GUIA DO PROFESSOR
Caro professor, caso tenha algum questionamento de qualquer natureza, não hesite em nos contactar pelo
e-mail:
[email protected]
DESCRIÇÃO
Nesta atividade apresentamos dois aplicativos interativos: o primeiro (na forma de um jogo) explora a
relação entre a expansão decimal de um número e sua representação geométrica na reta numérica e, o
segundo, permite calcular os primeiros 2000 dígitos da expansão decimal de um número racional.
Questões de periodicidade podem ser investigadas através de uma tabela onde cada dígito é representado
por uma cor diferente.
OBJETIVOS
Estimular a compreensão dos números, das várias maneiras de representá-los, das relações entre os
números e dos sistemas numéricos.
QUANDO USAR?
Sugerimos que a atividade seja usada quando da apresentação dos conjuntos numéricos (o que usualmente
ocorre logo no início do primeiro ano do ensino médio).
COMO USAR?
Decidir como usar o computador é uma questão que depende de alguns fatores: número de alunos na
turma, número de computadores disponíveis no laboratório de informática e tempo disponível em sala de
aula. Em virtude disto, vamos sugerir três estratégias de uso desta atividade:
1. Como um exercício extraclasse.
Nesta modalidade, você pode propor a atividade para seus alunos como um dever de casa
(valendo um ponto extra), para ser realizado fora do tempo de sala de aula, isto é, em um
horário livre no laboratório da escola ou na própria casa do aluno, caso ele possua um
computador. Você pode definir um prazo pré-determinado para a realização da atividade (por
exemplo, uma semana). Achamos que não é preciso que você explique o funcionamento do
software da atividade, pois incluímos uma animação ilustrando todos os seus recursos.
Naturalmente, no decorrer do prazo do dever de casa, você poderá tirar dúvidas eventuais de
seus alunos.
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Para tornar o trabalho mais orientado e focado, recomendamos fortemente que o dever de casa
seja conduzido através de algumas questões que os alunos deverão estudar com o auxílio do
software da atividade. O formulário de acompanhamento do aluno, apresentado mais embaixo,
sugere vários exercícios. Este formulário também será útil como instrumento para uma
discussão posterior em sala de aula (quando da devolução do formulário) e fornecerá subsídios
para uma possível avaliação.
2. Em sala de aula com um projetor multimídia (datashow)
Se você tiver acesso a um projetor multimídia (datashow) ou a um computador ligado na TV,
você poderá usar o software desta atividade em sala de aula para, por exemplo, ao invés de
desenhar os poliedros no quadro, exibi-los e manipulá-los através do computador. Se houver
tempo, mesmo alguns exercícios do formulário de acompanhamento do aluno poderão ser
resolvidos em sala de aula sob sua orientação.
3. Como uma atividade de laboratório sob a supervisão do professor.
A grande vantagem desta modalidade é que você poderá acompanhar de perto como os seus
alunos estão interagindo com o computador. Sugerimos que você apresente o jogo aos alunos,
resolvendo um dos desafios como exemplo e, a partir daí, deixe-os brincar livremente,
intervindo apenas quando necessário.
Principalmente nas modalidades 1 e 3, recomendamos fortemente que o aluno preencha algum tipo de
questionário de acompanhamento, para avaliação posterior. Sugerimos o seguinte modelo (sinta-se livre
para modificá-lo de acordo com suas necessidades):
edn-aluno.rtf.
Este formulário de acompanhamento do aluno também estará acessível na página principal da atividade
através do seguinte ícone:
.
As respostas dos questionamentos propostos neste formulário não estão incluídas com a atividade, mas
elas podem ser solicitadas através do e-mail [email protected].
OBSERVAÇÕES METODOLÓGICAS
Esta atividade oferece uma situação didática a partir da qual o professor poderá descobrir os
conhecimentos prévios, esquemas mentais, equívocos e intuições dos seus estudantes. O sistema de
pontuação inibe uma abordagem “tentativa e erro”. De fato, em nossos testes, pudemos observar que
inicialmente o aluno manipula os controles da atividade para estudar a situação (como em um
experimento) mas, gradativamente, vai criando estratégias para resolver os desafios seguintes.
Relatos de experiências (comprovados em nossos testes) mostram que os alunos têm forte resistência em
preencher o formulário de acompanhamento. Mais ainda: estes relatos mostram que, frequentemente, os
alunos conseguem argumentar corretamente de forma verbal, mas enfrentam dificuldades ao fazer o
registro escrito de suas ideias.
Mesmo com as reclamações e resistência dos alunos, nossa sugestão é que você, professor, insista no
preenchimento do formulário. Afinal, por vários motivos, é muito importante que o aluno adquira a
habilidade de redigir corretamente um texto matemático que possa ser compreendido por outras pessoas.
OBSERVAÇÕES TÉCNICAS
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A atividade pode ser acessada usando a internet, através do link http://www.uff.br/cdme/edn/ (endereço
alternativo: http://www.cdme.im-uff.mat.br/edn/). Se você preferir, solicite que o responsável pelo
laboratório da escola instale a atividade para acesso offline, isto é, sem a necessidade de conexão com a
internet.
O jogo pode ser executado em qualquer sistema operacional: Windows, Linux e Mac OS. Porém, para
executá-lo, é preciso que o computador tenha a linguagem JAVA instalada. A instalação da linguagem
JAVA pode ser feita seguindo as orientações disponíveis no seguinte link http://www.java.com/pt_BR/.
Atenção: se você estiver usando a atividade offline através de uma cópia local em seu computador, é
importante que os arquivos não estejam em um diretório cujo nome contenha acentos ou espaços.
Importante: algumas distribuições Linux vêm com o interpretador JAVA GCJ Web Plugin que não é
compatível com o applet da atividade. Neste caso, recomendamos que você solicite ao responsável pelo
laboratório da escola que instale o interpretador nativo da Sun, disponível no link http://www.java.com
/pt_BR/.
Acessibilidade: a partir da Versão 2 do Firefox e da Versão 8 do Internet Explorer, é possível usar as
combinações de teclas indicadas na tabela abaixo para ampliar ou reduzir uma página da internet, o que
permite configurar estes navegadores para uma leitura mais agradável.
Combinação de Teclas
Efeito
Ampliar
Reduzir
Voltar para a configuração inicial
Vantagens deste esquema: (1) além de áreas de texto, este sistema de teclas amplia também figuras e
aplicativos FLASH e (2) o sistema funciona para qualquer página da internet, mesmo para aquelas sem
uma programação nativa de acessibilidade.
DICAS
O projeto MATHEMATICS!, coordenado pelo professor Tom Apostol, produziu um vídeo onde a
expansão decimal do número π é apresentada como no jogo da Parte 1 desta atividade, isto é, através de
ampliações da reta numérica. Você pode indicar o vídeo para seus alunos a fim de enfatizar o propósito do
jogo da Parte 1: YouTube ou Google Videos.
Apesar dos módulos e dos exercícios tratarem da expansão decimal de números positivos, é oportuno
discutir com seus alunos sobre a expansão decimal de números negativos: sabendo-se a expansão decimal
de |x|, qual é a expansão decimal de −|x|?
Para saber mais sobre os aspectos históricos da expansão decimal de números racionais, recomendamos as
referências [Bullynck, 2009], [Dickson, 1952] (páginas 159 a 179) e [Ross, 2010].
QUESTÕES PARA DISCUSSÃO APÓS A REALIZAÇÃO DA ATIVIDADE
Sugerimos fortemente que seja feita uma discussão com os alunos após a realização da tarefa. Se você
optou por levá-los ao laboratório, isto pode ser feito no próprio laboratório, logo após o término da
atividade. Se você optou por um exercício extraclasse, a discussão pode ser feita quando da devolução do
questionário. Esta discussão pode incluir as diferentes estratégias de solução dos exercícios adotada por
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cada aluno, a comparação das respostas dos alunos, as dificuldades encontradas na realização dos
exercícios, a ênfase em propriedades e resultados importantes, as informações suplementares, etc.
AVALIAÇÃO
Como instrumento de avaliação, sugerimos que você peça para os alunos elaborarem um relatório
descrevendo as perguntas e respostas apresentadas na discussão em sala de aula. Nesse relatório, o
professor poderá avaliar as capacidades de compreensão, argumentação e organização do aluno.
Recomendamos que o questionário preenchido durante a realização da atividade seja anexado ao
relatório.
REFERÊNCIAS
Boff, D. S. A Construção dos Números Reais na Escola Básica. Dissertação de Mestrado
Profissionalizante, Instituto de Matemática, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, 2006.
Borwein, J.; Borwein, P. A Dictionary of Real Numbers. Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books &
Software, 1990.
Borwein, P.; Jörgenson, L. Visible Structures in Number Theory. The American Mathematical Monthly,
vol. 108, no. 5, pp. 897-910, 2002.
Brenton, L. Remainder Wheels and Group Theory. The College Mathematics Journal, vol. 39, n. 2, pp.
129-135, 2008.
Bullynck, M. Decimal Periods and Their Tables: A German Research Topis (1765-1801). Historia
Mathematica, vol. 36, pp. 137-160, 2009.
Cajori, F. A History of Mathematical Notations. Dover Publications, 1993.
Chan, O-Y.; Smoak, J. More Designer Decimals: The Integers and Their Geometric Extensions. The
College Mathematics Journal, vol. 37, n. 5, pp. 355-363, 2006.
Conway, J. H.; Guy, R. K. O Livro dos Números. Universidade de Aveiro, Gradiva, 1999.
Dickson, L. E. History of The Theory of Numbers. Volume I. Divisibility and Primality. Chelsea
Publishing Company, 1952.
Domingues, H. H. O Pequeno Teorema de Fermat e as Dízimas Periódicas. Revista do Professor de
Matemática, n. 52, 2003.
Leavitt, W. G. A Theorem on Repeating Decimals. The American Mathematical Monthly, vol. 74, no. 6,
pp. 669-673, 1967.
Lima, E. L. Meu Professor de Matemática e Outras Histórias. Sociedade Brasileira de Matemática, Rio
de Janeiro, 1991.
Malta, I.; Pesco, S.; Lopes, H. Cálculo a Uma Variável. Volume 1: Uma Introdução ao Cálculo. Coleção
MatMídia, Edições Loyola, Editora PUC-Rio, 2002.
Moreira, C. G. Frações Contínuas, Representações de Números e Aproximações. Revista Eureka, n. 3,
pp. 44-55, 1998.
Niven, D. Numbers: Rational and Irrational. New Mathematical Library, The L. W. Singer Company,
1961.
Rodrigues, M. A. S.; Healy, L. Calculadora Colorida e Musical: Uma Ferramenta para Explorar
Página 4
Números Racionais. XII Encontro Brasileiro de Estudantes de Pós-Graduação em Educação Matemática,
UNESP, Rio Claro, 2008.
Ripoll, C. C. A Construção dos Números Reais nos Ensinos Fundamental e Médio. II Bienal da
Sociedade Brasileira de Matemática, Salvador, 2004.
Ross, K. A. Repeating Decimals: A Period Piece. Mathematics Magazine, vol. 83, n. 1, pp. 33-45, 2010.
Sinclair, N. The Aesthetic is Relevant. For The Learning of Mathematics, vol. 21, n. 1, pp. 25-32, 2001.
Sinclair, N. Mathematics and Beauty: Aesthetic Approaches to Teaching Children. Teachers College
Press, 2006.
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Anexo
Formulário de Acompanhamento do Aluno
Atividade: a expansão decimal de um número
Aluno(a): _______________________________________________________________________________ Turma: ______
Professor(a): __________________________________________________________________________________________
PARTE 1
Desafio
Seu palpite para o início da
expansão decimal do número p
9 primeiros dígitos da expansão
decimal do número p
1
2
3
4
5
6
Qual foi a sua pontuação final? ___________________________________________________________________________
Na sua opinião, é fácil ou difícil conseguir bons palpites (isto é, palpites com mais dígitos iniciais certos) ao iniciar um
desafio do jogo?
______________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________
[01] Especifique três números reais diferentes cujos 9 primeiros dígitos de sua expansão decimal sejam iguais aos 9 dígitos do
número do Desafio 2.
[02] Verdadeiro ou falso? Se os 9 primeiros dígitos das expansões decimais de dois números são iguais, então estes números
são iguais. Justifique sua resposta!
PARTE 2
[01] Quais das frações abaixo melhor aproxima o número irracional π?
19/6,
22/7
e
25/8.
[02] Quais das frações abaixo melhor aproxima o número irracional raiz quadrada de 2?
707/500,
17/12
e
99/70.
[03] Quais das frações abaixo melhor aproxima o número irracional e?
19/7,
1264/465
1
e
106/39.
[04] Qual é o período da expansão decimal do número 10000/9801? O que este período tem de curioso?
[05] Considere os números a = 8712870/48506557 e b = 505149/2812281.
(a) Usando uma calculadora comum (de 8 ou 10 dígitos), calcule as divisões que definem os números a e b. Os números a e b
são iguais, segundo sua calculadora?
(b) Usando o software da atividade calcule as divisões que definem os números a e b com 1000 casas decimais. Os números a
e b são iguais, segundo o software?
(c) É possível verificar se os números a e b são iguais sem efetuar as divisões? Que estratégia você usaria?
[06] Resolva as questões abaixo.
(a) Para quais números primos p a expansão decimal de 1/p é finita?
(b) Seja p um número primo tal que a expansão decimal de 1/p é infinita (e, naturalmente, periódica). Qual é o número
máximo de dígitos do período desta expansão decimal?
(c) Encontre pelo menos três números primos p para os quais a expansão decimal de 1/p é infinita e tem um período com um
número par de dígitos.
(d) O Teorema de Midy diz que, para as frações irredutíveis da forma a/p (com p um número primo diferente de 2 e 5) cujas
expansões decimais possuem um período com um número par de dígitos, a soma da primeira metade com a segunda
metade do período dá um número cujos dígitos são todos iguais a 9. Por exemplo, 5/13 = 0.384615384615... e 384 + 615 =
999. Verifique a validade do Teorema de Midy para as frações 1/p que você encontrou no item (c).
(e) Encontre pelo menos três números primos p para os quais a expansão decimal de 1/p é infinita e tem um período com um
número ímpar de dígitos.
[07] Para cada um dos números racionais indicados abaixo, especifique os valores para os campos “Largura” e “Indentação”
que fazem com que a tabela colorida correspondente “evidencie” a parte periódica da expansão decimal do número. Por
exemplo, para o número racional 5/13, o valor 8 para “Largura” e o valor 2 para “Indentação”, fazem com que a tabela colorida
correspondente fique assim:
Número Racional
5/13
Largura
8
1/7
71/7
124/990
1/23
1/59
1/89
1/99
1039/900
10000/9801
2
Indentação
2