Análise Matemática IV
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LEA LEN LEMAT LEM
1 Semestre de 2006/07
Problemas para a aula prática
8a Semana
1. Considere o seguinte problema de valor inicial:

dy

4yt + 2t + 2t + 2t sen y + (2 + cos y)
=0
dt
y(0) = 0 .
Determine uma equação que define implicitamente a solução y(t) e mostre que o intervalo de definição desta solução é R.
2. Determine a solução dos seguintes problemas de valor inicial indicando o intervalo
máximo onde essa solução está definida.
a) ty + 1 + 2t yy = 0, y(1) = −2.
b) y − 2t + [2ty + t log(t)] y = 0, y(1) = 2.
3. Considere a equação:
1
dy
y ( + log x) + 2y log x
= 0.
x
dx
Verifique que a equação tem um factor integrante da forma µ = µ(x) e determine-o.
Obtenha explicitamente a solução da equação que verifica a condição inicial y(e) = −1,
e determine o seu intervalo máximo de definição.
4. A equação diferencial
dy
=0
dt
admite um factor de integração da forma µ(t + y), ou seja, um factor µ que só depende
da soma das variáveis t + y. Determine-o e dê a solução da equação com y(0) = 0.
ch y + (e
+e )
sugestão: A equação diferencial que µ = µ(t + y) satisfaz pode ser escrita em termos
de uma só variável v = t + y.
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5. Resolva a equação y + y = e y . Sugestão: faça a mudança de variável y = 1/u.
6. Determine a solução geral da equação ty = (1 + t)y + y . Sugestão: faça a mudança
de variável y = tv.
7. Suponha que temos uma equação diferencial da forma ( a = 0)
dy
= f (ay + bt + c) ,
dt
dy
como, por exemplo, a equação
= sen(y + 2t + 3). Como o segundo membro da
dt
equação depende apenas de ay + bt + c, é natural fazer a substituição v = ay + bt + c,
v − bt − c
ou seja, y =
.
a
dy
Mostre que esta substituição transforma
= f (ay + bt + c) na equação equivalente
dt
dv
= af (v) + b ,
dt
que é separável. Aproveite este resultado para resolver a seguinte equação diferencial:
dy
= − (t + y) + 1 arctg (t + y) − 1 .
dt
8. Resolva o seguinte problema de valor inicial, indicando o intervalo máximo de definição
da solução:
e sen t
− y, com y (0) = π.
y =
4 cos (y e )
Sugestão: faça a mudança de variável y = e u.
9. Determine a solução geral das seguintes equações homogéneas:
dy
= 3y − t .
dt
dy
t+y
b)
=
.
dt
t−y
a) 2 t y
10. Para cada uma das seguintes equações diferenciais, esboce o campo de direcções e trace
os respectivos tipos de soluções.
a) y = t − y .
b) y = (2 − y) (y − 1).
c) y = sen(y − t)
ty
d) y =
1+t