INTRODUÇÃO
A Origem da Geometria
Muitos séculos antes de Cristo, desenvolveu-se junto ao rio Nilo, na África, uma das mais
importantes civilizações da Antiguidade: os Egípcios. Esta civilização tinha nas margens férteis do rio
Nilo sua principal fonte de sobrevivência.
A econômia dos egípcios era baseada na agricultura e esta era regulada de acordo com as épocas
de enchente e vazante deste grande rio.
Uma vez por ano, de julho a setembro, as águas do Nilo transbordavam e inundavam grandes
extensões de terras ao longo de suas margens.
Quando as águas baixavam, uma substância negra, chamada húmus, depositava-se sobre a terra
fertilizando o solo.
Após cada inundação os egípcios precisavam medir a extensão de suas propriedades e redividir
suas terras, para não perde-las. Assim foram descobrindo várias propriedades geométricas.
Mais ou menos na mesma época os gregos motivados pela curiosidade científica começaram a
usar o raciocínio lógico no estudo da geometria.
O matemático grego Euclides, III AC., foi o primeiro a reunir todas as principais descobertas em
geometria e organizá-las de forma lógica e gradual.
A idéia era provar, sem experiências e medições, que os resultados práticos conhecidos são
sempre verdadeiros. Com este objetivo, Euclides escreveu “Os Elementos” onde parte de algumas
suposições simples para concluir ou provar propriedades geométricas através de raciocínio lógico.
“Os Elementos” foi a obra mais importante de Euclides e até hoje é baseado nela que as escolas de
Ensino Fundamental e Médio ensinam conceitos geométricos aos alunos.
Sólidos Geométricos
Introdução
Grande parte dos objetos que nos são familiares tem formas geométricas definidas; são
denominados sólidos geométricos.
São objetos que lembram Poliedros:
São objetos que lembram corpos redondos:
Denomina-se Poliedros o sólido geométrico limitado por polígonos planos que têm, dois a dois,
um lado comum. Elementos de um poliedro:
Vértice
Face
Face: Região poligonal que limita o poliedro.
Aresta: Interseção de duas faces.
Vértice: Interseção de 3 ou mais arestas.
Obs: Um poliedro possui no mínimo 4 faces.
Aresta
Poliedro Convexo: Quando o segmento da reta que ligar dois pontos quaisquer do poliedro estiver
contido no poliedro ele é chamado Poliedro Convexo.
x2
x1
De acordo com o número de faces , os poliedros convexos possuem nomes especiais.
Veja a tabela abaixo:
NÚMERO DE FACES
4
5
6
7
8
12
20
NOME DO POLIEDRO
TETRAEDRO
PENTAEDRO
HEXAEDRO
HEPTAEDRO
OCTAEDRO
DODECAEDRO
ICOSAEDRO
Observe alguns poliedros:
TETRAEDRO
PENTAEDRO
HEXAEDRO
HEPTAEDRO
OCTAEDRO
DODECAEDRO
Poliedro Não- Convexo: Observe a figura abaixo:
x1
x2
Nela vemos que existem pontos X1 e X2 do poliedro tais que o segmento de reta X1X2 não está
contido no poliedro, ou seja, uma parte do segmento “esta fora” do poliedro. De acordo com o seu n. de
faces um poliedro pode ser classificado em Tetraedro(4 faces), Pentaedro(5 faces), Hexaedro(6 faces) e
assim por diante.
A relação que veremos a seguir estabelece correspondência entre o número de vértices, o número
de arestas e o número de faces de um poliedro convexo.
Fórmula de Euler
O autor desta façanha é Leonardo Euler (lê-se Óiler), grande matemático suíço (1707-1783), que
produziu trabalhos em diversos ramos da ciência, como física, astronomia, biologia, matemática etc.
Tinha uma memória inigualável e uma incrível destreza com a matemática. Euler escrevia seus trabalhos
com a mesma facilidade com que um escritor redige uma carta. Nem a cegueira total que o afligiu durante
os últimos dezessete anos de vida modificou isso; parece até que a cegueira o ajudou a desvendar mais
ainda o seu mundo interior.
Em qualquer poliedro convexo vale a seguinte relação:
V-A+F = 2
Onde
V= n.. de vértices
A= n. de arestas
F= n. de faces
Faremos apenas a verificação dessa relação através de um exemplo, no qual contaremos os
vértices, as arestas e as faces de um poliedro.
V=8 vértices
F=6 faces
A=12 arestas
V-A+F=2
8-12+6=2
Poliedros de Platão
Denomina-se poliedro de Platão1 ao poliedro convexo que satisfaz as seguintes condições:
-
todas as faces têm o mesmo número de arestas
de cada vértice parte o mesmo número de arestas
Existem cinco e somente cinco poliedros de Platão
Tetraedro – possui 4 faces triangulares
Hexaedro – possui 6 faces quadrangulares
Octaedro – possui 8 faces triangulares
Dodecaedro – possui 12 faces pentagonais
Icosaedro – possui 20 faces triangulares
Poliedros Regulares
Denomina-se poliedros regulares àquele:
-
cujas as faces são polígonos regulares,
e seus ângulos poliédricos congruentes.
Só existem 5 tipos de poliedros regulares.
Tetraedro regular
Octaedro regular
Icosaedro regular
V = 4; F = 4; A = 6
(faces triangulares)
V = 6; F = 8; A = 12
(faces triangulares)
V = 12; F = 20; A =30
(faces triangulares)
Hexaedro regular
Dodecaedro regular
V = 8; F = 6; A = 12
V = 20; F = 12; A = 30
(faces
quadrangulares)
(faces pentagonais)
1
Platão (427AC). Filósofo e matemático grego. Ficou conhecido não como matemático, mas como “O Criador de
Matemáticos“. Os poliedros regulares foram chamados de “Sólidos de Platão” devido a maneira pela qual Platão os aplicou
para explicar fenômenos científicos.
Soma dos Ângulos das Faces
A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo é:
S = (V-2).360º
onde V é o número de vértices.
Demonstração:
V, A e F são nesta ordem o número de vértices, arestas e faces do poliedro.
Sejam n1, n2, n3, ...,nF os números de lados das faces 1,2,3,...,F, ordenadamente. A soma dos ângulos de
uma face é (n-2).180º
Para toda as faces temos:
S = (n1-2).180º + (n2-2).180º + (n3-2).180º + ... + (nF-2).180º
S = n1180º - 360º + n2180º - 360º + n3180º - 360º + ... + nF180º - 360º
S = (n1 + n2 + n3 +...+nF).180º - F.360º
mas n1 + n2 + n3 +...+nF = 2A, logo
S = 2A.180º - F. 360º
S = 360º.A – F.360º
S = (A – F).360º
Da relação de Euler, temos
V-A+F = 2 ⇒ V-2 = A – F
S = (V – 2).360º
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) Num poliedro convexo, o número de faces é 8 e o número de vértices é 12, calcular o número de
arestas.
F=8
Relação de Euler V-A+F = 2
V = 12
12 – A + 8 = 2 ⇒ A = 18
Logo, o poliedro tem 18 arestas
2)Um poliedro convexo possui seis faces quadrangulares e duas hexagonais. Calcular o número de vértice
desse poliedro.
Vamos determinar inicialmente o número de arestas.
6 faces quadrangulares: 6.4 =24 arestas
2 faces hexagonais: 2.6 = 12 arestas
Como cada aresta foi contada 2 vezes, temos 2A = 24 + 12 ⇒ A = 18
Aplicando a relação de Euler, temos V – A + F = 2 ⇒ V – 18 + 8 = 2 ⇒ V = 12
Logo, o número de vértices é 12
3) Numa publicação científica de 1985, foi divulgada a descoberta
de uma molécula tridimensional de carbono, na qual os átomos
ocupam os vértices de um poliedro convexo cujas as faces são
12 pentágonos e 20 hexágonos regulares, como numa bola de
futebol. Em homenagem ao arquiteto norte-americano Buckminter Fuller, a molécula foi denominada fulereno. Determine o numero d e átomos de carbono nessa molécula e o número de ligacoes entre eles.
Sendo V(vértices) o número de átomos e A(arestas) o número de ligações entre eles, temos:
12 faces pentagonais: 12 x 5 = 60 ligações
20 faces hexagonais: 20 x 6 = 120 ligações
Como cada aresta(ligação) foi contada 2 vezes, vem 2 A= 60 + 120 ⇒ A = 90
O número de átomos(vértices) pode ser obtido pela relação de Euler.
V – A + F = 2 ⇒ V – 90 + 32 = 2 ⇒ V = 60
Logo, a molécula possui 60 átomos e 90 ligações.
3) Determine a soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo de 12 vértices.
V = 12 S = (V – 2). 360º ⇒ S = (12 – 2).360º ⇒ S = 3600º
Logo, a soma dos ângulos das faces é igual 3600º.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Determinar o número de vértices de um poliedro convexo que tem 2 faces quadrangulares e 8 faces
triangulares. Resp: V= 8
2) Determinar o número de faces de um poliedro convexo com 9 vértices. Sabe-se que de 4 vértices
partem 3 arestas e dos outros 5 vértices partem 4 arestas. Resp: F = 9
3) Um poliedro convexo tem 14 arestas e 6 faces. Determinar:
a) o número de vértices desse poliedro, Resp: 10
b) a soma das medidas dos ângulos das faces desse poliedro. Resp: 2880º
4) Em um poliedro convexo de 20 arestas, o número de faces é igual ao número faces é igual ao número de vértices. Quantas faces tem esse poliedro ? Resp: 11 faces
5) ( FAAP-SP) Num poliedro convexo, o número de aresta excede o número de vértices em 6 unidades
Calcule o número de faces. Resp: 8 faces
6) A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo é 1080º. Determine o número de faces,
sabendo que o poliedro tem 8 arestas. Resp: 5 faces
7) Calcule a soma dos ângulos das faces do:
a) tetraedro regular Resp: 720º b) octraedro regular Resp: 1440º c) icosaedro regular Resp: 3600º
8) Qual a área da superfície de:
a) tetraedro regula de aresta 6m, Resp: 72 2 m2
b) icosaedro regular de aresta 5cm Resp: 125 3 cm2
9) (UNIRIO-RJ) Um geólogo encontrou, numa de suas explorações, um cristal de rocha no formato
de um poliedro, que satisfaz a relação de Euler, de 60 faces triangulares. O número de vértices é:
a)35 b) 34 c) 33 d) 32 e) 31 Resp: d
10) ( FUVEST-SP) O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que
essa pirâmide possui:
a)
b)
c)
d)
e)
33 vértices e 22 arestas
12 vértices e 11 arestas
22 vértices e 11 arestas
11 vértices e 22 arestas
12 vértices e 22 arestas Resp: e
Bibliografia
-
Matemática 2° grau-Vol. Único. José Ruy Giovanni, José Roberto Bonjorno, José Rui Giovanni
Junior. Editora F.T.D.
Matemática 2° grau – Vol. Único. Gelson Iezzi, Osvaldo Dulce, David Mauro Dregenszayn, Roberto
Périgo. Editora Atual.
Matemática 2° grau – Vol. Único. Paulo Bucchi. Editora Moderna.
Matemática 2° grau – Vol. Único. Edwaldo Bianchini, Herval Paccola,. Editora Moderna.
Matemática 2° grau – Vol. Único. Luiz Roberto Dante, Editora Atual
Matemática 2° grau – Vol. Único. Benigno Barreto Filho&Cláudio Xavier da Silva, Editora FTD
Apostila elaborada pelo Prof. Luiz Carlos Souza Santos
ESCOLA “DR. ALFREDO JOSÉ BALBI”-UNITAU
APOSTILA
POLIEDROS REGULARES
ÍNDICE
INTRODUÇÃO..............................................................................................PAG. 1
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS E POLIEDROS................................................PAG. 2
FÓRMULA DE EULER.................................................................................PAG. 4
POLIEDROS DE PLATÃO E POLIEDROS REGULARES.........................PAG. 5
SOMA DOS ÂNGULOS DAS FACES DE UM POLIEDRO CONVEXO....PAG. 6
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS........................................................................PAG. 6
EXERCÍCIOS PROPOSTOS..........................................................................PAG. 7
BIBLIOGRAFIA.............................................................................................PAG. 8