matemática  lógica?
frege e todo mundo ao redor
silvio lemos meira
[email protected]
www.meira.com
filosofia alemã clássica
o “idealismo alemão”

Immanuel Kant (1724-1804)

confronto com David Hume
(1711-1776), cético escocês:
 dh: tarefa do conhecimento
não é compreender “o ser”,
mas prover um “guia para a vida prática”
(utilitarismo);
 dh: o único conhecimento autêntico é sobre os
“objetos da matemática” porque nenhuma outra
relação pode ser deduzida pela lógica, apenas
pela experiência
 ik: se conhecimento só pode ser derivado da
experiência, não haveria conhecimento no
mundo “além das sensações”… conhecimento
que, de fato, existe. logo…
o que precedia o
idealismo alemão?...
Racionalismo
Certas verdades
universais, autoevidentes, podem ser
descobertas
unicamente com
base na razão, sem
recurso à
Descartes
experiência… Spinoza
Leibniz
Empiricismo
A mente nasce
como um espaço
em branco no qual
todo conhecimento pode ser
inscrito na forma de
experiência Bacon
humana…
Locke
Hume
qual foi o papel de Kant?
o de…
achar um compromisso
o conhecimento está no domínio da experiência
(ou seja, os empiricistas estão certos) mas a
mente… incorpora sensações na estrutura da
experiência, que pode ser conhecida a priori (os
racionalistas estão certos!)
estrutura: nós sabemos COMO (vir a) saber das coisas
ps: kant poderia ter sido um dos fundadores do psdb!
no compromisso
de kant…



as coisas propriamente ditas eram
desconhecidas… só os fenômenos
correspondentes poderiam ser conhecidos…
ao mostrar que proposições conflitantes sobre
a natureza da realidade podiam ser provadas,
kant garantia que tais contradições eram
“aparentes” e que
o conhecimento sobre as coisas propriamente
ditas só era accessível através da… Fé!


Crítica da Razão Pura (1769, 1787)
as contradições da solução de Kant para as
formas e limites da cognição foram pontos de
partida para Hegel…
os “cursos”da lógica para
kant & hegel

kant:


lógica num curso seguro e imutável desde
aristóteles (Kritik der reinen Vernunft, 1787)… a
lógica parecia estar fechada e completa
hegel

Wissenschaft der Logik, 1812/13:



exatamente porque a lógica está congelada
desde aristóteles é que precisa de uma revisão
completa... levando à...
lógica como abstração de raciocínio
ou lógica como metafísica...
hegel e a dialética

a “fusão” de kant não explica
a evolução histórica…

porque sempre temos

uma TESE: a verdade atual

uma ANTÍTESE: o ponto de vista OPOSTO

quando o RACIOCÍNIO (pensamento) tenta
RECONCILIAR a TESE com a ANTÍTESE, o que
resulta é uma SÍNTESE…

que é uma NOVA TESE,
e assim por diante, ad infinitum
filosofia alemã depois de 1848
{por que 1848?...}




os cientistas naturais

Hermann von Helmholtz (1821-1894),

Ernst Mach (1838-1916),

Ludwig Boltzmann (1844-1906),

Albert Einstein (1879-1955) e

Werner Heisenberg (1901-1976);
os sociólogos

Wilhelm Dilthey (1833-1911) e Max Weber (1864-1920);
Friedrich Nietzsche (1844-1900) um dos filósofos originais
da segunda metade do séc. XIX e precursor do
existencialismo;
o fundador da fenomenologia, Edmund Husserl (18591938), os existencialistas Martin Heidegger (1889-1976) e
Karl Jaspers (1883-1969);
existencialismo…
{nietzsche, heidegger, kierkagaard, sartre}



para seres humanos, existência precede essência
(significado)…
não há um significado objetivo na vida
{por que estamos aqui?}
cada indivíduo tem a liberdade de criar (não de
descobrir) tal significado



cada um é nada mais do que faz de si mesmo {sartre}
a verdade sobre a existência humana não é
confortante, daí a angústia e o desespero…
e a maioria das pessoas esconde isso delas
mesmas, daí…
nossa galera na…
“alemanha depois de 1848”


os matemáticos
 Georg Cantor (1845-1918),
 Gottlob Frege (1848-1925),
 David Hilbert (1862-1943) e
 Rudolph Carnap (1891-1970).
o “círculo de viena”, reunido em 1922 (!) por
Moritz Schlick, que incluía
 Rudolph Carnap,
 Otto Neurath,
 Kurt Gödel,
 A J Ayer
 Ernst Mach e
 Ludwig Wittgenstein
hegel, os números e os conjuntos em
Wissenschaft der Logik, 1812/3








o conceito abstrato de SER (Sein)
o SER, o NADA e o TORNAR-se
(Dasein) o SER através do TORNAR-se
conseqüentemente, o finito (Endlichkeit)
e o infinito (Unendlichkeit)
a noção primitiva de conjunto infinito
a noção primitiva de número natural
o caráter quantitativo de um número
…o que aparece depois em

boole, cantor…
karl marx (1818-83)
um dos “jovens hegelianos” originais


nascido em trier, prússia,
marx recebeu seu phd
em 1841, em jena
hegel não foi é lido
por quase ninguém,
seus oescritos
seus porque
primeiros livros
site da uni-jena, curiosamente
foram…
não faz NENHUMA menção a marx!
são muito complexos
The Poverty of
Philosophy (1847)
mas…
Communist Manifesto




(1848)
The Class Struggles
in France (1848)
em 1849, teve que se
exilar na inglaterra
19th Century Logic between
Philosophy and Mathematics
{V Peckhaus, http://www.phil.uni-erlangen.de/p1phil/personen/peckhaus/texte/logic_phil_math.html}

depois da morte de hegel…

Adolf Trendelenburg (1802-1872)

“Zur Geschichte von Hegel's Logik und
dialektischer Methode” (“Die logische Frage
in Hegel's Systeme”), 1842:
"Is Hegel's dialectical method of pure
reasoning a scientific procedure?'‘

descobriu-se que o mestre é ilegível

e que a maioria das coisas que se diz que
ele disse, ele, na verdade, nunca escreveu
voltando a…
george boole (1815-1864)
criou o cálculo
proposicional:

conectivo
booleano
correlato em
linguagem natural

não

e

ou

se …, então …

… se e somente se …
textos fundamentais

The Mathematical Analysis of Logic, 1847
An Investigation of the Laws of Thought, 1854.

exercício: conecte boole & shannon!...

clareza…

mas havia problemas…
Charles Sanders Peirce
(1839-1914)


influenciado por de morgan, desenvolveu a lógica trivalorada, cálculo das relações, grafos existenciais…
e criou a noção de “objeto” (1883)




um objeto é definido pelos efeitos do seu uso: uma
definição que funciona bem é uma boa definição
(pragmatismo)
um objeto “é” seu comportamento
o significado de um conceito consiste nos seus efeitos
práticos nas nossas vidas diárias: se duas idéias têm o
mesmo efeito prático em nós, elas têm o mesmo
significado
o significado de um conceito é uma função das relações
entre conceitos: um conceito se refere a um objeto
somente através da mediação de outros conceitos…
Friedrich W Karl Ernst Schröder (1841-1902)
e a revisão de Boole…



estudou com Hesse, Kirchhoff e
Franz Neumann. seu trabalho em
conjuntos ordenados e números
ordinais é fundamental
Der Operations-kreis des Logikkalkuls
(1877), recria boole, influenciado por
charles peirce, e enfatiza a dualidade
da conjunção (interseção) e disjunção
(união), mostrando como achar teoremas
duais.
foi o primeiro ausar o termo “lógica matemática”;
sua comparação entre álgebra e a lógica de boole…


There is certainly a contrast of the objects of the two operations.
They are totally different. In arithmetic, letters are numbers, but
here, they are arbitrary concepts.
Vorlesungen über die Algebra der Logik, (1890 e 1905), é texto
fundamental sobre lógica algébrica e fonte para a moderna
teoria algébrica (Tarski) e teoria dos reticulados…
georg cantor (1845-1918)
phd 1867, zurich




gênio, estudante de
Kronecker e Weierstrass
renegado, pelas suas
descobertas, por Kronecker
e Poincaré, entre outros…
morreu demente,
num hospício, em 1918…
sem suas contribuições,
boa parte da matemática
moderna não existiria…
georg cantor: CONJUNTOS!
An Analysis of Two Views of the Foundations of Mathematics:
Set Theory and Category Theory, Marc Millstone @ upenn.edu



in 1874… an extremely controversial set of articles
and proofs were published by George Cantor,
marking the birth of set theory.
In these papers, Cantor defined notions of sets,
subsets, functions, etc, in a beautifully elegant
method, however many mathematicians were quite
unhappy with the revolutionary new ideas contained
in his works.
…controversy came with Cantor’s proof that there
were actually at least two different cardinalities of
infinity, that is that the set of all natural numbers, N, is
actually smaller than the set of all real numbers, R.
georg cantor:
set theory provides “a
conceptual unification of mathematics” {mm}

Jean-Pierre Marquis names five justifications of this claim as
follows:
1. Ontological: mathematics is truly the science of the realm of
sets
2. Logical: set theory is part of logic, the latter being the
universal science upon which every other science is based;
Set theory is just, in a sense, applied logic to mathematical
concepts
3. Semantical: set theory captures the fundamental cognitive
operations upon which the whole of mathematical knowledge
is bases
4. Pragmatic: the axioms of set theory possess an
epistemological property which gives them a privileged
status
5. Epistemological: a set theory is indispensable for doing
mathematics, if only to provide a uniform and good control
on questions of size, but mostly for definitions,
constructions, and techniques of proofs. Thus a set theory is
heuristically and methodologically inescapable…
georg cantor…
conjuntos e a “hipótese do continuum”

…the Continuum Hypothesis is what I have called an
“inherently vague” statement, and that the continuum
itself, or equivalently the power set of the natural
numbers, is not a definite mathematical object. Rather,
it’s a conception we have of the totality of “arbitrary”
subsets of the set of natural numbers, a conception that
is clear enough for us to ascribe many evident properties
to that supposed object (such as the impredicative
comprehension axiom scheme) but which cannot be
sharpened in any way to determine or fix that object
itself.

Why the programs or new axioms need to be questioned,
Solomon Feferman, Stanford U. 1999.
sim… mas…
por que?...





foi preciso ir além do cálculo
proposicional?
quem primeiro alertou para tal
necessidade?
por que?
o que aconteceu depois?
quais eram as dificuldades?

vocês já descobriram?
e o que gottlob frege teria a ver
com isso?
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Frege.html
não era pouco…
mas como chegamos lá?

In 1879 Frege published his first major work, Begriffsschrift,
eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des
reinen Denkens (Conceptual notation, a formal language
modelled on that of arithmetic, for pure thought):

In 1879, with extreme clarity, rigour and technical brilliance,
he first presented his conception of rational justification. In
effect, it constitutes perhaps the greatest single contribution to
logic ever made and it was, in any event, the most important
advance since Aristotle. For the first time, a deep analysis was
possible of deductive inferences involving sentences containing
multiply embedded expressions of generality. Furthermore, he
presented a logical system within which such arguments could
be perspicuously represented: this was the most significant
development in our understanding of axiomatic systems since
Euclid. {George & Heck}
não percam,
na próxima aula…
de frege até quase
gödel,
church,
turing e
von neumann…