Equações Trigonométricas
1. (Insper 2014) A figura mostra o gráfico da função f, dada pela lei
f(x)  (sen x  cos x)4  (sen x  cos x)4
O valor de a, indicado no eixo das abscissas, é igual a
5π
4π
3π
5π
.
a)
b)
c)
d)
.
.
.
12
9
8
6
e)
2π
.
3
2. (Unesp 2014) O conjunto solução (S) para a inequação 2  cos2 x  cos(2x)  2, em que
0  x  π, é dado por:
π
5π


 x  π
a) S   x  (0, π ) | 0  x 
ou
6
6


π
2
π


b) S   x  (0, π ) |  x 

3
3 

π
2π


 x  π
c) S   x  (0, π ) | 0  x 
ou
3
3


π
5π 

d) S   x  (0, π ) |  x 

6
6 

e) S  x  (0, π )
www.nsaulasparticulares.com.br
Página 1 de 8
3. (Uece 2014) Usando a expressão clássica do desenvolvimento da potência (a + b)n onde
a e b são números reais e n é um número natural, pode-se resolver facilmente a equação
sen4 x  4sen3 x  6sen2 x  4senx  1  0. Então, para os valores de x encontrados, teremos
que cosx é igual a
a) 1.
3
b)
.
2
2
.
c)
2
d) 0.
4. (Unicamp 2014) Seja x real tal que cos x  tg x. O valor de sen x é
3 1
.
2
1 3
b)
.
2
5 1
c)
.
2
1 5
.
d)
2
a)
5. (Uece 2014) Se p e q são duas soluções da equação 2sen2 x  3sen x  1  0 tais que
senp  senq, então o valor da expressão sen2p  cos2 q é igual a
a) 0.
b) 0,25.
c) 0,50.
d) 1.
6. (Unifesp 2013) A sequência (12,a,b), denominada S1, e a sequência (c,d,e), denominada S2,
são progressões aritméticas formadas por números reais.
a) Somando 1 ao segundo termo e 5 ao terceiro termo de S 1, a nova sequência de três
números reais passa a ser uma progressão geométrica crescente. Calcule a razão dessa
PG.
b) Aplicando a função trigonométrica seno aos três termos de S 2, a nova sequência que se
forma tem soma dos três termos igual a zero, e termo do meio diferente de zero. Determine
π
 r  π.
a razão r de S2, para o caso em que
2
7. (Fuvest 2013) Sejam α e β números reais com  π 2  α  π 2 e 0  β  π. Se o sistema
de equações, dado em notação matricial,
3 6   tg α   0 
,
 6 8  cos β   


  2 3 
for satisfeito, então α  β é igual a
a) 
π
3
b) 
π
6
c) 0
d)
π
6
e)
π
3
www.nsaulasparticulares.com.br
Página 2 de 8
8. (Uem 2013) Com relação aos conceitos e às propriedades de funções e equações
trigonométricas, assinale o que for correto.
01) A equação tg(x)=sen(x) não tem soluções.
02) Se f é definida por f  x   sen  x   cos  x , então a equação f(x)=0 tem como conjunto
π


solução  x  | x  k  , k  .
2


 π
04) A função f(x)=cos(x) é crescente no intervalo 0,  .
 2
1
08) O gráfico da função f, definida por f  x   sen  x   sen  2x  cos  x , coincide com o gráfico
2
da função g, definida por g(x)=sen3(x).
16) Para qualquer a  , existe x  , tal que tg(x)>a.
9. (Ufpr 2013) Considere o hexágono indicado na figura abaixo.
a) Qual é a área do hexágono, quando α  60 ?
b) Sabendo que a expressão que fornece a área em função do ângulo é
 α
A  α   2sen 
 sen  α  , e que o ângulo α que fornece a área máxima é uma solução
 2 


α
da equação trigonométrica cos    cos  α  =0, resolva a equação e calcule a área máxima
2
do hexágono.
www.nsaulasparticulares.com.br
Página 3 de 8
Gabarito:
Resposta da questão 1:
[A]
Lembrando que sen2 α  cos2 α  1 e sen 2α  2 sen α cos α, temos
f(x)  (sen x  cos x)4  (sen x  cos x)4
 [(sen x  cos x)2  (sen x  cos x)2 ][(sen x  cos x)2  (sen x  cos x)2 ]
 (1  2sen x cos x  1  2sen x cos x)(1  2sen x cos x  1  2sen x cos x)
 4  2sen x cos x
 4 sen2x.
Logo, como o período de f é
2π
 π, segue-se que a é o maior número real pertencente ao
|2|
 π
intervalo  0,  , tal que
 2
f(a)  2  4 sen2a  2
 sen2a  sen
a
Portanto, a 
π
6
π
5π
ou a 
.
12
12
5π
.
12
Resposta da questão 2:
[A]
2cos2 x  cos  2x   2
2cos2 x  cos2 x – sen2 x  2


2cos2 x  cos2 x – 1– cos2 x  2
4cos2 x – 3  0
cos x  
3
ou cosx 
2
3
2
π
5π


ou
 x  π
Logo, o conjunto solução será: S   x  (0, π) | 0  x 
6
6


www.nsaulasparticulares.com.br
Página 4 de 8
Resposta da questão 3:
[D]
sen4 x  4sen3 x  6sen2 x  4senx  1  0  (senx  1)4  0  senx  1  0  senx  1
Utilizando a relação Fundamental, temos:
sen2x + cos2x = 1
12 + cos2 x = 1
cos2 x = 0
Portanto, cosx = 0.
Resposta da questão 4:
[C]
Sabendo que tg x 
π
sen x
, com x   kπ e cos2 x  1  sen2 x, vem
2
cos x
cos x  tg x  cos x 
sen x
cos x
 cos2 x  sen x
 sen2 x  sen x  1
2
1
1

  sen x     1
4
2

 sen x 
1
5

2
2
 sen x 
5 1
.
2
Resposta da questão 5:
[B]
2sen2 x  3sen x  1  0
Δ  ( 3)2  4  2  1
Δ 1
senx 
( 3)  1 senx  1
senx  1/ 2
22
sen2p  cos2 q  sen2p  (1  sen2q)  sen2p  sen2q  1  12  (1/ 2)2  1  1/ 4  0,25.
Resposta da questão 6:
a) Como (12, a, b) é uma progressão aritmética, segue que
a
b  12
 b  2a  12.
2
Além disso, sabendo que (12, a  1, b  5) é uma progressão geométrica crescente, vem
www.nsaulasparticulares.com.br
Página 5 de 8
(a  1)2  12  (b  5)  a2  2a  1  12  (2a  7)
 a2  22a  85  0
 a  17.
Portanto, a razão pedida é dada por
a  1 17  1

12
12
3
 .
2
b) Como (c, d, e) é uma progressão aritmética, segue que e  2d  c e r  d  c. Daí, sabendo
que senc  send  sene  0 e send  0, vem
sen(2d  c)  senc  sen d  0 
 2d  c  c 
 2d  c  c 
2  sen 
  cos 
  sen d  0 




2
2
2  sen d  cos(d  c)  sen d  0  sen d  (2  cosr  1)  0
 cosr  
r 
1
2
2π
,
3
π
 r  π.
2
pois
Resposta da questão 7:
[B]
Efetuando o produto matricial, vem
3 6   tg    0
 6 8  cos    


  2

3 tg   6 cos   0

3
6 tg   8 cos   2 3
 3 tg   6 cos   0

 3 tg   4 cos   3
 2cos   3
 cos  

3
2

rad.
6
Desse modo,
3 tg   6 cos

 0  tg    3
6

    rad
3
e, portanto,
 

        rad.
3 6
6
www.nsaulasparticulares.com.br
Página 6 de 8
Resposta da questão 8:
02 + 08 + 16 = 26.
[01] Incorreto. x  0 é solução.
[02] Correto. Lembrando que uma função está bem definida apenas quando se conhece o
domínio, o contradomínio e a lei de associação, iremos supor que o domínio de f seja o
conjunto dos números reais. Logo,
1
sen(2x)  0
2
 sen(2x)  sen0
sen(x)  cos(x)  0 

2x  k  2
2x    k  2

 x  k  ,k .
2

Portanto, o conjunto solução da equação f(x)  0 é  x 

[04] Incorreto. Temos 0 


| x  k  , k  .
2



1
e f(0)  1   f   .
3
2
3
[08] Correto. De acordo com o comentário do item (02), iremos supor que o domínio e o
contradomínio de f e g sejam iguais. Desse modo, temos
1
sen(2x)cos(x)
2
1
 sen(x)   2sen(x)cos(x)cosx
2
f(x)  sen(x) 
 sen(x)  sen(x)cos 2 (x)
 sen(x)  sen(x)(1  sen2 (x))
 sen3 (x)
 g(x).
Por conseguinte, como os valores de f e g são iguais para todo x pertencente ao
domínio de ambas, segue-se que f e g são iguais e, portanto, seus gráficos coincidem.


k
[16] Correto. Sabendo que a função f : D  , com D   x  | x  , k   , definida por
2


f(x)  tgx, é uma função ilimitada superiormente, segue-se que para todo a  existe um real
x, tal que tg(x)  a.
www.nsaulasparticulares.com.br
Página 7 de 8
Resposta da questão 9:
a) Admitindo que a região central seja interna de um quadrado, teremos a área A da figura
dada por:
A  2
12  3
3
 12 
 1.
4
2
b)
α
cos    cos  α   0
2
α
α
α
cos    cos2    sen2    0
2
2
 
 
2
α
α 
 α 
cos    cos2     1  cos2     0
2
2
 
  
 2 
α
α
2  cos2    cos    1  0
2
2
 α  1  3
α
α
cos   
 cos    1     180  α  360 (não convém) ou
2
2
2
 
 
2
α 1
α
cos        60  α  120
2
2
 
2
Admitindo que a região interna é um retângulo de lados 1 e
seguinte cálculo para a área A da figura.
A  2
3 e que α  120, temos o
1
3
3 3
 1 1 sen120  1 3 
 3
.
2
2
2
www.nsaulasparticulares.com.br
Página 8 de 8