Universidade Federal Rural de Pernambuco
Departamento de Estatı́stica e Informática
Bach.
em Administraç~
ao - Estatı́stica Básica - Prof.Cláudio T. Cristino
Terceira Lista de Exercı́cios – 30 de maio de 2015
1. De acordo com a Advertising Age, o salário base médio das mulheres que trabalham com copywriters em firmas de publicidade é mais alto que ao salário médio dos homens na mesma função.
O salário base médio das mulheres é de US$67 mil e o salário base médio dos homens é de US$65
mil (Working Woman, julho/agosto de 2000). Considere que os salários tenham distribuição
normal e que tenham desvio padrão de US$7 mil para ambos gêneros.
(a) Qual é a probabilidade de que uma mulher receba um salário acima de US$75 mil?
(b) Qual é a probabilidade de que um homem receba um salário acima de US$75 mil?
(c) Qual é a probabilidade de que uma mulher receba um salário abaixo de US$50 mil?
(d) Quanto uma mulher teria que ganhar para ter um salário mais alto que 99% de seus colegas
do sexo masculino?
2. Na contratação de serviços de Internet para sua casa, Joaquim recebeu a informação que uma
das variáveis que compõe o preço do serviço é a velocidade de tráfego de dados (medida em
M bps) e que a mesma é uma variável aleatória com distribuição Normal e média de 25 M bps e
variância σ 2 .
(a) Sobre o prisma de consumidor, qual deve ser o valor de σ 2 ? Justifique.
(b) Sobre o prisma de fornecedor do serviço, qual deve ser o valor de σ 2 ? Justifique.
(c) Como determinar o valor de σ? Por que a velocidade de dados deve ser considerada como
uma variável aleatória?
(d) Como se assegurar que o serviço está sendo fornecido de maneira “adequada”?
3. Em reportagem recente, estimou-se que o tempo médio dos cidadãos da Região Metropolitana
do Recife - RMR, gastam em média 123 minutos para chegar ao trabalho. Supondo que o tempo
de chegada ao trabalho desta população seja distribuı́do conforme a distribuição exponencial,
pede-de:
(a) A probabilidade de que uma pessoa da RMR chegue no trabalho com menos de 45 minutos.
(b) A probabilidade de que gaste mais que uma hora para chegar ao trabalho.
(c) A probabilidade de que demore entre 30 minutos e uma hora.
4. Numa pesquisa de mercado, desejamos estimar a proporção de pessoas que compram o sabonete
Xeroso.
(a) Que tamanho de amostra devemos colher para que, com probabilidade de 90%, a proporção
amostral não se desvie do verdadeiro valor por mais de 0,05?
1
(b) Se tivermos a informação adicional de que a aceitação do sabonete Xeroso é no mı́nimo 0,8,
qual deve ser então o tamanho da amostra?
(c) Decidimos colher uma amostra de tamanho 81. Qual o erro máximo que cometemos com
probabilidade de 0,9?
(d) Para uma amostra de tamanho 81, qual a probabilidade de que o erro máximo seja 0,08?
5. O tempo de espera numa fila de votação (em minutos) numa certa zona eleitoral com urna
eletrônica, foi modelado segundo uma distribuição Uniforme Contı́nua com valores entre 0 e 30.
Para uma amostra aleatória de 100 eleitores, responda:
(a) qual a probabilidade do último eleitor na amostra demorar mais que 20 minutos?
(b) qual a probabilidade da média da amostra ser inferior a 18 minutos?
(c) Você deseja pedir a um amigo que espero um tempo t para lhe dar uma carona. Usando
a média da amostra, qual deve ser o tempo t para não perder a carona com probabilidade
0,8?
6. Para estimar a médias das alturas (em metros) num certa população, dois institutos de pesquisa
coletaram cada um a sua amostra e usaram estimadores diferentes. Os resultados estão na tabela
abaixo:
Instituto 1
Instituto 1
Tamanho
n1 = 100
n2 = 200
Estimador
µ
b1 = X
µ
b2 = (max(Xi ) + min(Xi ))/2
Valor Observado
1,68
1,73
Apresente justificativas ao responder as questões abaixo:
(a) Você acha que o valor 1,73 está mais perto da verdadeira média por ter vindo de uma
amostra maior?
(b) A verdadeira média deve estar no intervalo 1,68 até 1,73?
(c) Indique qual das estimativas você utilizaria.
7. Foram sorteadas 15 famı́lias com filhos num certo bairro e observado o número de crianças de
cada famı́lia, matriculadas na escola. Os dados foram: 1, 1, 3, 2, 0, 1, 3, 2, 0, 1, 1, 1, 4, 2,
3. Obtenha as estimativas correspondentes aos seguintes estimadores da média de crianças na
escola neste bairro:
mı́nimo + máximo
;
2
X1 + X2
µ̂2 =
;
2
µ̂3 = X.
µ̂1 =
Qual deles é o melhor estimador da média e por quê?
8. Por analogia a produtos similares, o tempo de reação de um novo medicamento pode ser considerado como tendo distribuição Normal com desvio padrão igual a 2 minutos (a média é
desconhecida). Vinte pacientes foram sorteados, receberam o medicamento e tiveram seu tempo
2
de reação anotado. Os dados foram os seguintes (em minutos): 2,9; 3,4; 3,5; 4,1; 4,6; 4,7; 3,5;
3,8; 5,3; 4,9; 4,8; 5,7; 5,0; 3,4; 5,9; 6,3; 4,6; 5,5 e 6,2. Obtenha um intervalo de confiança par o
tempo médio de reação. Use γ = 96%.
9. Considerando o seguinte teste de hipóteses:
H0 :
H1 :
µ ≥ 20
µ < 20
Uma amostra de tamanho 50 produziu a média amostral 19,4. Considere o desvio padrão da
população igual a 2.
(a) Calcule o valor da estatı́stica de teste.
(b) Qual é o nı́vel descritivo?
(c) Usando α = 5%, qual é a conclusão do teste?
(d) Qual é a regra de rejeição de H0 , usando o valor crı́tico? Qual é a conclusão?
10. Considerando o seguinte teste de hipóteses:
H0 :
H1 :
µ = 15
µ 6= 15
Uma amostra de tamanho 50 produziu a média amostral 14,15 O desvio padrão da população é
3.
(a) Calcule o valor da estatı́stica de teste.
(b) Qual é o nı́vel descritivo?
(c) Usando α = 5%, qual é a conclusão do teste?
(d) Qual é a regra de rejeição de H0 , usando o valor crı́tico? Qual é a conclusão?
11. Uma amostra de 35 observações de uma Normal com desvio padrão igual a 9. Para uma confiança
de γ = 90%, determine a amplitude∗ do intervalo de confiança para a média populacional nos
casos em que o tamanho a amostra é 30, 50 ou 100. Comente as diferenças.
12. Um tubo de PVC é fabricado com um diâmetro médio de 1, 01 in e desvio padrão de 0, 003 in
(in = polegada). Encontre a probabilidade de uma amostra aleatória de n = 9 seções do tubo
ter um diâmetro médio amostral maior que 1, 009 in e menor que 1, 012 in.
13. Com base em experiências anteriores, a Companhia Telefônica sabe que 10% das contas de seus
clientes em uma comunidade são pagas com atraso. Para os ı́tens abaixo, compare a solução
exata com aquela obtida através de aproximação da variável aleatória pela distribuição Normal.
(a) Se 20 contas são enviadas em um dia pela Companhia Telefônica, qual é a probabilidade
de que menos que 3 sejam pagas com atraso?
(b) Se 150 contas são enviadas mensalmente para a comunidade, encontre a probabilidade de
que 17 ou mais sejam pagas com atraso.
∗
tamanho do intervalo
3
14. Foi divulgado que a duração média de uma semana de trabalho para a população de trabalhadores
é de 39,2 horas. (Investor’s Business Daily, 11/09/2000). Suponha que quiséssemos extrair uma
amostra atual de trabalhadores para verificar se a duração média de uma semana de trabalho se
modificou das 39,2 horas relatadas anteriormente.
(a) Estabeleça as hipóteses que nos ajudem a determinar se ocorreu uma alteração na duração
média da semana de trabalho.
(b) Suponha que um tamanho de amostra de 112 trabalhadores tenha produzido uma média
amostral de 38,5 horas. Use um desvio padrão populacional σ = 4, 8 horas. Qual é o nı́vel
descritivo?
(c) Com α = 3%, a hipótese nula é rejeitada? Qual é sua conclusão?
15. A média americana dos preços de venda de casas novas destinadas a uma única famı́lia é de US$
181.900 (The New York Times Almanac, 2000). Uma amostra de 40 vendas de casas destinadas
a uma única famı́lia no sul daquele paı́s exibiu uma média amostral igual a US$ 166.600. Use o
desvio padrão populacional de US$ 33.500.
(a) Formule as hipóteses nula e alternativa que podem ser usadas para determinar se os dados
amostrais sustentam a conclusão que a média populacional dos preços de vendas de casas
novas destinadas a uma única famı́lia no sul dos Estados Unidos seja menor que a média
nacional deUS$ 181.900.
(b) Qual é o valor da estatı́stica de teste?
(c) Qual é o nı́vel descritivo?
(d) Com α = 0, 01 qual é a sua conclusão?
4
16. Uma variável aleatória tem distribuição Normal e desvio padrão igual a 12. Estamos testando se
sua média é igual ou é diferente de 20 e coletamos uma amostra com 100 valores dessa variável,
obtendo média amostral de 17,4.
(a) Formule as hipóteses.
(b) Obtenha a região crı́tica (domı́nio de rejeição de H0 ) e dê a conclusão do teste para os
seguintes nı́veis de significância (α = P (erro do tipo I)): 1%, 2%, 4%, 6% e 8%.
17. A Joan’s Nersery é especializada em paisagismo personalizado para áreas residenciais. O custo
de mão de obra estimado associado a uma proposta de paisagismo em particular baseia-se no
número de plantações de árvores, arbustos, etc. Para fins de estimação do custo, os gerentes
utilizam duas horas de mão de obra para o plantio de uma árvore de tamanho médio. Os tempos
reais de uma amostra de dez plantações durante o mês passado apresentados a seguir (em horas):
1,7
1,5
2,6
2,2
2,4
2,3
2,6
3,0
1,4
2,3
Com um nı́vel de significância de 0,05, tese de a média do tempo de plantio das árvores defere
de duas duas.
(a) Estabeleça as hipóteses nula e alternativa.
(b) Calcule a média amostral.
(c) Calcule o desvio padrão da amostra.
(d) Qual é o nı́vel descritivo?
(e) Qual é a conclusão do teste?
18. Para uma variável aleatória com densidade Normal e desvio padrão 5, o teste da média µ = 10
contra µ = 14, teve a região crı́tica dada por {x ∈ R : x > 12}, para uma amostra de tamanho
25. Determine as probabilidades dos erros do tipo I e II.
19. Um estudo foi desenvolvido para avaliar o salário de empregadas domésticas na cidade de Recife.
Foram sorteadas e entrevistadas 200 trabalhadoras. Admita que o desvio padrão dessa variável
na cidade é de 0,8 salário mı́nimo.
(a) Você conhece a distribuição do estimador X? Se não, é possı́vel fazer alguma suposição?
(b) Deseja-se testar se a média é igual a 3 salários mı́nimos ou é menor. Formule as hipóteses
adequadas.
(c) Para uma nı́vel de significância de 3%, construa a região crı́tica.
(d) Se a amostra forneceu média de 2,5 salários mı́nimos, qual seria a conclusão?
20. A vida média de uma amostra de 100 lâmpadas de certa marca é 1615 horas. Por similaridade
com outros processos de fabricação, supomos o desvio padrão igual a 120 horas. Utilizando
α = 5%, desejamos testar se a duração média de todas as lâmpadas dessa marca e igual ou
diferente de 1600 horas. Qual é a conclusão? Determine também a probabilidade do erro do
tipo II, se a média fosse 1620 horas.
5
21. O consumo médio de gasolina num certo tipo de automóvel é de 15km/litro. segundo informações
da montadora. Uma revista especializada verificou o consumo de 25 desses veı́culos, escolhidos
ao acaso, e constatou consumo médio de 14,3 km/litro. Admita que o consumo siga o modelo
Normal com variância igual a 9 (km/litro)2 .
(a) Teste, ao nı́vel de significância de 6%, a afirmação da montadora de que a média de consumo
é igual a 15 km/litro, contra a alternativa de ser igual a 14 km/litro.
(b) Determine a probabilidade do erro do tipo II.
22. Um criador tem constatado uma proporção de 10% do rebanho com verminose. O Veterinário
alterou a dieta dos animais e acredita que a doença diminuiu de intensidade. Um exame em 100
cabeças do rebanho, escolhidas ao acaso, indicou 8 delas com verminose. Ao nı́vel de 8%, há
indı́cios de que a proporção diminuiu?
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