VI Reuni~
ao da
Sociedade Brasileira
de Matem¶
atica
UNIVERSIDADE FEDERAL
DE VIC
» OSA
¶
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
{ UFV
Vi»cosa, 20 a 23 de abril de 2004
Mini-curso
TOPOLOGIA DAS SUPERF¶ICIES
~ INTUITIVA
UMA INTRODUC
» AO
Jo~
ao C.V. Sampaio (UFSCar)
Sum¶
ario
1 Superf¶³cies
1
1.1
O que ¶e uma superf¶³cie? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Topologia e geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Superf¶³cies de¯nidas abstratamente e seus
diagramas planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Superf¶³cies orient¶aveis
e superf¶³cies n~ao orient¶aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Superf¶³cies fechadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.6 Somas conexas de superf¶³cies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4
1.5
2 Todas as superf¶³cies fechadas conceb¶³veis
11
2.1
Diagramas poligonais para todas as superf¶³cies fechadas . . . . . . . . . 14
2.2
Para cada superf¶³cie fechada, uma \palavra" . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3
A palavra representa»c~ao de uma soma conexa . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4
Transformando palavras sem alterar a topologia
. . . . . . . . . . . . . 19
. . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.1
Transforma»c~oes praticamente ¶obvias
2.4.2
Uma transforma»c~ao inacredit¶avel . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.3
Uma transforma»c~ao esperta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.4
Duas transforma»c~oes imprescind¶³veis . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5
Listando todas as superf¶³cies fechadas orient¶aveis . . . . . . . . . . . . . 25
2.6
Listando as superf¶³cies fechadas e n~ao orient¶aveis . . . . . . . . . . . . . 27
3 Um pouco da geometria das superf¶³cies
29
3.1
Superf¶³cies suaves e pontos c^onicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2
Superf¶³cies de geometria euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3
A geometria da esfera ou geometria el¶³ptica . . . . . . . . . . . . . . . . 32
i
3.3.1
A soma dos ^angulos internos de um tri^angulo esf¶erico . . . . . . 34
3.4
O conceito de curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.5
O plano hiperb¶olico e sua geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5.1
Uma constru»c~ao aproximada de um modelo do plano hiperb¶olico.
37
3.6
A soma dos ^angulos internos de um pol¶³gono, em uma superf¶³cie de
curvatura constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.7
Somas conexas de toros, ou de planos projetivos, de curvatura constante
3.7.1
40
Uma constru»c~ao alternativa de toros de genus n, n ¸ 2, de
curvatura constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4 O n¶
umero (ou caracter¶³stica)
¶
de Euler (l^
e-se \Oiler"),
um invariante topol¶
ogico
45
4.1
Divis~oes celulares de uma superf¶³cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2
O n¶umero de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3
A topologia de uma superf¶³cie determina sua
geometria homog^enea, e vice-versa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4
Orientabilidade e n¶umero de Euler classi¯cando as superf¶³cies fechadas . 49
Pref¶
acio
O prop¶osito deste trabalho ¶e desenvolver id¶eias e resultados de topologia das superf¶³cies,
uma ¶area da Matem¶atica nascida da geometria, fazendo-o de modo acess¶³vel a estudantes
que n~ao tenham conhecimento pr¶evio de conceitos de matem¶atica do ensino superior,
podendo ser apreciado por estudantes universit¶arios de ¶areas fora da Matem¶atica e por
professores do ensino m¶edio.
Os temas apresentados evoluem, a partir de id¶eias geom¶etricas e topol¶ogicas intuitivas, em dire»c~ao a resultados destacados da topologia das superf¶³cies, chegando aos
teoremas de classi¯ca»c~ao topol¶ogica das superf¶³cies fechadas.
Dentre os grandes avan»cos matem¶aticos do s¶eculo 20, destacam-se aqueles ocorridos no campo da Topologia. Interesses de matem¶aticos e f¶³sicos impulsionaram um
grande progresso na ¶area das assim chamadas variedades de dimens~oes 3 e 4, que s~ao
grosso modo, generaliza»co~es das superf¶³cies de dimens~ao 2.
Duas ¶areas correlatas, nas quais houve intensa atividade de pesquisa, s~ao a teoria
dos n¶os e a topologia alg¶ebrica, esta u¶ltima intimamente relacionada µa topologia combinat¶oria. Devido ao grande rol de pr¶e-requisitos matem¶aticos, necess¶arios ao estudo
formal de tais assuntos, pouqu¶³ssimos textos para a gradua»c~ao (licenciatura e bacharelado) em matem¶atica desenvolvem uma introdu»c~ao a essa matem¶atica recente.
A maior parte dos textos universit¶arios de topologia, escritos em geral para os
bacharelados em matem¶atica, tratam somente de t¶opicos desenvolvidos no in¶³cio do
s¶eculo, e que est~ao mais relacionados µa topologia geral do que µa topologia geom¶etrica.
Grande parte desses textos foram escritos sob a premissa de que tais fundamentos devem
ser estudados primeiro, pois cont¶em conceitos amplamente empregados no campo da
an¶alise matem¶atica, outra ¶area deveras importante.
Contrastando fortemente com esse quadro, nos programas de p¶os-gradua»c~ao em
matem¶atica s~ao estudados textos avan»cados de topologia alg¶ebrica, enfatizando fortemente teorias desenvolvidas somente ap¶os os anos 50. O estudante de um programa
de mestrado em matem¶atica estuda e compreende, n~ao sem uma boa dose de esfor»co
intelectual, fundamentos e teoremas da topologia alg¶ebrica, mas ¯ca se perguntando
como ¶e que essas coisas foram originalmente descobertas.
No meio disso tudo, est¶a a constru»c~ao heur¶³stica da topologia geom¶etrica, cheia
de resultados descobertos muitas vezes por procedimentos intuitivos e ulteriormente
passados a limpo atrav¶es da linguagem so¯sticada e formalista das topologias geral e
¶ esta parte intermedi¶aria, da constru»c~ao intuitiva do conhecimento, que o
alg¶ebrica. E
presente texto visa suprir, ao menos em parte. Outro prop¶osito deste texto ¶e a divulga»c~ao
iii
desse conhecimento ao leitor n~ao especializado.
Este texto evoluiu de mini-cursos apresentados nos X, XI, XII e XIII Encontros
Brasileiros de Topologia, realizados nos anos 1996, 1998, 2000 e 2002 e, originalmente, de um mini-curso apresentado na Reuni~ao Regional da Sociedade Brasileira de
Matem¶atica, realizado pelo Departamento de Matem¶atica da UFSCar, em 1995.
Je®rey Weeks, em seu maravilhoso livro The Shape of Space, mostrou-me pela
primeira vez como ensinar topologia, sem pr¶e-requisitos formais, de modo divertido.
A ele juntam-se outros autores mencionados na bibliogra¯a. O incentivo para colocar
m~aos µa obra partiu de v¶arios companheiros de pro¯ss~ao, dentre eles cito especialmente
Yuriko Yamamoto Baldin, Yolanda Kioko Saito Furuya, Oziride Manzoli Neto, Daciberg
Lima Gon»calves e Suely Druck, havendo por¶em outros mais que tornariam esta lista bem
extensa.
Jo~ao Carlos V. Sampaio
1
Superf¶³cies
1.1
O que ¶
e uma superf¶³cie?
Superf¶³cies s~ao objetos geom¶etricos bi-dimensionais que n~ao existem no mundo real, mas
apenas em nossa imagina»c~ao geom¶etrica plat^onica. Podemos prontamente conceber
v¶arios exemplos de superf¶³cies, tais como a superf¶³cie de uma esfera, a superf¶³cie do
plano da geometria euclidiana, a superf¶³cie de uma c^amara de ar, e outras mais.
A de¯ni»c~ao formal (matem¶atica) de superf¶³cie requer conceitos de topologia geral
e de c¶alculo avan»cado, e n~ao ¶e nossa inten»c~ao apresent¶a-la aqui. Pelo contr¶ario, nossa inten»c~ao ¶e explorar superf¶³cies, do ponto de vista topol¶ogico e geom¶etrico, o mais
intuitivamente poss¶³vel.
Poder¶³amos dizer que nosso m¶etodo de estudo ser¶a heur¶³stico em vez de formal.
Pretendemos estabelecer fatos atrav¶es de evid^encias geom¶etricas intuitivas.
Para citar um exemplo onde um tal m¶etodo ¶e empregado, tomemos por exemplo
a teoria dos conjuntos. Sabemos que grande parte das propriedades das opera»co~es e
rela»c~oes entre conjuntos pode ser deduzida atrav¶es dos chamados diagramas de Venn.
Os diagramas de Venn fornecem evid^encias intuitivas dessas propriedades mas n~ao constituem demonstra»c~oes matem¶aticas das mesmas.
Subentenderemos a priori que uma superf¶³cie ¶e um \ambiente" geom¶etrico bi-dimensional, no sentido de que \habitantes" ¯ct¶³cios de uma superf¶³cie se movem com
apenas dois graus de liberdade. Para tornar o conceito de superf¶³cie mais claro, suporemos que para cada dois pontos de uma superf¶³cie, pode-se tra»car nela uma linha
geod¶
esica que os une. Em toda superf¶³cie, para cada dois pontos dela, existe um caminho, tra»cado na superf¶³cie, unindo esses pontos, de menor comprimento poss¶³vel. Tal
caminho ¶e uma linha geod¶esica que os une.
Repetindo, considerando-se dois pontos A e B numa superf¶³cie, se quisermos
tra»car, na superf¶³cie, um caminho (uma curva) de menor comprimento poss¶³vel, de A
at¶e B, tal caminho ser¶a um segmento geod¶
esico.
Por exemplo, as geod¶esicas do plano euclidiano s~ao linhas retas. As geod¶esicas
da superf¶³cie de uma esfera s~ao arcos de grandes c¶³rculos. Um grande c¶³rculo na su1
2
~o Regional da SBM
UFV { VI Reunia
perf¶³cie de uma esfera ¶e a interse»c~ao da superf¶³cie da esfera com um plano que passa
pelo seu centro. Por exemplo, a linha do Equador e os meridianos s~ao grandes c¶³rculos
da superf¶³cie da esfera terrestre1 . Repare que, se quisermos voar de um ponto a outro
no globo terrestre, deveremos voar seguindo sempre em frente, \em linha reta". Neste
caso estaremos seguindo a linha de uma geod¶esica da esfera terrestre. Um ¯o el¶astico
bem ¯no, com suas extremidades ¯xadas na superf¶³cie lisa de uma esfera, esticado e em
contato com a superf¶³cie, descreve uma geod¶esica da superf¶³cie da esfera.
O movimento em \dois graus de liberdade", sobre uma superf¶³cie, refere-se µa
propriedade de que um ponto, con¯nado a mover-se numa superf¶³cie, pode mover-se
\para a frente", \para tr¶as", \para a direita" e \para a esquerda", mas n~ao pode realizar
os movimentos complementares \para cima" e \para baixo" | poss¶³veis num ambiente
tri-dimensional | pois para isso teria que sair da superf¶³cie.
1.2
Topologia e geometria
µ vezes podemos construir um
Assumiremos que as superf¶³cies n~ao t^em espessura. As
modelo de uma superf¶³cie fazendo uso de uma pel¶³cula de material male¶avel e el¶astico
(bolas de pl¶astico s~ao modelos f¶³sicos de superf¶³cies esf¶ericas e c^amaras de ar s~ao modelos
de uma superf¶³cie chamada toro bidimensional). Se esticamos ou encolhemos um pouco
uma superf¶³cie, certas propriedades dela se mant¶em inalteradas. Tais propriedades constituem o que chamamos topologia da superf¶³cie.
Intuitivamente falando, enumeraremos quatro deforma»c~oes que n~ao afetam a
topologia de uma superf¶³cie:
1. Esticar ou in°ar a superf¶³cies ou partes dela.
2. Encolher a superf¶³cie ou partes dela.
3. Entortar a superf¶³cie ou partes dela.
4. Cortar a superf¶³cie segundo uma linha suave nela demarcada e, posteriormente,
colar novamente, uma na outra, as bordas geradas por esse recorte, resgatando a
superf¶³cie original com a linha demarcada. A este procedimento ¶e dado o nome de
recorte e colagem.
Se uma superf¶³cie ¶e obtida de outra por uma combina»c~ao, em um n¶umero ¯nito
de vezes, de algumas ou todas as tr^es primeiras transforma»co~es listadas acima, diremos
que elas s~ao isot¶
opicas.
Se uma superf¶³cie ¶e obtida de outra por uma combina»c~ao de um n¶umero ¯nito
das quatro transforma»c~oes listadas acima (deforma»c~oes \legais"), dizemos que elas s~ao
homeomorfas. Obviamente, superf¶³cies isot¶opicas s~ao homeomorfas.
1
Imaginando-se a Terra como uma esfera s¶
olida. Na verdade, a \esfera" terrestre ¶e achatada nos
polos
~o intuitiva
Topologia das superf¶³cies. Uma introduc
»a
3
Figura 1.1: Uma transforma»c~ao de recorte e colagem aplicada a uma superf¶³cie. A superf¶³cie resultante ¶e homeomorfa µa superf¶³cie original. No entanto, no espa»co euclidiano
tridimensional, elas n~ao s~ao isot¶opicas. Pode ser mostrado que, num espa»co euclidiano
de dimens~ao 4, ¶e poss¶³vel transformar a superf¶³cie em (a) na superf¶³cie em (b), apenas
por transforma»c~oes isot¶opicas, ou seja, dos tipos 1, 2 e 3, sem apelar para recorte e
colagem.
Ao cortarmos uma superf¶³cie segundo uma linha ou curva suave nela demarcada,
esse recorte d¶a origem a duas bordas (ou dois bordos, como dizem os top¶ologos).
Entenderemos que, ap¶os esse recorte, a linha de corte ¯ca duplicada, passando a ser
representada pelas duas bordas que o recorte gerou. Ap¶os a colagem de ambos as
bordas, uma na outra, resgatamos ent~ao a curva original e a por»c~ao da superf¶³cie em
torno dela.
De¯ne-se ent~ao a topologia de uma superf¶³cie como sendo o conjunto de aspectos geom¶etricos dessa superf¶³cie que n~ao se alteram quando a ela aplicamos qualquer
uma das quatro deforma»c~
oes listadas acima. Quando duas superf¶³cies t^em a mesma
topologia, dizemos que elas s~ao topologicamente equivalentes, ou que s~ao, como
dizem os top¶ologos, superf¶³cies homeomorfas.
Em contraste µa topologia de uma superf¶³cie, os aspectos de sua natureza que se alteram pelas deforma»c~oes enumeradas acima | aspectos tais como dist^
ancias, ^
angulos,
¶
areas e curvatura (um conceito do qual falaremos mais tarde) | constituem o que
chamamos a geometria da superf¶³cie.
As deforma»c~oes listadas abaixo (deforma»c~oes \ilegais") alteram a topologia de
uma superf¶³cie, resultando em superf¶³cies n~ao homeomorfas µa superf¶³cie original:
(i) cortar a superf¶³cie, segundo uma curva nela demarcada, e n~ao tornar a colar, um
no outro, os bordos gerados pelo recorte;
(ii) realizar colagens de modo arbitr¶ario fazendo com que dois ou mais pontos, originalmente separados, tornem-se um s¶o ponto da superf¶³cie;
(iii) encolher a superf¶³cie, ou algumas de suas regi~oes, de modo que pontos originalmente separados se aglutinem num s¶o ponto.
4
1.3
~o Regional da SBM
UFV { VI Reunia
Superf¶³cies de¯nidas abstratamente e seus
diagramas planos
H¶a superf¶³cies que s~ao de¯nidas abstratamente, a partir de colagens estrat¶egicas de pares
de arestas de regi~oes poligonais planas. O modo pelo qual tais superf¶³cies s~ao de¯nidas
ser¶a elucidado atrav¶es de exemplos. Um primeiro exemplo dessas superf¶³cies ¶e o toro
plano.
O toro plano ¶e constru¶³do da seguinte maneira:
A regi~ao poligonal plana, tomada como ponto de partida, ¶e um ret^angulo plano.
Para produzir o toro plano, s~ao \coladas", aos pares, as arestas opostas (lados opostos)
do ret^angulo, uma na outra. Se o ret^angulo ¶e visto por n¶os como tendo uma aresta de
cima, outra de baixo, e outras duas laterais µa direita e µa esquerda, colam-se ent~ao, a
aresta de cima na de baixo e a direita na esquerda.
A superf¶³cie resultante, assim obtida, ¶e o toro plano.
Figura 1.2: O toro plano ¶e representado por um diagrama retangular. As setas demarcadas no ret^angulo indicam que as arestas de setas simples ser~ao coladas uma sobre a
outra, bem como as arestas de setas duplas. Repare que, ap¶os a colagem, os quatro
v¶ertices do ret^angulo tornam-se um u¶nico ponto no toro plano.
¶ preciso que ¯que claro o que signi¯ca \colar" uma aresta em outra! N~ao signi¯ca
E
que passamos cola numa das arestas e a grudamos na outra. Signi¯ca, isto sim, que,
ap¶os a colagem, um habitante (bi-dimensional) ¯ct¶³cio dessa superf¶³cie, ao cruzar a
aresta superior, emerge para dentro do ret^angulo atrav¶es da aresta inferior. Ao cruzar a
aresta da direita, ele emerge superf¶³cie adentro atrav¶es da aresta esquerda do ret^angulo.
Veja ¯gura 1.3.
Figura 1.3: Tri^angulo e Quadrado, em passeio pelo toro plano.
~o intuitiva
Topologia das superf¶³cies. Uma introduc
»a
5
Figura 1.4: Nesta ¯gura temos um modelo do toro \mergulhado" (ou seja, constru¶³do)
no espa»co tri-dimensional euclidiano, obtido pelas colagens dos lados do ret^angulo
da ¯gura 1.2, conforme as instru»c~oes dadas. Esta superf¶³cie ¶e chamada toro bidimensional ordin¶
ario. Note que para mergulh¶a-lo no espa»co tridimensional algumas
deforma»c~oes legais s~ao necess¶arias.
Ap¶os a colagem, o ret^angulo deixa de existir, pois, ao contr¶ario do ret^angulo, a
superf¶³cie do toro plano n~ao tem bordo. O ret^angulo ¶e um exemplo de uma superf¶³cie
com bordo.
A maioria das superf¶³cies que estudaremos n~ao t^em bordo, tal como as superf¶³cies
do toro plano e da esfera. O plano euclidiano tamb¶em n~ao tem bordo, por¶em ele n~ao ¶e
uma superf¶³cie fechada, num sentido que adiante tornaremos mais preciso.
Uma segunda superf¶³cie de¯nida abstratamente ¶e a garrafa de Klein plana. A
garrafa de Klein plana ¶e concebida da seguinte maneira:
Toma-se novamente, como ponto de partida, um ret^angulo plano. Colamos a aresta superior na inferior, como na constru»c~ao do toro plano. Em seguida, colamos a aresta
esquerda na direita, ap¶os aplicarmos uma \retor»c~ao de 180± " numa das extremidades da
faixa retangular. Veja na ¯gura 1.8, o resultado da tentativa de contruir-se um modelo
da garrafa de Klein no espa»co euclidiano tridimensional.
Figura 1.5: A garrafa de Klein plana ¶e representada pelo diagrama acima. As setas
demarcadas no ret^angulo indicam que as arestas de setas simples ser~ao coladas uma
sobre a outra, bem como as arestas de setas duplas, de modo que as setas se \encaixem" na colagem. Note que para sobrepor as setas duplas, ao colar a aresta direita na
esquerda, ¶e necess¶ario retorcer a faixa retangular antes de colar. Veri¯que que, ap¶os a
colagem, os quatro v¶ertices do ret^angulo ser~ao um s¶o ponto na garrafa Klein.
Observe, na ¯gura 1.6, a faixa retangular ao meio da garrafa de Klein. Esta ¶e uma
faixa de MÄ
obius. Para construir um modelo da faixa de MÄobius, tome uma tira de papel
6
~o Regional da SBM
UFV { VI Reunia
de uns 30 cm de comprimento por uns 5 cm de largura. Cole ent~ao as extremidades,
ap¶os aplicar uma retor»c~ao de 180± a uma das extremidades. Veja ¯gura 1.7.
Figura 1.6: Uma faixa de MÄobius na garrafa de Klein plana.
Figura 1.7: Constru»c~ao de um modelo da faixa de MÄobius.
Figura 1.8: Tentativa de constru»c~ao de um modelo da garrafa de Klein no espa»co
euclidiano tridimensional. No quinto est¶agio da constru»c~ao, uma das extremidades do
tubo cil¶³ndrico tem que passar \atrav¶es" da superf¶³cie, para que os pontos A, B e C
possam ser colados sobre os pontos A0 , B 0 e C 0 . Como n~ao ¶e permitido cortar a superf¶³cie, nossa u¶nica sa¶³da ¶e construir a garrafa a partir de uma pel¶³cula \fantasma". Nesse
caso, a superf¶³cie da garrafa passa atrav¶es de si mesma, sem por¶em auto-interceptar-se.
~o intuitiva
Topologia das superf¶³cies. Uma introduc
»a
7
Uma terceira superf¶³cie de¯nida abstratamente ¶e o plano projetivo. Para constru¶³lo, em vez de uma regi~ao poligonal plana, podemos considerar inicialmente o hemisf¶erio
sul da superf¶³cie de uma esfera, uma semi-esfera. Colamos ent~ao cada ponto da linha
do equador (bordo da semi-esfera) ao ponto do equador diametralmente oposto. A
superf¶³cie assim produzida ¶e chamada plano projetivo. Veja ¯gura 1.9.
Figura 1.9: Constru»c~ao do plano projetivo. Os pontos A, B e C s~ao colados nos
pontos diametralmente opostos A0 , B 0 e C 0 , respectivamente. Assim sendo, o arco
AB ser¶a colado no arco A0 B 0 , ap¶os uma retor»c~ao. Tamb¶em ser~ao colados, com uma
retor»c~ao, o arco BC em B 0 C 0 , e o arco CA em C 0 A0 .
Figura 1.10: O plano projetivo tamb¶em pode ser representado por um diagrama plano
circular, de duas arestas curvil¶³neas, como na ¯gura. Imagine a regi~ao circular plana
como uma semi-esfera achatada, ap¶os uma deforma»c~ao legal. Cada ponto do bordo
circular ¶e colado no ponto diametralmente oposto. Neste caso, a aresta curvil¶³nea µa
esquerda ¶e colada na aresta curvil¶³nea µa direita ap¶os aplicarmos uma retor»c~ao de 180±
num dos dois lados. Isto ¶e imposs¶³vel de se construir no mundo real. Repare que,
ap¶os a colagem, os dois pontos demarcados por A tornam-se um s¶o ponto do plano
projetivo.
1.4
Superf¶³cies orient¶
aveis
e superf¶³cies n~
ao orient¶
aveis
Repare na ¯gura 1.11 o que acontece quando o jovem Quadrado, habitante da faixa de
MÄobius, resolve dar um passeio ao longo dela.
Ao retornar do passeio, ele tenta retomar sua posi»c~ao original, dando um giro de
180± em torno de si mesmo, mas o melhor que consegue ¶e colocar-se \de p¶e", olhando
8
~o Regional da SBM
UFV { VI Reunia
para a dire»c~ao oposta µa que olhava quando partiu. Por causa disto, dizemos que o
caminho percorrido por Quadrado ¶e um caminho que inverte orienta»c~
ao.
Figura 1.11: Ap¶os um passeio ao longo da faixa de MÄobius, o jovem Quadrado retorna
invertido, assumindo a posi»c~ao de sua \imagem num espelho".
Tornamos a lembrar aqui que nossas superf¶³cies, por serem ideais, n~ao t^em espessura. Assim, enquanto Quadrado passeia pela faixa, ele pode ser visto nos \dois
lados" da superf¶³cie. A frase \dois lados" vem entre aspas porque, na verdade, a faixa
de MÄobius, assim constru¶³da, dentro do espa»co euclidiano tri-dimensional, tem apenas
uma face (e apenas um bordo).
Uma superf¶³cie contendo um caminho fechado que inverte orienta»c~ao ¶e chamada
superf¶³cie n~
ao orient¶
avel. Um caminho que inverte orienta»c~ao ¶e um caminho que
pode ser representado pelo diagrama que aparece µa direita na ¯gura 1.6, ou seja, que ¶e,
na verdade, uma faixa de MÄobius. Assim, ¶e n~ao orient¶avel toda superf¶³cie que contem
dentro de si uma faixa de MÄobius. Se a superf¶³cie n~ao cont¶em nenhum caminho fechado
desse tipo ela ¶e uma superf¶³cie orient¶
avel.
A garrafa de Klein e o plano projetivo s~ao superf¶³cies n~ao orient¶aveis. J¶a a esfera
e o toro bi-dimensional s~ao superf¶³cies orient¶aveis.
Figura 1.12: Na constru»c~ao do plano projetivo, o arco BC ¶e colado no arco B 0 C 0 ap¶os
uma retor»c~ao. Isto produz uma faixa de MÄobius dentro do plano projetivo.
1.5
Superf¶³cies fechadas
Uma superf¶³cie ¶e chamada superf¶³cie fechada quando n~ao tem bordo e, ao mesmo
tempo, pode ser subdividida em um n¶umero ¯nito de peda»cos triangulares. Isto faz com
que a dist^ancia geod¶esica entre quaisquer dois de seus pontos nunca seja maior que uma
certa dist^ancia m¶axima.
~o intuitiva
Topologia das superf¶³cies. Uma introduc
»a
9
Suporemos a priori que um tri^angulo numa superf¶³cie ¶e uma por»c~ao da superf¶³cie
homeomorfa a uma regi~ao triangular plana. Tal como um tri^angulo plano, um tri^angulo
de uma superf¶³cie ¶e dotado de tr^es v¶ertices, tr^es arestas e uma face. Assumiremos
tamb¶em que as arestas de um tri^angulo s~ao segmentos geod¶esicos da superf¶³cie.
Uma cole»c~ao de tri^angulos de uma superf¶³cie ser¶a chamada uma triangula»c~
ao da
superf¶³cie se obedecer a certas regras de \bom comportamento", sendo elas:
I. Cada par de tri^angulos da cole»c~ao tem em comum uma aresta ou um v¶ertice, ou
nada tem comum;
II. Cada aresta de um desses tri^angulos ¶e comum a exatamente dois tri^angulos;
III. Para cada par de pontos A e B da superf¶³cie, existem tri^angulos, digamos
¢1 ; ¢2 ; : : : ; ¢n , com A na regi~ao triangular ¢1 e B na regi~ao triangular ¢n ,
tal que cada dois tri^angulos consecutivos desta seqÄu^encia t^em uma aresta em comum. Esta condi»c~ao garante que a superf¶³cie ¶e conexa por caminhos, isto ¶e,
para cada dois pontos A e B da superf¶³cie, podemos ir de A at¶e B por um caminho
tra»cado em uma faixa de tri^angulos.
O plano Euclidiano n~ao tem bordo, por¶em, sempre que ¯xarmos uma dist^ancia
qualquer, haver¶a dois pontos do plano Euclidiano separados por uma dist^ancia maior
que a dist^ancia ¯xada. Assim, apesar de n~ao ter bordo, o plano Euclidiano n~ao ¶e
uma superf¶³cie fechada, pois n~ao pode ser subdividido em um n¶umero ¯nito de regi~oes
triangulares. Um ret^angulo plano n~ao ¶e uma superf¶³cie fechada, pois tem bordo. A
esfera, o toro, a garrafa de Klein e o plano projetivo s~ao superf¶³cies fechadas.
Por serem reuni~ao de um n¶
umero ¯nito de tri^angulos, as superf¶³cies fechadas s~ao
chamadas superf¶³cies compactas. Assim, o termo superf¶³cie fechada ¶e sin^onimo de
superf¶³cie compacta e sem bordo. O plano euclidiano ¶e triangul¶avel, por¶em atrav¶es de
uma cole»c~ao in¯nita de tri^angulos, e por isto n~ao ¶e compacto.
Quando a superf¶³cie n~ao ¶e fechada e, ao mesmo tempo, n~ao tem bordo, tal como
o plano Euclidiano, ela ¶e chamada de superf¶³cie aberta.
1.6
Somas conexas de superf¶³cies
Suponhamos que s~ao dadas duas superf¶³cies, as quais chamaremos de M e N. A soma
conexa de M e N ¶e uma nova superf¶³cie, que indicaremos por M #N , constru¶³da da
seguinte maneira. Comece por considerar M e N como duas superf¶³cies separadas uma
da outra sem pontos em comum, pr¶oximas uma da outra.
Em seguida corte e remova uma pequena regi~ao circular de cada uma das duas
superf¶³cies. Isto criar¶a um pequeno bordo circular em cada uma delas.
Finalmente, estique um pouquinho as duas superf¶³cies para fora, puxando-as pelos
seus bordos circulares, fazendo com que os dois bordos se aproximem e, ¯nalmente, cole
os bordos circulares um no outro, obtendo a soma conexa de M e N . Veja ¯gura 1.13.
10
~o Regional da SBM
UFV { VI Reunia
Figura 1.13: Exemplo de soma conexa de duas superf¶³cies. No diagrama inicial, a
superf¶³cie µa esquerda ¶e um toro de genus 2 ou bitoro (o bitoro ¶e a soma conexa de
dois toros). No diagrama ¯nal, temos a soma conexa de um bitoro e um toro, o toro
de genus 3.
Um resultado famoso da topologia das superf¶³cies diz que, al¶em das quatro superf¶³cies b¶asicas vistas anteriormente | a esfera, o toro, a garrafa de Klein e o plano projetivo | todas as demais superf¶³cies fechadas conceb¶³veis s~ao constru¶³das a partir dessas
superf¶³cies b¶asicas, atrav¶es de um n¶umero ¯nito de somas conexas. Mais precisamente,
temos os seguintes fatos, a serem esclarecidos no pr¶oximo cap¶³tulo:
1. Toda superf¶³cie orient¶avel ¶e, topologicamente, uma esfera ou um toro, ou uma
soma conexa de dois ou mais toros.
2. Toda a superf¶³cie n~ao orient¶avel ¶e, topologicamente, um plano projetivo, ou uma
soma conexa de dois ou mais planos projetivos.
O leitor pode perguntar-se porqu^e a garrafa de Klein n~ao foi citada nas duas
propriedades acima. Pode perguntar ainda como ¯ca a soma conexa de uma superf¶³cie
orient¶avel com uma n~ao orient¶avel. A resposta a estas quest~oes vir¶a a seu tempo. No
momento, para que pense a respeito dessas quest~oes, adiantaremos dois fatos, deveras
surpreendentes, que estabeleceremos no pr¶oximo cap¶³tulo:
² A garrafa de Klein ¶e, topologicamente falando, a soma conexa de dois planos
projetivos.
² A soma conexa de um toro e um plano projetivo ¶e, topologicamente, a soma
conexa de uma garrafa de Klein com um plano projetivo.
2
Todas as superf¶³cies fechadas
conceb¶³veis
As superf¶³cies b¶asicas at¶e agora examinadas ser~ao, a partir de agora, indicadas por
nota»c~oes especiais, conforme a tabela abaixo.
A nota»c~ao que ¶e lida
S2
T2
K2
P2
¶esse dois
t^e dois
c¶a dois
p^e dois
denota a superf¶³cie
esfera bidimensional
toro bidimensional
garrafa de Klein
plano projetivo bidimensional
Nosso objetivo neste cap¶³tulo ¶e deduzir o seguinte resultado:
A lista de todas as superf¶³cies fechadas conceb¶³veis ¶e a seguinte:
S2
T2
T 2 #T 2
T 2 #T 2 #T 2
..
.
P2
P 2 #P 2
P 2 #P 2 #P 2
..
.
sendo que, S 2 , T 2 , T 2 #T 2 , T 2 #T 2 #T 2 , etc., ¶e a lista (in¯nita) de todas as superf¶³cies
orient¶aveis, enquanto que P 2 , P 2 #P 2 , P 2 #P 2 #P 2 , etc., ¶e a lista (in¯nita) de todas
as superf¶³cies n~ao orient¶aveis.
S 2 aparece somente uma vez na listagem acima porque S 2 ¶e elemento neutro na
soma conexa de superf¶³cies. Em outras palavras, se M ¶e uma superf¶³cie, ent~ao M #S 2
e M s~ao superf¶³cies homeomorfas, ou seja, topologicamente M#S 2 = M . Entenda isto
examinando a ¯gura 2.1.
A garrafa de Klein parece n~ao fazer parte desta lista mas, na verdade, a soma
conexa de dois planos projetivos ¶e uma garrafa de Klein! Isto ¶e mostrado em detalhes
11
12
~o Regional da SBM
UFV { VI Reunia
adiante, pela ¯gura 2.3. Em linguagem simb¶olica,
P 2 #P 2 = K 2
Figura 2.1: Topologicamente, M #S 2 = M.
Outro fato not¶avel ¶e o de que a soma conexa de um toro e um plano projetivo ¶e
uma superf¶³cie homeomorfa µa soma conexa de uma garrafa de Klein e um plano projetivo.
Em linguagem simb¶olica,
T 2 #P 2 = K 2 #P 2
Reparou que n~ao podemos \cancelar" a superf¶³cie P 2 em ambos os termos da igualdade
acima?
ConseqÄuentemente,
T 2 #P 2 = P 2 #P 2 #P 2
Se duas superf¶³cies s~ao representadas por diagramas poligonais planos, ent~ao a
soma conexa delas ¶e facilmente representada por um diagrama poligonal plano, conforme
ilustramos na ¯gura 2.2. Repare que o diagrama da soma conexa de duas superf¶³cies ¶e
obtido por um \encaixe" dos diagramas das superf¶³cies, atrav¶es de um v¶ertice escolhido
em cada uma.
Os seguintes fatos s~ao generaliza»c~oes de fatos observados nas ¯guras 2.2 e 2.3:
² A soma conexa de n toros planos, nT 2 = T 2 # : : : #T 2 , que ¶e um toro de genus
|
{z
}
n termos
n (um toro com n \buracos"), pode ser representada por uma regi~ao poligonal
plana de 4n lados (um 4n-¶agono). Um toro ¶e representado por um ret^angulo,
um toro de genus 2 ¶e representado por um oct¶ogono, um toro de genus 3 ¶e
representado por um dodec¶agono (12-¶agono), e assim por diante. Al¶em disso,
no diagrama poligonal de cada uma dessas superf¶³cies, todos os 4n v¶ertices, ap¶os
colagens, tornam-se um ¶unico ponto da superf¶³cie.
² Analogamente, a soma conexa de n planos projetivos, n ¸ 2, pode ser representada
por uma regi~ao poligonal plana de 2n lados (um 2n-¶agono). A garrafa de Klein,
~o intuitiva
Topologia das superf¶³cies. Uma introduc
»a
13
soma conexa de 2 planos projetivos, ¶e representada por um ret^angulo, a soma
conexa de 3 planos projetivos ¶e representada por um hex¶agono, e assim por diante.
Al¶em disso, tamb¶em no diagrama poligonal de cada uma dessas somas conexas,
todos os 2n v¶ertices correspondem a um ¶unico ponto da superf¶³cie.
Figura 2.2: Constru»c~ao do diagrama da soma conexa de dois toros (bitoro). Em cada
toro, as arestas s~ao etiquetadas por letras e setas, de modo que arestas etiquetadas
pelas mesmas letras s~ao coladas uma sobre a outra, conforme as orienta»c~oes dadas
pelas setas demarcadas nas arestas. Removendo uma regi~ao circular de cada um dos
toros, tomamos o cuidado de faz^e-lo de modo que cada bordo circular comece e termine
num determinado v¶ertice do diagrama poligonal. Na opera»c~ao de soma conexa das
duas superf¶³cies, o bordo circular e ¶e ent~ao colado no bordo circular f. Como se v^e, isto
gera uma representa»c~ao octogonal do bitoro, com arestas coladas aos pares conforme
o diagrama ¯nal. Note que, ao ¯nal, todos os v¶ertices do oct¶ogono ser~ao colados
num s¶o lugar, representando um s¶o ponto no bitoro resultante. Repare tamb¶em que o
diagrama da soma conexa ¶e uma \justaposi»c~ao," atrav¶es dos dois v¶ertices destacados
na ¯gura, dos diagramas das superf¶³cies somadas.
14
~o Regional da SBM
UFV { VI Reunia
Figura 2.3: A seqÄu^encia de ilustra»c~oes mostra que a soma conexa de dois planos
projetivos ¶e uma garrafa de Klein. Ap¶os o recorte estrat¶egico da soma conexa ao longo
da linha c, o peda»co n¶umero 1 ¶e rebatido em 180± em rela»c~ao ao plano do papel, e os
peda»cos 1 e 2 s~ao ent~ao colados ao longo da aresta b. Note que, tamb¶em neste caso,
todos os v¶ertices do ret^angulo resultante s~ao colados num s¶o ponto.
2.1
Diagramas poligonais para todas as superf¶³cies
fechadas
Nesta se»c~ao trataremos de mostrar que, para cada superf¶³cie fechada, ¶e poss¶³vel construir
um diagrama poligonal convexo plano que a representa. Em outras palavras, ¶e poss¶³vel
construir uma regi~ao poligonal convexa plana, com as arestas etiquetadas aos pares, por
letras e por setas, de modo que, colando-se os pares de arestas com etiquetas iguais,
segundo as orienta»c~oes das setas, reconstru¶³mos, topologicamente, a superf¶³cie. Assim,
o diagrama poligonal plano ¶e um \mapa" topol¶ogico da superf¶³cie.
Faremos uso agora da propriedade de que toda superf¶³cie fechada pode ser subdividida em um n¶umero ¯nito de peda»cos triangulares.
Sendo dada ent~ao uma superf¶³cie fechada S, subdividimo-la em tri^angulos, tal
como descrito acima. Num processo de \recorte", \decompomos" a superf¶³cie S em
peda»cos triangulares, dispondo-os, separadamente uns dos outros, num plano euclidiano,
deformando-os em tri^angulos euclidianos planos, conforme necess¶ario.
Em seguida, etiquetamos (nomeamos) as arestas desses tri^angulos por letras a, b,
~o intuitiva
Topologia das superf¶³cies. Uma introduc
»a
15
c, etc., de modo a guardar a informa»c~ao da \colagem" organizada que deve ser levada a
termo se quisermos reconstruir a superf¶³cie original. Se duas arestas devem ser coladas
uma na outra, etiquetamos ambas com a mesma letra.
Nesse \desmonte" da superf¶³cie, al¶em da etiquetagem das arestas por letras,
tamb¶em etiquetamos as arestas com setas, de modo a manter a informa»c~ao acerca
de como s~ao colados dois tri^angulos quando t^em uma aresta em comum. As setas demarcadas s~ao necess¶arias para nos indicar, em pares de arestas a serem coladas, quais
s~ao os v¶ertices iniciais e quais s~ao os v¶ertices ¯nais.
Uma vez conclu¶³da a decomposi»c~ao e subseqÄuente etiqueta»c~ao de arestas conforme
descrito acima, procedemos a uma recolagem estrat¶egica dos tri^angulos, a ¯m de obter
o que chamamos de uma representa»c~
ao poligonal plana da superf¶³cie.
Figura 2.4: Constru»c~ao de um diagrama poligonal representando a esfera, atrav¶es de
uma triangula»c~ao da superf¶³cie esf¶erica.
A recolagem estrat¶egica ¶e feita da seguinte maneira:
Tomamos um dos tri^angulos \recortados," digamos que ele tenha arestas a; b e c, e
procuramos, dentre os demais tri^angulos, um que tenha tamb¶em uma aresta etiquetada
com uma dessas tr^es letras.
\Colamos" os dois tri^angulos, um no outro, ao longo de uma aresta com etiqueta
comum, respeitando a orienta»c~ao de colagem ditada pelas setas demarcadas, isto ¶e,
colando as arestas de modo que as setas demarcadas se justaponham.
O quadril¶atero plano formado pela colagem desses dois tri^angulos ¶e ent~ao deformado, caso necess¶ario, de modo a tornar-se convexo.
Em seguida, procuramos, dentre os tri^angulos restantes, um que tenha uma aresta
com mesma etiqueta de um dos lados desse quadril¶atero.
Colamos o tri^angulo no quadril¶atero e deformamos a nova ¯gura poligonal, agora
16
~o Regional da SBM
UFV { VI Reunia
com seis arestas, de modo a torn¶a-la convexa.
Se n~ao houver mais tri^angulos remanescentes, o processo de colagem termina.
Caso contr¶ario, prosseguimos sempre procurando um tri^angulo remanescente que
tenha uma aresta de mesma etiqueta de uma das arestas da ¯gura poligonal obtida at¶e
o momento.
Em cada est¶agio, havendo tri^angulos remanescentes, sempre ser¶a poss¶³vel encontrar
um tri^angulo que tenha etiqueta (letra) em comum com uma das arestas da regi~ao
poligonal obtida at¶e ent~ao. Isto se deve ao fato de que, se isto n~ao for poss¶³vel, ent~ao as
arestas da regi~ao poligonal formada estar~ao repetidas aos pares e essa regi~ao j¶a estar¶a
representando ent~ao uma superf¶³cie fechada, estando esta superf¶³cie \desconectada" dos
demais tri^angulos, n~ao sendo portanto conexa por caminhos, violando a 3a condi»c~ao de
\bom comportamento" da triangula»c~ao.
Assim prosseguimos at¶e obter uma regi~ao poligonal convexa de um n¶umero par de
lados, representando a superf¶³cie S. Nesta superf¶³cie, as arestas estar~ao identi¯cadas,
ou seja, etiquetadas, aos pares, com letras iguais. Talvez as letras do alfabeto latino
n~ao sejam su¯cientes para a etiquetagem de todas as arestas. Nesse caso podemos, por
exemplo, etiquetar as arestas com n¶umeros inteiros positivos.
Certas representa»c~oes poligonais de superf¶³cies prov¶em de simpli¯ca»c~oes de repre¶ o caso, por exemplo, das representa»c~oes poligonais com maior n¶umero de arestas. E
senta»c~oes j¶a vistas do toro plano e da garrafa de Klein plana, da representa»c~ao circular
do plano projetivo e da representa»c~ao circular da esfera (permitindo-nos, nestes casos,
o uso de arestas curvil¶³neas). Veja ¯gura 2.5.
Figura 2.5: Representa»c~oes poligonais simpli¯cadas das quatro superf¶³cies fechadas
\b¶asicas".
~o intuitiva
Topologia das superf¶³cies. Uma introduc
»a
2.2
17
Para cada superf¶³cie fechada, uma \palavra"
Uma vez que podemos representar cada superf¶³cie fechada por um diagrama poligonal
plano com arestas etiquetadas por letras e setas, veremos agora que, a cada representa»c~ao poligonal de uma superf¶³cie fechada, podemos associar uma \senha" ou \palavra"
que guarda toda a informa»c~ao acerca dessa con¯gura»c~ao poligonal plana, bem como
das letras e setas etiquetando suas arestas. Uma tal senha ¶e chamada uma palavra
representa»c~
ao da superf¶³cie.
Para montarmos uma palavra representa»c~ao de uma superf¶³cie, tomamos uma representa»c~ao poligonal plana da mesma e percorremos o contorno do pol¶³gono, a partir de
um v¶ertice qualquer, no sentido hor¶ario ou anti-hor¶ario, realizando uma volta completa.
Nesse percurso, ao passarmos por cada aresta, anotamos a letra que d¶a o nome
µa aresta. Anexamos-lhe por¶em um \expoente" ¡1 caso estejamos percorrendo a aresta
no sentido contr¶ario ao da seta nela demarcada. Assim, ao passarmos por uma aresta,
digamos c, se nosso sentido de percurso for a favor do sentido da seta em c, escrevemos \c". Se o nosso sentido de percurso for contr¶ario ao sentido indicado pela seta,
escrevemos \c¡1 ".
Justapondo ent~ao as anota»c~oes das sucessivas arestas, com expoentes \¡1" anexados quando for o caso, formamos uma senha ou palavra que guarda toda a informa»c~ao
acerca da representa»c~ao poligonal da superf¶³cie.
Observe as representa»c~oes poligonais do toro, da garrafa de Klein, da esfera e do
plano projetivo, dadas na ¯gura 2.5. A partir delas, escrevemos as nossas primeiras
palavras representa»c~oes:
superf¶³cie
palavra
toro plano
garrafa de Klein
esfera
plano projetivo
aba¡1 b¡1
aba¡1 b
aa¡1
aa
Escrevemos ent~ao S 2 ´ aa¡1 , T 2 ´ aba¡1 b¡1 , K 2 ´ aba¡1 b e P 2 ´ aa.
Quando M ¶e uma superf¶³cie e W ¶e uma palavra representa»c~ao que a representa,
escrevemos M ´ W . Se W1 e W2 s~ao palavras representando superf¶³cies homeomorfas,
tamb¶em escrevemos W1 ´ W2 .
Numa representa»c~ao poligonal de uma superf¶³cie fechada, as arestas s~ao etiquetadas aos pares com letras iguais. Assim, a palavra representa»c~ao de uma superf¶³cie ter¶a
sempre letras repetidas aos pares.
Reciprocamente, suponhamos que nos ¶e dada uma palavra dessa natureza, digamos
acdc¡1 db¡1 a¡1 b
Nesta palavra, cada letra ¶e dada duas vezes, num total de 8 letras, contadas as
repeti»co~es. Assim, trata-se da palavra associada a um diagrama octogonal. Deste modo,
18
~o Regional da SBM
UFV { VI Reunia
esbo»camos um oct¶ogono e nele etiquetamos as arestas, seqÄuencialmente, conforme as
letras dadas na palavra, por a; c; d; c; d; b; a; b. Em seguida, percorrendo o per¶³metro
octogonal no sentido hor¶ario, a partir da primeira aresta a, demarcamos uma seta em
cada aresta, apontando contra ou a favor do sentido do percurso, conforme tenhamos
ou n~ao, na palavra dada, a presen»ca do expoente ¡1 na letra correspondente µa aresta
sendo percorrida. No caso deste nosso exemplo, a palavra dada, acdc¡1 db¡1 a¡1 b, est¶a
associada ao diagrama da ¯gura 2.6.
Figura 2.6: O diagrama acima est¶a associado µa palavra acdc¡1 db¡1 a¡1 b. Percorrendo
o bordo do oct¶ogono em sentido anti-hor¶ario, a partir do v¶ertice destacado, deduzimos que o mesmo diagrama tamb¶em est¶a associado µa palavra b¡1 abd¡1 cd¡1 c¡1 a¡1 .
Veri¯que que os oito v¶ertices, ap¶os as colagens, de¯nem um u
¶nico ponto na superf¶³cie.
2.3
A palavra representa»c~
ao de uma soma conexa
Um fato not¶avel sobre as palavras representa»co~es de superf¶³cies ¶e que, sendo dadas duas
superf¶³cies S1 e S2 , tendo elas palavras representa»c~oes W1 e W2 , tomando-se o cuidado
de usar em W1 letras diferentes das usadas em W2 , a superf¶³cie S1 #S2 , soma conexa
de S1 e S2 , tem palavra representa»c~ao W1 W2 , ou seja,
A palavra representa»c~ao de S1 #S2 ¶e obtida por justaposi»c~ao das palavras representa»c~oes de S1 e S2 , desde que estas n~ao tenham letras em comum.
Assim, por exemplo, a soma conexa de dois toros, o bitoro, ¶e representada pela
palavra aba¡1 b¡1 cdc¡1 d¡1 , obtida pela justaposi»c~ao das palavras aba¡1 b¡1 e cdc¡1 d¡1 ,
cada uma destas representando um toro. Isto pode ser observado diretamente atrav¶es
da ¯gura 2.2, µa p¶agina 13. V¶a at¶e l¶a e con¯ra.
Outros exemplos de palavras representando somas conexas s~ao:
² P 2 #P 2 ´ aabb
² T 2 #S 2 ´ aba¡1 b¡1 cc¡1
² K 2 #P 2 ´ aba¡1 bcc
Observe tamb¶em que se uma palavra representa»c~ao W ¶e formada por dois blocos
consecutivos A e B, sem letras em comum, ent~ao W representa a soma conexa de
~o intuitiva
Topologia das superf¶³cies. Uma introduc
»a
19
duas superf¶³cies, a primeira representada por A e a segunda representada por B. Assim,
por exemplo, W = abacb¡1 cxyx¡1 y ¡1 representa a soma conexa das superf¶³cies S1 ´
abacb¡1 c e S2 ´ xyx¡1 y ¡1 .
2.4
Transformando palavras sem alterar a topologia
Dada uma palavra representa»c~ao de uma superf¶³cie, podemos aplicar a ela certas transforma»c~oes, sem alterar a topologia da superf¶³cie. Trataremos aqui das mais importantes.
Daqui em diante, representaremos a soma conexa de n toros por nT 2 , e a de n
planos projetivos por nP 2 . As superf¶³cies da esfera, da soma conexa de n toros, e da
soma conexa de n planos projetivos s~ao, respectivamente, representadas pelas palavras
1. S 2 ´ aa¡1 ;
¡1
¡1 ¡1
2. nT 2 ´ a1 b1 a¡1
1 b1 : : : an bn an bn ;
3. nP 2 ´ a1 a1 : : : an an .
Nesta se»c~ao provaremos que, n~ao importa qual seja a palavra representa»c~ao de
uma superf¶³cie, ¶e poss¶³vel aplicar a essa palavra um certo n¶umero de transforma»c~oes e,
sem alterar a topologia da superf¶³cie, chegar a uma palavra com uma das tr^es formas
acima. Convencionaremos que 1T 2 = T 2 , 1P 2 = P 2 , e que 0T 2 = 0P 2 = S 2 , j¶a que
S 2 ¶e elemento neutro da soma conexa de superf¶³cies.
2.4.1
Transforma»c~
oes praticamente ¶
obvias
Estudaremos agora um conjunto de oito transforma»co~es de palavras que preservam a
topologia das superf¶³cies representadas. Com tal conjunto de transforma»c~oes, nos ser¶a
poss¶³vel classi¯car as superf¶³cies fechadas em termos de somas conexas de toros e de
planos projetivos.
Transforma»c~
ao 1 Sendo A e B blocos de letras quaisquer,
Axx¡1 B ´ AB ´ Ax¡1 xB
Demonstra»c~ao. Esta propriedade ¶e demonstrada geometricamente pelos passos delineados na ¯gura 2.7.
Adotaremos a conven»c~ao aa¡1 = 1 = a¡1 a, tendo portanto S 2 ´ 1.
Em palavras tais como Axx¡1 B, AxBx¡1 C, bem como em outras a serem descritas adiante, cada um dos blocos de letras A, B, C, etc., pode ser vazio (ausente)
ou n~ao. Quando um bloco A est¶a ausente, escrevemos A ´ 1. Assim, por exemplo, a palavra xBx¡1 C tem a forma AxBx¡1 C, sendo A ´ 1. Analogamente Axx¡1 B
tamb¶em tem a forma AxCx¡1 B, sendo C ´ 1. A palavra vazia, W ´ 1, ¶e representa»c~ao
da esfera S 2 .
20
~o Regional da SBM
UFV { VI Reunia
Figura 2.7: Axx¡1 B ´ AB.
Transforma»c~
ao 2 Sendo x uma letra na palavra representa»c~ao W , podemos em W
trocar simultaneamente x por x¡1 e x¡1 por x. Em outras palavras,
1. AxBx¡1 C ´ Ax¡1 BxC, e
2. AxBxC ´ Ax¡1 Bx¡1 C
para quaisquer blocos de letras A, B e C.
Demonstra»c~ao. Tais transforma»c~oes s~ao obtidas quando fazemos uma segunda escolha
para a orienta»c~ao das setas correspondentes µa informa»c~ao de colagem das arestas x. A
¯gura 2.8 ilustra geometricamente a transforma»c~ao do item 1. A transforma»c~ao do item
2 ¶e justi¯cada com diagrama analogamente simples.
Figura 2.8: Ambos os diagramas representam a mesma superf¶³cie.
~o intuitiva
Topologia das superf¶³cies. Uma introduc
»a
21
Transforma»c~
ao 3 Se A e B s~ao dois blocos consecutivos, constituindo uma palavra
representa»c~ao W , isto ¶e, se W = AB, ent~ao podemos permut¶a-los, ou seja,
AB ´ BA
Demonstra»c~ao. W = AB ¶e palavra formada quando percorremos o diagrama poligonal
da superf¶³cie, representada por W , desde a primeira aresta do bloco A at¶e a u¶ltima
aresta do bloco B. Mantendo o mesmo sentido de percurso, se percorrermos esse
diagrama partindo da primeira aresta do bloco B e chegando µa u
¶ltima aresta do bloco
A, formaremos a palavra representa»c~ao BA. Portanto AB e BA representam a mesma
superf¶³cie.
Como exemplo da transformacao 3 temos:
¡1 ¡1
¡1 ¡1
b cc} |{z}
ab ´ |{z}
ab a
b cc} = aba¡1 b¡1 cc
a¡1 b¡1 ccab = a
| {z
| {z
A
B
B
A
Sendo A um bloco de letras numa palavra W , representamos por A¡1 o inverso
do bloco A, que ¶e de¯nido da seguinte maneira: se A ¶e resultante da \leitura" de um
bloco de letras da palavra W , quando o bordo da regi~ao poligonal correspondente a W
¶e percorrido no sentido hor¶ario, ent~ao A¡1 representa o mesmo bloco quando o bordo
da regi~ao poligonal ¶e percorrido no sentido anti-hor¶ario.
Por exemplo,
² se A = abc, ent~ao A¡1 = c¡1 b¡1 a¡1 ;
² se A = ab¡1 c¡1 d ent~ao A¡1 = d¡1 cba¡1
De um modo geral, temos (com uma nota»c~ao n~ao muito esclarecedora), se A =
§1
§1 §1
¨1
¨1 ¨1
+1
a§1
a
ao A¡1 = a¨1
1
2 : : : an¡1 an ent~
n an¡1 : : : a2 a1 . Aqui, ak signi¯ca ak .
Transforma»c~
ao 4 Se W ¶e palavra representa»c~ao de uma superf¶³cie S, ent~ao W ¡1
tamb¶em o ¶e. Em outras palavras,
W ´ W ¡1
Demonstra»c~ao. W e W ¡1 s~ao resultados de \leituras", do bordo do pol¶³gono que
representa a superf¶³cie S, em dois percursos com orienta»co~es contr¶arias, um no sentido
hor¶ario, outro no sentido anti-hor¶ario.
Na ¯gura 2.6, temos um exemplo ilustrando a transforma»c~ao 4.
Como exemplo, se W = abca¡1 c¡1 b, ent~ao
W ¡1 = (abca¡1 c¡1 b)¡1
= b¡1 (c¡1 )¡1 (a¡1 )¡1 c¡1 b¡1 a¡1
= b¡1 cac¡1 b¡1 a¡1
Assim sendo, pela tranforma»c~ao 4, abca¡1 c¡1 b ´ b¡1 cac¡1 b¡1 a¡1
22
2.4.2
~o Regional da SBM
UFV { VI Reunia
Uma transforma»c~
ao inacredit¶
avel
Transforma»c~
ao 5
AxBCx¡1 ´ AxCBx¡1
Em outras palavras, sendo x uma letra numa palavra representa»c~ao, podemos permutar
dois blocos de letras quaisquer localizados entre x e x¡1 .
Demonstra»c~ao. Esta propriedade ¶e demonstrada na ¯gura 2.9.
Figura 2.9: AxBCx¡1 ´ AxCBx¡1 . Ao ¯nal das transforma»co~es, podemos reatribuir
o nome x µas arestas y, j¶a que a antiga aresta x deixou de existir durante as transforma»c~oes de recorte e colagem aplicadas ao diagrama original.
~o intuitiva
Topologia das superf¶³cies. Uma introduc
»a
2.4.3
23
Uma transforma»c~
ao esperta
Transforma»c~
ao 6
bem como tamb¶em
AxBxC ´ AxxB ¡1 C
AxBxC ´ AB ¡1 xxC
Demonstra»c~ao. A propriedade AxBxC ´ AxxB ¡1 C ¶e demonstrada na ¯gura 2.10.
Como exerc¶³cio, tente demonstrar, de maneira an¶aloga, que AxBxC ´ AB ¡1 xxC.
Figura 2.10: AxBxC ´ AxxB ¡1 C. Ao ¯nal das transforma»c~oes, podemos reatribuir o
nome x µas arestas y, j¶a que a antiga aresta x deixou de existir durante as transforma»c~oes
de recorte e colagem aplicadas ao diagrama original.
24
~o Regional da SBM
UFV { VI Reunia
2.4.4
Duas transforma»c~
oes imprescind¶³veis
Transforma»c~
ao 7
AxByCx¡1 Dy ¡1 ´ xyx¡1 y ¡1 ADCB
Demonstra»c~ao. Como veremos, combinando-se estrat¶egicamente as transforma»co~es 3
(AB ´ BA) e 5 (AxBCx¡1 ´ AxCBx¡1 ), a palavra µa esquerda ¶e transformada na
palavra µa direita.
Para maior clareza, indicamos entre par^enteses os blocos sendo permutados em
cada passo.
AxByCx¡1 Dy ¡1 =
´
=
=
´
=
=
´
=
=
´
=
=
´
=
Transforma»c~
ao 8
Ax(B)(yC)x¡1 Dy ¡1
Ax(yC)(B)x¡1 Dy ¡1
AxyCBx¡1 Dy ¡1
Axy(CB)(x¡1 D)y ¡1
Axy(x¡1 D)(CB)y ¡1
Axyx¡1 DCBy ¡1
(Axy)(x¡1 DCBy ¡1 )
(x¡1 DCBy ¡1 )(Axy)
x¡1 DCBy ¡1 Axy
x¡1 (DCB)(y ¡1 A)xy
x¡1 (y ¡1 A)(DCB)xy
x¡1 y ¡1 ADCBxy
(x¡1 y ¡1 ADCB)(xy)
(xy)(x¡1 y ¡1 ADCB)
xyx¡1 y ¡1 ADCB
(transforma»c~ao 5)
(transforma»c~ao 5)
(transforma»c~ao 3)
(transforma»c~ao 5)
(transforma»c~ao 3)
Axxaba¡1 b¡1 B ´ AxxaabbB
Demonstra»c~ao. Esta transforma»c~ao ¶e obtida por combina»co~es das transforma»c~oes 2, 5
e 6.
Recordemo-nos de que, conforme a transforma»c~ao 6, temos
AxxUV ´ AxU ¡1 xV;
bem como
AxU xV ´ AxxU ¡1 V:
~o intuitiva
Topologia das superf¶³cies. Uma introduc
»a
25
Assim sendo,
Axxaba¡1 b¡1 B =
´
=
´
=
´
=
´
=
´
=
´
´
´
Axx(ab)a¡1 b¡1 B
Ax(ab)¡1 xa¡1 b¡1 B
Axb¡1 a¡1 xa¡1 b¡1 B
AxbaxabB
Axb(axa)bB
Axbb(axa)¡1 B
Axbba¡1 x¡1 a¡1 B
Axbbax¡1 aB
Axbba(x¡1 )aB
AxbbaaxB
Ax(bbaa)xB
Axx(bbaa)¡1 B
Axxa¡1 a¡1 b¡1 b¡1 B
AxxaabbB
(transforma»c~ao 6)
(transforma»c~ao 2)
(transforma»c~ao 6)
(transforma»c~ao 2)
(transforma»c~ao 6)
(transforma»c~ao 6)
(transforma»c~ao 2)
Na palavra AxBx¡1 C, dizemos que o par x e x¡1 ¶e um par concordante, j¶a
que neste caso as arestas s~ao coladas uma na outra sem retor»c~ao. Tal par ¶e tamb¶em
chamado par de inversos.
Na palavra AxBxC, dizemos que o par de letras x e x ¶e um par retorcido, j¶a
que tal par corresponde µa colagem, com uma retor»c~ao de 180± , de uma aresta em outra,
ou seja, corresponde µa presen»ca de uma faixa de MÄobius na superf¶³cie representada pela
palavra. Para simpli¯car, tamb¶em podemos chamar tal par de par de letras repetidas.
Assim, uma superf¶³cie ¶e orient¶avel se uma palavra representa»c~ao dela possui somente pares de inversos. Em contrapartida, se uma palavra representa»c~ao de superf¶³cie
possui um par de letras repetidas, a superf¶³cie ¶e n~ao orient¶avel.
2.5
Listando todas as superf¶³cies fechadas orient¶
aveis
Consideremos uma superf¶³cie orient¶avel, digamos S, a qual possui uma palavra representa»c~ao, digamos W . Sendo S orient¶avel, W possui somente pares de letras concordantes,
ou seja, pares de inversos.
Diremos que os pares de inversos x; x¡1 e y; y ¡1 s~ao pares mutuamente separados em W se, a menos da transforma»c~ao 3, em W , entre x e x¡1 temos y ou y ¡1 ,
mas n~ao ambos, como por exemplo se W ´ AxByCx¡1 Dy ¡1 .
Nesta se»c~ao, trataremos de estabelecer dedutivamente o seguinte
Resultado 1 Toda superf¶³cie fechada orient¶avel ¶e uma esfera, ou um toro, ou uma
soma conexa de dois ou mais toros.
26
~o Regional da SBM
UFV { VI Reunia
Esse resultado ¶e conseqÄ
u^encia de duas propriedades de palavras representa»c~oes de
superf¶³cies orient¶aveis, que s~ao as propriedades 1 e 2 enunciadas e deduzidas a seguir.
Propriedade 1 Se W ¶e palavra representa»c~ao de uma superf¶³cie orient¶avel, e W n~ao
possui pares de letras mutuamente separadas, ent~ao W ´ 1, ou seja, a superf¶³cie
representada por W ¶e uma esfera.
Demonstra»c~ao. Se W tem apenas duas letras, ent~ao, obviamente, W ´ xx¡1 ´ 1.
Se W possui quatro letras, n~ao tendo pares de letras mutuamente separadas, as
u¶nicas possibilidades para W s~ao: xx¡1 yy ¡1 , xx¡1 y ¡1 y, xyy ¡1 x¡1 , xy ¡1 yx¡1 . Em
todos estes casos, W ´ 1.
Se W possui seis letras, duas delas sendo x e x¡1 , podemos escrever W ´
AxBx¡1 , tendo o bloco A duas ou quatro letras. Como W n~ao possui pares de letras mutuamente separadas, os blocos A e xBx¡1 n~ao podem ter letras em comum
e tampouco letras mutuamente separadas. Como os blocos A e xBx¡1 t^em duas ou
quatro letras cada, temos, pelos casos anteriores, A ´ 1 e xBx¡1 ´ 1. Logo, W ´ 1.
Se W tem oito letras, teremos W ´ CyDy ¡1 , tendo C ao menos duas letras, com
C e D sem letras em comum e sem pares de letras mutuamente separadas. Isto quer
dizer, conforme observado na se»c~ao 2.3, que W representa uma soma conexa S1 #S2 ,
com S1 ´ C e S2 ´ yDy ¡1 . Como C e yDy ¡1 s~ao palavras com menor n¶umero de
letras (seis ou menos), temos C ´ 1 e yDy ¡1 ´ 1, e ent~ao W ´ 1.
Os casos em que W tem dez ou mais letras recaem, por sua vez, em casos de
palavras menores e, analogamente, concluiremos que W ´ 1.
(A demonstra»c~ao matematicamente correta desta propriedade ¶e feita por indu»c~ao
sobre n, sendo 2n o n¶umero de letras da palavra W .)
Assim sendo, W ¶e palavra representac~ao da esfera S 2 .
Propriedade 2 Se W ¶e palavra representa»c~ao de uma superf¶³cie orient¶avel S, e W
possui pares de letras mutuamente separadas, ent~ao S ¶e um toro ou uma soma conexa
de toros.
Demonstra»c~ao. Suponhamos que W tem pares x; x¡1 e y; y ¡1 , mutuamente separados.
Ap¶os aplicar a transforma»c~ao 2 a W , caso necess¶ario, podemos supor
W ´ AxByCx¡1 Dy ¡1
Pela transforma»c~ao 7,
W ´ xyx¡1 y ¡1 ADBC = xyx¡1 y ¡1 W0 ;
sendo W0 = ADBC.
Se ADBC ¶e um bloco vazio, W = xyx¡1 y ¡1 ´ T 2 . Caso contr¶ario, como as
letras x e y j¶a n~ao aparecem em W0 , temos que W representa a soma conexa de duas
superf¶³cies, T 2 ´ xyx¡1 y ¡1 e S0 ´ W0 , sendo S0 uma superf¶³cie orient¶avel.
~o intuitiva
Topologia das superf¶³cies. Uma introduc
»a
27
Caso W0 tamb¶em tenha pares de letras mutuamente separadas, deduzimos
analogamente que
¡1
W0 ´ x1 y1 x¡1
1 y1 W1
e ent~ao
¡1
W ´ xyx¡1 y ¡1 x1 y1 x¡1
1 y1 W1
Neste caso, teremos S ´ T 2 #T 2 #S1 , com S1 orient¶avel, S1 ´ W1 .
Assim prosseguindo, chegaremos ¯nalmente µa conclus~ao de que
¡1
¡1 ¡1
W ´ xyx¡1 y ¡1 x1 y1 x¡1
1 y1 : : : xn yn xn yn Wn
sendo Wn uma palavra sem pares de letras mutuamente separadas.
Em outras palavras, W ´ T 2 # ¢ ¢ ¢ #T 2 #Sn ´ (nT 2 )#Sn , Sn orient¶avel, Sn ´
|
{z
}
n termos
Wn , sendo Wn uma palavra sem pares de letras mutuamente separadas.
Como visto, pela propriedade 1, Wn ´ 1, logo W ´ nT 2 .
Demonstra»c~ao do resultado 1. Suponhamos que S ¶e uma superf¶³cie fechada orient¶avel, e
tomemos uma palavra W representa»c~ao de S. Se W n~ao tem pares de letras mutuamente
separadas, ent~ao, pela propriedade 1, W ´ 1, ou seja, S ¶e uma esfera. Caso contr¶ario,
pela propriedade 2, S ¶e um toro ou uma soma conexa de toros.
2.6
Listando as superf¶³cies fechadas e n~
ao orient¶
aveis
Nesta se»c~ao estabeleceremos o
Resultado 2 Toda superf¶³cie fechada n~ao orient¶avel ¶e um plano projetivo ou uma
soma conexa de planos projetivos.
Demonstra»c~ao. Seja S uma superf¶³cie n~ao orient¶avel e W uma palavra representa»c~ao
de S. Como S ¶e n~ao orient¶avel, W tem a forma AxBx para certos blocos de letras A
e B. Pela transforma»c~ao 6, temos
W = AxBx ´ AxxB ¡1 ´ xA¡1 xB ¡1 ´ xxAB ¡1
Assim, W ´ xxW0 , tendo W0 as demais letras de W .
Isto quer dizer que podemos, por sucessivas aplica»c~oes da transforma»c~ao 6, coletar
todos os pares de letras repetidas, colocando-as no in¶³cio da palavra W .
Teremos ent~ao W ´ x1 x1 : : : xn xn B (n ¸ 1), sendo B um bloco sem pares de
letras repetidas, ou seja, contendo somente pares de inversos. Assim, pelas observa»co~es
da se»c~ao 2.3,
W ´ P 2 # ¢ ¢ ¢ #P 2 #M
|
{z
}
n termos
sendo M uma superf¶³cie orient¶avel representada pela palavra B.
28
~o Regional da SBM
UFV { VI Reunia
Pelo resultado 1, M ¶e uma esfera ou uma soma conexa de n toros, ou seja M ´
¡1
¡1 ¡1
aa ´ 1 ou M ´ a1 b1 a¡1
1 b1 : : : am bm am bm , com m ¸ 1. Se M ´ 1, terminamos.
Caso contr¶ario, teremos ent~ao
¡1
¡1
¡1 ¡1
W ´ x1 x1 : : : xn xn a1 b1 a¡1
1 b1 : : : am bm am bm
Por sucessivas aplica»co~es da transforma»c~ao 8, chegaremos ¯nalmente a
W ´ x1 x1 : : : xn xn a1 a1 b1 b1 : : : am am bm bm ´ P 2 # : : : #P 2
|
{z
}
n+m termos
ou seja,
W ´ (m + n)P 2
e portanto S ¶e uma soma conexa de m + n planos projetivos.
3
Um pouco da geometria das
superf¶³cies
3.1
Superf¶³cies suaves e pontos c^
onicos
No cap¶³tulo 2, vimos que toda superf¶³cie fechada pode ser representada por um diagrama
poligonal plano. A superf¶³cie ¶e constru¶³da colando-se, uns nos outros, pares de arestas
da regi~ao poligonal, segundo certas instru»c~oes de colagem.
Mas nem sempre as colagens de lados opostos de uma regi~ao poligonal plana
produzem superf¶³cies suaves, num sentido que trataremos de esclarecer agora.
Diremos que uma superf¶³cie ¶e suave se, para cada ponto da superf¶³cie, e para
cada linha geod¶esica passando por ele, podemos tra»car uma (e s¶o uma) segunda linha
geod¶esica, pelo mesmo ponto, perpendicular µa primeira. Esta de¯ni»c~ao de superf¶³cie
suave pode parecer estranha, mas servir¶a plenamente aos nossos prop¶ositos.
Figura 3.1: Uma superf¶³cie suave.
O que s~ao geod¶esicas perpendiculares? Se duas geod¶esicas de uma superf¶³cie
passam por um ponto, de¯ne-se um ^angulo entre elas da seguinte maneira. Assumimos
que ao menos uma pequena parte da superf¶³cie, onde esteja o ponto dado, situa-se
num espa»co euclidiano de dimens~ao tr^es. Tra»camos, por esse ponto, interse»c~ao das
geod¶esicas, duas retas desse espa»co euclidiano, tangentes µas geod¶esicas nesse ponto.
O ^angulo formado entre as retas ¶e o ^angulo formado pelas duas geod¶esicas no ponto.
29
30
~o Regional da SBM
UFV { VI Reunia
Quando duas geod¶esicas formam um ^angulo reto num ponto de interse»c~ao, dizemos que
elas s~ao geod¶esicas perpendiculares nesse ponto. Da¶³, em torno de cada ponto, o ^angulo
correspondente a uma volta completa em torno dele medir¶a quatro ^angulos retos, ou
360± .
Para exempli¯car agora o conceito de ponto c^onico, considere agora a superf¶³cie
obtida, a partir de um quadrado, por colagens feitas como na ¯gura 3.2.
Note que se um habitante dessa superf¶³cie resolve andar em c¶³rculos, em torno do
ponto A, ele seguir¶a as dire»c~oes dos arcos com setas da ¯gura. Note ent~ao que ele,
em cada volta completa em torno de A, varrer¶a um ^angulo total de 90± + 90± = 180± ,
ao inv¶es de 360± ! Neste caso, a colagem conforme a ¯gura produz pontos c^
onicos na
superf¶³cie (os pontos B e C tamb¶em s~ao c^onicos: giros completos em torno de B e
C perfazem apenas 90± ). A interpreta»c~ao da colagem, nas proximidades do ponto A,
no espa»co euclidiano tridimensional, produziria um cone de v¶ertice em A. Assim, as
colagens realizadas nesse quadrado n~ao produzem uma superf¶³cie suave pois, pelo ponto
A n~ao podemos tra»car duas geod¶esicas perpendiculares entre si, j¶a que ¶e imposs¶³vel um
giro de 360± em torno de A.
Figura 3.2: Que superf¶³cie ¶e (topologicamente) representada por este diagrama?
Figura 3.3: Nos diagramas da ¯gura, os quatro cantos dos ret^angulos representam um
mesmo ponto A no toro (µa esquerda) ou na garrafa de Klein (µa direita). Assim, em
torno do ponto A ¶e poss¶³vel um giro de 360± e portanto, nos diagramas do toro plano
e da garrafa de Klein, os v¶ertices dos ret^angulos n~ao d~ao origem a pontos c^onicos.
Em suma, um ponto c^onico numa superf¶³cie ¶e um ponto em torno do qual a
superf¶³cie ¶e parecida com um cone, tendo esse ponto como v¶ertice. De um modo geral,
consideraremos que um ponto de uma superf¶³cie ¶e c^onico quando um percurso circular
em torno do ponto perfaz um ^angulo menor que 360± .
~o intuitiva
Topologia das superf¶³cies. Uma introduc
»a
31
Figura 3.4: Ap¶os as colagens de pares de arestas segundo as intru»co~es dadas, os oito
v¶ertices do oct¶ogono regular tornam-se um u¶nico ponto A. Um giro completo em torno
do ponto A perfar¶a 8 £ 135± = 1080± . Neste caso, A ¶e um ponto c^onico negativo.
Quando uma superf¶³cie ¶e obtida por colagens de pares de arestas de uma regi~ao
poligonal plana, pode ocorrer tamb¶em o aparecimento de pontos c^
onicos negativos.
Um ponto da superf¶³cie ¶e um ponto c^onico negativo se um giro em torno dele perfaz um
^angulo maior que 360± . Veja exemplo na ¯gura 3.4.
Uma superf¶³cie ¶e uma superf¶³cie suave se ela n~ao apresenta pontos c^onicos e nem
pontos c^onicos negativos.
3.2
Superf¶³cies de geometria euclidiana
Recordemo-nos de que um tri^angulo, numa superf¶³cie, ¶e uma por»c~ao da superf¶³cie homeomorfa a uma regi~ao triangular plana, com as arestas sendo segmentos geod¶esicos da
superf¶³cie.
Se recortarmos a superf¶³cie segundo os lados de um tri^angulo, ela ¯ca subdividida
em duas regi~oes separadas uma da outra, uma delas sendo a \face" do tri^angulo.
Figura 3.5: Tri^angulos no toro plano e na esfera. Os segmentos geod¶esicos DE,
EF e F D n~ao determinam um tri^angulo no toro, pois se o toro plano ¶e recortado
segundo esses segmentos, ele n~ao ¯ca dividido em duas partes. Na esfera, os segmentos
geod¶esicos AB, BC e CA determinam dois tri^angulos (ambos tendo em comum os
lados AB, BC e CA), mas no toro, os segmentos M N , NP e P M determinam
apenas um.
32
~o Regional da SBM
UFV { VI Reunia
Dizemos que uma superf¶³cie tem uma geometria euclidiana se, em cada tri^angulo dessa superf¶³cie, a soma dos ^angulos internos ¶e 180± (= ¼ radianos). O plano
bidimensional euclidiano E 2 ¶e dotado de uma geometria euclidiana, conforme ilustra a
¯gura 3.6.
Figura 3.6: Os ^angulos demarcados de modos iguais (^angulos \alternos internos") s~ao
congruentes, isto ¶e, t^em mesma medida. Os tr^es ^angulos demarcados em torno do
v¶ertice C t^em soma igual a 180± (ou ¼ radianos), que ¶e tamb¶em a soma dos ^angulos
internos do tri^angulo ABC.
Tamb¶em no toro plano e na garrafa de Klein plana, a soma dos ^angulos internos
de um tri^angulo ¶e 180± . Isto porque o toro plano e a garrafa de Klein s~ao constru¶³dos
a partir de um ret^angulo plano, por colagens de lados opostos uns nos outros. Assim
sendo, o toro plano e a garrafa de Klein plana s~ao superf¶³cies de geometria euclidiana.
3.3
A geometria da esfera ou geometria el¶³ptica
Consideremos a superf¶³cie de uma esfera de raio de comprimento r. Nessa esfera, as
geod¶esicas s~ao os grandes c¶³rculos ou c¶³rculos m¶
aximos, assim chamados os c¶³rculos,
nela tra»cados, cujos raios tamb¶em t^em comprimento r. Se o personagem Quadrado
(veja p¶agina 8) for um habitante da superf¶³cie da esfera, e seguir andando sempre em
frente nessa superf¶³cie (imagine que ele habite uma grande esfera), sem desviar-se para
a direita e nem para a esquerda, ele percorrer¶a um grande c¶³rculo. C¶³rculos de raios
menores, tra»cados na esfera, n~ao s~ao geod¶esicas.
Cada segmento geod¶esico, da superf¶³cie da esfera, est¶a contido num c¶³rculo
m¶aximo.
Pensando na esfera como superf¶³cie mergulhada no espa»co euclidiano tridimensional, cada c¶³rculo m¶aximo da esfera ¶e a interse»c~ao da superf¶³cie esf¶erica com um plano
que passa pelo centro da esfera.
Se dois planos passam pelo centro da esfera, eles se interceptam segundo uma
reta, que tamb¶em passa pelo centro da esfera. Essa reta fura a superf¶³cie da esfera
em dois pontos diametralmente opostos. Esses dois pontos s~ao ent~ao a interse»c~ao dos
dois c¶³rculos m¶aximos determinados por esses dois planos. Assim sendo, dois segmentos geod¶esicos t^em, no m¶aximo, dois pontos em comum, sendo estes diametralmente
opostos.
~o intuitiva
Topologia das superf¶³cies. Uma introduc
»a
33
Qual ¶e a soma das medidas dos ^angulos internos de um tri^angulo na superf¶³cie da
esfera? No que segue, trataremos responder a esta quest~ao.
Um bi^
angulo esf¶
erico ou um fuso esf¶
erico ¶e uma regi~ao da esfera delimitada
por apenas dois segmentos geod¶esicos com extremidades em comum. As extremidades
do bi^angulo s~ao dois pontos diametralmente opostos.
Figura 3.7: Um fuso esf¶erico de v¶ertices A e B, de abertura ®.
Os dois ^angulos internos de um fuso esf¶erico s~ao iguais em medida. Tal medida ¶e
chamada abertura do fuso esf¶erico.
Consideremos um fuso, numa esfera de raio r, de v¶ertices A e B, de abertura
® (radianos). O segmento de reta AB (no espa»co euclidiano tridimensional E 3 ) ¶e um
di^ametro da esfera. A ¶area do fuso esf¶erico ¶e proporcional µa abertura ®, isto ¶e, dobrandose ®, dobramos a ¶area, dividindo-se ® por 2, teremos a ¶area dividida por 2, triplicando-se
®, triplicamos a ¶area, etc. (obviamente devemos tomar o cuidado de tomar m¶ultiplos
da abertura ® que n~ao excedam 360± = 2¼ radianos).
Se um fuso tem abertura ¼ = 180± , ele cobrir¶a metade da esfera. Se tiver abertura
2¼ = 360± , ele cobrir¶a toda a esfera e seus lados coincidir~ao.
A¶
area da superf¶³cie esf¶erica de raio r ¶e numericamente igual a 4¼r2 (Arquimedes
provou isto no s¶eculo III a.C.)
Como a ¶area A® , de um fuso de abertura ®, ¶e proporcional a ® e, para ® = 2¼
(radianos), temos A2¼ = ¶area da esfera = 4¼r2 , para obter A® aplicamos a regra de
tr^es simples µa tabelinha de dados:
abertura ¶area
®
A®
2¼
4¼r2
Logo,
®
A®
=
;
2¼
4¼r2
de onde
26
¼ ¢ A® = ® ¢ 46
¼r2
2 ¢ A® = 4®r2
34
~o Regional da SBM
UFV { VI Reunia
Figura 3.8: Um fuso duplo de abertura ®.
Assim,
A ¶area de um fuso esf¶erico de abertura ® (radianos) ¶e dada por
A® = 2®r2
Um fuso duplo de abertura ® ¶e a reuni~ao de dois fusos de abertura ®, com os
lados de um deles sendo prolongamentos dos lados do outro, conforme ilustrado na ¯gura
3.8.
3.3.1
A soma dos ^
angulos internos de um tri^
angulo esf¶
erico
A ¶area delimitada por um fuso duplo de abertura ® ¶e dada por
S® = 2 ¢ A® = 4®r2
Consideremos agora um tri^angulo ABC numa esfera de raio r, como na ¯gura 3.9.
Prolonguemos seus lados de modo a construir tr^es grandes fusos duplos de aberturas ®,
¯ e °, ^angulos estes que s~ao tamb¶em os tr^es ^angulos internos do tri^angulo ABC.
Figura 3.9: Observe que os tr^es fusos duplos d~ao origem a uma segunda c¶opia do
tri^angulo ABC, cujos v¶ertices A0 , B 0 e C 0 s~ao diametralmente opostos aos v¶ertices
A, B e C, respectivamente. Observe ainda que as u¶nicas regi~oes comuns a quaisquer
dois dos fusos duplos s~ao a regi~ao triangular sombreada e sua r¶eplica diametralmente
oposta (do outro lado da esfera).
~o intuitiva
Topologia das superf¶³cies. Uma introduc
»a
35
Se somarmos as ¶areas desses tr^es fusos duplos, obteremos:
S® + S¯ + S° = ¶area da esfera + 2 ¢ (¶area ¢ABC) + 2 ¢ (¶area ¢A0 B 0 C 0 )
sendo ¶area ¢ABC e ¶area ¢A0 B 0 C 0 as ¶areas dos dois tri^angulos.
Note que, na soma S® + S¯ + S° , a ¶area de cada tri^angulo ¶e contada tr^es vezes
(ou seja, duas vezes a mais), visto que cada um dos tri^angulos ¶e tamb¶em parte de cada
um dos tr^es fusos duplos.
Assim sendo, como as ¶areas ¶area ¢ABC e ¶area ¢A0 B 0 C 0 s~ao iguais, temos
4®r2 + 4¯r2 + 4°r2 = 4¼r2 + 4 ¢ (¶area ¢ABC)
Logo,
®r2 + ¯r2 + °r2 = ¼r2 + (¶area ¢ABC)
Da¶³,
¶area ¢ABC = (® + ¯ + ° ¡ ¼) ¢ r2
De onde, ent~ao,
¶area ¢ABC
=®+¯+°¡¼
r2
E portanto,
®+¯+° =¼+
¶area ¢ABC
r2
Assim, conclu¶³mos:
A soma dos ^angulos internos ®; ¯ e °, de um tri^
angulo esf¶
erico, em uma esfera de
raio r, ¶e dada, em radianos, pela f¶ormula
®+¯+° =¼+
1
¢ (¶area ¢ABC)
r2
Tri^angulos esf¶ericos t^em a soma dos ^angulos internos entre 180± e 900± , tal soma
jamais atingindo nenhum desses valores extremos. Isto porque se a ¶area do tri^angulo
¶e muito pequena em rela»c~ao ao raio da esfera, isto ¶e, se r12 £ (¶area ¢ABC) ¶e aproximadamente 0, e ent~ao ® + ¯ + ° ¶e aproximadamente ¼ = 180± . Se a ¶area do tri^angulo
ocupa quase toda a superf¶³cie da esfera, ent~ao sua ¶area ¶e aproximadamente 4¼r2 , e
ent~ao ® + ¯ + ° ¼ 5¼ = 900± .
3.4
O conceito de curvatura
Uma superf¶³cie com geometria el¶³ptica ¶e uma superf¶³cie na qual os tri^angulos t^em a
soma dos ^angulos internos sempre maior que 180± .
O plano projetivo P 2 ¶e um segundo exemplo de uma superf¶³cie de geometria
el¶³ptica. Nele, em cada tri^angulo, tamb¶em vale a rela»c~ao
soma dos ^angulos internos = ¼ +
1
¢ (¶area do tri^angulo)
r2
36
~o Regional da SBM
UFV { VI Reunia
sendo r o raio da semi-esfera a partir da qual o plano projetivo foi constru¶³do.
Numa esfera de raio r, ou num plano projetivo de raio r (isto ¶e, constru¶³do a partir
de uma semi-esfera de raio r), o n¶umero k = 1=r2 ¶e chamado curvatura da esfera ou
curvatura do plano projetivo, conforme o caso.
Sendo k um n¶
umero real, dizemos que uma superf¶³cie tem curvatura constante
e igual a k se, nesta superf¶³cie, a soma dos ^angulos internos, em radianos, de cada
tri^angulo ABC, obedece a uma f¶ormula do tipo
b+B
b+C
b = ¼ + k ¢ (¶area ¢ABC)
A
No caso de uma esfera ou de um plano projetivo, temos que k = 1=r2 . J¶a no caso
b+ B
b+C
b = 180± = ¼, e portanto
do toro plano ou da garrafa de Klein plana, temos A
k = 0.
Assim sendo, temos que superf¶³cies de geometria euclidiana t^
em curvatura
k = 0.
Diremos que uma superf¶³cie tem geometria homog^
enea quando nela duas regi~oes
circulares quaisquer, de mesmo raio, s~ao sempre geometricamente id^enticas | ou seja,
recortando-se, da superf¶³cie, duas regi~oes circulares de raios iguais, podemos encaixar
perfeitamente uma sobre a outra. As superf¶³cies da esfera, do plano projetivo, do toro e
da garrafa de Klein, s~ao exemplos de superf¶³cies que admitem modelos com geometrias
homog^eneas, tendo curvatura constante. Nas pr¶oximas se»c~oes, estaremos buscando
modelos, com geometria homog^enea, das demais superf¶³cies fechadas.
3.5
O plano hiperb¶
olico e sua geometria
Existem tr^es tipos de geometrias de superf¶³cies homog^eneas. Acabamos de tomar conhecimento de duas delas, que s~ao a geometria euclidiana, caracterizando as superf¶³cies
de curvatura zero, e a geometria el¶³ptica homog^
enea, caracterizando as superf¶³cies
cuja curvatura ¶e uma constante positiva.
¶ sabido que n~ao existe uma superf¶³cie de geometria el¶³ptica com ¶area in¯nita.
E
Toda superf¶³cie de curvatura constante e positiva, deve inevitavelmente fechar-se formando uma esfera ou um plano projetivo. Este resultado ¶e um teorema da geometria
das superf¶³cies, que n~ao ser¶a demonstrado aqui.
O plano hiperb¶
olico H 2 , que agora mencionamos pela primeira vez, ¶e uma superf¶³cie aberta de curvatura constante negativa. Nele, os tri^angulos ABC satisfazem
uma rela»c~ao da forma
b+B
b+C
b = ¼ + k ¢ (¶
A
area ¢ABC)
para uma certa constante negativa k.
A constante negativa k ¶e chamada curvatura do plano hiperb¶olico.
~o intuitiva
Topologia das superf¶³cies. Uma introduc
»a
37
b+B
b+C
b < 180± .
Figura 3.10: Superf¶³cie de geometria hiperb¶olica. A
Neste caso, a soma dos ^angulos internos, de um tri^angulo dessa superf¶³cie, ¶e
sempre menor que 180± . Al¶em disso, quanto maior a ¶area do tri^angulo, menor a soma
de seus ^angulos internos. Num plano hiperb¶olico H 2 , os tri^angulos t^em soma dos ^angulos
internos comprendidos entre 0 e 180± .
Assim como, para cada constanteppositiva k, existe uma esfera tendo k como curvatura (basta tom¶a-la com raio r = 1= k), h¶a um teorema, estabelecido por estudiosos
da ¶area, dizendo que, tamb¶em para cada constante k < 0, h¶a um plano hiperb¶olico com
curvatura k. Nesse plano hiperb¶olico, existem tri^angulos com soma dos ^angulos internos
t~ao pequena quanto quisermos, sempre menor que 180± .
J¶a foi estabelecido por ge^ometras que o plano hiperb¶olico H 2 ¶e, topologicamente,
um plano in¯nito em todas as dire»c~oes, que em toda parte se curva na forma de uma sela.
N~ao ¶e poss¶³vel mergulhar o plano hiperb¶olico, em sua totalidade, no espa»co euclidiano
tridimensional E 3 .
3.5.1
Uma constru»c~
ao aproximada de um modelo do plano hiperb¶
olico.
Recorte v¶arios tri^angulos equil¶ateros de papel, de mesmo tamanho. Cole-os uns nos outros, aos pares, ao longo de suas arestas, de modo que cada aresta (lado de um tri^angulo),
ap¶os colagem, seja comum a dois tri^angulos. Continue montando essa \colcha" de
tri^angulos, mas fazendo-o de tal modo que, ap¶os colagens, em torno de cada v¶ertice
haja exatamente cinco tri^angulos. O resultado ser¶a (surpresa!) um icosaedro (!), uma
superf¶³cie poli¶edrica de vinte faces triangulares, um dos cinco poliedros de Plat~ao (veja
¯gura 4.1).
De certa forma, um icosaedro pode ser visto como uma aproxima»c~ao da superf¶³cie
de uma esfera.
Se no entanto montarmos uma \colcha" de tri^angulos, deixando sete tri^angulos
em torno de cada v¶ertice, obteremos uma superf¶³cie poli¶edrica que ¶e uma aproxima»c~ao de
um plano hiperb¶olico, no mesmo sentido em que o icosaedro regular ¶e uma aproxima»c~ao
da esfera. Esta constru»c~ao ¶e mostrada em detalhes na ¯gura 3.11.
38
~o Regional da SBM
UFV { VI Reunia
Figura 3.11: Constru»c~ao de uma aproxima»c~ao de um plano hiperb¶olico. Tome v¶arios
tri^angulos equil¶ateros de papel e tamb¶em v¶arios hex¶agonos regulares com seis desses
tri^angulos subdividindo cada hex¶agono, tal como em (a) (veja matriz de tri^angulos
na ¯gura 3.15). Mediante dobraduras, fa»ca vincos nos hex¶agonos, demarcando os seis
tri^angulos de cada um, como em (b). Fa»ca um corte em cada hex¶agono ao longo de um
dos vincos, produzindo uma fenda, como em (c). Insira e cole (com ¯ta adesiva) um
tri^angulo equil¶atero em cada uma fendas abertas, como em (d). Cole essas pe»cas de
sete tri^angulos umas nas outras produzindo uma superf¶³cie, como em (e). Cuide para
que cada v¶ertice, quando completamente rodeado por tri^angulos, o seja por exatamente
µ vezes, como se v^e em (e), ser¶a preciso inserir novos tri^angulos entre
sete tri^angulos. As
duas pe»cas de sete tri^angulos. Esta \receita", de constru»c~ao de "papel hiperb¶olico", ¶e
de William Thurston [1].
3.6
A soma dos ^
angulos internos de um pol¶³gono, em
uma superf¶³cie de curvatura constante.
Na se»c~ao 3.4, ¯cou estabelecido que, para cada tri^angulo ABC, numa superf¶³cie de
curvatura constante k, vale a rela»c~ao:
b+B
b+C
b = ¼ + k ¢ (¶area ¢ABC)
A
Consideremos agora, numa superf¶³cie de curvatura k, um pol¶³gono convexo de n
lados (delimitado por n segmentos geod¶esicos). Um pol¶³gono ¶e convexo quando ¶e sempre
poss¶³vel unir quaisquer dois de seus pontos por um segmento geod¶esico inteiramente
contido na regi~ao poligonal. Subdividamos essa regi~ao poligonal em n ¡ 2 tri^angulos,
como indicado na ¯gura 3.12. A soma dos ^angulos internos desses tri^angulos ser¶a a
soma dos ^angulos internos do pol¶³gono. Esse procedimento pode ser aplicado para
somar ^angulos internos de um pol¶³gono em qualquer superf¶³cie.
A regi~ao poligonal de n lados, na superf¶³cie de curvatura constante k, tem n
c1 ; A
c2 ; : : : ; A
cn , correspondentes a n v¶ertices consecutivos
^angulos internos, digamos A
A1 ; A2 ; : : : ; An .
~o intuitiva
Topologia das superf¶³cies. Uma introduc
»a
39
Figura 3.12: Subdivis~oes de regi~oes poligonais em tri^angulos, a partir de um v¶ertice.
Todos os segmentos tra»cados s~ao linhas geod¶esicas da superf¶³cie onde os pol¶³gonos se
encontram. Como se v^e, se a regi~ao tem n arestas, ela pode ser subdivida em n ¡ 2
regi~oes triangulares. Este procedimento pode ser aplicado a pol¶³gonos n~ao regulares.
Subdividamos a superf¶³cie em n¡2 tri^angulos tra»cando diagonais a partir do v¶ertice
A1 . Chamemos esses tri^angulos de ¢1 ; ¢2 ; : : : ; ¢n¡2 .
A soma dos ^angulos internos da regi~ao poligonal ¶e a soma dos ^angulos internos
dos n ¡ 2 tri^angulos em que ela se subdivide, sendo portanto
c1 + A
c2 + ¢ ¢ ¢ + A
cn
A
= soma dos ^angulos internos de ¢1
+ soma dos ^angulos internos de ¢2
+ ¢¢¢
+ soma dos ^angulos internos de ¢n¡2
= [¼ + k ¢ (¶area ¢1 )] + [¼ + k ¢ (¶area ¢2 )] + ¢ ¢ ¢ + [¼ + k ¢ (¶area ¢n¡2 )]
= (n ¡ 2)¼ + k ¢ (¶area ¢1 + ¶area ¢2 + ¢ ¢ ¢ + ¶area ¢n¡2 )
= (n ¡ 2)¼ + k ¢ (¶area da regi~ao poligonal A1 A2 : : : An )
Ou seja,
c1 + A
c2 + ¢ ¢ ¢ + A
cn = (n ¡ 2)¼ + k ¢ (¶area da regi~ao poligonal A1 A2 : : : An )
A
Se a regi~ao poligonal for regular, isto ¶e, tiver todos os lados iguais (congruentes)
e os ^angulos internos tamb¶em iguais (congruentes), todos medindo ® radianos, ent~ao
teremos:
®
| +®+
{z: : : + ®} = (n ¡ 2) ¢ ¼ + k ¢ (¶area A1 A2 : : : An )
n parcelas
ou seja,
n ¢ ® = (n ¡ 2) ¢ ¼ + k ¢ (¶area A1 A2 : : : An )
40
~o Regional da SBM
UFV { VI Reunia
3.7
Somas conexas de toros, ou de planos projetivos,
de curvatura constante
Vimos que a esfera e o plano projetivo s~ao superf¶³cies de curvatura constante positiva
k = 1=r2 , sendo r o raio da esfera, ou da semi-esfera a partir da qual o plano projetivo
¶e constru¶³do. Vimos tamb¶em que podemos construir modelos do toro bi-dimensional e
da garrafa de Klein, com geometria euclidiana, isto ¶e, de curvatura constante igual a 0.
Esses modelos s~ao o que chamamos toro plano e garrafa de Klein plana.
Veremos agora que podemos construir modelos das demais superf¶³cies, somas
conexas de 2 ou mais toros, ou somas conexas de 3 ou mais planos projetivos, de
curvatura constante negativa!
No cap¶³tulo 2, ¯cou estabelecido que a soma conexa de n toros planos, com n ¸ 2,
o toro de genus n (um toro com n \buracos"), pode ser representada por uma regi~ao
poligonal plana regular de 4n lados (um 4n-¶agono regular), sendo representado pela
¡1
¡1 ¡1
¡1 ¡1
palavra a1 b1 a¡1
ertices do diagrama poligonal
1 b1 a2 b2 a2 b2 : : : an bn an bn . Os 4n v¶
dessa superf¶³cie, ap¶os colagens, tornam-se um u¶nico ponto.
Ap¶os as colagens, conforme instru»c~oes do diagrama, teremos ent~ao uma con¯gura»c~ao de 4n ^angulos consecutivos, de mesma medida ®, em torno do v¶ertice A. Pelo
que acabamos de ver na se»c~ao 3.6, a soma desses 4n ^angulos ¶e igual a
4n ¢ ® = (4n ¡ 2) ¢ ¼ + k ¢ (¶area da regi~ao poligonal)
Se quisermos construir uma superf¶³cie suave, a partir da colagem das arestas do
diagrama poligonal, devemos ter o \^angulo de giro" em torno de A medindo 4n ¢ ® =
2¼ = 360± .
Resolvendo ent~ao a equa»c~ao em k,
(4n ¡ 2) ¢ ¼ + k ¢ (¶area do pol¶³gono) = 2¼
obtemos
k ¢ (¶area do pol¶³gono) = 2¼ ¡ (4n ¡ 2)¼
= 4¼ ¡ 4n¼
= 4(1 ¡ n)¼
de onde ent~ao
k=
4(1 ¡ n)¼
¶area do pol¶³gono
Notemos ent~ao que, como n ¸ 2, devemos ter a curvatura k negativa.
Assim, quando n ¸ 2, ¶e poss¶³vel construir um modelo da soma conexa de n toros,
com curvatura constante e negativa.
Tal modelo pode ser constru¶³do tomando-se, um 4n-¶agono regular de ¶area 4(n ¡
1)¼ num plano hiperb¶olico de curvatura k = ¡1, e colando-se as arestas aos pares
conforme as instru»c~oes do diagrama do toro de genus n.
~o intuitiva
Topologia das superf¶³cies. Uma introduc
»a
41
Neste caso, a soma dos ^angulos internos do diagrama 4n-gonal ser¶a dada por
4n ¢ ® =
=
=
=
(4n ¡ 2) ¢ ¼ + k ¢ (¶area do pol¶³gono)
(4n ¡ 2) ¢ ¼ + (¡1) ¢ 4(n ¡ 1)¼
4n¼ ¡ 2¼ ¡ 4n¼ + 4¼
2¼ = 360±
e assim ¶e evitada a forma»c~ao de pontos c^onicos negativos na superf¶³cie.
Analogamente, a soma conexa de n planos projetivos, n ¸ 3, pode ser representada por uma regi~ao poligonal plana regular de 2n lados (um 2n-¶agono regular). Al¶em
disso, no diagrama poligonal dessa superf¶³cie, todos os v¶ertices, ap¶os colagem, tornam-se
tamb¶em um ¶unico ponto A da superf¶³cie. Neste caso, ¶e poss¶³vel construir um modelo
da superf¶³cie, com curvatura constante e negativa.
Se quisermos uma superf¶³cie suave, repetimos as contas feitas acima, substituindo
\4n" por \2n" nas f¶ormulas, e chegamos µa rela»c~ao
2n ¢ ® = (2n ¡ 2) ¢ ¼ + k ¢ (¶area do pol¶³gono)
Eliminamos o ponto c^onico negativo desde que tenhamos 2n ¢ ® = 2¼. Isto nos d¶a
k=
2¼ ¡ (2n ¡ 2)¼
¶area do pol¶³gono
ou seja,
2(2 ¡ n)¼
¶area do pol¶³gono
que ¶e uma constante negativa para n ¸ 3.
k=
Assim, quando n ¸ 3, ¶e poss¶³vel construir um modelo da soma conexa de n planos
projetivos, com curvatura constante e negativa.
Tal modelo pode ser constru¶³do tomando-se um 2n-¶agono regular de ¶area 2(n¡2)¼
num plano hiperb¶olico de curvatura k = ¡1, e colando-se as arestas aos pares conforme
as instru»c~oes do diagrama da soma conexa. Neste caso, a soma dos ^angulos internos do
diagrama 2n-gonal ser¶a dada por
2n ¢ ® =
=
=
=
(2n ¡ 2) ¢ ¼ + k ¢ (¶area do pol¶³gono)
(2n ¡ 2) ¢ ¼ + (¡1) ¢ 2(n ¡ 2)¼
2n¼ ¡ 2¼ ¡ 2n¼ + 4¼
2¼ = 360±
evitando-se novamente a forma»c~ao de pontos c^onicos negativos na superf¶³cie.
3.7.1
Uma constru»c~
ao alternativa de toros de genus n, n ¸ 2,
de curvatura constante
O toro de genus n, com n ¸ 2, mergulhado no espa»co euclidiano tridimensional E 3 ,
pode ser subdividido em peda»cos hexagonais, de forma que cada v¶ertice, de qualquer um
42
~o Regional da SBM
UFV { VI Reunia
desses hex¶agonos, seja v¶ertice comum de exatamente quatro hex¶agonos, ou seja, com os
cantos dos hex¶agonos se aglomerando em n¶
umero de quatro em torno de cada v¶ertice.
De um modo geral, o toro de genus n pode ser subdividido em 4(n ¡ 1) hex¶agonos,
cada v¶ertice sendo comum a quatro hex¶agonos. A ¯gura 3.13 ilustra como isto ¶e feito.
Figura 3.13: (a) O toro de genus 2 ¶e subdividido em quatro hex¶agonos (dois na parte
de cima e dois na parte de baixo), cada um com a forma mostrada µa direita. Note
que cada v¶ertice, ¶e v¶ertice comum de quatro hex¶agonos. (b) O toro de genus 3 ¶e
subdividido em oito hex¶agonos, quatro na parte de cima e quatro na parte de baixo.
Cada v¶ertice ¶e comum a quatro hex¶agonos. (c) O toro de genus 4 subdivide-se em
doze hex¶agonos, seis na parte de cima e seis na parte de baixo.
Uma vez recortados os 4(n ¡ 1) peda»cos hexagonais do toro de genus n, podemos deformar cada hex¶agono de modo que ele se torne um hex¶agono regular. Em
cada hex¶agono, os ^angulos internos medem 120± . Tais ^angulos s~ao muito grandes para
colarmos os hex¶agonos de volta, em grupos de quatro em torno de cada v¶ertice.
Figura 3.14: Os peda»cos hexagonais do toro de genus n, n ¸ 2, podem ser deformados
em hex¶agonos de um plano hiperb¶olico, com ^angulos internos todos retos.
Ao colarmos quatro hex¶agonos em torno de cada v¶ertice os v¶ertices se tornam
~o intuitiva
Topologia das superf¶³cies. Uma introduc
»a
43
pontos c^
onicos negativos, isto ¶e, pontos em torno dos quais percursos circulares
perfazem mais que 180± (no nosso caso, perfazem 480± !).
Tomamos ent~ao esses peda»cos hexagonais regulares, num plano hiperb¶olico H 2 (de
curvatura digamos k), todos com ¶area su¯cientemente grande, de modo que tenham ^angulos internos de 90± . Veja ¯gura 3.14.
Finalmente, tornamos a colar esses peda»cos hexagonais, de geometria hiperb¶olica,
quatro em torno de cada v¶ertice, resgatando o arranjo geom¶etrico original, reconstituindo
a superf¶³cie do toro de genus n, sem pontos c^onicos negativos.
Assim feito, ap¶os as devidas colagens desses hex¶agonos hiperb¶olicos, teremos um
toro de genus n ¸ 2, com uma geometria hiperb¶olica homog^enea, de curvatura constante
igual a k.
44
~o Regional da SBM
UFV { VI Reunia
Figura 3.15: Para fabricar \papel hiperb¶olico", conforme instru»co~es dadas na ¯gura 3.11,
tire v¶arias c¶opias xerox do padr~ao acima. Pegue uma tesoura, um rolo de ¯ta adesiva
transparente e n~ao tenha pressa. A produ»c~ao de uma boa ¶area de papel hiperb¶olico
requer paci^encia (mas pode ser relaxante).
4
O n¶
umero (ou caracter¶³stica)
¶
de Euler (l^
e-se \Oiler"),
um
invariante topol¶
ogico
4.1
Divis~
oes celulares de uma superf¶³cie
Analogamente ao conceito de triangula»c~ao, de¯ne-se o conceito de divis~
ao poligonal
de uma superf¶³cie, como sendo uma subdivis~ao dessa superf¶³cie em um n¶umero ¯nito de
regi~oes poligonais. Essa subdivis~ao da superf¶³cie, em regi~oes poligonais, tamb¶em deve
ser bem comportada, no sentido de que:
² Cada duas regi~oes poligonais dessa subdivis~ao
{ ou n~ao se interceptam,
{ ou tem apenas um v¶ertice em comum,
{ ou tem apenas uma aresta em comum e,
² cada aresta de uma dessas regi~oes poligonais ¶e aresta de exatamente duas dessas
regi~oes poligonais, isto ¶e, ¶e compartilhada por duas regi~oes poligonais vizinhas.
Numa divis~ao poligonal, os v¶
ertices dos pol¶³gonos que a¶³ comparecem s~ao chamados 0-c¶
elulas (ou c¶elulas de dimens~ao zero) da divis~ao poligonal; as arestas s~ao chamados 1-c¶
elulas (ou c¶elulas de dimens~ao 1); e as regi~
oes poligonais s~ao chamadas 2c¶
elulas ou faces da divis~ao poligonal.
Fazendo uso de termos da literatura, usaremos a express~ao divis~
ao celular em
lugar de divis~ao poligonal, muito embora o conceito de divis~ao celular seja, na verdade,
uma generaliza»c~ao do conceito de divis~ao poligonal.
Numa divis~ao celular, no sentido mais preciso do termo, a superf¶³cie ¶e recortada
em pol¶³gonos, os quais, quando colados para recompor a superf¶³cie, podem dar origem a
pares de pol¶³gonos com mais que uma aresta em comum, e at¶e mesmo a pol¶³gonos que
se auto-interceptam ao longo de uma ou mais arestas.
45
46
~o Regional da SBM
UFV { VI Reunia
Na ¯gura 4.1, sao mostradas cinco famosas divis~
oes poligonais da esfera.
Figura 4.1: Os cinco poliedros de Plat~ao podem ser vistos como divis~oes poligonais da
superf¶³cie da esfera.
4.2
O n¶
umero de Euler
Consideremos agora uma superf¶³cie suave de geometria homog^enea, de curvatura constante k (positiva, zero ou negativa), e uma divis~ao celular dessa superf¶³cie, cujas arestas
s~ao segmentos geod¶esicos da superf¶³cie. Suponhamos que essa divis~ao celular tenha v
v¶ertices, a arestas e f faces.
Figura 4.2: Divis~oes celulares: (a) da esfera; (b) do toro; (c) do plano projetivo e (d)
da garrafa de Klein.
Observe que, em se tratando de uma superf¶³cie suave, numa divis~ao celular, a soma
dos ^angulos formados em torno de cada v¶ertice ¶e igual a 2¼.
~o intuitiva
Topologia das superf¶³cies. Uma introduc
»a
47
Tendo ao todo v v¶ertices, a soma de todos os ^angulos internos de todas as faces
da divis~ao celular ser¶a ent~ao igual a
v £ 2¼
Etiquetemos as f faces da divis~ao celular considerada, demarcando-as como:
face 1, face 2,..., face f .
Suponhamos agora que a face 1 tem n1 lados (arestas), a face 2 tem n2 lados,
: : : , e a face f tem nf lados.
Como cada aresta ¶e comum a exatamente duas faces, temos que
n1 + n2 + : : : + nf
= n¶umero de lados da face 1 + n¶umero de lados da face 2
+ ¢ ¢ ¢ + n¶umero de lados da face f
= 2 £ (n¶umero total de arestas)
= 2a
Chegamos ent~ao µa seguinte not¶avel rela»c~ao
2¼ ¢ v =
=
soma dos ^angulos internos de todas as faces
soma dos ^angulos da face 1 + soma dos ^angulos da face 2
+ ¢ ¢ ¢ + soma dos ^angulos da face f
= [(n1 ¡ 2)¼ + k ¢ (¶area da face 1)[+ [(n2 ¡ 2)¼ + k ¢ (¶area da face 2)]
+ ¢ ¢ ¢ + [(nf ¡ 2)¼ + k ¢ (¶area da face f )]
= (n1 + n2 + : : : + nf ) ¢ ¼ ¡ (2¼
+ : : : + 2¼})
| + 2¼ {z
f parcelas
+ k ¢ (soma das ¶areas de todas as faces)
= 2¼ ¢ a ¡ 2¼ ¢ f + k ¢ (¶area da superf¶³cie)
Logo,
2¼ ¢ v = 2¼ ¢ a ¡ 2¼ ¢ f + k ¢ A;
ou ainda
2¼ ¢ (v ¡ a + f ) = k ¢ A ;
sendo A a ¶area da superf¶³cie.
O n¶umero  = v ¡ a + f ¶e chamado n¶
umero (ou caracter¶³stica) de Euler da
divis~ao celular considerada (sendo  uma letra grega pronunciada como \qui").
A f¶ormula
2¼ ¢ (v ¡ a + f ) = k ¢ A
que ent~ao ¯ca
2¼ ¢ Â = k ¢ A
¶e chamada f¶
ormula de Gauss-Bonnet para superf¶³cies de curvatura constante.
48
~o Regional da SBM
UFV { VI Reunia
Tabela 4.1: Geemetria homog^enea da superf¶³cie, conforme sua caracter¶³stica de Euler.
4.3
Â=v¡a+f
geometria homog^enea
Â=0
Â>0
Â<0
euclidiana
el¶³ptica
hiperb¶olica
A topologia de uma superf¶³cie determina sua
geometria homog^
enea, e vice-versa
Algumas conclus~oes que podemos deduzir da f¶ormula de Gauss-Bonnet s~ao, como veremos, bastante surpreendentes.
Da validade da f¶ormula de Gauss-Bonnet, podemos concluir, por exemplo, que:
1. O n¶umero de Euler de uma divis~ao celular de uma superf¶³cie, n~ao depende da
divis~ao celular em si, mas somente da ¶
area e da curvatura de seu modelo com
geometria homog^enea.
2. Se a superf¶³cie pode ser constru¶³da com geometria Euclidiana (curvatura k = 0),
ent~ao qualquer divis~ao celular dela ter¶a n¶
umero de Euler  = 0. Assim, o toro e
a garrafa de Klein tem n¶umero de Euler  = 0.
3. Se a superf¶³cie pode ser constru¶³da com geometria el¶³ptica homog^enea, ent~ao
qualquer divis~ao celular dessa superf¶³cie ter¶a o mesmo n¶umero de Euler  > 0 e,
se ela tem geometria hiperb¶olica homog^enea, ent~ao qualquer divis~ao celular dessa
superf¶³cie ter¶a o mesmo n¶umero de Euler  < 0.
4. ConseqÄ
uentemente, temos que cada superf¶³cie s¶o pode ser \vestida" com uma
u¶nica geometria homog^enea dentre as tr^es existentes, conforme a tabela abaixo.
A tabela acima mostra como o n¶
umero de Euler determina a geometria homog^enea da
superf¶³cie!
Como o n¶umero de Euler  ¶e, portanto, independente da divis~ao celular efetuada,
ele ¶e chamado n¶
umero (ou caracter¶³stica) de Euler da superf¶³cie.
As tabelas dadas a seguir listam todas as superf¶³cies fechadas, confrontando propriedades geom¶etricas e propriedades topol¶ogicas.
A tabela abaixo lista as superf¶³cies fechadas e as correspondentes geometrias homog^eneas que admitem. As u¶nicas superf¶³cies fechadas que admitem geometria homog^enea
el¶³ptica s~ao a esfera e o plano projetivo. As u
¶nicas que admitem geometria Euclidiana
s~ao o toro e a garrafa de Klein.
~o intuitiva
Topologia das superf¶³cies. Uma introduc
»a
49
Tabela 4.2: uperf¶³cies fechadas e correspondentes geometrias homog^eneas que admitem.
As u¶nicas superf¶³cies fechadas que admitem geometria homog^enea el¶³ptica s~ao a esfera
e o plano projetivo. As u¶nicas que admitem geometria Euclidiana s~ao o toro e a garrafa
de Klein.
orient¶
avel
n~ao orient¶
avel
geometria homog^enea
S2
T2
T 2 #T 2
T 2 #T 2 #T 2
..
.
4.4
P2
P 2 #P 2 = K 2
P 2 #P 2 #P 2
P 2 #P 2 #P 2 #P 2
..
.
el¶³ptica
euclidiana
hiperb¶olica
Orientabilidade e n¶
umero de Euler classi¯cando
as superf¶³cies fechadas
A tabela abaixo classi¯ca as superf¶³cies segundo o n¶umero de Euler e a orientabilidade.
Isto signi¯ca que podemos determinar a natureza topol¶ogica de uma superf¶³cie fechada
sabendo apenas se ¶e orient¶avel ou n~ao, e conhecendo seu n¶umero de Euler Â. No caso da
soma conexa de n toros, Â = 2(1 ¡ n). No caso da soma conexa de n planos projetivos,
 = 2 ¡ n. O n¶umero n, em cada caso, ¶e o genus da superf¶³cie.
 orient¶avel
2
1
0
¡1
¡2
¡3
¡4
..
.
n~ao orient¶
avel
S2
T2
T 2 #T 2
T 2 #T 2 #T 2
..
.
P2
K 2 = P 2 #P 2
P 2 #P 2 #P 2
P 2 #P 2 #P 2 #P 2
P 2 #P 2 #P 2 #P 2 #P 2
P 2 #P 2 #P 2 #P 2 #P 2 #P 2
..
.
Refer^
encias Bibliogr¶
a¯cas
[1] Weeks, Je®rey R. The Shape of Space. Marcel Dekker, Inc., New York, 1985.
Neste magn¶³¯co trabalho, o top¶ologo Je®rey Weeks desenvolve, de modo bastante
intuitivo, t¶opicos da geometria e da topologia de variedades bi e tri-dimensionais.
Seu livro ¶e conclu¶³do com um cap¶³tulo com algumas conjeturas interessantes acerca da topologia e da geometria do Universo, formuladas por f¶³sicos e astrof¶³sicos
te¶oricos. Imperd¶³vel, ¶e a inspira»c~ao original para o presente livro.
Outras duas refer^encias interessantes e alternativas, para aqueles interessados em
abordagens intuitivas de topologia. O texto de Firby e Gardiner ¶e a refer^encia de
onde busquei a representa»c~ao de superf¶³cies por palavras e a manipula»c~ao destas.
[2] Firby, P.A. & Gardiner, C. F. Surface Topology. Ellis Horwood Ltd., West Sussex,
1982.
[3] Farmer, D. W. & Stanford, T. B. Knots and Surfaces. A Guide to Discovering
Mathematics. American Mathematical Society, Providence, 1996.
Duas hist¶orias em quadrinhos sobre geometria e topologia das superf¶³cies s~ao:
[4] Petit, J.-P. As Aventuras de Anselmo Curioso. Os Mist¶erios da Geometria. Publica»c~oes Dom Quixote, Lisboa, 1982.
[5] Petit, J.-P. As Aventuras de Anselmo Curioso. Einstein e o Buraco Negro. Publica»c~oes Dom Quixote, Lisboa, 1982.
Com uma abordagem inicialmente intuitiva, desenvolvendo um certo formalismo µa
medida em que se avan»ca no texto, chegando µa demonstra»c~ao de bons teoremas,
¶e:
[6] Prasolov, V.V., Intuitive Topology. American Mathematical Society, Providence,
1995.
Para estudantes universit¶arios que j¶a cursaram disciplinas de ¶algebra linear e de
introdu»c~ao µa teoria dos grupos, os seguintes livros s~ao dos mais elementares existentes, o u¶ltimo sendo uma abrangente resenha sobre topologia.
[7] Armstrong, M.A., Basic Topology, Springer-Verlag, New York, 1978.
[8] Croom, F., Basic Concepts of Algebraic Topology, Springer-Verlag, New York, 1983.
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~o intuitiva
Topologia das superf¶³cies. Uma introduc
»a
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[9] Kosniowski, C., A First Course in Algebraic Topology, Cambridge University Press,
Cambridge, 1980.
[10] JÄanich, K., Topology. Springer-Verlag, New York, 1980.
Endere»co para correspond^encia do autor:
Jo~ao Carlos V. Sampaio
Universidade Federal de S~ao Carlos
Departamento de Matem¶atica
Caixa Postal 676
13565-905 S~ao Carlos, S.P.
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