Metodologias de Planejamento e Análise de Experimentos
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Planejamento e Análise de Experimentos:
Aumento da Temperatura da Cerveja Sob
Diferentes Condições
Claret Laurente Sabioni, IEEE Student Member
Electrical Engineering Department of the Federal University of Minas Gerais
Belo Horizonte, Brazil
[email protected]
Resumo—Este artigo apresenta um estudo sobre o aumento de
temperatura em cervejas geladas considerando duas marcas
comerciais brasileiras, duas possibilidades de isolamento e três
tipos de recipientes. O estudo é conduzido segundo uma
metodologia experimental bem definida, por meio da qual são
obtidos dados relativos ao aumento temperatura das cervejas
quando mantidas à temperatura ambiente por 10 minutos. Enfim,
uma análise estatística é processada sobre os resultados,
demonstrando quall a influência e peso relativo de cada fator no
desvio de temperatura da cerveja.
Palavras-chaves—Variação de Temperatura, Cerveja, Análise de
Variância, Planejamento Fatorial.
I. INTRODUÇÃO
manutenção da temperatura de uma cerveja gelada após
sua retirada da geladeira/freezer é um assunto muito
discutido pelos brasileiros em bares e em diversos eventos
festivos. O assunto se resume à seguinte pergunta:
A
“Como faço para manter a temperatura baixa da minha cerveja por
mais tempo?”
Para responder a esta pergunta, o presente trabalho expõe um
experimento no qual são analisados os impactos de
determinados fatores sobre a variação de temperatura das
cervejas. Para tanto, faz-se necessário uma rigorosa fase de
planejamento e análise experimental, de modo que as
conclusões tiradas a partir dos resultados sejam confiáveis.
A. Motivação
A cerveja ou chope é a bebida alcóolica mais consumida
pelos brasileiros quando se comparam bebidas pelo número de
doses consumidas anualmente, representado mais de 60% de
todo o consumo nacional de bebidas alcóolicas [1]. Esta
tendência tende a aumentar ainda mais pelo atrativo da chegada
de novas marcas, tais como Budweiser e Stella Artois, no
mercado brasileiro.
As cervejas comercializadas no Brasil são, em sua grande
maioria, cervejas Pilsen, que são ditas refrescantes e, por isso,
adequadas para o clima quente tipicamente brasileiro.
A motivação deste trabalho vem da combinação do interesse
do povo brasileiro por uma cerveja Pilsen bem gelada e o fato
de o Brasil ter um clima quente na maior parte do ano. Dessa
forma, analisar os fatores que influenciam a perda de
temperatura das cervejas torna-se uma análise relevante,
principalmente para os consumidores de cerveja.
Este assunto parece nunca ter sido explorado no meio
científico, mas tratados em alguns experimentos efetuados sem
muito embasamento científico, como em [2], onde se avalia a
eficiência de diferentes tipos de revestimentos de lata de
cerveja.
B. Objetivos
O objetivo principal deste trabalho consiste na verificação de
quais dos três fatores: marca da cerveja, condições de
isolamento, e tipo de recipiente, tem maior influência na
variabilidade da temperatura da cerveja quando exposta por 10
minutos em temperatura ambiente. Para tal, é utilizada uma
rigorosa metodologia para planejamento e análise do
experimento.
Este trabalho também tem como objetivo identificar o quão
significativo é cada fator na variabilidade de temperatura da
cerveja.
II. PLANEJAMENTO PRÉ-EXPERIMENTAL
Esta seção apresenta detalhes do experimento, apresentado a
metodologia operacional e o planejamento do experimento.
A. Fatores, Níveis e Variável de Resposta
Vários fatores que influenciam na aumento ou na redução 1 de
perda de temperatura da cerveja podem ser listados:
•
•
•
•
•
•
•
Temperatura ambiente;
Espessura da espuma;
Superfície de contato do líquido com o recipiente;
Fonte externa de calor;
Condições de isolamento;
Material do recipiente;
Tipo da cerveja.
Todos estes fatores interferem, de alguma forma, em um dos
três mecanismos de transferência de calor, seja condução, seja
radiação, ou até convecção. Para comprovar fisicamente a
influência de cada um deles, são apresentadas as formulações
1
Aumento e redução se referem à taxa temporal de aumento de temperatura
da cerveja partindo-se de 0°C.
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2
matemáticas simplificadas de cada um dos três mecanismos de
transferência de calor, a começar pela Lei de Fourier [3] para a
condução térmica:
𝜑 = −𝑘
𝜕𝑇
,
𝜕𝑥
(1)
em que 𝑘 é a constante de condutividade térmica do material, 𝑥
é a espessura do material, 𝑇 a temperatura e 𝜑 é o fluxo de calor
que passa pelo material, expressa por:
𝜑=
𝑄
,
∆𝑡
(2)
em que 𝑄 representa a quantidade de calor e ∆𝑡 o intervalo de
tempo.
A convecção térmica pode ser expressa pela equação abaixo:
𝜑 = −ℎ𝐴∆𝑇,
(3)
em que ℎ é o coeficiente de transferência térmica e 𝐴 é a área de
superfície pela qual o calor está sendo transferido.
A radiação térmica pode ser expressa pela equação abaixo:
𝐸 = 𝜎𝑇 4 ,
(4)
em que 𝜎 = 5,7 10−5 W/m2 K 4 é a constante de StefanBoltzmann e 𝐸 é o poder emissivo do corpo considerado, que é
proporcional à potência irradiada pele mesmo.
Com base no exposto, verifica-se que a influência da
temperatura ambiente, por exemplo, é determinante no
experimento considerado, uma vez que o fluxo de calor é
proporcional à diferença de temperatura entre corpos em (1) e
(3). Porém, como se trata de um fator de difícil contrabilidade
doméstica, ele não foi considerado neste trabalho.
A espessura da espuma, por sua vez, serve como um isolante
térmico no que concerne a condunção térmica, aumentando a
constante 𝑘 e a distância 𝑥 da equação (1), além de reduzir a
constante ℎ da equação (3), reduzindo a convecção térmica. O
controle da espessura da espuma é complicado, e por isso, não
foi considerado neste trabalho.
A superfície de contato é proporcional ao fluxo de calor
transferido por conveccção, de acordo com a equação (3).
Embora os recipientes utilizados neste trabalho tivessem
formatos diferentes, foi assumido que a superfície de contato do
líquido com eles fosse aproximadamente a mesma.
Fontes externas de calor fornecem justamente a diferença de
temperatura que impacta justamente a condução (1) e convecção
térmica (3), além de emitir radiação térmica proporcional à
quarta potência de sua temperatura (4). Todas as fontes externas
foram consideradas constantes neste trabalho e, portanto,
desconsideradas como fator.
As condições de isolamento inibem os efeitos da convecção e
da radiação, reduzindo significativamente a constante ℎ de (3) e
a exposição do recipiente a corpos com alto poder emissivo (4).
Este fator é controlável e foi considerado neste trabalho.
O material do recipiente impacta diretamente a constante 𝑘 da
equação de condução térmica (1), além de também poder servir
como barreira radiante contra radiação térmica. Ele foi
considerado como fator neste trabalho.
O tipo de cerveja representa o “corpo” para o qual o fluxo de
calor converge. De acordo com as equações apresentadas, sua
importância se atém à sua temperatura inicial. É importante
notar, entretanto, que mesmo absorvendo a mesma quantidade
de calor, os dois corpos podem sofrer variações diferentes de
temperaturas, dependendo da massa 𝑚 e do calor específico 𝑐
de ambos:
𝑄 = 𝑚𝑐∆𝑇.
(5)
Ou seja, quanto menor a massa 𝑚 e o calor específico 𝑐 em
(5), maior será a variação de temperatura para uma mesma
quantidade de calor. No experimento deste trabalho, a massa de
líquido foi mantida aproximadamente constante, pois o volume
considerado foi o mesmo: 150ml. Dessa forma, o tipo de
cerveja, com calores específicos provavelmente diferentes, foi
considerado um fator neste trabalho.
Para cada um dos fatores não considerados neste trabalho,
foram assumidas premissas que mantêm válido o experimento,
vide Subseção II-C.
Os níveis de cada um dos três fatores principais considerados:
tipo (marca) da cerveja, condição de isolamento e tipo de
recipiente, são apresentados a seguir.
Marca da cerveja
•
Budweiser
•
Bohemia
Condição de isolamento
•
Sem contâiner de isopor
•
Com contâiner de isopor
Tipo de recipiente
•
Caneca de acrílico;
•
Copo de vidro tipo Lager (copo de chope);
•
Caneca metálica revestida à vácuo.
A variável de resposta do experimento foi a temperatura final
da cerveja após 10 minutos de exposição à temperatura
ambiente, uma vez que a temperatura inicial da cerveja foi
assumida como sendo 0°C.
Portanto, o experimento contou com 2 fatores principais de 2
níveis mais 1 fator principal de 3 níveis. Além disso, cada
observação teve duas réplicas, de forma a aumentar os graus de
liberdade do erro, reduzindo sua contribuição final no
procedimento de análise de variância, vide Seção IV.
O número total de observações 𝑁𝑜𝑏𝑠 foi, então:
𝑁𝑜𝑏𝑠 = 2 × (22 × 3) = 24
B. Materiais
Para conduzir o experimento de forma adequada foram
utilizados níveis fixos e bem definidos para cada um dos três
fatores considerados, como apresentados na Subseção II-A. Os
dois níveis para o fator “marca de cerveja”: Bohemia [4] e
Budweiser [5], são apresentadas na Figura 1.
Fig. 1. Marcas de cerveja utilizadas no experimento: Budweiser e Bohemia.
Os três tipo de recipientes do fator “tipo de recipiente” são
apresentados na Figura 2.
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3
Por meio dela, qualquer pessoa é capaz de repetir o experimento
para fins de comparação e validação.
As etapas são listadas a seguir:
1)
2)
3)
4)
Copo de Vidro
Caneca Metálica
Revestida à Vácuo
Caneca de Acrílico
Fig. 2. Três tipos de recipientes utilizados no experimento
Para o fator “condição de isolamento” foi utilizado um
contâiner de isopor, dentro do qual os recipientes com cerveja
foram colocados. Ele é apresentado na Figura 3.
Fig. 3. Contâiner de isopor utilizado no experimento.
Além dos materiais representativos de cada fator, também foi
utilizado um copo de vidro com capacidade de 150 ml para
servir como dosador de cerveja para cada recipiente, vide Figura
4.
5)
6)
7)
8)
9)
10)
Cuidado especial foi tomado ao despejar a cerveja tanto no
dosador quanto no recipiente. Note que a etapa 2 orienta que o
operador despeje a cerveja lentamente no dosador para evitar a
formação de espuma, possibilitando a medição mais próxima
possível de 150 ml. Em contrapartida, a etapa 3 orienta que a
cerveja seja despejada de forma abrupta no recipiente,
possibilitando a formação de espuma, que é um importante fator
contra a perda térmica do líquido. Embora a espuma não tenha
entrado no experimento como um fator, e dada a sua
importância, procurou-se gerar espuma de forma similar em
todas as observações seguindo-se a etapa 3.
Foram tomados alguns cuidados operacionais a fim de evitar
fontes de perturbações indesejáveis nas observações. A seguir
são listados alguns dos cuidados tomados:
•
•
•
•
Fig. 4. Copo dosador de 150ml utilizado no experimento.
•
2
Um termohigrômetro digital também foi utilizado para
medição da temperatura da cerveja no interior de cada recipiente
por meio de uma ponta de prova, vide Figura 5.
Manter as cervejas e a ponta do termohigrômetro no interior da geladeira
até a temperatura estabilizar;
Abrir a geladeira, pegar a lata de cerveja da marca X e despejá-la
lentamente no dosador até que este fique cheio;
Despejar o conteúdo do dosador no recipiente Y de forma abrupta;
Pegar a ponta do termohigrômetro do interior da geladeira e colocá-la
rapidamente no interior do recipiente Y;
Deixar o recipiente Y na condição Z de isolamento;
Ligar o cronômetro;
Guardar a lata de cerveja da marca X caso ela ainda contenha cerveja;
Aguardar 10 minutos;
Anotar a temperatura determinada pela ponta do termohigrômetro;
Voltar para a etapa 1.
•
Manipular os recipientes com cerveja pela borda, a fim de evitar
a troca de calor entre a mão do operador e o líquido;
Deixar os recipientes e o dosador embaixo de água corrente
antes de usá-los em determinada observação, para que todos
partissem de uma mesma temperatura inicial;
Quando nenhuma observação estiver sendo feita, manter a ponta
do termohigrômetro no interior da geladeira, de forma a indicar
uma temperatura próxima à das cervejas geladas;
Não demorar mais do que 20 segundos na preparação de cada
observação por meio da metodologia apresentada;
Lavar e enxugar a ponta do termohigrômetro anter de colocá-la
no interior da geladeira, para que a evaporação do líquido
remanescente na ponta não altere o valor da medição;
Desconsiderar prováveis preferências do operador por um
recipiente específico, que contenha o escudo de um time de
futebol, por exemplo.
Por fim, foram ainda assumidas algumas premissas para
assegurar a validade dos resultados gerados pelo experimento.
As premissas foram:
Fig. 5. Termohigrômetro digital utilizado no experimento para medição de
temperatura.
C. Aquisição dos Dados
Uma metodologia com todas as etapas operacionais
necessárias para a condução correta do experimento foi feita.
2
Precisão: ±0,1°C. Faixa de operação: -30°C a 70°C
a) A temperatura das latas de cervejas no interior da geladeira são
iguais à temperatura do interior da geladeira (em potência
máxima), aproximadamente 0°C.
b) O abre e fecha da porta da geladeira não altera a temperatura das
latas de cerveja. Ou seja, a dinâmica de aquecimento neste caso é
muito lenta, e portanto, desprezível.
c) A temperatura da cerveja contida no recipiente é homogênea, de
forma que a posição da ponta do termohigromêtro no interior do
recipiente não altere o valor da resposta final.
d) A espessura de espuma em todas as observações é a mesma, uma
vez que espessuras diferentes podem influenciar a resposta final.
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e) A amplitude térmica da temperatura ambiente entre a primeira e a
última observação é desprezível, e portanto, a ordem das
observações não altera a resposta final.
f) A abertura de cada recipiente tem aproximadamente a mesma área
de exposição à temperatura ambiente.
g) As fontes de calor ao redor das observações são mantidas contantes
para todas as observações.
III. RESULTADOS
Tanto a aleatorização do experimento na fase de seu
planejamento quanto a análise dos resultados foram feitas com o
software Minitab v16 [6].
Os resultados das temperaturas para cada uma das
observações são apresentados de forma concisa na Tabela I.
TABELA I
RESULTADO DAS 24 OBSERVAÇÕES
De acordo com o somatório parcial das respostas da Tabela I,
percebe-se que o somatório das respostas das observações feitas
com o recipiente metálico revestido à vácuo teve o menor valor
quando comparado com os outros recipientes, o que indica que
este recipiente pode ser o melhor. Além disso, o somatório das
colunas indica que a combinação de fatores: Bohemia com
isopor, apresenta o menor resultado frente às demais.
Uma forma interessante de visualizar os resultados é por meio
de boxplot, em que tendências podem ser observadas por grupos
e por níveis. A Figura 6 apresenta o Boxplot dos dados.
4
o intervalo de temperaturas pertencentes a cada observação. Em
alguns casos, a temperatura final é até menor que a temperatura
inicial de 0°C, o que seria impossível.
Fig. 7. O intervalo de confiança
Outro gráfico que fornece informação visual sobre os efeitos
médios dos fatores principais sobre a resposta do experimento é
apresentado na Figura 8.
Fig. 8. Efeito dos fatores principais no desvio de temperatura
Da Figura 8 percebe-se claramente que o fator “tipo de
recipiente” é o que tem maior impacto no desvio da temperatura
da cerveja, com uma variação de aproximadamente 5°C entre os
níveis extremos (vidro e metal revestido à vácuo). Por outro
lado, os fatores “marca da cerveja” e “condições de isolamento”
apresentam um desvio pequeno na temperatura, cerca de 0,8°C,
entre seus níveis.
IV. ANÁLISE DOS RESULTADOS
A. Testes de Hipóteses
O modelo de efeitos para o experimento em questão é dado
pela equação que resulta na reposta yijkl da ijkl-ésima
observação:
𝑦𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝜇 + 𝜏𝑖 + 𝛽𝑗 + 𝛾𝑘 + (𝜏𝛽)𝑖𝑗 + (𝜏𝛾)𝑖𝑘 + (𝛽𝛾)𝑗𝑘 + (𝜏𝛽𝛾)𝑖𝑗𝑘 + 𝜖𝑖𝑗𝑘𝑙 ,
Fig. 6. Boxplot do desvio de temperatura para as 12 diferentes combinações de
níveis possíveis.
Por inspeção da Figura 6 é possível observar algumas
tendências. Considerando somente o fator tipo do recipiente
percebe-se que o vidro é pior que o acrílico que, por sua vez, é
pior que o metal revestivo à vácuo. Pode-se notar, em geral, que
as observações feitas com isopor tiveram temperaturas menores
do que as feitas sem isopor. E ainda, as observações feitas com a
cerveja Bohemia tiveram, no geral, temperaturas menores do
que as feitas com a cerveja Budweiser.
Porém, o número de réplicas por observação foi muito baixo:
2. Isto impede que conclusões e inferências estatísticas sejam
feitas mediante a simples análise da Figura 6. Considerando um
intervalo de confiança de 95%, percebe-se pela Figura 7 que não
é possível na maioria dos casos determinar com baixa variância
𝑖 = 1, 2
𝑗 = 1, 2
𝑘 = 1, 2, 3
𝑙 = 1, 2
(6)
em que µ é a média geral, τi representa o efeito do nível i do
fator “marca de cerveja”, βj representa o efeito do nível j do
fator “condição de isolamento”, γk representa o efeito do nível k
do fator “tipo de recipiente”, (τβ)ij , (τγ)ik , (βγ)jk e (τβγ)ijk
representam a interação entre os efeitos principais, e ϵijkl é o
resíduo (erro aleatório com distribuição normal de média zero e
variância σ2 ). Os índices 𝑖, 𝑗, 𝑘 representam, respectivamente, o
nível dos fatores “marca de cerveja”, “condição de isolamento”
e “tipo de recipiente”, e 𝑙 a replicação.
Os testes de hipóteses foram os seguintes:
Testar influência da marca da cerveja na variação de
temperatura final da cerveja
𝐻0 : 𝜏𝑖 = 0 ∀𝑖
𝐻1 : 𝜏𝑖 ≠ 0 ∃𝑖
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Testar influência da condição de isolamento na variação de
temperatura final da cerveja
𝐻0 : βj = 0 ∀𝑗
𝐻1 : βj ≠ 0 ∃𝑗
Testar influência do tipo de recipiente na variação de
temperatura final da cerveja
𝐻0 : γk = 0 ∀𝑘
𝐻1 : γk ≠ 0 ∃𝑘
Testar influência da interação entre os fatores principais na
variação de temperatura final da cerveja
𝐻0 : (𝜏𝛽)𝑖𝑗 = 0 ∀𝑖𝑗
𝐻1 : (𝜏𝛽)𝑖𝑗 ≠ 0 ∃𝑖𝑗
𝐻0 : (𝛽𝛾)𝑗𝑘 = 0 ∀𝑗𝑘
𝐻1 : (𝛽𝛾)𝑗𝑘 ≠ 0 ∃𝑗𝑘
5
com o nível de significância considerado, embora o gráfico da
Figura 8 induza o leitor a achar que a cerveja tenha influência.
É ainda notável da Tabela II, que o fator recipiente é o que
mais contribui (78,77%) para a variabilidade da resposta, sendo,
portanto, o fator mais importante no desvio de temperatura da
cerveja.
A Figura 9 mostra um gráfico de interação com as médias dos
níveis dos fatores que mais influenciaram na resposta do
experimento: condição de isolamento e tipo de recipiente.
𝐻0 : (𝜏𝛾)𝑖𝑘 = 0 ∀𝑖𝑘
𝐻1 : (𝜏𝛾)𝑖𝑘 ≠ 0 ∃𝑖𝑘
𝐻0 : (𝜏𝛽𝛾)𝑖𝑗𝑘 = 0 ∀𝑖𝑗𝑘
𝐻1 : (𝜏𝛽𝛾)𝑖𝑗𝑘 ≠ 0 ∃𝑖𝑗𝑘
A hipótese nula 𝐻0 indica a ausência de influência do fator ou
da interação de fatores na resposta. A hipótese alternativa 𝐻1
indica a existência de influência do fator ou da interação de
fatores na resposta.
A rejeição e a aceitação de casa hipótese de teste são válidas
para um determinado nível de significância 𝛼. Neste trabalho
estabeleceu-se que 𝛼 = 0,05, ou seja, as conclusões obtidas têm
um intervalo de confiança de 95%.
B. ANOVA
Para análise dos testes de hipóteses foi utilizada a análise de
variância (ANOVA) através do teste estatístico F [7]. O valor p
também foi calculado para auxiliar na tomada de decisão.
Porém, o teste foi feito assumindo-se algumas premissas:
• Distribuição normal dos resíduos;
• Independência dos dados;
• Variância constante e igual para todos níveis dos fatores.
O resultado da ANOVA para os 3 fatores e todas as suas
interações até 2ª ordem é apresentado na Tabela II. 3
Fig. 9. Distribuição dos 9 experimentos considerando a presença de 3 fatores
com 3 níveis por fator.
Da Figura 9, nota-se que a ausência do isopor para os
recipientes vidro e acrílico levam a temperaturas maiores do que
com a presença do isopor, sendo o isopor benéfico para ambos
os recipientes. O contrário ocorre com recipiente metálico
revestido à vácuo, em que a presença do isopor leva a um
aumento de temperatura em relação à ausência.
Com base no exposto, foi feito uma nova ANOVA
considerando somente os dois fatores que rejeitaram a hipótese
nula anteriormente, vide Tabela III.
TABELA III
ANOVA PARA 2 FATORES: ISOPOR E RECIPIENTE
TABELA II
ANOVA PARA 3 FATORES: CERVEJA, ISOPOR E RECIPIENTE
É notável da Tabela II, que dos 3 fatores principais, somente
2 têm influência nas respostas do experimento: “condição de
isolamento” (isopor) e “tipo de recipiente” (recipiente). Isto foi
verificado porque o valor p de ambos os fatores foram menores
que o nível de significância considerado a priori: 𝛼 = 0,05, de
modo que suas respectivas hipóteses nulas foram rejeitadas.
Verifica-se também a influência da interação entre os dois
fatores: “condição de isolamento” e “tipo de recipiente” na
resposta. As demais hipóteses nulas foram aceitas, ou seja, o
fator “marca da cerveja” não tem influência sobre a resposta
3
Interações de 3a ordem, como (𝜏𝛽𝛾)𝑖𝑗𝑘 , são pouco significativas [7].
Como o fator “marca da cerveja” não foi considerado, a soma
dos quadrados do erro passou naturalmente a ter um valor
maior. De qualquer forma, por meio da análise dos valore p da
Tabela III, verifica-se que os fatores mais relevantes (𝑝 < 𝛼)
são de fato o recipiente, o isolamento (isopor) e a interação
deles. Neste caso, o experimento foi considerado como tendo 4
replicações e 2 fatores, sendo um com 2 níveis e outro com 3,
mantendo as 24 observações originais.
C. Modelo de Regressão
O Minitab gerou dois modelos de regressão, sendo um
considerando a presença dos 3 fatores iniciais e outro
considerando a presença somente dos dois fatores relevantes. A
regressão linear foi feita pelo Método do Mínimos Quadrados.
Considere a seguinte codificação dos níveis apresentada na
Tabela IV.
TABELA IV
CODIFICAÇÃO DOS NÍVEIS DOS 3 FATORES DO EXPERIMENTO
Marca da Cerveja (𝒙𝟏 )
Budweiser (𝑥1 = −1)
Bohemia (𝑥1 = 1)
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6
Condição de Isolamento (𝒙𝟐 )
Sem Isopor (𝑥2 = −1)
Com Isopor (𝑥2 = 1)
Tipo de Recipiente
Vidro (𝒙𝟑 )
Acrílico (𝒙𝟒 )
Metal e vácuo (𝒙𝟓 )
Sem Acrílico (𝑥4 =
Sem Vidro (𝑥3 = −1)
Sem Metal (𝑥5 = −1)
−1)
Com Vidro (𝑥3 = 1)
Com Acrílico (𝑥4 = 1)
Com Metal (𝑥5 = 1)
O modelo de regressão com três fatores é apresentado na
Equação (7) e o reduzido a dois fatores na Equação (8).
𝑦 = 5,44 − 0,35𝑥1 − 0,40𝑥2 + 2,20𝑥3 + 0,15𝑥4 + 0,04𝑥1 𝑥2
− 0,04𝑥1 𝑥3 + 0,21𝑥1 𝑥4 − 0,61𝑥2 𝑥3
+ 0,04𝑥2 𝑥4 + ∈
𝑦 = 5,44 − 0,40𝑥2 + 2,20𝑥3 + 0,15𝑥4 − 0,61𝑥2 𝑥3
+ 0,04𝑥2 𝑥4 + ∈
normal ℵ(0, 𝜎 2 ), validando a premissa de distribuição normal.
Além disso, a variância de cada observação é aproximadamente
constante (homoscedasticidade), como mostra a Figura 11(a),
em que os resíduos são distribuídos aleatoriamente em torno de
0. Por fim, a Figura 11(b) revela a independência dos dados, em
que nenhuma tendência é observada no decorrer das
observações. Para o modelo reduzido, as premissas também são
validadas, como mostram as Figuras 12, 13(a) e 13(b).
(7)
(8)
Para o modelo (7) 𝑅2 = 91,26%, o que significa que 91,26%
de toda a variabilidade dos dados foi explicada pelo modelo.
2
= 85,63%. Para o
Considerando a quantidade de termos 𝑅𝑎𝑑𝑗
2
2
modelo (8) obteve-se 𝑅 = 87,82% e 𝑅𝑎𝑑𝑗 = 84,44%.
Do exposto, concluí-se que o modelo (8) é mais adequado
para fornecer as respostas do experimento, uma vez que conta
com um menor número de termos (simplicidade) e com uma
desprezível perda de generalidade em relação ao modelo (7),
2
é de apenas 1,19%
pois a diferença dos 𝑅𝑎𝑑𝑗
Vale ressaltar também que os coeficientes: 0,15 e 0,04 do
modelo (8) podem ser substituídos por 0,00 com 95% de
confiança, pois validam a hipótese nula de que são iguais a 0.
D. Validação das premissas
Como mencionado na Subseção IV-B, três premissas foram
assumidas para que o teste estatístico F pudesse ser feito. Resta
verificar a validade destas premissas analisando-se os resíduos
gerados tanto pelo modelo de 3 fatores (7), quanto para o
modelo reduzido de 2 fatores (8).
A Figura 10 e a Figura 11(a) e 11(b), mostram,
respectivamente, a proximidade dos resíduos à normalidade, a
distribuição dos resíduos em função do valor calculado pelo
modelo e do número da observação.
Fig. 10. Plot de normalidade dos resíduos do modelo (7).
Fig. 12. Plot de normalidade dos resíduos do modelo (8).
(a)
(b)
Fig. 13. Plot dos resíduos do modelo (8) em função do valor aproximado (a) e
do número da observação (b).
Embora a Figura 12 pareça violar a condição de normalidade,
um teste de normalidade foi feito por meio do Teste Ryan-Joiner
[8], fornecendo um valor p de 0,080, e portanto, assegurando
com 95% de confiança a validade da hipótese nula de que o plot
dos resíduos é uma distribuição normal.
V. CONCLUSÕES
Este trabalho foi bem sucedido, tem atendido aos objetivos
propostos. Foi verificado que o fator mais significativo no
desvio de temperatura da cerveja é o tipo de recipiente. Foi
verificado também que a presença do contâiner de isopor e sua
interação com o tipo de recipiente também influenciam no
resultado, embora de forma bem menos intensa, representando
somente 9,4% da variabilidade dos dados.
A marca de cerveja não influencia no resultado, ou seja, os
calores específicos em (5) são equivalentes.
O pior tipo de recipiente é o copo de vidro. O melhor é a
caneca metálica revestida à vácuo, cujo metal é uma barreira
reflexiva contra a radiação (4) e, o vácuo, isolante contra a
condução térmica (1).
REFERÊNCIAS
[1]
(a)
(b)
Fig. 11. Plot dos resíduos do modelo (7) em função do valor aproximado (a) e
do número da observação (b).
Por inspeção visual da Figura 10, nota-se que a curva dos
resíduos é bem próxima à reta que representa uma distribuição
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
http://portal.saude.gov.br/portal/arquivos/pdf/resultado_pesquisa_senad_2
007.pdf
http://www.myscienceproject.org/beer.html
http://pt.wikipedia.org/wiki/Condu%C3%A7%C3%A3o_t%C3%A9rmica
http://bohemia.com.br/cervejaria/
http://www.budweiser.com/default.aspx#/index
http://www.minitab.com/pt-BR/default.aspx
D. C. Montgomery. Design and Analysis of Experiment. 5th ed. John
Wiley & Sons, inc. New York, 2001.
Minitab v16 Help.