Estruturas de Dados e
Complexidade de Algoritmos
Prof. Dr. Lucídio dos Anjos Formiga Cabral
PPGI/UFPB
Março/2009
Descrição do curso
• Conteúdo
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Introdução
Fundamentos de algoritmos
Análise da eficiência de algoritmos
Ordenação e estatísticas de ordem
Estruturas de dados avançadas
Técnicas avançadas de projeto e análise
Tópicos selecionados
Problemas NP-Completos
Bibliografia
•
Básica:
– CORMEN, T.; LEISERSON, C.; RIVEST, R.; STEIN, C.; Algoritmos:
Teoria e Prática, Editora Campus, Rio de Janeiro, 2002.
•
Complementar
– GOODRICH, M. T., TAMASSIA R., Projeto de Algoritmos, Editora
Bookman, Porto Alegre, 2004.
– ZIVIANI, N., Projeto de Algoritmos, Editora Pioneira Thomson, Belo
Horizonte, 2004.
– Knuth, D., The Art of Computer Programming, Volumes 1,2 e 3,
Addison-Wesley,1997.
– TOSCANI, L. V.; VELOSO. PAULO A. S. Complexidade de
Algoritmos, Editora Sagra-Luzzatto, 2001.
– SZWARCFITER, J.; Grafos e Algoritmos Computacionais, Editora
Campus, Rio de Janeiro, 1984.
– TERADA, R.; Desenvolvimento de Algoritmos e Estrutura de Dados.
Editora Makron Books, 1991.
Organização do Curso
• Página do curso
www.di.ufpb.br/~lucidio/complexest.htm
• 3 provas escritas
Introdução
• O que é um algoritmo?
– São as idéias implícitas nos programas de
computadores.
– Corresponde a um conjunto bem definido de
regras que especificam uma seqüência de
operações a serem aplicadas a um conjunto
de dados, chamado entrada, produzindo após
uma quantidade finita de tempo um conjunto
de dados chamado saída.
– Também
chamado
de
processo,
procedimento computacional, etc.
– Pode ser implementado de diferentes formas.
O que será estudado?
• Objetivos principais:
– Um conjunto de ferramentas práticas: uma
coleção de algoritmos fundamentais para uso
em outros cursos, ou em seus trabalhos
futuros.
– Estudo teórico: uma avaliação dos aspectos
envolvidos no projeto, análise ou seleção de
um algoritmo para um novo problema.
Exemplos de algoritmos
1 - Ordenação
Entrada: Uma seqüência de n números ‹a1, a2, ..., an›.
Saída: Uma reordenação da seqûëncia de entrada ‹a'1, a'2, ...,a'n›,
onde a'1 ≤ a'2 ≤ ... ≤ a'n
2 – Número Primo
Entrada: Uma número natural q.
Saída: sim ou não, dependendo se q é primo.
NÓS BUSCAMOS ALGORITMOS QUE SEJAM
CORRETOS E EFICIENTES !!!
Problemas
• Estudaremos
os
problemas
computacionais, que consistem de uma
descrição geral da questão a ser
respondida,
em
geral,
envolvendo
algumas variáveis livres ou parâmetros.
• Uma
instância
de
um
problema
computacional é uma questão específica
obtida
por
associar
valores
aos
parâmetros do problema.
Problema do Caixeiro Viajante
• Instância: Um conjunto de cidades X
juntamente com a informação de
distância d(x,y) entre qualquer
par x, y pertencentes a X.
• Questão: Qual é a menor rota
circular que inicia e termina em uma
dada cidade e visita todas as
cidades?
Problema Computacional
• Um instância de um problema computacional é
um possível valor para a entrada.
– ‹45, 7, 13, 23, 2› é uma instância para o problema da
ordenação.
– 29 é uma instância para o problema dos números
primos.
• Um algoritmo está correto se, para qualquer
instância, ele termina e retorna como saída o
valor esperado.
Como expressar algoritmos?
• Aspectos como precisão e facilidade
de expressão são importantes.
• Três formas
– Linguagem natural
– Pseudo-Código
– Linguagem de Programação
• Infelizmente,
quanto
maior
a
facilidade de expressão menor é a
precisão.
Corretude
• Para qualquer algoritmo, nós devemos
provar que ele sempre retorna a saída
desejada para todas as instâncias válidas
do problema.
• Para a ordenação, isto deve ser válido
ainda que a entrada já esteja ordenada,
ou que contenha elementos repetidos
Quão bom é um dado algoritmo?
• Existem muitas considerações
envolvendo esta questão?
– Corretude
• Corretude teórica
• Estabilidade númerica
– Eficiência
• Complexidade
• Velocidade
• Uso de outros recursos
Corretude não é óbvia!
•
•
•
O seguinte problema aparece em aplicações de manufatura e
transporte.
Suponha que você tenha um braço de robô equipado com um soldador.
Para habilitar o braço do robô a soldar todos os pontos de contato,
devemos construir uma ordem de visita aos pontos.
Desde que robôs são caros, nós precisamos encontrar a ordem que
minimiza o tempo (ou distância percorrida) que ele gasta para efetuar a
solda nos pontos desejados.
Imagine um algoritmo para encontrar o melhor percurso!
Estratégia do vizinho mais próximo
•
•
Uma solução muito popular inicia em algum ponto p0 e então caminha em
direção ao vizinho mais próximo, digamos p1, e repete o procedimento.
Algoritmo
Visite o ponto inicial p(0)
P = p(0)
i = 0
Enquanto existir ponto não visistado
i = i + 1
Seja p(i) o ponto não visitado, mais próximo de p(i-1)
Visite p(i)
Retorne para p(0) a partir de p(i)
•
Este algoritmo é simples de entender e implementar e muito eficiente.
Entretanto .............
Estratégia do vizinho mais próximo
•
Entretanto, ele não é CORRETO!!!
Adotar a estratégia de sempre começar pelo ponto mais à esquerda ou
a partir de qualquer outro ponto não corrige o problema.
Um algoritmo correto
•
•
Nós podemos tentar todas as ordens possíveis dos pontos e então
selecionar a ordem que minimiza o comprimento total.
Algoritmo
d = INF
Para cada uma das n! Permutações Pi dos n pontos
Se (custo(Pi) <= d) então
d
= custo(Pi)
Pmin = Pi
Retorne Pmin
•
•
•
Desde que todas as ordens possíveis são consideradas, tem-se a
garantia de terminar com o percurso (ciclo) de menor custo possível.
Para valores ainda modestos de n este algoritmo se torna inviável.
Nenhum algoritmo correto eficiente existe para o problema do caixeiro
viajante.
O modelo RAM
• Algoritmos são a única parte durável, importante e original
da ciência da computação porque podem ser estudados de
modo independente da linguagem e da máquina.
• Assim sendo, faremos toda a nossa análise baseada no
modelo de computação RAM (Máquina de Acesso
Aleatório).
– Cada operação simples (+, -,=,if, call) toma exatamente um passo.
– Laços e chamadas de procedimentos não são operações simples,
mas dependem sobre o tamanho da entrada e do conteúdo do
procedimento.
– Cada acesso a memória toma exatamente um passo
• Nós medimos o tempo de execução de um algoritmo
contando o número de passos.
Complexidade de melhor, médio e pior caso
•
•
•
A complexidade de pior caso de um algoritmo é a função definida pelo
número máximo de passos tomados sobre qualquer instância de tamanho n.
A complexidade de melhor caso de um algoritmo é a função definida pelo
número mínimo de passos tomados sobre qualquer instância de tamanho n.
A complexidade de caso médio de um algoritmo é a função definida pelo
número médio de passos tomados sobre qualquer instância de tamanho n.
Ordenação por Inserção
•
Uma maneira de ordenar um vetor de n elementos é iniciar com
uma lista vazia e sucessivamente inserir novos elementos na
posição correta:
•
Em cada estágio, o elemento inserido forma uma lista ordenada
e após n inserções tem-se a lista totalmente ordenada.
Quão eficiente é este algoritmo?
O tempo de execução muda para instâncias diferentes!!!!
Como esse algoritmo se comporta para uma lista já ordenada
na entrada?
E para uma lista ordenada em ordem inversa?
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•
•
•
Análise exata da ordenação por
inserção
•
Contaremos o número de vezes que cada linha do pseudo-código será
executada.
Análise exata da ordenação por
inserção
• Para calcular T(n) do algortimo de ordenação, faremos:
Análise exata da ordenação por
inserção
• Melhor caso: lista ordenada de elementos
• Avaliando o laço do enquanto podemos achar
T[ j ] <= x quando x tem valor inicial (i-1). E
observamos que t(i)=1 para i=2,...,n. Portanto, o
tempo de execução, neste caso é:
• O tempo de execução pode ser expresso então como:
T(n) = an + b
Análise exata da ordenação por
inserção
• Pior caso: lista ordenada na ordem inversa
– Cada elemento T[ i ] deve ser comparado com todos os
elementos da lista ordenada T[1...j –1] tal que t(i)=i para
i=2,3,...,n.
– Observe que:
Análise exata da ordenação por
inserção
• Portanto:
Análise exata da ordenação por
inserção
• Que pode ser expresso como:
Análise do pior caso e do caso
médio
• Na análise do algoritmo de ordenação
consideramos o melhor e o pior caso. Vamos nos
concentrar apenas no tempo de execução do
pior caso, pois:
– Seu tempo de execução corresponde a um limite
superior sobre o tempo de execução para qualquer
instância.
– Ocorre com freqüência em alguns algoritmos.
• Exemplo: pesquisa em um banco de dados por
informação não armazenada.
– Muitas vezes, o caso médio é quase tão ruim quanto o
pior caso.
Ordem de Crescimento
• A função obtida na análise do pior caso do
algoritmo de ordenação foi a função n2+bn+c.
Esta função pode ser representada pelo termo n2
que tem crescimento muito superior aos demais
termos.
• A ordem de crescimento é dada pelo termo mais
significante da função. No algoritmo de
ordenação nós dizemos que ele é de O(n2).
• Um algoritmo é mais eficiente que outro, se seu
tempo de execução no pior caso tem uma ordem
de crescimento menor.