3ª aula
Sumário:
Resultante de um sistema de forças. Lei de acção-reacção. Estática e condição de
equilíbrio estático. Segunda Lei de Newton. Exemplo de aplicação: partícula que se
move com aceleração constante.
Resultante de um sistema de forças
Quando várias forças actuam numa partícula, o seu efeito pode ser substituído
pelo efeito de uma única força equivalente. É a essa força, que vale por todas, que se
chama resultante das forças.
A força é uma grandeza vectorial e portanto, representa-se por um vector. A
determinação da resultante de duas forças quando estas não têm a mesma direcção
faz-se aplicando a chamada regra do paralelogramo esquematizada na Fig. 3.1 e que se
generaliza para um número arbitrário de forças aplicadas a um corpo.
F1
F1
P
F = F1 + F2
F2
F2
Figura 3.1
A resultante é, afinal, obtida a partir da soma vectorial de todas as forças aplicadas.
Quando são várias as forças a actuar num corpo verifica-se que estas mantêm a
sua independência. No caso da Fig. 3.1, digamos que a aplicação de F1 não altera F2 ,
nem a aplicação de F2 se vai reflectir em F1 . Cada uma das forças é independente da
outra ou das outras se forem mais de duas as forças aplicadas no corpo.
Veremos mais à frente nesta aula que da aplicação de uma força resulta uma
aceleração. A força F1 produz uma aceleração a1 e a outra força F2 uma aceleração
independente a 2 . A soma das forças produz uma aceleração que é a soma vectorial das
acelerações independentes. Por vezes esta independência das forças, que se generaliza a
um número arbitrário de forças aplicadas a um corpo, é mesmo elevada à dignidade de
Princípio da Dinâmica.
No SI a unidade de força é o newton (símbolo N).
Lei de acção-reacção
Como se disse antes, uma força resulta sempre de uma interacção mútua entre
dois corpos. E sempre que um corpo exerce uma força sobre outro, o segundo exerce
sobre o primeiro uma força de igual intensidade, com a mesma direcção mas sentido
1
oposto. Se uma partícula A exerce uma força F1 sobre uma partícula B, esta exerce
sobre A uma força
(3.1)
F2 = − F1 .
Convém enfatizar que a força que A exerce sobre B está aplicada em B (e não em A!).
E, do mesmo modo, a força que B exerce sobre A está aplicada em A.
F2
F1
A
Figura 3.2
B
Diz-se que as duas forças formam um par acção-reacção. Se a uma das força
chamarmos acção, a outra será chamada reacção. Na Fig. 3.2 as duas forças têm a
mesma linha de acção mas tal nem sempre acontece (tal como pode suceder com forças
magnéticas).
Na Fig. 3.3(a) representa-se um objecto sobre um suporte, por exemplo, uma
mesa.
N
P
(a)
(b)
N'
(c)
P'
centro da
Terra
Figura 3.3
Quais as forças que estão aplicadas sobre o objecto? Como identificar os pares acçãoreacção?
Na Fig. 3.3(b) representam-se as forças aplicadas no objecto. Temos, por um
lado, o peso ou força gravítica, P , que é a força atractiva que a Terra exerce sobre o
objecto. Por outro lado, o suporte onde o objecto se apoia exerce uma força N
designada por reacção normal. A soma ou resultante das duas forças aplicadas ao
objecto é uma força nula, mas as duas forças não são um par acção-reacção! Recorda-se
que as forças de um par acção-reacção têm de estar aplicadas em objectos distintos.
Qual é afinal o “par” da força P . E o “par” da força N ? Se o peso for a acção, a
reacção está aplicada no centro da Terra e é igual e de sentido oposto ao peso do corpo.
Trata-se da força com que o objecto atrai a Terra [por isso está aplicada no centro da
Terra, ver Fig. 3.3 (c)], tendo-se, evidentemente, P = − P ' . O par da força N está
aplicada no suporte e é a força que sobre ele o corpo exerce. Tem-se, obviamente,
N = −N ' .
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Estática e condição de equilíbrio estático
Vimos na 2ª aula que, quando não há forças aplicadas a um corpo ou quando a
resultante das forças aplicadas é nula – como a bola na parte de baixo da Fig. 2.6, que,
como não há atrito, está apenas sujeita ao seu peso e à reacção normal que se anulam
mutuamente –, a velocidade do corpo se mantém. Se inicialmente a velocidade for nula
num certo referencial, então o corpo permanecerá em repouso nesse referencial se as
forças aplicadas tiverem resultante nula. Podemos pois dizer que a condição de
equilíbrio estático é
R=
N
i =1
Fi = 0
(3.2)
sendo Fi cada uma das N forças aplicadas e R a sua resultante.
Na Fig. 3.4 o corpo permanecerá em repouso se inicialmente estiver em repouso,
pois a resultante das duas forças aplicadas é zero.
Figura 3.4
De uma maneira geral, um objecto pode ter movimento de translação e de
rotação. A condição de equilíbrio (3.2) apenas se refere a translações. Na verdade, pode
a condição anterior ser verificada e, contudo, o corpo não permanecer imóvel por
aplicação de duas forças iguais em grandeza, com a mesma direcção mas sentidos
opostos. O corpo representado na Fig. 3.5, inicialmente em repouso, tenderá a rodar já
que as duas forças não têm a mesma linha de acção.
Figura 3.5
A Eq. (3.2) não é, pois, a única condição de equilíbrio. Ela é uma condição
necessária para que se tenha equilíbrio estático mas não é condição suficiente. Há uma
outra condição, que diz respeito ao equilíbrio quanto a rotações que será mais tarde
apresentada e discutida.
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Lei Fundamental da dinâmica
Tomemos um corpo (que se possa considerar equivalente a uma partícula),
inicialmente em repouso num certo referencial, ao qual se aplica uma força constante.
(Sendo a força um vector, força constante significa que esta mantém não só a sua
grandeza, mas também a sua direcção e sentido.) Verifica-se experimentalmente que
uma força constante aplicada à partícula produz nela uma aceleração constante. E se a
intensidade da força passar para o dobro? Ou para metade? Nestes casos, é igualmente
um facto experimental que também a intensidade da aceleração passa o dobro ou para
metade, respectivamente. Se a força for nula a aceleração será nula e estas observações
permitem concluir que aceleração e força são directamente proporcionais.
Consideremos agora que duas forças iguais, de grandeza F, são aplicadas a
corpos de massas diferentes, m1 e m2. Como consequência da aplicação das forças
verifica-se experimentalmente que a razão dos módulos das acelerações adquiridas
pelos corpos é igual ao inverso da razão das massas:
a1 m2
=
.
a 2 m1
(3.3)
Os resultados das observações experimentais que temos vindo a descrever,
envolvendo várias forças aplicadas a um mesmo corpo ou uma mesma força aplicada a
diversos corpos permitiram concluir que força e aceleração se relacionam de acordo
com a equação
F = ma .
(3.4)
Esta é uma equação vectorial conhecida por Segunda Lei de Newton. Os vectores força
e velocidade são proporcionais, sendo a massa a constante de proporcionalidade. Massa
é uma grandeza de base do SI e expressa-se em quilogramas (símbolo kg).
A segunda lei de Newton que se exprime pela Eq. (3.4) contém a Primeira Lei.
Na verdade, quando se tem F = 0 , também a = 0 pela Segunda Lei e consequentemente
a velocidade é constante: v = C . Por outras palavras, se a resultante das forças que
actuam numa partícula for nula, a velocidade da partícula será constante. Ora, esta
conclusão mais não é do que a Primeira Lei ou Princípio de Inércia de Galileu.
Também o princípio de independência das forças antes mencionado está contido
em (3.4). Sejam a1 , a 2 , a 3 , as acelerações independentes produzidas por cada uma das
forças F1 , F2 , F3 , A resultante das forças produz uma aceleração que é a soma
vectorial das acelerações:
F = F1 + F2 + F3 +
= m(a1 + a 2 + a3 +
)= ma
(3.5)
com a = a1 + a 2 + a 3 + a soma vectorial de todas as acelerações produzidas
independentemente por cada uma das forças.
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Exemplo de aplicação: partícula com aceleração constante
Consideremos uma partícula que se move ao longo de uma trajectória rectilínea,
que podemos considerar como o eixo dos xx, sujeita a uma força constante F = F î .
Como o movimento é a uma só dimensão segundo uma direcção conhecida, podemos
dispensar a notação vectorial e representar a força simplesmente pelo ser valor F, o qual
é positivo se F apontar no sentido positivo de x e negativo se apontar no sentido
contrário. De acordo com a Eq. (3.4) em resultado da aplicação desta força a uma
partícula de massa constante m 1 esta adquire uma aceleração também constante que
designamos por a ( a > 0 se F > 0 ). O movimento resultante diz-se uniformemente
variado, podendo ser uniformemente acelerado se velocidade e aceleração tiverem o
mesmo sentido ou uniformemente retardado se aqueles dois vectores tiverem sentidos
opostos. Quando a aceleração é constante a velocidade é uma função linear do tempo:
v = a t + v0 ,
(3.5)
onde v0 é uma constante. Note-se que se derivarmos a velocidade em ordem ao tempo
encontramos a aceleração [ver Eq. (2.12)]. A velocidade obtém-se pois por primitivação
(operação inversa da derivação) ou, o que é sinónimo, por integração. A “constante de
integração” v0 tem um claro significado físico: trata-se do valor da velocidade no
instante inicial ( t = 0) . Insistimos que não são necessários vectores para representar
aceleração, velocidade e posição quando o movimento é a uma dimensão. E, nesse caso,
por exemplo se v0 > 0, tal significa que a velocidade inicial é ao longo do eixo dos xx
no seu sentido positivo.
A posição da partícula sobre a trajectória rectilínea é obtida por primitivação da
velocidade, já que a velocidade é a derivada do vector posição em ordem ao tempo
(2ª aula). Qual é a função que derivada em ordem ao tempo conduz à expressão (3.5)?
Essa função é
1
x = a t 2 + v0 t + x0
(3.6)
2
onde x0 é uma nova constante de integração cujo significado físico é claro: trata-se da
posição da partícula no instante t = 0 .
1
Se o sistema que se considera uma partícula tiver massa variável, as considerações seguintes já se não
aplicam, ou seja, uma força constante já não produz uma aceleração constante.
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