Mecânica dos Fluidos I
Apontamentos sobre escoamentos potenciais
(complementares das semanas 12–14 das aulas de problemas)
1
Introdução
Existe uma importante classe de escoamentos que são incompressı́veis e em que
a resultante das tensões desviadoras é pouco relevante (por isso, às vezes são
chamados escoamentos invı́scidos, ou escoamentos de fluido perfeito1 ). Nestas
circunstâncias, as equações da Mecânica dos Fluidos simplificam-se, a ponto de
ser possı́vel obter soluções matemáticas para este tipo de problemas.
Os escoamentos a números de Reynolds elevados em torno de corpos fuselados,
nomeadamente asas e pás de turbomáquinas, são casos em que as simplificações
anteriores fazem sentido, porque os efeitos viscosos se confinam a camadas muito
estreitas junto às paredes, sem interferirem praticamente com o resto do escoamento. Assim, ressalvando o interior dessas camadas muito finas, designadas por
camadas limites, os campos de velocidade e de pressão não são afectados pelas
tensões desviadoras.
2
Função potencial e função de corrente
A condição de incompressibilidade exprime-se na equação da continuidade e, para
fluidos newtonianos incompressı́veis, a resultante das tensões desviadoras é nula
quando o rotacional da velocidade é zero. Assim, temos:
condição de incompressibilidade: ∇· v = 0
mais tensões desviadoras nulas: ∇× v = 0.
(1)
(2)
Dado um campo escalar φ, contı́nuo e com derivadas contı́nuas, e um campo vectorial ψ , contı́nuo e com derivadas contı́nuas, a Análise Matemática mostra que
∇× (∇φ) ≡ 0 e ∇· (∇× ψ ) ≡ 0. Por isso, nas condições 1 e 2, o campo de
velocidade pode ser expresso em função de φ ou de ψ :
∇· v = 0 ⇒
∇× v = 0 ⇒
1
v = ∇× ψ
v = ∇φ.
(3)
(4)
No contexto da Fı́sica, os adjectivos perfeito ou ideal costumam designar modelos simplificados da realidade. É esse o sentido de fluido perfeito, gás perfeito, oscilador harmónico perfeito,
ciclo ideal, etc.
O campo escalar φ designa-se por potencial da velocidade e ψ denomina-se função
de corrente, pela sua ı́ntima relação com as linhas de corrente do escoamento.
Um escoamento potencial (em que a velocidade é o gradiente de um potencial,
φ) é necessariamente irrotacional, conforme a inferência 4. Um campo de velocidade representado pela função de corrente, ψ , indicada em 3 é necessariamente
incompressı́vel.
3
O potencial e a função de corrente satisfazem a equação de
Laplace
Veremos agora que, se um escoamento potencial for também incompressı́vel, o
potencial obedece à equação de Laplace. E que, se um escoamento representável
pela função de corrente for também irrotacional, a função de corrente obedece à
equação de Laplace. Efectivamente,
aplicando 4 em 1: ∇· (∇φ) ≡ ∇2 φ
donde: ∇2 φ = 0
(5)
aplicando 3 em 2: ∇× (∇× ψ ) ≡ ∇(∇·ψ
ψ ) − ∇2 ψ
donde (? ): ∇2 ψ = 0. (6)
(? ) A conclusão 6 implica que a função de corrente ψ possa ser escolhida de tal forma que
∇(∇· ψ ) = 0, mas demonstra-se que geralmente esta condição não envolve perda de generalidade. Em escoamentos bidimensionais isso é particularmente evidente pois, como
veremos a seguir, a única componente não nula de ψ é a componente ψz ortogonal ao
plano e ∇· ψ = 0.
O interesse de o potencial e a função de corrente satisfazerem a equação de Laplace está em esta equação ser linear e se conhecerem as suas soluções fundamentais. Uma equação diz-se linear quando, dadas duas soluções dessa equação, por
exemplo φA e φB , que satisfazem determinadas condições de fronteira, φA + φB e
qualquer combinação linear de φA e φB também são solução da equação, sujeita
às mesmas condições de fronteira. Esquematicamente:
se ∇2 φA = 0 e ∇2 φB = 0 e ∇2 φC = 0, etc., então ∇2 (φA + φB + φC +...) = 0.
Portanto, é possı́vel construir soluções para problemas muito complicados com
base em numerosas soluções simples, combinadas adequadamente.
Antes de apresentar algumas soluções fundamentais, com as quais é possı́vel construir de forma genérica outras soluções, vamos restringir esta análise a problemas
bidimensionais, porque admitem um tratamento analı́tico mais simples e têm muitas aplicações em Mecânica dos Fluidos. A generalização dos métodos de solução
da equação de Laplace para problemas tridimensionais é relativamente intuitiva,
embora geralmente o esforço de cálculo para obter a solução aumente muito. Em
princı́pio, os problemas tridimensionais implicam o recurso a computadores.
2
4
Problemas bidimensionais
Em problemas bidimensionais, o vector velocidade só tem duas componentes independentes e, se as derivadas na direcção ortogonal ao plano da velocidade forem zero, só a componente do vector função de corrente ψ normal a esse plano
contribui para a velocidade. Ou seja, o vector função de corrente só tem uma
componentes útil, ψ = (0, 0, ψz ), e, portanto, em termos práticos, a função de
corrente dos escoamentos bidimensionais é uma espécie de escalar. A partir de
agora, designaremos a componente não nula da função de corrente dos escoamentos bidimensionais como função de corrente escalar, ψ.
Isto significa que a representação do campo de velocidade em função do potencial
ou da função de corrente permite uma importante redução de dimensionalidade
do problema. Em vez de duas componentes da velocidade, a incógnita passa a ser
apenas um escalar, que pode ser o potencial ou a função de corrente.
Esquematicamente,
em vez
(
∇· v = 0
do sistema
sujeito a determinadas condições de fronteira para v ,
∇× v = 0
basta resolver
a equação ∇2 φ = 0 (ou a equação ∇2 ψ = 0), sujeita às condições de fronteira
adequadas para φ (ou ψ, se for o caso).
As componentes da velocidade relacionam-se com o potencial e a função de corrente de acordo com as equações 3 e 4. A duas dimensões, em coordenadas rectangulares (x, y), fica:

∂ψ
∂φ



 u = ∂x = ∂y
(7)
v =

 v = ∂φ = − ∂ψ

∂y
∂x
A duas dimensões, em coordenadas polares (r, θ), fica:

∂φ



 vr =
1 ∂ψ
∂r
r ∂θ
v=

1 ∂φ
∂ψ


 vθ =
=−
r ∂θ
∂r
=
(8)
A duas dimensões, a função de corrente tem um significado fı́sico muito importante: as isolinhas de função de corrente são tangentes ao vector velocidade e,
portanto, são linhas de corrente.
Nota: A demonstração consiste em verificar que o gradiente da função de corrente é ortogonal à
∂ψ
∂ψ
velocidade. Efectivamente, usando as relações 7, (∇ψ)·v =
u+
v = −v u+u v = 0.
∂x
∂y
3
Outra observação importante é que as linhas equipotenciais são ortogonais às
linhas de corrente.
Nota: A demonstração é análoga. Neste caso, consiste em provar que o ângulo α entre o gradiente do potencial e a velocidade é zero. (∇φ) · v = |∇φ| |v | cos(α). Usando as relações
7 verifica-se que (∇φ) · v = |v |2 e que |∇φ| = |v |. Conclui-se que α = 0.
Outra observação significativa é que a diferença da função de corrente em dois
pontos é igual ao caudal volúmico (por unidade de largura) que se escoa entre
esses dois pontos.
Nota: A demonstração é directa para dois pontos infinitesimalmente afastados (dx, dy) entre si.
Depois, por integração, a conclusão pode estender-se a dois pontos situados a qualquer
distância um do outro.
A variação infinitesimal da função de corrente ao longo do segmento (dx, dy), de comprimento d`, é
∂ψ
∂ψ
dψ =
dx +
dy = −v dx + u dy.
∂x
∂y
Mas a normal unitária ao segmento (dx, dy), para a direita deste segmento orientado,
tem componentes (nx = dy/d`, ny = −dx/d`), donde:
dψ = −v (−ny ) + u nx d` = (v · n) d`,
que é, por definição, o caudal escoado naquele segmento de recta. A expressão anterior
permite concluir que, se a função de corrente cresce (dψ > 0), o caudal se escoa na
direcção da normal n, ou seja, para a direita do segmento orientado (dx, dy).
A relação da função potencial e da função de corrente com a velocidade (cf. 3–4
e 7–8) mostra que elas têm dimensões fı́sicas de velocidade vezes comprimento
ou, equivalentemente, caudal por unidade de comprimento .
4.1
Utilização de números complexos para estudar problemas bidimensionais
Os números complexos podem ser usados como forma compacta de representar
vectores bidimensionais. Por exemplo, sendo z = x + i y um número complexo,
presta-se a representar o vector posição (x, y).
4
No presente contexto, é util definir o potencial vector, w, como um número complexo cuja parte real é o potencial escalar φ e cuja parte imaginária é construı́da
com a função de corrente ψ:
w = φ + i ψ.
(9)
Demonstra-se que a derivada dw/dz é o complexo conjugado do vector velocidade
em coordenadas rectangulares. Ou seja:
dw
= u − i v = v.
dz
(10)
O vector velocidade é v = u + i v e o seu complexo conjugado é v = u − i v.
dw i θ
A transformação para coordenadas polares é
e = (u − i v) ei θ = vr − i vθ .
dz
5
Soluções fundamentais da equação de Laplace
Os seguintes tipos de escoamentos elementares bidimensionais são úteis para construir outras soluções, por sobreposição.
(a)
(e)
(b)
(c)
(f)
(d)
(g)
Figura 1: (a) Escoamento uniforme; (b) diedro côncavo; (c) diedro convexo; (d) fonte
de caudal positivo, q > 0; (e) poço, q < 0; (f) vórtice de circulação positiva, Γ > 0; (g)
dipolo.
5
Escoamento uniforme O campo de velocidade deste escoamento é v ∞ =
(Vx + i Vy )∞ = V∞ ei α .
dw
= (Vx − i Vy )∞ e w = (Vx − i Vy )∞ z = V∞ e−i α z.
dz
O potencial e a função de corrente são: φ = Vx x + Vy y, ψ = Vx y − Vy x.
Portanto,
Escoamento num diedro O potencial complexo de um diedro de abertura
α = π/n, com o vértice situado na origem, pode ser escrito em função de um
a
parâmetro constante a: w = z n . Em que a = |a| ei α , conforme a figura 1.
n
(
dw
u = |a| r(n−1) cos[(n−1) θ + α]
(n−1)
Portanto,
= az
, a velocidade é v =
v = −|a| r(n−1) sin[(n−1) θ + α]
dz
√
e o módulo da velocidade é |v | = u2 + v 2 = |a| r(n−1) .
Portanto, para ângulos de abertura inferior a π (n > 1) o vértice (r = 0) é um
ponto de estagnação; para ângulos superiores a π (n < 1) a velocidade no vértice é infinita. Esta diferença na velocidade reflecte-se na pressão no vértice e no
gradiente de pressão nos lados do diedro: num ponto de estagnação a pressão relativa à hidrostática local é máxima; num ponto de velocidade infinita a pressão
relativa à hidrostática local é −∞. Quando o ângulo de abertura é superior a π
as tensões viscosas junto do vértice não se podem ignorar, porque a condição de
não-escorregamento impede que a velocidade tenda para infinito.
a
a
O potencial e a função de corrente são: φ = rn cos(n θ), ψ = rn sin(n θ).
n
n
Escoamento tipo fonte/poço, que tem linhas de corrente irradiando de um
ponto (fonte), ou convergindo para ele (poço), sem rotação. Estes escoamentos
caracterizam-se pelo respectivo caudal q por unidade de largura (q > 0 nas fontes,
q < 0 nos poços). Em( relação ao centro focal do (
escoamento, as componentes da
vr = q/(2 π r)
vx = q/(2 π r) cos(θ)
velocidade são v =
ou v =
vθ = 0
vy = q/(2 π r) sin(θ)
q
θ
O potencial e a função de corrente são: φ =
ln(r), ψ = q
.
2π
2π
q
O potencial complexo é w =
ln(z).
2π
Escoamento tipo vórtice,
um ponto. Estes escoamentos
largura.
( Em relação ao centro
vr = 0
v=
ou v
vθ = Γ/(2 π r)
que tem linhas de corrente circulares em torno de
caracterizam-se pela circulação Γ por unidade de
do(vórtice, as componentes da velocidade são
vx = −Γ/(2 π r) sin(θ)
=
vy = Γ/(2 π r) cos(θ)
θ
Γ
, ψ=−
ln(r).
O potencial e a função de corrente são: φ = Γ
2π
2π
6
O potencial complexo é w = −
iΓ
ln(z).
2π
Z
O integral Γ = v ·ds ao longo de um circuito fechado S denomina-se circulaS
ção. Para um contorno S que inclua um vórtice no seu interior, a circulação é a
intensidade do vórtice; se o contorno incluir vários vórtices a circulação é a soma
das intensidades dos vários vórtices. Se não existirem vórtices no interior de S a
circulação é nula.
Escoamento tipo dipolo, tem potencial complexo w = µ ei α /(π z), em que
µ é a intensidade do dipolo e α é o ângulo de orientação do dipolo2 . Em relação
ao centro
do dipolo, as componentes da velocidade
são


µ
µ


cos(α − 2 θ)
cos(α − θ)
 u=−
 vr = −
2
πr
π r2
v=
ou v =
µ
µ


 v=+
 vθ = +
sin(α − 2 θ)
sin(α − θ)
2
πr
π r2
µ
µ
cos(α − θ), ψ =
sin(α − θ).
O potencial e a função de corrente são: φ =
πr
πr
O conceito de singularidade: alguns dos escoamentos elementares referidos
acima — concretamente, a fonte, o poço, o vórtice e o dipolo — não são contı́nuos e/ou não possuem derivadas contı́nuas num ponto, que se denomina ponto
singular. Nesses pontos isolados, e exclusivamente nesses pontos, as condições 1
e 2 não se aplicam. Pressupõe-se, portanto, que esses pontos isolados não fazem
parte do domı́nio de solução.
Nota: As expressões anteriores referem-se ao centro das singularidades. Se o centro focal da
q
ln(z − z0 ); analogamente
fonte/poço estiver em z0 , o potencial complexo é w =
2π
para o vórtice w = −i Γ/(2 π) ln(z − z0 ), para o dipolo w = µ ei α /π (z − z0 )−1 e para
o diedro w = (a/n) (z − z0 )n .
Pode obter-se um dipolo no limite em que uma fonte e um poço de intensidades simétricas tendem para um mesmo ponto. À medida que a fonte e o poço se
aproximam, as respectivas intensidades têm de crescer em módulo, tendendo para
infinito à medida que a distância tende para zero. O ângulo α define a orientação
do segmento sobre o qual a fonte e o poço se deslocam ao aproximarem-se.
2
Há várias maneiras de convencionar a definição de intensidade das singularidades, nomeadamente dos dipolos. Nalguns textos, chama-se intensidade a −µ/π. Na definição que usamos,
α é definido de modo que a fonte está à esquerda e o poço à direita. Deste modo, µ > 0.
7
Consideremos um poço de caudal −q situado no ponto z0 = ε ei α e uma fonte
de caudal +q situada em −z0 , como se mostra na figura junta. O potencial
complexo do escoamento conjunto é w = πq ln(z + z0 ) − πq ln(z − z0 ). Estes
logarı́tmos podem expandir-se em série:
z 0 1 z0 2
+ O(z03 )
−
ln(z + z0 ) = ln(z) +
z
2z
z 0 1 z0 2
ln(z − z0 ) = ln(z) −
+ O(z03 )
−
z
2 z
q
π
z0 /z + O(z03 ) . Desenvolvendo z0 em coordenadas polares
q ε ei α
+ O(ε2 ). Se µ = (q ε) ficar constante quando ε
e rearranjando, fica w =
π z
tender para zero (o que implica que o módulo q dos caudais tenda para infinito
quando ε tende para zero), no limite em que a fonte e o poço coincidem:
de modo que w =
w=
µ ei α
.
πz
Escoamento no exterior de um cilindro circular. Este escoamento pode representar-se pela combinação de um escoamento uniforme de módulo V∞ :
(v ∞ = V∞ ei α ) com um dipolo alinhado com o escoamento uniforme. O potencial
complexo resultante é w = V∞ ei α + µ ei α /(π z) ou, usando R2 = µ/(π V∞ ):
w = v ∞ (z + R2 /z).
O potencial escalar é φ = v ∞ (r + R2 /r) cos(θ) e a função de corrente é ψ =
v ∞ (r − R2 /r) sin(θ). É fácil de perceber que, para r = R, a função de corrente
é constante (concretamente ψ = 0), pelo que a circunferência de raio R é uma
linha de corrente e o escoamento exterior a ela é, de facto, o escoamento uniforme
em torno de uma circunferência centrada na origem.
As componentes da velocidade em coordenadas rectangulares
podem calcular-se
!
R2
dw
= v∞ 1 − 2 .
num ponto genérico a partir de
dz
z
Sobre a circunferência de raio R, z = R ei θ e dw/dz = v ∞ (1 − e−2 i θ ). No caso
em que a velocidade de aproximação v ∞ é paralela ao eixo real, com o escoamento
da esquerda
para a direita (α = 0), as 
componentes da velocidade são:

 u = V∞ [1 − cos(2 θ)]
 vr = u cos(θ) + v sin(θ) = 0
v=
ou v =
 v = −V sin(2 θ)
 v = v cos(θ) − u sin(θ) = −2 V sin(θ)
∞
θ
∞
Obtinha-se o mesmo resultado usando as relações 8 para calcular vr e vθ a partir
de ψ ou de φ (que teriam primeiro de ser expressas em coordenadas polares).
Como seria de esperar, uma vez que a circunferência de raio R é uma linha de
8
corrente, a componente vr , ortogonal a ela, é nula e, sobre essa circunferência,
|vθ | coincide com o módulo da velocidade.
6
Condições de fronteira da equação de Laplace
O estudo dos escoamentos potenciais assentou numa simplificação fundamental,
que é a hipótese de o escoamento ser aproximadamente invı́scido. Essa hipótese
não é compatı́vel com a condição de não-escorregamento em paredes sólidas e,
portanto, essa condição de fronteira para a velocidade está excluı́da.
As condições de fronteira para a velocidade, mais importantes em escoamentos
potenciais são
(a) em domı́nios infinitos: velocidade uniforme no infinito,
(b) em paredes sólidas: condição de fronteira de impermeabilidade.
Ao longo de uma fronteira impermeável, pode impor-se um valor de ψ constante;
pode também impor-se que a componente da velocidade ortogonal à fronteira
∂φ/∂n seja zero.
Numa secção da fronteira de orientação s atravessada pelo fluido, pode impor-se
uma componente da velocidade, nomeadamente a componente normal à fronteira
∂φ/∂n = vn (ou ∂ψ/∂s = vn ). Se a velocidade for normal a um troço da fronteira
pode impor-se um valor de φ constante nesse troço.
Uma forma expedita de impor a condição de fronteira de impermeabilidade numa
linha é recorrer ao métodos dos espelhos: se as singularidades e os escoamentos
elementares estiverem simetricamente dispostos em relação a essa linha, como
num espelho, ela será uma linha de simetria e a componente da velocidade normal a ela será necessariamente nula. Note-se que a imagem de uma fonte é uma
fonte de idêntico caudal colocada na posição simétrica, a imagem de poço também, mas a imagem de um vórtice de intensidade Γ é um vórtice de intensidade
simétrica, −Γ, localizado na posição de simetria.
Ao impor as condições de fronteira da equação ∇2 φ = 0 ou ∇2 ψ = 0 é importante:
(a) verificar a compatibilidade do balanço de caudal — porque o escoamento tem de ser incompressı́vel,
(b) verificar que a circulação é nula numa fronteira fechada que exclua
vórtices — porque o escoamento tem de ser irrotacional,
(c) e verificar que o potencial ou a função de corrente são prescritos pelo
menos num ponto.
9
7
Traçado de linhas de corrente
As seguintes observações acerca de linhas de corrente ajudam a analisar a configuração de escoamentos potenciais.
O campo de velocidade é contı́nuo e tem derivadas contı́nuas, a não ser em pontos
isolados de singularidade (fontes/poços, vórtices, dipolos ou multipolos de ordem
superior).
Se, numa linha de corrente o escoamento é num sentido (por exemplo, para a
esquerda), tem de continuar a ter o sentido compatı́vel ao longo do percurso, até
algum ponto de estagnação. Em linhas de corrente adjacentes, o escoamento tem
de ter o mesmo sentido. Uma linha de corrente só pode ter um ponto anguloso
num ponto em que a velocidade seja nula.
Nos pontos de estagnação as linhas de corrente definem-se por passagem ao limite
das linhas de corrente vizinhas (cf. figura 2-a). Por isso, num ponto de estagnação (e só nesses pontos), uma linha de corrente pode bifurcar-se e duas linhas de
corrente podem unir-se numa só. Isto significa que duas linhas infinitesimalmente
próximas seguem direcções diferentes a partir do ponto de estagnação, ou duas
linhas de corrente vindas de direcções diferentes passam a ficar infinitesimalmente
próximas a partir do ponto de estagnação.
Nos pontos de estagnação, e só neles, as linhas de corrente formam diedros (as
linhas de corrente têm pontos angulosos). Mesmo que longe do ponto de estagnação o escoamento seja muito diferente de um diedro, na vizinhança do vértice
o campo de velocidade tende assimptoticamente para o de um diedro. Ora, num
diedro de abertura π/n a velocidade depende de n: |v | = a rn−1 , em que a é uma
constante real. Portanto, para o campo de velocidade ser contı́nuo, os vários diedros centrados num ponto têm de ter igual abertura angular. (Quando o diedro é
devido a paredes sólidas impermeáveis, o escoamento pode limitar-se a essa parte
do plano, e, nesse caso, o ângulo do diedro não tem de ser submúltiplo de 2 π).
Normalmente, uma boa estratégia para traçar linhas de corrente é começar por
identificar os pontos de estagnação, as singularidades e as tendências assimptóticas. Muitas vezes, é fácil determinar o sentido da velocidade nalgumas linhas de
corrente que passam em pontos de estagnação e, tendo em conta a continuidade
da velocidade em linhas de corrente adjacentes, podem tirar-se conclusões sobre
todo o escoamento.
Os pontos de estagnação identificam-se facilmente, porque neles todas as componentes da velocidade são nulas e portanto também dw/dz = 0.
Por definição, a direcção da linha de corrente que passa num ponto é a direcção
do vector velocidade nesse ponto. Para traçar toda a linha de corrente que passa
num ponto pode calcular-se o valor da função de corrente nesse ponto (designemo-lo por ψ0 ) e resolver a equação ψ(x, y) = ψ0 em ordem a x ou a y. Conforme
10
(a)
(b)
(c)
Figura 2: (a) As linhas de corrente que contêm pontos de estagnação determinam-se
pela passagem ao limite das linhas de corrente adjacentes. As linhas de corrente (b)
não podem estar correctas, porque os ângulos dos diedros não são iguais junto de um
ponto de estagnação e porque os sentidos da velocidade não são compatı́veis. As linhas
de corrente (a) e (c) não infringem nenhuma dessas regras.
for mais fácil, podem dar-se valores a x e calcular y ou, analogamente, dar valores
a y e calcular x correspondente.
Recorde-se que a diferença entre funções de corrente de duas linhas de corrente
é igual ao caudal por unidade de largura que passa entre elas. Assim, conhecida uma linha de corrente, podem traçar-se outras linhas linhas de corrente em
relação a ela.
8
Transformações conformes
Seja ζ = ξ + i η o ponto genérico de um plano e z = x + i y o ponto genérico de
outro plano. Denomina-se transformação entre o plano ζ e o plano z uma função
z = f (ζ) que faz corresponder um ponto z a cada ponto ζ do outro plano.
Figura 3: Transformação do espaço ζ para o espaço z.
Dado o potencial complexo, w(ζ), de um escoamento no espaço ζ, se a transformação for conforme então w(z) é o potencial complexo de um escoamento no
plano z. Deste modo, é possı́vel aproveitar algumas soluções (por exemplo, o escoamento potencial em torno de um cilindro circular) para obter outras soluções
(por exemplo, o escoamento em torno de uma asa).
11
8.1
Caracterı́sticas das transformações conformes
Se a função de transformação f (ζ) for analı́tica, isto é, se for infinitamente diferenciável de modo que a série de Taylor seja convergente, a transformação é
conforme ou holomórfica, por preservar a forma dos elementos infinitesimais. Em
particular, duas linhas que passam por um ponto são transformadas em duas
linhas que se cruzam no ponto homólogo com o mesmo ângulo entre elas.
Note-se que as transformações conformes preservam as proporções de elementos
infinitesimais homólogos, mas podem distorcer significativamente o conjunto das
figuras não infinitesimais. O resultado de uma transformação conforme é comparável a um desenho impresso num lençol extensı́vel, que fica deformado quando
se estica ou encolhe o lençol nalguns pontos. Os ângulos locais mantêm-se, mas
os ângulos entre pontos a distâncias finitas podem alterar-se.
São exemplos de funções analı́ticas: as funções polinomiais, a função exponencial
e a função logaritmo, as funções trigonométricas e as potências. São exemplos de
funções não-analı́ticas: a função valor absoluto (porque não é diferenciável no
ponto 0); as funções definidas por troços (porque podem não ser diferenciáveis
nos limites dos troços).
8.2
Exemplos de transformações conformes
Translação uniforme de todo o espaço de um deslocamento ζ0 : z = ζ + ζ0 .
Rotação de todo o espaço de um ângulo α em torno da origem, juntamente com
a multiplicação por um factor de escala ρ: z = (ρ ei α ) ζ.
Passar o vector velocidade num ponto z = r ei θ de coordenadas rectangulares
para coordenadas polares equivale a rodá-lo de um ângulo −θ. Portanto a relação de transformação é: (u + i v) e−i θ = (vr + i vθ ).
A passagem do vector velocidade conjugada em coordenadas rectangulares para o vector velocidade conjugada em coordenadas polares não é tão directa
geometricamente, porque se trata de vectores reflectidos (conjugados) no eixo dos xx ou na direcção radial. Fazendo o desenho com cuidado, percebe-se
que a transformação dos vectores conjugados é uma rotação de θ. Portanto
(u − i v) ei θ = (vr − i vθ ).
Multiplicação dos ângulos em torno da origem por um factor n (que pode ser
menor que 1) e modificação das distâncias à origem por um expoente n: z = ζ n ,
Transformação de Joukowski, que transforma uma circunferência numa eplipse
ou no perfil de uma asa: z = ζ + b2 /ζ, sendo b2 um número real positivo.
12
8.3
Aplicação de transformações conformes
Se w(ζ) for o potencial complexo de um escoamento, as componentes da velocidade podem determinar-se a partir das componentes do complexo conjugado da
velocidade, que é dw/dζ.
Aplique-se o mesmo potencial complexo w(z) aos pontos z que resultam da transformação conforme z = f (ζ). As componentes da velocidade deste novo escoamento podem determinar-se a partir das componentes do respectivo complexo
conjugado da velocidade, que é
dw(ζ) dζ
dw[z(ζ)]
=
.
dz
dζ dz
(11)
A derivada dζ/dz pode calcular-se como o inverso de dz/dζ = df (ζ)/dζ.
Exemplo: w = U∞ ζ + R2 /ζ é o potencial complexo de um escoamento uniforme de velocidade U∞ horizontal incidente sobre um cilindro de raio R, centrado na origem.
Qual é o escoamento que resulta da transformação de Joukowski, z = ζ + b2 /ζ?
A linha de corrente circular de raio R (que é ζ = R ei θ ) vai ser transformada na linha
z = R ei θ + (b2 /R) e−i θ = (R + b2 /R) cos(θ) + i (R − b2 /R) sin(θ),
que é a elipse de eixos (R + b2 /R) e (R − b2 /R). Portanto, a transformação permitiu
obter o escoamento potencial em torno de uma elipse (ou de um cilindro elı́ptico).
dz
b2
Qual é o novo campo de velocidade? Para esta transformação:
= 1 − 2 , donde
dζ
ζ
dζ
ζ2
= 2
.
dz
ζ − b2
Portanto, num ponto genérico de z, desenvolvendo a expressão 11, a velocidade conjugada é:
dw
R2
ζ2
ζ 2 − R2
= U∞ 1 − 2
=
U
.
∞
dz
ζ
ζ 2 − b2
ζ 2 − b2
p
1
z ± z 2 − 4 b2 .
O ponto ζ correspondente a um determinado z é ζ = f −1 (z) =
2
9
Cálculo da pressão em escoamentos potenciais
Como se viu, num escoamento potencial pode calcular-se o campo de velocidade independentemente do campo de pressão, porque a equação de transporte
de quantidade de movimento não chegou a ser necessária para determinar cabalmente a velocidade. Recorde-se que as hipóteses de partida foram a equação
da continuidade para escoamento incompressı́vel, 1, e a condição de as tensões
desviadoras serem nulas, 2.
Sendo válidas estas duas hipóteses, uma vez conhecido o campo de velocidade é
possı́vel aplicar a equação de Bernoulli entre quaisquer dois pontos de uma linha
13
de corrente e calcular a diferença de pressão estática entre eles (se o escoamento
não fosse estacionário, a equação de Bernoulli teria de incluir um termo adicional, que não consideraremos). Nos escoamentos potenciais estacionários em que
a pressão total relativa à hidrostática local, Prel (∞), é uniforme no infinito, a
equação de Bernoulli impõe que a pressão total relativa à hidrostática local seja
uniforme em todo o resto do domı́nio. Então, para um ponto genérico,
prel = Prel (∞) −
1 2
ρv .
2
(12)
Na direcção transversal a uma linha de corrente, a menos de termos de ordem
superior, o gradiente da pressão relativa à hidrostática local pode calcular-se pela
expressão ∂prel /∂r = ρ v 2 /r, em que r é o raio local de curvatura. Esta expressão
deduz-se directamente da equação de transporte de quantidade de movimento para a direcção radial, escrita em coordenadas polares, no caso em que o referencial
coincide com o centro local de curvatura.
10
Teorema de Kutta-Joukowski e paradoxo d’Alembert
Em geral, as componentes da força aerodinâmica são expressas num referencial
associado ao escoamento principal: a componente ortogonal ao escoamento denomina-se sustentação, L, (do inglês lift) a componente na direcção do escoamento
chama-se resistência, D, (do inglês drag).
Figura 4: A componente da força ortogonal ao escoamento de aproximação denomina-se
sustentação, L, a componente na direcção do escoamento chama-se resistência, D.
Num escoamento estritamente potencial a força de pressão equilibra a força de
inércia (cf. secção anterior) e portanto não há forças externas: só pode haver
forças externas aplicadas a singularidades de primeira ordem (fontes e vórtices).
O cálculo da força aerodinâmica exercida por um escoamento uniforme de velocidade v∞ sobre um conjunto de singularidades cujo caudal total seja q e cuja
circulação total seja Γ atribui-se ao alemão Martin Wilhelm Kutta e ao russo
Nikolai Zhukovsky (ou Joukowski).
Considere-se um domı́nio de controlo circular centrado nas singularidades (pelo
simples motivo de que essa geometria facilita o cálculo, os integrais de contorno
de uma integranda analı́tica não dependem do contorno). A velocidade induzida
14
Figura 5: Balanço de forças e quantidade de movimento num domı́nio de controlo
circular, centrado em singularidades de caudal q e circulação Γ.
sobre a circunferência tem componentes:
vr =
Γ
q
+ v∞ cos(θ) e vθ =
− v∞ sin(θ).
2πr
2πr
A pressão total relativa à hidrostática local, Prel , do escoamento de aproximação
é uniforme. A equação de Bernoulli, 12, fica:
prel
1
1
= Prel − ρ (vr2 + vθ2 ) = Prel − ρ
2
2
q 2 + Γ2
4 π2
"
!
#
q cos(θ) + Γ sin(θ) v∞
1
+
.
r2
π
r
Escolhamos um referencial (x, y) alinhado com o escoamento uniforme, de modo
que a componente de sustentação L (por unidade de comprimento) é a componente fy e a componente de resistência D (por unidade de comprimento) é a
componente fx . O balanço de forças e quantidade na circunferência referida é:
2π
Z
Z
ρ v (v · n) r dθ =
0
0
2π
−prel n r dθ + (−f ),
em que −f é a força exercida pelas singularidades sobre o fluido e f é a força
exercida pelo fluido sobre as singularidades.
Em coordenadas polares, a normal exterior unitária à circunferência é n = (1, 0),
de modo que v · n = vr . Em coordenadas rectangulares, a normal exterior é
n = [cos(θ), sin(θ)] e as componentes da velocidade são vx = vr cos(θ)−vθ sin(θ)
e vy = vr sin(θ) + vθ cos(θ), ou:
vx =
q cos(θ) − Γ sin(θ)
+ v∞
2πr
e vy =
q sin(θ) + Γ cos(θ)
.
2πr
Desenvolvendo o balanço:
f =

Z



f
=
−ρ
 x



 fy = −ρ
2π
0
Z 2π
0
vx vr r dθ −
vy vr r dθ −
Z
2π
0
Z 2π
0
prel cos(θ) r dθ
prel sin(θ) r dθ
Desenvolvendo mais as expressões e efectuando os integrais obtém-se finalmente:
D = fx = ρ q v∞
e
15
L = fy = −ρ Γ v∞ .
(13)
No caso particular de corpos fechados, o somatório do caudal das fontes e poços
é nulo (q = 0) e a componente de resistência é nula, D = 0. Este facto de, num
escoamento potencial, a componente de resistência de um corpo finito ser nula
é conhecido como paradoxo d’Alembert, em memória do francês Jean le Rond
d’Alembert (século XVIII).
O mecanismo de geração de sustentação sobre um corpo impermeável finito baseia-se na diferença de pressão relativa entre um lado e o outro do corpo e, de
acordo com a equação de Bernoulli, essa diferença de pressão é fruto da diferença de velocidade que, por sua vez, resulta da existência de circulação. Não há
sustentação se a circulação Γ for nula, porque é a circulação que introduz uma
assimetria na distribuição de velocidade e de pressão em ambas as faces do corpo.
Isto é particularmente fácil de compreender no caso do cilindro circular com um
vórtice centrado. Sem vórtice (figura 6-a), a distribuição superficial do módulo
da velocidade é simétrica, a distribuição de pressão também e a sustentação é
obviamente nula. Introduzindo um vórtice no centro da circunferência, quebra-se
a simetria (figura 6-b): em cima, a velocidade induzida por um vórtice negativo soma-se à velocidade do escoamento em torno do mesmo corpo na ausência
de circulação; em baixo, a velocidade induzida por um vórtice negativo subtrai-se à velocidade na ausência de circulação. Por isso, um vórtice negativo reduz
a pressão em cima e aumenta-a em baixo (um vórtice tem o efeito simétrico),
provocando uma diferença de pressão cuja resultante é ortogonal ao escoamento
principal (sustentação). Repare-se que o vórtice preserva a simetria da pressão
na direcção do escoamento principal (resistência).
Figura 6: (a) Escoamento em torno de um cilindro sem circulação e (b) velocidade
superficial modificada pelo acréscimo de um vórtice de circulação negativa, Γ < 0,
produzindo uma sustentação positiva L > 0.
O teorema de Kutta-Joukowski só se aplica:
(a) a escoamentos com velocidade uniforme no infinito,
(b) se não houver fontes/poços nem vórtices no exterior do corpo.
Esta última restrição pode ultrapassar-se, substituindo a velocidade v∞ da equação 13 por uma velocidade local efectiva, que tenha em conta a influência das
fontes ou vórtices exteriores ao corpo.
16
Apêndice: Operações com números complexos
Um número complexo pode representar-se em coordenadas rectangulares (x, y)
ou polares (r, θ). As seguintes notações são equivalentes:
z = x + i y = r cos(θ) + i r sin(θ) = r ei θ .
A relação entre as componentes é:
(
√
r = x2 + y 2
θ = arctan(y/x)
(
e
x = r cos(θ)
y = r sin(θ)
(14)
(15)
Os números complexos somam-se como os vectores e o seu produto é semelhante
ao produto interno de vectores. Sendo z1 = x1 + i y1 e z2 = x2 + i y2 ,
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i (y1 + y2 )
z1 · z2 = (x1 x2 ) − (y1 y2 ) + i (x1 y2 + x2 y1 ).
(16)
(17)
Em geral a multiplicação, a divisão, a potência e o logaritmo são mais fáceis em
coordenadas polares. Sendo z1 = r1 ei θ1 e z2 = r2 ei θ2 ,
z1 · z2 = (r1 r2 ) ei (θ1 +θ2 )
z1n = r1n ei n θ1
(18)
(19)
1 −i θ
e
r
ln(z) = ln(r ei θ ) = ln(r) + i θ.
1/z = z −1 =
(20)
(21)
Em certos casos particulares, as operações de divisão e potenciação podem fazer-se directamente em coordenadas rectangulares. As situações mais importantes
em que isso acontece são:
z 2 = (x2 − y 2 ) + i 2 x y
e
1
z
x − iy
=
= 2
.
2
z
|z|
x + y2
As derivações com números complexos efectuam-se como as dos números reais.
Por exemplo, d(z n )/dz = n z n−1 . Analogamente, mantêm-se as propriedades
comutativas, associativas e distributivas das operações com números reais. Por
exemplo, z1 z2 = z2 z1 e ln(z1 z2 ) = ln(z1 ) + ln(z2 ).
17