5910233 – Física III (teórica) – FFCLRP – USP – Prof. Antônio Roque – Aula 4
Linhas de Força
Mencionamos na aula passada que o físico inglês Michael Faraday
(1791-1867) introduziu o conceito de linha de força para visualizar a
interação elétrica entre duas cargas.
Para Faraday, as linhas de força não eram apenas um meio de
visualização, mas tinham existência real. Para ele, as forças elétricas
e magnéticas eram conduzidas por linhas elásticas que saiam dos
corpos eletrizados ou magnetizados e se estendiam pelo espaço. Ele
chamou essas linhas de linhas de força.
Hoje em dia, o conceito de linha de força é usado apenas como
ferramenta para visualização de campos elétricos e magnéticos.
Uma linha de força é uma linha imaginária tal que a sua tangente em
cada ponto forneça a direção e o sentido do campo naquele ponto.
Para obter a direção do campo, basta traçar a reta tangente à linha no
ponto desejado e, para obter o sentido, segue-se a orientação
indicada pela linha de força.
Veja a figura abaixo.
1
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A figura abaixo mostra as linhas de força para algumas
configurações de cargas elétricas.
É
importante
notar
que
essas
figuras
são
apenas
cortes
bidimensionais (seções retas) por um plano que passa pelas cargas.
Na realidade, as linhas de força são tridimensionais.
No caso das figuras (a) e (b) acima, a configuração tridimensional
das linhas de força tem simetria esférica em torno da carga.
2
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No caso das figuras (c) e (d) acima, a configuração tridimensional
das linhas de força é simétrica em torno do eixo que passa pelas
duas cargas.
Regiões do espaço onde o campo é mais intenso têm linhas de força
mais próximas entre si (a densidade de linhas de força é maior).
Veja, por exemplo, a região entre as duas cargas na figura (c).
Regiões do espaço onde a intensidade do campo é menor têm linhas
de força mais espaçadas (a densidade das linhas de força é menor).
Um exemplo deste último caso é a região entre as duas cargas na
figura (d).
Regiões do espaço onde o campo é uniforme têm linhas de força
retas e paralelas com igual espaçamento entre si.
Duas linhas de força não podem se cruzar, pois em tal caso haveria
duas possibilidades para a direção do campo elétrico 𝑬 no ponto de
cruzamento e isso é impossível (o vetor campo elétrico tem um valor
único em cada ponto do espaço).
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Dipolos Elétricos
Uma distribuição de cargas muito simples, mas que tem muita
importância no eletromagnetismo porque pode ser usada como
modelo para várias situações de interesse é a formada por duas
cargas iguais e de sinais opostos (q e −q) separadas por uma
distância d. Uma distribuição de cargas desse tipo é chamada de
dipolo elétrico.
Vamos calcular o campo elétrico de um dipolo elétrico em um ponto
P localizado sobre o seu plano bissetor (veja a figura a seguir1).
1
Algumas vezes, neste curso, vetores serão indicados em negrito ao invés de por setas acima de seus
símbolos. Portanto, E1 e 𝐸! são notações equivalentes.
4
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Para simplificar, escolheu-se o sistema de eixos cartesianos de
maneira que o eixo z coincide com o eixo do dipolo. O plano
bissetor, portanto, é definido por z = 0.
O campo elétrico 𝐸 em um ponto P sobre o eixo y a uma distância R
do ponto médio entre as cargas e, portanto, à mesma distância r das
cargas q e −q é dado pela soma vetorial dos campos elétricos
individuais
gerados
pelas
cargas
q
e
−q,
denominados
respectivamente de 𝐸! e 𝐸! : 𝐸 = 𝐸! + 𝐸! .
Note que as componentes de 𝑬𝟏 e 𝑬𝟐 ao longo do eixo y se anulam,
de maneira que o campo resultante 𝑬 aponta na direção negativa do
eixo z. O módulo de 𝑬 é dado pela soma das componentes de 𝑬𝟏 e 𝑬𝟐 ao longo do eixo z:
E = E1z + E2 z = E1 cosθ + E2 cosθ .
Como o ponto P está à mesma distância r das cargas q e −q, E1 e E2
têm valores iguais a:
E1 = E 2 =
1
q
4πε 0 r 2 .
Substituindo na expressão para E obtém-se:
E=
1
2q
cosθ .
4πε 0 r 2
5
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Da figura, temos que:
d
cosθ =
2= d
,
r
2r
que substituída na expressão para E nos dá:
E=
1
qd
4πε 0 r 3 .
(1)
Note que, embora os campos elétricos gerados pelas duas cargas
individualmente variem com a distância r de maneira inversa ao seu
quadrado, o campo combinado gerado pelas duas cargas varia com r
de maneira inversa ao seu cubo. Isto é devido ao cancelamento
parcial das cargas elétricas negativa e positiva que havíamos
comentado antes (veja aula 1).
A quantidade qd que aparece na equação (1) é uma grandeza que
depende apenas das variáveis que caracterizam o dipolo elétrico.
Um dipolo elétrico fica completamente determinado se dissermos (i)
qual é o valor da carga q das duas partículas, (ii) em que posições do
espaço estão as duas cargas (o que implica dizer onde está a carga
negativa, por exemplo, e qual é a distância d entre as cargas).
Define-se o momento de dipolo de um dipolo elétrico como o vetor
𝑝 que tem módulo dado por p = qd e aponta da carga negativa do
dipolo para a sua carga positiva (veja a figura abaixo).
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Em termos do vetor momento de dipolo podemos escrever o campo
elétrico no ponto P (equação 1) como:
E=−
1
p
4πε 0 r 3 .
(2)
O sinal negativo indica que o campo elétrico aponta na direção
oposta à do momento de dipolo.
Uma maneira conveniente de escrever a equação (2) é em termos da
distância R que separa o ponto P do centro do dipolo. Olhando
novamente para a figura da página 4, vemos que:
3
2
2
⎛ d 2
d
2
2
3
2 ⎞
r =
+ R ⇒ r = ⎜⎜
+ R ⎟⎟ .
4
⎝ 4
⎠
Substituindo isto na fórmula para E:
E=
1
p
(
4πε 0 d 2
4
+R
2
3
)
2
.
A vantagem desta maneira de escrever o campo elétrico é que ela
nos dá o valor do campo em qualquer ponto que esteja a uma
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distância R do centro do dipolo sobre o seu plano bissetor (pela
simetria da situação).
Para pontos P suficientemente distantes do centro do dipolo em
comparação com a separação d podemos fazer a aproximação R >>
d, de maneira que o campo pode ser aproximado por:
E=
1
p
4πε 0 R 3 .
E temos novamente uma lei de decaimento com o inverso do cubo
da distância. A representação vetorial desta equação é:
E=−
1
p
.
4πε 0 R 3
(3)
Este é o campo elétrico de um dipolo elétrico em qualquer ponto do
plano z = 0 a grandes distâncias R do centro do dipolo.
Vamos agora calcular o campo em um ponto P ao longo do eixo z
(veja a figura abaixo).
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O campo produzido pela carga positiva aponta na direção positiva
do eixo z e tem módulo
E+ =
1
q
4πε 0 (z − d / 2 )2 .
O campo produzido pela carga negativa aponta na direção negativa
do eixo z e tem módulo
E− =
1
q
4πε 0 (z + d / 2 )2 .
Portanto, o campo resultante tem direção ao longo do eixo z e a sua
componente ao longo desse eixo vale
E = E+ − E− =
⎤
q ⎡
1
1
−
⎢
⎥
4πε 0 ⎣ (z − d / 2)2 (z + d / 2)2 ⎦ .
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É conveniente escrever esta expressão em termos da razão entre d (a
separação entre as cargas) e z (a distância do ponto):
E=
⎤
⎤
q ⎡
1
1
q ⎡
1
1
− 2
=
−
⎢ 2
2
2 ⎥
2 ⎢
2
2 ⎥ .
4πε 0 ⎣ z (1 − d / 2 z ) z (1 + d / 2 z ) ⎦ 4πε 0 z ⎣ (1 − d / 2 z ) (1 + d / 2 z ) ⎦
O resultado acima é exato. Vamos supor agora que o ponto P está a
uma grande distância do centro do dipolo. Neste caso, podemos
assumir que a distância d é muito menor que z: d << z, ou
d/z << 1.
Em casos assim, é muito comum usar a expansão em série de (1+ x)n
em torno da origem (série binomial),
(1+ x)n = 1+ nx +
n(n −1) 2 n(n −1)(n − 2) 3
x +
x +…
2!
3!
(4)
na aproximação para x << 1,
(1 + x) n ≅ 1 + nx .
(5)
Com o auxílio da aproximação dada por (5) podemos escrever o
termo (1 ± d/2z)2 para d/z << 1 como
(1 ± d / 2 z ) −2 ≅ 1  2 d
2z
=1 d
z
e obter a seguinte aproximação para o campo elétrico sobre o eixo z
a grandes distâncias do centro do dipolo:
E=
q
⎡ d ⎛ d ⎞⎤
q 2d
qd
1
+
−
1
−
=
=
⎜
⎟
4πε 0 z 2 ⎢⎣ z ⎝
z ⎠⎥⎦ 4πε 0 z 2 z
2πε 0 z 3 .
(6)
10
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Observe que podemos escrever o campo ao longo do eixo z em
termos vetoriais como
E=
1
p
,
3
2πε 0 R
(7)
onde R é a distância do centro do dipolo ao ponto sobre o eixo z.
Certifique-se de que o sinal usado na equação (7) está correto.
A equação (7) dá o valor do campo elétrico ao longo do eixo do
dipolo a grandes distâncias do seu centro. Note que ele é muito
parecido com o campo ao longo do eixo perpendicular ao eixo do
dipolo que passa pelo seu centro (equação 3). Ele também é
proporcional ao momento de dipolo 𝑝 (só que agora é paralelo a 𝑝 e
tem o dobro do valor) e decai com a distância R de maneira cúbica.
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A figura acima mostra as linhas de força de um dipolo elétrico
colocado na origem e alinhado com o eixo z (observe as direções do
campo elétrico nos quatro pontos indicados).
O conceito de dipolo elétrico é muito útil para o entendimento das
propriedades de átomos e moléculas.
Um exemplo típico é o da molécula de água, H20.
A molécula de água pode ser representada esquematicamente pelo
desenho acima. Por causa da ligação entre os dois átomos de
hidrogênio com o átomo de oxigênio, ocorre uma distribuição
desigual dos seus elétrons fazendo com que o centro do eixo que une
os dois átomos de hidrogênio fique com carga líquida positiva e a
região central do átomo de oxigênio fique com carga líquida
negativa.
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Para distâncias maiores do que o diâmetro da molécula, o campo
elétrico gerado por ela é equivalente ao de um dipolo 𝑝 como o
mostrado na figura. O valor do momento de dipolo da água pode ser
medido experimentalmente e o seu valor é:
p = 6,2 x 10-30 C.m.
Usando este valor e supondo que a carga do dipolo é q = 2e,
podemos estimar a separação efetiva entre as cargas positiva e
negativa como:

p
6,2 x 10 -30
-11
d= =
≈
5
x
10
m
=
0,5
A
.
q 2 x 1,6 x 10 -19
A água é uma molécula polar, isto é, possui um momento de dipolo
𝑝 permanente. É isto que dá à água a propriedade de ser solvente de
substâncias iônicas, como o sal de cozinha, por exemplo (veja a
figura abaixo).
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O momento de dipolo permanente da água é consequência de a sua
distribuição de cargas não possuir um centro de simetria. Existem
muitas moléculas que também não possuem centro de simetria de
carga e, portanto, também são polares. Por outro lado, existem
moléculas que possuem um centro de simetria. Elas são chamadas
de apolares.
Moléculas apolares podem se comportar como dipolos elétricos na
presença de campos elétricos externos. O campo elétrico 𝐸 desloca
as cargas negativas da molécula no sentido oposto a 𝐸 e as cargas
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positivas no sentido de 𝐸 (veja a figura abaixo). A molécula adquire
um momento de dipolo 𝑝 em decorrência dessa separação entre as
cargas. Dizemos que a molécula foi polarizada pelo campo elétrico.
O fato de que moléculas apolares podem adquirir momento de
dipolo na presença de um campo elétrico externo torna importante o
estudo de momentos de dipolo imersos em um campo elétrico.
Vamos estudar aqui o que acontece quando um dipolo elétrico 𝑝 é
colocado em um campo elétrico uniforme 𝐸. A situação está
ilustrada na figura abaixo. Observe que a força resultante é nula,
mas as duas forças formam um binário e o dipolo elétrico gira no
sentido anti-horário. Há um torque não nulo sobre o dipolo.
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Vamos calcular o torque em relação ao centro do dipolo. Tanto para
a força 𝑭! como para a força 𝑭! , o braço da alavanca (distância
perpendicular entre a linha de ação da força e o centro do dipolo)
vale (d/2)senφ (veja a figura abaixo).
O módulo do torque feito pela força 𝑭! é
𝒅
𝒅
𝝉! = 𝑭 𝐬𝐞𝐧 𝝓 = 𝒒𝑬 𝐬𝐞𝐧 𝝓.
𝟐
𝟐
O módulo do torque feito pela força 𝑭! é
𝒅
𝒅
𝝉! = 𝑭 𝐬𝐞𝐧 𝝓 = 𝒒𝑬 𝐬𝐞𝐧 𝝓.
𝟐
𝟐
O módulo do torque resultante é τ+ + τ-:
𝝉 = 𝒒𝒅𝑬 𝐬𝐞𝐧 𝝓 = 𝒑𝑬 𝐬𝐞𝐧 𝝓. (𝟖)
O vetor torque é perpendicular ao plano do desenho e, pela regra da
mão direita, aponta para fora (saindo) do plano.
Note que o torque sobre o dipolo elétrico pode ser escrito como
𝝉 = 𝒑×𝑬. (𝟗)
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Para mostrar isto, observe a figura abaixo e lembre-se da definição
de produto vetorial (os vetores 𝒑 e 𝑬 estão no plano definido pelos
vetores unitários ! e !).
O produto vetorial do vetor 𝒑 pelo vetor 𝑬 é um vetor cujo módulo
vale pEsenα = pEsen(π − φ) = pEsenφ. O produto vetorial de 𝒑 por
𝑬 pode ser calculado pelo determinante
!
𝒑𝒙
𝑬𝒙
!
𝒑𝒚
𝑬𝒚
𝒌
!
𝒑𝒛 = −𝒑 𝐜𝐨𝐬 𝝓
𝑬𝒛
𝑬
!
−𝒑 𝐬𝐞𝐧 𝝓
𝟎
𝒌
𝟎,
𝟎
que nos dá o resultado
𝝉 = 𝒑𝑬 𝐬𝐞𝐧 𝝓 𝒌.
O módulo deste vetor é o mesmo dado pela equação (8) e a sua
direção e sentido são as mesmas daquele resultado (o vetor aponta
para fora do plano).
Portanto, a equação (9) representa o torque sobre o momento de
dipolo 𝒑 quando ele está imerso num campo elétrico uniforme 𝑬.
O trabalho feito pelo torque 𝝉 quando o dipolo elétrico gira por um
ângulo Δα é
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𝚫𝑾 = −𝝉𝚫𝜶 = −𝒑𝑬 𝐬𝐞𝐧 𝜶 𝚫𝜶.
O sinal negativo nesta expressão decorre do fato de que o torque
sobre o momento de dipolo faz com que ele gire no sentido antihorário, ou seja, ele faz o ângulo α diminuir (veja a figura na página
anterior).
O trabalho feito pelo torque quando o momento de dipolo faz um
giro do ângulo inicial α1 ao ângulo final α2 é dado por
𝜶𝟐
𝑾𝜶𝟏 →𝜶𝟐 =
−𝒑𝑬 𝐬𝐞𝐧 𝜶 𝒅𝜶 = 𝒑𝑬 𝐜𝐨𝐬 𝜶𝟐 − 𝒑𝑬 𝐜𝐨𝐬 𝜶𝟐 .
𝜶𝟏
Lembrando das aulas de Física I, o trabalho é igual ao negativo da
variação na energia potencial: ΔW = −ΔU = U(α1) − U(α2).
Comparando esta expressão com a equação acima, podemos definir
a energia potencial de um dipolo elétrico num campo elétrico
uniforme como
𝑼 𝜶 = −𝒑𝑬 𝐜𝐨𝐬 𝜶. (𝟏𝟎)
Esta equação pode ser escrita em termos dos vetores 𝒑 e 𝑬 como
𝑼 = −𝒑 ∙ 𝑬, (𝟏𝟏)
onde o ponto na equação acima indica o produto escalar entre os
vetores 𝒑 e 𝑬.
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A partir da equação (10) podemos construir o gráfico da energia
potencial do dipolo imerso num campo elétrico uniforme em função
do ângulo α que dá a orientação do dipolo em relação ao campo. A
figura abaixo mostra esse gráfico para 0 ≤ α ≤ π.
Observe que o valor mínimo de U ocorre para α = 0, isto é, quando
𝒑 e 𝑬 são paralelos. A energia potencial vale zero quando α = π/2 (𝒑
e 𝑬 são ortogonais) e o valor máximo de U ocorre para α = π, ou
seja, quando 𝒑 e 𝑬 são antiparalelos.
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