Estudo Numérico de Escoamentos em Membrana Tubular
Aplicado aos Processos de Microfiltração e Ultrafiltração
Juliana Maria da Silva
Sergio Rodrigues Fontes
[email protected]
[email protected]
Departamento de Engenharia Mecânica, EESC – USP, São Carlos-SP
2. Modelo Matemático
2.1 Formulação do modelo
de filtração
¾
¾
¾
¾
¾
¾
3. Resultados
Direção do
membrana
Laminar;
Incompressível.
Isotérmico;
Axissimétrico;
Tubo circular;
Paredes permeáveis.
4,0
2
r = R,
0 ≤ z ≤ L,
vw x106(m s-1)
-1
6
m
m
3
2
-1
ui = 0.051 m s
0,5
-1
ui = 0.204 m s
ci = 1.0wt.%
1
ci = 1.0wt.%
0,0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
0,2
0,4
0,6
-5
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
-5
∆pix10 (Pa)
∆pix10 (Pa)
Figura 3: Comparação dos resultados numéricos com valores experimentais do fluxo de
permeado médio para uma solução de Dextran T500.
¾Figura 3 mostra uma comparação de
resultados a fim de verificar a validação do
modelo.
¾Figura 4 mostra que a concentração
próxima a superfície da membrana
aumenta com a distância axial da entrada
do tubo, o que está de acordo com o
problema físico estudado, já que a
espessura da camada de polarização tende
a aumentar com a distância axial .
6,5
1,12
-1
1,10
1,08
u0 = 0.051 m s
z/R = 0.25L/R
z/R = 0.5L/R
z/R = 0.75L/R
z/R = 1L/R
1,06
1,04
1,02
1,00
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
r/R
Figura 4: Concentração local em função da
coordenada radial ao longo do eixo z, para
uma solução de Dextran T500.
u = 0,
m
vw x106(m s-1)
4,5
4,0
3,5
1,5
1,0
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
-5
∆p0x10 (Pa)
Figura 5: Fluxo de permeado médio em função
da pressão transmembrana para diferentes
concentrações de alimentação.
v = 0,
∂v
= 0,
∂z
v = 0,
v = vw =
resistência da
membrana
∆p
,
Rm + Rc
D
∂c
∂r
resistência da camada
de concentração de polarização
c = c0 ,
∂c
= 0,
∂z
∂c
= 0,
∂r
= vwcr = R
r=R
coeficiente
de difusão
2.3 Adimensionalização
z
r
u
v
z= , r= , u= , v= ,
R
R
u0
u0
5,0
¾ Figura 5 mostra que o fluxo de permeado
diminui quando o concentração, c0,
aumenta, isso ocorre porque quando se tem
um aumento no nível da concentração da
solução, aumenta-se também a concentração
de partículas na superfície da membrana e
conseqüentemente o fluxo diminui.
-1
u0 = 0.051 m s
c0 = 0.1wt.%
c0 = 0.2wt.%
c0 = 0.5wt.%
c0 = 1wt.%
2,0
2
u = u0 ,
∂u
= 0,
∂z
∂u
= 0,
∂r
6,0
2,5
2.2 Condições de fronteira
0 ≤ z ≤ L,
1,0
3,0
2
∂c ∂ (uc) 1 ∂ (rvc) 1  ∂ c ∂ c 1 ∂c 

+
+
=
+
+
.
∂t
∂z
r ∂r
Pe  ∂z 2 ∂r 2 r ∂r 
2
r = 0,
1,5
5,5
∂p 1  ∂ v ∂ v 1 ∂v v 
∂v 1 ∂ (rv ) ∂ (uv )

− ,
+
+
=− +
+
+
∂r Re  ∂z 2 ∂r 2 r ∂r r 2 
∂z
∂t r ∂r
0 ≤ r ≤ 1,
2,0
7,0
2
0 ≤ r ≤ R,
4
2,5
membrana
∂u 1 ∂ (rv)
+
= 0,
∂z r ∂r
2
1 ∂ (ruv )
∂u ∂u
∂p 1  ∂ 2u ∂ 2u 1 ∂u 

+
+
=− +
+
+
,
∂t ∂z r ∂r
∂z Re  ∂z 2 ∂r 2 r ∂r 
z = 0,
Present work
Yeh et al.
5
3,0
Figura 2: Representação do escoamento na membrana tubular.
z = L,
6
Present work
Yeh et al.
3,5
vw x10 (m s )
escoamento
A importância da filtração tangencial com
membranas em processos industriais, tais como no
processamento de emulsões, polpas, suspensões, e
outras misturas tem estimulado o interesse em entender
como se comporta o escoamento de tais fluidos. Nesse
processo o solvente é forçado ao transporte através da
concentração de polarização
membrana por aplicação de uma pressão transversal
(pressão transmembrana). Dessa forma, os sólidos da
mistura em solução são conduzidos para a superfície da
membrana por transporte convectivo e uma porção do
solvente é removida da mistura original, enquanto que
Filtrado
parte do soluto acumulado sobre a membrana é
transportado de volta à solução devido ao efeito Figura 1: Princípio da filtração tangencial.
difusivo. A parcela de soluto que se estabiliza junto
asuperfície da membrana é conhecida como camada de polarização. Então, considerando o
interesse em soluções numéricas para modelos de escoamento de fluidos em membrana
tubular, esse trabalho tem como objetivos apresentar um estudo numérico para o
escoamento de misturas aquosas em membrana tubular e investigar os efeitos de
parâmetros físicos no campo de concentração.
c/c0
1. Introdução
p
tu
p= 2, t = 0,
R
ρu 0
2.4 Método Numérico
¾ Discretização por diferenças finitas em malha deslocada;
¾ Termos convectivos aproximados pelo esquema HLPA;
¾ Pressão e velocidades são calculados pelo método SOLA.
c
c= .
c0
4. Conclusões
¾ Resultados numéricos apresentaram boa concordância com os resultados
experimentais;
¾ O modelo produz resultados compatíveis com os fenômenos associados ao problema
físico estudado.
6. Referências
¾Damak, K., Ayadi, A., Schimitz, P. and Zeghmati, B., 2004, “Modeling of Crossflow Membrane
Separation Processes under Laminar Flow Conditions in Tubular Membrane”, Desalination, Vol. 168,
pp. 231-239.
¾ Geraldes, V., semião, V. and Pinho, M.N., 2001, “Flow and Mass Transfer Modelling of
Nanofiltration”, Journal of Membrane Science, Vol. 191, pp. 109-128.
¾Yeh, H.M., Dong, J.H. and Shi, M.Y., 2002, “Effects of design and operating parameters on the
declination of permeate flux for membrane ultrafiltration along hollow-fiber modules”, Vol. 241, pp.
335-345.