Segunda lista de exercícios
^ jni =
1. Um sistema de três partículas, cada uma com níveis de energia H
En jni, está na seguinte con…guração
1
j i = p (j1; 2; 3i + j2; 3; 1i + j3; 1; 2i) ;
3
jm; n; ki = jmi jni jki ; hi; j; kj m; n; oi =
im jn ko
:
(a) Qual a probabilidade da primeira partícula (o primeiro membro do
produto tensorial) estar no nível de energia E1 ?
(b) Numa medida veri…cou-se que a primeira partícula está no estado de
energia E2 . Depois desta medida, qual a probabilidade da segunda
partícula estar no nível de energia E3 ?
(c) Este é um estado emaranhado?
2. Um sistema de spin-1=2 está no estado:
j
0i
1
0
= j00i ; j0i =
:
(a) Qual é o estado do sistema após aplicar o operador de Hadamart H
na primeira partícula, i.e., calcule j 1 i onde
j
1i
(b) Qual o estado j
= (H
2i
I) j
0i
1
; H=p
2
1
1
1
1
:
do sistema após uma interação na forma
^ j 1i
j 2i = M
^ jA; Bi = jA; A
M
Bi
onde
1
1
0=0
1=0
(c) Qual (ou quais) dos estados j
ii
1=1
0=0
acima são (ou é emaranhado)?
3. Duas partículas de spin zero1 (i.e., spin inteiro) estão con…nados numa
caixa (unidimensional) de tamanho L (x 2 [ L; L]). Sabendo que as
partículas não interagem, i.e., seu hamiltoniano é da forma:
2
^ = p1
H
2m
I +I
p22
2m
onde p^i é o momento da i-ésima partícula, e que as partículas são indistinguíveis,
1 Em Teoria Quântica de Campos estas partículas são chamadas de bósons escalares, e.g,
o méson- e o hipotético bóson de Higgs
1
(a) Escreva a função de onda
de menor energia).
0
(x1 ; x2 ) do estado fundamental (estado
(b) Escreva a função de onda 1 (x1 ; x2 ) do primeiro estado excitado
(i.e., o primeiro estado com energia acima do fundamental).
(c) Repita os dois itens acima para o caso das partículas serem distinguíveis.
4. Duas partículas não interagentes com spin-1=2 e ambas com spin para
cima (j++i) estão sujeitos a um potencial do tipo oscilador harmônico
(i.e., a solução para cada partícula separadamente é a de um oscilador
harmônico).
(a) Se as partículas são distinguíveis, escreva a função de onda do estado fundamental deste sistema.
(b) Se as partículas são indistinguíveis, escreva a função de onda do
estado fundamental deste sistema.
2
Respostas
Atenção: É importante que, antes de olhar as respostas, você tente resolver
sozinho os exercícios. Caso contrário você estará se enganando e sua chance de
sucesso na prova será muito pequena.
1. (a) Resp: 1=3 (33,33%)
(b) Resp: 1 (100%).
(c) Resp: Sim! Ele não pode
P ser escrito como o produto tensorial de
três estados na forma n cn jni. Além disso, veri…ca-se (itens a e
b) que uma medida numa das partículas in‡uencia na medida das
demais.
2. (a) Resp:
j
1i
= (H
I) j
0i
= (H
1
1 1
1
=p
1
1
0
2
1
= p (j0i + j1i) j0i
2
1
= p (j00i + j10i)
2
I) j00i = H j0i
1
j0i = p
2
j0i
1
1
j0i
(b) Resp:
j
2i
^j
=M
1i
^ p1 (j00i + j10i)
=M
2
1
= p (j00i + j11i)
2
(c) Resp: Apenas o estado j
2 i.
3. (a) Resp: Estado de menor energia para uma partícula
E0+ =
~2
8m
2
L
=)
+
0
1
x
(x) = p cos
2L
L
:
Estado simétrico de menor energia para duas partículas
0
(x1 ; x2 ) =
+
0
(x1 )
+
0
0
(x1 ; x2 ) =
0
(x2 ; x1 ) :
(x2 ) =
1
cos
x1 cos
x2
L
2L
2L
(b) Resp: Primeiro estado excitado: Uma partícula no estado E0+ (estado fundamenta) e a outra no estado E1 (primeiro estado excitado)
2
2
~2
~2
; E1 =
; E0+ < E1
8m L
2m L
1
1
+
x ; 1 (x) = p sin
x
0 (x) = p cos
2L
L
L
L
E0+ =
3
Primeiro estado excitado simétrico
(x1 ; x2 ) =
1
1
(x2 ; x1 ) =)
1
1
(x1 ; x2 ) = p
2
+
0
(x1 )
1
(x2 ) +
+
0
(x2 )
1
(x1 ) ;
i
1 h
cos
x1 sin
x2 + cos
x2 sin
x1
(x1 ; x2 ) = p
2L
L
2L
L
2L
i
x1
1 h
sin
=p
+ x2
L 2
2L
1
(c) Resp:
0
+
0
(x1 ; x2 ) =
(x1 )
+
0
(x2 ) =
1
cos
x1 cos
x2
L
2L
2L
Este estado é naturalmente simétrico e, por isso, é o mesmo para o
caso das partículas serem indistinguíveis.
Para partículas distinguíveis existem in…nitos estados excitados com a mesma energia
1
0
1
00
1
(x1 ; x2 ) =
+
0
(x1 )
1
(x1 ; x2 ) =
+
0
(x2 )
1
(x1 ; x2 ) = c1
1
1
cos
x1 sin
x2
L
2L
L
1
(x1 ) = cos
x2 sin
x1
L
2L
L
(x2 ) =
(x1 ; x2 ) + c2
0
1
2
;
:
2
(x1 ; x2 ) ; jc1 j + jc2 j = 1 ; ci 2 C
observe apenas um destes estados é permitido quando as partículas
são idênticas.
4. (a) Resp: Se as partículas são distinguíveis, ambas podem estar no
mesmo estado e o estado fundamental do sistema é quando cada
uma das partículas está no estado de menor energia
0
(x) =
1
1=4
exp
x2
2k
=)
0
(x1 ; x2 ) =
0
(x1 )
0
(x2 ) =
1
1=2
exp
A energia deste estado vale E0 = ~!=2+~!=2 = ~! .Para construir a
função de onda total, tomando em conta a parte de spin, basta fazer
o produto tensorial
1
0
1
exp 2k
x21 + x22
C
1 B
0
C
j++i = 1=2 B
0 (x1 ; x2 )
@
A
0
0
(b) Resp: Neste caso, as partículas devem ser tratadas como férmions.
Assim não podem ambas ocupar o estado fundamental, i.e.,
uma estará no estado fundamental e a outra (obrigatoriamente) no
4
1
x2 + x22
2k 1
:
primeiro estado excitado. Além disso, a função de onda deve ser
antisimétrica (observe que a parte espinorial j++i é simétrica)
r
1
x2
1
m!
x2
exp
;
(x)
=
2
x exp
;
(x)
=
0
1
1=4
1=4
2k
~
2k
1
0 (x1 ; x2 ) = p [ 0 (x1 ) 1 (x2 )
0 (x2 ) 1 (x1 )]
2
r
m!
1
1
= 1=2
exp
x2 + x22 (x2 x1 )
~
2k 1
Para construir a função total, tomando em conta a parte de spin,
basta fazer o produto tensorial
1
0
1
2
2
(x2 x1 )
exp
r
2k x1 + x2
C
m! B
1
0
C:
B
0 (x1 ; x2 ) j++i = 1=2
A
@
0
~
0
A energia deste estado vale E0 = ~!=2 + 3=2~! = 2~!. Observe
como, apenas por passarem a se comportar como férmions, não apenas o estado fundamental, mas também a energia deste estado se
altera.
5