Problemas de Mecânica e Ondas – 11
P. 11.1 (“Exercícios de Física”, A. Noronha, P. Brogueira)
Dois carros com igual massa
movem-se sem atrito sobre uma
mesa horizontal (ver figura). Estão
ligados por uma mola de constante
de restituição k comprimento 0 e
massa
desprezável
(em
comparação com a massa dos
carros). No instante inicial, o carro
1 desloca-se com velocidade v0 e o
carro 2 está parado.
a) Determine a velocidade do centro de massa. Qual o movimento do centro de massa?
b) Escreva as equações do movimento a partir das equações de Newton.
c) Como varia a posição de cada carro em função do tempo em relação ao referencial do
centro de massa? Qual a frequência do movimento?
d) Como varia a posição e o momento linear de cada carro em função do tempo em
relação ao referencial do laboratório?
e) Escreva o lagrangeano do sistema no referencial do laboratório e obtenha as equações
do movimento.
f) Escreva o lagrangeano do sistema no referencial do laboratório e obtenha as equações
do movimento usando como coordenadas generalizadas a distância entre os dois
carrinhos
e a posição do centro de massa,
. Compare com os
resultados das alíneas anteriores.
P. 11.2. (“Exercícios de Física”, A. Noronha, P. Brogueira)
A figura representa um pêndulo cujo ponto de
suspensão se move sem atrito sobre uma linha recta.
A massa do bloco onde o pêndulo está suspenso é
desprezável em relação a m e o fio é inextensível (m =
1kg e  = 1m).
a) Supondo que o movimento do bloco onde o
pêndulo está suspenso é descrito por uma função
conhecida, quantos graus
de liberdade tem o sistema? Escreva o lagrangeano e as equações do movimento do
corpo de massa m.
b) Particularize para
com
-
(ponto de suspensão movendo-se com
aceleração constante). Determine a posição de equilíbrio e resolva a equação para
pequenas oscilações.
c) Particularize para
(ponto de suspensão oscilando no tempo) e
apresente a solução da equação do movimento para pequenas oscilações. Esboce
como varia a amplitude e o desfasamento em função dos parâmetros do sistema e da
frequência exterior.
P. 11.3. (“Introdução à Física”, J. Dias de Deus et al.)
Uma nave, cujo comprimento em repouso é de 60 m, afasta-se de um observador na Terra (ver
figura). A sua velocidade poderá ser determinada enviando um sinal luminoso da Terra que é
reflectido de volta por dois espelhos colocados em cada uma das extremidades da nave.
Começa-se por receber o sinal resposta (1), resultante da reflexão no espelho mais próximo do
observador na Terra, seguido por um segundo sinal resposta (2) resultante da reflexão no
espelho mais afastado. O segundo sinal é recebido pelo observador na Terra 1,74 s depois da
recepção do primeiro.
a) A diferença de percurso entre o raio (2) e o raio (1) é igual ou diferente do dobro do
comprimento da nave para o observador da nave? E para o observador da Terra?
b) Qual é a velocidade da nave?
c) A nave transporta um laboratório de Física onde se produzem mesões que se
deslocam com uma velocidade de 0,999c em relação a esta. Qual a velocidade destes
mesões em relação a um laboratório na Terra?
d) Se tivesse usado a lei clássica de adição das velocidades, quanto obteria na alínea c)?
Acha isso possível?
P. 11.4. (“Introdução à Física”, J. Dias de Deus et al.)
No LEP (CERN em Genebra) são acelerados electrões que atingem um momento linear de cerca
de 100GeV/c (1GeV/c=5,34x10-19kg.m.s-1). Os electrões são acelerados utilizando campos
eléctricos e campos magnéticos com uma intensidade de 0,1 Tesla. O raio de curvatura em
função da intensidade do campo magnético B é dado por
em que p é o módulo do
momento linear de uma partícula e q é a carga respectiva.
a) A que fracção da velocidade da luz se deslocam esses electrões? Qual a sua energia?
b) Poderá utilizar a expressão clássica
para a energia cinética? Qual a razão entre
, sendo o valor real da energia calculado em a), e o valor obtido por essa
expressão clássica?
c) Se o momento linear fosse dado pela expressão clássica,
, qual seria o raio de
curvatura do LEP? Compare com o valor real
(note que o acelerador não é
rigorosamente circular incluindo troços lineares, perfazendo efectivamente um
diâmetro total muito maior de cerca de 8,5 km).
P. 11.5. (“Introdução à Física”, J. Dias de Deus et al.)
Um electrão e um positrão animados com uma velocidade de 0,99c colidem frontalmente.
a) Pode obter-se como produto desta reacção um par protão antiprotão?
b) O electrão e o positrão (antipartícula do electrão) podem chocar dando origem a dois
fotões (aniquilação). Qual é a energia de cada um dos fotões, supondo que o par
electrão-positrão tem a energia dada na alínea a)?
c) Qual é a massa inicial e final dos intervenientes no choque da alínea b)? (note que o
fotão é uma partícula sem massa). Há conservação da massa em relatividade?
P. 11.6. (“Exercícios de Física”, A. Noronha, P. Brogueira)
A descoberta da partícula J/ em 1974 foi uma autêntica revolução na Física de Partículas,
com a confirmação do modelo de quarks. O J/ tem uma massa de aproximadamente
6,6x1027 kg e um tempo de vida de cerca de 5x1020 s (no seu referencial próprio). Considere
um J/que no laboratório tem uma velocidade tal que
.
a)
Calcule, no laboratório, o momento linear e a energia desse J/ Compare com os
valores obtidos no referencial do centro de massa do J/
b) Determine no laboratório, a distância percorrida por esse J/ antes de decair.
c) Suponha que o J/decai num par electrão e positrão (semelhante ao electrão com
carga positiva). Que fracção da massa do J/desaparece no decaímento? Porquê?.
d) Determine, no referencial do centro de massa do J/, o momento linear do electrão
resultante do decaimento referido na alínea c). Para os cálculos, repare que as
energias associadas à massa do electrão e do positrão são muito menores que as
outras energias em jogo.
P. 11.7. (“Exercícios de Física”, A. Noronha, P. Brogueira)
No Sol, milhares de toneladas de hidrogénio são convertidas, por segundo, através de reacções
de fusão nuclear, em hélio, protões e energia. Uma dessas reacções envolve dois núcleos de
3
He (dois protões e um neutrão), dando origem a dois núcleos de Hélio e dois de hidrogénio.
a) Sabendo que as massas do
respectivamente
do
e do
são,
calcule a energia libertada pela fusão de cada par de núcleos de
em repouso.
b) Suponha que, inicialmente, dois núcleos de
se dirigem com uma velocidade de
módulo 0,5c em relação ao respectivo centro de massa e que, depois da reacção, a
velocidade de recuo do
formado é de 0,3c. Qual a energia máxima transportada
pelos dois núcleos de hidrogénio produzidos na reacção, em relação ao referencial do
centro de massa.
c) Calcule o módulo do momento linear de cada um dos átomos de hidrogénio (suponha
que o choque não é frontal e que estes seguem com momentos de igual módulo).
d) Com que ângulos são emitidos os dois átomos de hidrogénio em relação à direcção de
recuo do
. (ver figura)
Soluções:
P. 11.1.
a)
; como não há forças exteriores aplicadas (a
força elástica da mola é interna ao sistema) a velocidade do centro de massa mantém-se constante:
b)
note que, no caso de , quando o comprimento da mola (
) é maior que o comprimento
natural da mesma,
, a força
tem o sentido positivo do eixo dos xx. No caso de
, a força
tem o sentido contrário.
c)
Com
Subtraindo a 1ª equação da 2ª equação da alínea b) obtemos:
equação do tipo:
Com
(alongamento da mola);
:
(frequência angular de oscilação do sistema) e
, massa reduzida do sistema.
Solução da equação para o movimento relativo ao CM:
As constantes A e podem ser determinadas a partir das condições iniciais:
A partir das expressões de
e
obtemos
e a partir das condições iniciais temos:
solução:
d)
(solução em coseno) e
(nota: como não podia deixar de ser verificam-se as condições iniciais:
e)
f)
Com
(as restantes variáveis têm os significados atribuídos nas alíneas anteriores)
A partir das equações de Euler-Lagrange para as variáveis
e obtém-se as equações do
movimento:
A primeira destas equações descreve, como vimos, o movimento relativo dos carrinhos em torno do
centro de massa. A segunda implica para a velocidade do centro do massa:
.
P. 11.2.
a)
b) Para pequenas oscilações
movimento será:
Para o caso
obtemos
e
, nestas condições a equação diferencial do
, logo
Verifica-se que a solução desta equação é dada pela soma da solução geral da equação
homogénea:
com uma solução particular da equação completa
A solução geral da equação homogénea é:
com constante é solução da equação completa como facilmente se verifica substituindo na
equação. Deste modo obtemos:
A solução geral será então:
que corresponde a oscilações em torno do ponto de equilíbrio
.
Note-se que o ponto de equilíbrio corresponde ao afastamento do pêndulo resultante da força de
inércia associada ao movimento uniformemente acelerado do referencial do carrinho (e do
pêndulo). De facto, o ponto de equilíbrio corresponde à situação em que a componente tangencial
da força de inércia e a componente tangencial do peso de anulam ou seja quando:
Para pequenas oscilações (
e
) obtemos
.
c)
Sustituindo na equação e considerando o caso de pequenas oscilações obtemos:
Note-se que este caso corresponde a excitar o pêndulo com uma força exterior oscilante com
frequência angular
. A solução corresponde à soma da solução oscilante associada ao regime
livre (segundo membro da equação nulo) com a solução associada ao regime forçado:
e
são determinados pelas condições iniciais, e (de acordo com o resultado obtido na aula
teórica para oscilações forçadas),
Neste caso,
termo
(movimento não amortecido) e a amplitude da aceleração,
na equação deste problema logo temos:
, corresponde ao
P. 11.3.
a)
Diferença de percurso entre os dois raios de luz no referencial da nave:
.
( é o comprimento da nave no referencial da nave – “referencial próprio”).
No referencial da Terra:
, porque, quando o raio é reflectido no 2º espelho, a nave
deslocou-se de uma distância (adicional)
no referencial da Terra.
b)
(a relação entre o comprimento da nave no referencial da Terra, , e no
referencial próprio
c)
corresponde ao fenómeno de “contracção do espaço”).
Velocidade da nave (relativa ao referencial da Terra):
nave
; velocidade da partícula no referencial da
Velocidade da partícula no referencial da Terra:
d)
; Impossível.
P. 11.4.
a)
;
b)
(!!!)
c)
P 11.5.
a) Não é possível a produção do par:
b)
c)
;
; não.
P. 11.6.
a)
No referencial do laboratório
No referencial do centro de massa (referencial próprio do J/):
b) Tempo de vida do J/no referencial do laboratório:
c)
Massa inicial:
Massa final:
Fracção da massa do J/ que “desaparece” no decaímento (transformada em energia):
d) No referencial próprio do J/referencial do centro de massa) o electrão e o positrão têm
momentos lineares de módulo idêntico e sinais contrários.
Ainda neste referencial da conservação da energia resulta:
Como a parte da energia dos electrões associada à massa é muito menor que a parte associada ao
momento linear (verificar!), temos:
Utilizando o valor de
obtido na alínea a) , temos:
P. 11.7.
a)
b) No referencial do centro de massa
c)
Se cada protão tiver momento com igual módulo, e atendendo à expressão
Conclui-se que cada um dos protões terá a mesma energia:
Resolvendo a equação anterior em ordem a p, temos:
-
d) Nas condições dadas no enunciado temos
(uma vez que os momentos dos núcleos de
hidrogénio têm momentos lineares com o mesmo módulo, no referencial do centro de massa).
Com
dado na alínea anterior.