Matemática Discreta 2011.12
Cursos: EI, IG
Departamento de Matemática
Escola Superior de Tecnologia e de Gestão
Instituto Politécnico de Bragança
Ficha Prática 6: Cap3. Princípios Elementares de Contagem
6
PRINCÍPIOS DA MULTIPLICAÇÃO, DA ADIÇÃO E DA INCLUSÃO-EXCLUSÃO
1. Quantas sequências com 5 letras podem ser escritas usando as letras A,B,C?
2. *Quantos elementos tem o conjunto K3, sendo K={1,2,3}?
3. Qual a quantidade de números com 4 algarismos nos quais o dígito 3 aparece
apenas uma vez?
4. De 200 alunos de um curso de engenharia, 80 estão inscritos em Cálculo, 80 em
Álgebra e 80 em Física. O número de alunos que se inscreveram a quaisquer duas
disciplinas é igual a 30, e o número de alunos que se inscreveram nas 3
disciplinas é igual a 15.
a. Quantos alunos não se inscreveram em nenhuma disciplina?
b. Quantos alunos se inscreveram apenas em Física?
5. Utilize o teorema de Daniel da Silva para escrever o segundo membro da
igualdade A1  A 2  A 3  A 4  
PERMUTAÇÕES, ARRANJOS, COMBINAÇÕES, SIMPLES E COM REPETIÇÃO
6. De quantas maneiras se podem alinhar 10 pessoas de modo que duas delas
fiquem vizinhas?
7. Quantos números de 6 algarismos não têm 3 algarismos consecutivos iguais?
8. Quantas passwords se podem criar com duas letras e quatro dígitos?
9. *Considere as sequências de 0s (zeros) e 1s (uns).
a. Quantas sequências de comprimento 8 se podem escrever?
b. Quantas sequências de comprimento n se podem escrever?
c. Quantas sequências de comprimento 37 têm pelo menos dois 0s?
10. Considere as sequências de comprimento quatro formadas pelos dígitos de 0 a 9.
a. Quantas sequências existem?
b. Quantas destas sequências representam números múltiplos de 2?
11. Quantas formas existem de obter uma sequência de três letras, usando as letras
A, B, C, D, E,
a. Com repetição.
b. Sem repetição.
c. Sem repetição e contendo a letra E.
d. Com repetição e contendo a letra E.
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12. Se L for letra e D dígito, quantas chapas de matrícula de automóvel do tipo LLDD-LL são possíveis? E quantas com três letras A?
13. Temos um saco com bolas numeradas de 0 a 9. Tiramos três bolas ao acaso, sem
reposição. Qual a probabilidade de a terceira bola ser a bola 9?
14. Fazemos rolar dois dados equilibrados, um azul e o outro vermelho. Os dados
têm as faces numeradas de 1 a 6. Qual a probabilidade de que resultem valores
diferentes nos dois dados?
15. *Considere um baralho standard de 52 cartas. De quantas maneiras distintas se
podem escolher cinco cartas do baralho, sem reposição, tal que
a. As cartas são de apenas 3 naipes?
b. As cartas são de apenas 2 naipes e uma (e só uma) delas é uma figura?
16. Considere as sequências de comprimento quatro formadas pelos dígitos de 0 a 9.
Quantas destas sequências contêm os dígitos 3, 5, 9 e outro distinto destes?
17. De entre 120 estudantes, 90 têm matemática e 72 história. Se 10 não têm
nenhuma delas, quantos têm ambas?
18. Lançamos duas vezes um dado equilibrado. As faces são numeradas de 1 a 6.
Qual a probabilidade de que no segundo lançamento resulte um valor maior que
no primeiro?
19. Quantas sequências de
a. 2 letras (com repetição)
b. 3 letras (sem repetição)
c. 7 letras (só se podem repetir As e Bs)
se podem obter, usando as letras A, B, C, D, E?
20. Uma corrida de 800m é disputada por oito atletas. Quantas classificações finais
são possíveis supondo que
a. Todos concluem a prova?
b. Existem 2 atletas com muito melhor marca que os restantes, que ficam
nos dois primeiros lugares?
21. De quantas maneiras podemos escolher dois alunos quaisquer, numa turma de
trinta alunos? Se fizermos uma só escolha, qual a probabilidade de o aluno mais
novo da turma ter sido um dos escolhidos?
22. Quantos bytes com apenas três 1s existem? E com três 0s consecutivos?
23. Temos 8 fruteiras vazias e 3 peças de fruta. De quantos modos podemos
distribuir as peças de fruta pelas fruteiras se considerarmos as peças iguais? E se
elas forem diferentes entre si?
24. Considere um baralho normal de 52 cartas.
a. Quantas mãos de 5 cartas podem ser formadas?
b. Qual a probabilidade de uma mão de 5 cartas escolhidas
aleatoriamente, conter
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b.1) 5 cartas do mesmo naipe?
b.2) exactamente 2, 3 ou 4 ases?
25. Uma comissão de k pessoas vai ser escolhida de entre um conjunto de 7 homens
e 4 mulheres. De quantos modos pode ser feita essa escolha, se,
c. k = 5, sendo 3 homens e 2 mulheres.
d. k pode ser qualquer número positivo, mas a comissão deve ter igual
número de homens e mulheres.
e. k = 4, e um dos homens é o senhor António.
f. k = 4, e a comissão tem, pelo menos, 2 mulheres.
g. k = 4, duas pessoas de cada sexo, excluindo o senhor António e a
senhora Antónia.
26. Quantas sequências se podem formar usando as 7 letras da palavra ANTONIO?
27. Quantos caminhos em escada ligam os pontos ( x , y )  (0, 0) e ( x , y )  (7, 4)
do plano (os degraus têm alturas e larguras múltiplos de 1)?
28. Temos 12 caixas iguais, sendo 4 brancas, 5 vermelhas e 3 azuis.
a. De quantas formas, distintas quanto à sequência de cores, podemos
colocá-las numa fila?
b. O mesmo que a., sem que duas caixas brancas fiquem juntas.
29. De quantas maneiras se podem escolher 10 hot-dogs, sabendo que temos hotdogs de
a. 4 tipos.
b. 6 tipos.
c. 10 tipos.
d. 35 tipos?
30. De quantas maneiras podemos distribuir 10 bolas brancas por
e. 4 caixas
f. 6 caixas
g.
10 caixas
h. 35 caixas?
31. De quantas maneiras podemos escrever o número 10, como soma de
i. 4 inteiros positivos
j. 6 inteiros positivos
k. 10 inteiros positivos?
E se as parcelas forem não negativas?
32. *Quantas sequências com 10 letras podem ser obtidas, de 4 As, 4Bs, 4Cs, 4Ds, se
cada letra deve aparecer pelo menos 2 vezes?
33. De quantas formas podem ser escolhidas 13 bolas, de 50 bolas vermelhas, 50
bolas amarelas, 50 bolas brancas, 1 bola azul, 1 bola verde e 1 bola preta?
34. Um dado equilibrado é lançado 6 vezes. Qual a probabilidade de se obter um 1,
três 5s consecutivos e dois 6s?
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35. Mostre que o produto de n inteiros positivos consecutivos é múltiplo de n!.
TEOREMAS BINOMIAL E MULTINOMIAL
36. Simplifique as expressões.
a. 0!, 1!, 2!, 3!, 4!, 5!, 6!, n!, (5-3)!, 3.5!
b.
5! 7 !
6!
n!
n!
( n  k )!
, ,
, ,
,
.
3 ! 2 ! (6  2)! k !  n  k  !
k!
37. Desenvolva as seguintes expressões.
10
1
n
n
bk ,  a k ,  2   ,

k 1
k 1
k 0
k
k
n
 (1)
k
k 0
 2n 


 (2k )! 
38. Demonstre as igualdades seguintes. Interprete-as em termos combinatórios.
n  n 

k n k
a.    
n k   n  n  m
   

 k   m  m  k  m
b.    
39. Determinar os coeficientes de
a. x 2 yz 2 nas expansões de
( x  y  z )5 , ( w  x  y  2z )5
e
6
( 2x  y  z  1) ;
b. w 2 x 2 y 2 z 2 nas expansões de ( w  x  y  z  1)10 e
( 2w  x  3y  z  2)12 .
40. *Determinar
as
somas
( x  y ) e (x+y+z)3 .
dos
coeficientes
das
expansões
de
4
ORDENAÇÃO LEXICOGRÁFICA DE PERMUTAÇÕES E COMBINAÇÕES
41. Numa ordenação lexicográfica das permutações dos dígitos 1,2,3,4,5, quais as
permutações que se seguem a:
b. 25413 ?
b.24135 ?
c.251324 ?
42. Numa ordenação lexicográfica das permutações dos dígitos 2,4,5,7,8,9, quais as
permutações que se seguem a:
c. 547892;
d. 974852.
43. Escreva todas as permutações de comprimento 4 que se podem obter com os símbolos
 ,  , ,  .
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44. *Nos exercícios 40 e 41, quantas permutações antecedem cada uma das indicadas?
EXERCÍCIOS DE CONTAGEM VARIADOS
45. Enumerar todos os subconjuntos de quatro elementos do conjunto 1, 2, 3, 4, 5, 6 , por
ordem lexicográfica.
2, 3, 4, 5 ?
46. No exercício anterior, em que posição aparece o suconjunto
Quantos
subconjuntos com quatro elementos existem?
47. Quantos subconjuntos contém o conjunto 1, 2, 3, 4, 5, 6 ?
48. Sejam A e B dois conjuntos finitos. Mostre que se A  m e B  n , então o número de
funções que se podem definir de A em B é igual a mn.
49. Sejam A e B dois conjuntos finitos. Qual a relação entre os cardinais dos dois conjuntos,
de modo que se possa definir entre eles uma função injectiva?
50. Sejam A e B dois conjuntos finitos, A  m , B  n , m  n . Quantas funções
injectivas se podem definir de A em B?
51. Sejam A e B dois conjuntos finitos. Quantas funções sobrejectivas se podem definir de A
em B [nota: diz-se função de A sobre B no caso de se tratar de uma função
sobrejectiva]?
52. Sejam A e B dois conjuntos finitos. Qual a relação entre os cardinais dos dois conjuntos,
de modo que se possa definir entre eles uma função sobrejectiva?
53. Sejam A e B dois conjuntos finitos. Qual a relação entre os cardinais dos dois conjuntos,
de modo que se possa definir entre eles uma função bijectiva?
54. Sejam A e B dois conjuntos finitos, A  B  m . Quantas funções bijectivas se podem
definir de A sobre B?
Bibliografia: http://www.ipb.pt/~mar/MD2011.12/Bibliografia.html
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