Comentário: Lista 2
Questão 5
Enunciado
A equação
3x + k − 5 = kx − k + 1
(1)
é na verdade uma família de equações pois, para cada valor de k, obtemos uma
equação diferente com a variável x. A letra k é chamada de parâmetro dessa
família de equações. Qual deve ser o valor de k para que o valor dado de x seja
uma solução da equação?
a) x = 0
b) x = 1
c) x = 2
Solução
Como o que nos interessa é o valor de k que resolve a equação para cada dado
valor de x, podemos isolar a variável k:
3x + k − 5 = kx − k + 1
3x − kx + 2k − 6 = 0
(2 − x)k + 3x − 6 = 0
(2 − x)k = −3x + 6
(2 − x)k = 3(2 − x)
O próximo passo para isolar k seria dividir ambos os lados por (2 − x). O problema é que isso coloca uma restrição no domínio (x 6= 2) que não existe na
equação original. Com isso, não necessariamente a equação
k=3
2−x
2−x
1
(2)
é equivalente à equação (1). Devemos, então, prestar atenção ao caso especial
x = 2, que pode ser solução da equação (1), mas que não vai aparecer por este
processo.
Se x 6= 2, podemos fazer a divisão para obter a equação 2 e prosseguir normalmente:
k=3
2−x
2−x
(x 6= 2)
(x 6= 2)
k=3
e, portanto, k = 3 tanto para x = 0 (item a) quanto para x = 1 (item b).
No caso de x = 2 (item c), o que ocorre ao substituirmos diretamente na (1)
é uma identidade trivial, ou seja, 0 = 0, e não é possível obter uma solução para
k.
Entretanto, podemos tentar isolar a variável x para encontrar uma solução
em função de k:
3x + k − 5 = kx − k + 1
3x − kx + 2k − 6 = 0
(3 − k)x + 2k − 6 = 0
(3 − k)x = 6 − 2k
(3 − k)x = 2(3 − k)
3−k
x=2
3−k
x=2
(k 6= 3)
(k 6= 3)
Então, para que tenhamos x = 2 como solução, basta termos k 6= 3.
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