Métodos de Física Teórica II
Prof. Henrique Boschi
IF - UFRJ
1º. semestre de 2010
Aulas 3 e 4
Ref. Butkov, cap. 8, seção 8.3
Equações de Poisson e Laplace
• Vimos na aula passada o método de
separação de variáveis aplicado ao caso da
equação da onda na corda, que é um
problema essencialmente bidimensional.
• Veremos, agora, como surgem EDP em
problemas tridimensionais.
• Vamos iniciar essa discussão estudando o caso
do potencial eletrostático.
• Vamos recordar uma das equações de
Maxwell (Lei de Faraday, unidades SI)
Portanto, no caso estático, o termo do campo
magnético H se anula, implicando em:
onde E nesta equação corresponde ao campo
eletrostático, ou seja, o campo elétrico
independente do tempo.
Todo campo de rotacional nulo pode ser escrito
como o gradiente de uma função escalar.
No caso do campo eletrostático essa função
escalar é chamada de potencial eletrostático
φ e relação entre eles é definida como
(o sinal é convencional)
Vamos, agora, lembrar de outra equação de
Maxwell (Lei de Gauss), para o vácuo:
• Substituindo a expressão do potencial φ
em termos do campo eletrostático E na Lei
de Gauss, encontramos
onde
é o operador Laplaciano.
• Em coordenadas Cartesianas, temos:
Portanto, o Laplaciano em coordenadas
Cartesianas é
Para uma revisão dos operadores grad, div, rot
e
, veja a seção 1.8 (cap. 1) do Butkov.
A equação obtida para o potencial eletrostático
é conhecida como equação de Poisson.
Em geral, a equação de Poisson é do tipo
onde r = (x, y, z) é o vetor posição.
O caso particular em que
, ou seja,
é a chamada equação de Laplace.
Essa é a equação para o potencial eletrostático na ausência de cargas, ou seja, ρ = 0 .
• As equações de Poisson e Laplace são muito
importantes na eletrostática, pois permitem
calcular o potencial φ, a partir do qual podese calcular o campo elétrico E.
• Exemplo: Equação de Laplace num
problema com simetria cilíndrica.
Considere um cilindro metálico
muito longo e oco, de raio a,
cortado ao meio ao longo de
seu eixo, formando duas calhas.
2a
As duas calhas são isoladas uma da outra,
mantendo a forma cilíndrica do conjunto.
As calhas são submetidas aos potenciais
+V e –V. Determine o potencial e o campo
elétricos dentro do cilindro.
• Solução
O problema envolve a equação de Laplace,
já que não há cargas dentro do cilindro.
Devido à simetria cilíndrica do problema, não é
conveniente usar as coordenadas Cartesianas,
mas sim as coordenadas cilíndricas (r, θ, z)
Seria fácil resolver a equação de Laplace em
coordenadas Cartesianas, porém seria difícil
ajustar essa solução às condições de contorno
do problema, que acompanham sua simetria.
Inicialmente vamos notar que, como o cilindro é
muito longo, a solução deve ser independente da
coordenada z, ou seja
Isto é, estamos desprezando os efeitos de
borda.
Além disso, note que o potencial deve satisfazer
às seguintes condições de contorno
Aplicando o divergente sobre o gradiente,
ambos em coordenadas cilíndricas, obtém-se o
operador Laplaciano nessas coordenadas
Para uma revisão desses operadores veja, p.
ex., o cap. 1 do Griffiths (eletro).
Para uma abordagem de sistemas de coordenadas curvilíneas gerais, veja a seção 1.9 do
Butkov.
Assim, a equação de Laplace a ser resolvida é
Como o potencial φ não depende de z , o último
termo da equação acima é identicamente nulo,
ou seja:
Para resolver esta equação, vamos usar o
método de separação de variáveis, aplicado
anteriormente ao problema da corda vibrante.
• Neste caso, vamos supor que
Desta forma, a EDP para r e θ reduz-se a duas
equações diferenciais ordinárias:
e
onde λ é a constante de separação de variáveis
a ser determinada.
• Temos, agora, que resolver cada uma dessas
EDOs.
Vamos começar pela equação para
, que
é a mais simples.
De fato, essa equação é idêntica a que resolvemos para a corda vibrante, tanto para x, como
para t.
Lá, as soluções poderiam ser exponenciais
reais, senos e cossenos, ou uma função linear,
dependendo se λ > , < ou = 0.
O que determina a forma da solução (e o sinal
de λ ) são as condições de contorno.
Quais são as condições de contorno para
A condição sobre
periódica, isto é
?
é que ela deve ser
Θ(θ+2π) = Θ(θ)
já que, após uma volta completa em θ , o potencial φ e a função
devem coincidir com
seus valores iniciais.
• Assim, a única solução admissível para
é uma combinação linear de senos e cossenos,
e portanto λ deve ser negativo, ou seja,
podemos escrever
, onde m é um
número real a ser determinado.
Logo, as soluções para
são
Porém, a condição de periodicidade, Θ(θ+2π)
= Θ(θ) , restringe os valores possíveis de m
para m = 0, 1, 2, 3, ... (zero inclusive).
OBS.: Note que a solução acima com m = 0
corresponde à
que é uma constante e, naturalmente, obedece
à condição de periodicidade.
A função periódica mais simples é uma função
constante!
Vamos, agora, estudar a solução da equação
radial, usando os valores de
,
encontrados na solução da equação angular:
Essa equação é conhecida como a equação
diferencial de Euler.
Ela pode ser resolvida por vários métodos,
como, por exemplo, o método de Frobenius.
Usando este método, para m ≠ 0, encontram-se
as soluções
e
cuja validade podemos verificar facilmente por
substituição direta na equação diferencial.
Para m = 0, as duas soluções acima reduzem-se a
uma constante. Para encontrar a segunda
solução, neste caso, pode-se usar o método de
Frobenius generalizado. Assim, encontram-se as
soluções
C = constante
e
Antes de considerar a solução completa para
vamos verificar se as soluções obtidas para R(r)
são fisicamente aceitáveis ou não.
A região no centro do cilindro dada por r = 0
não contém cargas, portanto o potencial φ
deve ser bem comportado lá.
Porém, as soluções
e
são
singulares em r = 0 e portanto não são
fisicamente aceitáveis.
Dessa forma, as soluções aceitáveis para R(r)
são
e
C = constante
regulares em r = 0. Combinando as soluções em
r e θ , e usando o princípio da superposição
encontramos,
Resta, agora, impor as condições de contorno
sobre essa solução.
A condição de contorno que a solução
encontrada deve satisfazer é
Fazendo r = a na solução encontrada, então,
impomos que
Logo, este é um problema típico de séries de
Fourier, onde queremos encontrar os coeficientes
=
e
=
dessa série.
Vamos lembrar que, para uma série de Fourier
da forma
os coeficientes
e
são dados por
Voltando ao nosso problema, note que a função
f(θ), correspondente à condição de contorno,
é uma função ímpar em θ . Logo, os coeficientes
A serão identicamente nulos:
Por outro lado, os coeficientes
___
são dados por
(m = 1, 2, 3, ...)
Calculando esta integral, encontramos
[_
______ ]|
Portanto, os termos com m = par são nulos,
enquanto os m = ímpares dão
(m = 1, 3, 5, ...)
Assim, a solução para o potencial eletrostático
fica
O campo elétrico E pode ser calculado a partir
deste resultado usando a relação