EQUAÇÃO EQÜIDIMENCIONAL DE EULERCAUCHY
Fernando Tiago Nascimento Medeiros1, Tiago Cavalcante de Barros2 e Márcia Pragana Dantas3

Introdução
Uma equação eqüidimencional de Euler-Cauchy é
uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear da
forma:
Onde n é um número natural que fornece a ordem da
equação - a ordem de uma equação diferencial é a
ordem da maior derivada na equação - se an é não nulo
e os ak são números reais (k=0,1,2,...,n).
Trataremos, no entanto, das equações de EulerCauchy Homogêneas, isto é, g(x) = 0. Para a solução
das equações Não-Homogêneas é necessário utilizar o
método da variação dos parâmetros.
Tais equações têm importância, sobretudo, nas
resoluções das Equações Diferenciais Parciais (EDP)
de Laplace de segunda ordem sobre regiões circulares.
Não obstante, a importância de ramos da matemática
pura para a sociedade como um todo já foi provada em
diversos momentos da história da matemática, tais qual
o desenvolvimento de uma base de numeração binária,
pois o matemático indiano Pingala apresentou a
primeira descrição conhecida de um sistema numérico
binário no século III a.C, que veio a ser utilizada na
atualidade em teoria da computação.
Sem perca de generalidade, abordaremos os casos
em que n=2 [1], segue, pois, que a equação trabalhada
terá a seguinte forma:
x²y'' + axy' + by = 0.
Dessa forma, neste trabalho, iremos buscar a solução
geral da equação de Euler-Cauchy.
Material e métodos
Enunciaremos os conceitos necessários ao
desenvolvimento desse trabalho de acordo com
Figueredo & Neves [1].
A. Equações lineares homogêneas de segunda ordem
com coeficientes constantes:
y’’ + py’ + qy = 0 (1) ; com p e q constantes.
O método de resolução consiste em buscar soluções
de (1) da forma:
. Onde λ é um parâmetro a
determinar, então basta levarmos x(t) a (1), temos:
.
Dividindo por

:
λ2 + p λ + q = 0.(2)
A equação (2) é conhecida como a equação
característica.
Portanto, se escolhermos r igual as soluções de (2),
as funções
correspondentes são soluções de (1).
Note que há três casos a considerar, dependendo do
sinal do determinante p2 - 4q.
O que interessa nesse trabalho é saber que as
soluções de todos os casos citados são Linearmente
Independentes (Pois o Wronskiano é diferente de zero),
Figueredo & Neves [1].
B. Método da Redução de Ordem:
Dada uma solução
diferencial.
y’’ +p(t)y’+ q(t)y=0
da equação
Onde
são funções contínuas, o
método de redução de ordem consiste em buscar uma
segunda solução na forma:
Onde u(t) é uma função a determinar. Substituindo y
por
na equação acima obtemos, com v=u’, que:
Que é uma equação linear de primeira ordem, onde
estamos supondo que
; caso não o seja, temos
que quebrar a equação em várias. Continuando temos:
, com c constante.
Como u’=v temos:
.
E assim uma segunda solução seria:
.
Resultados e Discussão
Se
é solução da equação de Euler-Cauchy,
pelo método dos coeficientes a determinar, temos que:
Substituindo na equação de Euler-Cauchy:
.
1. Fernando Tiago Nascimento Medeiros é Aluno do Curso de Licenciatura em Matemática do Departamento de Matemática, Universidade
Federal Rural de Pernambuco. Rua Dom Manoel de Medeiros, s/n, Dois Irmãos, Recife, PE, CEP 52171-900. E-mail: [email protected].
2. Tiago Cavalcante de Barros é Aluno do Curso de Licenciatura em Matemática do Departamento de Matemática, Universidade Federal Rural de
Pernambuco. Rua Dom Manoel de Medeiros, s/n, Dois Irmãos, Recife, PE, CEP 52171-900. E-mail: [email protected].
3. Márcia Pragana Dantas é Profª Associado I do Departamento de Matemática da Universidade Federal Rural de Pernambuco -UFRPE. R.
Manoel de Medeiros s/nº,Dois Irmãos, Recife - PE,CEP 52171-900. E-mail: [email protected].
Dividindo por
:
.
(3).
Observe, agora, que existem três casos para a
solução da equação (3). Que refletem no discriminante:
.
Primeiro caso: (
, duas raízes reais distintas)
Sejam r e s raízes da equação (3), com efeito,
são soluções da EDO de EulerCauchy. Assim a solução geral será:
Tais
soluções
independentes;
Segundo caso: (
2).
Dado y1 =
são,
.
portanto,
linearmente
, uma raiz real de multiplicidade
, onde
Terceiro caso: (
Se m =
então:
Tomaremos, apenas, a parte real de nossa equação,
com efeito:
E a solução geral:
Note que tudo que mostramos até agora foi partindo
é solução da equação x²y'' +
da hipótese de que
axy' + by = 0, com λ sendo solução de
, agora devemos mostrar a recíproca,
ou seja, se λ é solução de
, então é
solução de x²y'' + axy' + by = 0
Para tanto partiremos da equação x²y'' + axy' + by
= 0. Vamos fazer uma mudança de variável:
, com efeito, temos que:
Pelo método da redução de ordem, iremos procurar
outra raiz linearmente independente em relação à
primeira, para tanto iremos buscar u(x) tal que:
.
Segue então que:
y = u.y1 e y' = u.y1' + u'.y1
e mais y''=u.y1''+2u'.y1' +u''.y1
Substituindo na EDO ( de Euler-Cauchy), obtemos:
x²y'' = u(x²y1'') + 2x²u'y1'+ x²u''y1.
axy' = u(axy1') + axu'y1.
by = u(by1).
Note que ao somar a coluna da esquerda é 0 pois y é
solução da EDO, mas na coluna da direita os termos
destacados em parêntese somados, também são iguais a
zero, pois y1 é solução da EDO. Com efeito:
0 = 2x²u'y1'+ x²u''y1 + axu'y1 (4)
Lembrando que y1 =
Substituindo em (4):
E a solução geral:
e
.
Fazendo a substituição:
y'' + (a – 1) y' + by = 0, isto é, uma equação
diferencial de coeficientes constantes, assim, tem como
solução o polinômio característico:
.
Agradecimentos
Os autores agradecem aos que colaboraram,
professores e amigos, em particular a professora
Márcia, que sem seu trabalho de incentivo e orientação
não poderíamos apresentar esse trabalho, aos nossos
pais por superar os sonhadores na certeza de realização
de seus sonhos.
Referências
Manipulando convenientemente:
u' + xu'' = 0
Fazendo U=u' obtemos a solução da EDO acima.
u(x) = lnx.
Com efeito: y2 =
, nenhuma raiz real)
lnx ;
(C2 + C1 lnx)
[1] Figueiredo, D. G. & Neves, A. F., 1997.
Equações
Diferenciais
Aplicadas. Coleção
Matemática Universitária. Rio de Janeiro, IMPA.
[2] Boyce, W. & DiPrima, 2000. Equações
Diferenciais
[3] Stewart, James, 2006. Calculo Volume I
[4] Stewart, James, 2006. Calculo Volume I