1. A equação para o MHS
Quando o movimento de um corpo descreve uma trajetória, e a partir de um certo
instante começa a repetir esta trajetória, dizemos que esse movimento é periódico. O
tempo que o corpo gasta para voltar a percorrer os mesmos pontos da trajetória é
chamado de período.
No nosso cotidiano existem inúmeros exemplos de movimento periódico, tais como
o pêndulo de um relógio ou um sistema massa - mola, quando um desses conjuntos
descrevem um vai e vem em torno das suas posições de equilíbrio.
Considerando um sistema massa - mola que obedeça à Lei de Hooke e supondo
que a resultante das forças que atuam na massa é a força restauradora da mola,
encontramos que:
F = ma = −m w 2 x
Mas
F=-kx
d2x
F = m 2 = −k x
dt
ou seja:
d2x  k 
+  x = 0
dt2 m
ou ainda:
d2x
k
+ w 2x = 0
onde
w =
2
dt
m
A solução mais geral da equação anterior tem a forma:
x( t ) = Ae αt
onde A e α são constantes a determinar. Usando a solução, encontramos:
 dx
= Aα e αt

dt


d 2 x
2
αt
 2 = Aα e
d t
Aplicando estes resultados na equação do MHS, temos que:
A α 2 e αt + w 2 Aeαt = 0
ou ainda:
Ae αt (α 2 + w 2 ) = 0
Como A e α são diferentes de zero, em princípio, a única forma da equação
acima se anular será quando:
α 2 + w 2 = 0 ∴ α 2 = −w 2 ⇒ α = ± i w
A solução da equação do MHS toma, então, a forma:
x( t ) = A1 e + iαt + A2 e − iαt
A solução da equação do MHS poderá tomar outra forma se redefinirmos as
constantes A1 e A2 , da seguinte forma:
O modelo e suas equações
1

+ iϕ
 A1 = 2 x M e



1
− iϕ
 A2 = x M e
2

1
1
x( t ) = x M e + i (wt + ϕ ) + x M e − i (wt +ϕ )
2
2
Considerando a fórmula de De Moivre:
1
e iθ = cos θ + i senθ ⇒ cos θ = (e + iθ + e − iθ )
2
temos que:
x( t ) = x M cos(wt + ϕ )
2. MHS amortecido
Em diversas situações do nosso cotidiano, os movimentos oscilatórios têm uma
duração finita, eles têm um começo e um fim. Não ficam se movendo no ir e vir de modo
indefinido. Isso acontece, basicamente, devido a atuação de forças dissipativas tais como
as forças de atrito.
Em uma situação simples as forças dissipativas podem ser representadas por uma
função que depende linearmente da velocidade.
Vamos considerar um sistema composto de uma mola de constante elástica k
com uma das extremidades presa ao teto e a outra suspendendo um corpo de massa m .
Nesse corpo está presa uma haste vertical que tem a sua outra extremidade presa a um
anteparo que está mergulhado em um líquido. Quando o anteparo se move no líquido
esse movimento é amortecido por uma força que surge devido à viscosidade do líquido.
Essa força dissipativa pode ser descrita por uma equação do tipo:
FA = - b v
onde b é chamado de constante de amortecimento. A resultante das forças que atuam
no corpo de massa m é dada por:
F=- k x-bv
ou seja:
ma=- k x-bv
A forma diferencial da equação anterior é:
m
d 2x
dx
= −kx − b
2
dt
dt
ou
d2x  b d x
+ 
+ w 02 x = 0
2
dt
m d t
onde
k
m
A solução da equação diferencial anterior tem a forma:
w0 =
x(t) = A e αt
Romero Tavares - 2004
2
O modelo e suas equações
onde A e α são constantes a serem determinadas. Aplicando essa forma na equação
diferencial encontramos que:
b
2 αt
αt
2
αt
Aα e +   Aαe + w 0 Ae = 0
m
ou seja:


b
Ae αt α 2 +  α + w 02  = 0
m


Como Ae αt ≠ 0 , teremos então que:
b
2
2
α +  α + w 0 = 0
m
 
cujas soluções são:
2
−
α=
b
b
±   − 4w 02
m
m
2
ou ainda:
2
α=−
b
 b 
2
± 
 − w0
2m
 2m 
Vamos considerar inicialmente que o movimento é sub-amortecido :
 b 
w >

 2m 
2
2
0
e definir:
 b 
wA = w −

 2m 
2
2
0
logo:
α=−
b
±i wA
2m
A função x(t) terá, então, a forma:
x( t ) = A1e
−
bt
2m
+ iw A t
+ A2 e
−
bt
2m
− iw A t
ou seja:
x( t ) = (A1 e + iw t + A2 e − iw
A
At
)e
−
bt
2m
e usando uma transformação equivalente àquela do MHS, temos que:
x( t ) = x M e
− bt 2 m
cos(w A t + ϕ )
Romero Tavares - 2004
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O modelo e suas equações
A equação da posição em função do
tempo tem a forma da curva da figura ao
lado. Ela é um cosseno multiplicado por
uma expone ncial, e o resultado é um
cosseno cuja amplitude de oscilação vai
diminuindo à medida que as oscilações se
processam.
Um exemplo típico dessa situação é a
porta dos saloons dos filmes de bang-bang.
Quando alguém passa pela porta ela inicia
a oscilação com uma grande amplitude, que
vai diminuindo com o tempo.
Quando supomos que o movimento é super-amortecido , temos que:
 b 
w <

 2m 
2
2
0
temos
2
 b 
2
wB = 
 −w0
 2m 
e o parâmetro α agora tem a forma:
b
α=−
± wB
2m
e a partir dele encontramos a equação da posição em função do tempo:
x( t ) = (A1 e + w t + A2 e − w
ou, se redefinirmos as constantes:
B
Bt
)e
−
bt
2m
x( t ) = x M e 2 m cosh(w B t + ϕ )
A equação da posição em função do
tempo tem a forma da curva da figura ao
lado. Ela é um cosseno hiperbólico
multiplicado por uma exponencial, e o
resultado é um decréscimo monotônico da
amplitude.
− bt
Na realidade não chega a acontecer
nenhuma oscilação, e à medida que o
tempo evolui , a amplitude de oscilação vai
ficando sempre menor.
Um exemplo típico dessa situação é a
porta dos escritórios. Quando alguém passa
pela porta ela inicia a um movimento em
direção ao repouso na posição de equilíbrio.
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O modelo e suas equações
3. A equação da onda e sua solução
A equação diferencial que descreve uma onda viajando em uma dimensão, tem a
forma
∂ 2 u 1 ∂ 2u
−
=0
∂x 2 v 2 ∂t 2
descreve o deslocamento de um elemento de massa da sua
onde a função u(x,t)
posição de equilíbrio.
Se considerarmos uma corda esticada horizontalmente, u(x,t) nos indica o quanto
o elemento de corda da posição x se deslocou da posição horizontal de equilíbrio no
instante t .
Corda onde seta se propagando
uma onda. No instante inicial
o sexto “pedaço” de corda localizado
na posição x está sem
deslocamento vertical
No instante t o “sexto” “pedaço”
de corda deslocou-se verticalmente
de u(x,t) da posição original.
Se considerarmos uma onda se propagando em um tubo que contém ar, a função
u(x,t) nos indica o quanto o elemento de volume que se encontrava na posição x se
deslocou no instante t . Os deslocamentos dos elementos de volume do ar no tubo
propiciam a propagação da onda.
Tubo no instante inicial, sem
perturbação. O “quinto” elemento
de volume está na posição x
No instante t o “quinto” elemento
de volume deslocou-se de u(x,t)
da posição original.
E finalmente, v é a velocidade de propagação da onda no meio. Podemos mostrar
que a função
u(x,t) = f(x-vt)
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O modelo e suas equações
é uma solução da equação diferencial, não importa a forma de f , mas é impositivo a
forma que as variáveis se relacionam. Podemos mostrar essa relação diretamente,
através da equação diferencial, se consideramos uma outra variável:
s = x-vt
 ∂u ∂f  df  ∂s df
=
= 
=

∂
x
∂
x
ds
∂
x
ds




 ∂ 2 u ∂ 2 f  d 2 f  ∂s d 2 f
=
 2 = 2 =  2 
2
 ∂x
∂x
 ds  ∂x ds
e de modo equivalente

∂u ∂f  df  ∂s
df
=
= 
= −v

∂t ∂t  ds  ∂t
ds


2
 ∂ 2u ∂ 2f
 d 2 f  ∂s
2 d f
=
=
−
v


=
v
 2
 ds 2  ∂t
 ∂t
∂t 2
ds 2


Usando esses resultados na equação diferencial da onda, encontramos que:
 d 2f  1  2 d 2f 
 ds 2  − v 2 v ds 2  = 0




De maneira similar, podemos mostrar que a função
u(x,t) = g(x+vt)
também é uma solução da equação diferencial. É possível mostrar que a solução geral da
equação diferencial da onda tem a forma:
u(x,t) = f(x-vt) + g(x+vt)
onde o primeiro termo da direita representa uma onda viajando no sentido positivo do eixo
x enquanto o segundo termo da direita representa uma onda viajando no sentido negativo
do eixo x.
Para resolver a equação diferencial va mos considerar que a solução é do tipo:
u(x,t) = X(x) T(t)
ou seja, que as variáveis x e t são separáveis. Teremos então que:




1
 2
v
∂ 2u
d2 X
= T (t )
∂x 2
dx 2
∂ 2u
1 d 2T
= X( x ) 2
∂t 2
v dt 2
e portanto
Romero Tavares - 2004
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O modelo e suas equações
T( t )
d2X
1 d 2T
−
X
(
x
)
=0
dx 2
v 2 dt 2
ou seja:
1 d2 X
1 d 2T
= 2
= −k 2
2
2
X dx
v T dt
Como as funções são independentes, consideramos que os termos equivalentes
deveriam ser iguais a uma constante, e arbitramos essa constante como sendo - k2 .
Arrumando as equações de maneira adequada, encontramos que:
 d2X
 dx 2 + kX = 0


 d 2T
2
 2 +w T = 0
 dt
onde usamos que w = kv.
As soluções mais gerais destas equações são do tipo:
 X ( x ) = A1e ikx + A2 e − ikx


 T ( t ) = B e iwt + B e −iwt
1
2

No entanto, vamos considerar um caso particular:
[
]
[
]
 X ( x ) = A e ikx − e − ikx


 T ( t ) = B e iwt + e −iwt

e desse modo encontramos que:
{[
] [
u( x , t ) = X ( x )T ( t ) = AB e i (kx −wt ) − e − i (kx−wt ) + e i ( kx+wt ) − e − i (kx +wt )
]}
ou seja:
u(x,t) = C sen(kx- wt) + C sen(kx+wt)
Se estivermos considerando apenas uma onda viajando no sentido positivo do eixo x,
teremos:
u(x,t) = C sen(kx- wt)
Romero Tavares - 2004
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