analı́ticos foram realizadas através de
dois tipos de erro, o erro relativo e o erro de valor máximo. O erro relativo utilizado é
definido por [Taflove, 2000] e é dado pela equação
ErroRelativo =
|Ecalculado |ni,j,k − Eanalitico |ni,j,k |
,
|Eanalitico−max |i,j,k |
(5.10)
onde Eanalitico−max |i,j,k é a máxima amplitude do componente Ez no ponto (i, j, k).
O erro de valor máximo é definido pela equação
Ã
!
M ax(Ez P roposto) − M ax(Ez Analı́tico)
.
ErroM áximo = 100 ∗
M ax(Ez Analı́tico)
1
Nokia 232
(5.11)
5.2 Propagação no Espaço Livre
37
As figuras 5.4 a 5.13 mostram os erros relativos, obtidos para cada um dos dez pontos
de comparação, para a situação 1 (dipolo hard operando a 5GHz). Nas figuras, o eixo
horizontal representa a variação temporal enquanto que o eixo vertical indica os valores,
em escala logaritmica, do erro relativo. Como é possı́vel perceber nas figuras, o erro relativo
para essa situação é da ordem de 10−2 .
−1
10
−2
Erro relativo de Ez no ponto P1
10
−3
10
−4
10
−5
10
−6
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
4.5
−9
x 10
Figura 5.4: Erro relativo de Ez no ponto 1 (0.003,0.0,0.0)[m] para a situação 1
−1
10
−2
Erro relativo de Ez no ponto P2
10
−3
10
−4
10
−5
10
−6
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
4.5
−9
x 10
Figura 5.5: Erro relativo de Ez no ponto 2 (0.009,0.0,0.0)[m] para a situação 1
5.2 Propagação no Espaço Livre
38
−1
10
−2
Erro relativo de Ez no ponto P3
10
−3
10
−4
10
−5
10
−6
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
4.5
−9
x 10
Figura 5.6: Erro relativo de Ez no ponto 3 (0.012,0.0,0.0)[m] para a situação 1
−1
10
−2
Erro relativo de Ez no ponto P4
10
−3
10
−4
10
−5
10
−6
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
4.5
−9
x 10
Figura 5.7: Erro relativo de Ez no ponto 4 (0.015,0.0,0.0)[m] para a situação 1
5.2 Propagação no Espaço Livre
39
−1
10
−2
Erro relativo de Ez no ponto P5
10
−3
10
−4
10
−5
10
−6
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
4.5
−9
x 10
Figura 5.8: Erro relativo de Ez no ponto 5 (0.018,0.0,0.0)[m] para a situação 1
−1
10
−2
Erro relativo de Ez no ponto P6
10
−3
10
−4
10
−5
10
−6
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
4.5
−9
x 10
Figura 5.9: Erro relativo de Ez no ponto 6 (0.021,0.0,0.0)[m] para a situação 1
5.2 Propagação no Espaço Livre
40
−1
10
−2
Erro relativo de Ez no ponto P7
10
−3
10
−4
10
−5
10
−6
10
−7
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
4.5
−9
x 10
Figura 5.10: Erro relativo de Ez no ponto 7 (0.024,0.0,0.0)[m] para a situação 1
−1
10
−2
10
−3
Erro relativo de Ez no ponto P8
10
−4
10
−5
10
−6
10
−7
10
−8
10
−9
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
4.5
−9
x 10
Figura 5.11: Erro relativo de Ez no ponto 8 (0.027,0.0,0.0)[m] para a situação 1
5.2 Propagação no Espaço Livre
41
−1
10
−2
Erro relativo de Ez no ponto P9
10
−3
10
−4
10
−5
10
−6
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
4.5
−9
x 10
Figura 5.12: Erro relativo de Ez no ponto 9 (0.030,0.0,0.0)[m] para a situação 1
−1
10
−2
Erro relativo de Ez no ponto P10
10
−3
10
−4
10
−5
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
4.5
−9
x 10
Figura 5.13: Erro relativo de Ez no ponto 10 (0.033,0.0,0.0)[m] para a situação 1
5.2 Propagação no Espaço Livre
42
As figuras 5.14 a 5.23 mostram os erros relativos obtidos para a situação 2, na qual o
dipolo soft opera a 5GHz. Para essa situação, é possı́vel perceber que os erros são da ordem
de 10−1 .
0
10
−1
Erro relativo de Ez no ponto P1
10
−2
10
−3
10
−4
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
4.5
−9
x 10
Figura 5.14: Erro relativo de Ez no ponto 1 (0.003,0.0,0.0)[m] para a situação 2
−1
10
−2
Erro relativo de Ez no ponto P2
10
−3
10
−4
10
−5
10
−6
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
4.5
−9
x 10
Figura 5.15: Erro relativo de Ez no ponto 2 (0.009,0.0,0.0)[m] para a situação 2
5.2 Propagação no Espaço Livre
43
−1
10
−2
Erro relativo de Ez no ponto P3
10
−3
10
−4
10
−5
10
−6
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
4.5
−9
x 10
Figura 5.16: Erro relativo de Ez no ponto 3 (0.012,0.0,0.0)[m] para a situação 2
−1
10
−2
Erro relativo de Ez no ponto P4
10
−3
10
−4
10
−5
10
−6
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
4.5
−9
x 10
Figura 5.17: Erro relativo de Ez no ponto 4 (0.015,0.0,0.0)[m] para a situação 2
5.2 Propagação no Espaço Livre
44
−1
10
−2
Erro relativo de Ez no ponto P5
10
−3
10
−4
10
−5
10
−6
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
4.5
−9
x 10
Figura 5.18: Erro relativo de Ez no ponto 5 (0.018,0.0,0.0)[m] para a situação 2
−1
10
−2
Erro relativo de Ez no ponto P6
10
−3
10
−4
10
−5
10
−6
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
4.5
−9
x 10
Figura 5.19: Erro relativo de Ez no ponto 6 (0.021,0.0,0.0)[m] para a situação 2
5.2 Propagação no Espaço Livre
45
−1
10
−2
Erro relativo de Ez no ponto P7
10
−3
10
−4
10
−5
10
−6
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
4.5
−9
x 10
Figura 5.20: Erro relativo de Ez no ponto 7 (0.024,0.0,0.0)[m] para a situação 2
−1
10
−2
Erro relativo de Ez no ponto P8
10
−3
10
−4
10
−5
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
4.5
−9
x 10
Figura 5.21: Erro relativo de Ez no ponto 8 (0.027,0.0,0.0)[m] para a situação 2
5.2 Propagação no Espaço Livre
46
−1
10
−2
Erro relativo de Ez no ponto P9
10
−3
10
−4
10
−5
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
4.5
−9
x 10
Figura 5.22: Erro relativo de Ez no ponto 9 (0.030,0.0,0.0)[m] para a situação 2
−1
10
−2
Erro relativo de Ez no ponto P10
10
−3
10
−4
10
−5
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
4.5
−9
x 10
Figura 5.23: Erro relativo de Ez no ponto 10 (0.033,0.0,0.0)[m] para a situação 2
5.2 Propagação no Espaço Livre
47
Analisando as figuras é poss’ivel notar que os resultados são mais precisos para as
antenas do tipo hard.
Os erros relativos mostrados nas figuras 5.24 a 5.33 referem-se à situação 3 (dipolo hard
operando a 900MHz), e os erros relativos obtidos para a situação 4 (dipolo soft operando
a 900MHz), em cada um dos 10 pontos de camparação, são mostrados nas figuras 5.34 a
5.43. Também para esses casos, o eixo vertical está em escala logaritmica e representa os
valores de erro relativo e o eixo vertical indica a variação do tempo.
−2
10
−3
Erro relativo de Ez no ponto P1
10
−4
10
−5
10
−6
10
−7
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
4.5
−9
x 10
Figura 5.24: Erro relativo de Ez no ponto 1 (0.003,0.0,0.0)[m] para a situação 3
−1
10
−2
Erro relativo de Ez no ponto P2
10
−3
10
−4
10
−5
10
−6
10
−7
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
4.5
−9
x 10
Figura 5.25: Erro relativo de Ez no ponto 2 (0.009,0.0,0.0)[m] para a situação 3
5.2 Propagação no Espaço Livre
48
−2
10
−3
Erro relativo de Ez no ponto P3
10
−4
10
−5
10
−6
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
4.5
−9
x 10
Figura 5.26: Erro relativo de Ez no ponto 3 (0.012,0.0,0.0)[m] para a situação 3
−2
10
−3
Erro relativo de Ez no ponto P4
10
−4
10
−5
10
−6
10
−7
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
4.5
−9
x 10
Figura 5.27: Erro relativo de Ez no ponto 4 (0.015,0.0,0.0)[m] para a situação 3
5.2 Propagação no Espaço Livre
49
−2
10
−3
Erro relativo de Ez no ponto P5
10
−4
10
−5
10
−6
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
4.5
−9
x 10
Figura 5.28: Erro relativo de Ez no ponto 5 (0.018,0.0,0.0)[m] para a situação 3
−2
10
−3
Erro relativo de Ez no ponto P6
10
−4
10
−5
10
−6
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
4.5
−9
x 10
Figura 5.29: Erro relativo de Ez no ponto 6 (0.021,0.0,0.0)[m] para a situação 3
5.2 Propagação no Espaço Livre
50
−2
10
−3
Erro relativo de Ez no ponto P7
10
−4
10
−5
10
−6
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
4.5
−9
x 10
Figura 5.30: Erro relativo de Ez no ponto 7 (0.024,0.0,0.0)[m] para a situação 3
−2
10
−3
Erro relativo de Ez no ponto P8
10
−4
10
−5
10
−6
10
−7
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
4.5
−9
x 10
Figura 5.31: Erro relativo de Ez no ponto 8 (0.027,0.0,0.0)[m] para a situação 3
5.2 Propagação no Espaço Livre
51
−2
10
−3
Erro relativo de Ez no ponto P9
10
−4
10
−5
10
−6
10
−7
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
4.5
−9
x 10
Figura 5.32: Erro relativo de Ez no ponto 9 (0.030,0.0,0.0)[m] para a situação 3
−2
10
−3
Erro relativo de Ez no ponto P10
10
−4
10
−5
10
−6
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
4.5
−9
x 10
Figura 5.33: Erro relativo de Ez no ponto 10 (0.033,0.0,0.0)[m] para a situação 3
5.2 Propagação no Espaço Livre
52
−1
Erro relativo de Ez no ponto P1
10
−2
10
−3
10
−4
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
4.5
−9
x 10
Figura 5.34: Erro relativo de Ez no ponto 1 (0.003,0.0,0.0)[m] para a situação 4
−2
10
−3
Erro relativo de Ez no ponto P2
10
−4
10
−5
10
−6
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
4.5
−9
x 10
Figura 5.35: Erro relativo de Ez no ponto 2 (0.009,0.0,0.0)[m] para a situação 4
5.2 Propagação no Espaço Livre
53
−2
10
−3
Erro relativo de Ez no ponto P3
10
−4
10
−5
10
−6
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
4.5
−9
x 10
Figura 5.36: Erro relativo de Ez no ponto 3 (0.012,0.0,0.0)[m] para a situação 4
−2
10
−3
Erro relativo de Ez no ponto P4
10
−4
10
−5
10
−6
10
−7
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
4.5
−9
x 10
Figura 5.37: Erro relativo de Ez no ponto 4 (0.015,0.0,0.0)[m] para a situação 4
5.2 Propagação no Espaço Livre
54
−2
10
−3
Erro relativo de Ez no ponto P5
10
−4
10
−5
10
−6
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
4.5
−9
x 10
Figura 5.38: Erro relativo de Ez no ponto 5 (0.018,0.0,0.0)[m] para a situação 4
−2
10
−3
Erro relativo de Ez no ponto P6
10
−4
10
−5
10
−6
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
4.5
−9
x 10
Figura 5.39: Erro relativo de Ez no ponto 6 (0.021,0.0,0.0)[m] para a situação 4
5.2 Propagação no Espaço Livre
55
−1
10
−2
Erro relativo de Ez no ponto P7
10
−3
10
−4
10
−5
10
−6
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
4.5
−9
x 10
Figura 5.40: Erro relativo de Ez no ponto 7 (0.024,0.0,0.0)[m] para a situação 4
−1
10
−2
Erro relativo de Ez no ponto P8
10
−3
10
−4
10
−5
10
−6
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
4.5
−9
x 10
Figura 5.41: Erro relativo de Ez no ponto 8 (0.027,0.0,0.0)[m] para a situação 4
5.2 Propagação no Espaço Livre
56
−1
10
−2
Erro relativo de Ez no ponto P9
10
−3
10
−4
10
−5
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
4.5
−9
x 10
Figura 5.42: Erro relativo de Ez no ponto 9 (0.030,0.0,0.0)[m] para a situação 4
−2
10
−3
Erro relativo de Ez no ponto P10
10
−4
10
−5
10
−6
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
4.5
−9
x 10
Figura 5.43: Erro relativo de Ez no ponto 10 (0.033,0.0,0.0)[m] para a situação 4
5.2 Propagação no Espaço Livre
57
Como também pode-se perceber pelas figuras, os erros para a situação 3, na qual o
dipolo simulado foi do tipo hard, ficaram abaixo de 10−2 , enquanto que para a situação 4
os erros são da ordem de 10−2 .
As figuras 5.44 a 5.47 mostram os erros de valor máximo, definidos pela equação (5.11),
obtidos para cada uma das quatro situações simuladas. A equação (5.11) apresenta o valor
do erro percentual, presente na comparação entre os valores de Ez numérico e analı́tico,
para todos os 10 pontos de comparação.
As figuras 5.44 e 5.45 mostram o erro calculado para as situações 1 e 2, ou seja, para
a frequência de 5GHz, com dipolo do tipo hard e soft, respectivamente. Nas figuras, o
eixo vertical representa o valor do erro e o eixo horizontal apresenta os dez pontos de
comparação.
14
Valor erro
Media Erro
Erro Valor Maximo de Ez em %
12
10
8
6
4
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Pontos
Figura 5.44: Erro do valor máximo - Situação (1)
Os valores assinalados pelos cı́rculos correspondem aos valores de erro máximo encontrados para cada um dos 10 pontos de comparação, enquanto que aqueles valores assinalados
por asterı́scos representam a média simples dos erros de valor máximo.
As situações 1 e 2 diferem apenas pelo tipo de antena dipolo utilizada, hard e soft.
Pode-se perceber pelas figuras 5.44 e 5.45 que os erros para a situação 2 são ligeiramente
maiores que para a situação 1. Conforme explicado no Capı́tulo 4, os dipolos soft sofrem
alterações provocadas pelo meio em que estão inseridos (são dipolos reais), enquanto os
dipolos hard (dipolos ideais) não permitem nenhuma interação das antenas com o meio.
Como as equações analı́ticas utilizadas não incluem alterações externas às antenas, esperase que o erro para o caso do dipolo soft seja maior, o que, de fato, ocorre.
Ainda de acordo com as figuras 5.44 e 5.45, observa-se que os erros são inferiores à 15%,
sendo que, na média, o erro é inferior a 7% para o primeiro caso e por volta de 4% para o
segundo caso.
5.2 Propagação no Espaço Livre
58
14
Valor Erro
Media Erro
Erro Valor Maximo de Ez em %
12
10
8
6
4
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Pontos
Figura 5.45: Erro do valor máximo - Situação (2)
Assim como nas situações 1 e 2, os erros apresentados para as situações 3 e 4, mostrados
nas figuras 5.46 e 5.47, evidenciam a existência de dipolos com comportamentos distintos,
como realmente o são. Foi dito no último parágrafo, que espera-se um erro maior para um
dipolo do tipo soft. Pode-se perceber pelas figuras 5.46 e 5.47 que o erro para a situação
4 (dipolo soft) é maior que para a situação 3, na qual o dipolo simulado foi do tipo hard,
conforme o esperado.
9
Valor erro
Media Erro
8
Erro Valor Maximo de Ez em %
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Pontos
Figura 5.46: Erro do valor máximo - Situação (3)
10
5.2 Propagação no Espaço Livre
59
15
Erro Valor Maximo de Ez em %
Valor erro
Media Erro
10
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Pontos
Figura 5.47: Erro do valor máximo - Situação (4)
5.2.3
Discussão
Os resultados obtidos no presente trabalho foram avaliados por meio de comparação com
soluções analı́ticas adequadas ao problema proposto. Através das comparações é possı́vel
observar uma boa concordância entre os resultados analı́ticos e numéricos, obtidos via FDTD.
Os erros obtidos são inferiores a 15% em todos os pontos, tanto para a região de campo
próximo, avaliada através dos cálculos com a frequência de 900MHz como para os cálculos
para a região de campo distante. Observa-se que o erro é maior nos pontos mais próximos
à fonte, principalmente para a frequência de 900MHz (região de campo próximo); e que,
para a frequência de 5GHz (campo distante) os erros são menores. No entanto, é necessário
lembrar que esses pontos (os mais próximos à antena) estão a uma distância muito pequena
da fonte. A solução analı́tica apresentada supõe que o tamanho do gap (3mm) é bem menor
que a distância do ponto de observação à fonte – o que, certamente, não ocorre para alguns
pontos. Nos pontos mais distantes da antena, tem-se um erro variando em torno de 5%,
principalmente para a frequência de 5GHz (região de campo distante).
Além disso, é importante ressaltar que o comportamento dos campo eletromagnéticos
na região de campo próximo é instável numericamente, o que também contribui para o
aumento dos erros em relação aos resultados analı́ticos.
Apesar das diferenças, os erros encontram-se dentro da margem aceitável para problemas envolvendo eletromagnetismo computacional, como é o caso desse trabalho. As
condições de contorno utilizadas, por exemplo, podem agregar um erro ao modelo de até
5%, além do erro numérico intrı́nseco [Taflove, 2000]. Dessa forma, considera-se que esses
resultados permitem validar as simulações da antena dipolo no ar.
5.3 Cálculo da SAR
5.3
5.3.1
60
Cálculo da SAR
A SAR
A taxa de absorção especı́fica (SAR) pode ser obtida através da seguinte relação [?]:
³
SAR =
σ |E|2
ρ
´
,
(5.12)
onde σ representa a condutividade do meio e ρ representa a densidade de massa do
material.
De acordo com ANSI/IEEE C95.1-1992 RF o valor de pico-espacial da SAR não deveria
exceder 1,6 W/kg para qualquer 1g de tecido definido como um volume cúbico. A tabela a
seguir apresenta os valores sugeridos pelas normas internacionais [Rodrigues, 2004].
Tabela 5.2: Restrições básicas da ANSI/IEEE [ANSI/IEEE, 1992] e FCC [FCC, 1999] para
a exposição a campos de RF na faixa entre 100kHz e 6GHz
Categoria da Exposição SAR média
SAR localizada em 1g
corpo inteiro cabeça e tronco membros
Ocupacional
0,4 W/kg
8 W/kg
20 W/kg
Público em Geral
0,08 W/kg
1,6 W/kg
4 W/kg
Todos os cálculos da SAR realizados neste trabalho são referentes a 1g, já que os valores
utilizados para comparação dos resultados encontram-se todos referentes a 1g de tecido.
5.3.2
Cálculo da SAR no Modelo Proposto
Foi considerado que os cálculos dos campos eletromagnéticos emitidos por dipolos (analisados e discutidos na seção anterior) foram validados através de comparação com a solução
analı́tica para o caso proposto. Dessa forma, foi utilizado o modelo da antena dipolo de
meio comprimento de onda, do tipo soft (ou real) como a fonte de campo eletromagnético
na constituição deste novo modelo, agora com a proposta de validação do cálculo da SAR.
O modelo construı́do para o cálculo da SAR, ilustrado na figura 5.48, foi reproduzido a partir do modelo utilizado por [Yu et al., 1999] em seus experimentos. Trata-se de um espaço
constituı́do de ar, no qual a antena dipolo, construı́da de cobre, está imersa. Uma caixa
com revestimento de acrı́lico (²r = 2, 56) e interior formado por material com propriedades
eletromagnéticas semelhantes às do cérebro humano (²r = 45, 5), está posicionada “em
frente” à antena (na direção y). Esta caixa possui, no total, 300 mm x 155 mm x 500 mm,
sendo que o revestimento, em acrı́lico, possui 6,35 mm de espessura.
As células utilizadas nesse modelo possuem 3,175 mm (0, 020λ) de lado e são regulares.
Assim, a camada de acrı́lico possui 2 células. A frequência de operação é de 1900 MHz, e
em consequência, a antena possui 77 mm de comprimento (dipolo de meio comprimento
de onda) e está a 15 mm (aproximadamente 0, 097λ) de distância da caixa. A potência
irradiada pela antena é de 0,5 W (potência comum de antenas de celulares), com uma
corrente de entrada de 100 mA rms e impedância (de entrada) de 77Ω. As densidades
de massa do acrı́lico e do cérebro são respectivamente iguais a ρ = 1180kg/m3 e ρ =
1030kg/m3 .
5.3 Cálculo da SAR
61
Figura 5.48: Representação 3D do Modelo
5.3.3
Condições de Dispersão e Estabilidade
As propriedades dos materiais que compõem este modelo, são fornecidas na tabela 5.3.
Tabela 5.3: Propriedades Fı́sicas e Eletromagnéticas dos Tecidos [Gandhi et al., 1996]
Material εR [F/m]
σ[S/m]
Ar
1
0
Acrı́lico
2,56
2,65×1011
Cérebro
45,5
1,31
Cobre
4,7
5,8×107
O comprimento de onda no vácuo, λ0 , é dado por:
λ0 = c/f
(5.13)
onde, como antes, c é a velocidade de propagação da onda no vácuo e f a freqüência de
interesse, 1900 MHz. Assim, o comprimento de onda é de 0,1579 m para 1900 MHz.
Como o lado dos cubos da malha que foi construı́da (exclusivamente para este modelo)
tem comprimento igual a 3,175 mm, temos, aproximadamente, 50 cubos por comprimento
de onda.
Como mencionado anteriormente, o número e o tamanho dos cubos em relação ao
comprimento de onda define o refinamento da malha no meio em estudo, e, na região de
campo próximo (r < 25mm para este caso), um alto refinamento é necessário para garantir
a precisão dos cálculos dos campos elétrico e magnético.
Para meios diferentes do vácuo e com condutividade diferente de zero, a velocidade de
propagação, v, é diferente da do vácuo e é calculada através de [Balanis, 1989]:
v =
ω
=
β
√
ω µε
ω
½ q
1
[
2
1+
σ 2
)
( ωε
¾1/2 .
+ 1]
(5.14)
5.3 Cálculo da SAR
62
Para bons dielétricos, tem-se
µ
σ
ωε
¶2
1
¿1→v≈ √ ,
µε
(5.15)
enquanto, para bons condutores, vale
µ
σ
ωε
s
¶2
À 1v ≈
2ω
.
µσ
(5.16)
Recomenda-se o uso de, no mı́nimo, 10 cubos por comprimento de onda [Taflove, 2000]
na região de campo distante e, um valor bem maior de cubos por comprimento de onda para
a região de campo próximo, para garantir que os campos sejam calculados com precisão.
Como, no modelo desenvolvido, o número de cubos por comprimento de onda é de
50 cubos, podemos avaliar a malha como sendo de bom refinamento e que o critério de
dispersão numérica está sendo respeitado.
Para satisfazer o critério de estabilidade numérica, adotamos, também para este modelo,
o passo de tempo mágico:
∆t = ∆tmágico = q 1
c (∆x)2 +
=
5.3.4
c
q
1
1
(∆y)2
+
1
(∆z)2
1
1
(3.175mm)2
+
1
(3.175mm)2
+
1
(3.175mm)2
= 6, 1103e−12 s = 6, 1ps.
(5.17)
Comparação com valores medidos por [Yu et al., 1999]
Os valores da distribuição da SAR, calculados via FD-TD neste trabalho, representados
pela linha cheia, na caixa constituı́da por materiais dielétricos com propriedade semelhantes
ao acrı́lico e ao cérebro humano são dados na figura 5.49. A figura 5.49 também apresenta
quatro valores da SAR obtidos por [Yu et al., 1999], representados pelos cı́rculos, para o
mesmo domı́nio.
É importante lembrar que a camada de acrı́lico se estende até 6, 35mm, distânci que, de
acordo com a figura 5.49, está pouco antes do segundo valor descrito pelos cı́rculos. A partir
da distância 6, 35mm o material presente no modelo possui as caracterı́sticas do cérebro
humano. Os dados usados na simulação são próximos daqueles utilizados comercialmente
em aparelhos celulares e, apesar de o modelo ser simples, verifica-se que nessa região situada
próxima à distância de 6, 35mm, ou seja, onde o material presente corresponde ao cérebro,
os valores da SAR passam de 4 W/kg, muito acima daqueles recomendados pelas normas
internacionais, que é de 1,6 W/kg.
É possı́vel notar pela figura 5.49 que o comportamento da distribuição da SAR calculada
neste trabalho é semelhante ao comportamento da SAR medida por [Yu et al., 1999]. A
tabela 5.4 apresenta a comparação entre quatro valores calculados numericamente nesse
trabalho e aqueles medidos por [Yu et al., 1999], bem como o erro relativo existente entre
eles.
Pode-se avaliar através da tabela 5.4 que os valores obtidos neste trabalho são semelhantes àqueles apresentados em [Yu et al., 1999]. Além disso, o erro relativo existente entre os
quatro valores medidos por [Yu et al., 1999] e os valores equivalentes calculados é inferior
a 10%. Esse ı́ndice de 10% é considerado aceitável para este tipo de comparação (entre valores medidos e calculados numericamente). Com base nesses resultados, pode-se considerar
que o cálculo da SAR foi validado.
5.4 Campo Eletromagnético e SAR
em Camadas Dielétricas
63
Figura 5.49: Comparação entre os resultados obtidos e os de [Yu et al., 1999]
Tabela 5.4: Comparação entre os valores de SAR calculados neste trabalho e os medidos
por [Yu et al., 1999]
Distância entre a Antena e a Caixa [mm] Erro
SAR [W/kg]
Medida
Calculada
16,5
4,03% 7,45 W/kg 7,75 W/kg
21,5
8,18% 4,24 W/kg 4,58 W/kg
26,5
2,26% 2,71 W/kg 2,77 W/kg
31,5
7,69% 1,77 W/kg 1,90 W/kg
5.4
Campo Eletromagnético e SAR
em Camadas Dielétricas
Partindo dos resultados anteriores que consideram validadas as implementações da antena
dipolo e do cálculo da SAR, foi proposto um modelo de camadas dielétricas definido como
um modelo simples da cabeça humana por [King, 1993]. Este modelo é contituı́do apenas
de dois materiais dielétricos com propriedades eletromagnéticas semelhantes às do osso e
do cérebro humanos.
Pretende-se calcular o campo eletromagnético, gerado por uma antena dipolo de meio
comprimento de onda e a distribuição de SAR proveniente desses campos. O modelo proposto para tanto é uma reprodução daquele utilizado por [King, 1993] em seus cálculos
analı́ticos dos campos elétrico e magnético de um dipolo na presença de uma região composta por três camadas (ar, osso e cérebro).
Conforme dito, o modelo construı́do, mostrado na Figura 5.50, é composto por uma
antena dipolo de meio comprimento de onda, imersa no ar e localizada a 2 cm (na direção
y) de duas camadas de material dielétrico. Esse materiais dielétricos têm propriedades
semelhantes, respectivamente, ao osso (²r = 5, 98 e σ = 0, 099 S/m) e ao cérebro (²r = 50, 3
5.4 Campo Eletromagnético e SAR
em Camadas Dielétricas
64
e σ = 1, 34 S/m) humanos.
Nesse modelo, a frequência de operação da antena dipolo é de 900 MHz (λ = 0, 333m), e,
como no modelo anterior, foi utilizada uma antena real, do tipo soft nas simulações. Como
o dipolo utilizado é de meio comprimento de onda, a antena possui, nesse caso, 12 cm de
comprimento. A camada de “osso” e a camada de “cérebro” possuem, respectivamente, 1
cm (0, 03λ) e 59,5 cm (178, 7λ) de espessura.
Figura 5.50: Representação em 3D do Modelo de Camadas
Para esse modelo, foi utilizada uma célula irregular com 5 mm (0, 015λ) nas direções x
e y e de 9,23 mm (0, 027λ) na direção z. Assim, a antena possui 13 células, a distância entre
a antena e a primeira camada (osso) possui 4 células, a camada de osso possui 2 células de
espessura e a de cérebro 119 células.
5.4 Campo Eletromagnético e SAR
em Camadas Dielétricas
5.4.1
65
Condições de Dispersão e Estabilidade
As propriedades dos materiais que compõem este modelo, são fornecidas na tabela 5.5.
Tabela 5.5: Propriedades Fı́sicas e Eletromagnéticas dos Tecidos [Gandhi et al., 1996]
Material εR [F/m] σ[S/m]
Ar
1
0
Cérebro
50.3
1.34
Cobre
4.7
5.8e7
Osso
5.98
0.099
O comprimento de onda é de 0,333 m para 900 MHz.
Como, para este modelo, os cubos da malha que construimos não são regulares, possuem
5 mm x 5 mm x 9,23 mm, temos, aproximadamente, 67 cubos por comprimento de onda,
nas direções x e y e 36 cubos na direção z.
O número de cubos presentes no modelo, em todas as regiões, satisfaz as recomendações
de [Taflove, 2000], que sugere o uso de, no mı́nimo, 10 cubos por comprimento de onda na
região de campo distante e um número bem maior de cubos por comprimento de onda para
a região de campo próximo. Sendo assim, podemos avaliar a malha construı́da como sendo
de bom refinamento e que o critério de dispersão numérica está sendo respeitado.
Para satisfazer o critério de estabilidade numérica, adotamos, também para este modelo,
o passo de tempo mágico, que vale
∆t = ∆tmágico = q 1
c (∆x)2 +
=
5.4.2
c
q
1
1
(∆y)2
+
1
1
(5mm)2
+
1
(5mm)2
+
1
(9.23mm)2
1
(∆z)2
= 1, 1005e−11 s = 11ps.
(5.18)
Comparação dos Resultados
A simulação via FD-TD transcorreu por 10 ciclos senoidais a fim de garantir a convergência
dos resultados. A antena, de impedância de entrada igual a 77Ω, foi alimentada com uma
corrente (de entrada) de 100 mA rms, o que denota uma antena de potência igual a 0.77
W. Essa potência é bem próxima daquelas utilizadas por antenas de celulares. A solução
analı́tica exata para esse problema é baseada na expansão dos campos do dipolo e em
condições de contorno para interfaces planas, estudadas por [King, 1993].
A figura 5.51 mostra a comparação entre os valores de campo elétrico calculados neste
trabalho (linhas cheias) e aqueles calculados analiticamente por [King, 1993] (cı́rculos).
Pode-se observar na Figura 5.51, que a concordância entre os valores é boa e que
os campos possuem o mesmo comportamento. Assim, consideramos que os valores de
campo elétrico no modelo foram validados pela comparação com os valores analı́ticos de
[King, 1993].
Através dos valores do campo elétrico calculados via FD-TD e mostrados na figura
5.51, foi calculada a SAR para esse mesmo modelo. A figura 5.52 mostra a distribuição dos
valores da SAR calculados para o modelo de camadas dielétricas.
Observando os valores apresentados na figura 5.52, pode-se perceber que o valor máximo
de SAR em 1g de tecido é de 1,2 W/kg. Tendo em vista os valores apresentados na tabela
5.4 Campo Eletromagnético e SAR
em Camadas Dielétricas
66
Figura 5.51: Comparação entre o campo elétrico calculado neste trabalho e o calculado
analı́ticamente por [King, 1993]
1.2
SAR [W/kg]
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
20
25
30
Distance y from the surface of the first dielectric layer [mm]
35
40
Figura 5.52: Distribuição da SAR no modelo de camadas
5.2, onde considera-se que o valor máximo da SAR deve estar abaixo de 1,6 W/kg, podemos
avaliar que os resultados obtidos estão de acordo com as normas internacionais.
É interessante mencionar que, caso as condições de simulação sejam alteradas, os resultados podem também sofrer alterações, podendo inclusive, estar fora das normas internacionais. Também vale ressaltar que no modelo simulado não foi considerado um
5.4 Campo Eletromagnético e SAR
em Camadas Dielétricas
67
material com as propriedades da pele. A pele, de acordo com vários estudos incluindo
[Rodrigues, 2004] e [Gandhi et al., 2001], tem papel fundamental no que se refere a ´´bloquear” a absorção de energia eletromagnética pelo corpo. Dessa forma, caso a pele tivesse
sido incluı́da no modelo, o valor da SAR observado seria menor.
Capı́tulo 6
Conclusões
Neste capı́tulo, estão ressaltados os resultados obtidos no desenvolvimento do trabalho além
da apresentação de sugestões de continuidade do mesmo.
6.1
Conclusão
Os objetivos principais do trabalho incluem:
- calcular os campos eletromagnéticos na região vizinha a uma antena do tipo dipolo alimentada por uma corrente senoidal, e
- calcular a SAR proveniente dos campos eletromagnéticos emitidos pela antena dipolo.
A ferramenta numérica utilizada para o cálculo é o método FD-TD. Para alcançar os
objetivos propostos, as etapas:
1. aprendizado do formalismo matemático especı́fico do problema, isto é, usar as equações
de Maxwell do eletromagnetismo para obter as expressões para os campos elétrico e
magnético radiados por uma antena;
2. aprendizado do algoritmo de Yee e sua utilização no método FD-TD;
3. modelagem de antenas, em especial de antenas dipolo, no contexto numérico;
4. escolha das condições de contorno e sua implementação no método numérico escolhido;
5. modelagem de meios diferentes do ar e domı́nios mais complexos envolvendo, por
exemplo, interface de separação entre dois meios;
6. cálculo da SAR no meio em que a onda eletromagnética se propaga;
7. cálculo numérico do campo radiado, no ar, por uma antena do tipo dipolo de meia
onda na região próxima e distante à antena;
8. cálculo numérico do campo radiado por uma antena do tipo dipolo de meia onda, em
meios dielétricos;
9. cálculo numérico da SAR nos modelos com meios dielétricos;
6.1 Conclusão
69
10. comparação dos resultados numéricos com resultados analı́ticos ou dados medidos
existentes, na literatura, para o problema em questão;
foram cumpridas e os resultados obtidos foram exposto nos Capı́tulo 5 deste trabalho.
Três domı́nios foram construı́dos nesse trabalho. O primeiro domı́nio construı́do consiste
de um cubo regular de 180 mm de aresta, composto exclusivamente de ar, exceto pela
antena que é constituı́da de cobre. Neste domı́nio, foram definidas, em cada direção, 60
células cúbicas de aresta igual a 3 mm, perfazendo um total de 216 mil células.
Utilizando o método das diferenças finitas no domı́nio do tempo, FD-TD, foram calculados os campos eletromagnéticos emitidos por uma antena dipolo de meia onda em duas
frequências distintas: 900 MHz (para cálculos de campo próximo) e 5 GHz (para cálculos de
campo distante). Vale lembrar que 900 MHz é a frequência em que operam alguns celulares
atualmente em uso no Brasil. Os valores de amplitude de corrente, impedância e tensão
utilizados para os cálculos feitos com esta frequência correspondem também a valores em
utilização na telefonia. A frequência mais alta, de 5 GHz, foi escolhida sem nenhuma motivação de caráter prático; nesse caso, o objetivo principal foi testar a aplicação do método
numérico em frequências mais altas e para cálculos de campos distantes.
A comparação entre os resultados numéricos obtidos e os analı́ticos para o dipolo radiando no espaço livre mostra que o método FD-TD, com as considerações (condições de
contorno, modelagem da antena, etc) é bastante adequado para tratar o problema.
O segundo domı́nio consiste de um paralelepı́pedo de dimensão aproximada de 333 mm
x 187 mm x 533 mm, simulando uma ambiente composto de ar com uma antena (constituı́da
de cobre) e uma caixa constituı́da de materiais dielétricos que simulam acrı́lico e cérebro.
Nesse domı́nio, foram definidas mais de 1 milhão de células cúbicas de 3.175 mm de aresta.
Para esse modelo, além dos campos eletromagnéticos, também foi calculada a SAR.
A antena dipolo de meia onda utilizada opera na frequência de 1900 MHz. Os valores de
amplitude de corrente e potência utilizados para os cálculos correspondem àqueles utilizados
por [Yu et al., 1999]. A comparação entre os resultados obtidos na simulação e os divulgados
por [Yu et al., 1999] também mostra a adequação do método FD-TD para tratar este tipo
de problema.
O terceiro e último domı́nio consiste também de um paralelepı́pedo de dimensão igual
a 120 mm x 825 mm x 332 mm, simulando um ambiente composto de ar, uma antena de
cobre e duas camadas de materiais dielétricos que simulam osso e cérebro. Este domı́nio
possui mais de 142 mil células de 5 mm x 5mm x 9,23 mm cada.
Foram calculados os campos eletromagnéticos emitidos pela antena na frequência de 900
MHz e a distribuição da SAR proveniente desse campo. Os valores da amplitude do campo
elétrico nas camadas de osso e cérebro foram comparados com valores analı́ticos calculados
por [King, 1993], e, por isso, os valores de corrente e de propriedades eletromagnéticas
adotados foram aqueles sugeridos em [King, 1993]. Considerando uma boa concordância na
comparação entre os resultados, foi calculada a SAR no modelo. Os valores de SAR obtidos
são inferiores àqueles recomendados pelas instituições internacionais.
Considerando, então, as etapas completadas, salienta-se que as principais contribuições
do trabalho são o detalhamento do método FD-TD em nosso grupo de pesquisa, a modelagem de antenas dipolo e de domı́nios constituı́dos de materiais diversos (condutores
e dielétricos), o cálculo da SAR em diversos domı́nios e, principalamente, o estudo dos
campos elétrico e magnético na região de campo próximo, pouco explorado na literatura.
6.2 Propostas de Continuidade
6.2
70
Propostas de Continuidade
A aplicação do método FD-TD a problemas de eletromagnetismo – que, usualmente, são
difı́ceis de tratar – abre um grande número de possibilidades para as etapas futuras desse
trabalho.
No entanto, para a continuação deste trabalho sugere-se:
1. desenvolvimento de um software para tratar os problemas descritos nesse trabalho;
2. modelagem de antenas mais complexas e com distribuições não-senoidais;
3. modelagem de domı́nios com geometrias mais complexas;
4. cálculo de temperatura associado ao campo eletromagnético;
5. processamento paralelo do código do FD-TD.
Referências Bibliográficas
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