Braz. J. Food Technol., v. 12, n. 1, p. 77-84, jan./mar. 2009
DOI: 10.4260/BJFT2009800800010
Simulação da cinética de secagem de sólidos de revolução
usando o modelo da difusão e o método inverso
Simulation of revolution drying kinetics using the
liquid diffusion model and the inverse method
Autores | Authors
Wilton Pereira da SILVA
Universidade Federal de Campina Grande
Centro de Ciências e Tecnologia
Unidade Acadêmica de Física
Campina Grande/PB - Brasil
e-mail: [email protected]
Cleide Maria Diniz Pereira da
Silva e SILVA
Universidade Federal de Campina Grande
Centro de Ciências e Tecnologia
Unidade Acadêmica de Física
e-mail: [email protected]
Diogo Diniz Pereira da Silva e
SILVA
Universidade Estadual de Campinas
Instituto de Matemática, Estatística e
­Computação Científica
e-mail: [email protected]
Antonio Gilson Barbosa de LIMA
Universidade Federal de Campina Grande
Centro de Ciências e Tecnologia
Unidade Acadêmica de Engenharia
Mecânica
e-mail: [email protected]
Autor Correspondente | Corresponding Author
Recebido | Received: 11/11/2008
Aprovado | Approved: 11/03/2009
Resumo
Neste artigo é proposto um algoritmo para a determinação de uma
expressão para a difusividade de água, constante ou variável, utilizando o
método inverso. Para tal, é pressuposto que o transporte de água no interior de
um sólido ocorra unicamente por difusão líquida. O código desenvolvido para o
otimizador foi acoplado à solução da equação de difusão, discretizada e resolvida
numericamente para sólidos obtidos por revolução de áreas bidimensionais
arbitrárias por meio do método dos volumes finitos, com uma formulação
totalmente implícita, com o uso de coordenadas generalizadas, para a condição
de contorno do primeiro tipo. Para tais sólidos, a solução numérica utilizada
para a equação de difusão tira proveito de condições de simetria, o que reduz
o esforço computacional exigido na determinação de parâmetros via método
inverso, através de um algoritmo de otimização. Usando dados da literatura,
uma aplicação da metodologia à secagem de bananas, considerada um cilindro
finito, indica que o algoritmo desenvolvido é eficiente na determinação de uma
expressão para a difusividade efetiva e, consequentemente, na descrição da
cinética de secagem do produto.
Palavras-chave: Transporte difusivo; Malha estruturada bidimensional;
Secagem; Discretização; Formulação totalmente implícita.
Summary
In this paper an algorithm was proposed to determine an expression for
the water diffusivity, constant or variable, using the inverse method. For this
purpose, it was supposed that water transport inside the solid only occurred due
to liquid diffusion. The code developed was coupled to the solution of the diffusion
equation, discretized and numerically solved for solids obtained by the revolution
of arbitrary bi-dimensional areas using the finite volumes method, with a fully
implicit formulation and using generalized coordinates for the boundary condition
of the first type. For such solids, the numerical solution for the diffusion equation
uses symmetry conditions, which reduces the computational effort demanded
in determining the parameters via the inverse method by way of an optimization
algorithm. Using data found in the literature, an application of the methodology to
the drying of bananas, considered as a finite cylinder, indicated that the algorithm
developed was efficient in determining an expression for the effective diffusivity
and, consequently, in the description of the product drying kinetics.
Key words: Diffusive transport; 2D structured mesh; Drying; Discretization;
Fully implicit formulation.
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Simulação da cinética de secagem de sólidos de revolução usando o modelo da difusão e o método inverso
SILVA, W. P. et al.
1 Introdução
Modelos baseados na teoria da difusão
líquida são frequentemente usados na descrição da
secagem em camada fina de vários tipos de produtos
(­PHOUNGCHANDANG e WODDS, 2000; GASTÓN et al.,
2002; LIMA et al., 2004; DOYMAZ, 2005; AMENDOLA
e QUEIROZ, 2007; HACIHAFIZOGLU et al., 2008). Em
muitos destes trabalhos é assumida a condição de
contorno do primeiro tipo para a solução da equação de
difusão. Com o objetivo de obter uma solução analítica
para descrever a cinética de secagem, normalmente
é assumido que a difusividade de água e o volume do
produto sejam constantes durante todo o processo, o
que é uma simplificação feita por vários pesquisadores
(LIMA et al., 2004; DOYMAZ, 2005; AMENDOLA e
QUEIROZ, 2007; HACIHAFIZOGLU et al., 2008). Como a
solução analítica é dada por uma série infinita, tal série
é truncada e, em geral, poucos termos são usados na
determinação da difusividade de água por ajuste de
curvas (TELLO-PANDURO et al., 2004; DOYMAZ, 2005;
SILVA et al., 2008a), o que é outra simplificação. Naturalmente, as simplificações apontadas anteriormente têm
um custo com relação à precisão dos resultados obtidos
na determinação da difusividade e, consequentemente,
na descrição da cinética de secagem.
Para geometrias complexas em geral, soluções
numéricas são requeridas para a equação de difusão
(GASTÓN et al., 2002; GASTÓN et al., 2003; WU et al.,
2004; SILVA et al., 2007). A vantagem de soluções numéricas, em relação a soluções analíticas, é que as primeiras
possibilitam incluir volume e difusividade ­variáveis no
modelo a ser estudado. Mesmo para geometrias simples,
algumas soluções numéricas são encontradas na literatura. Amendola e Queiroz (2007) descreveram a cinética
de secagem de bananas discretizando a equação de
difusão aplicada a um cilindro infinito, considerando
volume e difusividade constantes. Neste trabalho, os
autores usaram coordenadas cilíndricas e o método das
diferenças finitas. Silva et al. (2008b) usaram coordenadas
cilíndricas para propor uma solução numérica para um
cilindro infinito com domínio de difusividade variável, e
também aplicaram a solução no estudo da cinética de
secagem de bananas. O método utilizado pelos autores
foi o método dos volumes finitos, com uma formulação
totalmente implícita.
Uma solução numérica para a equação de difusão
aplicada a qualquer sólido que possa ser obtido por
revolução de uma área plana em torno de um eixo foi
proposta por Silva et al. (2007), usando coordenadas
generalizadas e malhas estruturadas. Mas para que tal
solução possa ser usada na determinação da difusividade
efetiva é necessário que um otimizador seja acoplado à
solução numérica. A função do otimizador é possibilitar a
determinação dos parâmetros da função proposta para a
Braz. J. Food Technol., v. 12, n. 1, p. 77-84, jan./mar. 2009
difusividade, de forma que a solução numérica produza
resultados para a cinética de secagem o mais próximo
possível dos dados experimentais. Um dos métodos
usados em otimização é o método inverso (CARBONERA
et al., 2003; MARIANI et al., 2008), em que são atribuídos
valores a parâmetros de interesse, seguido da solução
da equação que descreve o sistema, sendo que os
resultados obtidos são comparados com dados experimentais relativos a tal sistema. A partir da comparação,
novos valores para os parâmetros são estabelecidos, e
o processo continua até que os resultados simulados
possam ser considerados suficientemente próximos dos
resultados experimentais.
Neste artigo será assumido que a difusividade de
água varia com o teor de umidade do produto estudado
e que a condição de contorno do primeiro tipo seja
adequada para um dado processo de secagem. A partir
destas hipóteses, uma metodologia numérica será desenvolvida e utilizada para simular a cinética de secagem em
camada fina de um produto na forma cilíndrica, eliminando
as simplificações anteriormente apontadas. Em especial,
uma vez escolhida uma expressão Def = f (M, a, b), na
qual a difusividade efetiva Def pode depender do teor
de umidade M, o método inverso será usado no desenvolvimento de um otimizador que determina os valores
ótimos dos parâmetros “a” e “b”, minimizando uma
função objetivo. A metodologia proposta será aplicada
a dados experimentais disponíveis na literatura, relativos
à secagem em camada fina de bananas, que será considerada como um cilindro finito.
2 Material e métodos
A modelagem matemática para a solução da
equação de difusão pressupõe as seguintes hipóteses:
• o sólido é considerado homogêneo e isotrópico;
• o campo do teor de umidade é axissimétrico
com relação ao eixo x e uniforme no início; e
• o único mecanismo de transporte de água no
interior do sólido é o mecanismo da difusão
líquida.
Dentre as várias soluções disponíveis na literatura,
a solução numérica a ser utilizada neste trabalho para a
Equação 1 de difusão, dada por
∂ ( λΦ )
= ∇ .(Γ Φ ∇Φ ) + S
∂t
(1)
foi proposta por Silva et al. (2007). Na Equação 1, Φ é a
variável dependente a ser determinada, λ e ΓΦ são parâmetros de transporte e S é um termo fonte. Para o caso
específico de secagem, pode-se estabelecer Φ = M, onde
M é o teor de umidade, λ = 1, S = 0 e ΓΦ = Def, onde Def é
a difusividade efetiva de água no processo de secagem.
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SILVA, W. P. et al.
Nestas condições, a Equação 1 pode ser re-escrita do
seguinte modo (Equação 2):
∂(M)
= ∇ .(Def ∇M)
∂t
(2)
Na solução apresentada por Silva et al. (2007),
os autores supuseram uma área plana qualquer (que no
presente artigo será um retângulo) girando em torno de
um eixo (que no presente artigo será um dos lados do
retângulo), o que gera um sólido (que no presente artigo
será um cilindro). Em tal solução foi usado o método dos
volumes finitos, com uma formulação totalmente implícita, utilizando-se coordenadas generalizadas. Devido à
simetria presente no problema físico enfocado, somente
a metade do cilindro que representa o sólido será estudada, e tal metade é gerada pelo retângulo de lados r e
L/2, conforme é mostrado na Figura 1.
A difusividade efetiva nos pontos nodais da malha
a ser criada no retângulo é calculada através de uma
expressão do tipo (Equação 3):
Def = f (M, a, b)
(3)
A função a ser especificada para a difusividade
efetiva deve ter uma expressão tal que ajuste a solução
numérica aos dados experimentais. Nesta expressão,
M é o teor de umidade nos volumes de controle e “a” e
“b” são parâmetros que ajustam a solução numérica aos
dados experimentais e serão determinados através do
otimizador criado a partir das características definidas
neste artigo. Nas interfaces dos volumes de controle,
por exemplo, na face leste de um volume de controle P
(face “e”), Silva (2007) baseado em Patankar (1980)
deduziu, usando coordenadas generalizadas, a seguinte
expressão para a difusividade (Equação 4):
De =
dP + dE
dP dE
+
DP DE
(4)
Na Equação 4, dP e dE são as distâncias da face
leste (face “e”) do volume de controle P aos pontos
nodais P e E (nó do volume de controle a leste do volume
de controle P), respectivamente, De é a difusividade na
interface dos dois volumes de controle, enquanto DP e
DE são as difusividades nos pontos nodais dos volumes
de controle e são determinadas através da Equação 3.
A propósito, os elementos anteriormente mencionados
podem ser vistos na Figura 2.
Uma vez tendo sido determinados os teores de
umidade de cada volume de controle num dado instante
de tempo, a expressão para o cálculo do valor médio do
–
teor de umidade, M (t), é dada por (SILVA et al., 2007)
(Equação 5):
M(t) =
1
M(r,t)dV
V∫
(5)
Tendo sido realizada uma simulação numérica para
a qual existam dados experimentais disponíveis, o desvio
padrão inerente à simulação pode ser calculado como
segue. Considerando-se o i-ésimo ponto experimental
–
(ti, Φ i) de uma grandeza genérica Φ, inicialmente deve
ser identificado se existe um ponto da simulação com a
mesma abscissa ti. Neste caso, o desvio δΦi deve ser
calculado diretamente da expressão (TAYLOR, 1997;
SILVA e SILVA, 1998) (Equação 6):
δΦ i = Φ i − Φ sim
(6)
– sim
em que Φ é o valor médio de Φ obtido na simulação
para t = ti.
Caso a abscissa ti do ponto experimental tenha um
valor que esteja entre dois valores simulados, tisim e tisim
+1 ,
a situação pode ser representada conforme o esquema
mostrado através da Figura 3.
Para a situação representada na Figura 3, o valor
–
de Φ i pode ser calculado por interpolação linear, através
da Equação 7:
Φ
sim
sim
=
sim
sim
Φ i − Φ i+1 sim
(t i+1 − t i ) + Φ i+1
sim
−
t isim
t
+1
i
(7)
o que possibilita a utilização da Equação 6 para o cálculo
do desvio referente ao i-ésimo ponto experimental. Dessa
forma, todos os elementos necessários para o cálculo do
desvio padrão relativo ao ajuste tornam-se conhecidos.
Assim, supondo-se que todos os pontos experimentais
e
r
P
E
L/2
dp
Figura 1. Representação do sólido: cilindro finito gerado por
revolução de um retângulo.
Braz. J. Food Technol., v. 12, n. 1, p. 77-84, jan./mar. 2009
dE
Figura 2. Volumes de controle P e E.
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&
&i
pesos são feitos iguais à unidade. No termo 1/ σi2 , o
parâmetro σi é o desvio padrão do valor médio de Φi.
–
O qui-quadrado depende de Φ i que depende da difusividade efetiva Def. Em geral, a difusividade efetiva Def
pode ser expressa por uma função f (Φ, a, b) em que “a”
e “b” são constantes que podem ser determinadas via
minimização da função objetivo, e Φ = M. Neste artigo,
a função objetivo é definida pelo qui-quadrado referente
ao ajuste, o que é expresso através da Equação 9.
sim
&i
&
sim
sim
&i + 1
ti
sim
ti
sim
ti + 1
t
–
Figura 3. Esquema para o cálculo de Φ i por interpolação
linear.
tenham o mesmo peso estatístico, o desvio padrão pode
ser calculado através da Equação 8 (TAYLOR, 1997; SILVA
e SILVA, 1998).
N
σ=
p
1
(δΦ i )2
∑
(Np − p) i=1
(8)
onde N p é o número de pontos experimentais, p é o
número de parâmetros que ajustam a curva simulada aos
dados experimentais, sendo que (Np-p) define o número
de graus de liberdade referente ao ajuste.
Este artigo tem o objetivo de possibilitar a determinação de parâmetros de uma expressão proposta para
a difusividade efetiva, a partir de dados experimentais,
através do recurso da minimização de uma função objetivo. A razão disto é que para a descrição completa de um
problema de secagem dado por um modelo difusivo há
a necessidade da determinação de uma expressão para
a difusividade. Dessa forma, um algoritmo de otimização
foi desenvolvido a partir dos seguintes requisitos:
• minimização do qui-quadrado relativo ao
processo de ajustamento de uma curva simulada
aos dados experimentais; e
• utilização do algoritmo de Levenberg-Marquardt
(PRESS et al., 1996), com correções sequenciais
dos parâmetros.
A Equação 9 para o qui-quadrado envolvendo o
ajuste de uma função explícita usada como um modelo
(regressão) ou de uma curva simulada a dados experimentais é dada por (TAYLOR, 1997; SILVA e SILVA,
1998)
Np
χ2 = ∑ (δΦi )2
i=1
1
σi2
(9)
onde Np é o número de dados experimentais, 1/ σi2 é o
peso estatístico referente ao i-ésimo ponto experimental,
sendo que, na ausência de informações, em geral, tais
Braz. J. Food Technol., v. 12, n. 1, p. 77-84, jan./mar. 2009
Com relação ao algoritmo de Levenberg-Marquardt,
os fatores multiplicativos “f” para as correções dos parâmetros foram feitos iguais a 1/2, no caso da necessidade
de diminuir os valores das correções, e a 2, no caso da
necessidade de aumento (Equação 10):
Dai = f Dai–1 e Dbi = f Dbi–1
(10)
Os valores de tais fatores “f” foram definidos
como 2 e 1/2, visando minimizar possíveis problemas de
divergência durante o processo de otimização. Então,
existindo dados experimentais disponíveis, a sequência
dos cálculos para a realização do ajuste obedece aos
seguintes passos:
• Passo 1: Atribuir valores iniciais para os parâmetros “a” e “b”. Resolver a equação de difusão
e determinar o qui-quadrado;
• Passo 2: Atribuir valores para as correções de
“a” e de “b”;
• Passo 3: Corrigir o parâmetro “b”, mantendo o
parâmetro “a” constante. Resolver a equação
de difusão e calcular o qui-quadrado;
• Passo 4: Comparar o valor do último quiquadrado calculado com o penúltimo valor.
Enquanto o último valor for menor, voltar ao
passo 3;
• Passo 5: Corrigir o parâmetro “a”, com o parâmetro “b” mantido constante. Resolver a equação
de difusão e calcular o qui-quadrado;
• Passo 6: Comparar o valor do último quiquadrado calculado com o penúltimo valor.
Enquanto o último valor for menor, voltar ao
passo 5; e
• Passo 7: Voltar ao passo 2 até que o critério estabelecido para a convergência seja atingido.
As correções dos parâmetros, mencionadas anteriormente, ocorrem em ciclos, com alternância entre “a”
e “b”, até que a tolerância estipulada para os parâmetros
seja atingida.
O segundo indicador estatístico a ser utilizado para
a análise da qualidade dos ajustes a serem realizados é
o coeficiente de determinação R2 (TAYLOR, 1997; SILVA
80
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SILVA, W. P. et al.
e SILVA, 1998). O coeficiente de determinação R2 é o
quadrado do coeficiente de correlação Rfg entre duas
séries de valores f e g, em que f e g representam duas
variáveis quaisquer. Rfg é definido como a razão entre a
covariância entre f e g e o produto dos desvios padrão
destas duas séries. Isto resulta, desconsiderando os
pesos estatísticos, na expressão (TAYLOR, 1997; SILVA
e SILVA, 1998)
R fg =
(11)
∑ fi .gi − Nf .g
( ∑ fi2 − Nf −2 )( ∑ gi2 − Ng−2 )
– –
em que f e g são os valores médios das séries f e g,
respectivamente, N é o número de elementos de cada
série, sendo que os somatórios são feitos de 1 até N.
Para o propósito de utilização da Equação 11 no presente
–
artigo, deve-se identificar f ≡ Φ (valores experimentais)
–
e ainda g ≡ Φ sim (valores simulados). Naturalmente, com
relação ao otimizador aqui delineado, deve ser observado
que, para problemas de secagem, a variável genérica Φ
deve ser identificada com o teor de umidade M.
O software criado para a determinação da difusividade, incluindo a interface com o usuário, denominado
Diffusion RE, foi desenvolvido no estúdio Compaq Visual
Fortran Professional Edition V. 6.6.0 (Fortran 95) usando
uma opção de programação chamada QuickWin Application, na plataforma Windows XP, e está disponível em
http://zeus.df.ufcg.edu.br/labfit/diffusion.htm. Todas as
análises estatísticas dos resultados obtidos foram feitas
através do LAB Fit Curve Fitting Software V. 7.2.45 (www.
labfit.net).
3 Resultados e discussão
Os dados experimentais apresentados por Amendola e Queiroz (2007) referentes à secagem convectiva
em camada fina de bananas (r = 0,01522 m) foram utilizados para validar o otimizador desenvolvido. Tais dados
foram digitalizados usando o software xyExtract Graph
Digitizer (http://zeus.df.ufcg.edu.br/labfit/index_xyExtract.
htm). Amendola e Queiroz (2007) consideraram, em
sua simulação numérica da cinética de secagem, uma
condição de contorno do primeiro tipo e difusividade
constante. A secagem ocorreu nas seguintes condições:
temperatura de 50 °C e umidade relativa de 20%. Os
teores de umidade inicial e de equilíbrio foram, respectivamente, 3,21 e 0,0559 kg de água/kg de matéria seca.
Para fins de simulação, no presente artigo foi inicialmente
desenhada uma malha com 128 x 16 volumes de controle
em um retângulo que, por revolução em torno de x,
gera o cilindro representativo de uma metade simétrica
da banana. A malha, mostrada através da Figura 4, foi
gerada através do software 2D Grid Generation (http://
zeus.df.ufcg.edu.br/labfit/Malha.zip).
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y
M y = 0,01522 = 0,0559
M x = 0 = 0,0559
uM
uy
y=0
=0
uM
uy
x
x = 0,135
=0
Figura 4. Malha para o retângulo gerador do cilindro representativo da banana.
Conforme se observa na Figura 4, o comprimento
da banana foi superestimado (L/2 = 0,135 m), com o
objetivo de comparar os resultados obtidos no presente
artigo com os resultados obtidos por Amendola e Queiroz
(2007), que consideraram a banana como um cilindro infinito. A malha e a solução numérica utilizadas no presente
artigo possibilitam resolver numericamente a Equação 2
e, consequentemente, determinar parâmetros de interesse via otimização, conforme as etapas estabelecidas
na Seção 2. Isto permite comparar os resultados obtidos
no presente artigo com os resultados apresentados por
Amendola e Queiroz (2007). Como a difusividade efetiva
foi considerada constante por Amendola e Queiroz (2007),
a mesma consideração será inicialmente feita no presente
artigo, para efeito de comparação. Os resultados obtidos,
com o tempo total de secagem dividido em 1000 passos,
são apresentados na Figura 5.
O resultado obtido no presente artigo para a difusividade efetiva constante, igual a 1,5547 x 10 –6 m2h–1
(Figura 5), é compatível com o resultado obtido por Amendola e Queiroz (2007): Def = 1,58 x 10–6 m2h-1. Na tentativa
de melhorar o resultado obtido para Def, uma nova malha foi
gerada, com o mesmo número de elementos que a malha
anterior: 16 x 128. Usando-se esta nova malha, mais refinada ao longo do raio, um novo processo de otimização foi
realizado, e o resultado obtido foi Def = 1,5686 x 10–6 m2 h–1,
ainda mais compatível com o resultado de Amendola e
Queiroz (2007). A pequena discrepância entre as soluções
pode ser atribuída ao fato de que, no presente artigo,
tem-se um cilindro finito (embora longo), e não um cilindro
infinito. Por outro lado, a compatibilidade entre as soluções
possibilita afirmar que o otimizador proposto funciona de
forma adequada na determinação de parâmetros. Ainda,
devido à compatibilidade dos resultados apresentados
no presente artigo e os resultados disponibilizados por
Amendola e Queiroz (2007), pode-se concluir que a última
malha utilizada é suficientemente refinada para o estudo do
problema, e que a mesma conclusão pode ser estendida
sobre o número de passos no tempo utilizado na solução
da equação de difusão.
Para melhorar o ajuste da curva simulada aos
dados experimentais, uma observação da Figura 5 indica
que, para uma condição de contorno do primeiro tipo,
deve-se considerar o seguinte raciocínio: nos instantes
iniciais a difusividade deve ter um valor menor que o valor
determinado e, nos instantes finais, maior. Então, torna-se
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SILVA, W. P. et al.
4,0
4,0
3,2
C2 = 4,8350 x 102
3,2
C2 = 1,2443
R2 = 0,9990
Def = 1,5547 x 106 m2 h1
2,4
M (bs, decimal)
M (bs, decimal)
R2 = 0,9869
Experimental
Numérico
1,6
Def =
2,4
3,4447 x 105
cosh(5,0054 M1/2)
Experimental
Numérico
1,6
0,8
0,8
0,0
0,0
0
10
20
30
40
50
0
10
20
30
40
50
t (h)
t (h)
Figura 5. Simulação numérica da cinética da secagem de
banana considerando a difusividade efetiva constante.
Figura 6. Cinética de secagem de banana com a difusividade
efetiva variável, dada pela Equação 12.
evidente que, admitindo-se a condição de contorno de
equilíbrio, a difusividade deve aumentar quando o teor
de umidade diminui. Após várias simulações com o uso
de várias funções decrescentes, foi escolhida a seguinte
expressão para representar a difusividade efetiva de água
como função do teor local de umidade (Equação 12):
de contorno do primeiro tipo, a consideração de uma
difusividade decrescente com o teor de umidade representa a cinética de secagem com mais precisão do
que a simulação supondo-se a difusividade constante
(Figura 5). No entanto, este é um resultado oposto ao
resultado encontrado usando-se um modelo difusivo com
condição de contorno convectiva, em que é esperado
um decréscimo da difusividade com a diminuição do
teor de umidade (HAMDAMI et al., 2004; RUIZ-LÓPEZ e
GARCÍA-ALVARADO, 2007).
Def =
b
cosh aM1/2
(
)
(12)
Como a difusividade é variável, existem não-­
linearidades a serem consideradas na solução numérica
da equação de difusão: os coeficientes do sistema de
equações resultante da discretização da equação de
difusão dependem da difusividade e, consequentemente,
do teor de umidade, que é a grandeza a ser determinada em cada passo de tempo. O problema pode ser
contornado diminuindo o intervalo de tempo em que os
coeficientes do sistema de equações são considerados
constantes. Utilizando-se a expressão para a difusividade efetiva de água dada pela Equação 12 nas várias
soluções da equação de difusão, após o processo de
otimização, com o tempo total de secagem dividido
em 5000 passos (ao invés de 1000) e uma malha 16 x
128 (refino maior ao longo do raio), foi obtido a = 5,0054
e b = 3,447 x 10–5 m2h–1. Deve ser observado que “a”
e “b” são os parâmetros da Equação 12, e tal equação
representa a difusividade em função do teor de umidade.
Usando-se esta expressão para difusividade, a nova
simulação da cinética de secagem é mostrada através
da Figura 6.
Através dos parâmetros estatísticos χ2 e R2 e da
Figura 6 é possível afirmar que, no caso de condição
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Com os parâmetros “a” e “b” determinados via
otimização, o gráfico da difusividade efetiva em função
do teor de umidade é mostrado através da Figura 7.
A evolução do processo de secagem ao longo do
tempo é mostrada através dos gráficos de contorno representando a distribuição de umidade na área geratriz do
cilindro, o que pode ser observado através da Figura 8.
Os gráficos de contorno apresentados na Figura 8
foram gerados através do próprio software desenvolvido
para o processo de otimização via método inverso.
Se a condição de contorno do primeiro tipo não
é completamente aceitável para descrever o processo
de secagem, a difusividade obtida através do processo
de otimização deve ser interpretada apenas como uma
expressão que ajusta a simulação numérica aos dados
experimentais. Neste caso, apesar do bom ajuste obtido
para a cinética de secagem, apresentado na Figura 6,
as distribuições de umidade apresentadas na Figura 8
podem não representar as reais distribuições de umidade
no interior do produto.
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Simulação da cinética de secagem de sólidos de revolução usando o modelo da difusão e o método inverso
SILVA, W. P. et al.
Agradecimentos
10,0
Os autores agradecem à CAPES, FINEP e ao CNPq
o apoio financeiro, bem como aos autores referenciados
que, com suas pesquisas, contribuíram para o desenvolvimento deste trabalho.
Def x 106 (m2 h1)
8,0
Def =
6,0
3,4447 x 105
cosh(5,0054 M1/2)
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4,0
2,0
0,0
0,0
0,8
1,6
2,4
3,2
4,0
M (bs, decimal)
Figura 7. Difusividade efetiva em função do teor de umidade.
3,2]
c
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do teor de umidade nos instantes: a) t = 12,0 h; b) t = 30,1 h;
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b
a
4 Conclusões
Um maior número de parâmetros de ajuste
deve melhorar o resultado simulado para a cinética de
secagem. Mas o objetivo deste artigo tem outro foco: em
algumas situações físicas, como a que foi apresentada, a
difusividade constante não é adequada para descrever a
cinética de secagem. Assim, se a condição de contorno
do primeiro tipo for aceita para descrever o processo,
seria necessário propor um outro modelo para a difusividade, diferente daquele supondo Def constante. Neste
outro modelo, a difusividade deveria aumentar quando
o teor de umidade diminui. Conforme foi mostrado, a
escolha adequada de uma função decrescente para a
difusividade, com relação ao teor de umidade, produz
resultados melhores para a cinética de secagem que
aqueles pressupondo difusividade constante.
O otimizador desenvolvido para ser acoplado
na solução numérica da equação de difusão, baseado
no método inverso, funcionou de forma adequada na
determinação dos parâmetros da expressão para a
difusividade.
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