GELSON IEZZI
FUNDAMENTÚS DE
_
6
MATEMATICA
ELEMENTAR
COMPLEXOS
POLINÔMIOS
EQUAÇÔES
85 exercícios resolvidos
253 exercícios propostos com resposta
207 testes de vestibulares com resposta
2~
edição
ATUAL
EDITORA
Capa
Roberto Franklin Rondino
Sylvio Ulhoa Cintra Filho
Rua Inhambu, 1235 - S. Paulo
APRESENTACÃO
I
Composição e desenhos
AM Produções Gráficas Ltda.
Rua Castro Alves, 135 - S. Paulo
Artes
Atual Editora Ltda.
Fotolitos
H. o. P. Fatol itos Ltda.
Rua Delmira Ferreira, 325 - S. Paulo
Impressão e acabamento
Companhia Melhoramentos de São Paulo
Rua Tito, 479 - S. Paulo
CIP-Brasil. Catalogação-na-Fonte
câmara Brasileira do Livro, SP
F917
v.1-2,
"-6
Fundamentoe de mstem8tJ.ce elemenhr rpor) Gella" leu1 (e outros)
são Paulo, 'AtueI
Ed •• 1917-
Co-autores: Cerloa Mur8k!llTll, Oeveldo Dolce
I!! Sl!IIIIuel Hezzen; li !lutaria doe volumes individuais yerle entre De 4 autores_
Conteudo: v.l. Con1untoB, funçõea.-v.2.
Logerltmoe.-v.4. Seqüenche. me}rhea determl
nentl", e1stemel.-v.5. Comblnatorh, probehllidade.-v.6. Complexos, polinômioll, lQUIlÇÕ8S.
1. Metemátlcll (2'1 grau) t. Dolce, Ol!lvl!Ildo,
1938- lI. luzi, Gela0", 1939- III. Hezzan,
Samuel, 1946- IV. Hurek8l!ll, Cerloll, 1943-
77-1333
COO-SlD
tndice
para catálogo sistemático:
1. Milt_tlca
51D
Todos os direitos reservados a
ATUAL EDITORA LTDA
Rua José Antônio Coelho, 7B5
Telefones: 71-7795 e 549-1720
CEP 04011 - São Paulo - SP - Brasil
"Fundamentos de Matemática Elementar" é uma coleção em dez volumes
elaborada com a pretensão de dar ao estudante uma visão global da Matemática,
ao n(vel da escola de ':f! grau. Desenvolvendo os programas em geral adotados para
o curso colegial, os "Fundamentos" visam aos alunos em preparativos para exames
vestibulares, aos universitários que necessitam rever a Matemática Elementar e
também, como é óbvio, àqueles alunos de colegial mais interressados na "rainha
das ciências".
No desenvolvimento dos inúmeros cap(tulos dos livros de "Fundamentos"
procuramos seguir uma ordem lógica na apresentação de conceitos e propriedades.
Salvo algumas exceções bem conhecidas da Matemática Elementar, as proposições
e teoremas estão sempre acompanhados das respectivas demonstrações.
Na estruturação das séries de exerc(cios, buscamos sempre uma ordenação
crescente de dificuldade. Partimos de problemas simples e tentamos chegar a questões
que envolvem outros assuntos já vistos, obrigando o estudante a uma revisão. A
seqüência do texto sugere uma dosagem para teoria e exerc(cios. Os exerc(cios
resolvidos, apresentados em meio aos propostos, pretendem sempre dar explicação
sobre alguma novidade que aparece. No final do volume o aluno pode encontrar
a resposta para cada problema proposto e asim, ter seu reforço positivo ou partir
à procura do erro cometido.
A última parte de cada volume é constitu(da por testes de vestibulares até
1.977 selecionados e resolvidos o que pode ser usado para uma revisão da matéria
estudada.
Queremos consignar aqui nossos agradecimentos sinceros ao Prof. Dr. Fernando
Furquim de Almeida cujo apoio foi imprescind(vel para que pudéssemos homenagear
nesta coleção alguns dos grandes matemáticos, relatando fatos notáveis de suas
vidas e sua obras.
Finalmente, como há sempre uma enorme distância entre o anseio dos autores
e o valor de sua obra, gostar(amos de receber dos colegas professores uma apreciação sobre este trabalho, notadamente os comentários crl'ticos, os quais agradecemos.
Os autores
ÍNDICE
CAPITULO I - NÚMEROS COMPLEXOS
I. Corpo dos números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11. Forma algébrica
111. Forma trigonométrica
IV. Potenciação
V. Radiciação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
VI. Equações binômias e trinômias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
l-F
6-F
l5-F
28-F
34-F
4l-F
cAPfrULO 11 - POLINÔMIOS
I.
11.
111.
IV.
V.
VI.
Polinômios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
Igualdade
Operações
Grau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
Divisão
Divisão por binômios do 1? grau
47-F
48-F
52-F
57-F
61-F
70-F
CAPITULO 111 - EQUAÇÔES POLINOMIAIS
I.
11.
111.
IV.
V.
VI.
VII.
VIII.
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85-F
Definições
. 85-F
Número de rafzes
. 89-F
Multiplicidade de uma raiz
. 94-F
Relações entre coeficientes e rafzes
. 97-F
Rafzes complexas
. 108-F
Rafzes reais
. 112-F
Rafzes racionais
. 119-F
CAPfTULO IV - TRANSFORMAÇÕES
I. Transformações
11.
111.
IV.
V.
Transformação multiplicativa,
,
Transformação aditiva
Transformação reciproca
Equações reciprocas
,.........
, . . . ..
125-F
126-F
'
127-F
133-F
135-F
,
, . . . . . . . . . . . . . . . ..
CAPfTULO V - RAfZES MÜLTIPLAS E RAfZES COMUNS
I. Derivada de uma função polinomial
11.
111.
IV.
V.
Raizes múltiplas
Máximo divisor comum
Raizes comuns
Minimo multiplo comum
,.................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
RESPOSTAS DE EXERGrCIOS
145-F
151-F
155-F
159-F
163-F
167-F
TESTES ........................................... 177-F
RESPOSTAS DOS TESTES
"
207-F
Evarist Galois
(1811 - 1832)
Intelectual morre em duelo
NUMEROSCOMPLEXOS
Aos 12 anos mostrava pouco interesse por Latim, Grego e Álgebra mas a
Geometria de Legendre o fascinava.
Aos 16 anos, julgando-se em condições, procurou entrar na Escola Politécnica
mas foi recusado por falta de preparo e isto marcou o seu primeiro fracasso.
I.
Aos 17 anos escreveu um artigo onde expôs suas descobertas fundam.
entregando-o a Cauchy para que o apresentasse na Academia. Cauchy perdeu 'c"
trabalho e com isto veio o seu segundo fracasso marcante.
Logo mais perdeu o pai que, devido a intrigas clericais, se suicidou. Desiludido, Galois entrou na Escola Normal para preparar-se a fim de ensinar, sempre
continuando com suas pesquisas.
Em 1830 escreveu um artigo para o concurso de Matemática da Academia
entregando-o para Fourier, que morreu logo depois e o artigo foi perdido.
Com tantas frustrações Galois acabou por aderir às causas da revolução de
1830, foi expulso da Escola Normal e mais tarde entrou para a guarda nacional.
Galois iniciou suas pesquisas com um trabalho de Lagrange sobre permutações de raízes, o que lhe deu condições necessárias e suficientes para concluir que
equações polinomiais são resolúveis por radicais e, baseado nas provas de Abel,
descobriu que as equações algébricas irredutlveis são resolúveis por radicais somente
se o grupo de permutações sobre suas raizes também é resolúvel. Sobre isso forneceu um algoritmo para achar essas raizes, assim como outros postulados sempre
voltados mais para a estrutura algébrica do que para casos espec(ficos, dando um
tratamento aritmético à Álgebra.
Em suas obras está impl Icito o conceito de "corpo" que mais tarde Dedekind
definiria de forma expllcita.
Na época Galois entregou a Poisson um artigo contendo sua teoria e este o
classificou de "incompreenslvel" mas hojl1 o que chamamos de "Matemática Moderna" nada mais é do que as idéias de Galois que estão chegando até nós.
Em 1832, envolvendo-se com uma mulher, em nome de um código de honra,
não pode evitar um duelo. Na noite anterior passou as horas rascunhando notas
para a posteridade numa carta a seu amigo. Na manhã de 30 de maio encontrou
seu adversário recebendo um tiro fatal. Socorrido por um camponês, morreu num
hospital para onde foi levado, aos 20 anos de idade.
CAPÍTULO]
,
tvarist Galois nasceu nas proximidades de Paris, na aldeia de Bourg la-Reine,
onde seu pai era prefeito.
CORPO DOS NOMEROS COMPLEXOS
1.
Seja IR o conjunto dos números reais. Consideremos o produto cartesiano
IR X IR ~ IR 2 :
IR 2 ~ {(x, y)
I x E IR e
y E IR}
isto é, IR 2 é o conjunto dos pares ordenados (x, y) em que x e y são números reais.
Vamos tomar dois elementos, (a, b) e (c, dI, de IR 2 para dar três definições
importantíssimas:
a) igualdade: dois pares ordenados são iguais se, e somente se, apresentarem
primeiros termos iguais e segundos termos iguais.
(a, b) = (c, d) _
a= c e b =d
b) adição: chama-se soma de dois pares ordenados a um novo par ordenado cujos primeiro e segundo termos são, respectivamente, a soma dos primeiros e a
soma dos segundos termos dos pares dados.
(a,b)
+ (c, d) = (a + e, b + d)
c) multiplicação: chama-se produto de dois pares ordenados a um novo par
ordenado cujo primeiro termo é a diferença entre o produto dos primeiros termos
e o produto dos segundos termos dos pares dados e cujo segundo termo é a soma
dos produtos do primeiro termo de cada par dado pelo segundo termo do outro.
(a, b) • (c, d)
= (ae -
bd, ad
+ be)
l-f
2.
Definição
4.
Chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por 0;, o conjunto
dos pares ordenados de números reais para os quais estão definidas a igualdade, a
adição e a multiplicação conforme o item 1.
Teorema
A operação de adição define em O; uma estrutura de grupo comutativo, isto é,
verifica as seguintes propriedades:
lA - 1] propriedade associativa
lA - 2] propriedade comutativa
É usual representar-se cada elemento Ix, y) E O; com o símbolo z, portanto:
[A -- 3] existência do elemento neutro
lA - 4J existência do elemento simétrico
(x, y) sendo x, y E IR
Demonstração
3.
lA - 1] (ZI + Z2) + Z3 = ZI + (Z2 + z31. V ZI, Z2, Z3 E
Aplicações
(ZI + Z2) + Z3
1?)
Dados ZI
(2, 11 e Z2
O;
[(a,b) + (c,dl] + (e,f) = ia+c, b+d) + (e, f) =
[(a+c) + e, (b+d) + f] = [a + (c+e), b + (d+f)]
Temos:
ia, b) + (c + e, d + f) = (a + b) + l(c, d) + (e, f)] =
ZI + (Z2 + Z3)
2 1 + Z2 ~ (2, 1) + (3, OI ~ i2 + 3, 1 + O) ~ (5, 11
ZI . Z2 = i2, 1) • (3, O) = (2 • 3 - 1 . O, 2 • O + 1 3) = (6,31
2
Z I :::: II . zl ~ i2, 1) • i2, 1) = (2 • 2 - 1 • 1, 2 • 1 + 1 . 2) ~ (3, 4)
Dados ZI = (1, 2) e Z2 = (3, 4), calcular Z tal que ZI + Z = Z2'
+
c, b
(a, b) + (c, d)
(a
(c, d) + (a. b)
Z2 + Z,
+ d)
(c
+
~
Ix, y) tal que z
a, d
+ b)
Temos:
=
ZI + Z ~ Z2
=
(1, 2) + (x, y)
(1 + x, 2 + y)
~
(3, 4)
(3,4)
={1
~
'Z~Z2~
Z
+ e a ~ z, V
zl.=
(2,3), calcular Z tal que
li'
lA - 4] V
1
2
(a, b) <-~-.>
Z
E 0;, ::I z' E O;
IZ +
Z = (-
1
O;
ra +
X
a
= Jx
=
O
Lb
y
b
lv
=
O
i
+
Z:
z' = e a
(x, y) tal que Z + z' = ea :
Fazendo Z = (a, b), provemos que existe z'
=
portanto
E
portento existe e a ~ iO, OI. chamado elemento neutro para a adição, que somado
e qualquer complexo Z dá como resultado o próprio z.
Z ._. Z2.
=(1,-1),(x,y)··(2,3I"'=(x+y,y-xl'i2,3)c=
y - x = 3
Z
(a, bl. provemos que existe e a
ia, b) + (x, y)
Temos:
li
~
E a; I
(2, 21.
Dados ZI ~ (1, -1) e
<'"'/3?1
2
y
::I e a
Fazendo Z
2
+ x
2 +
portanto Z
lA - 3]
=
5
- 2
(a, bl + (x, yl ~ (0,01=
f
a+ x
=
O
I
Ib+y=O
5
portanto existe z'
i-a, -b), chamado simétrico ou inverso aditivo de z, que
somado ao complexo Z ~ (a, b) dá como resultado e a ~ (O, O).
2' 2)'
2-F
3-F
/
5.
Subtração
(a, b) • (x, y) ~ (a, b) <=> (ax - by, ay + bxl
fax - by ~ a
Decorre do teorema anterior que, dados os complexos ZI ~ (a, b) e Z2 ~ (c, dI,
existe um único z E O; tal que ZI + Z
Z2' pois:
Lbx
{
+ ay ~ b
x
~
1
y
~
O
(a, bl
<=>
portanto existe em = (1, O), chamado elemento neutro para a multiplicação, que
mulfiplicado por qualquer complexo z dá como resultado o próprio z.
Esse número Z é chamado diferença entre z2 e ZI e indicado por z2 - ZI'
portanto:
(c,d) + (-a, -bl
IM - 4] 'V z E
o;~
::J z" E O; I z • z"
=
em
(,)
(c - a, d - b)
Exemplo
(7,4) - (6, 1) = (7,4) + (-6, -11 ~ (7 - 6, 4 - 1) ~ (1,3)
6.
(1, OI
(a, bl • (x, y)
<=>
(ax - by, ay + bx)
.
A operação de multiplicação define em O; uma estrutura de grupo comutativo, isto é, verifica as seguintes propriedades:
[M - 1 J propriedade associativa
IM - 2] propriedade comutativa
"
portanto eXiste Z
~
I
-b
a
x
Teorema
(1, O) <=>
a
-b
a 2 + b 2 '~+b2
I,
ax - by
=
1
bx + ay
~
O
f
~do_in~~rso ou iflversOITlulti-
plicativo de z, que multiplicado por z = (a, bl dá como resultado em
(1, O).
2
2
Obs~rvem~s que a condição a
O ou b
O equivale a a + b
O e isto
garante a existência de z".
'*
'*
'*
[M - 3] existência do elemento neutro
IM - 4] existência do elemento inverso
7.
Divisão
Demonstração
IM - 1] (ZI . Z2) . z3 ~ ZI • (Z2 • z3), 'V Z\, z2, Z3 E
e
O;
z, . Z2 ~ Z2 • Z\, 'V Z"
I z • em
=
4-F
Z2' Z'I'=
Exemplo
"13,"4)=
z. 'V z E O;
Fazendo z ~ (a, bl, provemos que existe em
z'\' • Z2= (z'\' . z\1 . z
(~~_~ciil_~..<:!?.I
a2 + b 2 a 2 1 b 2
Z2 E O;
(1, 2)
'J em E O;
=
z,
zl . z2 ~ (a, b) • (c, di = (ac - bd, ad + bel
~ (ca - db, cb + da) = (c, di • (a, bl = Z2 . ZI
IM - 3]
(O, O)
portanto:
(a, b) • (ce -- df, cf + de) ~ (a, b) . [(c, d) • (e, fi] = ZI • (Z2 • Z3)
21
'*
Z2
Esse número z é chamado quociente entre Z2 e z, e indicado por-
=
[a(ce - cf) - b(de + cf), a(de + cf) + b(ce - df)] ~
[M -
(a, bl
=> em • Z ;::;: 22 • Z'l' ::::::::::::::: Z ::: 22 • z'}'
[(ac - bd)e - (ad + bc)f, (ac - bd)f + (ad + bc/e] =
lace - bde - adf - bcf, acf - bdf + ade + bce]
Decorre do teorema anterior que, dados os complexos Z\
(C, di, existe um único z E C tal que z\ . z ~ Z2 pois:
~
ZI • z ~ Z2= z;' . (ZI • zl
(ZI 'Z2) 'Z3 ~ [(a,b). (c, d)]· (e, f) ~ (ac-bd.ad+bc)· (e,f)
=
Z2
(x, y) tal que z . em
z:
3
(1,2/' (3 2 + 4"
(*) 0;* = O; -
4
3
32 +4 2 I - (1,21(25
4
25)
(11.1.)
25
25
{(O, OI}
5-F
8.
Primeiramente notemos que f é bijetora pois:
Teorema
1) todo par (x, O) E R' é o correspondente, segundo f, de x E IR (isto quer di·
Em <C, a operação de multiplicação é distributiva em relação à adição:
[O]
ZI • (Z2
+
Z3) = ZI • Z2
+
ZI • z), \fZI, Z2, z)
zer que f é sobrejetora);
'*
E <C
2) dados x E IR e x' E IR, com x
x', os seus correspondentes (x, O) E R' e
(x', O) E R' são distintos, de acordo com a definição de igualdade de pares
ordenados (isto quer dizer que f é injetora).
Demonstração
ZI • (Z2
+ z))
=
(a, b) . [(c, d) + (e, f)]
=
[a (c + e) - b (d + f), a (d + f) + b (c + e)]
(a, b) . (c+ e, d +f)
=
[ac + ae - bd - bf, ad + af + bc + be]
=
[(ac - bd) + (ae - bf), (ad + bc) + (af + bel]
(ac - bd, ad + bc) + (ae - bf, af + bel
(a, b) . (c, d) + (a, b) • (e, f)
= ZI • Z2
Em segundo lugar, notemos que f conserva as operações de adição e multiplicação pois:
1) à soma a + b, com a E IR,e b E IR, está associado o par (a + b, OI que é a
soma dos pares (a, O) e (b, OI, correspondentes de a e b, respectivamente:
=
=
+ ZI
•
f(a + b) = (a + b, O) = (a, OI + (b, O) = f(a) + f(b)
z)
Verificadas as propriedades A - 1, A - 2, A - 3, A - 4, M - 1, M - 2, M - 3,
M - 4 e O podemos afirmar que as operações de adição e multiplicação definem
sobre <C uma estrutura de corpo comutativo; <C é, portanto, o corpo dos números
complexos.
11. FORMA ALGEBRICA
2) ao produto ab, com a E IR e b E IR, está associado o par (ab, O) que é o
produto dos pares (a, O) e (b, O), correspondentes de a e b, respectivamente:
f(ab) = (ab, O) = (ab -- O • O, a . O + O • b) = (a, O) • (b, O) = f(a) • f(b)
Devido ao fato de existir uma aplicação bijetora f: IR ---+ R' que conserva
as operações de adição e multiplicação, dizemos que IR e R' são isomorfos.
Devido ao isomorfismo, operar com (x, O) leva a resultados análogos aos
obtidos operando com x; isto justifica a igualdade.
l(
9.
= (x, Ol,\f x E
IR
Imersão de IR em C
que usaremos daqui por diante.
Consideremos o subconjunto R' de <C formado pelos pares ordenados cujo
segundo termo é zero:
R'
=
{(a, b) E <C I b
= O}
Aceita esta igualdade, temos em particular que O = (O, 0).1 = (1, O) e IR = R'.
Assim, o corpo IR dos números reais passa a ser considerado subconjunto do corpo
C dos números complexos:
Pertencem, por exemplo, a R' os pares (O, O), (1, O), (a, O), (b, O), (a + b, O),
(a . b, O), etc.
Consideremos agora a aplicação f, de IR em R', que leva cada x E IR ao par
(x, OI E R'.
IR C G:
10.
Unidade imaginária
Chamamos unidade imaginária e indicamos por i o número complexo (O, 1 l.
Notemos que:
i2
=
i •i
=
(O, 1) • (O, 1)
=
(O· 0-1 • 1, O • 1 + 1 . O)
(-1, O)
= -1
isto é, a propriedade básica da unidade imaginária é:
f : IR .... R'
x 1-+ (x, O)
6-F
7-F
Adição: (a + bil + (c + di) = (a + c) + (b + d)i, isto é, a soma de dois números
complexos é um complexo cuja parte real é a soma das partes reais das parcelas e
cuja parte imaginária é a soma das partes imaginárias das parcelas.
Aplicando a propriedade associativa da multiplicação, temos também:
(-1)
i
(- 1)
(-1 )
=
-i
Multiplicação: (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i, isto é, o produto de dois
números complexos é o resultado do desenvolvimento de (a + bi)(c + di). aplicando
2
a propriedade distributiva e levando em conta que i = -1:
Mais geralmente, para todo n E 1\1, temos:
j4n =
1, j4n+l
=
i,
j4n+2 =
-1, j4n+3
=
._j
(a+bi)(c+di) = a(c+di) + bi(c+di)
= (ac - bd) + (00 + bc)i
cuja demonstração fica como exercício.
= ac
+ adi + bci + bdi
2
=
Exemplo
~-
11.
Dado um número complexo qualquer z
z = (x y) = Ix. O) + (O, v)
_ = (x, O) + (v' O) • (O, 1)
(x, O)
+
=
(x, V), temos:
(v . O-
O • 1,
v . 1 + O • O)
Dados
Zl
1 + i, Z2 = 1 - i e z3 = 3 + 2i, calculemos
e
-
=
Zl 'Z2 ,z3:
(1 + 1 + 3) + i (1 - 1 + 2) = 5 + 2i
(1 +j)(1-i)(3+2i) = 2· (3+2i)
= 6+4i
isto é
•
Z=x+y'
EXERCICIOS
Assim, todo número complexo Z = (x, V) pode ser escrito sob a forma
z = x + V • i, chamada forma algébrica. O número real x é chamado parte real de
z e o número real V é chamado parte imaginária de z. Em símbolos indica-se:
x = Re(z)
e y
F.1
Efetuar as seguintes operações indicadas:
a) 16 + 7ill1 + il
b) 15 + 4il(1 - i) + (2 + i)i
cl (1 + 2il 2 - (3 + 4il
Solução
= Im(z)
Operamos com complexos na forma algébrica da mesma forma que fazemos com ex·
pressões algébricas, lembrando apenas que j2 = -1:
ai (6 + 7il(1 + il = 6 + 7i + 6i + 7i 2 = 6 + 7i + 6i - 7 = -1 + 13i
bl (5 + 4;)(1 - i) + (2 + ifi = 5 + 4i - 5i - 4;2 + 2i + i 2 =
Chama-se real todo número complexo cuja parte imaginária é nula. Chama-se
imaginário puro todo número complexo cuja parte real é nula e a imaginária não.
Assim:
z
z
x + Oi
O + Vi
x é real
Vi (V i= O) é imaginário puro
12. A forma algébrica (x + Vi) é muito mais prática que o par ordenado (x, V) na
representação dos números complexos, uma vez que ela facilita as operações. Vejamos como ficam as definições de igualdade, adição e multiplicação de complexos,
usando a forma algébrica:
Igualdade: a + bi = c + di
a = c e b = d isto é, dois números complexos são
iguais se, e somente se, têm partes reais iguais e partes imaginárias iguais.
S-F
Ç=Oo
= 5 + 4i - 5i + 4 + 2i - 1 = 8 + i
cl (1 + 2i)2 - (3 + 4i) = 1 + 4i + 4i 2
F.2
bl (5 - 2il - (2 + 8i!
d) (6 + 7il - (4 + 2; I + (1 - 1Oi I
Efetuar:
a) 12 - 3ill1 + 5il
c) (4 - 3ill5 - il(1 + il
F.4
= 1 + 4; - 4 - 3 - 4i = -6
Efetuar:
a) (3 + 2il + (2 - 5i)
c) (1 + i! + (1 - i) - 2i
F.3
- 3 - 4i
bl 11 + 2;112 + il
di 17 + 2ill7 - 2i!
Caicular:
a) 13 + 2il 2
bl (5 - i)2
cl (1 + il 3
9-F
Provar que (1 + j)2
f.S
z
~
=
2i e colocar na forma algébrica o número
13.
11 + i)8O - 11 + il 82
i 96
Conjugado de z
Chama-se conjugado do complexo z = x + Vi ao complexo
z= x
-- Vi, isto é:
Solução
11 + il 2 = 11 + i)(1 + il ~ 1 + 2i + i 2 = 2i
z = x + Vi <=> z = x - Vi
12i1 40 _ 12i1 4t
124
F.&
Exemplos
Calcular as seguintes potências de i:
ai i 76
b) i 110
c)
i 97
di
JS03
1) z = 2 + 5i ===> Z
+ 11 - il 97
F.7
Provar que 11 - il 2 = -2i e calcular 11 - i)96
F.a
Determinar x E IR e V E IR para que se tenha:
,
ai 2 + 3Vi = x + 9i
bl Ix + vil 13 + 4il = 7 + 26;
cl Ix + vil 2 = 4i
2) z
3
3) z
-1
2
-
5i
4i ===> Z = 3 + 4i
-
3i=
4) z = - 7 + 2 i =
z=
z=
-1 + 3i
-7 - 2i
É imediato notar que o complexo conjugado de
zé
z:
Solução
(2) = (x - V • Ii = x + Vi = z
Vamos aplicar a definição de igualdade no campo complexo:
o<+(3i = r+o; <=> 0<= r
e (3=
2=X
<=>
a12 + 3 VI' = x + 91, {
+ (4x + 3v)i
= 7
Por esse motivo dizemos que z e
conjugado do outro).
===> x = 2 e V = 3
3V = 9
b) 13x - 4v)
O
+ 26; <=> f3x - 4v
L4x + 3v = 726
cl
f
X2 - V2
<=> N.,
(um é
=
14.
e, resolvendo o sistema, temos x = 5 e y = 2.
Ix 2 - V2) + 2xvi = 4i
z são números complexos conjugados
Teorema
Para todo z E a; temos:
=0
I) z + Z = 2 • Re(z)
'~V= 4
11) z - Z = 2· Im(z) • i
da primeira equação tiramos x = ±y e substituímos na segunda:
111) z
4(±V)(V) = 4==>±4v 2 = 4==>v = ±l===>x = ±1
Z <=> Z E IR
Portanto x = 1 e V = 1 ou x = -1 e V ~ -1.
Demonstração
F.9
Determinar x E IR e V E IR para que se tenha:
ai 3+5ix=v-15i
cl (3 + vil + Ix - 211 = 7 - 5i
e) 12 - x + 3V) + 2yi = O
b) Ix + vil(2 + 3i1 = 1
d) Ix + v;12 = 2;
fi (3 - i)(x + vil = 20
Fazendo z = x + Vi, temos:
+ 8i
I) z +
Z = (x + Vi) + (x - Vi) = 2x = 2 • Re(z)
11) z - z = (x+Vi) - (x-Vi) = 2Vi = 2 ·Im(z)· I
F.l0
1o-F
IMACK-651 Qual é a cond ição para que o produto de dois númerOs complexos a + ib e
c + id dê um número real?
111) z = z<=> (x+Vi=x-vi) <=> V = -V <=> V = O <=> z E IR
11-F
15.
Teorema
EXERCICIOS
Se ZI e Z2 são números complexos quaisquer, temos:
f.11
I) ZI + Z2 = Z1 + li
11) ~
Colocar na forma algébrica os seguintes números:
al1.-
b)
i'
l i ' Z2
3
2+i:
1 + 2;
cl
3::-i;
;9
di 4- 3;
Solução
Demonstraçá'o
Para reduzirmos um quociente
_~l.. à forma a + bi basta multiplicar e dividir por
z2
Z'2:
Fazendo ZI = XI + yli e Z2 = X2 + Y2i. temos:
I) ZI + Z2 = (XI + X2) + (YI + Y2)i
==
~2
2
2 (-i!
- 2;
.
ai - = ~-- = ~.-=-21
i
i (-il
- ,2
=
(XI + X2)
(YI + Y2)i
(XI - Yli) + (X2 - Y2 i)
=
li
+
Z2
1 + 2;
11 + 2i)(3 + i)
1 + 7i
1
7.
cl ~ = 13 _ ;)(3+ i) =-g::-;T = 10 + 10'
então
d)
ZI Z2
16.
(XI X2 - YI Y2) - (XI Y2 + X2 yIli =
(XIX2 - XIY2i) + (-X2y l i + YIY2 i2 )
= XI (X2 - Y2 i) - Yli(X2 - Y2i) =
= (XI - yli) (X2 - Y2 i) = li . Z2
F.12
Vimos no item 7 como pode ser calculado o quociente de dois números complexos. Agora temos um processo mais prático baseado em que:
zz = (a+bi)(a-bil = a2 _ b2j2 = a 2 + b 2
'* O
e
Colocar na forma a + bi os seguintes números complexos:
...!-,
bJ
cl
3 + 4i
2 -;
d) -,--::-;-
Z2 = c+di. temos:
;1
isto é, para calcular Z2 basta multiplicar numerador e denominador pelo conjugado
zl
do denominador.
+ i17
(3 + 2) + (2 - 3)i
(1 + il( 1 - i)
1+1
5
2
1.
'2 '
+i
1 - 3i
3 -;
1 +j
hl (1':ij2
_ j35
jló _ i13 + j30
1
1 - 7i
. .
f' .
a + bi I
c d' -I- O)
. um:
seja
O ar as condiçoes nacessarlas e su IClentes para que c + di com C·r I r
ai imaginário puro;
bl real.
Solução
z = c+di
(3+ 2i)(1 - i)
fi
j18 _ j37
a + bi
Exemplo
1
1 +;
iH + 2 • ;13
j3 _ j2
91
F.13
--
ai
el
Z2
c+di
(c+di)(a - bi)
ca + db
da - cb
----+ 2
ZI - a + bi - (a + bi)(a - bi) - a2 + b 2
a + b2
12-f
i 8 • ; • 14 + 3i)
4; - 3
3
4.
(4 - 3; I 14 + 3;) = 16 - 9; 2 = - 25 + 25'
1
Divisão
Dados ZI = a+bi
i9
4- 3;
=
(a + bil Ic - dil
(c+di)(c-dil
ai Re(z) = O
b)
Imlzl = O
(ac + bdl + Ibc - adir
c2 + d 2
ac+bd=O
bc - ad = O
13-f
•
F.14
Determinar xIx E IR) de modo que o número z
F.15
Determinar ala E IR) de modo que o número z
1".16
=
=
2
1:
;~i
~: ~:
Determinar o número complexo cujo produto por 5 +
seja imaginário puro.
seja real.
ai é real
111.
fORMA TRIGONOMI:TRICA
17.
Chama-se norma de um número complexo z ~ x
+ Vi ao número real e positivo
e cujo quociente por
1 + i é imaginário puro.
Chama-se módulo ou valor absoluto de um número complexo z ~ x
Determinar os números complexos z tais que _~_ + ~ =~ +'
5
1 - i 1+i 2
I ' -2'
F.17
+
Vi ao
número real e positivo.
Determinar z E C tal que Z ~ -2zi.
F.18
Solução
z
Fazendo z = x + Vi e
co::
x - Vi, temos:
x - yi ~ -2 Ix + yili
então
[X ~
=
2y
x
~
== x - yi
O e
y
~
2y - 2xi
Algumas vezes em lugar de I z I usamos os símbolos p ou r para representar o
módulo.
O
y = 2x
portanto z
F.19
Exemplos
= Q.
1'?) z
IMAPOFE 1-76) Sejam dados os números complexos z
=
x + iy e u = -}- i
J.;.
Z o conjugado de z, calcular as partes real e imaginária do número complexo
II ;:... U •
z.
zn = (z)n para todo n natural.
F.20
Demonstrar que
F.21
IENE-521 Provar que se a equação x 2 + la + bilx + Ic +di) = O, onde a, b, c, d EIR, admite uma raiz real, então abd = d 2 + b 2 c.
F.22
Determinar os números complexos z tais que z • Z + (z -"Z) = 13 + 6i.
F.23
Determinar z E C tal que z3 ~ Z.
18.
Determinar z E C tal que z2
=
F.25
Determinar z E C tal que z2 =
F.26
Sendo x 2 + y2 ~ 1, provar que
1
+ x + iV
1 + x _ iV
F.27
=
J3
02
+ (_2)2
-5
Nlz)
(_ 5) 2
-1 - i
=-====> N(z)
(_ 1) 2
-2i
N(z)
+ l'
4
~
~ 4
0 2 ~ 25
+
+ 1_ 1) 2
~
e iZI
2
e Iz I
2
e I zi
5
2 e Izl ~
V2
Teorema
Se z ~ x
+ Vi é um número complexo qualquer, então:
~ O
Iz I ~ O <==>
Izi
Z
(111)
I zl = 1'21
(IV)
Re(z) ,ç;
(VI
Im(z) ,ç; Ilm(z) I ,ç;
O
I Relz) I ,ç; I z I
I
zl
x + iV
Provar que
1 + sen x + i • cos x
1 - sen-x--=0- cos x ,,-
para todo x real, x
14-F
+ i
(V3)2
4'?) z
(I)
i.
+ i = - N(z)
3,?) z
(11)
F.24
V3
=
=
2,?) z
Sendo
~
(tq
x + sec x li
'* .!!-.
2
+ krr.
15-F
(IV) se x;;'O então x = Ixl
} =
Notemos inicialmente que
111)
CD
x";; Ixl
se x <O então x < Ixl
Por outro lado:
x 2 ";;x 2 + v 2 = R " ; ; V x 2 +V2
Comparando
(D e @'
=
Ixl";; Izl
®
Temos então:
vem:
x ..;; I xl ..;; Izl
(V)
análoga a (IV).
(111) No problema resolvido F.39 será dada uma sugestão para provar esta
propriedade.
19. Observemos que se z é número real então o módulo de z, segundo a definição
dada no item 17, coincide com o módulo de z como elemento de IR pois:
z E IR
==;.
z = x + O•1
=
IzI =
R
+ 02 =
R
=
=?lzl=2;
z=-3
Aplicação
Ix I
Vamos verificar o último teorema para Zl = 3 + 4i e Z2 = 12 - 5i
Temos:
Assim, por exemplo, temos:
z=2
21.
=?lzl=3;
z=O
=?lzl=O
Iz 2 = V12 2 + (_5)2 =
1
20.
Teorema
Se ZI e Z2 são dois números complexos quaisquer, então:
(I)
I zI • z2 I = I zI I • I Z2 I
(11)
~
=
~
ZI 'Z2 = (3+41)(12-5i) = 56+33i
2
IZI • Z21 = V56 + 33 2 = V3136+ 1089 = V 4225 = 65 = 5 • 13 =
ZI
z;- =
(Z2 =1= O)
Demonstração
(I)
= 13
= Izll • Iz 2 1
I Z21
(I 11 ) I Zl + Z2 I..;; I ZI I + I Z2 I
z2
Vi69
3+4i
(3+4i) (12+5i)
12 - 5i = (12 - 5i)(12 + 5i)
16+63i
144 + 25
16 + 63i
169
ZI + Z2 = (3+4i) + (12-5i) = 15- i
IZI' Z212 :, (ZIZ2)(ZIZ2) ':: (ZIZ2)(ZI '"1'2)
0;:0
(zlzd(Z2Z2) =
IZI + Z21 = V 15 2 + (_1)2 =
V226 <
Izll + Iz 2/
;: Iz I 12 'lzzl Z =====? Iz l • zzl = Izll· Izzl
justificações:
o
00
000
16-F
ver item 16
22. Chama-se argumenta de um número complexo Z
ângulo I) tal que
x + Vi, não nulo, ao
ver item 15 - (11)
propriedades comutativa e associativa da multiplicação
cos I)
x e sen I)
P
V
P
onde p = Izl.
H-F
Notemos que:
a condição z
O garante p
O
2~)
existe ao menos um ângulo O satisfazendo a definição
'*
1 ~I
23.
'*
As noções de módulo e argumento tornam-se mais concretas quando representamos os números complexos z ~ x + yi ~ (x, y) pelos pontos do plano cartesiano
xOy, com a convenção de marcarmos sobre os eixos Ox e Oy, respectivamente, a
parte real e a parte imaginária de z.
POIS:
'*
3 0 ) fixado o complexo z
O, estão fixados cos O e sen O mas o ângulo O
pode assumir infinitos valores, congruentes dois a dois (congruência módulo 27T).
Assim, o complexo z
O tem argumento
'*
O
~
y
Nomenclatura:
xOy ~ plano de Argand-Gauss
Ox ~ e ixo real
Oy ~ eixo imaginário
P ~ afixo de z
1- e
p
27T. Freqüentemente trabalhamos com 00 chamando-o simplesmente
argumento de z.
~
e o ângulo formado por OP com o eixo real é
Y3 +
O ~!!-. + 2k7T
~
00
=
sen O
y
1
P
2
24.
Dado um número complexo z
x + yi
z
x
cos O
p
O
y
x
O
37T
-
J-,
+ 2k7T
~
7T + 2k7T
sen O
18-F
o
:
p
.1-)
p
portanto
+ i . sen (})
J
\
~
chamada forma triQométrica (ou polar) de z.
Exemplos
V2
2
=0
p
p.(~+
~
p
i,",e
x + Vi, não nulo, temos:
00
sen O - - - O
=
y
p
-1
y
-1 - i
x
p
tal que cos 00 ~ ~ e sen 00
00
~
o
~
z = p • (cos (}
P
3'?)z~-5
~
-1
p
cos O
~
00
O
-2i
sen O
4'?) z
x
portanto 00 é o argumento principal de z.
cos O
2,?) z
x
O
Notemos que a distância entre P e O é o módulo de z:
Exemplos
1'?) z
p
y
p
<
Assim, a cada número complexo z ~ (x, y) corresponde um único ponto P do
plano xOy.
Oo + 2k7T, k E ;Z,
onde 0 0 , chamado argumento principal de z, é tal que cos 11 0 ~ ~, sen 0 0 ~
O ,,;; 00
Plano de Argand·Gauss
V2
2
511
~-+
~
00
2k11
1'?) z~ V3+i
p
=
f
~:
=
z ~ 2· (cos2T.+ i • senE..)
6
6
O ~­
6
J
L
•.-
19-F
2?) z=-2i
Z
=
2
•
371.
(cos - + I
2
•
371
sen - )
2
sen
p= 5
=
3?) z=-5
[
(ou 60°)
e ~ Lp ~ \13
2
V3=
forma trigonométrica: 1 + i
z = 5· (COS71 + i • sen 71)
e=71
P=
e~ f
=
ai
2Icos~+ i - sen..!l)
3
3
bl
y
y
V2
=
4?) z = -1 - i
. r;::
571.
Z= Y 2 • (cos - + I
4
-
571
sen - )
4
e=~
4
•
A forma trigonométrica é mais prática que a forma algébrica para as operações
de potenciação e radiciação em C, conforme veremos a seguir.
EXERCíCIOS
f.28
4
cl x
Determinar o módulo e o argumento principal, colocar na forma trigonométrica e dar a
representação gráfica dos números:
y
=
b) 1
+iY3
13;1
=
V32 + 02
e ~ 2:-P ~ ..Q.3 ~
-5
-5 - 5i
hl 2 - 2;
X=4} =- P= 141=
y = O
}
e = 2I...2 (ou 90°1
71.
(cos"2
+ I
•
271 )
sen
~=4
y =
=e =
O (ou 0°)
=..Y.=~= O
P
3
e ~ ~P = ~~
3
d) x = -
e =~ =~ = 1
sene
sen
forma trigonométrica: 3i = 3
Solução
=
O
==>
-2í
o)
9)
cos
=
d) -V2+i-V2
f)
ai
P
= 3
cos
a) 4
c) 3;
=
O}
x
x
V2 }
=
V2
cose
x
P=
1
-
V2 + i
.J2i ~
V(J'i.)2
+ (J21 2
~ 2
-V2
~-=-­
p'
2
4
e =~
4
=
forma trigonométrica: 4 = 4 • (cos O + ; • sen O)
y
V2
P
2
(ou 135°)
sene =-~-
. r:
. r:
371.
forma trigonométrica: - Y 2 + ; • y 2 = 2 (cos 4
2lH
+
I •
sen
371
""""4)
21-f
d)
c)
y
-=
x = -5 }
g)
y
P = 1-5 _ 5il = Yi="512 + (-5)2 _ 5Y2
= -5
x
cos
\/2
-5
5-../2 =
O= P=
2
==>
x
sen
x
t
.~
=
5..;2
\/2
=
2
r--
p=
o
571
4
+
i • sen
571
7)
y
1-51=VI-5)2 +0 2
5
=O
cosO
sen IJ
=i= -55
=
-11
x
=
0=71
lou 180°)
=~=~= o
P
5
forma trigonométrica:
fi
p
forma trigonométrica: -5 - Si :. . 5 V 2 (cos
el x = -5
y
O= y
571
O = 410u 225 )
x = O
}
-5 = 5 (cos
+ i • sen 1T)
1T
-5 - 5i
==> p = 1-2il = V02 + (_21 2 = 2
y = -2
cosO
h) x = 2
=--"-=~.= O
P 2
y =
371
sen
O = 2'.
P
=
2
x
O ="2 lou 270°)
=
2V2
-2
\f2
cosO =p= 2....;2=-2-
~ =-1
O = J..!!... lou 315°)
4
2
y
forma trigonométrica: - 2i = 2 (cos
el
~+
2
f)
y
sen
i • sen 311" )
O= P
=
-2
_ "\12
2\/2 =
2
2
forma trigonométrica: 2 - 2i
y
315
=
2
Fi
(cos!!!..-+ i • sen!!!..-)
4
4
0
x
x
180°
•
-5
22-F
x
• -2i
23-F
Solução
F.29
Calcular o módulo dos seguintes números:
3- 4i
c) 12 + 5i
el tg O + i
a)
F.3D
Colocar na forma trigonométrica
b)
3 + 3i
di 11
g) + i
a)
05
117T.
117T
+ , • sen 6 I
6
37T.
4)
bl
cl 3 + 3i
1 + 2i
V3' i)6
~
~
ZI
z2
cos
= 1 + i V3 ~ I z I ~
I z6 I = I z 16 = 2 6 = 64
zl
3+3i
z2
1 + 2i
~ IZ11
~
=
~
~
=
_
.r
77T
entao z = V 2 • (cos 4 +
c) 5' Icos 30° - , • sen 30°)
3v2
F.35
j •
sen
77T
-4)
1FEIUC-67) Escrever o número complexo
V3
2 ))
1 -~.
T-=--i
I na
forma a + b'I e na farma
·"F.37
Escrever na forma trigonométrica os números:
a)
5 + 5i
-2~
bl~.1
+ (2 _ ',1
.
tri-
c)
I
v'3.
ll2.i....Y3'J3
jS
fi 3 + 4i
F.38
Representar no plano de Argand-Gauss os seguintes complexos:
ai 2 + 5,
cl -2 - 3',
+ i·
V3
1
1
5'(-2--"2) = 5(-2-+ il-
(MACK-]Ol Escreva na forma trigonométrica o inverso multiplicativo de 1 +
5i
Escrever na forma trigonométrica os números:
2
2k7T
F.36
b) (1 - i)4
d) (1 + i) (2 + 2il (4 + 4i)
+ i)3
(..!-
4
gonométrica.
5
1+i
e) 2 _ 2i
a)
77T
~-+
5 • Icos 330° + i • sen 330°)
cl (5 + 12"<1 • i
f.34
J
V2
sen O ~ -:';-2
- -2-
v'4 = 2
Calcular o módulo dos númeroS:
(1
=
4
v'5
3Y2 ~ 3V1O
1 z21
Z11- IZ11 =
- [z;T V5
IZ2
ai
~ Y,f-
2 + 2i
b) z
f.33
O-
1- i
I zl z21
cl
v'2
y'1-:;:j
-1
~ IzIn. 1:~ I I1 ~~:
~ I zl I ~ v 2
~ I z21 ~ v'8 ~ 2 v 2
~ I ZI I • 1z21 ~ 1Y21 (2 Y2)
3
1+ i
p =
Vamos aplicar as propriedades do módulo:
a)
V3
"-2-
z ~ 1. (cos 27T + ,. sen 27'.)
Solução
Izn I
+'
Usando só o argumento principal, temos:
37T
3
bl 11 +
~ I zli • IZ21,
_..!..2
27T
+ 2k7T
3
d) 5'(cosT+ "senT)
11 - i) (2 + 2i)
I z 1 oz21
1
4
= -+
= ---
Calcular o módulo dos númerOS:
a)
Y3>
2
il 2il1 - d
bl 4, Icos
3' (cos 7T + i • sen 7TI
7T.
7T
cl 2' Icos
+ I ' sen
F.32
i •
cl -8 - 8i
fi ,3
2i
h)i(1+il
4
I~2 +
números:
5- i • 5V3
Colocar na forma algébrica os seguintes números:
a)
O
e)
v'3
F.31
ai
iV2
b) v 2 +
d) cos O + i • sen
fi 24 + 7i
b) 1 + i
c) 5 (cos 30° - i • sen 30°)
e indicar graficamente o módulo
bl-3+21
di 1 - 4i
p e o argumento
principal
80
de cada um deles.
25-F
24-F
y
F.39
portanto A é uma circunferência de cen-
Dados os números complexos
tro na origem 10, O) e raio 2.
z, ~ PI'lcosll, + i 'senil,)
{ z2 ~ P2' (cos 11 2 + i • sen 11 2)
I ZI
determinar
+ z 2 1e mostrar que I ZI + Z21 .;; I zll + I Z21.
ZI + Z2 ~ (PI cos
IZI
+ z2 1 ~
.j IPI
li, + P2 ' cos 11 2) + i ' (P, sen li, + P2 sen 11 2 )
2
cos 11 1 + P2 cos 11 2 1 + (PI sen li, + P2 sen 11 2 )2
~ .jP~ Icos 2 11 1+ sen 2 11 I) + P;(cos 2 11 2 + sen 211 2 ) + 2p,P2lcos 11 I COS 11 2 + sen 11"
sen
11 2)
portanto D é uma circunferência de cen·
tro (O, 1) e raio 1.
~.j p~ + ~ + 2 PIP2 • COS (11 1 -11 2 )
Como cos
(11 1 -11 2)
F.42
Representar geometricamente no plano de Arganct-Gauss os seguintes subconjuntos de <1::
a)
A
= {z
b) B
Interpretar graficamente a soma de dois números complexos.
p
b+d
Sejam:
F.43
F.44
respectivamente.
z~
O}
d) E ={zEccllzl = 1}
Im (zl = O}
el F ={zEccllzl';;2}
=
Re (z) ;;. 1 e Im (zl ;;. 2}
Representar geometricamente o conjunto dos números complexos z tais que
Fixado 11. qual é a representação gráfica dos complexos z = p' (cos
quando P percorre IR?
11 + I
'sen
11)
b
F.45
O complexo
I
I
Iz- (1 +ill';; 1.
a + bi
z2 = c + di
Z1 =
dois complexos cujos afixos são P1 e P2'
E CC I Re (z)
{z E CC
cl D = {z E CC
y
Solução
"
--dL:'
X
é no máximo 1. temos:
'-
F.40
x
portanto B é um círculo de centro na
origem e ra ia 3.
Solução
(MAPOFEI-72)
a) Calcular a parte real u e o coeficiente v da parte imaginária do número complexo
1
.
w = 1 -"2' onde z = x + IY,
d
z, + z2= (a +c) + (b +dli
tem afixo P tal que:
--->
~
b) Se P é
~
~
--+
~
onde OP, OP I . OP 2 são vetores.
Notemos que o vetor
O
a
c
a+c x
F.46
cP pode ser obtido pela reg,a do paralelogramo e seu módulo é:
F.47
F.41
Representar geometricamente no plano de Argand-Gauss os seguintes subconjuntos de <1::
A
B
=
O
afixo de z e Q é o afixo de w. qual o conjunto dos pontos
Q
quando P des-
creve 8 reta y = x7
OP = OP, + OP2
{z E CC I I z I = 2}
{z E <I: 1 I z I .;; 3}
y
F.48
(MACK-71) Determine o número complexo z de menor argumento tal que
I Z - 25i I .;; 15. Faça um gráfico no plano de Argand-Gauss.
Se z = p' (cos
11 + i,
sen
2S
é real e que
z +P
11 I. provar que
P - i ' z é imaginário puro.
P
+I
' Z
(EFE-591 Calcule o valor da expressão
(a+bi)2
1+i
-c+di
-----a+ci
13i
D ={zE<l:llz-il=1}
sabendo que:
Solução
Façamos z = x + yi com x. y E IR,
Então:
A = {x,yl EJR 2 1x 2 +y2 = 4}
26-f
x
ai o módulo de a + bí é 5, um de seus argumentos está compreendido entre O efe
b-a=1.
b) o quadrado de c + di é - 5 - 12i e
c
< O,
27-f
IV. POTENCIAÇÃO
25.
'0/3
1
l,-J3
[2(-+ i·-)][3(-+ 1 - ) ]
2
2
2
2
Teorema
3V3
9 3) = 6'1 = 6( cos-+
11.I ' sen11)
(3V3
-- - - ) + i (-+2
2
2 2
2
2
"O módulo do produto de dois números complexos é igual ao produto dos
módulos dos fatores e seu argumento é congruente à soma dos argumentos dos
fatores."
511,
4 . (cos 6 + I
•
511 )
sen 6
Demonstração
1111,
6 ' (cos 6 + I
Suponhamos dados os números:
z, = p,' (cos 11, + i . sen li d
Z2 = P2' (coi8 2 + i, sen 11 2 )
Z2
sen
61111)
De fato, temos:
[4(--V; + i
e calculemos módulo e argumento de:
z = z,'
'
= p. (cos 11 + i· sen 11)
'~)][6(-V; -i ,~)]
=(-2V3 + 2i)(3V3-3i)
(-18 + 6) + i(6v3 + 6V3) = -12 + i, 12V3 =
Temos:
1
, -.!3)
211.
211 )
24(-2 + 1
= 24 (cosT + I ' senT
2
z = z, . Z2 = P, ' P2 ' (cos li, + i ' sen IId (cos 11 2 + i ' sen 11 2 )
= p,' P2' rIcos 11" cos 11 2 - sen 11" sen 11 2 ) +
+ i· (sen li, ' COS 11 2 + sen 11 2 , cos IId]
Observemos que
211
511
:3
=6
+
~ _ 211
6
.
portanto:
p' (cos 11 + i, sen 11) = (p, ' P2) [cos (li, + 11 2 ) + i, sen
então
(111
+ 11 2 )]
26. A fórmu la que acaba de ser deduzida estende-se ao produto de n fatores
(n > 2). desde que apliquemos a propriedade associativa da multiplicação:
z = z,'
P
= PI
• P2
Z2' Z3."
Zn
= p' (cosll + i, senil)
então
11 = (li, + 11 2 ) + 2k1T, k E 2'
portanto
Exemplos
p' (cosll + i, sen 11) = (P1P2 ... Pn) ' [cos (li, +1I 2 +· .. +lI n) +
+ i • sen (li, + 11 2 +... + II n )]
e finalmente:
1<;l)
P = PIP2P3 ..• Pn
11
De fato, temos:
28-F
= (li, + 11 2 + 11 3 + ... + II n ) + 2k11,
kE Z
isto é, o módulo do produto de n números complexos é igual ao produto dos
módulos dos fatores e seu argumento é congruente à soma dos argumentos dos
fatores.
29-F
27. Já vimos
multiplicação e
(x + Vi) n, com
mio de Newton
que a forma algébrica facilita as operações de adição, subtração,
divisão de números complexos, porém, se necessitarmos calcular
n E :l, não teremos outro recurso senão usar a fórmu la do binôque é bastante trabalhosa.
Com a finalidade de simplificar a operação de potenciação com complexos,
colocamos o seguinte:
1
z-m --=------'---------:-;zm
pm • (cos mO + i • sen mO)
zn
cos mO - i . sen mO
(cos mO + i • sen mO) (cos mO - i • sen mO)
1
=-.
pm
cos mO - i • sen mO
cos 2 mO + sen 2 mO
p-m. [cos (-mO) + i· sen (-mO)]
pn. (cos nO + i . sen nO)
28.
Teorema
Exemplos
Dados o número complexo z
inteiro n, então:
p. (cos O
+ i • sen O), não nulo, e o número
19) Calcular
pR • (cos n 8 + i· sen n 8)
ZR
Z3 =
I
23
zi sendo
31T
•
(cos -
4
29) Calcular z~ sendo
(1 ~ fórmula de Moivre)
Zl
+
i •
31T
sen - )
4
2 + i•2
ZI =
v'3.
Temos:
Demonstração
Iz[1 = ";2 2 + (2V3)2 = V4 + 12 =
Ti! parte
r;:;
Zl
Provemos que a propriedade é válida para n E N, usando o princípio da
indução finita.
a) se n = 0, então
{
ZO = 1
pO • (cos
°+
1.V3
v'i6 =
4
1T.
1T
= 2 + i • 2 v 3 = 4 (2" + I • 2) = 4 • (cos 3" + , . sen 3")
S
ZI =
S
51T.
1•
4 . ( cos:3 +
sen
511 )
3"
4s
. (12. -
" • --./3)
2
512-i.512V3
i • sen O) = 1
b) admitamos a validade da fórmula para n = k - 1:
EXERCíCIOS
Zk-I = pk-I •
[cos (k - 1) O + i. sen (k - 1)0]
F.49
(MAPOFEI-741 Dado o número complexo z
mento do complexo z4.
F.50
Calcular:
e provemos para n = k:
Zk-I • Z = pk-I •
(pk-I. p) •
pk
[cos (k - 1) O + i • sen (k - 1)0] • p • (CQs O + i . sen O)]
[cos ((k -1)0 + O) + i • sen ((k - 1)0 + O)]
(cos kO + i • sen kO)
2'! parte
Vamos estender a propriedade para n E :l_.
Se n
30-F
<
0, então n = -m com m E N, portanto a m se aplica a fórmula:
ai
(_2.
+ i .'\f3)100.
22'
1 + i, determinar o módulo e o argu-
cl (-
v3 _il 20
Solução
. "1/3
,.2
V3
2
31-F
f arma t ngonome
.
. t fica:
.
z
1
==
•
(cos:3
2rr + i • sen 2rr
3 I
~ 1100 (cos 200rr + i • sen 200rr I
ZIOO
3
_..1...-+
2
i
=
3
Fazendo n = 2, temos:
(cos O + i • sen 0)2 ocos 20 + i • sen 20
1 • (cos ~ + i • sen 2rr)
3
3
então, desenvolvendo o primeiro membro pela fórmula de Newton, temos:
.'Y3
(cos2
bl z = 3 - 3i
p
=
Izl
=
V3 2 + (_3)2
-3
3
3V2. cos O
para todo
Y2 (cos
(3V2)-12 [cos (-21rrl + i • sen (-21rr)] =
v'3 - i
1z 1 = V 1- J:j)2
+
1-1)2
e =-
(2 sen O cos O)
cos
28 + i • sen 28
cos 20 +
I •
sen 20
2 sen Ocos O
e real.
30
Determinar o menor número n natural para o qual (j - ..J3)n é imaginário puro.
em função de
Solução
=;;
i-
V3 apresenta módulo p == 2 e argumento principal e == 561T, então:
2 (cos
67rr
6
6
220(_~_i.V31
2
2
zn = 2" . (cos 5n1T + j • sen Sn1T)
1
2
2. cos O
6
2"rr
6
=
6
Para que zn seja imaginário puro é necessário que seu argumento seja da forma
+ i • sen 7rr I
220 (cos 140rr + i • sen 140rr I
z20
5nrr
+ Krr. K E 72., pois cos -6- = O. Assim, temos:
220 (cos 4rr + i • sen 4rr I
3
3
5nrr
6
= 219(-1-i'V31
= -
rr
+ Krr
2
=<>K
5n - 3
6
Como K é inteiro, 5n - 3 deve ser múltiplo de 6 e o mínimo n, natural, para isso ocorrer
Calcular:
én
ai (V3 _.!. )100
b) (-1
sen 2
-
forma trigonométrica: z
2
I •
2
F.54
7: + i • sen 7:)
z
F.51
OI +
1
Utilizando as fórmulas de Newton e Moivre, expressar sen 38 ecos
sen O ecos O.
1
P ~
2
e+
F.53
3- 12 2- 6 Icos rr + i • sen rrl = - 3 12 .2 6
o
o- sen
cos O• sen
cos 20 = cos 2 O- sen 2 O e sen 20
3Y2
-v2
2
Forma trigonométrica: z = 3
cl z
•
portanto conclu ímos que:
sen O = 3-v2 =
r l2
8 + 2i
cos 2
2
el 11 + i • V31- S
~
3 Ipois 5(31 - 3 o 121.
Verificando:
2
2 3 Icos
+ il 6
~
6
+ í • sen
~I
6
8 (cos 5rr + i • sen 5rr)
2
2
810 + iI = 8i
F.52
Utilizando as f6rmulas de Newton e Moivre, expressar sen 20 ecos 20 em função de
sen O ecos O.
F.55
Determinar o menor valor de n, n E 1iJ, para o qual I
ai
real e positivo;
b) real e negativo;
v'3 +
c)
il n é:
imaginário puro.
Solução
F.56
Da primeira fórmula de Moivre:
zn ~
Icos
[p. (cos O+ i • sen Oi]n
=
pn Icos nO + i • sen nOI decorre que:
O+ i • sen Oln = (cos nO + i • sen nOi. n E;z
(MAPOFEI-701
a) Determinar o número complexo z tal que iz + 2z + 1 - i
O. onde i é a unidade
z
imaginária e o conjugado de z.
bl Qual o módulo e o argumento desse complexo?
c) Determinar a potência de expoente 1004 desse complexo.
32-F
33-F
V. RADICIAÇÃO
29.
n~
V
Dado um número complexo z, chama-se raiz enézima de z, e denota-se~, a
Assim, por exemplo, temos:
1'"1
pois
é um valor de
-YT
pois
(_..!..-+i Y3 )3=
2
2
é um valor de
-YT
pois
(_ 2. _ i Y3)3
é um valor de
Y3
1
.
--+ I
2
1
2
Vi
29)
2
Vi
2
2
Y3
T
+i
- i •
v'2
2
Vi
2
então: r n . (cos nw + i . sen nw) = p. (cos
z
=
e
+ i· sen
e)
portanto é necessário:
um número complexo zk tal que z7 = z.
19)
n
Z = zk <==> zk
(1)
rn
(2)
cos nw = cos
(3)
sen nw =
(r E IR,.)
13 =
2
e
sen e
J
=> nw =
e+
2K7I
e
Supondo O ,,;;;
< 271, vamos determinar os valores de K para os quais resultam valores de w compreendidos entre O e 271:
= 1
2
e
K=O===>w=é um valor de
é um valor de
Vi
Vi
pois
pois
n
(Vi + . Vi)2
2
(-
2
V22
i
Vi)2 =
2
e
271
n
n
K
1=w=-+-
K
2==> w =
K
n-1===> w =-+ (n-1)·--
i
!i.... +
2.271
n
n
A dúvida que imediatamente surge é: "quantas são as raízes enézimas de z e
como determiná-Ias?" A resposta a esta pergunta vem a seguir.
30.
Teorema
Dados o número complexo z = p. (cos e + i . sen e) e o número natural
n (n ;;, 2), então existem n raízes enézimas de z que são da forma
Zk =
Vi· [cos (~n
+ K • 271)
"
'V'P E
IR+ e K E if.
Demonstração
Determinemos todos os complexos Zk tais que ~ = Zk
Se Zk = r· (cos w + i . sen w), nossas incógnitas são r e w. Apliquemos a
definição de-\lZ:
34-F
271
n
n
Estes n valores de w não são congruentes por estarem todos no intervalo
[0,271[, portanto, dão origem a n valores distintos para zk.
Consideremos agora o valor de w obtido para K = n:
+ i. se" li!., + K • 27T IJ
n
n
...•.
(2 a fórmula de Moivre)
onde
e
K = n ==>
W
e
= -
n
e+
271
+ n •=n
n
271
O.
Este valor de w é dispensável por ser congruente ao valor obtido com K
Fato análogo ocorre para K = n + 1, n + 2, n + 3, ... e K = -1, -2, -3,
.
Então para obter todos os valores de zk é suficiente fazer K = O, 1, 2,
, n-1.
Conclusão: todo número complexo z não nulo admite n raízes enézimas distintas as quais têm todas o mesmo módulo (~I) e argumentos principais for-
e
-
- arltmetlca
. .. d e primeiro
. . termo- e razao --o
271
man d o uma progressao
n
n
35-F
31.
Aplicações
71
71
2· (cos"6 + i. sen6") = .J'3t+;
K = O "" Zo
H)
Calcular as raízes quadradas de -1.
Temos z = -1, então p = 1 e
e=
71.
2· (cos
=
V1 . [cos ( %+
K71) + i • sen
+.I' sen 2"
71].
= I
71
1 . [cos"2
2~)
(% + K71) 1. k E {O, l}
K
771
771 )
2 "" Z2 = 2· (cos 6+ l. ' sen6
K
3
32.
Interpretação geométrica
=
a, então p
O.
a e ()
=
Pela fórmula deduzida, vem:
Zk
=
3m
a (cos K . -271.
vo
+ I sen
3
K
=
K
1 "" Z2
2
""
=
t;:;a
V 1:5
3
271
2 • (cos -
3
-1 + i·
-J3
-v3=i
571 )
2· (cos -571 + .I' sen3
3
1 - i·V3
Vimos também que os argumentos principais de ~ formam uma progressão
. ..
K
3
=
=
n
O, 1, 2
-
n
zimas de z dividem a circunferência de centro (O, O) e raio r
congruentes, isto é:
2
271
+ i· sen --)
3
e
271. ASSlm,
.
.
.
antmetlca que começa com - e tem razao os af'IXOS d as n raizes
ene-
271)
K • -
K = O "" Zl = 2 • (cos O + i. sen O)
=> Z3 =
3
Vimos que ~ pode assumir n valores distintos porém todos com o mesmo
módulo. Assim, os afixos das n raízes enézimas de z são pontos da mesma circunferência, com centro na origem do plano de Argand e raio~.
Calcular as raízes cúbicas de a.
Temos z
271
+ i· sen:r)
1 "" Zl
De acordo com a fórmula deduzida, temos:
Zk
271
K
=
-1 + i·
2 • (cos -471.
=
+ I • sen -471 )
3
3
-J3
se n
=
=
ifT;1
em n partes
2 são pontos diametralmente opostos
ou
..
se n ;;. 3 são vértices de um pol ígono regular inscrito na circunferência citada.
-1 + i • V3
Reexaminando as aplicações vistas no item 31, temos:
3~)
Calcular as raízes quartas de -a + i • a
-J3 .
Temosz = -a + i·aV3,entãop = 16 e
271
e
19)
zk
Aplicando a fórmula, vem:
2· [cos
36-F
71
("6
71
+ K • "2 ) + i • sen
raízes quadradas de -1
3'
71
71
(6 + K • "2 )],
=
1 • [cos
(% + K71)
Os valores de v'=1 têm afixos que
dividem a circunferência de centro
(O, O) e raio 1 em duas partes congruentes.
K
+ i . sen ( ; + K71)]
y
x
O, 1,2,3.
37-F
2Çl)
EXERCíCIOS
ra ízes cúbicas de 8
Zk = 2.
Os afixos de
partes congruentes
[cos K •
211
3
+ i • sen K •
211
3
F.57
1
Calcular:
~--
bl~
ai ../ - 7 + 24;
V8 dividem a circunferência de centro
cl
(O, O) e raio 2 em três
{I-11 - 2;
Sugestão: usar a definição de
F.58
\/28 -96i
cl
v.:l6i
di
gl
Viii
h) "/-4i
yr;
Calcular:
bl~
a)~
el
F.59
di
J
-1 +2
i
../3
fi
lf:64
~ -729
1
Calcular pela definição de raiz enézima, ../ - 16 + 30 i
Solução
x
Por definição, temos:
v-; -=
zl <=> z
então
../-16+30i = x+yi <=> -16+30i = (x+yi)2
Esta última igualdade, se desenvolvermos (x + yj)2 pela fórmula do binômio de Newton,
fica:
3Çl)
ra ízes quartas de -8 + i· 8 f i
Zk
11
11.11
I • sen (-
= 2 • [cos ( - + K- ) +
6
2
Os afixos de
~ -8
6
11
+ K- )1
2xyi +
-16 + 30i
x2 +
-16 + 30i
(x 2 - y 21 + 2xyi
2
X2 _ Y2
+ i· 8 v'3 são vértices do quadrado inscrito na circun-
ferência de centro (O, O) e raio 2, sendo
{
(v'3, 1) um dos vértices.
De
y
®
2xy
vemy
CD x 2 - ( ~x 12
-1 +
donde vem
x
-V3 -
= -16
portanto:
i
r
30
=
y2jl
CD
®
15
_
- , eotao:
x
-16
~
x 4 + 16x 2 - 225
15
O
3
portanto
y
3"=
5
x =-3
portanto
y
15
-3
-5
~
ou
Resposta: ../ -16 + 30i é igual a 3 + 5i ou -3 - 5i
F.50
38-F
{MAPOFEI-75) Determinar as raízes quadradas do número complexo z
=
5 - 12i,
39-F
F.51
Um quadrado, inscrito numa circunferência de centro na origem, tem como um de seus
VI. EQUAÇÕES BINÕMIAS E TRINÕMIAS
vértices o afixo de zl
vértices?
33.
3i. Que números complexos são representados pelos outros três
=:
Chama-se equação binômia toda equação redutível à forma
Solução 1
ax" + b = O
Os vértices do quadrado representam as raízes quartas de um certo z E 0;. Como uma
das ra ízes é 3i, temos:
\f:; ~
3i
=
(31)4
~
81
onde a, b E 0;, a 1= O e n E N.
Para resolver uma equação binômia basta isolar x n e aplicar a definição de
radiciação em <I::
Vamos obter as outras raízes: z - 81 . . ;. 81 • (cos O + i • sen O)
então
Zk
0+2K1T.
= 3· [ cos --4-- +
= 3lcos K1T +
2
K
= O =>
lO
K = 1 => 21
I'
I •
sen
0+2K1T]
sen --4--
~1T)
ax
=
3
K
= 2 => 22
o
3;
K
= 3 =>23= -3;
=
o <=
+ b
x
n
Observemos que a equação binômia admite n raízes que são os valores de
com K E {O, 1,2, 3}
=
n
J1.
-3
Exemplo
portanto os números procurados são 3, -3 e -3i.
Solução 2
Resolver 3x 6 + 192 = O.
A circunferência em questão tem centro
na origem e passa por P(O, 3L portanto
seu raio é 3. Em conseqüência, ela inter-
3x 6 + 192
-3
cepta os eixos nos pontos 13, O), (O, 31,
1-3, O) e la, -31 que são os vértices do
quadrado.
fazendo z
=
=
O <=
x6 =
-64, vem p = I z I
_
=
192 <=
3
X
64 e O
1T,
então:
Conclusão: os números procurados são
13, O)
F.62
=
3, (-3, OI = -3 e la, -31 ". -31
v2
Sendo 2"
+ i•
v:
-3i
O, 1, .. _, 5
uma das raízes quartas de um número z, determinar as raízes qua-
dradas de z.
F.63
(E. E. Lins-66) Uma das raízes de ordem 6 de um número complexo é -2. Determinar as
outras raízes de ordem 6 desse número.
K
O ==>
K
1
=ZI
Zo
1T
2· (cos"6
+ i . sen
~)
6
2· (cos
21T
+ i· sen
1T
2)
Y3
=
F.54
Determinar graficamente as raízes quartas de 81.
F.65
Um hexágono regular, inscrito numa circunferência de centro na origem, tem como um
de seus vértices o afixo de z = 2i. Que números complexos são representados pelos ou-
K
2
=
Z2
2· (cos
51T
""6 + i .
tros cinco vértices do hexágono?
K
3
=
Z3
2· (cos
7;
K
4
=
Z4
31T
2· (cos - + i . sen 31T )
2
2
K
5
==> Zs
t'=8i.
F.G6
Representar graficamente os números i +
F.57
Representar graficamente as soluções da equação binômia (z - 1 + i)4 '-'- 1.
F.58
Demonstrar que a soma das raízes de índice 2n de um número complexo qualquer é zero.
40-F
2 • Icos
2i
-\/3+1
sen E.'!.)
6
-Y3-
+ i • sen lJí.)
6
ll1T
+ i • sen
6
=
1J.7r)
6
+i
i
-2i
\/3 -
i
41-F
portanto o conjunto-solução de 3x 6 + 192
S =
{v3
Oé
=
+ i, 2i, -v3 + i,
-v3 - i,
-2i,
v'3 - i}
Chama-se equação trinômia toda equação redutível à forma
34.
representado pelos vértices do hexágono regular da figura.
Y
2i
onde a, b, c E 0:, a
- v3+i
x
* O, b * O e n E
N.
Para resolver uma equação trinômia faz-se x n = Y, obtém-se YI e Y2 raízes da
equação ay 2 + by + c = Oe, finalmente, recai·se nas equações binômias x n = YI e
x n = y2 determinando-se as 2n raízes.
Exemplo
-2i
Resolver x 6 + 7x 3 - 8
Fazendo x3
=
O.
y, resulta y2 + 7y - 8
= O portanto:
EXERCíCIOS
F.69
Resolver a equação binômia x 3 + i
O
y
Solução
x3 + i = O
_;
o
x3
Ç:::::>
1 10 + i
1_ 1))
o
=
-i <:=:> x
1 • (cos
;;o
V'=i
3; +
Como z
• (cos ~ + i • sen ~l = i
K = 1
K
o
2
2
=
li =
=
1111.
l2 = 1 • Icos ( ; + I
• (cos 711 + i • sen 711 I
6
6
= •
1111
•
K=O
sen -6-)
v3_
i • .!
2
2
v3.
= -2- -
I •
portanto o conjunto-solução da equação dada é
S
F.7D
=
{i _ '\Í3
•
2
_ i • 2.. '\Í3 .
2'
2
1
K
==>
=
0,1,2
Zo = cos O + i . sen O = 1
211 +'
1 ==> zl
cos:3
I'
211
sen :3
=
_
.!.2 +'I ' -2V3
'2
K =2
i • 2..}
2
==>
Z2 = cos
411.
"3 +
I •
sen
411
"3 =
1
2
. V3
1'--
2
Vamos resolver a equação binômia x 3 = Y2 = -8 da qual decorre x
Resolver as seguintes equações binômias:
a) x 2 - i = O
c) x 4 ·1 + i = O
e) x 4 + i = O
42-F
1 tem módulo 1 e argumento O, vem:
2K11.
2K11)
. ( cos--+ l'sen-- , K
3
3
então
2
ifl.
Vamos resolver a equaç'io binômia x 3 = YI = 1 da qual decorre x
~11 I
i • sen
bl x 6 + 8 = O
d) x 3 + 1 = O
f) x 3 - 27 o O
Como z
x
Zk
=
=
v:::a.
-8 tem módulo 8 e argumento 11, vem:
2 • [cos (
11
+ 2K11.
11 + 2K11
3
) + I • sen (
3
)l. K
=
O, 1, 2
43-F
K
~
o
K
K
2
~
Zo
~ 2 • (cos!!..- + i • sen!!..-) ~ 1 + i..J3
3
3
~ ZI
2· (cos rr + i • sen rr)
~ Z2 ~
5rr.
2 • (cos + I
3
•
~
-2
5rr
sen - )
3
~
.~
1 - iv 3
E o conjunto-solução da equação trinômia é:
EXERCICIO
f.71
Resolver as seguintes equações trinômias:
ai x 8 - 17x 4 + 16 ~ O
44-F
cl
x4 -
2x 2
el
27x 6
+
+2
35x 3
~
di x 4 - 5x 2 + 4 ~ O
O
+8
bl x 6 + 9x 3 + 8 ~ O
~ O
fi
ix 2 - 2x
+ vS ~ O
Nasce a "Matemática Moderna"
A Matemática do século XX é marcada por grande abstração e preocupação
cada vez maior em análise de grandes esquemas.
Em 1939 surge o primeiro volume de uma grande obra chamada "Elementos
de Matemática" que ainda está em pleno desenvolvimento, tendo sido editado
seu trigésimo primeiro volume em 1965 o qual ainda não está completo em sua
parte I, "As Estruturas Fundamentais da Análise" com os subütulos: Teoria dos
Conjuntos, Álgebra, Topologia Geral, Funções de Variável Real, Espaços Veto·
riais Topológicos e Integração. Em suas páginas há o nome do autor - "Nicolas
Bourbaki" - um francês inexistente com nome grego.
O que se sabe é que em Nancy, cidade onde nasceram vários dos grandes
matemáticos, há uma estátua do pitoresco General Charles Denis Sauter Bourbaki,
a quem em 1862 foi oferecido o trono da Grécia que ele rejeitou e que foi parti·
cipante notável da guerra franco·prussiana. Entretanto, Nicolas Bourbaki nem
mesmo foi parente distante deste general, dando a entender que esse nome foi
tomado simplesmente para designar um grupo de matemáticos, quase todos franceses, que formam uma espécie de sociedade secreta, da qual André Weil e Jean
Dieudonnê são dois dos mais importantes líderes.
André Weil nasceu em 1906, participou de Universidade de Chicago e mais
atualmente do Instituto de Estudos Avançados, em Princeton.
Jean Dieudonnê nasceu também em 1906 e após a segunda guerra lançou
sua obra "Novos Desenvolvimentos em Matemática" com idéias radicalmente
novas, anunciando uma nova era. Participou da Universidade de Nancy, depois
da Universidade de Paris e mais atualmente da Northwestern University.
Os trabalhos de Bourbaki caracteri·
zam-se por uma adesão completa ao tratamento axiomático, por uma forma total·
mente abstrata e geral, retratando uma
estrutura lógica. Estas idéias são responsáveis pelas mudanças na Matemática em
nível elementar e secundário, movimento
conhecido como "Matemática Moderna".
Weil, concordando com Hilbert, olha
para os problemas a serem resolvidos como
sinal seguro de que a Matemática continua·
rá progredindo. Sobre o futuro ele diz: "O
grande matemático do futuro, como o do
passado, fugirá dos caminhos batidos. ~
através de idéias inesperadas, a que nossa
Jean Dieudonné
imaginação não saberia como chegar, que
(1906 ele os resolverá".
CAPÍTULO II
POLINÔMIOS
I. POLlNÕMIOS
35.
Definição
Dada a seqüência de números complexos (ao, ai, a2,
,a n ), consideremos a
função: f: Q;~C dada por f(x) = ao + a[x + a2x2 +
+anx n . A função fé
denominada função polinomial ou polinômio associado à seqüência dada.
Os números ao, ai, a2, ... , an são denominados coeficientes e as parcelas
ao, a[x, a2x2, ... ,anx n são chamados termos do polinômio f.
36.
Exemplos
As seguintes aplicações são polinômios:
f(x) = 1 + 2x + 3x 2 - 5x 3 onde ao= 1, a[ = 2, a2= 3e a3= -5.
g(x) = 1 + 7x 4 onde ao = 1, a[ = a2 = a3 = O e a4 = 7
h(x) = 5x - 3x 3 onde ao = a2 = O, a[ = 5 e a3 = -3.
37.
Definição
Dados o número complexo a e o polinômio f(x) = ao + a[x +a2x2
chama·se valor numérico de f em a a imagem de a pela função f, isto é:
+ ... + anx n ,
fIa) = ao + ala + a2a2 + ... + ana n .
Assim, por exemplo, se f(x) = 2 + x + x 2 + 3x 3, temos:
f(2) = 2 + 2 + 2 2 + 3· 2 3 = 32
f(-1) = 2+(-1) + (_1)2 + 3· (-1)3 =-1
f(1 + i)
2 + (1 + i) + (1 + i)2 + 3(1 + i)3 =
2 + 1 + i + 1 + 2i - 1 + 3 + 9i - 9 - 3i = -3 + 9i.
Muitas vezes para simplificar a notação, escreveremos apenas
f = ao + a1 x + 82 xl + ... + anxn
para simbolizar um polinômio f na variável x. Neste caso f é o mesmo que Hxl.
47-f
Em particular, se a é um número complexo e f é um polinômio tal que
f(a) = O, dizemos que a é uma raiz ou um zero de f. Por exemplo, os números
-2 e -1 são ra ízes de f(x) = 2x + 3x 2 + x 3 pois:
f(-2)
Assim, estamos diante de um sistema linear e homogêneo do tipo
(n + 1) X (n + 1) cujas incógnitas são ao, a" a2, '" , ano Como determinante deste
sistema é
2(-2) + 3(-2)2 + (_2)3 = O
QI
2
Qo
2
QI
Q2
2
Q2
Qo
f(-l)
+ 3(-1)2 + (_1)3
2(-1)
=
O
D=
11. IGUALDADE
.
Neste parágrafo vamos estabelecer o que são dois polinômios iguais e como
se pode constatar a igualdade de dois polinômios examinando apenas seus coeficientes.
38.
Definição
.. .. ..... ..... ..
O'n
n
não nulo por tratar-se do determinante de uma matriz de Vandermond e cujos elementos característicos são 0'0, QI, 0'2, .. " O'n, todos distintos, o sistema tem uma
única solução que é a solução trivial:
O.
Dizemos que um polinômio f é nulo (ou identicamente nulo) quando f assume o valor numérico zero para todo x complexo. Em símbolos indicamos:
f
39.
=O
<=> f(x)
= O,
V x E lC.
Qn
o
Qn
I
Qn
2
... ...
40.
Definição
Dizemos que dois polinômios f e g são iguais (ou idênticos) quando assumem
valores numéricos iguais para todo x complexo. Em símbolos, indicamos:
Teorema
Um polinômio f é nulo se, e somente se, todos os coeficientes de f forem nulos. Em símbolos, sendo f(x) = ao + alx + a2x2 + ... + anx n , temos:
f
= a-
ao = ai
= a2
= ...
= an = a.
Demonstração
19) É imediato que ao = ai = a2 = ... = a n = O acarreta:
n
f(x) = O + Ox + Ox 2 + ... + Ox = O, V x E C.
f = g <=> f(x) = g(x), V x E lC
41.
Teorema
Dois polinômios f e g são iguais se, e somente se, os coeficientes de f e g forem.
ordenadamente iguais. Em símbolos, sendo
n
f(x)
29) Se f é nulo, então existem n + 1 números complexos 0'0,0'1, Q2, ... ,O'n'
distintos dois a dois, que são raízes de f, isto é:
f(O'o)
f(O'd
f(Q2)
2
ao + alO'O + a20'0 + ... +anQ~
2
ao + alO'I + a20'1 + ... + anO'~
2
ao + a'0'2 + a20'2 + ... + anO'~
I
e
n
L
i=O
O
bi Xi
temos:
9 -
48-f
i
;=0
a
a
ajx
ai
'bj, V i E {a, 1, 2. ... ,n}
I
49-f
Demonstração
F.74
b,
~
=
ai - bi
~
O
=
(ai - bi) x'
o~
(ai - bi) xi
n
I
=
n
I
I
ajx' -
F.75
ajX
,
bjx
i
O
=
;=0
i=O
icO
=
O
~
n
I
xl
+ x + 1.
Determinar os reais, a, b, c de modo que f = la - 21x 3 + Ib + 21x + 13 - cl seja o polinômio nulo.
n
=
+ x 14 + x 13 + ... +
Calcular flOl, 1(1 I e fl-l I,
Para todo x E ll:, temos:
ai
Seja a função polinomial f(x) = xIS
F.76
n
I
bi Xi
=
g(x)
f(x)
F.77
,=0
,=0
Determinar a, b, c de modo que a função I(x) = la + b - 51x 2 + Ib + c - 71x+ la + cl
seja identicamente nula.
. . F.78
Dadas as funções polinomiais flxl=ia-llx 2 +bx+c e gixl=2ax 2 +2bx-c qualéa
condição para que se tenha a identidade flx) == g(x)7
Determinar a condição necessária e suficiente para que a expressão
81X 2 + blX
+ CI
82X2+b2X+C2
EXERCíCIOS
onde 81. b}, CI,
F.72
821
b2, C2 são reais não nulos, assuma um valor que não depende de x.
Quais das expressões abaixo representam um polinômio na variável x?
Solução
xiS
ai x 5 + x 3 + 2
gl
bl Ox 4 + Ox 2
hl x + 2
cl 3
il
5
(jjJx 2 + 3x2
el
G
F.73
(v:) \
®
x+2
xV: +x 2
Façamos a fração assumir o valor constante K. Então
x 2 +2x+3
1
x4 +x
k) x
11
equivale a
a,x 2 + b,x+ c, = Kia2x2 + b2X +c2I,\I x EC
a,x 2 + b,x + c, = Ka2x2 + Kb2X + KC2, \Ix E C
+ x 3 + x 6 + x4
13x 2 - 5x + 3117x 3 + 21
que equivale a:
ai = Ka2, b 1 = Kb 2 e CI = KC2
isto é:
Dada a função polinomial
fi xl = x3 + x 2 + x + 1
Isto significa que os coeficientes do numerador devem ser respectivamente proporcionais aos coeficientes do denominador.
pede-se calcular: 1(-3), flOI, fill, flx + 1 I, fl2xl e flfl-lll,
Por exemplo, as frações:
Solução
fl-3) = 1_3)3 + 1-3)2 + 1-3) + 1 = -20
flOI = 0 3 + 0 2 + O + 1 = 1
x 2 +2x+3
2x 2 + 4x + 6
fllI=P+1 2 +1 +1 =4
fix + 1) = ix + 1)3 + ix + 1)2 + Ix + 1 I + 1 =
assumem valor Constante para todo x E <C.
= ix3 + 3x2 + 3x + 1) + Ix 2 + 2x + 11 + Ix + 1 I + 1 =
= x 3 + 4x 2 + 6x + 4
fl2xl = 12x)3 + 12x)2 + (xl + 1 = 8x 3 + 4x 2 + 2x + 1
fi-li = 1_11 3 + 1-11 2 + (-11 + 1 =0 =-l(fl-lI = fiO) = 1
50-f
e
5x 2 - 7 x + 1
10x 2 - 14x + 2
Resposta:
F.79
Determinar a, b, c de modo que se tenha para todo x real:
ax 2 - bx - 5
3x 2 +7x + c
= 3.
51-f
111.
Demonstração
OPERAÇÕES
42.
f + (g + hl
[A - 1]
i) ADIÇÃO
Definição
+
(f
g)
+ h,
f, g, h E P
Fazendo f(x) =
Dados dois polinômios
f(x) = ao
+ ajX + a2 x2 + ... + anx n =
t
t
n
(f
+ (g + h) (x) =
L
d;x;
((f
e
+ g) + h)
(x) =
temos:
;=0
;=0
g(x) = b o + bjx
+ b 2x 2 + ... + bnx n =
di = ai
bi Xi
+ (bj + Cj) = (a; + b j) + Ci = ej, V i E {o, 1, 2, ... ,
[A - 21
;=0
chama-se soma de f com 9 o polinômio
isto é:
(f + g) (x) =
+9
I
(ai + bj)x;
+ f,
= 9
I
Fazendo f(xl =
+ g)(x) = (ao + b o) + (aj + bdx + (a2 + b 2 )X 2 + ... + (a n + bn)x n
(f
f
f, 9 E P.
ai xi , g(x) =
i =0
n
(g + f) (x) =
L
d·x
I
j
nf.
f
n
bi Xi , (f + g) (x) =
i =0
L
Cixi
temos'. C·I = aI + b·I = b·I + a·I -- d·I' V i E {o , 1, 2 ,
,
e
i=O
... ,
n} .
;=0
j=O
e a E P I f + ea
[A - 31
43.
f,
f E P
Exemplo
Somar f(x) = 4
+ 3x + x 2 e g(x) = 5 + 3x 2 + x 4
Temos:
f +
+ 3x + x 2 + Ox 3 + Ox 4
g(x) = 5 + Ox + 3x 2 + Ox 3 + x 4
ea == f
<===> a; +
O'j =
ai,
Vi
E
{O. 1,2•... n}.
f(x) = 4
então c(j = O, V i E {O. 1. 2•... n}. portanto ea (elemento neutro para a adição
de polinômios) é o polinômio nulo.
então:
(f
+ g) (x) = (4 + 5) + (3 + O)x + (1 + 3)x 2 + (O + 0)x 3 + (O + 1)x 4 =
2
4
= 9 + 3x + 4x + x .
[A - 4J
Fazendo f(x)
44.
f+f'==e a
propriedades:
52-F
11
2]
3]
41
n
ajx
i
e f'(xl =
i=
:A operação de adição define em P(conjunto dos polinômios de coeficientes
complexos) uma estrutura de grupo comutativo. isto é, verifica as seguintes
-
fo
c·
Teorema
[A
[A
[A
[A
f' E P I f + f' = ea
f E P,
ai
• i
a;x, temos:
i=O
=aj+a;=0,ViE{0,1,2•... ,n} então
= -aj. V i E {O, 1,2, .. '. n}, portanto:
n
f'(x) =
propriedade associativa
propriedade comutativa
existência de elemento neutro
existência de inverso aditivo
L
L
i
(-aj)x = -ao - ajX - a2 x 2 - ... - anx n
;=0
é o inverso aditivo de f. ou melhor, é o polinômio que somado com f dá o
polinômio nulo.
53-F
48.
ii) SUBTRAÇÃO
Dispositivo prático 1
2
4+
5x+ 6x + - 9
2
3
f
x + 2x + 3x + - 2
3
4x + 5x + 6x + - X•9
+
8x 2 + 10x 3 + 12x4 + - 2x 2 • 9
12x 3 + 15x4 + 18x s _ _ 3x 3 • 9
45. Tendo em vista o teorema anterior, tem sentido a seguinte definição:
dados dois polinômios f(x) = ao + ai x + a2 x 2 + ... + anx n e g(x) = b o + b , x +
+ b 2x 2 + ... + bnx n , chama-se diferença
f - 9 o polinômio f + (-g), isto é:
(f - g) (x) = (ao - boI + (a, - b,)x + (a2 - b 2 )X 2 + ... + (a n - bn)x n .
iii) MULTIPLICAÇÃO
46.
Definição
49.
Dados dois polinômios
f(x) = ao + alx + a2x2 +
g(x) = b o + b,x + b 2x2 +
+ amx m
+ bnx n
Dispositivo prático 2
Colocamos numa tabela os coeficientes ai de f e os coeficientes bj de g;
calculamos todos OS produtos aibj; somamos os produtos em cada diagonal, conforme indica a figura, obtendo OS ck'
Assim, no nosso exemplo, temos
chama·se produto
fg
o polinômio
Co = O
C, = 4 + O = 4
c2=8+5+0=13
C3 = 12 + 10 + 6 = 28
C4 = 15 + 12 = 27
Cs = 18
2
(fg) (x) = aob o + (aob l + a,bo)x + (a2bO + alb , + a O b 2)x + ... +
Notemos que o produto
fg
é um polinômio
h(x) = Co + CIX + C2X2 + ... + cm+nx
cujo coeficiente
Ck
m n
+
pode ser assim obtido:
L
aibk-;'
;=0
Notemos ainda que fg pode ser obtido multiplicando-se cad~ ~ermo a;x; de
f por cada termo bjxJ. de g, segundo a regra (aix i) • (b jX J) = ai b jX '+J ,e soman d o
os resultados obtidos.
47.
Exemplo
2
Multiplicar f(x) = x + 2x 2 + 3x 3 por g(x) = 4 + 5x + 6x .
Temos:
.
(fg) (x) = (x + 2x 2 + 3x 3) (4 + 5x + 6x 2) =
2
= x(4 +5x + 6x 2 ) + 2x 2 (4 + 5x + 6x 2) + 3x 3(4 + 5x + 6x ) =
4
s
= (4x + px 2 + 6x 3 ) + (8x 2 + 10x 3 + 12x4 ) + (12x 3 + 15x + 18x ) =
= 4x + 13x 2 + 28x 3 + 27x 4 + 18x s .
54-F
)Y
1
/~/
2
3
]..2/
4
,8'
6
5
Jl/ /..0
-~
10/
J 5/
/
~/
12'
)8/
portanto, h(x) = (fg) (x) = 4x + 13x 2 + 28x 3 + 27x 4 + 18x s .
k
Ck = aObk + a l bk_1 + ... + akbO =
i'Z
O
50.
Teorema
A operação de multiplicação em P (conjunto dos polinômios de coeficientes
complexos) verifica as seguintes propriedades:
[M-l]
propriedade associativa
f • (g • h) = (f • g) • h,
V f, g, h E P
[M-21
propriedade comutativa
f • 9 = 9 • f,
V f, gE P
[M-31
existência de elemento neutro
[Dl
propriedade distributiva
:3 em E P I f • em = f,
f • (g + h) = f • 9 + f • h,
VfE P
V f, g, h E P
Num curso deste n(vel julgamos desnecessário conhecer a prova destas
propriedades. Verificadas as propriedades A- 1, 2, 3, 4, M- 1, 2, 3 e D, podemos
afirmar que as operações de adição e multiplicação definem sobre P uma estrutura
de anel comutativo com unidade, P é, portanto, o anel dos polinômios complexos.
55-F
Solução
EXERC(CIOS
F.80
ax 2 + bx + c é um polinômio quadrado perfeito se existir px + q tal que:
Dados os polinômios:
ax 2 + bx
t{xl ~ 7 - 2x + 4x 2
g(xl = 5 + x + x 2 + 5x 3
h(x) = 2 - 3x + x 4
+c
= (px
+ ql2
Determinar h(x) tal que:
h(xl
=
(x
+ 11 (x - 21 + (x - 2)(x - 1) + 4(x + 1).
F.83
Calcular h(xl tal que:
h(x)
=
(x
+ 2)2 + (2x - 1)3.
F.84
Sendo dados os polinômios f = x, g:::
X
+ x 3 e h::: 2x 3 + 5x, obter os números
Solução
F.85
=
=
3x 6 - 6x
+ 2x 2 ,
F.86
2 + (x _ 3)2 - 2(x - 21 2 - 2 é o polinômio nulo.
Demonstrar que f ::: ( x- 11
F.87
Se f
F.S8
Determinar a, b, c de modo que se tenha:
x2
+ px + q e 9 = (x - p) (x - q), determinar os reais p e q de modo que f
a) a(x 2 - 1) + bx
b) a(x 2 + x)
+c
= x2
+ 4x + 2
c) x 3 _ ax(x + 1) + b(x 2 - 1) + cx + 4 = x 3 - 2
F.89
Mostrar que os polinômios f = (x 2
+.J2 x + 11 (x 2 -.J2 x + 1) e 9 = x 4 + 1
são iguais.
F.90
F.95
(MAPOFEI-74) Decompor o trinômio -6x 2 + 36x - 56 em uma diferença de dois
cubos do tipo (x - b)3 - (x - a)3.
F.96
(MAPOFEI-76) Verificar se existem valores de k para os quais o trinômio (k
- (2k - llx - 3, seja expresso por uma soma de quadrados.
IV.
GRAU
51.
Definição
56-F
+ 2)x 2 -
Seja f = ao + atX + a2x2 + ... + anx n um polinômio não nulo. Chama-se grau
de f, e representa-se por af ou gr f, O número natural p tal que ap
O e ai = O
para todo i
p.
"*
>
af,; p
Determinar a, ~ E IR para que os polinômios
f = x3 + C/x + ~ e 9 = (x 2 + x + 1)2 - x 4 sejam iguais.
F.91
+ llx + (p + 1)2
= g.
= O
+ (b + cl x + c
e 9 = x 2 + 2x + 2
seja o quadrado perfeito de um polinômio racional inteiro em x.
obter os números reais a, b, c de modo que se tenha k::: af + bg + ch.
=
Obter C/ E IR de modo que os polinômios f = x 4 + 2C/x 3 - 4CiX + 4
4x4 - 8x 3 + 8x 2 - 4(p
4
4ac
(E.E. LINS-66) Calcular p para que o polinômio
Sendo dados os polinômios:
+ x4 + x 6 e k
=
F.94
2
f = x2, 9 = x 2 + x4 , h = x 2
4(p2) (q2)
Determinar a condição para que o polinômio f = (ax + b)2 + (cx + d)2, onde a, b, c, d são
são reais e não nulos, seja um quadrado perfeito.
Aplicando o teorema da igualdade de polinômios, vem: 2::: b e 5::: a + b
b
=
F.93
ax + b(x + x 31 = bx 3 + (a + blx, 'V x EC.
e
q2
verifiquem a condição f ::: 92 .
reais a e b tais que h = af + bg.
3
=
Resposta: b 2 = 4ac
F.92
=
111) c
Substituindo I e 111 em 11', vem b 2
calcular (fg) (x). (ghl (x) e (hf) (xl
F.82
Resposta: a
+ 2pqx + q2
Quadrando li, temos b 2 ~4p2q2 (lI').
f(x) = 2 + 3x - 4x 2
g(x) ~ 7 + x 2
h(x) = 2x - 3x 2 + x 3
=
~ p2 x 2
Aplicando o teorema da igualdade, temos:
Dados os polinômios:
2x3 + 5x
+c
(f + gl (x), (g - h) (x) e (h - t) (xl.
calcular
li) b = 2pq,
F.81
ax 2 + bx
então:
Determinar a condição para que ax 2 + bx + c seja um polinômio quadrado perfeito.
Assim, grau de um polinômio f é o {ndice do "último" termo não
nulo de f.
57-F
52.
Exemplos
f(x) ~ 4 + 7x + 2x 3 - 6x 4
g(xl ~ -1 + 2x + 5x 2
~
h(x)
= ai
~
4
=
~
2
ag
1 + 5x - 3x 2 + (a - 4)xL { ah ~ 2 se a
ah ~ 3, se a
2 0 )f(x) ~ 1 + x + x 2
=
g(x) ~ 2 + 3x + 2x 2
=
(f + g) (x) ~ 3 + 4x + 3x 2 =
~
'*
4
4
3 0 )f(x) ~ 2 + ix + 5x 2
=
af~2
g(x) ~ 3 + 5x- 5x 2
=
ag~2
(f + g) (x) ~ 5 + (i + 5)x ===> a(f+g)
°
Se
grau do polinômio f é n, então an é chamado coeficiente dominante
de f. No caso do coeficiente dominante an ser igual a 1, f é chamado polinômio
unitário.
55.
53.
af ~ 2
ag ~ 2
a(f + g) ~ 2
~
1
Teorema
Se f e 9 são dois polinômios não nulos, então o grau de fg é igual à soma
dos graus de f e g.
Teorema
Se f, 9 e f + 9 são polinômios não nulos, então o grau de f + 9 é menor
ou igua I ao maior dos números af e ag.
a(f + g)
<
max {af,
ag}
Demonstração
Demonstração
Se
f(x)
m
I
~
com m
i ~O
admitamos por exemplo m
> n.
portanto
Se f(x)
'*
~
~
O + O ~ O, \I i
cm ~ am + bm
um coeficiente qualquer de (fg)(x).
Temos:
> m,
cm+n ~ am • bn
ck
~
ag}
'\..
'\
(f + g) (x) ~ 3 + 4x + x 2
=
=
=
at~2
ag~l
a(f+g) ~2
então
iH + ag.
56.
Exemplos
==>at~l
g(x) ~ 1 + 2x + 5x 2
==> ag ~ 2
=
(fg) (x) ~ 4 + 11 x + 26x 2 + 15x 3
Exemplos
1?) f(x) ~ 1 + x + x 2
g(x) ~ 2 + 3x
>m + n
,
1?)f(x)~4+3x
54.
'* O
O para todo k
a(fg) ~ m + n ~
>m
pode ser nulo, então:
(f + g) ~ max {at,
seja
i=O
O,
a(f + g) ~ m ~ max {af, ag}.
ai + bj
I
ck ~ aobk + ai bk-l + ... + ak-I b 1 + akbo
Se admitirmos m ~ n, temos:
Cj
~
n,
Assim, temos
cm ~ am + cm ~ am + bm ~ am + O
e
Cj ~ aj + bj ~ O + O ~ O, \I i
'*
a (fg) ~ 3
2?)f(x) ~ 1 + 2x + x 2 + 5x 3 ==> af ~ 3
g(x) ~ 3 - 6x + 7x 2 + 8x 3 ==> ag ~ 3
(fg) (x) ~ 3 - 2x 2 + 31x 3 - 7x 4 + 43x s + 40x 6 ==> a(fg) ~ 6.
58-F
59-F
EXERC(CIOS
F.97
F,99
DIVISÃO
57.
Definição
Determinar o grau dos seguintes polinômios:
f ~ _x 2 + Ix + 2)2 - 4x
g=ax 2 +2x+3 la E IRI
2
h ~ la - 5a + 61x 2 + la 2 - 41x + 16 - 2al la E IR)
F.98
V.
*'
(CESCEM-681 Se f e g são dois polinômios de grau n, qual é o grau de f + g e de fg?
Determinar o polinômio f do segundo grau tal que f(01 ~ 1, flll ~ 4
e
Dados dois polinômios f (dividendo) e 9
O (divisor), dividir f por 9 é
determinar dois outros polinômios q (quociente) e r (resto) de modo que se
verifiquem as duas condições seguintes:
I) q • 9 + r
11) ar < ag
f(-1l = O.
Solução
=
f
(ou r = O, caso em que a divisão é chamada exata)
2
Seja f = ax + bx + c. Temos:
=
c= 1
1II
f(0) = a . 0 2 + b • O + c = 1
fI1l=a·1 2 +b·1+c=4
=a+b+c~4
fl-l) =al-1l 2 +bl-1l+c=0 =
a-b+c=O
Subtraindo (1111 de (11), vem 2b
Em 1111: a + 2 + 1
=
4
=
a
=
58.
1III
1~) Quando dividimos f = 3x 4 - 2x 3 + 7x + 2 por 9 = 3x 3 - 2x 2 + 4x - 1,
2
obtemos q = x e r = _4x + 8x + 2 que satisfazem as duas condições:
3
2
I) qg + r = x(3x - 2x + 4x - 1) + (_4x 2 + 8x + 2) = 3x 4 - 2x 3 + 7x + 2 = f
(1111
4 = b = 2.
=
Exemplos
1
li) ar=2
f ~ x 2 + 2x + 1
Resposta:
f.loa Determinar uma função polinoml'al f( ) d
x e grau 2 tal que flxl = f(-xl para todo
x E c.
e
ag=3= ar< ag
2~) Quando dividimos f = 5x 3 + x 2 - 10x - 24 por 9 = x - 2, obtemos q
2
5x + 11 x + 12 e r = O que satisfazem às duas condições:
I) qg + r = (5x + 11x + 12) (x - 2) + O = 5x 3 + x 2 - 10x - 24 = f
2
Solução
li) r=O
Seja flxl = ax 2 + bx + c. Temos:
fi xl = fl-xl= ax 2 + bx + c = al-x)2 + bl-xl, + c
Neste caso a divisão é exata; dizemos, então, que f é divisível por 9 ou 9
é divisor de f.
isto é:
ax 2 + bx + c ~ ax 2 - bx + c, V x E IC
59.
Divisões imediatas
então:
b = -b =
2b = O =
Resposta:
b=O
f(x) = ax 2 + c, com a
Examinemos o polinômio qg + r, onde 9
*'
I) Se q = O e r = O, então qg
O.
li) Se q = O e r
F.l0l Seja f(xl uma função polinomial do 20 grau. Determinar f(x) sabendo que f(1) = O
e f(xl = f(x - 11,Vx.
*'
bJ Usando o resu Itado da parte a, calcule, em função de n:
f
~
+ r = Og + O = O,
O, então qg + r = Og + r = r, portanto, a(qg + r) = ar < ag.
Há dois casos em que a divisão de f por 9 é imediata.
a) Determine os polinômios P do terceiro grau tais que, para
se tenha P(x) - Plx - 1) ~ x2
i
O e ar < ag (ou r = O):
111) Se q
O, então a(qg) = aq + ag ;;. ag, portanto, a(qg + r) ;;. ag pois a
parcela r tem grau menor que 9 ou é nula.
F.l02 IMACK-71l
S=
*'
*'
d
.
to o numero real x,
TI? caso:
f = O
Temos qg + r = O e, como acabamos de ver, isto ocorre somente se q = O e
r = O.
i2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + n2.
1
60-f
61-f
2l? caso:
àf
<
62.
og
Aplicações
Temos: qg + r ~ f ==> o(qg + r) ~ àf
==> o(qg + r) < og
e, conform e vimos, isto ocorre soment e se q ~ O e r O. É imediat
o que:
~ O}
q
f*,O
*'
==>O'g+r~f
==>
r
~
f
(portan to r
*' O)
Temos:
oq
Or
~
4- 3
<3
~
1 ==> q
na pior das
~
ax + b
Or ~ 2 ==> r ~ cx2 + dx + e
:
hipóteses
qq + r ~ f==> (ax + b) (3x 3
2x 2 + 4x - 1) + (cx 2 + dx + e) ~ 3x 4
-
3ax 4 + (3b - 2a)x 3 + (4a - 2b + c)x 2 + (4b - a + d)x + (e - b) ~ 3x 4
Resposta q
~
1rX
Respost a q
~
O
e
r ~
+ v'3
O e
r
por 9 ~ x 3 + 4x 2 + x + V2
3a
~
3b-2a~-2=3b~-2+2(1)~0= b~O
4a - 2b + c ~ O==> c ~ 2b - 4a ==> c ~ -4
1rX
+ v'3
60. Deste ponto em diante admitir emos sempre of ;;, og, isto
é, excluire mos da
teoria os dois casos em que a divisão é trivial. Para respond er
à pergunt a:
como obter q e r?
no caso de of ;;, Og explicar emos dois método s: método de Descart
es e método
da chave. Neste último provaremos a existência e a unicida de
do quocien te e
do resto.
Método de Descartes
Este método,. também conheci do com o nome de método dos
coeficie ntes
a determi nar, baseia-se nos fatos seguintes:
(I) oq ~ of - og, o que é conseqü ência da definiçã o pois:
qg + r ~ f==> o(qg + r) ~ of então oq + og ~ of.
(11) ar< Og (ou r ~ O)
62-F
-
2x + 7x + 2
3
então resulta:
O
~
3= a
4b - a + d
61.
2x 3 + 7x + 2
Desenvolvendo, temos para todo x:
Exemplos
29) Dividir f ~
-
~
~
7
1
==>
d
~
a - 4b + 7
==>
d
~
8
e-b~2= e~b+2= r~2
Resposta:
q~x
r~-4x2+8x+2
e
(compa re com 10 exempl o do item 58)
2a ) Dividir f ~ 5x 3 + x 2 - 10x - 24 por 9 ~ x - 2.
Temos:
Oq ~ 3 - 1 ~ 2 ==> q ~ ax 2 + bx + c
ar < 1 ==> or ~ O ==> r ~ d
qg + r ~ f ==> (ax 2 + bx + c) (x - 2) + d ~ 5x 3 + x 2
Desenvolvendo, temos para todo x:
ax 3 + (b - 2a)x 2 + (c - 2b)x + (d - 2c) ~ 5x 3 + x 2
então resulta:
: :
~a ~ 1
=>
b
~ 2a + 1
=
b
{
2?) constroem-se os polinôm ios q e r deixand o incógnitos seus coeficie
ntes
3?) determi nam-se os coeficientes impond o a igualdade qg + r ~
f.
Resposta: q~. 5x 2 + 11x+ 12 e r ~ O
(compre com 2 0 exempl o do item 58).
c-2b~-10
=> c~2b- 10 ==> c~12
d - 2c
=>
- 24
d
~
2c - 24 =
d
-
10x - 24
~ 11
O método de Descartes é aplicado da seguinte forma:
0
1 ) calculam-se oq e Or
~
10x - 24
-
~
O
63-F
63.
Teorema
3<:' grupo de operações: vamos formar o monômio
Dados os polinômios
construir o polinômio
f =amx m+ a m _1 x m-1 +a m _2 x m-2 + ... +a,x+ao
g= b n Xn + b n-1 Xn-1 + b n-2 x n-2 + ... +bjx+b o
(a m
(b n
"* O)
"*
(3)
chamado 3<:' resto parcial.
O)
existem um único polinômio q e um único polinômio r tais que qg + r = f e
ar < ag (ou r = O).
Notemos que
r3 = (dl3x13 + dl3 -1 x13 -1 + ... ) -
Demonstração
:~
• x13 -n • (bnx n + b n -1 x n - 1 + ... )
o que prova o cancelamento de dl3x13 (pelo menos), portanto, ar) = r
Para maior comodidade, façamos:
r3=erxr+er_1xr-1 +er_2 xr - 2 + ... + e jx+eo
Existência
1? grupo de operações:
vamos formar o monômio
< 13.
4? grupo em diante: analogamente
e construir o polinômio
chamado 1? resto parcial.
Notando que, em cada grupo de operações, o grau do resto parcial diminui
de ao menos uma unidade, condu ímos que, apôs um certo número p de operações
resulta um resto parcial rp de grau inferior ao de 9 (ou então rp = O) e
Notemos que:
rp=r p _1- ( qp_1 XE-O) 9
am
.xm-n·(bxn+b 1 Xn - 1 +
1
rj=(amxm+am_1Xm- + ...)- bn
n
n-
o que prova o cancelamento de amx m (pelo menos), portanto,
Vamos adicionar membro a membro as igualdades de (1) a (p):
...
arj = a
)
< m.
(1)
(2)
(3)
Para maior comodidade, façamos:
rj = caxa + ca_1 xa - 1 + Ca_2Xa-2 + ... + c,x + Co
29 grupo de operações: vamos formar o monômio
(p)
rl=f-(qoxm-n)g
r2 = rj - (qjx'lt-n)g
r3 = r2 - (q2 x13 -n)g
rp = r p _1 - ( qp-1 x E -n) 9
rp = f - (qo x m-n + qjX a -n + q2X13 -n + ... + qp-1 x E -n) 9
-....-
\
v
e construir o polinômio
chamado 2<:' resto parcial.
e então f = qg + r com ar
< ag
(ou
r = O).
Unicidade
Notemos que
r2 =
)
q
r
(2)
(P)
(c~xa
+ c~_1
x a - 1 + ... ) _ bca • xa-n • (b nX n + b n-1 Xn-1 + ... )
~
~
n
o que prova o cancelamento de caxa (pelo menos), portanto, ar2 = 13 < a.
Admitamos a existência de dois quocientes qj e q2 e dois restos rj e
r2 na divisão de f por g, isto é:
f
li-
e
f
li-
Para maior comodidade, façamos:
r2 = dl3x13 + dl3-1 ;-1 + dl3_2x13-2 + ... + djx + do
e provemos que qj = q2 e rj = r2.
64-F
65-F
A disposição prática das operações indicadas acima é a seguinte:
Pela definição de divisão temos:
qt9+ r l=f}
q2g+ r2=f
Se ql
se verifica:
=
qlg + ri = q2g + r2
=
(ql - q2)g = r2 - ri
'* q2 ou r2 '* ri provemos que a igualdade (ql - q2)g = r2 - ri
f
3x s _ 6x4 + 13x 3 _ 9x 2 + 11x - 1
->
_3x s + 6x 4
não
ri
9x 3
-
ql = q2
-+
e
Método da chave
9
3x3 + 4x - 1
+-
q
4x 3 _ 9x 2 + 11 x _4x 3 + 8x 2 - 12x
_x 2 _
x2
X -
1
2x + 3
-3x + 2
64.
+-
-+
r2
então, para evitar a contradição, devemos ter:
x 2 - 2x + 3
+-
r
que pode ser simplificada assim:
A prova da existência de q e r vista no item 63 nos ensina como construir
esses dois polinômios a partir de f e g. Vejamos por exemplo como proceder se
4
s
f = 3x - 6x + 13x 3 - 9x 2 + 11 x - 1
e
9 = x 2 - 2x + 3.
-6
6
3
-3
1'? grupo de operações
13
-9
-9
4
-4
-9
8
11
-12
-1
-1
1
-1
-2
-1
3
-3
2
Formamos o primeiro termo de q pela operação 3~s = 3x 3 e construímos
x
o primeiro resto parcial rI = f - (3x 3 )g = 4x 3 - 9x 2 + 11x - 1 que tem grau maior
que ag.
65.
2'? grupo de operações
11
3
-2
1
3 O 4
-1
-1
Aplicações
4x 3
•
Formamos o segundo termo de q pela operação -2 = 4x e construI mos
x
o segundo resto parcial r2 = ri - (4x)g = _x 2 - X - 1 que tem grau igual a ag.
3'? grupo de operações
_x 2
Formamos o terceiro termo de q pela operação -2 = -1 e constru ímos o
x
terceiro resto parcial r3 = r2 - (-1)g = -3x + 2 que tem grau menor que ag, portanto, está encerrada a divisão.
r = -3x + 2
resposta: q = 3x 2 + 4x - 1
e
• supusemos
rI =0
66-F
==
'*
'*
rI
O e r2 o; é imediato,
a(r2-rl) = ar2 < ag
2
-3
4
O
-2
2
-2
2
-1
1
2
-1
2
1
-6
-1
7
1
-1
3
1
-7
-1
7
1
4
-8
8
-6
7
1
-1
1
2
-1
1
-1
por exemplo, que
Resposta:
q = 2x 2 - x + 1
e
r = 4x 2 - 8x + 8
67-F
2~)
f = x4
Dividir
-
16 por g=x+l.
Solução
Aplicando o método da chave, temos:
1
-1
O
O
O
-16
-1
-1
-1
O
1
O
1
-1
O
-1
-16
-1
1
-16
1
1
-1
1
-1
-1
-16
-1
q = x3
-
b
-1
3
-1
a+3
1
b
-3
a+4
b-3
1
e o resto é nulo para a
Resposta:
-15
Resposta:
a
O
1
=
1
1
q=2 x - 2
2
1
2
1
-6
-2"
-4 e b = 3.
e
r= (a+4Ix+ (b-31
para divisão exata:
x 2 + x - 1 e r = -15
2
a =-4
e b=3
F.l0S Sem efetuar a divisão, determinar a e b de modo que o polinômio
f = (x + 2)3 + (x - 1)3 + 3ax + b
seja divisível por 9 = (x - 21 2 .
EXERCICIOS
Solução
Desenvolvendo as potências, obtemos:
F.l03 Dividindo
polinômio f por x 2 - 3x
O
+ 5 obtemos quociente x 2 + 1 e resto 3x - 5.
Determinar f.
Fazendo q ~ cx + d (pois aq = af - ag = 11 e lembrando que f = qg (pois f é divisível
por g), resulta para todo x que:
Solução:
Por definição de divisão, temos:
f
=:
qg + r
então
f = (x 2 + 1) (x 2 -3x + 5) + (3x - 51 =(x 4 - 3x 3 +6x 2 - 3x +51 + 13x -51 ~ x 4 -3x 3 +6x2
Resposta:
f = 2x 3 + 3x 2 + (15 + 3a)x + (7 + bl
g=x 2 -4x+4
f = x 4 - 3x 3 + 6x 2
f.l04 Numa divisão de polinômios em 4ue o divisor tem grau 4, o quociente tem grau 2 e o
resto tem grau 1, qual é o grau do dividendo? E se o wau do resto fosse 21
2x 3 +3x 2 + (15+3alx+ (7+b)= (cx+d) (x 2 -4x +41=cx 3 + (d-4c)x 2 + (4c-4d)x+4d
portanto:
2=c
3 = d - 4 c = d = 4c + 3 = 8 + 3 = 11
15 + 3a = 4c - 4d
15 + 3a = 8 - 44 ==> 3a = -51 ==> a =-17
7+b=4d= 7+b=44= b=37
=
Resposta:
a
=
-17
e
b = 37
F.105 (EPUSP-57) Numa divisão de polinômios em que o dividendo é de ÇJrau p e o
quociente de grau q, qual é o grau máximo Que o resto pode ter?
f.l09 Determinar os reais a e b de modo que o polinômio
F.l0S Dividir f por 9 aplicando o método de Descartes:
F.ll0 (EPUSP-50) Determinar p E IR e q E IR de modo que
aI f = 3x 5 - x 4 + 2x 3 + 4x - 3
bl f = x 4 - 2x + 13
e 9 = x 3 - 2x + 1
e 9 = x2 + x + 1
cl f=20-3x+12 e
g=~+l
F.l07 Efetuar a divisão de f = x 3 + ax + b por 9 = 2x 2 + 2x - 6. Qual é a condição para que a
divisão seja exata?
'
68-F
f = x 4 - 3ax 3 + (2a - blx 2 + 2bx + (a + 3bl
seja divisível por 9 = x 2 - 3x + 4.
x4
+ 1 seja divisível por x 2 + px + q.
F.lll (I TA-62 I Se x 3 + px + q é divisível por x 2 + ax + b e x 2 + rx + s, demonstrar que
b = -ria + ri.
F.112 Dados os polinômios f = ax 3 + 3bx 2 + 3cx + d e 9 = ax 2 + 2bx + c, pede-se:
aI provar que f é divisfvel por g;
b) determinar a condição para que f seja um cubo perfeito.
69-F
F.113 Aplicando o método da chave determinar quociente e resto da divisão de f por g:
~
b)
c)
dI
f=~+5x+l. g=2~+4x-3
f = x4 + 2x 3 + x 2 + 4x - 2, 9 = x 2 + 2
f = 5x + 1, 9 = x 3 + 5
f = 3x 3 + 6x 2 + 9, 9 = 3x 2 + 1
el 1 = x 3 + x 2 + x + 1, 9 = 2x2 + 3
67.
Teorema do resto
o
resto da divisão de um polinômio f por x - a é igual ao valor numérico
de f em a.
Demonstração
f.114 Demonstrar que se f e 9 são polinômios divisíveis por h, então o resto r da divisão
de 1 por 9 também é divisível por h.
De acordo com a defi nição de divisão
q • (x - a) + r = f
Solução
Seja qt o Quociente de f por h:
onde q e r são, respectivamente, o quociente e o resto. Como x - a tem grau 1,
o resto r ou é nulo ou tem grau zero, portanto, r é um polinômio constante.
Seja q2 o quociente de 9 por h:
Sejam q o quociente e r o resto da divisão de f por g:
Temos, então:
f = qg
r = 1 - qg = Qlh - qQ2h = (Ql - qQ2)h
+ r
Calculemos os valores dos polinômios da igualdade acima em a:
q(a) • (a - a) + rIa) = fIa)
portanto r é divisível por h.
f.115 Mostrar que se f e 9 são polinômios divisíveis pelo polinômio h, então o mesmo ocorre
com 1 + g, 1 - 9 e Ig.
então:
VI.
68.
DIVISA0 POR BINÔMIOS DO 19 GRAU
66. Trataremos neste tópico das divisões em que o dividendo é um polinômio f,
com at ;;;, 1, e o divisor é um polinômio g, com ag = 1.
Observemos o que ocorre quando dividimos f = 2x 3 - 7x 2 + 4x - 1 por
9 = x - 4.
2x 3 - 7x 2 + 4x _
x - 4
3
2
-2x + 8x
2x 2 + x + 8
,
~
'-;,...J
O
r
r = Ha).
Exemplos
1?) O resto da divisão de f = 5x 4 + 3x 2 + 11 por g = x - 3 é:
f(3) = 5 • 3 4 + 3 • 3 2 + 11 = 405 + 27 + 11 = 443
2 0 )0 resto da divisão de f = (x + 3)7 +(x - 2)2 por 9 =
f(-3) = (-3 + 3)7 + (-3 - 2)2 = 0 7 + (_5)2 = 25
69.
x+ 3
é:
Teorema de O'Alembert
Um polinômio f é divisível por x - a se, e somente se, a é raiz de f.
8x - 1
-8x + 32
Demonstração
De acordo com o teorema do resto, temos r = fIa), então
31
r= O
Como já sabemos, neste tipo de divisão r é um polinômio constante pois:
ag = 1 ~ ar = O
ou
fIa)
=
O
(a é raiz de f)
r = O
Vemos que o valor numérico de'r não depende do número a substituído no
lugar de x, isto é, rIa) = r, \f a E C.
Notemos, finalmente que
3
H4) = 2 • 4 - 7 . 4 2 + 4 • 4 - 1 = 128 - 11 2 + 16 - 1
70-F
~
(divisão exata)
= 31 = r
Aplicações
4x4 - 3x 2 + 7x - 1 é divisível por g = x - 1.
3 • 12 + 7 • 1 - 1 = 1 - 4 - 3 + 7 - 1 = O, então
1~) Verificar que f = x 5
H1)
= 15 -
4 • 14
-
-
f é divisível por g.
71-F
2~) Determinar a de modo que f ~ x 3 - 2ax 2 + (a - 1)x + 15 seja divisível
por x - 5.
Vamos impor a condição r ~ f(5) ~ O:
f(5) ~ 53 - 2a • 52 + (a - 1)5 + 3 ~ 125 - 50a + 5a - 5 + 15 ~
135
~ 135 - 45a ~ O
a ~ ~ 3
45
=
70.
f
aj
ao
a
a2
ao
aqo + ai
aql + a2
L...-.J
~
qo
ql
~
q2
Dispositivo prático de Briot-Ruffini
Dados os polinômios
f ~aox n +ajx n-1 +a2x n-2 + ... +an_1x+an
g~ x- a
(ao"* O)
vamos deteminar o quociente q e o resto r da divisão de f por g.
Façamos:
q ~ q o x n - 1 + q I x n- 2 + q 2 x n - 3 +
• • •
+ q n-1
e apliquemos o método dos coeficientes a determinar:
n 1
n 2
3
qox - + qlx - + q2 xn - + ... + qn-2 x + qn-1} X
x - a
I
qox n + qlx n-1+ q2X n-2 +... + qn-2x 2+ qn-l x ..'"úJ,jh
I
J
- aqo x n - 1 - aql x n - 2 - ... - aqn_3x2 - aqn-2x - aqn-1
Impondo a condição q • (x - a) + r ~ f, resultam as igualdades:
qo ~ ao
ql - aqo
q2 - aql
1("/'
A
~
~
ai
a2
qj
q2
~
~
"
" /.".,.;
A,'''~,
I,
aqo + ai
aql + a2
portanto:
39) f
9x 3 + 5x 2 + x - 11
9
=
qn-1 - aqn-2 ~ a n -1
r - aqn-1 ~ a n
==> r
~
qn-1 ~ aqn-2 + a n-1
aqn-1 + a n
9
q ~ 625x 3 + 375x 2 + 225x + 135
72-f
e g ~ x + 2
5
-11
9(-2) + 5
(-13)(-2) + 1
"------v------
'---v----J
-13
Os cálculos indicados acima para obter q e r tornam-se mais rápidos com a
aplicação do seguinte dispositivo prático de Briot-Ruffini.
portanto:
O
27
q ~ 9x 2 - 13x + 27
-2
27(-2) - 11
'---v----J
-65
-65
73-f
EXERCfclOS
r = I(-al = (-a)n - an = -an - a n = -2a n
29 caso: n é fmpar
F.116 (MAPOFEI-70) Dado um polinômio P(x), de grau n;;;' L
n - 1 zeros
a) Demonstrar que Pia) = O, então P(xl é divisível por x - a;
b) Demonstrar unicidade do resto da divisão de Plx) por x - a;
c) Em termos de P(al, qual o resto dessa divisão?
~
I
O
O
O
O
-a
a2
-a 3
a"-1
-an
-a
-2a n
\.....,,-J
F.117 Determinar o resto e o quociente da divisão de f = x" - a" por 9 = x-a.
r
=
+ a2 x n - 3 + ... + a"-1
q = xn-1 _ axn-2
Solução
I(al = an - an = O
F.120 Determinar
O
resto e O quociente da divisão de f = x n + an por
9
= x + a.
Aplicando Briot-Ruffini, temos:
n - 1
I
.
Solução
zeros
O
O
O
-an
a
a2
a3
a"-1
O
a
.
2a n
n - 1 zeros
'--v-J
r
Resposta: r = O e q
I(-a) = (-a)n + an = an + an
19 caso: n é par
\
O
=
x"-l + ax n- 2 + a2 x n- 3 + ... + a"-1
O
O
O
\
O
-a
a2
_a 3
_a n- 1
an
-a
2a n
\.....,,-J
r
F.118 Determinar o resto e o quociente da divisão de f = x n + an por
9
x-a.
q
x n- 1 _ ax n - 2 + a 2 x n- 3 _ . . . _ a"-1
Solução
r = I(a) = a n + an = 2a n
r = I(-a) = (_a)n + an = _an + an = O
29 caso: n é fmpar
.
Aplicando Briot-Ruffini, temos:
n - 1 zeros
n - 1 zeros
(
O
o
O
,
I
O
O
-a
a2
-a 3
\
O
'--v-J
q = x"-l _ ax"-2
r
=
x n- 1 + ax"-2+ a2xn-3 + . .. + a n - 1
Solução
r = I(-al = (_a)n - a n = an - an
.
n - 1 zeros
(
O
,
O
O
O
-an
-a
a2
-a 3
-a"-1
O
L."....J
+ a2 x n- 3 + ... -a "-1
a)
b)
cl
d)
f = x 4 - 81
f= x 4 +81
f = x S + 32
f = x S - 32
e 9=
e g=
e 9 =
e 9=
e) f = x 6 - 1 e 9 = x - 1
fi f=x 6 +1 e g=x+1
x+3
x- 3
x - 2
x+2
g) f = x S + 243 e 9 = x - 3
h) f = x S + 243 e 9 = x + 3
F.122 ICESCEM-68) O quociente de um polinômio de grau n + 1
O
q = xn - 1 _ ax n- 2
+ a 2 x n - 3 _ ... + a"-1
F.121 Determinar os restos e os quocientes das divisões de f por 9 nos seguintes casos:
F.119 Determinar o resto e o quociente da divisão de f = x n - an por 9 = x + a.
19 caso: n é par
-a
O
2a n
Resposta: r = 2a" e q
an
O
a
74-F
O
-a
mio de grau
por
x- a
é um polinô-
_
F,123 lITA-64) Determinar o resto de x 2 + x + 1 dividido por x + 1.
n
F.124 Qual é o resto da divisão de f =
aix n- i por 9 = x - a?
L
1=0
75-F
F.125 Determinar a. a E R. de modo que o polinômio
F.131 Determinar o polinômio f do segundo grau que, dividido por x, x - 1 e x - 2, apresenta
restos 4, 9 e 18, respectivamente.
f = ax 3 + (2a - 1)x 2 + (30 - 2)x + 4a
seja divisível por 9 = x - 1 e. em seguida, obter o quociente da divisão.
Solução
ax 2 + bx + c. Temos:
Seja
Solução
1(0)
f é divisível por x - 1 se, e somente se, f(l) = O, então:
1(1)=a1 3 + (2a-1)1 2 + (30-211 + 4a = 10a-3 = O
3
portanto a = 10'
f(1)
1(2)
a'0 2 +b'0+c
a'1 2 +b'1+c
a'2 2 +b'2+c
4=-*c=4
(I)
9==>a+b+c=9
(111
18 ==> 4a + 2b + c = 18
(1111
Aplicando o dispositivo prático de 8riot-Ruffini vamos dividir o polinômio
Substituindo (I) em (11) e (111) resulta o sistema:
2. x3
f =
10
3
10
3
iO
_
12
~x2 - 11
10 x + 10 (para a
10
-lõ
4
11
10
12
10
1
-10
12
-10
O
3
Resposta: a = 10
3
10 )
porx-l.
[:a
que resolvido por adição. dá a = 2 e b
3.
Resposta: f = 2x 2 + 3x + 4
F.l32 Obter um polinômio unitário f do segundo grau tal que:
e
F.126 Determinar p e q reais de modo que
f = x 2 + (p - q)x + 2p e 9
x3
+
(p
+ ql
sejam ambos divislveis por 2 r x.
I1 f é divisfvel por x - 1
111 os restos das divisões de f por x - 2 e x - 3 são iguais.
Solução
F.l33 (MAPOFEI-75) Determinar o polinômio do 39 grau que se anula para x = 1 e que, dividido por x + 1. x - 2 e x + 2, dá restos iguais a 6.
Pelo teorema de D'Alembert, f e g são divislveis por 2 - x = - (x - 2) se, e só se, f(21 = O
e g(21 = O. então:
F.l34 Mostrar que se a soma dos coeficientes de um polinômio f é nula, então f é divisfvel por
x-L
1(2) = 2 2 + (p - q)2 + 2p = 0""* 4p - 2q
-4
g(2) = 2 3 + (p + q) = 0 = p + q = -8
®
Resolvendo o sistema formado pelas equaçõesG) e
Resposta: p =
10
-"3
e q = -
co
® vem:
14
'3
F.128 Determinar p de modo que o polinômio f = 2x 3 + px 2 - (2p + l)x + (p + 31 seja divisível
por 9 = x + 4.
F.129 Determinar p e q de modo que o polinômio x 3 - 2px 2 + (p + 3)x + (2p + 01 seja divisível
por
x
e
Solução
Seja
F.127 Determinar a de modo que a divisão de f = x 4 - 2ax 3 + (a + 2)x 2 + 3a + 1 por 9 = x - 2
apresente resto igual a 7.
x - 2.
F.130 (FEIUC-58) Determinar a e b de modo que o polinômio f = x 3 + 2x 2 + ax + b apresente
as seguintes propriadades: f + 1 é divisível por x + 1 e f - 1 é divisível por x-L
76-F
b2: 5 14
++
f=aO+alx+a2x2+ ... +anxn
ao + ai + 32 + ... + sn
tal que
O.
Provemos que f é divislvel por x - 1 ou, o que é equivalente, f(l) = O:
f( 1)
ao + ai • 1 + a2' 1 2 + ... + a n • 1n
ao + ai +
32
+ ... + sn
=
O.
Assim, por exemplo, são divislveis por x - 1 os polinômios:
3x 4 - 5x + 2
(pois 3 + (-5) + 2
O)
(pois 7 + (-81 +
O)
F.l35 (ITA-61) Qual é a condição necessária e suficiente oue devem satisfazer p e q de modo
que x P + 2aoxp-q + aP seja divislvel por x + a (P. q E ~ e p
oI.
>
F.136 (EPUSP-58) Qual deve ser o valor do coeficiente c para que os restos das divisões de
x lO + ax 4 + bx 2 + ex + d por x + 12 e x - 12 sejam iguais?
77-F
72.
Generalização
73.
Para obtermos rapidamente o quociente q e o resto r da divisão de um poli·
nômio f, com af ;;;. 1, por g = bx - a onde b =I' O, notemos que:
(bx - a) q + r = f
então (x - -a )(bq) + r = f
b
'-.,...J
Teorema
Se um polinômio f é divislvel separadamente por x - a e x - b, com a =I' b,
então f é divislvel pelo produto (x - a) (x - b).
Demonstração
q'
Sejam q o quociente e r
então:
do que decorre a seguinte regra prática:
19) divide-se f por x - ~ empregando o dispositivo de Briot-Ruffini;
29) divide-se o quociente encontrado (q') pelo número b, obtendo q.
cx + d o resto da divisão de f por (x - a) (x - b);
q(x - allx - b) + (cx + d)
f
=
Calculando os valores numéricos desses polinômios em a, temos:
[q(a)](a - alia - b) + (ca + d)
=
'-v----'
O
Exemplos
fIa)
(1)
'---v-'
O
(pois 1 é divisível por x - ai
Calculando os valores numéricos em b, temos:
19)
[q(bl] (b - a)(b - b) + (cb + d)
__:
-_:_~1--5-3-
-:
6_ _
q'
=
3x + 3x + 6x + 3~ q
29)
q'
=
q'
2
3
O
5
25
4
-6
14
4
2
=
2x 2
8
6
O
=
Oe d
=
[ca + d
cb + d
O, portanto r
(pois 1 é divislvel por x - bl
O
O
=
O.
EXERCíCIOS
-
3x + 7 e r
F.137 Aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini. determinar quociente e resto da divisão
delporg:
2
bl f = 81 x 5 + 32, 9 = x -"3
ai 1 = 5x 4 - 12x 3 + x 2 - 13, 9 = x + 3
3
2
c)
f = 2x 3 + 4x 2 + 8x + 16 e
d) 1 = 4x 4 - 2x 2 + 1 e
9 = 2x + 1
F.138 Qual é o resto da divisão de 1 = x 8 + 1
=
por
4
3
O
-4
-4
= (x - 1) (x + 21
9 = 2x - 47
F.139 Mostrar que f = 2x 3 + 9x 2 + 7x - 6 é divisível por
4
9
4
Dividir f = 8x 5 + 6x 4 + 4x 3 + 3x 2 - 4x - 3 por g = 4x + 3
8
O
x + x + 2x + 1 e r = 6
4
q'
O
(2)
2
3
Dividir f = 4x 3 + 5x + 25 por g = 2x + 3 = 2(x +:2)'
4x 2 - 6x + 14=- q
39)
= -
3
f(b)
'---v-'
Resulta então o sistema:
donde vem c
3
=
'-v----'
-3
O
3
4
~ 4(x + ~ ).
9
=
x 2 + 5x + 6.
Solução
Podemos resolver este problema sem efetuar a divisão, notando que
9
=
(x
+ 21 (x + 3).
Se 1 for divisível por x + 2 e x + 3, de acordo com o teorema do item 73.1 será divisível
por g. Provemos, portanto. que 1(-21
O e f (-31 = O:
1(-31
=
2(-31 3 + 9(-3)2 + 7(-31 - 6
=
-54 + 81 - 21 - 6
=
O
1(-21 = 2(-21 3 + 9(-21 2 + 7(-2) - 6 = -16 + 36 -14 - 6 = O
78-F
79-F
F.l40 IMAPOFEI-74) Mostrar Que flx)
=
x4 + 2x 3 - x - 2 é divisível por g(x)
=
F.l48 Determinar a e b em função de n de modo Que an+1 + bx n + 1 seja divisível por (x _1)2.
x 2 + 3x + 2.
F .141 Provar Que Ix - 2)2n + (x - 1In - 1 é divisível por x 2 - 3x + 2.
F.l49 IEPUSP-62) Determinar os números reais a e b e o maior inteiro m de tal modo Que o
polinômio x 5 - ax 4 + bx 3 - bx 2 + 2x - 1 seja divisível por (x - l)m.
F.l42 Determinar a e b em R de modo Que o polinômio
f = x 3 + 2x 2 + (2a - b)x + (a + b)
F.150 Se a, (J e
Solução
seja divisível por 9 = x 2 - x.
Solução
9 = x2 - x
=
xix - 1)
=
'Y são raízes do polinômio f, Qual é o grau de f7
Se f admite Q, (J e 'Y como raízes, então f é divisivel por x - a, x - (J e x - 'Y, portanto,
f é divisivel pelo produto (x - a)(x - (J)(x - '}'l, isto é, existe um polinômio Q tal Que:
f = Q • Ix -a)(x -~)(x -
(x - O)(x - 1)
então f é divisível por 9 desde Que f seja divisível por x - O e x - I, isto é, se fIO)
e f(1) = O. Assim, temos:
fiO)
O =0-0 3 +2 ·02+(2a-b) ·O+(a+b)
O =o-a+b=O
f(l)
O =o- 1 3 + 2· 12 + (2a - b) • 1 + la + b)
O =o- 30+3=0
O
'Y)
Existem duas possibilidades:
1~)
Q = O
ou
"* O
2~) Q
Resolvendo o sistema formado por estas duas equações, vem:
== f
=o-
1J àt
= O
àt = 3g + 3[lx -
Resposta: f = O ou
a)(x - (J)(x -
r)]
àt;;. 3
Resposta: a = -1 e b = 1
F.l43 (E. E. Mauá-67) Determinar p e Q de modo Que o polinômio x 3 + px + Q seja divisível
por Ix - 2)(x + 1).
F.l44 Determinar a, b, c de modo que ax 2n + bx 2n - 1 + c seja divisível por xix + 1)lx - lI.
In E N*). i
I
F.145 Mostrar Que\f = x 3 + x 2 - 10x + 8 é divisível por x-I mas não é divisível por (x - 1)2.
F.151 Se as divisões de um polinômio f por x - I, x - 2 e x - 3 são exatas, Que se poae dizer do
grau de f7
F.152 Aplicando Briot-Ruffini, determinar o Quociente Q e o resto r da divisão de f = x 3 - x2 +
+ x-I por 9 = (x - 2)(x - 3).
Solução
Sejam QI o Quociente e ri o resto da divisão de f por x - 2:
f = ql Ix - 2)
Solução
+ ri
(I)
Sejam q2 o Quociente e r2 o resto da divisão de QI por x - 3:
Vamos aplicar duas vezes o algoritmo de Briot-Ruffini:
ql = Q2(X - 3) + r2
2
Substituindo (11) em (I), vem:
- 8
f = [Q2Ix-3) + r2](x-2) + ri = Q2(x-2)lx-3) + [r2(x-2) + rd
Assim, Q2 é o Quociente procurado e r2 (x - 2) + ri é o resto procurado. Apliquemos
Briot-Ruffini duas vezes:
ri
Q-
2
-8
3
-5
\~
t
r2
Verificamos Que f é divisível por x-I pois obtivemos Q = x2 + 2x - 8 e ri
f não é divisível por Ix - 1)2 uma vez que Q não é divislvel por x-I.
F.148 Provar Que 5x 6 - 6x 5 + 1 é divisível por (x - 1)2 e determinar o Quociente.
F.147 Provar Que
8o-F
(11)
-10
nx n + I - In + l)x n + 1 é divisível por (x - 11 2.
f
~12
QI
l
1
3
J5~
'-----'
ri
O, porém,
Q
r
=
~J3
1
4T;5/
'-----'
r2
Q2 = x + 4
= r2Ix-2)+rl = 15(x-2) + 5 = 15x - 25
Resposta: Q = x + 4 e r = 15x - 25
81-F
F.153 Determinar o quociente e o resto da divisão de
f ~ x 3 - 5x 2 + 8x - 4
por
F.156 IE. E. Lins-661 Calcular o resto R(x) de um polinômio inteiro em x pelo produto
(x + 1)(x - 2). sabendo-se que o resto da divisão por (x + 1) no ponto -1 e o resto da
9 ~ (x - 1 )(2x - 4),
divisão por (x - 2) nO ponto 2 são ambos iguais a J.
Solução
Vamos dividir f sucessivamente por x - 1 e 2x - 4
cínio feito em F.152:
f
..... 1
-5
8
-4
I
1
2(x - 2) e aplicar o mesmo racio-
a) Enunciar o teorema da existência e unicidade do quociente e do resto da divisão de
1
~
'--.r--J
_
-4
2
2
X -
.
~ I~
~
L.,....J
rI
1
1
q ~ q2 ~ - Ix - 2) ~ -
F.157 (MAPOFEI-72)
r2
dois polinômios de uma variável A(z) e 8(z).
b) Determinar o resto da divisão de um polinômio Alz) por 8(zl ~ z2 + 1, conhecendo-se A(i) e AI-i), onde i é a unidade imaginária.
F.158 Um polinômio f, dividido por x + 2 e x 2 + 4 dá restos O e x
o resto da divisão de f por (x + 2 )(x 2 + 417
+ 1,
respectivamente. Qual é
F.159 (MAPOFEI-76) Um polinômio P(x) é divisrvel por x + 1, e, dividido por x 2 + 1, dá quociente x 2 - 4 e resto R(x): Se R(2) ~ 9, escrever P(x),
1
r ~ r21x - 11 + rI = O(x - 1) + O
O
O
Resposta: q
F.154 Sendo 5 e -2 os restos da divisão de um polinômio f por x - 1 e x + J, respectivamente,
pede-se determinar o resto da divisão de f pelo produto (x - 1)(x + J),
Solução
Pelo teorema do resto, temos:
f(1) = 5
e
I(-J) = -2
Sejam q e r = ax + b, respectivamente, o quociente e o resto da divisão de f por
Ix - 1)(x + J), Temos
f = q • (x -1I1x + JI + (ax + b)
Tomemos os valores numéricos desses polinômios em 1 e -3:
f(1) = q(1)· Y l 1 + J)
+
(a· 1
+ b)=
5 = a + b
f(-J)=q(-J)· (-J-1)(-J+J) + (-Ja+bl=oo -2
}
-Ja+b
'-v---'
O
.
7
Resolvendo o sIstema formado por a + b = 5 e -Ja + b = -2, resulta a = '4 e b =
Resposta: r =
7
4"
x +
1J
"4 .
1J
4
F.155 (E. E. Mauá-64) Sendo 8 e 6 os restos respectivos da divisão de um polinômio P(x) por
Ix - 51 e Ix - J), pede-se determinar o resto da divisão de P(x) pelo produto Ix - 5)(x - J),
82-f
83-f
Recém-nascido abandonado nos degraus de igreja
Jean Le Rond D'Alembert abandonado quando pequeno nos degraus da
igreja de St. Jean Baptista de Rond, perto de Notre-Dame, em Paris, foi adotado
por um humilde casal. Mais tarde descobriu-se que seu pai era o general da arti·
Iharia Chevalier Destouches e sua mãe a aristocrática escritora Madame de Tencin
mas D'Alembert, quando se tornou famoso matemático, preferiu ser reconhecido
como filho de seus pais adotivos.
Teve ampla instrução em Direito, Medicina, Ciências e Matemática, cola~
borando com Diderot nos 28 volumes da "Enciclopédia".
Em 1754 tornou-se secretário perpétuo da "Academia das Ciências" e já
era o mais influente cientista francês.
D'Alembert mantinha correspondência com Euler cujos interesses eram
muito parecidos quanto aos logaritmos de números negativos, mas achava discu·
tível o uso de séries infinitas de Euler e também fazia objeções sobre seu conceito
de diferenciais.
Achando fundamental a idéia de limite no Cálculo, chegou a definir esse
conceito em um de seus escritos, porém, sua definição não foi tão clara como as
de Leibniz e Euler. D'Alembert negava a idéia que temos hoje sobre infinito pois
pensava em grandezas geométricas e não em teoria dos conjuntos.
Uma de suas preocupações básicas era a prova de que toda operação algébrica
efetuada sobre números complexos resultaria em número complexo mostrando que
o sistema formado por eles é algebricamente fechado, admitindo que um cálculo
de variáveis complexas seguiria o mesmo esquema do cálculo para combinações
algébricas de variáveis reais.
Em "Teoria das Probabilidades", assim como Euler, escreveu sobre problemas
de expectativa de vida, valor de uma uni·
dade, loterias, opondo-se muitas vezes ás
idéias da época como na probabilidade de
obter cara em dois lançamentos de uma
moeda que para ele seria 2/3 e não 3/4
como é usual.
D'Alembert, em seu 'Tratado de
Dinâmica" enunciou seu célebre princípio:
"as ações e reações internas de um sistema
de corpos rígidos em movimento estão
em equilíbrio".
Em conseqüência de suas atividades
e sendo amigo de Volta ire e outros filóso·
fos, foi um dos que abriram caminho para
a Revolução Francesa, mas morreu antes
Jean Le R. D'Alembert
da queda da Bastilha, no mesmo ano que
(1717 - 1783)
Euler.
CAPÍTULO III
EQUAÇÕESPOLINOMIA~
I. INTRODUÇÃO
74.
Neste capítulo trabalharemos com funções pol inomiais
P(x) = ao + alx + azx z + ... + anx n
onde os coeficientes ao, ai, az, ... , a n são números complexos e a variável x tam·
bém é complexa, isto é, x pode ser substitu ído por um número complexo qualquer.
Há algumas propriedades que exigem restrição para os coeficientes (por exem·
pio, os coeficientes dev~m ser reais); quando surgirem, faremos a restrição.
75. Recomendamos ao estudante fazer, neste instante, uma revisão de alguns
assuntos básicos vistos no capítulo anterior, tais como:
a) valor numérico de P(x) para x = ex (item 37);
b) função pol inomial identicamente nula e teorema correspondente
(itens 38 e 39);
c) funções pol inomiais idênticas e teorema correspondente (ítens 40 e 41 );
d) adição, multiplicação e divisão de polinômios (ítens 42 a 58);
e) divisão por binômios do 19 grau, especialmente o teorema de D'Alembert
(item 68).
11. DEFINiÇÕES
76. Dadas duas funções polinomiais y = f(x) e y = g(x), chama-se equação polinomial ou equação algébrica a sentença aberta f(x) = g(x)
Assim, por exemplo, se f(x) = x 3 + X Z - x - 1 e g(x) = 3x z - 3, a sentença
aberta x 3 + X Z - x - 1 = 3x z - 3 é uma equação polinomial.
85-F
Recordemos que uma sentença em x, aberta, pode ser verdadeira ou falsa
conforme o valor atribu ído a x. No nosso exemplo, temos:
para x = O, 0 3 + 0 2 - 0- 1 = 3.02 - 3
~
para x
(falsa)
'--v--J
g(O)
fIO)
2
1, 1 +1 _1_1 = 3· 12 - 3
são equivalentes pois SI = {1, 2, -1} e S2 = {1, 2, -l},
3
~
f( 1)
80. Duas equações polinomiais são equivalentes _qua,ndo ap,resentam o mesmo
,
Iuçao,
.IS to é , toda raiz de uma equaçao
e tambem raiz da outra e
conJunto-so
_
reciprocamente. Assim, por exemplo, as equaçoes
(1) x 3 + x 2 - x - 1 = 3x 2 - 3 e (2) x 2 - 2x - x + 2
O
(verdadeira)
~
g(l)
77. Dada uma equação polinomial f(x) = g(x), chama-se raiz da equação todo
número que, substituído em lugar de x, torna a sentença verdadeira, Assim, o número r é raiz de f(x) = g(x) se, e só se f(r) = g(r) é sentença verdadeira.
81. Há duas operações que não alteram o conjunto-solução ~e u~a equação
. I 'IStO e' , há duas maneiras de transformar uma equaçao polinomial em
po I·InOmla,
outra, equivalente à primeira:
1~)
somar aos dois membros a mesma função pol inomial
Retomando o nosso exemplo, na equação x 3 + x 2 - x - 1 = 3x 2 _ 3 as raízes
são 1, 2 e -1 pois:
parax=1,1 3 +1 2 -1_1
3
2
para x = 2, 2 + 2 - 2 - 1
3,1 2 - 3 = 0
3· 2 2 - 3 = 9
O
(verdadeira)
9
(verdadeira)
para x =-1, (_1)3 + (_1)2 - (-1) - 1 = 3(_1)2 - 3 = O
enquanto que 3 não é raiz pois:
3
2
para x = 3, 3 + 3 - 3 - 1 = 3· 32 - 3 = 33 = 24
O
(verdadeira)
Exemplo
Seja a equação
(falsa)
3x 2 - 4x + 11
~
Chama-se conjunto-solução ou conjunto-verdade em C da equação f(x) = g(x)
o conjunto S cujos elementos são as raízes complexas da equação.
adicionemos h(x) = -g(x) = _2x 2 -
79.
Resolver uma equação polinomial é obter o seu conjunto-solução.
Dada a equação polinomial f(x) = g(xl, resolvê-Ia significa desenvolver um
raciocínio lógico e concluir quais são as raízes, sem ter de "adivinhar" nenhuma e
sem "esquecer" nenhuma. Aprender a resolver equações pol inomiais é a meta deste
capítulo.
3
2
Vimos que a equação x + x - x - 1 = 3x 2 - 3 apresenta as raízes 1, 2
e -1, porém, não esclarecemos duas questões:
1~) como obtivemos as raízes?
2~) são só essas as ra ízes da equação?
A teoria seguinte responde a essas perguntas.
88-F
g(x)
X -
(3x 2 - 4x + 11) + (-2x 2 - x - 5)
'----v--------J
f(x)
h(x)
'------r-----1
façamos as simplificações:
decorre que
(i)
=
5 aos dois membros:
(2x 2 + x + 5) + (_2x 2
'----v-----'
0
,portanto: SI
- X -
5)
'----v-----'
g(x)
x 2 - 5x + 6 = O
equivalente a
(i)
~
f(x)
78.
Por exemplo, o conjunto-solução da equação x 3 + x 2 - x _ 1 = 3x 2 _ 3 é
S = { 1, 2, -1} .
= 2x 2 + x + 5
h(x)
(2)
=
S2
=
{2, 3}
Na prática, aplicamos esta propriedade com o seguinte enunciado: "em toda
equação polinomial, transpor um termo de um membro para outro, trocando o
sinal do seu coeficiente, não altera o conjunto-solução":
f(x) = g(x) <= f(x) - g(x)
O
87-F
2~1
multiplicar os dois membros pelo mesmo número complexo k (k
[
= g(x)
f(x)
...... k· f(x)
* O)
Exemplos
19) Resolver (x - 1)(x 2 + 1) + x 2
k· g(x)
Exemplo
3x 2
1
""4 - "8 = O e 6x 2
-
1
=O
3
y/ + x - 1 + Y! = x + x - 1
Temos:
x
isto é:
(x + x - 1) - (x 3 + x - 1) = O
-
3
= 0=
29) Resolver xIx - 1)(x - 2) = x 3
através de uma multiplicação por 8.
82. Na resolução de uma equação polinomial procuramos sempre transformá·la
em outra, equivalente e mais "simples", em que o conjunto-solução possa ser
obtido com maior facilidade. Assim, empregando os artifícios descritos no item
anterior, é possível transformar qualquer equação f(x) = g(x) numa equação equi·
valente Plx) = f(x) - g(x) = O, isto é, toda equação polinomial é redutível à
forma:
1
3
portanto: Ox 3 + Ox 2 + Ox + O
são equivalentes pois a 2~ foi obtida da H
= x3 + x -
Temos:
x3
isto é:
(x 3
3x 2 + 2x
-
3
-
= x3 -
3x 2 + 2xl - (x 3
2
portanto:Ox + Ox + Ox + 7
S
=
G::
3x 2 + 2x - 7
-
3x 2 + 2x - 7
-
3x 2 + 2x - 7)
= O~
S
O
=~
Daqui por diante excluiremos esses dois casos imediatos, portanto, só con·
sideraremos as equações polinomiais P(x) = O em que o grau de P é maior que zero.
111. NÚMERO DE RAIZES
83. Quando transformamos uma equação polinomial para a forma P(x)
podem ocorrer dois casos notáveis:
O,
19 caso: P(x) é identicamente nula
isto é, estamos diante da equação
O • x" + O •
X"-I
+ O·
X"-2
que é uma sentença verdadeira para todo número complexo que seja colocado no
lugar de x, portanto:
=
Como toda equação polinomial pode ser colocada na forma
O,
é evidente que as seguintes proposições são equivalentes:
+ . .. + O • x + O = O
s
84.
CC
(1) r é raiz da equação P(x) = O
(2) r é raiz da função polinomial Plx)
(3) r é raiz do polinômio P
e as três proposições são sintetizadas por P(r)
=
O.
Diremos também que a equação P(x) = O é de grau n se, e só se, P(x) e P são
de grau n.
29 caso: P(x) é constante e não nula
isto é, estamos diante da equação
O • x" + O·
X"-I
+ O·
X"-2
+ ... + O • x + k
=
O
que é uma sentença falsa para todo número complexo que seja colocado no lugar
de x, portanto:
s
88-F
=
~
85.
Teorema
Todo polinômio P de grau n
~
1 admite ao menos uma raiz complexa.
Admitiremos a validade deste teorema, chamado teorema fundamental da
Álgebra (T.F.A.), sem demonstração.
89-F
86.
Teorema da decomposição
2~
Todo polinômio P de grau n (n ;;. 1)
Vamos supor que P admita duas decomposições:
pode ser decomposto em n fatores do primeiro grau, isto é:
parte: unicidade
P
an(x - rd(x - r2)(x - rl)
P
a~(x - r;)(x - r~)(x - r
3)
(x - rn )
(x - r~)
Supondo reduzidos e ordenados os dois segundos membros, temos:
anx n - anSI • x n - I + ... = a~xm - a~S'1 • x m- I + ...
onde ri, r2, rl, ... , r n são as raízes de P.
e, pela definição de igualdade de polinômios, temos necessariamente:
A menos da ordem dos fatores tal decomposição é única.
e
Demonstração
H parte: existência
Ficamos com a igualdade:
a) Sendo P um polinômio de grau n ;;. 1, podemos aplicar o T.F.A. e P tem
ao menos uma raiz ri' Assim, P(rd = O e, de acordo com o teorema de D'Alembert,
Atribuindo a x o valor de ri, temos:
P é divisível por x - ri:
P
= (x -
rd • OI
(1)
onde O, é polinômio de grau n - 1 e coeficiente dominante an' Se n = 1, então
n - 1 = O e 01 é polinômio constante, portanto, 01 = a n e P = an(x - rd, ficando
demonstrado nosso teorema.
b) Se n ;;. 2, então n - 1 ;;. 1 e o T.F.A. é aplicável ao polinômio OI, isto
é, O, tem ao menos uma raiz r2' Assim, O, (r2) = O e OI é divisível por x - r2:
01=(X-r2)·02
e se o produto é nulo, um dos fatores ri - ri é nulo; com uma conveniente mudança na ordem dos fatores, podemos colocar
A igualdade (I) se transforma em:
(1')
(2)
Substituindo (1 ') em (1) resulta: P = (x - rd(x - r2) • O 2
onde O 2 é polinômio de grau n - 2 e coeficiente dominante an' Se n = 2, isto é,
n- 2
O, então O 2 = a n e P = an(x - rd(x - r2), ficando demonstrado nosso teo·
rema.
e em seguida em:
(x -
(n)
On
tem grau
n - n = O e coeficiente dominante
an, portanto, On = a n e
r~)(r2
- r3l ... (x -
r~)
- r 3) ... (r2 - r~)
e, analogamente, um dos fatores r2 - ri< é nulo; com uma conveniente mudança na
ordem dos fatores, podemos colocar
Assim por diante, concluiríamos ri = ri
As igualdades m = n, a~- = an, r;
prova da unicidade da decomposição.
90-F
r~)(x
Atribuindo a x o valor r2, temos:
O = (r2 c) Assim por diante, após n aplicações sucessivas do T. F.A. chegamos na
igualdade:
onde
ft~.';'~f;"
para todo i E {1, 2, 3, ... , n}.
rI, r;
91-F
87.
Corolário
onde
Toda equação polinomial de grau n (n ;;. 1) admite n, e somente n, raízes
complexas.
ml + m2 + m3 + _.. + m p
{ ri, r2, r3, ... ,r p
=n
são dois a dois distintos
Neste caso, P é divisível separadamente pelos polinômios (x _ rl)mi,
(x - r2)m 2, ... , (x - rp)m p .
Demonstração
Seja a equação polinomial
Vimos na demonstração da existência da decomposição que P admite as
raízes (distintas ou não) ri, r2, r3" .. , r n . Provamos que são só essas as raízes de P
ao provar a unicidade da decomposição.
EXERCíCIOS
F.160 Dada a equação polinomial: (x - 1)(x 3 - 4x + a)
(x2 _ 1)2.
Pede-se:
a) colocá-Ia na forma P(x) = O;
b) obter a para que 2 seja uma das rarzes da equação.
88.
Exemplos
Solução
19) Fatorar o polinômio P = 5x s - 5x 4 - aox + ao sabendo que suas raízes
são 1, -2, 2, -2i, 2i.
P = 5(x - l)(x + 2)(x - 2)(x + 2i)(x - 2i)
29)Qual é o conjunto-solução da equação 7(x - 1)3(x - 2)4(x - 3)
07
De que grau é essa equação 7
a) Desenvolvemos os dois membros:
x(x 3 - 4x + a) - (x 3 - 4x + a) = (x2 - 1)(x 2 _ 1)
x4 - x3 - 4x 2 + (4 + a)x - a = x4 - 2x 2 + 1
e transpomos:
x3 - 4x 2 + (4 + a)x - a
3
_x - 2x 2 + (4 + a)x - (a + 1)
t-
-I' + 2x2 - 1
O
= O
t 3 + 2x 2 - (4 + a)x + (a + 1)/ = O
Temos:
y
P = 7(x - l)(x - l)(x -l)(x - 2)(x - 2)(x - 2)(x - 2)(x - 3)(x - 3)
as raízes de P são 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3 e 3 portanto a equação é do 99 grau e seu
conjunto-verdade é S = {1, 2, 3}.
P(x)
b) 2 é raiz se, e só se, P(2) = O, então:
P(2) = 23 + 2(2)2 - (4 + a)2 + (a + 1)
=9-a=0
89.
Resposta: x3 + 2x 2 - (4 + a)x + (a + 1)
Observações
H) Tendo em vista o teorema da decomposição, todo polinômio P de grau
n (n ;;. 1) pode ser encarado como o desenvolvimento de um produto de n fatores
do 19 grau e um fator constante a n que é o coeficiente dominante em P.
P = an(x - rd(x - r2)(x - r3) ... (x - r n )
2~) Nada impede que a decomposição de P apresente fatores iguais. Associando os fatores idênticos da decomposição de P, obtemos:
P = an(x - rd m 1(x - r2)m 2 (x - r3)m 3 _.. (x - rp)m p
92-F
8 +
i -i - 2a + a + 1
""a=9
=
O e a - 9
F.161 Determinar m de modo que - 2 seja raiz da equação x 3 + (m + 2)x2 + (1 + m)x - 2
O.
F.162 Resolver as seguintes equações polinomiais:
a) (x + 1)(x 2 - x + 1) ~ (x - 1)3
b) (x + 2)(x + 3) + (x - 2)(1 - x) = 4(1 + 2x)
c) (x 2 + 1)(x 4 - 1) - (x 2 - 1)(x4 + 1) = 2(x 4 - x2 - 1) + 3
F.163 Determinar o grau e o conjunto-solução das equações:
a) 5(x - 1)(x - 7) = O
b) 3(x + 4)2(2x - 5)3 = O
c) 11(x 2 - 2)5 = O
93-F
F.164 Resolver a equação x4
-
5x 2
x4
-
-
10x - 6
91.
O, sabendo que duas raízes são -1 e 3.
Solução
Definição
Dizemos que r é raiz de multiplicidade m, m ;;. 1, da equação P{x)
Vamos dividir Plx}
o
5x 2
-
10x - 6
por
(x + , Ilx - 3):
p .. (x - r)m • Q • Q(rl
Temos que P(xl
(x + 1)(x - 3)(x 2 + 2x + 21. portanto, as demais raízes vem de
x 2 + 2x + 2 o O, isto é, x o -1 ± i
Resposta: S
o
F.166 IFEIUC-67) O polinômio P(xl
=
"* O
a
isto é, r é raiz de multiplicidade m de P{x) =
quando o polinômio P é divisível por
(x - rIm e não é divisível por {x - r)m+I, ou melhor, a decomposição de P apresenta
exatamente m fatores iguais a x-r.
Quando m = 1, dizemos que r é raiz simples; quando m
r é raiz dupla; quando m = 3, dizemos que r é raiz tripla, etc.
{-1, 3, -1 + i, -1 - i}
F.165 Resolver a equação 6x 3 + 7x 2 - 14x -15
=
a se, e
somente se,
2, dizemos que
O, sabendo que uma das raízes é -1.
xS - x4 -13x 3 + 13x 2 + 36x - 36 é tal que P(1I
O.
Exemplos
Quais os outros valores de x que o anulam?
a
F.167 IMAPOFEI-711
ai Calcular as rafzes quadradas do número complexo 2i.
bl Determinar as raízes da equação z2 - 13 + 5ilz - 4 + 7i
O.
F.168 (MAPOFEI-741 Determinar o polinômio Plxl do 3'? grau cujas raízes são O, 1 e 2
sabendo-se que P( ~ )
2
a
1 ÇllA equação x 4 (x + 5)7 =
admite as raízes
com multiplicidade 4 e -5
com multiplicidade 7, portanto, embora seja equação do 11 Çl grau, seu conjunto-solução tem só dois elementos: S = {a, -5}.
2Çl)A equação (x - a)n = a admite só a raiz a com multiplicidade n, isto é,
seu conjunto-solução é S = {a}.
3
2
F.169 (MACK-721 Decompor o polinômio -x 3 + 4x 2 + 7x -10 em um produto de fatores
EXERCfclOS
do primeiro grau ..
F.170 Determinar todas as raízes e respectivas multiplicidades nas equações:
a)
b)
cl
d)
IV. MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ
90.
F.171 Qual é o grau de uma equação polinomial P(x)
tiplicidades 7,6 e la, respectivamente?
Exemplo preliminar
,1
Consideremos a equação polinomial (x - 3)(x - 1)2 (x - 4)3 = O que apresenta
seis raízes sendo: uma raiz igual a 3, duas raízes iguais
e três rarzes iguais a 4.
Dizemos que 3 é raiz simples, 1 é raiz dupla e 4 é raiz tripla da equação dada.
94-F
3(x + 411x 2 + 11 o O
7(2x - 31 2 1x + 1)3(x - 5) = O
41x - 10)S(2x - 31 = 41x - 10)5(x - 11
(x 2 + x + 1I 317x - 14i)5 = O
O cujas raízes são 3, 2, -1 com mul-
Solução
P(x)
=
k(x - 3)7(x - 21 6 (x + 11 10 onde (k E C e k
"* O)
Resposta: grau 23
95-F
F.172 Formar a equação cujas raízes são 2, -3, 1 + i e 1 - i.
F.177 (ITA-62) Resolver a equação x 4 - 4x 3 + 8x z - 16x + 16
dupla da mesma.
Solução
A equação é k· (x - r.)(x - rz)(x - r3)(x - r4)
O sabendo-se que 2 é reiz
F.178 (MAPOFEI-76) Se, na equação x 3 - 75x + 250 = O, m é raiz dupla e n = -2m é a outra
O, isto é,
k' Ix - 2)(x + 3)(x - 1 - i)(x - 1 + i) = O
raiz, achar m e n.
e desenvolvendo temos:
Solução
k • Ix 4 - x 3 - 6x z + 14x - 12) = O com k * O
A equação dada é redut(vel à forma
ix-m)z(x+2m) =0
F.173 Formar uma equação polinomial cujas raízes são -2, -1,1 e 4 com multiplicidade 1.
isto é, desenvolvendo:
F.174 Constru ir uma equação algébrica cujas raízes são 2, 3,
v'3 e - v'3 com multiplicidade 1.
x 3 _3m z x+2m 3 =0
portanto, devemos ter:
F.175 Construir uma equação algébrica cujas raízes são 1, i e -i com multiplicidade 1, 2 e 2,
respectivamente.
3
3m z = 75 e 2m = 250
e isto acarreta m = 5 e n = -10
F.176 Oual é a multiplicidade da raiz r na equação polinomial Plx)
O, nos seguintes casos?
Resposta: m = 5 e n = -10.
19) Plx) =x 7 _5x 6 + 6x s e r=O
29) Plx) = xS - 2x 4 + x 3 - x Z + 2x - 1 e r
Solução
19) P(x)
Ix - O)S Ix z - 5x + 6)
xS (x Z - 5x + 6)
~
V. RELAÇOES ENTRE COEFICIENTES E RAIZES
O(x)
Como aIO) * O, resulta que O é raiz com multiplicidade 5.
92.
29) Vamos dividir Plx) sucessivas vezes por x - 1:
Consideremos a equação do 29 grau:
(1) ax z + bx + c = O
(a
* O)
cujas raízes são ri e rz.
Temos P(x)
Vimos que essa equação pode ser escrita sob a forma:
(2) a(x - rd(x - rz) = O
-2
-1
-1
O
2
Como 0(1)
I
O
-1
O
-1
I
-1
2
I
I
O
O
Temos a identidade:
ax z + bx + c
isto é:
O
XZ
3*0
3 * O, resulta que 1 é raiz tripla.
+E. x +~
a
a
= XZ - (ri + rz)x + r1rZ,V x
portanto:
b
a
Resposta: 5 e 3.
96-f
são as relações entre raízes e coeficientes da equação.
97-f
93.
Consideremos a equação do 39 grau:
(1) ax 3 + bx 2 + cx + d
o
(a
*
O)
cujas raízes são ri, r2 e r3'
Vimos que essa equação pode ser escrita sob a forma:
(2) a(x - rl)(x - r2)(x - r3) = O
.............................................
Temos a identidade:
ax 3 + bx 2 + cx + d
= a(x - rd(x - r2)(x - r3), "Ix
Sh
b 2 c
3
d
3
2
X +-x +-x+- = x -(rl+r2+r3)x +(rlr2+r2r3+r3rdx-rlr2r3 "Ix
a
a
a
=(
soma de todos os Cn.h produtos
de h raízes da equação
()h an-h
an
) = -1
.............................................
I
portanto:
d
são as relações entre raízes e coeficientes da equação P(x)
relações de Girard.
a
=
O, também chamadas
são as relações entre raízes e coeficientes da equação.
95.
94.
Vamos agora deduzir as relações entre coeficientes e raízes de uma equação
polinomial de grau n (n ;;;. 1 I.
Aplicações
1~l
Calcular a soma e o produto das raízes da equação
2x 4 + 3x 3 + 4x 2 + 5x + 6 = O.
2a )
Se {ri, r2, rJ é o conjunto-solução da equação
Dada a equação
O
cujas raízes são ri, r2, r3' ... , rn temos a identidade:
P(x)
an(X-rl)(X-r2)(X-r3)
n
anx - an~rl + r2 + r3 +
(a n
* O)
(x-rn) =
n
+ rn)x - 1 +
2x 3 + 5x 2 + 8x + 11
O, calcular ri + r; + r~.
Temos:
y
SI
ri + r2 + r3
- an(rlr2r3 + ri r2 r4 + ... + rn_2rn_Irn)xn-3 + ... +
l
=
a2
5
= - ã; = - "2
ai
8
ri r2 + ri r3 + r2 r3 = + - = - = 4
a3
2
)
y
S3
+ (-l)hanShxn-h + ... + (-1)n an (rlr2 r3 ... rn),Vx
'------v---'
Sn
portanto, aplicando a condição de identidade:
98-F
99-F
3~)
Resolver a equação x 3 - 6x 2 + 3x + 10 = O, sabendo que a soma de
duas raízes é 1.
Temos:
EXERCfclOS
F.179 Calcular a soma e o produto das raízes das saguintes equações:
(1 )
(3)
(2)
(4)
aI x 3 - 2x 2 + 3x - 5 c O
bl x4 + 7x 3 - 5x 2 + 11 x + 1 ~ O
c) 2x 3 + 4x 2 + 7x + 10i = O
F.180 Calcular a soma dos quadrados e a soma dos cubos das rafzes da equação
x 3 - px 2 + qx - r = O.
Solução
(3)
Pelas relações de Girard, temos:
ri = -1 e r2 = 2 portanto S = {-1, 2, 5}.
(ou vice-versa)
(4)
ri + r2 + r3 = p.
rlr2 + rlr3 + r2r3 = q.
2
2
Façamos X = r I + r2
Temos:
96.
2
+ r3
3
e
rlr2r3 = r
3
3
Y = ri + r 2 + r 3 .
X = (ri + r2 + r3)2 - 2(rlr2 + rlr3 + r2r3) = p2 -2q
1
2
2
2
1
pX = (ri +r2 +r3)(r l +r1 +r 3 )=
Observação
1
2
2
2
= Y + r I r2 + ri r2 + r I r3 + ri r3 + r2 r3 + r2 r3 =
As n relações de Girard para uma equação polinomial de grau n não são suficientes para obter ri, rl, r3' ..., r n. Se tentarmos o cálculo de ri, por exemplo, após
várias substituições, obteremos a equação
= Y + rlr2(rl + r2) + rlr3(rl + r31 + r2r3(rl + r31 =
= Y+rlrl(p- r3)+rlr3(p- rl)+r2 r3(p- rl)=
= Y + p(rlrl + rlr3 + rlr3) - 3rlrlr3 = Y + pq - 3r
portanto Y = p(p2 - 2q) - pq + 3r ~ p3 - 3pq + 3r
que equivale à equação dada.
Resposta: X = p2 - 2q
Exemplo
Resolver P(x)
e
Y = p3 - 3pq + 3r
F.181 Calcular a soma dos quadrados das raízas da equação
= x3
- 6x 2 + 3x + 10
= O.
F.182 Se O conjunto-solução da equação
calcular, em função de
Temos: (2)
r3) + r2 r3 = 3 =
x4 + 6x 3 - 11 xl + 4x - 7 • O.
-10
ri (6 - rtl + -
"----.r---J
0J
de (1)
de (3)
3=
x 4 - arx 3 + I3x 2 - 'Y' + Ô = O
•
5 = {a, b, c, d},
a. 13. 'Y e Ô, o número
1
1
1 1
y=-+-+-+-.
e
b
c
d
Solução
3
2
3rl ==> \ ri - 6r 1 + 3rl + 10) = O (??)
P(rl)
Quando é dada uma condição para as raízes (por exemplo, soma de duas
raízes é 1) então é possível obter o conjunto-solução como vimos no item 95 - 3~.
1GO-F
Pelas relações de Girard, temos: abcd = Ô e abc + abd + acd + bcd = 'Y.
Assim, temos:
Resposta: V =
v
=
bcd + acd + abd + abc
'Y
abcd
= 6"
f
101-F
f.183 Calcular a soma dos inversos das raízes da equação x 3 - 7x 2 + 4x - 1 = O.
F.184 Sendo {a, b, c} a solução da equação 2x 3 - 3x 2 + 5x + 1 ~ 0, calcular o valor da expressão
a2 b 2 + a2 c 2 + b2c2.
portanto
S
Solução
Aplicando as relações de Girard, temos:
a+b+c=-~
(I)
a3
1III
(111)
!!
ab + ac + bc =
a3
_ ao
abc =
a3
~
V p[p3
3
5
3
2
lab + bc + ca)2 - 2[(ab)(bc) + Ibc)(ca) + (abllca)]
~
~
= (ab + bc + cal 2 - 2abc(b + c + a) =
(-ai'
=
25
6 31
444
Vp(p -
a2
4
+ (3(-
~)
2
j_ a
_ I-rl]=
4
16
+
a
2
4
(3 _ a r
2
Resposta: S ~
31
rl)(p - r2)(p - r3)
~
4"
j
-
a4
a 2(3
16 + 4
ar
- "2
F.187 Resolver a equação x 3 - 6x 2 + 11 x - 6 =
F.185 Resolver a equação x 3 - 9x 2 + 23x - 15 ~ 0, sabendo que suas raízes estão em P.A.
Solução
VP . Pipi =
j-%. [- ~ + ~- ~ q]
~-+-=-
Resposta:
_
Temos P(xl ~ x 3 +ax 2 +(3x + r~ Ix - rll(x - r211x - r31
-"2
então S
~
8
Solução 2
1
portanto;
2 2
a b + a 2c 2 + b 2c 2
- Irl + r2 + r3)p2 + Irlr2 + rlr3 + r2r3)p - rlr2r3)=
_j_ ~ [_ a
3
=-2
°
sabendo que as raizes estão em P.A.
F.188 Resolver a equação x 3 - 9x 2 + 20x - 12 ~ 0, sabendo que uma raiz é igual ao dobro da
soma das outras dUas.
Pelas relações de Girard, temos;
(lI
rI + r2 + r3 = -
~
a3
=
9
F.189 Resolver a equação x 3 - 4x 2 + x + 6
0, sabendo que uma raiz é igual à soma das
outras duas.
111 I
e pela condição do problema temos:
rI r2 + rI r3 + r2 r3 =
1III1
rlr2r3=_ao=15
a3
(IV)
ri + r3
~
!! ~
a3
23
F.190 Resolver a equação 64x 3 - 56x 2 + 14x - 1 =
Pelas relações de Girard, temos:
2r2
rI + r2 + r3 = -
(111)
ri • r3 = 5
portanto rI e r3 são raízes da equação y2 - 6y + 5 = O, isto é, rI = 1
e
5.
Resposta: S = {1, 3, 5}
rlr2 + rlr3 + r2 r 3 =
(111 )
rlr2 r 3 = -
(IV)
rI
7
= 32
1
= 64
2
• r3 = r 2
2
rlr2 + rlr3 + r2 r 3 = rlr2 + r2 + r2 r3 ~ r2(rl + r2 + r3) =
7
32
onde os reais a, (3, r são dados.
Solução 1
771
então r2 • 8 ~ 32
r2 ~ 4"
==-
- um trlangu
.Io d e 100 os rI, r2, r3 e seml-perlmetro
'.
r2 + r3
Pe Ia fó rmu Ia d e H'lerao,
p = rI + 2
Aplicando o algoritmo de Briot~Auffini, vamos dividir
apresenta área:
64x 3 - 56x 2 + 14x - 1
102-f
ao
ã3
aI
ã3
Substituindo (IV) em (lJI, temos:
F.186 Calcular a área do triângulo cujos lados são as raízes da equação
x 3 + ax 2 + (3x + r = 0,
e pela condição do problema, temos:
a2
7
ã3
=ã
(11)
Temos, então:
e
sabendo que suas raízes estão em P.G.
Solução
Substituindo IIVI em (JI resulta: 3r2 = 9~ r2 = 3
(l lr l+r3=6
°
por
x -
1
4" :
103-f
64
-56
14
64
-40
4
F.194 Resolver a equação x 4 - 2x 3 + 4x 2 + 6x - 21 = O, sabendo que duas raizes são simétricas.
1
4
-1
F.195 Determinar a condição para que a equação x 3 - ax 2 + (3x - 'Y = O tenha duas raízes si·
O
e recaímos na equação 64x 2 - 40x + 4 = O cujas raízes são
1
ri
= 2"
1
e
r2
="8'
lI 1
Resposta: S = { 2" '4' '8}
métricas.
F.196 Resolver a equação x 3 - 3x 2 - 4x + 12 = O, sabendo que duas raízes são simétricas.
F.197 (FEIUC-63) - Calcular as rafzes da equação x 3 + 4x 2 - llx + k = O, sabendo que a
soma das duas raizes vale -7.
F.191 Resolver a equação x 3 + 5x 2 - 12x - 36 = O, sabendo que uma raiz e igual ao produto
das outras duas.
F.19B Resolver a equação x 4 + 4x 3 - 2x 2 - 12x + 9 = O, sabendo que tem raízes iguais duas
a duas.
F.192 (E.E.MAUÁ-ô4) - Determinar as raizes da equação 3x 3 - 16x 2 + 23x - 6 = O sabendo·se
que o produto de duas delas e igual à unidade.
F.199 Resolver a equação x 3 - 10x 2 + 31x - 30 ~ O, sabendo que uma raiz é igual à diferença
das outras duas.
F.193 Resolver a equação x 4 - 4x 3 - x 2 + 16x - 12
~
O sabendo que existem duas raízes
sirT\f!tricas.
F.200 Resolver a equação x 3 - x 2 - 8x + 12 ~ O, sabendo que admite uma raiz com multiplici·
dade 2.
Solução
Solução
Temos
Temos:
ri + r2 + r3 + r4 = - a3 = 4
a4
(I)
r)
(11)
r1r2 + r1r3 + r1r4 + r2r3 + r2r4 + r3r4 = a2 =-1
a4
(11)
'1(2
(111)
rlr2r3 + r1r2r4 + r1r3r4 + r2r3r4 = -~ = -16
a4
(111 )
(IV)
r1r2r3r4 = ao = -12
a4
(IV)
(V)
ri + r2 = O
De (IV) em (I) resulta
(I)
(condição do problema)
+ (2 + f3 = -
+
~
a3
'l f 3 + '2 f 3
ri = r2
= 1
=!!
a3
=
-8
(condição do problema)
2r1 + r3 = 1
(I' )
2
ri + 2r1r3 = -8
Comparando (I) e (V), resulta:
De (IV) em (11) resulta
(ri + r2) + r3 + r4 = 4 ===> r3 + r4 = 4
Eliminando r3 por substituição de (I') em (11'), temos:
(VI)
2
(11')
2
ri + 2'1 (1 - 2r1) ~ -8 ===> 3r 1 - 2r1 + 8 ~ O
Substituindo (V) em (111), resulta:
(I')
r3 = 1 - 2r1 = -3
(111)
12
r3 = - -=-3
2
ri
portanto ri = 2 ou ri = -
4
3'
.
2 então
{
Substituindo este último resultado em (IV), vem:
(r1r2)r3r4 = -12 ===> -4r3r4
D
-12 ===-r)r4 = 3
De (V I) e (VIIH resulta que r3 e r4 são
r3 = 1 e r4 = 4.
ai
{(I')
(VIII)
4
rafzes de equação y2 - 4y + 3 = O, istoe,
se ri = -
'3
então
De (V) e (VII) resulta que ri e r2 são as raízes da equação y2 - 4 = O, isto é ri = 2 e
r2 = -2.
Resposta: S = {2, -2, 1, 4}
104-F
(111 )
Resposta: S = {2, -3}
1OS-F
F.201 Resolver a equação ax 4 - 2ax 3 + lax 2 + 27x - 27 = O. sabendo que uma das raízes tem
multiplicidade 3.
F.202 Resolver a equação x 3 + 7x 2 - 6x - 72 = O. sabendo que a razão entre duas raízes é
%.
F.20S A soma de duas raízes da equação x 4 + 2x 3 + px 2 + qx + 2 = O é -1 e o produto das
outras duas raízes é 1. Calcular p e q e resolver a equação.
F.209 Determinar a condição para que as raízes da equação x 3 + px 2 + qx + r,= O formem
uma P.G.
F.203 (MAPOFEI-741 Resolver a equação: x 3 - 5x 2 + 2x + a = O. sabendo·se que uma das
raízes é o quádruplo da soma das outras duas.
Solução
F.204 (ITAJUaÁ-55) - Resolver a equação 5x 3 - 37x 2 + 90x - 72 = O, sabendo que uma raiz
é média harmônica das outras duas.
11)
111)
(111)
ri + r2 + r3 = - p
rlr2 + rlr3 + r2r3 = q
rlr2r3 =-r
F.205 IE.N.E.-51) - Determinar m de modo que a equação x 3 + mx - 2 = O, tenha uma raiz
dupla.
IIVI
ri r3 = r;
F.206 Resolver a equação 2x 4 - x 3 - 14x 2 + 19x - 6 = O sabendo que existem duas raízes
recíprocas.
Temos:
Icondição do problema)
3
Oe IIV) em (111) resulta r 2 = -r 1111')
2
De (IV) em (11) resulta rlr2 + r 2 + r2r3 = q.
(11' l.
portanto. r2 (ri + r2 + r31 = q, ou melhor. r21- p) = q
Solução
Substituindo (111') em (lI'). vem:
Temos:
{!:;.
(-p) = q, isto é, -r • l-p)3 = q3
Resposta: q3 = rp3
(I)
(11)
F.210 Determinar m para que a equação x 3 - 7x + m = O, tenha uma raiz igual ao dobro de
uma outra a, em seguida, resolver a equação.
(111)
F.211 Achar a condição para que a equação x 3 + px + q
O, tenha uma das ralzes igual à
=
soma dos inversos das outras duas.
(IV)
rlr2r3r4 = -3
(V)
ri =..!.. Icondição do problema I
r2
De IV) em IIV) resulta r3r4 = -3
F.212 Dada a equação x 4 + px 3 + qx 2 + rx +
I) se as raízes estão em P.G., então p2 s
(~-
O. provar que:
,2
11) se as rafzes estão em P.A., então p3 - 4pq + 8r = O
(IV')
19
De IVI em 1111) resulta rlr2(r3 + r4) + r3r4(rl + r2) = - 2
isto é, l ' (r3 + r4) - 3
S =
r3 - r4) = - 1;. ou melhor:
(111' )
Resolvendo o sistema 1111'), (IV') resulta r3 = 1 e r4 = -3lou vice-versa).
=
F.213 IMACK-63) - Numa equação do terceiro grau, o primeiro coeficiente é 1, o segundo é
igual a 2, o terceiro desconhecido e o último é 8. Sabendo que essa equação tem as três
raízes em P.G., pede-se determinar as raízes e escrever a equação.
F..214 (EPUSP-431 - Determinar p e q de modo que a equação x 4 + px 3 + 2x 2 - x + q = O,
apresente duas raízes recíprocas entre si e as outras duas raízes com soma igual a 1.
Então temos o sistema
F.215 (EFE-551 -
til
{
que fornece f1
1
2 e r2 ="2 (ou vice-versa).
(V)
Resposta: S = {2,
+ 13x 2 + kx + 1
= O, corresponda ao número
1
a
também raiz da mesma equação
F.216 IEPUSP-601 - Sendo a, b. c raízes da equação x 3 - 3x + 54 = O. calcular
~
, 1. -3}
F.207 Resolver a equação 5x 4 - 26x 3 - 18x 2 + 32x - B = O, sabendo que o produto de duas
raizes é 2.
106-F
Determinar m e k de modo que a cada raiz O:: da equação mx 4 + 8x 3 +
1
1
1
log (2 +b2 +2)'
a
c
F.217 (MACK-68) - Provar que se a e b são raízes da equação x 2 - px + a
m
= O. teremos:
logaaa + logabb + logaa b + logaba = mp
107-F
VI. RArZES COMPLEXAS
P = ((x_z)m. (x_z)m]. 0= ((x-z)(x-z)]m. 0=
= (x 2 _ (z + z)x + zz]m • O = (x 2 97. Vamos expor aqui algumas propriedades que relacionam entre si as raízes
complexas e não reais de uma equação polinomial de coeficientes reais e ajudam
a determinar as raízes da equação.
Como P e (x 2 - 2ax + (a 2 + ~2 )]m têm coeficientes reais, segue-se que O
tem todos os coeficientes reais. São possíveis dois casos:
ti? caso:
98.
Teorema
Se uma equação polinomial de coeficientes reais admite como raiz o número
complexo z = Q + ~i (J3
O), então também admite como raiz o número! = Q - ~i,
conjugado de z.
Seja a equação P(x)
:;t? caso:
O(z)
= anx n + an_1 x n- I
+ a n-2 x n- 2 + ... + ai x + ao
=O
m = p
< p'
*Oe
Portanto O não é divisível por x - z e é divisível por x - Z, isto é, O(Z)
O(z) = O. Isto é absurdo por contrariar o teorema anterior.
*
Demonstração
2ax + (a 2 + ~2)]m • O
m
= p'
<p
Portanto O não é divisível por x - Z e é divisível por x - z, isto é, O(z)
O. Isto também é absurdo por contrariar o teorema anterior.
* Oe
=
Para evitar contradição, temos necessariamente p = p'
de coeficientes reais que admite a raiz z, isto é, P(z) = O.
Provemos que z também é raiz, isto é, P{Z} = O:
100. Observações
P(:l) = a n (:l)n + an-I (:l)n-l + a n -2 (1)n-2 + ... + al:l + ao
anz
n + an_1 -::n-l
+ a n-2 zn-2 + ... + lIi z + ao
z
:n=T +
ãnZ'l + an_Iz
an-2 zn-2
99.
n + an_Iz n-l + a -2 z n-2 + ... + alz + ao
n
P(z)
*
Teorema
O) com multiplicidade p, então também admite a raiz
Demonstração
*
Seja m o menor dos números p e p'. Como o polinômio P é divisível por
(x - z)p e (x - z)P', P é divisível por (x - z)m e (x - z)m. Sendo z Z, resulta que Pé
divisível por (x - z)m • (x - z)m, então:
*
108-F
Como a toda raiz complexa z = a + ~i (~* O) de uma equação com coeficientes reais P(x) = O corresponde uma outra raiz Z = a - ~i, com igual
multiplicidade, segue-se que o número de raízes complexas não reais de
P(x) = O é necessariamente par.
3~)
Se uma equação polinomial de coeficientes reais tem grau ímpar, então
ela admite um número ímpar de raízes reais. Assim, por exemplo, toda
equação ax 3 + bx 2 + cx + d = O (com a, b, c, d reais) tem uma ou três
raízes reais pois o número de raízes complexas e não reais é par.
101. Aplicações
Suponhamos que a equação P(x) = O com coeficientes todos reais admita a
raiz z = Q + ~i (J3
O) com multiplicidade p e a raiz z = a - ~i com multiplicidade
p' (p' p). Provemos que isso leva a uma contradição.
*
2~)
= 0= O.
Se uma equação polinomial de coeficientes reais admite a raiz z = a + ~i
z = a - ~i com multiplicidade p.
(J3
Os dois teoremas anteriores só se aplicam a equações polinomiais de
coeficientes reais. Por exemplo a equação x 2 - ix = O tem como raízes O
e i, entretanto não admite a raiz -i, conjugada de i.
+ ... +ãIZ+ão
anz n + an_1 Zn-I + a n_2 zn-2 + ... +"ãj"Z+ãcj
anz
1~)
1~)
Determinar o menor grau que pode ter uma equação polinomial de coeficientes reais para admitir 1, i e 1 + i como raizes.
Tal equação terá no mínimo 5 raízes: 1, i, -i, 1 + i, 1 - i portanto terá no mínimo grau 5.
109-F
2~)
Formar uma equação polinomial de grau mínimo e coeficientes reais que
admita O como raiz simples, 1 como raiz dupla e 2 - 3i como raiz tripla.
*
O.
=
F.223 Resolver a equação x4 - 2x 3 + 6x 2 + 22x + 13
Tal equação terá também 2 + 3i como raiz tripla, portanto a solução é:
k(x - O) (x - 1)2 (x - 2 + 3i)3 (x - 2 - 3i)3 = O onde k E IR e k
F.222 Resolver a equação x 4 + 3x 2 + 2
O.
=
O. sabendo que uma das raízes é 2 + 3i.
F.224 Resolver a equação x 4 - 4x 2 + 8x + 35 = O, sabendo que uma das raízes é 2 + i
V'J.
Solução
3~)
Resolver a equação x 4 + x 3 + 2x 2 + 3x - 3
=
O, sabendo que uma das
raízes é i V3.
Como a equação tem todos os coeficientes reais, resulta que outra raiz é 2 - i
V3
Iconjugada de 2 + i Y3 I. Assim, o polinômio dado é divisível por
Ix - 2 - iY3llx - 2 + iY3).
v'3
Temos, então que -i
por (x - i Y3) (x + i Y3)
=
também é raiz, portanto o 1? membro é divisível
x 2 + 3. Dividindo, recaímos em
isto é. por x
2
-
4x + 7:
(x 2 + 3) (x 2 + x - 1) = O
x 4 + ox 3 -
e obtemos as duas raízes restantes:
.x 2 +
X -
1
=
O =x=
-1 ±
V1+4
-1 ±
2
_x 4 + 4x 3 -
V5
2
4x 2 +
x 2 + 4x + 5
7x 2
4x 3 - 11 x 2 +
- 4x 3 + 16x 2
-
8x + 35
28x
5x 2 - 20x + 35
EXERCICIOS
5x 2 + 20x - 35
F.218 Obter a equação de menor grau que tem como raízes i, 2i e 3i e apresenta coeficientes
reais.
Toda equação polinomial com coeficientes reais que admite a raiz complexa z também
i, -t, 2i. -2i, 3i e -3i.
A equação é:
k(x - il(x + i)(x - 2i)(x + 2illx - 3i)(x + 3i) = O
klx 2 + 1 )(x 2 + 4)(x 2 + 91 = O
Resposta: k(x 6 + 14x 4 + 49x 2 + 361 = O com k * O
F.219 Formar uma equação algébrica de coeficientes reais, com grau mínimo, de modo que O,
1 + i e i sejam rafzes simples.
F.220 IFE IUC-63) - Se um número complexo z é raiz da equação
aoxn+aIX n- 1 + ... +an=O lao*O)
com coeficientes reais, o conjugado de z também o será?
F.221 Construir uma equação polinomial do 6~ grau e de coeficientes reais que admita 1,2 e i
como raIzeS simples e O como raiz dupla.
11D-F
O
A equação dada se escreve:
Solução
admite a raiz l, portanto, as raízes da equação procurada são:
x 2 - 4x + 7
8x + 35
(x 2 _ 4x + 7)lx 2 + 4x + 5) = O
e as raízes de x 2 + 4x + 5 = O são as que faltam, portanto
x
=
-4±.,J16 - 20
2
=
-4±2i _ -2±i
2
Resposta: S = {2 + i yS, 2 - i yS,
- 2 + i,
- 2 - i}
F.225 Determinar a e b Ireais) de modo que a equação 2x 3 - 5x 2 + ax + b = O admita a raiz
2 + i.
F.226 Resolvera equação x 7 - x 6 + 3x s - 3x 4 + 3x 3 - 3x 2 + x - 1 = O, sabendo que i é uma das
raízes da equação e tem multiplicidade 3.
F.227 IE.E.MAUÁ~51 - E: dado o polinômio P(xl = x 4 + Cx 2 + Dx + E com C, D. E números
reais. Sabe-se que o número complexo lO, 1) é raiz de Plxl = O e que dividindo-se
P(x) por Olxl obtém-se quociente OI (x) = x 3 + 2x 2 + 4x + 8 e por resto 15. Pede-se
determina, P(x) e as raízes de Plxl = o.
F.228 Resolver a equação x 4 - 4x 2 + 8x + 35 = O, sabendo que uma das raizes é 2 +
iV3.
111-F
VII. RAI'ZES REAIS
2'?) se P(a) e P(b) têm sinais contrários, então existe um número ímpar de
raízes reais da equação em la; b[.
102. Dada uma equação polinomial P(x) = O com coeficientes reais, vamos desen·
volver uma teoria que permite determinar o número de raízes reais que a equação
admite num certo intervalo dado la; b[.
Demonstração
Notemos que se ri é interna ao intervalo la; b(. então a < ri
a-ri>O}
103. Seja P{x) = O uma equação polinomial com coeficientes todos reais. Indique·
mos por rI r2, r3, "0' rp suas raízes reais e por z1, ZI, 22 , 22 , "0' Zq, Zq suas raízes
complexas e não reais.
b- ri
I
Pelo teorema da decomposição, temos:
a
<O
b - r.
Vamos efetuar o produto correspondente a duas raízes complexas conjugadas
21 = Q - {3i, por exemplo:
(x - zd{x - 2 ) = x 2 - (Zl + ztlx + ZIZI = x 2 - 2QX + Q2 + {32 =
= Q + {3i e
<O
O
}=
(a - r.) (b - r.)
>O
<O
Calculemos agora o produto P{al • P(b):
P(a) .P(b) = [a n ·O(a)· (a- rd (a- r2) .. , (a-rp))[a n .O(b). (b -rl)(b- r2) '" (b- rp)] =
1
=
(a - rj)(b - ri)
Notemos também que se r. é externa ao intervalo la; b(. por exemplo, se
resulta:
< b < r.,
a - r.<
Zl
=
< b, isto é:
{x - Q)2 + (32 > O, V x E IR
= a~ • [O(a) .O(b)]· [(a -ri) (b- rd)[(a -r2)(b- r2)]'" [(a- rp)(b-rp) 1
Verificamos que o produto é positivo para todo valor real dado a x. Como o
polinômio:
(3)
Verificamos que P(a) • P(b) é um produto de p + 2 fatores numéricos, a
saber:
é o produto de q fatores do tipo que acabamos de analisar, concluímos que O
assume valor numérico positivo para todo x real e a expressão (1) fica:
P ..
(2)
an •
com Qlxl
Q • (x ~ f I)(X - f211x - f 3) •••
> O, V x E
Ix -
f p)
R.
104. Teorema de Bolzano
Sejam P(x} = O uma equação polinomial com coeficientes reais e la; b[ um in·
tervalo real aberto.
1'?) se PIa) e P(b) têm mesmo sinal, então existe um número par de raízes
reais ou não existem raízes reais da equação em ]a; b[ .
112-F
{
um fator é a~ > O
um fator é O(a) • O(b) > O pois O(X) > O, V x E A
p fatores do tipo (a - rm) (b - rm) onde rm é raiz real da equação
Assim, os únicos fatores negativos do segundo membro da relação (3) são os
fatores correspondentes às raízes de P(x) = O internas ao intervalo la; b(. o que per·
mite concluir a existência de duas possibilidades.
1~)
quando P(a) e P(b) têm mesmo sinal, isto é, P(a) • P(b) > O, existe
um número par de fatores negativos do tipo (a - ri)(b - ri) e, portanto, existe um
número par de raízes reais da equação P(x) = O que são internas ao intervalo la; b[ .
ou
2~)
quando P(a) e P(b) têm sinais contrários, isto é, P(a) • P(b) < O, existe
um número ímpar de fatores negativos do tipo (a - ri)(b - ri) e, portanto, existe um
número ímpar de raízes reais da equação P(x) = O que são internas ao intervalo
la; b[.
113-F
105. Aplicações
107. Exemplos
1~)
Quantas raízes rea;s a equação x 3 + 5x 2 - 3x + 4 ~ O pode apresentar no
intervalo ]0, 1[ ?
Temos
P(x) ~ x 3 + 5x 2
-
19)
~
Gráfico de y
2x - 1,
x E IR.
Considerando que dois pontos distintos determinam uma reta, vamos atribuir a x dois valores distintos e calcular os correspondentes
3x + 4, então:
y
PIO)
0 + 5(0)2 - 3(0) + 4 ~ 4 > O
P(1) ~ 1 3 + 5(1)2 - 3(1) + 4 ~ 7> O
~
2x - 1
3
Como PIO) e P(l) são positivos, a equação pode ter duas ou nenhuma raiz
real no intervalo dado.
2~)
Quantas raízes reais a equação x 3
intervalo H, 1[ ?
-
P(-1) ~ (_1)3 - 3(-1)2 + 7(-1) + 1 ~ -10
P(l) ~ 13 - 3(1)2 + 7(1) + 1 ~ 6> O
2x - 1
O
-1
1
1
x
Obtemos PdO, -1) e P2 (1, 1) e traçamos a reta P 1 P2 que é precisamente o
gráfico da função dada.
<O
Gráfico de y ~ x 2 - 6x + 8,
29)
Como P{-l) e P( 1) têm si nais contrários, a equação pode ter uma ou três
raízes reais no intervalo dado.
x E IR.
O gráfico desta função é uma parábola com a concavidade voltada para cima,
eixo de simetria vertical, vértice no ponto V tal que
Xv
3~)
~
3x 2 + 7x + 1 pode apresentar no
P(x) ~ x 3 - 3x 2 + 7x + 1, então:
Temos
y
x
~
b
- 2a
~ 3
e
Yv
~
~
- 4a
~ -1
e corta o eixo dos x nos pontos que têm
como abscissas as raízes da equação y ~ O,
isto é, nos pontos (2, O) e (4, O).
Determinar m de modo que a equação:
2
X s _ 2x 4 + 3x 3 - 5x + x + (m - 3) ~ O
tenha ao menos uma raiz real compreendida entre O e 2.
y
Fazemos a tabela:
A condição para isso é que P(O) e P(2) tenham sinais opostos. Temos:
PIO)
~
m - 3
e
P(2)
~
<O =
y
ponto
O
8
A
1
3
B
2
O
C
A
portanto:
P(O) . P(2)
x
m +3
(m - 3)(m + 3)
<O =
-3
<
m
<
3
3
106. Interpretação geométrica
Se y ~ P(x) é uma função polinomial de coeficientes reais e variável x real, podemos a cada par (x, y) da função associar um ponto do plano cartesiano e, assim,
obter o seu gráfico.
114-f
-1
G
D~V
4
O
E
5
3
F
6
8
G
x
D=V
115-f
3C?)
Gráfico de y = x 3 ,
X
Exemplos
E IR
sinal de PIa)
Vamos inicialmente construir a tabela
"* sinal de Plb}
y
y
P(b)
PIa)
y
X
x3
ponto
-2
-8
A
27
3
2
-8
B
-1
-1
C
1
2
-8
D
O
O
E
1
1
"2
8
F
1
1
G
3
2
27
8
H
2
8
I
1
125
x
x
PIa)
P(b)
-------------número ímpar de raízes
sinal de PIa)
5
2
8
J
3
27
K
= sinal
de P(b)
x
y
y
PIa)
P(b)
Plb)
---_:~
I
I
a
b
PIa)
x
y
a
rI =r2
b
x
y
P(b)
Nestas condições, pesquisar as raízes reais de uma equação polinomial P(x) =
O é localizar (onde? quantos?) os pontos em que o gráfico cartesiano da função
y = P(x) intercepta o eixo das abscissas (y = O).
Assim, o teorema de Bolzano comporta uma interpretação geométrica baseada,
em resumo, no seguinte:
sinal de PIa) = sinal de P(b) =
sinal de PIa)
sinal de P(b) =
"*
116-F
número par de raízes
número ímpar de raízes
x
PIa)
PIai
x
P(b)
número par de raízes
117-F
VIII. RAfZES RACIONAIS
EXERCfclOS
F.229 (EPUSP-e3) Mostre que a equação 1000x s + 20x 2 - 1 =0 admite uma raiz positiva
inferior a
1
5"'
108. Vamos desenvolver aqui um raciocínio que permite estabelecer se uma equação polinomial de coeficientes inteiros admite raízes racionais e, em caso positivo,
vamos obter tais raízes.
Solução
Façamos P(xl
1
1000x s + 20x 2 - 1 e calculemos PIO) e PI 5'):
=
PIOI = 1000(01 5 + 20(0)2 - 1 = -1
<O
Se uma equação polinomial
Plil = 1OO0(i)S +20(i)2 -1 = 1000
Como P(OI • P(
intervalo ]0;
~
i-
I
< O,
109. Teorema
+~~~~-3125= ;;;5
>0
resulta que P apresenta um número Impar de raizes reais no
P(x) = anx n + an_1 x n -,
+
an_2xn-2
+ ... +
de coeficientes inteiros, admite uma raiz racional
alx
+
ao = O, (a n
=t- O),
~ (onde p E z., q E Z+ e p e q
q
são primos entre si), então p é divisor de ao e q é divisor de an'
[ (teorema de Boizanol.
Demonstração
F:230 Quantas são as raizes reais da equação x 3
-
10x 2 + 5x - 1 = O, no intervalo ]0; 3[7
Se
E.
q
é uma raiz de P{x)
=
O, temos:
f.231 Dada a função polinomial f(x) = x 3 + 2x, pede·se construir seu gráfico cartesiano e, a
partir dar, estabelecer o número de raízes reais da equação f(x) = O.
f.232 Determinar a de modo que a equação x 3 + x 2 + 5x + a, tenha ao menos uma raiz real no
intervalo )-2; 0[.
F.233 (EPUSP-64) - Mostre que a equação f(xl = x 3
raiz real. Diga qual é o sinal da raiz.
-
2x 2 + 3x + a = O, la >0) só tem uma
O
Multiplicando tudo por qn, temos:
Isolando anpn e, depois, aoqn, temos:
(11
F.234 IEPUSP-6BI - Considere a equação, na inc6gnita x, 3x 3 - 2x 2 + 3x + t 2 - 2t - 1 = O.
a) Mostre que, para cada t real, ela admite uma raiz única real r(t),
bl Determine o valor de t para o qual a raiz dtl é máxima.
c) Determine essa raiz máxima.
(11)
anpn = -q[an_Ipn-1 + a n _2p n-2 + + alpqn-2 + aoqn-l]
aoqn = -p[anpn-, + an _Ip n-2 +
+ alqn-I]
Como ao, ai, a2, .... an. P e q são todos inteiros. decorre que:
O' =
[an_Ipn-1 + a n _2p n-2 + ... + aoqn-I]
{J = [anpn-I + a n _Ip n-2 + ... + alqn-I]
F.235 (EPUSP-61 I - Demonstre que: "Toda equação do tipo xn + a 2 x + b = O, sendo n fmpar
e a, b números reais não nulos, admite uma raiz real de sinal contrário ao de b e não
admite duas raízes reais distintas."
118-f
é inteiro
Assim, retomando (I) e (11). vem:
(I)
f.236 Um polinõmio P de 59 grau com coeficientes reais tem duas raízes imaginárias. Sabendo
que PI-21 = -1, P(-1) = 2, PIO) = -4, P( 1) = -7 e P(2) > O, dizer quantassão
as raízes reais de P e em que intervalo estão.
é inteiro e
(11 )
Isto significa que:
11~F
(I)
anpn é divisível por q e, como pn e q são primos entre si, a n é divisível
por q.
(11)
aoqn é divisível por p e, como qn e p são primos entre si, ao é divisível
por p.
-
3x - 9
=
O?
Temos:
P E {-1, 1, -3, 3, -9, 9}
então
110. Aplicações
2
3
Quais são as raízes inteiras da equação x + 3x
2~)
E.
q
e
q = 1
E {-1, 1, -3, 3, -9, 9}
Fazendo as verificações:
1~)
Quais são as raízes racionais da equação
2x 6 - 5x s + 4x 4 _ 5x 3 - 10x 2 + 30x - 12 = O?
portanto, a raiz procurada é - 3.
As possíveis raízes racionais dessa equação têm a forma ~ onde p é divisor
q
de -12 e q é div isor positivo de 2, isto é:
p E {-1, 1, -2,2, -3, 3, -4, 4, -6, 6, -12, 12}
e
~,~,
-
~,~}
1~)
O teorema anterior só se aplica a equações polinomiais de coeficientes
inteiros (todos). Não é suficiente que o coeficiente dominante (a n ) e o termo independente (ao) sejam inteiros.
5 x + 1 = O apresenta as raizes
..
.
Assim, por exemplo, a equaçao
x 2 - 2'
racionais
que foi obtido da tabela:
~
111. Observações
q E {1, 2}
Assim, se a equação tiver raízes racionais, essas raízes estão no conjunto:
{-1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, -6, 6, -12,12, -
O, P(3) = 36, P(-9) = -468 e P(9) = -522,
P(-l) = -4, P(l) = -8, P(-3)
1 enquanto que o teorema anterior (aplicado erradamente) preveria apenas
2 e 2'
-1
1
-2
2
-3
3
-4
4
-6
6
-12
12
1
-1
1
-2
2
-3
3
-4
4
-6
6
-12
12
2
1
2
1
2
1
3
2
3
2
como possíveis raízes 1 e -1.
2?)
-1
-2
2
-3
3
-6
6
Se a equação P(x)
=
O,com coeficientes inteiros e ao
* O,admite uma
raiz inteira r = ~, entãà r é divisor de ao (termo independente de P).
2
3
Assim, as possíveis raízes inteiras de 7x s + x 4 - x - x - x + 6
Fazendo a verificação para os 16 elementos do conjunto, teríamos que as
únicas raízes racionais são 2 e
P(2)
~
- 5(2)5 + 4(2)4 - 5(2)3 - 10(2)2 + 30(2) - 12
= 128 - 160 + 64 - 40 - 40 + 60 - 12 = O
=
1
1
1
1
1
1
1
P(2") = 2(2) 6 - 5(2")5 + 4(2")4 - 5(2')3 - 10(2")2 + 30(2") - 12 =
..!. _ ~ + .! _ ~ _ ~ + 15 _ 12
3232482
e para os demais elementos P(x)
12o-F
O são
-1, 1, -2, 2, -3, 3, -6, 6.
pois:
= 2(2)6
=
=
* O.
3~)
Se a equação P(x) = O com coeficientes inteiros e coeficiente dominante
unitário (a n
tei ra pois q
=
=
1) admite uma raiz racional ~, então essa raiz é necessariamente inq
1.
Assim, por exemplo, qualquer raiz racional da equação
= 1 - 5 + 8 - 20 - 80 + 96 = O
32
x 4 + llx 3
-
7x 2 + 4x - 8 = O
é necessariamente inteira pois está no conjunto {-1, 1, -2, 2, -4, 4, -8, 8}.
121-F
EXERC(CIOS
F.245 Pesquisar as raízes inteiras da equação x 3 - 9x 2 + 23x -15 "" O.
F.246 Resolver a equação 2x4 - 5x 3 - 2x 2 - 4x + 3 ~ O.
F.237 (MAPOFEI-71)
a) Provar: se o número racional
E..,
q
.
p e q primos entre si, é raiz de uma equação
algébrica com coeficientes inteiros
30X
(ao
n
+ 81 X
*- O),
n-1
+ ... + 3 n -l x + a n
Solução
Vamos inicialmente pesquisar ra{zes racionais da equação. Se
=:
O
p E { 1, -1, 3, - 3}
então p é divisor de a n e q é divisor de ao.
b) Determinar as raízes da equação x 3 + x 2
_
4x + 6
=:
portanto
O.
~
p
é raiz então
q
q E {1 , 2}
e
~
E {1, -1, 3, -3,
~
, -
,
~
~
, -
}.
Fazendo P(x) ~ 2x 4 - 5x 3 - 2x 2 - 4x + 3, temos:
F.238 ai Quais são os divisores de 127
b) Qua is são os divisores positivos de 57
P(1)
c) Quais são as possíveis raízes racionais da equação 5x 7 + 4xs + 2x3 + x + 12 = 07
*- O,
mas P(3)
P(-ll
~
*- O,
1
O e P( 2")
P(-31
~
F.239 lrTA-64) Quais as possíveis raízes inteiras da equação x3 + 4x2 + 2x _ 4 ~ 0 7
F.240 (MACK-641 A equação x
m
+ aI' x
m
- + ... + am ~ O admite raízes reais fracio1
*- O
1
O, portanto P é divisivel por (x - 31 (x - "21:
3
2
1
2
2
2
nárias? Por que? Eventualmente, quais são as raízes reais inteiras?
-2
-5
-4
3
O
2
2
e recaímos em 2x 2 + 2x + 2 ~ O cujas ra ízes são
x 3 - 9x 2 + 22x - 24 ~ 07
F.241 Quais são as raízes inteiras da equação
-2±~ ~
4
Solução
Como o coeficiente de x 3 é 1, as poss(veis raízes inteiras da equação são os divisores
de -24, isto é:
1, -1, 2,
-2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 8, -8, 12, -12,
Calculando o
POI
P(3)
valor de
P nesses
24, -24.
F.247 (EPUSP-58)
números, temos:
*- O, P(-1) *- O, P(2) *- O, P(-2) *- O,
*- O, P(-31 *- O, P(4) *- O, P(-41 *- O.
mas P(61 ~ O.
22
-24
~
6
F.242 Resolver a equação 4( ;) - 5( ;)
F.243 Resolver a equação
A x + 2 ,4
--A x -t,2
~
~ 5 onde ( pn I indica o quociente
70
122-F
{3,
2
+ i Y3
~, _22
2
Resolver a equação x 3
-
1
-"2
2x 2
-
~ O,
.v3
-'2 }
x + 2 ~ O.
xS
-
8x 3 + 6x 2 + 7x - 6 ~ O.
F.250 Determinar as raízes da equação: x 6 + 3x s - 6x4 - 6x 3 + 9x 2 + 3x - 4 ~ O.
F.251 Resolver a equação x 3 - 9x 2 + 26x - 24
e consecutivos.
nl
p!ln-pll
onde A n, p indica o quociente
F.244 Resolver a equação 5x 3 - 37x 2 + 90x - 72
~
v3
F.249 Resolver: 2x 6 + x S - 13x4 + 13x 2 - x - 2 ~ O.
------3---4--.--0-,-
recaímos na equação x 2 - 3x + 4 = O cujas raízes são complexas e não inteiras.
Resposta:
S
±i
F.248 IFAUM-671 Determine as raízes da equação
_9
Dividindo P por x - 6:
Resposta:
- .!..2
nl
(n -
=
O, sabendo que as raízes são números inteiros
F.252 (EPUSP-59) As equações (x - a)(x - bl ~ O e x 2 - 2 ~ O
onde a, b são números racionais, podem ou não ter raízes comuns? <Justif!quel.
pl!
sabendo que admite raízes inteiras.
F.253 (EPUSP-66) Provar que se um número irracional for zero de Unl trinômio do
2':" grau, x 2 + ax + b, com a e b racionais, então o trinômio será único.
123-F
F.254 (MAPOFEI-691
a)
b)
+
Qual a equação do terceiro grau, com coeficientes reais, que possui a raiz real 5 e a
raiz complexa
(1 +
vS
i)?
CAPÍTULO IV
-
De~erminar
quatro inteiros consecutivos n - 2, n - 1, n, n + 1, tais que o cubo do
maIor seja igual à soma dos cubos de cada um dos três outros.
F.255 (EPUSP-401 Resolver
d
equação
2~x + 14 • 2 6X
-
96. 2 4X
_
TRANSFORMAÇOES
896 • 2 2X + 2048 ~ O.
F.256 Provar que se uma equação polinomial de coeficientes inteiros admite como raiz o
número irracional a +
~
então
a-
~
também é raiz.
F.257 Utilizando o problema anterior, formar uma equação de coeficientes inteiros e grau
mlnimo, tendo Como raízes:
" 2 e 1-
V2
F.258 Resolver a equação 3x 4 - 5x~ - 7x 2 + 3x + 2, sabendo que uma das raízes é 1 +
V2 .
F.259 (MACK-70l Resolver no conjunto dos números complexos a equação (x _ 2)3
4 _ x.
f.260 (EPUSP-68) Mostrar que é inteiro o número
.:y2 + -
1O
9
J:
·y3
+
.:y2 - - -
1 0 . í:.
9
'V3
I. TRANSFORMAÇÕES
=
112. Definição
Transformação de uma equação algébrica P I (x) ~ O é toda operação com a
qual se obtém uma nova equação P 2 (yl = O cujas raizes estejam relacionadas com
as raizes da equação inicial através de uma lei conhecida y = f(x).
A equação P I (x) = O é chamada equação primitiva; a equação P2 (y) = O é
chamada equação transformada e a lei y = f(x) é chamada relação de transformação .
113. Exemplos
3x 4 - 7x 2 + 5 ~ O é a equação primitiva e y
de transformação, então:
1 '?I Se P I (x)
=
P 2 (y)
=
3(.JY
)4 -
7(.JY )2 + 5
é a equação transformada.
Neste exemplo, as raizes de P 2 (y)
de Pdx) = o.
2?) Se PI(x) = 2x 3 - 5x 2 + 7x -1
relação de transformação, então:
=
=
=
3 y 2 - 7y + 5
=
=
x 2 é a relação
O
O são iguais aos quadrados das raizes
O é a equação primitiva e y
P 2(y) ~ 2(y + 1)3 - 5(y + 1)2 + 7(y + 1) - 1
=
2 y 3 + y2 + 3y + 3
=
=
x-
é a
O
é a equação transformada.
Neste exemplo, as raizes de P 2 (y) = O são iguais às raizes de P I (x) ~ O
diminuldas de 1.
Passemos agora a um estudo das três principais transformações que se
pode fazer com uma equação polinomial.
124-F
125-F
11. TRANSFORMAÇAO MULTIPLICATIVA
111. TRANSFORMAÇAo ADITIVA
114. Definição
116. Definição
Chama-se transformação aditiva aquela em que a relação de transformação é
Chama-se transformaça-o mult'Ip ,.Ica t"Iva aque Ia em que a relação de transformação é
y=x+a
y
=k· x
(k
*- O)
Dada a equação primitiva P 1 (x) = O, substituindo x por
t
e fazendo as
simplificações, obtemos a transformada P2(y) = O cujas raízes são precisamente
as raízes de P 1 (x) = O multiplicadas por k.
'
Dada a equação primitiva P 1 (x) = O, substituindo x por y - a e fazendo as
simplificações, obtemos a transformada P2 (y) = O, cujas raízes são precisamente
as raízes de P, (x) = O acrescidas de a, sendo a um número complexo qualquer.
117. Aplicações
115. Apl icações
1~) Dada a equação x 3 - 2x 2 + x + 1 = O, obter sua transformada pela rela-
y
=
1~) Dada a equação x 3 - 2x 2 + x + 1 = O, obter sua transformada pela relação
x + 2.
P, (x) = P1 (y - 2) = (y - 2)3 - 2(y - 2)2 + (y - 2) + 1 = O
ção y = 2x.
portanto, eliminando os parênteses, temos:
P2 (y) =y3 _8 y 2 +21y-17=0
portanto, eliminando os denominadores, vem:
2~) Obter a transformada que apresenta como raízes as raízes de 5x 3 + x 2 -
- x + 1 = O diminuídas de 3.
Neste caso, temos:
2~) Obter a transformada que apresenta como raízes os simétricos dos
triplos das raízes de 5x 3 + x 2 - x + 1 = O.
Neste caso, temos:
equação primitiva:
P, (x) = 5x 3 + x 2 - x + 1 = O
relação de transformação: y = - 3x
então:
equação primitiva: P 1 (x) = 5x 3 + x 2 - x + 1 = O
relação de transformação: y = x - 3
então:
P1 (x) = P, (y + 3) = 5(y + 3)3 + (y + 3)2 - (y + 3) + 1 = O
portanto, eliminando os parênteses, temos:
P2 (y) =
5l + 46y2 + 140y + 142 = O
Notemos que os dois resultados obtidos neste item também poderiam ser
indicados de outra forma:
portanto, eliminando os denominadores, vem:
126-f
3
2
o {p tlx) = x - 2x + x + 1
1. ) P2 (x + 2) = (x + 2)3 - 8(x + 2)2 + 21 (x + 2) - 17
127-f
2 {P (x) ~ 5x
3
+ x2
1
- x +
P2(x - 3) ~ 5(x - 3)3 + 46(x - 3)2 + 140(x _ 3) + 142
I
0 )
.
onde p! (x) ~ P2 (x + a) para todo valor complexo atribuído a x, pois, desenvolvendo
as potenclas Indicadas
em_ P2 (x .
+ a)' obtemos P I (x) . Podemos d'Izer entao
- Que
_
P I (x) e P2(x + a) sao funçoes polmomiais idênticas.
e substituindo
@ em ®, resulta:
.......................................................
e assim por diante até:
4~) Quando dividimos 0n-2
118. Teorema
por x + a, obtemos Quociente 0n-I (de grau
O) e resto R n - I tais Que:
Dada a equação primitiva
00-2 ~ 0n-I • (x + a) + R n - I
n
I
P I (x) ~ anx + an _ 1 x n - + a n-2 x n- 2 + ... + alx + ao ~ O
a sua transformada aditiva é
e substituindo
0
em
~
resulta:
P I ~ 0n_1 • (x + a)n + R n - I • (x + a)n-I + ... + R I • (x + a) + R o
A divisão de 0n-I por x + a dá Quociente O e resto Rn, portanto 0n-l
R n , resultando:
onde R o , RI, R 2 , " ' , Rn são os restos das divisões P I , e sucessivos Quocientes,
pOr x + a.
P 1 ~ R n • (x + a)n + R n_1
•
(x + a)n-I + ... + RI • (x + a) + Ro
o Que prova a tese.
Demonstração
Provemos Que P I (x) e P2(x + a) são funções polinomiais idênticas:
1~) Quando dividimos PI por x + a, obtemos Quociente 00 (degrau n _ 1)
e resto Ro (constante) tais Que
PI
~
00 • (x + a) + Ro
(D
2~) Quando dividimos 00 por x + a, obtemos Quociente OI (de grau n _ 2)
e resto R I tais Que:
e substituindo
0
Oo~OI·(x+a)+R,
em
(D,
resulta:
P I ~ OI • (x + a)2 + RI • (x + a) + Ro
119. Dispositivo prático de Horner-Ruffini
Do teorema anterior resulta Que a transformada aditiva de P I (x) ~ O, de
grau n, é definida pelos n + 1 restos das divisões do polinômio P I , e sucessivos
Quocientes, por x + a. As sucessivas divisões por x + a podem ser feitas rapidamente
com auxílio do dispositivo de Horner-Ruffini (semelhante ao de Briot-Ruffini):
-a
1--_.
1-1--
1--
--:o~0-----,_---'1Ro
0_1
-,-----J1
RI
0-=.2_--r_ _1 R2
0-::3:.----J1 R3
3~) Quando dividimos O, por x + a, obtemos Quociente O 2 (de grau n _ 3)
e resto R2 tais Que:
OI ~ O 2
•
(x + a) + R2
128-F
129-F
EXERCICIOS
120. Exemplos
1?) Dada a equação x3 - 2x 2 + x + 1
y = x + 2.
=
O, obter sua transformada pela relação
f.261 Qual é a equação polinomial cujas raízes são iguais às raízes da equação
P I (x) = x4 + 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5
~
O
portanto x
=
acrescidas de 5O%?
-2
-2
-4
I
9
I
-6
21
I--_~----.J
I
1------'
1 = R3
-8
=
Solução
-17 = Ro
I------~-_-...I
A lei de transformação é y
=
x+
= RI
2y
R2
2y
x
3x
'2 = 2"
2y
2y
(x + 2)3 - 8(x + 2)2 + 21(x + 2) -17
=
O
°
polinômio P1 = 5x 3 + x 2 - x + 1 segundo as potências
3
5
1
-1
5
16
47
5
31
5
I
I
1
I
P1
=
Determinemos k (em IR):
140 = RI
46 = R2
y3 _ 3k2y + 2k3
== y3 -
portanto:
-3k 2 = -12
2k 3 = 16
5(x - 3)3 + 46(x - 3)2 + 140(x - 3) + 142
1
-1
O
O
3
O
1
O
O
3
-3
I4
-2
2
-2
5
1
-3
5
-7
1 12
1
-4
9
1
-5
1
-1
1
I
-6
I
14
I
P,(x) = PI(f)
~
(f)3 - 3(f) + 2
=
O
Eliminando os denominadores e identificando com P2(yl, temos:
sejam as raízes da equação dada acrescidas de 1.
Vamos determinar a transformada aditiva através da relação y = x + 1.
1
P I (x) = x 3 - 3x + 2 ~ O, P2(y) = y3 - 12y + 16 e y = kx.
Temos:
142 = Ro
30)
- x 6 - x 4 + 3 x 2 + 1 = O, obter uma equaçao
. Dad a a equaçao
cujas ra ízes
-1
F.262 Determinar a relação de transformação mediante a qual y3 -12y + 16 ~ O é uma
transformada multiplicativa de x 3 - 3x + 2 = O.
Solução
5 = R3
Resposta:
~ O
16y 4 + 48y 3 + 108y 2 + 216y + 405 = O
Resposta:
2?) Desenvolver
de x - 3.
+5
então:
P2 (y) = 16 y 4 + 48y 3 + 108 y 2 + 216y + 405 = O
Eliminando os denominadores. temos:
Resposta:
2y
P (x) ~ P (_ ) ~ ( - )4 + 2( - )3 + 3( - )2 + 4( - )
1 33333
I
2y
3" '
I
-8
Resposta:
y
~
12y + 16 = O
===* k = ±2
===* k = 2
2x
2
F.263 Obter uma equação cujas raízes sejam o quádruplo das raízes de x 3 - x + 2x - 3 ~ O.
F.264 Determinar a transformada aditiva de x 3 + 2x 2 + 3x - 5 = O desprovida de termo do
segundo grau.
Solução
A transformada aditiva é:
R 3 • (x + a)3 + R2 • (x + a)2 + RI' Ix + a) + Ro = O
Aplicando Horner-Ruffini, vem:
-16
-a
2
2- a
-5
3
a 2 - 2a + 3
_a 3 + 2a 2 - 3a - 5 = R o
3a 2 - 4a + 3 = R I
1
Resposta:
130-F
131-F
IV. TRANSFORMAÇÃO RECfpROCA
Para não ocorrer termo do segundo grau, devemos ter
R1
=
=
2 - 3a = O
a = 3.
3
121. Definição
R3=1; R2 =0; Rl=3'13.12_4.(3.1+3=~
3
3
27
2
Ro = - 1- )3 + 2 • 1..?)2 - 3 • I..?) - 5 = _ 2E
3
3
3
27
Resposta:
Chama-se transformação recíproca aquela em que a relação de transformação é:
27y 3 + 45y - 173 = O
1
f.265 Determinar a transformada de 2x 3 - x 2 + x - 1 = O mediante a relação de transfor·
y '"
x'
mação y = x - 2
F.266 IEPUSP-61) Dada uma equação algébrica em x e sendo y = x - h, para que valores
de h a equa'ção transformada em y admite raiz nula? (Justifique),
i
F.267 Determinar a relação de transformação mediante a qual
uma transformada aditiva de x 3 - x + 1 = O,
+ 9y2 + 26y + 25 = O é
Dada a equação primitiva P I (x) = O, substituindo x por
1
e fazendo as
y
simplificações, obtemos a transformada P2 (y) = O, cujas raizes são precisamente os
invers9s das raizes de P I (x) =
o.
Solução
P1lxl = x3 - x + 1 =0, P2(y) =y3 +9y2 +26y +25= O, Y = x+a
Temos:
122. Aplicações
Aplicando Horner-Ruffini, vem:
-a
1~) Dada a equação x 3
-1
1
O
1
-a
1
-2a
1
-3a = R2
1
_a 3 + a + 1 = Ro
a2 - 1
2
3a - 1 = RI
I
y
=
-
2x 2 + x + 1 = O, obter sua transformada pela relação
1
x
1
1
1
1
23
Pdx)=P,(-)=(-) 3 -2(-) 1 +(-)+1=0=P 1 (y)=1-2y+y +y =0
y
y
y
y
1 = R3
2a) Obter a transformada que apresenta como raizes os inversos das raizes
de 5x 3 + x 2 - x + 1 = O.
2
3
equação primitiva: P I (x) = 5x + x - x + 1 = O
portanto:
- a3 + a + 1 = 25 }
3a 2 - 1 = 26
-3a = 9
Resposta:
=a=-3
relação de transformação:
Y=
x
y=x-3
F.26B Dada a equação x 3 - 3x 2 + 4x - 6 = O, determinar a relação de transformação mediante a
Qual se obtem sua transformada aditiva y3 + y - 4 =: O.
Pdx) = Pd 2.) = 5( 2.)3 + (2.)2 _ (2.) + 1 = O
y
y
y
y
==
P2 (y) = y3 - y2 + y + 5 = O
F.269 IMACK-64) Na divisão de um polinômio p(xl pelo binômio do 1 0 grau !lxl pelo
123. Observemos que, para obter a transformada recíproca, basta inverter total-
método de Ruffini·Horner achou·se:
mente a ordem dos coeficientes da equação primitiva e trocar x por y:
A
3
3
O
21
-147
B
C
O
E
-80
F
O
-1
-4
-12
R
Determinar Plxl, Q(x), R(x) e flxl.
132-F
P, (x)
anx n + an_Ix n-I + an_2xn-2 + ... + alx + ao
O
P2 (y) '" aoyn + a, yn-l + a2yn-2 + .. , + an-IY + a n = O
133-F
V.
Assim, por exemplo, temos:
P 1 (x) ~ X S + 2x 4 + 3x 3 + 4x 2 + 5x + 6 ~ O
P2 (x) ~ 6y s + 5y 4 + 4 y 3 + 3 y 2 + 2y + 1 ~ O
EQUAÇÕES RECfpROCAS
124. Defi n ição
Uma equação polinomial P(x)
EXERCfclOS
~
O é chamada recíproca se, e somente se,
é equivalente à sua transformada recíproca P(..!.-)
F.270 Dada a equação x4 + 3x 2 + 5x + 1
=
x
O, determinar sua transformada recíproca.
Solução
~ o.
125. Teorema
Temos:
P 1 (x)
~ x4 + 3x 2 + 5x + 1 ~ o e y ~
2-
Dada a equação recíproca P(x)
x
1
então
portanto
~
O, se
é uma raiz com multiplicidade m,
Q
também é raiz com a mesma multiplicidade.
Demonstração
e, eliminando os denominadores, temos:
Já vimos que se
Q
mada recíproca P(..!.-)
X
y4 + 5 y 3 + 3 y 2 + 1 ~ O
Resposta:
é equivalente a P( ~I
5x 4
-
x3 + 7x 2 + 3x - 2 ~ O.
portanto,
1
a
~ O,
~ O,
x
F.271 Obter uma equação cujas raízes sejam os inversos das raízes de:
'* O é uma raiz de P(x)
tendo
Q
e
~
Q
~
O, então
Q
é raiz da transfor-
a mesma multiplicidade. Se P(x)
~ O,
então toda raiz da segunda também é raiz da primeira,
é raiz de P{x) ~ O.
F.272 Determinar a b, c de modo que a equação
ax s + bx 4 + cx 3 + 2x 2 + 5x -
1 ~ O
seja equivalente à sua transformada recíproca.
126. O teorema anterior sugere um processo para construir equações recíprocas:
basta formar a equação tomando o cuidado de a cada raiz Q fazer corresponder uma
raiz
Solução
1
com a mesma multiplicidade de
0:.
1?) Vamos obter a transformada recíproca:
Exemplos
inversa
i
"2)
I
1?) P{x) ~ 4(x - 2) (x isto é
a + by + cy2 + 2y 3 + 5y4
_
yS
~
~ O é uma equação recíproca pois
O
P(x) ~ 4x 2 - 10x + 4 ~ O
2'?) A condição para que sejam equivalentes é:
e
então temos:
Resposta:
134-f
1
x
a2 ~ 1, b2 ~ 25 e c 2 ~ 4
a ~ -1, b ~ 5, c ~ 2 ou a ~ 1, b ~ -5, c ~ -2
1
x
1
x
P(-)~4(-)2-10(-)+4~
4-10x+4x 2
~O
x
são equivalentes.
135-f
i"versas
I
O
2.) P(x) = 18 • (x - 3) (x -
inversas
1
2 (x + "2)
3 =O
"3) (x + "3)
é uma equação reciproca
eqüidistantes
que também pode ser escrita assim:
18x 4
-
21x 3
-
94x 2
-
21x + 18
=
eqüidistantes
O.
extremoS
inversas
1'1
3.) P(x) = 2 • (x - 1) (x - 2") (x - 2) = O
O
3
é uma equação reciproca que tam-
bém pode ser escrita assim:
2x 5
-
11 x 4 + 23x 3
-
23x 2 + 11 x - 2
=
Dizemos que a n e ao são os coeficientes extremos, an-I e a, são eqüidistantes dos extremos, a n-2 e a2 também, etc. De uma maneira geral, an-k e
ak (k < n) são eqüidistantes dos extremos.
2) Condição suficiente
O.
Se an-k = ± ak, para todo inteiro k (O
Notemos neste exemplo que à raiz a = 1 correspondente a raiz
a
1.
4'?) P(x) = (x - 2) (x - 3) = x2 - 5x + 6 = O não é equação reciproca por apresentar raizes 2 e 3 não acompanhadas das respectivas inversas.
é evidente que P( ~x) = O
equivale a P{x) = O.
Basta multiplicar P(
P(x)
=
1
2)
não é equação reciproca pois as raizes 2 e
~) = O, membro a membro, por
x
± 1 que obtemos
O.
3)
5'?) P(x) = (x - 2)2 (x -
< k < n),
Condição necessária
Provemos que se
1
2 não têm a mesma multiplicidade.
2
P(x) = anx n + an_Ix n- 1 + an -2 x n- 2 + ... + a2 x + a,x + ao = O
P(2-) = aox n + a, x n- I + a2 xn - 2 + ... + an_2x2 + an-I x + a n = O
x
equivalentes,
então an-k = ± ak para todo k = O, 1, 2, ... , n.
são
e
127. Já aprendemos a reconhecer se uma equação colocada na forma fatorada é
ou não é reciproca. Ocorre, entretanto, que as equações polinomiais raramente
aparecem fatoradas. Para fazer o reconhecimento de equações reciprocas vem o
seguinte:
128. Teorema (do reconhecimento)
A condição' necessária e suficiente para que uma equação P(x) = O seja
reciproca é que os coeficientes eqüidistantes dos extremos sejam iguais ou
simétricos.
Demostração
1) Consideremos a equação polinomial de grau n:
136-F
Devido à equivalência das equações, os coeficientes devem ser proporcionais,
isto é:
(O)
Tomando as igualdades (k) e (k'), temos:
an_l=k.a,
an _2 = k • a2
(1)
(2)
an-k = k . ak e ak = k • an-k
então
a2 = k • an-2
ai = k • an-I
ao = k • an
(2')
(1')
an
=
k • ao
e conclulmos a tese:
(O')
an-k = k(k • an-k)
portanto
1= k
2
==
k =±1
an-k
137·F
Exemplos
130. Propriedades
São equações recíprocas:
1~) Toda equação P(x} = O, recíproca de 2~ especle, admite a raiz 1. A
divisão de P por x - 1 conduz a uma equação recíproca de 1~ espécie.
1'?) 4x 2 - 1Ox + 4
I
I
2'?) 18x4
I
3~) 2x 5
[
-
-
21x 3
I
-
=
O
De fato, se P(x} = O apresenta coeficientes eqüidistantes dos extremos
simétricos, então a soma dos coeficientes é nula, isto é:
94x 2 - 21x + 18
I
I
11 x4 + 23x 3
-
O
P(1) = a n + a n-l + a n-2 + ... + a2 + ai + ao = O e
é raiz.
Aplicando o dispositivo prático de 8riot·Ruffini, obtemos:
an
23x 2 + 11 x - 2 = O
l-J
I
=
an
I
I
\
an-I
an-2
(a n + an_1 + a n-2)
(a n + an-tl
a2
ai
(a n + an-d
an
y
ao
O
)
O(x)
portanto P{x) = (x - 1) • O(x) = O e O(x} = O é equação rec(proca de 1~ espécie.
que pode ser escrita:
3x 7 + O . x + 5x 5 + ?x 4 + ?x 3 + 5x 2 + Ox + 3
6
I
I
I
I
I
=
O
I
Exemplo
A equação 4x 4
por x - 1:
-
5x 3 + 5x - 4
_4_ _-_·5
129. Classificação
4
Para facilitar a resolução classificaremos as equações recíprocas em:
-1
recaímos em (x - 1) (4x 3
-
Exemplos: 1'?) 3x + 4x 2 + 4x + 3 = O
2'?) 7x 4 - 11 x 3 - 5x 2 - 11 x + 7 = O
3
b) equações recíprocas de 2~ espécie: aquelas em que os coeficientes eqüi.
distantes dos extremos são simétricos:
Exemplos: 1'?) 7x
3
2'?} 4x 4
138-F
-
-
6x 2 + 6x - 7 = O
5x3 + 5x - 4 = O
O admite a raiz 1 e, dividindo o 10 membro
0
5
-1
4
x2 - x + 41
=
-_4__~
O
I
O sendo O(x) de 1~ espécie.
)
\
a) equações recíprocas de 1~ espécie: aquelas em que os coeficientes eqüidistantes dos extremos são iguais:
=
O(x)
2~) Toda equação P(x) = O, recíproca de 1~ especle e grau ímpar, admite a
raiz -1. A divisão de P por x + 1 conduz a uma equação recíproca de 1~ espécie
e grau par.
De fato, como P(x)
a dois, temos:
=
PI-"'rr- t
O apresenta número par de coeficientes iguais dois
+ ... + a2 - aI + ao
I
O
=
O
e -1 é raiz.
I
O
I
O
139-F
Aplicando o dispositivo prático de Briot·Ruffini, obtemos:
+ ~ ) + al(xp-1 + _1_) + a2(xp - 2 + _1_) + ... +
ao(x p
xP
an
an-I
an
(an_1 - an )
a2
an -2
(a n -2 - an-I + an )
\
(ai-ao)
ai
ao
J
y
~
portanto
e grau
P(x) ~ (x
1
1
x
2
+ ap -2 (x + 2 ) + ap_1 (x +
1
+ 1) • Q(x) e Q(x) é equação recíproca de 1 ~ espécie
2
~ Y - 2,
X2 + 2
X
par.
x
3
+-
1
-) + ap
~
O
+ ... ~
O
x
1
+ - ,temos:
adotando a incógnita auxilar V ~ x
Q(x)
xp- 2
xp-I
x
3
~ V - 3V,
x3
e a equação fica:
Exemplo
A equação 3x 3
por x
+
+ ap_1 V + ap _2 (V2
ap
3
-
3V)
(de grau p ~
n
2")
+ 4x 2 + 4x + 3 ~ O admite a raiz -1 e, dividindo o 1? membro
1:
132. Exemplos
4
3
3
recaímos em (x
4
3
3
O
-1
+ 1) (3x 2 + x + 3) ~ O sendo Q(x) de 1~ espécie e grau par.
'-----v----J
Q(x)
1?) Resolver a equação 6x 4
2
6x - 35x
1
1
+ 62 - 35 • - + 6 • 2
x
35x 3 + 62x 2 - 35x + 6 ~ O.
Vamos resolver a equação P(x) ~ O onde an-k ~ ak (O ,;;;; k ,;;;; n) e n ~ 2p
(n é par). Temos:
se
X
+
~ ~ ~,
x~
+ 1
x
portanto S ~ { 2,
+ ap_Ixp-I + ap _2 x p-2 + ... + a2x 2 + ai x + ao ~ O
10
"3 '
1
2"'
O
6(x 2
=-
6 V2 - 35 V + 50 ~ O
então 2x
2
5x + 2
-
2
entao 3x - 10x
~O
+3
~
1
x
x
=== V ~ 2"5
e x
O
1
) - 35(x + -) + 62 ~ O
+2
~2
ou
e x ~ 3
x
ou
~
V
~
10
3
;
31
ou
x ~
13x
+ 6 ~ O.
~
}
3
3,
29) Re.olver a equação 6x 6
dividindo ambos os membros por x P , temos:
~
x
6(l - 2) - 35(V) + 62 ~ O =
se
-
13x s - 6x + 26x
4
3
-
6x
2
-
Temos:
6x 3
6(x 3
associando os pares de termos eqüidistantes dos extremos, temos:
-
Temos:
131. Equações de 1~ espécie e grau par
140-F
- 2) + ap _3 (V
-
13x 2
-
6x
+ 26 - 6 •
~
X
- 13 •
~2
1
1
1
x
x
x
x
+6 •
.!..
~O
x3
+ 3 ) - 13(x 2 + 2 ) - 6(x + -) + 26 ~ O
6(l- 3V) - 13(V 2 - 2) - 6V + 26 ~ O=-
6 V3
-
13 v2 - 24V
+ 52 ~ O
141-F
Pesquisando raízes racionais dessa equação obtemos que as raízes são:
y
1
se x + x
=2
=2
1
x
= -2
decorre x
'
se x+-=-2
ou y
'
ou y =
=
(raiz dupla)
1
13
2
se x + - =
, decorre x =3" ou
x
6
portanto S ~ { 1, -1,
3'
x
"6
=
Aplicando a fórmula da equação do 2':' grau, temos:
13 ±
v' 169 - 144
13 ± 5
12
12
=> x
=
l ou x = ~
2
3
(raiz dupla)
decorre x=-1
2
13
2~1
x
~
2x 4 - 4x 3 + 4x - 2 = O.
F.274 Resolver a equação recíproca:
3
Solução
2'
1 c;» Trata-se de equação de 2~ espécie com grau par portanto admite as raízes 1 e
-1. Apl iquemos Briot:
~}
2
~f-_; ~_~
133. Resumo
10 ) Se é dada uma equação rec(proca de
2~ espécie e grau ímpar, sabemos
que uma das ra ízes é 1 e, dividindo por x - 1, recaímos numa equação de 1~
espécie e grau par.
2?) Se é dada uma equação recíproca de 2~ espécie e grau par, sabemos que
uma das raízes é 1 e, dividindo por x - 1, reca ímos numa equação de 1~ espécie
e grau ímpar. Nesta, uma das raízes é -1 e, dividindo por x + 1, recaímos numa
equação de 1 ~ espécie e grau par.
Recaímos em 2x 2
- 4x
+2
=
__-_;__~__C±
O.
20 1 Aplicando a fórmula da equação do 20 grau, temos:
Resposta:
4 ±
x
v"16=16
4
S={1,-1}
x s - 5x 4 + 9x 3 - 9x 2 + 5x - 1
F.275 Resolver a equação recíproca:
= O.
Solução
1?) 2~ espécje~ 1 é raiz
3?) Se é dada uma equação recíproca de 1? espécie e grau ímpar, sabemos
que uma das raízes é -1 e, dividindo por x + 1, recaímos numa equação de 1~
Briot
1
11-
~
espécie e grau par.
Assim, todas as equações recíprocas acabam recaindo em equação de 1?
espécie e grau par.
==> (y2 _ 2) - 4y + 5 = O
6x 3 -19x 2 + 19x - 5
F.273 Resolver a equação recíproca:
O.
Ii x +
Solução
1?) Trata-se de uma equação de 2~ espécie. portanto, 1 é raiz. Apliquemos Briot:
~1___-6----1_9---1_96---_61
6
Recaímos na equação 6x 2 - 13x + 6
142-F
-13
=
O.
-9-,----_ _5_--,-_-..,.1_
-4
O
2':') Recaímos em x4 - 4x 3 + 5x 2 - 4x
Quemos a técnica usual:
x 2 - 4x + 5 - 4 (2.) + 1
x
EXERCICIOS
-..,.5_ _9
-4
5
2.x
=
(~)
2
x
= O
=
Resposta .,
==>
O que é de 1 a espécie e grau par. Apli-
(x 2
+ ...1....2 I x
==>
1-iV3
2
4(x
+ ..1...) + 5
x
== y = 1
1+~
==>
O
II1 x +...1.... =3 ==> x 2 -3x+1 =0
x
O
=
y2 - 4y + 3 = O
==>
1 ==> x 2 - x + 1
+1
ou
3
3
2
2
,
Y=3
2
+y'9::4
+V5
===>
1+iV3
2
x=
=O
3
V5
3+
=--2-
-V5
}
2
143-F
F.276 (ITA-621 Resolver a equação 4x 6
21x 4 + 21x 2 - 4
-
O.
=
F.217 Resolver a equação: ax S - bx 4 + 13b - 5alx 3 - (3b - 5alx 2 + bx - a
=O
F.278 Dada a equação: x6 + 8ax s + (b - 2lx 4 + (4a + b + clx 3 + 2ax 2 + Ib - 2alx - 1 = O
CAPÍTULO V
,
determinar a, b, c de modo que seja recíproca e resolver.
F.280 Resolver a equação recíproca: 8x 4 - 54x 3 + 101x2 - 54x + 8
= O.
Solução
E RAÍZES COMUNS
Trata-se de equação de 1~ espécie e grau par. Façamos a divisão por x 2 e apliquemos
1
1
e
x2 + 2
1
1
Temos: 8x 2 - 54x + 101 - 54( -I + 81 2 I
= O ==>
a mudança de variável:
x+ - =y
x
x
8(y2 - 21 - 54y + 101
=
O
x
8y2 - 54y + 85
==>
=
Resolvendo esta última, obtemos y
1~ possibilidade: x +
===> x == 2
x1 = "25
==
~
=
1
1
8(x 2 + 21 - 54(x + -) + 101
x
S
=
=
O
I. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL
17
ou
y=-.
4
2x 2 - 5x + 2 = O => x =
5±~
::...:::....c~.::.-~
4
=
5 ±3
-4-
x=4
1~)
17
ou
{2. -},
F.281 Resolver a equação
=
O ==> x
=
17 ±V289 -64
-:...:-=-..:...:;:.:=--.::..:.
8
4
4,
2x 3 - 3x 2 - 3x + 2
=
2~)
O.
f'(x)
F.283 (FEIUC-{i41
6x 4 + 35x 3 + 62x 2 + 35x + 6
Resolver a equação:
*' O
e n
>
O, chama-se função polinomial derivada de f(x)
a função
f'(x) = nanxn-I + (n - 1)a n _Ix n - 2 + (n - 2)an_2xn-3 + ... + ai + O
~}
x 3 + x2 + x + 1
= O.
Resolver a equação z4 + z3 + z2 + z + 1 = O no campo complexo e
mostrar que, numa certa ordem, as raízes estão em progressão geométrica.
F.285 Resolver a equação: yS - 4y4 + y3 + y2 - 4y + 1
=
=
Se f(x) = k, V x E C então a função polinomial derivada é definida por
O.
= O.
F.284 (E.E.L1NS-661
F.286 Resolver a equação:
onde ao
Dada a função polinomial f: C----+ C definida por:
f(x) = anx n + an_lx n - I + an_2xn-2 + ... + alx + ao,
1': C --> C definida por:
X=-
F.282 (FEIUC-{i5) Resolver a equação:
O.
135. Exemplos
==
1?)f(x)
2x + 3
2~)f(x)
5x 2 + 3x + 4
f'(x) = 1 • 2 • xo + O = 2
==
f'(x)
2 • 5 • X + 1 • 3 • Xo + O
10x + 3
1
2'
F.287 (MACK-531 A soma dos 5 termos de uma P.G. de números reais é 484 e a soma
dos termos de ordem par é 120. Escrever a P.G.
144-F
134. Definição
x=2
1
Resposta:
x
O
2a possibilidade: x + - = - = - 4x 2 - 17x + 4
X
4
17±15
1
8
y2 - 2
1
ou
====?
=
x
,
RAIZES MULTIPLAS
F.279 Resolver a equação x S - 5x 4 + 9x 3 - 9x 2 + 5x - 1 = O.
3?)f(x) = 7x 4 + 6x 3 + 5x 2 + 4x + 3
=
1'(X) = 4 • 7 • x 3 + 3 • 6 • x 2 + 2 • 5 • X + 1 • 4 • Xo + O =
= 28x 3 + 18x 2 + 10x +4
==
145-F
136. Observemos atentamente o que ocorre com cada termo de f(x) na passagem
para f' (x):
-->
pax P- I
ax P
L...r------J
139. Teorema
Sejam as funções polinomiais
L..r-J
em f(x)
g(x)
em f'(x)
=
anxn + an_IX n- 1 + an_2xn-2 + ... + alx + ao
Se f(x) == g(x)13 então
é como se o expoente p de x (em f) passasse a multiplicar o coeficiente a e fosse
substituído por p - 1 (uma unidade inferior a p).
f'(x)
e 13
=
bx
q
.
== g'(x)13 + glx)I3'.
Demonstração
Fazendo oq
137. Teorema
=
a;x i , temos:
= an +
g(x)
an_1 + a n -2 + ... + ai + ao
portanto:
Se f(x)
== g(x) + h(x), então f'(x) == g'(x) + h'(x)
f(x)
Demonstração
então, aplicando os dois teoremas anteriores, temos:
Sejam as funções polinomiais:
g(x)
=
h(x)
=
== g(x) • 13 == (a n + an-I + a n -2 + ... + ai + ao)13 ==
== a nl3 + a n _113 + a n_213 + ... + all3 + aol3
f'(x)
anx n + an_Ix n - 1 + an_2xn-2 +
bnx n + bn_Ix n- 1 + b n _2x n- 2 +
+ alX + ao
== (a"13 + anl3') + (a"_113 + a n _II3') + (a"-213 + an_213') + ... +
)13 +
+ (aol3 + aol3') == (a + an-I + a -2 + ... + ao
,
n
+ blx + b o
I
I
,
n
+ (a n + an-l + a n -2 + ... + ao)l3' == g'(x)13 + g(x)l3'
== g(x) + h(x) =
,
(a n + bn)x n + (an_1 + bn_dx n - + (a n _2 + b n _2 )x n - 2 + ... +
+ (ai + bdx + (ao + boi
f(x)
140. Teorema
Sejam as funções polinomiais
g(x) = anx n + an-l x n- I + an_2xn-2 + ... + alx + ao
h(x) = bmx m + bm_lx m - I + b m _2 x m - 2 + ... + blx + b o
Vamos calcular as funções derivadas dessas funções:
nanx n- I + (n - 1)a n _lx n - 2 + (n - 2)an_2xn-3 +
h'(x)
nbnx n- I + (n - 1)b n _l x n- 2 + (n - 2)b n _2x n - 3 +
f'(x) = n(a n + bn)x n - I + (n -l)(a n _1 + b n _l )x n - 2 +
+ (n - 2)(an -2 + b n _2)x n- 3 + ... + (ai + bd
g'(x)
t
=
evidente que f'(x)
+ ai
+ bl
Se f(x)
== g(x) • h(x) então f'(x)
= g'(x) • h(x)
+ g(x) • h'(x),
Demonstração
Fazendo l3i
== g'(x) + h'(x).
=
biXi, temos:
h(x)
= 13m +
I3m-l +
I3m-2 + ... + 131 + 130
portanto:
138. Teorema
f(x)
Sejam as funções polinomiais
"(' =
a
=
ax P e 13
=
q
bx . Se "(
== al3 então
a'l3 + a{3'.
== g(x) • h(x)
= g(x)l3m
+ g(X)l3m-l + g(X)l3m-2 + ... + g(x)l3o
então, aplicando o teorema anterior, temos:
f'(x) = 19'(x)l3m + g(x)I3;"J + [g'(X)l3m-l + g(x)I3:n-IJ + ... + [g'(x)l3o + g(x)l3 óJ =
Demonstração
"( == al3 == abx P +q
"(' =
146-F
pabxP-Ix q
+
=
p q I
(p + q)abx + -
"(
qabxPx q - l
=
=
então
(paxP-I)(bx q ) + (axP)(qbx q - l )
== a'(3 + a(3'
g'lx) (13m + 13m-I +
I3m-2 + ... + (30) +
g(x)
(13;" + 13;"-1 + 13;"-2 + ... + l3ó I '"
== g'(x) h(x) + g(x) h'lx)
147-F
143. Derivações sucessivas
141. Teorema
Se f(x)
> O,
== [g(x)]", com n
então f'(x)
n· [g(X)]"-1 • g'(x).
flll(x) = nanx n - I + (n-1)a n _IX n - 2 + (n - 2)an_2Xn-3 + ... + a2x +al
Demonstração
1?)
Prova-se por indução finita que se
f(x)
=
Vimos no item 134 que, dada a função polinomial f(x), podemos definir a
função polinomial derivada representada por f' (x) ou fll! (x):
Como f' (x) também é uma função polinomial é possível determinar a sua
função polinomial derivada (f'(x))', obtendo a chamada função derivada-segunda de
gl (x) . g2 (x) • g3 (x) ..... gn (x)
f(x), que será denotada por f"(x) ou f(21(x).
então
gn + ... + gl g2g3 ... g~
= g2 = g3 = .. , = ~
2?) Supondo gl
terior que se
f(x)
g, temos como conseqüência do an-
Notemos que
f(2)(x) = n(n - 1)a n x n - 2 + (n - l)(n - 2)a n _1 x n - I + ... + 3·2· a3x +' 82
A derivada da função polinomial f(2)(x) é chamada função derivada-terceira de
= 'g(x)
•
-----.
g(x)
g(xl
g(xl
y~
~1
=
[g(x))n
f(x) e será denotada por f'''(x) ou f(3)(x). Notemos que:
n
f(3)(X)
então
f'(x) = g'gg ... 9 + gg'g ... 9 + ggg' ... 9 + ... + ggg ... g'
'----.r-l '----.r-l '----.r-l
n
n
n(n - l)(n - 2)a n x n - 3 + (n -l)(n - 2)(n - 3)a n _Ix"-2 + ... +
+
3 • 2 • 1 • a3
==
'----.r-l
n
=
.
.
- po I'Inomla
. I f(r-I)( x ) e• c hamad a
E, assim por diante,
a derivada
da funçao
n
função derivada-erreézima de f(x) e será denotada por f(r) (x).
== n(ggg ... g) • g' == n[g(x·))n-Ig,(x)
L-..r----J
n -I
142. Aplicações
Exemplo
Calcular as derivadas sucessivas da função polinomial
1~)
f(x)
(x - 1)4
=
f'(x)
4 • (x - 1) 3
•
1 = 4 (x - 1) 3
~
'----y---J
g(x)
g'(x)
f(x) = x 4 + 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5.
f(ll(x) = 4x 3 + 6x 2 + 6x + 4
2~)
f(x) = (x 2 +x+ 1)s
===> f'(x) = 5 • (x 2 + x + 1)4 • (2x + 1)
'--.r------J
'---y---J
g(x)
3~)
g'(x)
f(x) = (x 2 + 3x + 1)(x 3 + 4x 2 + 5x + 3)
'---v--J\
g(xl
=
148-F
f'(x)
f(3 1(X) = 24x + 12
J
24
f(41(x)
=
f(S)(x)
== f(6)(x) == f(7)(X) == ... == O
===>
h(x)
(2x + 3)(x 3 + 4x 2 + 5x + 3) + (x 2 + 3x + 1)(3x 2 + 8x + 5)
~\
g'ix)
f(21(x) = 12x 2 + 12x + 6
J
h(x)
'---v------' '-------v-----g(x)
h'(x)
Observemos que a cada derivação o grau da função polinomial diminui de
uma unidade; assim, se f(x) tem grau n então todas as derivadas de ordem superior a
n são identicamente nulas.
149-F
EXERCfclOS
11. RMzES MÚLTIPLAS
F.288 Determinar a derivada-primeira das seguintes funções polinomiais:
ai f(x) = 4x 3
b) f(xl =
144. Vimos no item 91 que r é raiz da equação polinomial f(x)
_~x2 + llx + 3
cidade m, se:
2
f(x) == (x - rim • q(x)
~
x4 + 3. x 3 +..!. x 2 + x + 2
432
e
q(r) =1=
=
O, com multipli-
°
Vamos ver agora dois teoremas que facilitam a pesquisa das raízes múltiplas
de uma equação polinomial.
el f(x) = (2x - 7113x + 4)
di f(x) = (x 2 - 3x + 4113x 2 + 5x - 11
e) f(xl = (x+ll(x+21(2x + 3)
fi f(x) ~ (3x 2 - 7x + 4)S
145. Teorema
f(x) = (3x - 5)7
g)
Se r é raiz de multiplicidade m da equação f(x) = O, então r é raiz de multi-
h) f(xl = (3-2x)S
il f(xl ~ (x 2 + 2x + 1I1x-1)
iI f(xl = (x + 2)2 (x + 11 3
k) f(x) = (x 2 - 3x + 4)3 (2x - 1)2
plicidade m - 1 da equação f(x) = O, onde f(x) é a derivada-primeira de f(x).
Demonstração
f(x) == (x - rim • q(x)
=
x7
== f(ll(x)
Resposta:fI 31 (xl
=
=
7x 6
==> f(21(xl
42x s
=
==> f(3)(xl
=
e, como m • q(r) + (r - r) • q'(r)
21Dx 4
F.29D Calcular a derivada de ordem p da função f(xl
Solução
=
xn =
f(l)(xl
=
nx n- 1
=== f(21(x)
=
x n (p
,ç
(x - rim q'(xl
Ix - r) • q'(xiJ
m • q(r) =1= O, temos que r é raiz de multiplicidade
= O.
146. Corolário 1
nln _ 1)x n- 2
=
f(pl(xl = n(n - 1IIn - 2)
... =
(n - p + 1)x n - p
= n(n -1 IIn - 2)
(n - p + 1)x n -
Resposta: f(pl(x)
=
+
nl.
=
Se r é raiz de multiplicidade m da equação f(x) = O, então r é raiz de
=f(3)(xl = n(n_1)ln_2)x n - 3 =
=
+
f'(x) == m • (x - r)m-l • q(x) + (x - r)m • q'(x)
f(x) == Ix - r)m-l [m • q(x)
21Dx 4
m-l de f (x)
f(x)
f(xi == m(x - r)m-l q(x)
portanto, temos:
Solução
f(xl
=
f(x) = x 7 •
F.289 Calcular a derivada-terceira da função polinomial
===
p
= An,p • x n- p
com multiplicidades m - 1, m - 2. m - 3 ..... 1. respectivamente. e r não é raiz de
flml(x) = O.
F.291 Determinar as derivadas sucessivas da função f Ixl
F.292 Determinar a derivada-oitava da função f(xl
=
=
7x 3 - 11 x 2 + 5x - 3.
ax s + bx4 + ex 3 + dx 2 + ex + f.
147. Corolário 2
F.293 (FAUUSP-641 Sendo P(xl = 5x 3 + ax 2 + bx + c, pede-se:
Se r é rai z das equações
10 10bter k para que se tenha identicamente P(xl + k(x - 11 P' (x) + (x 2
2
0
) Calcular
-
f(x)
os coeficientes a, b e e.
3?1 Mostrar que P(x) é da forma (x - 1) Q(x) e calcular este polinômio Q(xl.
150-F
1) P"(x 1== D.
e r não
é
= o.
f(1)(x)
= o.
f
(2
)(x) = O, .... f(m-tl(x)
=
°
raiz da equação f(ml(x) = O, então a multiplicidade de r em f(x) =
°
é m.
151-F
F.296 Verificar se a equação x 3 - 3x + 8 = O tem rafzes iguais.
148. Resumo
"A condição necessana e suficiente para que um número r seja raiz com
multiplicidade m de uma equação polinomial f(x) = O é que r seja raiz das funções
f(x), fÜ)(x), f(z)(xl. ... , f(m-li(x)
e não seja raiz de f1m)(x)."
F.297 (EPUSP-42) Pesquisar raizes mÚltiplas na equação x S - 2x 4 + 3x 3 - 7x 2 + 8x - 3 ~ O.
F.29B Resolver a equação x 3 - 5x z + 8x - 4 = O, sabendo que existem raízes múltiplas.
F.299 Obter as raízes múltiplas das equações:
ai x 4 - 12x 3 + 52x 2 - 96x + 64 = O
b) x S + x 4 - 5x 3 - x 2 + 8x - 4 = O
EXERCfclOS
F.294 Verificar se a equação 2x 3 - 9x 2
+ 12x + 6 = O tem alguma raiz dupla.
F.300 Resolver a equação x 4 - x 3 - 3x z
plicidade 3.
Solução
Toda eventual raiz dupla da equação dada f(x) = O também é raiz da derivada-primeira
f(lI lx ) = 6x z - 18x
6x z - 18x
+ 12, portanto, temos:
+ 12 = O ==> x 2 - 3x + 2 = O ==> x = 1 ou
x
2
2(11 3 - 9(1)Z
f(2)
2(2)3 - 9(2)2
f.301 Determinar p e q de modo que a equação x 3
multiplicidade 3.
+ x 2 + qx + p
=
O admita uma raiz com
Solução
Fazendo f(x) = x 3 + x Z + qx + P. temos:
Os "candidatos" a raiz dupla são o 1 e o 2, façamos a verificação:
f(1)
+ 5x - 2 = O, sabendo que admite uma raiz de multi-
+ 12(1) + 6 = 11 *0
+ 12(2) + 6 = 10 * O
fil)(x) = 3x z + 2x + q
f1z)(x) = 6x
+2
Resposta: não há raiz dupla.
f(3)lx)
F.296 Resolver a equação 4x 3 - 20x 2
+ 33x - 18 = O, sabendo que admite uma raiz dupia.
Solução
=
6 *0
A condição do problema estará satisfeita se existir um número r tal que f(r)
flll(r) = O
e
O,
flz)(r) = O. Temos:
Fazendo If)x = 4x 3 - 20x 2 + 33x - 18, temos:
fll)(x) = 12x z - 40x + 33.
A raiz dupla é necessariamente raiz de flll(x), portanto:
3
12x 2 - 40x + 33 = O
=
x =
40
±-J 1600
- 1584
24
40±4
24
-[2
11
"6
Pesquisando em f(x) temos:
é
3
2";
f (2) = O e
2
f
(~
6
) * O assim, a raiz dupla de f(xl
4
3
2
4
-14
4
-8
-20
1
e
q =
3
.
b de modo que a equaça-o x 4 - 6x z + aX
F.302 Determinar a e
apliquemos Briot:
3
2
1
Resposta: P = 27
33
-18
+ b = O admita uma raiz tripla.
Solução
Fazendo flx) = x 4 - 6x 2
+ ax + b, temos:
O
A condição do problema estará satisfeita se existir um número r tal que
flr) = fil)(r) = f(Z)(r)
=
O e
f
(3
)(r) * O.
Temos:
e recaímos em 4x - 8 = O portanto a outra raiz é 2.
Resposta:
152-F
flz)(x)=O
=12xz-12=0
=x=±1
153-F
1~ possibilidade: x = 1
f(1) = O ==> 14 - 6 • 1 2 + a • 1 + b
~
O ==> a + b
~
f.309 Determinara condição para que a equação x 4 - px - q = O tenha uma raiz dupla.
Calcular essa rai z.
5
F.310 IENE-54) Determinar m de modo que a equação x 4 + mx 2 + 8x = O admita uma raiz
fll)I1)~O ==>4'13-12'1+a~O ==>a=8
portanto a
~
8
e
tripla e, em seguida, resolver a equação.
b = -3.
F.311 IENE-51) Calcular m de modo que a equação x 3 + mx - 2 = O admita uma raiz dupla
2~ possibilidade:
a resolver a equação.
x ~ -1
f H ) ~ O ==> 1_1)4 - 6 • H)2 + al-1) + b = O ==> b - a ~ 5
fl!I H )
~ O =4H)3 - 121-1) + a = O ==a =-8
portanto a = -8
Resposta: la
~
e
b
8 e b
~
~
~
n
+ b ~ O. com a * O e b *0. não têm raizes múlti·
F.313 (ITA~O) Demonstrar que se a equação x 3 + ax + b ~ O (ab * O. reais) tiver uma raiz
dupla, então a será sempre positivo.
-3.
-3) ou la
F.312 Provar que as equações binômias ax
pias.
F.314 IEPUSP-58) Determinar k de modo que a equação 3x 4 - 8x 3 - 6x 2 + 24x + k = O admita
-8 e b = -3).
uma raiz dupla negativa e, ,em seguida, resolver a equação.
F.303 Determinar a, b, c de modo que 1 seja raiz dupla da equação
F.315 IMAPDFEI-701
x 3 - 3ax 2 + bx + c = O.
a) Definir raiz múltipla de um polinômio.
bl Para que valores de aa equação 2x 3 - 3sen ax 2 + cos 3a = O tem rarzes múltiplas?
Solução
A condição do problema estará satisfeita se fl11
Fazendo f (x 1 ~
X3
~
f lll 111
~
O e f(21(11 * O.
- 3ax 2 + bx + c. temos:
F.316 IMAPOFEI-73) Parte A: Determine o número complexo z
1
z , -z
e 1 - z tenham o mesmo módulo.
e
Impondo as condições, temos:
f( 11 ~ O==> 13 - 3a • 12 + b • 1 + c = O
f
(1
)11)
~
O
=
==
e
~
x + iy tal que os números
Um polinômio Plx) ~ x 3 + ax 2 + bx + c é divisivel pelo seu polinômio derivado
P'(x) e este é divisível por x - 1. Determine os coeficientes a, b e c.
Parte B:
b + c - 3a
3' 1 2 - 6a • 1 + b = O = = b - 6a
Donde vem: b = 6a - 3
c) Mostrar que a equação do item b possui uma raiz simples qualquer que seja Q.
~
-1
-3
c = 2 - 3a.
111. MÁXIMO DIVISOR COMUM
Como f(2)111 * O, devemos ter a * 1.
Resposta: b ~ 6a - 3, c = 2 - 3a e a * 1
149, Definição
F.304 IMAPOFE 1-721 E dada a equação x 3 - 3x 2 - 9x + À = O.
a) Quais os valores de À para os quais a equação admite urna raiz dupla?
b) Para que valores de À a equação tem três raízes reais distintas duas a duas?
f.3D5 Provar que a equação x 4 + px 2 + q = O não pode ter três raízes iguais.
F.306 Determinar a condição para que a equação x 3
+ px + q = O tenha raízes múltiplas.
F.307 Determinar a condição para que a equação x 3 - px - q = O tenha uma raiz dupla.
f.30a Determinar m de modo que a equação x 3 - 2x 2 +x + m - 1 = O tenha uma raiz dupla.
154-F
Dados dois polinômios não nulos f e g, dizemos que o polinômio h é o máximo divisor comum de f e 9 se, e somente se, verificar as seguintes condições:
Dl)
D2)
D3)
h é unitário;
h é divisor de f e de g;
se qualquer outro polinômio h 1 também é divisor de f e de g, então h l
é divisor de h.
Indicaremos o máximo divisor comum de dois polinômios com a notação:
h = mdc (f, g)
155-F
152. Método das divisões sucessivas
150. Exemplos
1~)
Se f = (x - 1)(x - 2)2 (x - 3)
e
9 = (x - 2)(x - 3)(x- 4), então
h = (x - 2)(x - 3) satisfaz as condições Dl, D2, D3, portanto, h = mdc (f, g).
2~)
Se f = x 4 - 1 e 9 = x 4 - 3x 3 + 3x 2 - 3x + 2,
satisfaz as condições Dl, D2 e D3, portanto,
então h = x 3 - x 2 + x - 1
h = mdc (f, g).
Para resolver o problema "como obter h = mdc {f, g)7" vamos ao seguinte:
Como principal aplicação do teorema anterior, temos o método das divisões
sucessivas para obter o mdc (f, g), que se baseia na seguinte observação:
a) dados dois polinômios não nulos f e g, com af ;. ag, seja ri o resto da divisão de f por g, então mdc (f, g) = mdc (g, rd
b) se ri = O então 9 = mdc (f, g) e o problema é imediato; se ri =1= O, seja r2 o
resto da divisão de 9 por ri, então mdc (g, ri) = mdc (ri, r2)
c) se r2 = O então ri = mdc (f, g); se r2 =1= O, seja r3 o resto da divisão de ri por
r2' então mdc (ri, r2) = mdc (r2, r3)
151. Teorema
Se f e 9 são polinômios não nulos e r é o resto da divisão de f por g, então
mdc (f, g) = mdc (g, r).
Demonstração
Seja h = mdc (f, g). Temos por definição que h é divisor de f e de g, portanto:
e, assim por diante, notemos que, após um certo número finito k de divisões sucessivas, atingimos necessariamente uma divisão exata (pois os graus dos restos diminuem
de ao menos uma unidade por vez até que atingimos um resto rk constante e a
divisão de rk_1 por rk é exata)
f~
O
qk + I
o
Por outro lado, se r é o resto da divisão de f por g, então:
o
r=f-q 'g
Substituindo(D e
polinômio rk (devidamente multiplicado pelo inverso do seu coeficiente
dominante, para ser polinômio unitário) é o mdc (f, g).
Exemplo
(1) em 0, resulta:
Obter o mdc dos polinômios
f = x 4 - 3x 3 + 3x 2 - 3x + 2
r = ql • h - q , q2 • h = (ql - q , q2) , h
1?)
g: x 2 - 4x + 3.
2
dividindo f por 9 obtemos ql = x + x + 4 e ri = 10x - 10.
2?)
1
3
dividindo 9 por ri obtemos q2 = 10 x - 10 e r2 : O, portanto:
isto é, h é divisor de r.
Seja h l = mdc (g, r). Como h é divisor de 9 e de r, resulta que h é divisor de
h l . Provemos que h = h l , mostrando que h l também é divisor de h.
Temos por definição que h l é 'divisor de 9 e de r, portanto:
9 : q3
'
h1
e
r : q4 ' h I
e
1
mdc (f, g) = 10
Dispositivo prático
portanto:
f = qg + r = q • q3 ' h l + q4hl = (q • q3 + q4)h l
isto é, h l é divisor de f e, como já era divisor de g, h l é divisor de h.
Conclusão: h é divisor de h. e h l é divisor de h, portanto, h = h l :
mdc (fi
ol •
mete (g, r I
1
x4 _ 3x + ~x 2 _ 3x + 10
__________+
3
10x (
10
x2
4x +
!--t
10x - 10
'-./
'I
O
'I
156-F
157-F
153. Se mdc (1, g) ; 1, então os polinômios 1 e 9 são chamados polinômios primos
entre si.
Assim, por exemplo, 1; x 3 + x
x
e
1
g; x 2 - 1 são primos entre si:
2"x
-2x
-1
x3 + x
x2 - 1
2x
2x
-1
O
IV. RAI"ZES COMUNS
154. Vamos desenvolver uma teoria que permite estabelecer as raízes comuns a dois
polinômios 1 e g, isto é, as raízes comuns a duas equações polinomiais f(x); O
e
g(x); O.
155. Teorema
mdc (1, g)
Se a é uma raiz dos polinômios 1 e g, então a é uma raiz de r (resto da divisão
de f por g).
-1 . -::j
1 ;
Demonstração
f ; q •9 + r
EXERCICIOS
=
r ; f - q •9
=
r(a) ;
~
r(a) ; f(a) - q(a) • g(a)
O - q(a) • O; O
F.317 Determinar o mdc dos polinômios:
I
= x 4 + 4x 3 + 3x 2
- 4x - 4
e
9 = x 3 - 2x 2 - 5x + 6.
156. Recíproco
F.318 Determinar O mdc dos polinômios:
I = x 6 + 2x s + x 3 + 3x 2 + 3x + 2
F.319 (EPUSP-581 Determinar o mdc (I, g)
e
se
9 = x 4 + 4x 3 + 4x 2 - x - 2
1= (x 2 - 1)2 Ix
+ 1)3 e 9 = (x 3 + 1) (x - lI.
Se a é uma raiz dos pol inômios 9 e r, então a é uma raiz de 1.
Demonstração
1; q • 9 + r
F.320 Provar que se I e 9 são polinômios divisíveis por (x - al P, então O resto da divisão de I por
9 também é divisível por (x -a)p,
e
q(a) • g(a) + r(a) ; q(a) • O + O ; O
157. Teorema
F.321 Determinar o mdc dos polinômios:
I = 5(x - 2)2(x - 4)2(x - 3)4
== f(a) ;
9 = 4(x - 2)(x - 4)4(x
F.322 Determinar o mdc dos polinômios 1= (x 2 - 1)3 (x + 1)2
+ 11
e 9 = (x - 1)4 (x + 1)4,
Se a é uma raiz dos polinômios 1 e g, então a é uma raiz do mdc (f, g).
Demonstração
Suponhamos aplicado o método das divisões sucessivas:
1~
g~
r k _1
~
O
Se a é raiz de 1 e g, então a é raiz de ri; se a é raiz de 9 e ri, então a é raiz de
r2; se a é raiz de ri e r2, então a é raiz de r3; assim por diante, a é raiz de rk =
; mdc (1, g).
158-F
159-F
158. Recíproco
160. Teorema
Se a é uma raiz do mdc (f, g), então a é uma raiz de f e de g.
Se f e 9 são polinômios divisíveis por (x - Q)m. então r (resto da divisão def
por g) também é divisível por (x _ Q)m.
Demonstração análoga à anterior
Demonstração
Por hipótese, temos:
159. Aplicações
f = (x - a)m • Q.,
1~)
Determinar as raízes comuns aos polinômios
3
t = x - 2x 2 - 2x - 3 e 9 = x 2 - X
9 = (x - Q)m • Q2
e
t = Qg + r
Do Que ocorre:
-
6.
r = f - Q • 9 = (x - a)m • Q. - Q • (x - Q)m • <b = (x - a)m • (Q. - Q • Q2 ).
Temos:
x3
_x
2x 2 - 2x - 3
-
3
+
x
2
+
x2 -
6x
X
x2
- 6
_x 2
x - 1
-
X
- 6
+ 3x
2x
6
I 3x
- 9
1
2
-x +-x
3
3
2x + 6
3x - 9
O
Demonstração
Suponhamos aplicado o método das divisões sucessivas:
Obter as raízes comuns às equações polinomiais
x
x3
_x
Se f e 9 são polinômios divisíveis por (x - Q)m. então o mdc (f, g) também é
divisível por (x - a)m.
x - 3, portanto a única raiz comum a t e 9 é 3.
então mdc (t, g)
2~)
161. Teorema
3
-
3
-6x
2
+5x+12=0
6x 2 +
5x + 12
2
2x - 24
+ 5x
+
2
x +
e
x 3 -5x 2 -2x+24=0.
f
~
9
~
r.
~
rk_.
r.
QI
r2
Q2
r3
Q3
O
~
Qk+1
Se f e 9 são divisíveis por (x - a)m. então r. é divisível por (x - a)m; se 9 e ri
são divisíveis por (x - Q)m. então o mesmo ocorre com r2; se ri e r2 são divisíveis
por (x - a)m. então o mesmo ocorre com r3; assim por diante. rk = mdc (f, g) é
divisível por (x _ a)m.
7x - 12
162.' Corolário
x3
-
5x 2
2x + 24
-
- x 3 + 7x 2 - 12x
2x 2
-
- x 2 + 7x - 12
-x - 2
Se a é raiz de f e de g. com multiplicidades ml e m2' respectivamente então
a é raiz do mdc (f. g) com multiplicidade igual ao menor dos números miou m2'
14x + 24
- 2x 2 + 14x - 24
O
2
então mdc (t, g) = x - 7x + 12, portanto as raízes comuns a f e 9 são as raízes da
equação x 2 - 7x + 12 = O, isto é, 3 e 4.
160-f
163. Suponhamos dados dois polinômios f e g, não nulos, já decompostos em fatores:
f = an(x - a)n. (x -
mn2 (x - ')')n 3...
9 = b m (x - Q)m. (x - l3)m2 (x - ')')m3...
onde as bases das potências (x - a, x -
13.
x - ')', ... ) são duas a duas distintas.
161-f
v.
Decorre do corolário anterior que o metc (f, g) é o polinômio unitário produto
dos fatores comuns a f e g, tomado cada fator com o menor dos expoentes com que
aparece em f e g.
MfNIMO MOlT1PlO COMUM
164. Definição
Exemplo
Dados dois polinômios não nulos f e g, dizemos que h é o mínimo múltiplo
comum de f e 9 se, e somente se, verificar as seguintes condições:
f ~ 3(x - 1)2(x - 2)3(X - 5)7(X + 3)s
9 = 2(x - 1)3 (x - 2)2 (x - 5)4 (x + 4) 7
então
mdc (f, g) = (x - 1)2 (x - 2)2 (x _ 5)4
Ml)
h é unitário
M2)
h é divisível por f e por g;
M3) se qualquer outro polinômio h l também é divisível por f e por g, então
h l é divisível por h.
Notemos que os fatores não comuns: (x + 3) que aparece só em f e (x + 4) que
aparece só em g, não são fatores do mdc (f, g).
Indicaremos o mínimo múltiplo comum de dois polinômios com a notação:
h = mmc (f, g).
EXERC(CIOS
165. Exemplos
F.323 Determinar a e b de modo que os polinômios
tenham duas rarzes comuns.
1?)
Solução
Se
f = (x - l)(x - 2)2(x - 3)
Temos 9 = xIx - 1), portanto, as raízes comuns a f e 9 são O e 1.
h
Vamos impor fIo) = O e f(1) = O:
1(0) = O ==> 0 3 + 0 2 + a • O + b = O
f(1) = O ==> 1 3 + 12 + a • 1 + b = O
h = mmc (f, g).
assim, temos b = O e a
=
~
O
==>b=O
==> a + b = -2
=
e
9 = (x - 2)(x - 3)(x -4),então
(x - l)(x - 2)2 (x - 3)(x - 4) satislaz as condições Ml, M2 e M3,
2?)
Se
f = x2
-
1
e
portanto,
9 = x 3 - 1, então o mmc (f, g) é h = x 4 + x 3 - x - 1
-2.
por satisfazer as condições Ml, M2 e M3.
Resposta:a
=
-2 e b
Para resolver o problema "como obter h ~ mmc (f, g) 7" prova-se o seguinte:
F.324 Determinar as raizes comuns e as não comuns às equações;
x 4 + 4x 3 + 3x 2
-
4x - 4
=
O
e
x 3 - 2x 2 - 5x + 6
=
O
166. Teorema
F.325 Calcular as raízes comuns aos polinômios
f = x 3 - ax 2 - b 2x + ab 2
e 9=X 3 +bx 2 -a 2 x-a 2b.
Se f ou 9 são polinômios divisíveis por (x - a)m , então o mmc (f, g) também é
divisível por (x - a)m .
F.326 Calcular as raízes comuns aos polinômios
l=x 4 -1,
9=X 3 +x
e
h=x 4 -x 3 +x 2 -x.
F.327 Determinar a de modo que as equações x 3 - 3x 2 - 4x + a = Oe x 2 - 3x + 2 = Oadmitam
uma raiz comum.
162-f
Como conseqüência desse teorema, concluímos que se a é raiz de f e de g, com
multiplicidades m l e m2' respectivamente, então a é raiz do mmc (f, g) com multiplicidade igual ao maior dos números miou m 2 .
163-f
167. Suponhamos dados dois polinômios f e 9, não nulos, já decompostos em fa-
1
2
3
X2
x+ 2 + x- 2 -
tores:
= an(x 9 = bm(x f
a)nl'(x - p)n2(x _ oy)n3 ...
a)ml(x - p)m 2 (x _ a)m3 ..•
p,
onde as bases das potências (x - a, x -
x - oy ... ) são duas a duas distintas.
Decorre do teorema anterior que o mmc (f, 9) é o polinômio unitário produto
dos fatores comuns e não comuns a f e 9, tomado cada fator com o maior dos expoentes com que aparece em f e 9.
- 4
1 • (x - 2) + 2 • (x + 2) - 3
(x +2)(x - 2)
3x - 1
(x+2)(x-2)
3x - 1
Resposta: x 2 _ 4
F.332 Reduzir a uma s6 fração:
2
3
1
x-l+x+l-~
x4 + 4x 3 + 3x 2
F.333 Simplificar a fração algébrica:
Solução
Determinemos o mdc dos polinômios
Exemplo
f = 3(x - 1)2(x - 2)3(x - 5)7(X
9 = 2(x - 1)3 (x - 2)2 (x - 5)4 (x
+ 3)s
+ 4) 7
então
f = x 6 + 5x s + 7x 4 + 3x 3 e 9 = x4 + 4x 3 + 3x 2
x2 + x
x6 + 5x s + 7x 4 + 3x3
mmc (f, 9)
x4 + 4x 3 + Jx 2
o
mdc li, g) = x4 + 4x 3 + 3x 2
EXERCfclOS
F.328 (EPUSP-64) Determine o mmc e mdc dos polinômios
x l4 _ 2x l3 + x 12 e x2 - 1.
portanto
y =
x4 + 4x 3 + Jx 2
x4 + 4x 3 + 3x 2
-.:.:..-:--=-..:....::.:.._x 6 + 5x 5 + 7x 4 + Jx 3
F.329 Determinar o mmc e o mdc dos polinômios
f=x 2 -1, g=(x-1l 2 e h=x 3 -1.
x 4 + 4x 3 + Jx 2
1
F.330 Provar que se f é divisivel por (x - a)3 e 9 é divisivel por (x - a)2 então mmc (f, gl é
divisível por (x - al n com n ;;. 3.
Solução
Resposta: y = x2 + x
F.334 Simplificar a fração:
2x 4 + 2x 3 - Jx 2 - 2x + 1
x 3 + 2x 2 + 2x + 1
F.335 Resolver a equação:
(x - 1l 2 (x - 2)3 + (x -1l3(x _ 2)2 = O.
Devido às hip6teses feitas, temos:
f = (x - a)3 • ql
e
9 = (x - a)2 • q2.
1
-c--c--:-1-c--c--:-
Por definição de mmc (f, g), temos que este polinômio é divisfvel por f, portanto
mmc (f, g) = f • q = (x - a)3 • ql • q
então mmc (f, gl é divisíllel por (x - Q)n onde n é no mínimo 3 (x ;;. J). Notemos que
n >J se aé raiz de ql.
1
2
F.331 Efetuar a soma x + 2 + x _
J
2- xr:4
.
Solução
Fazendo f = x + 2, 9 = x - 2 e h = x2 - 4, temos que
mmc (f, g, h) = x 2 - 4 = (x + 2)(x - 4), então:
164-F
F.336 (EPUSP-63) Determinar as constantes A, B e C de modo que se verifique a identidade:
(x -1)(x 2 + 1)
F.337 Determinar a e
+C
-A- +Bx
-2x-l
f3
x +1
reais de modo que a igualdade
x
a
(j
-;(x-:+~I;-;):;-(x---:17) = -x-+-l + -x---l
se verifique para todo x E IR - {l, -I}.
F.338 Provar que se f e 9 são polinômios unitários, então f • 9 = mdc (f. g) • mmc (f, g).
16~F
RESPOSTAS
CAPITULO
F.2
3
f)
aI 5 - 3i
gl - 1 + i
bl 3 - 10i
F.3
F.4
i
h)
dI 3 - 5i
ai 17 + 7i
bl 5i
il ~+..!...-i
50
50
ai
F.19
1
b) - 1
cli
d) - i
248 (2 - j)
b) x
y ~ 3
~
2, y
cl x = 4, y
d) x = 1, y
2
=
1
~ =
=
1
2
X -
2.J3 y
real
z\
imag
z\: -(-2- x + "2yl
.J3
1
F.23
z=±2+3i
z = O ou i ou - i ou 1 ou - 1
F.24
z=
F.22
ai x ~ - 3,
2
F.14 x = ± 1
F.15 a = 4
F.16 impossível
F.H z = 3 + 2i
cl 36 - 2i
d) 53
ai 5 + 12i
bl 24 - 10i
F.7
F.9
_..!- + .!.
c) 2 - 2i
el - 2 + 2i
F.6
4.
5-5'
3
J2
J2.
2+ T'
ou
1
J2
n.
2
2
Z=- - - - ,
ou
x~-l,y=-l
el x
f)
~
2, y
=
O
F.l0
ad+be=O
F.12
a)
-i
b)
..!- - ..!-
cI
5+
2
2
i
2
11.
s'
d) i
e)
F.25
z=Á+ifi
x = 6, y = 2
_..!- - .!.. i
2
2
ou
Z=-A-ijf
F.29
ai 5
b) 2
13
di 1
c)
e)
I see eI
fi 25
167-F
...[2 11
11
F.3D a) 3 2Ieos +i. sen 4)
4
F.38
a)
F.42
ai
y
F.43
y
y
511
511
b) 10 leos 3 + i • sen ~
511.
511
2 (eos 4
+ , • sen 4)
cl 8 Y2
O
X
O
d) 11 (cosO + i • sen O)
(
11 +·.
e) 2eos
2
311
fi eos 2+
sen
sen
11
F.44
2)
2
311
2
a
hl Y2(eos 3: + i
F.31
a)
sen
4
3
y
Y
b)
511
sen
i) 2Y2 (eos!!.- +
x
y
b)
.
g) 2 (eos 511 +,·
sen
x
O
311
4)
x
x
F.45 aI u =
el
aI -3
x2 + y2 _ x
y
v =
x2 + y2
x2 + y2
bl Q descreve a reta v = 1 - u, excluI
do (1, O)
11
4)
y
bl 2V3 - 2i
c) Y2 + Y2i
2
c)
d) -5i
F.33 aI 2Y2
x
O
b) 4
dI
c) 13
dI 16Y2
e) 1
2
f) 1
F.35
x
00
v'1O
.!
2
leos 511 + i
3
511
cl 8 (eos
168-F
11
2
+
x
sen 3)
-1
11
-2
F.37 a) ~ (eos !!- + • sen 2)
2
2
Y2
711.
711
bl 2 2 (eos 4 +, • sen 4)
sen
11
2)
F.46 z = 12 + 16i
82
28 .
F.48
"13-"13'
d)
2
- 2 - [eos(are tg 3) + i • sentare tg 3)]
F.36
y
O
.!.. +.! i
2
x
-3
-4
F.49 O m6dulo é 4 e o argumento é 11.
J3.
1
F.51 a) -2-2'
el
b) 8i
c) 256
x
d)J2 + J2 - 2
2
2
e)
--.!- + J3 i
64
64
fi
169-F
F.53
cos 36 ~ cos 36 - 3 sen 2 6 • cos6
2
sen 36 = 3 cos 6 • sen 6 - sen 3 6
F.55
a) O
b) 6
cl 3
F.56
F.60
F.62
-3 + 2; e 3 - 2;.
; ou -i
F.63
2 ou 1 + ;
ou
-1 - ;
Y3 ou -1 + i Y3 ou
Y3 ou 1 - ; Y3
d) S - (~ + J3; -1 ~ _ J3
-22"22
-2
e) x =cosl
F.54
511
z=4
ar g
F.7l
cl _ 2 502
F.57
2
-2..[3
F.65
J3-2
+
~2~-;
ou
r::
cl x = V 2 (cos 6 + ; • sen 6)
;}
. J3 -1 !
'2'
'2
IJ
v E
{
_ .I J3}
2
'Tr- 911
711 1511}
8' 8 ' 8 ' 8
d) S ~ (I, -I, 2, -2}
y
-~-2~;
k = 0,1,2 ou 3.
a) S = (I, ; -I, -i, 2, 2;, -2, -2;}
4
Y3 + ;, -Y3 + ;, -...;3 - ;,
Y3 - i, -2;
F.66
J3-2
2
k11.
311
k11
+, • seniS + 2) com
2)
. C -2 1 _. S!-+
b) S = ( 1 + 'v
3,
,
'V J, 2
a) 3 + 4; ou -3 -4;
b) 3 + 2; ou -3 - 2i
cl 1 + 2; ou
+2J3
+
f) S = {3 _ ~ + 3 J3 i _ ~ _ 3 J3
'2
2'
2
2
a) - (1 + ;)
b) [zl = 2
311
8
;}
e)
S _ (.! + J3
-
2
'
I.!' J3 1 . J3 2 ~ _; J3}
2 '3 + \ :3 '-3' 3
3
2' - , 2 -\
d) -3 + ; ou 3 - i ou
1 + 3; ou -1 - 3;
F.58 a) 1 ou ; ou -1 ou -;
12 +,.
.
6C2 (J6 +
b) V"I.·
4
.
J6 - 12
4
)
x
ou
6C
V 2 • (-
12.12
2+
, T)
{/2 . (_
J6 - 12 _ ; •
CAPITULO
-1
triângulo equilátero
ou
J6
4
+ 12) F.67
4
c) -2V2+2V2iou
y
---+--~""'""~---~~
2V2-2V2;
d) 3J3
2-+ 3.I ou 3'I ou
2
F.72 a, b, c, e, g, h, ;, k, I
F.74 1(0) = I, 1(1) = 16, 1(-1) = O
F.75 a = 2, b = -2, c = 3
F.76 a = -I, b = 6, c = 1
F.77 a=-l,b=c=O
F.79
-1
F.80
3J3 3.
--2-+"2' ou
-3
J3
--2--
3J3
3.
2'
.
quadrado
ou -3, ou
F.8l
F.70a) S = { 12 + 12; _ 12 _ 12 ;}
2
2'
2
2
3.
-2--2'
1
J3.
1
J3.
el - + - , ou - - - - ,
2
2
2
2
!) 2 + 2
Y3 i ou
1
gl 1 ou "2+
1
ou
h)
170-F
J3.
2'
'2i_J6+J2i
b)S -_{J6+12·,
2
2 ' V "I. ,
2
2'
-4 ou 2 - 2
ou -
J3.
1
2
J3.
1
12
12.
12
oU
4
+
_ J6 _ 12; _.
2
J3.
+ 2 ' ou -1
-"2-2' oU2"-T'
-4- 4 '
Y3 ;
12.
4 '
c) x =
2'
r::
V 2 •
8
!2 ;}
12;
J6 _
2
2
V "I. ,
711
[cos( 16 +
k11
2)
sen( 711 + k11)
16
2
onde k E{O, 1, 2, 3}
+ ;.
11
F.82
-5
a = 9, b = -21, c =:3
impossível
ad = bc
p=O
-6x 2 + 36x - 56(x - 4)3 - Ix - 2)3
Sim, por exemplo, k ==
..1
af
2
=
O
a=0==>a 9 =1
{ a 0/=0 ==> ag = 2
2
3
If + g) Ix) = 12 - x + 5x + 5x
3
2
(g _ h) (xl ~ 3+ 4x + x + 5x _ x4
4
Ih - f) (x) = -5 - x - 4x 2 + x
4
Ifg) (x) = 14 + 21x - 26x 2 + 3x 3 - 4x
4
(gh) (x) = 14x - 21)(2 + 9~3 _ 3x + x S
F.98
Ih!) Ix) = 4;- 15x 3 + 15x 4 - 4x s
2
hlx) = 2x + 4
a = 8, b ~ -9, c = 3
p =O e q =O
ou
p = 1 e q ~ -2
F.88 a) a ~ b ~ c ~ O
b) a ~ b = I, c ~ 2
cl a=b=c=6
F.90 impossível
F.85
F.87
F.92
F.93
F.94
F.95
F.96
F.97
alf + g) ~ n
alfg) = 2n
F.l0l a = b = c = O
x3
x2
x
F.l02a) P=3+2+lf+ d
b) S =
nln + 1) (2n + 11
6
F.1046 nos dois casos
F.l05p-q-l
171-F
F.106 a) {q = 3x 2 - x + 8
r = -5x2 + 21 x - 11
q =
b)
{
x2
-
x
r=-x+13
q = 2x 3 - 2x
c) {
r=-x+12
F.109 a =
F.110 P =
3~
~
, b =
±...ri , q = 1
F.112 ad = bc
''''.1
{::~.t
2
b) {q = x + 2x - 1
r = O
cl
d)
{qr
{qr
=
=
O
5x + 1
F.122 n
CAPITULO 111
F.123r~1
F.124 r = na
F.127 a = 2
n
7
="3'
bl {q = x + 3x 2 + 9x + 127
r = 162
3
cl
{q = x4 + 2x 3 + 4x 2 + 8x + 16
r = 64
q = x4
-
d) { r ~ -64
2x 3 + 4x 2 - 8x "" 16
q
cl S
=- ""3
172-f
F.191 S = {-6, 3, -2}
t/J
b) grau 5; S = {-4,
c) grau 10; S =
F.135 { pé ,?"r
q é Impar
F.165 S
F.136c=0
F.137 ai {q = 5x 3 - 27x 2 + 82x - 246
r = 725
b)
{
q ~ 81x4 + 54x 3 + 36x 2 + 24x + 16
128
r~
q =
3
3
2
13
4
b)
51
r =
4
di
F.138 r = 257
F.143 p = -3, q = -2
~
b
~
3
2"
-l+iv'3
2
F.173
F.174
F.175
x4
x4
,,5
F.194 S =
(tripla)
{-Y3 , Y3 , 1-i../6,
F.195 'Y =
2i (quíntupla)
- 2x 3 - 9x 2 + 2x + 8 = O
- 5x 3 + 3x2 + 15x - 18 = O
_ x4 + 2x 3 - 2x 2 + x - 1 = O
F.177 S = {2, 2i, -2i}
F.179 aI soma = 2
produto = 5
b) soma ~ -7
produto ~ 1
cl soma ~ -2
produto = -5i
F.1BO 47
F.183 4
1 +
cx/3
F.196S={2, -2, 3}
F.197 S = {-5, -2, 3}
F.19B S = {1, -3}
F.199S={2, 3, 5}
F.2Dl S
~ {~,
F.202 S ~
-1}
{-6, -4, 3}
F.203 S = {-1, 2, 4}
~ {1~
, 3, 2}
F.205 m = -3
J
.
r.:
r.:
F.2D7 S = ,3 - V 7, 3 + V 7,
-2 + 2.J6}
5
F.20B p = 4, q ~ 3
_ Cl
(tripla)
+}
i../6}
F.204 S
(dupla)
2
F.146 q ~ 5x4 + 4x 3 + 3x 2 + 2x + 1
F.151 df ;;;. 3
F.155r=x+3
í ' i}
-l-iv'3
c = O
F.148 a = n, b = -n - 1
F.149 a = 2, b = 1, m = 3
{-1, -
F.192 S = {2, 3,
{...ri, -V2}
-1 (tripla)
5 (simples)
cl 10 (quíntupla)
2 (simples)
di {q = 4x 2 - 4x + 10
r=-18x+21
F.144 a
~
~}
F.1663, -3, 2 e -2
F.167 ai ± (1 + i)
b) 2 + 3i e 1 + 2i
F.16B P(x) = -4x 3 + 12x2 - 8x.
F.169 (1 - x) (x + 21 (x - 5)
F.170 a) -4 (simplesl
i (simples)
-i (simplesl
x2 + - x + -
q ~ x 5 + x4 + x 3 + x 2 + x + 1
{ r=O
F.156 R(x) = 3
f) {q = x 5 - x4 + x 3 - x2 + x - 1
F.157 R(z) = Ali) + AI-i) + A(-õ) - Ali) • iz
r = 2
2
2
4
3
2
q = x + 3x + 9x + 27x + 81
2
g) { r~486
x
3
F.158 r = 8 + x + 2"
4
3
2
h) {q ~ x - 3x + 9x - 27x + 81
r = O
F.159 P(x) = x4 - 3x2 + x + 3.
e)
=
F.163 a) grau 2; S = {1, 7}
= x +2
= -x + 7
3
2
{q ~ x - 3x + 9x - 27
r ~ O
3-i..Ji5 } F.188S = {1, 2, 6}
6
F.189 S = {2, -1, 3}
b) S = Q;
14
F.130a = O, b =-2
F.132 f = x 2 - 5x + 4
F.133x 3 + x2 -4x + 2
cl {
F.121 a)
S~{3+i[15
F.162a)
F.12B P =..!l!.
25
F.l29 P
F.1B7 S ~ {1, 2, 3}
F.161 m = 2
S-
-2 - 2JG
5
'
+ iJ3 -1 - iJ3 -1 + in
2
'
2
'
2
'
-1 -
in}
2
F.210 m = 6 e S = {1, 2, -3}
ou
m ~ -6 e S ~ {-1, -2, 3}
F.211 q2 + p + 1 ~ O
F.213 S ~ {-2, 2i, - 2i}
x 3 + 2x 2 + 4x + 8 = O
F.214 p = -2 e q ~ O ou
p=-leq=-l
F.215 m = 1 e k = -8
F.216 -2 '1092 - 4 'log3
F.219 x 5 _ 2x 4 + 3x 3 - 2x 2 + 2x = O
173-f
F.221
X6 -
3x s + 3x 4 - 3x 3 + 2x 2 =
o
0+ (5) = {1, 5}
F.222 $ = {i, - i, iy2, - i..;2}
cl 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6,
F.223 $ = {-1, 2 + 3i, 2 - 3;}
12 -12 ~ -~ ~ _~ ~ _~
,
'5' 5'5' 5'5' 5'
F.225 a = -2 e b = 15
F.226 $ = {1, i, -i}
F.227 Plx) = x 4 - 1, $ = {1. -1, i, -i}
F.228 $ = {2 + i
F,230 nenhuma
F.231
0, 2 -
4
4
6
6
12
12
-2,~, -~}
F.276 $= {1, -1, 2,
5'-5'5"'-5"'5'-5
iy3, -2 + i, -2, -i}
F.269 Plx) = 3x 7 -147x s - x 3 + 3x 2 + 16x - 80
O(x) = 3x 6 + 21x s - x 2 - 4x - 12
R(x) = -164
Hx) = x - 7
F.271 2x 4 - 3x 3 - 7x 2 + x - 5 = O
F.239 1, -1, 2, -2, 4, -4
F.240 Não, pois o coeficiente de x m é 1. As
eventuais raízes inteiras são os divisores
b - 3a +
F.277 $
=
2a
b - 3a - J'b-=-2---6-a-b-+-5-a-=-2}
de amo
2a
F.242 x = 6
F,243 x = 5
F.278 a = -
g }
F,244 $ = {2, 3,
F.247 $ =
{t,
{l,
F.232 O <a < 14
F.233 a raiz é negativa
-1, 2}
F.281 $ = {- 1, 2,
-1, 2, -3}
a.
{3,
r
e $2
F.238 0(12) = {1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, F.258 $
=
2 ' 2
{-1,
f,
F.259 S = {3 3 + i
,
2
1 +
J7
-
=
Vi 1 - v'2}
'
3- i
2
J7}
F.266 h deve ser raiz da equação algébrica
O
=
O
F.268 y
=
1
-3'
-3}
J5) ± i JTõ - 2 J5 - (1 - J5) ± i J1õ + 2 J5}
4
' l
'
4
2
2
vS
F.286 $ = {1 +
± -,h + 2 J3, 1 F.287 14, 12, 36, 108, 324) ou vice-versa
vS ± i Y'2---:J3==-3---3}
x - 2 = O
CAPITULO IV
F.265 2 y 3 + l1 y2 + 21y + 13
1
F.283$= { -"2' -2,
CAPITULO V
12, -12}
F.263 y3 - 4y 2 + 32y - 192
F,282 $ = {-1, i, -i}
{..!. ~}
F.257x 4 - 5x 3 + 7x 2
F,237$={-3,l +i,l-;}
}
1-iJ3}
2
F
{ 1 .J31 . J 3 c
.285 $ = -1'"2 - '
' 2 + , ,2 + V 3,2 - V3C}
F.254 a) x 3 - 6x 2 + 6x - 5 = O
b) 3, 4, 5, 6
F.255 $ =
< r < 2.
-V3}
~}
F 284 $ = J -(1 +
{a, b}
{Vi - v'2}
-2 <a<-l, -1 <{3<0
e 1
{1, -1, -4}
F.252 Não, pois SI =
F.236 P tem três ra(zes reais:
b = 3, c = -1
F279$={13+.]5 3-.]5 l+iJ3
.
'2'
2
'2
F.251 $ = {2, 3, 4}
F,234 b) t = 1 cl x = ~
2
2"'
S= {1, -1, i, -i, 2 + J3,2
F.249 $ = {1 -1 2 ~ -3 + J5 -3 - J5
,
, '2'
2'
2
F.250 $ =
1
5
F.245 $ = {1, 3, 5}
F.248 $ =
J'b72-_-6-a-b-+-5-a72
{ 1,
x- 1
F.288 a) f'(x)
b) I' Ix I
c) f'lx)
d) I'(x)
e) I'lx)
fi I'(x)
gl f'(x)
h) I'(x)
i) I'(x)
j) f'(x)
k) f'lx)
= 12x 2 - 5x + 11
= 3x 3 + 2x 2 + x + 1
= 12x - 13
= 12x 3 - 12x 2 - 8x + 23
= 6x 2 + 18x + 13
= 5(3x 2 - 7x + 4)416x - 7)
= 21 (3x - 51 6
= -10(3 - 2x)4
= 3x 2 + 2x - 1
= (x + 1)2(x + 21 15x + 8)
= (x 2 - 3x + 4)2 (2x - 1) 116x 2 - 36x + 25)
F.291 f'lx) = 21x 2 - 22x + 5
f"lx) = 42x - 22
f'" (x) = 42
flnl(x) = O, para n
3
>
174-F
175-F
F.292 f(8) (x I
=
o
0
F.293 1 ) k = -
+
F.316 P.A.: z =
2?) a = 21, b = 51. c = - 77
3?) a(x) = 5x 2 + 26x + 77
F.298 S = {1, 2}
F.299 ai 2 é raiz dupla
4 é raiz dupla
b) 1 é raiz tripla
-2 é raiz dupla
S = {1, -2}
F.304 a) À = -5
ou
À
P.S.: a
F.317
F.318
F.319
F.321
F.322
F.324
F.296 Não.
F.297 1 é raiz tripla.
F.3llO
1f
a = "2 +
F.315 b)
=
27
< <
b) -5
À
27
F.3116 uma raiz tripla: p = O e q = O
uma raiz dupla: 4 p 3 + 27q 2 = O
F.325
F.326
F.327
F.328
k1f ou
1f
a = '4 +
k1f
1
. J3
'2± '2
= -
3, b = 3 e c
=
mdc (I, g) = x 2 + x - 2
mdc (I, g)
x 2 + 3x + 2
mdc (I, g) = (x + l)(x - 1)
mdc (I, g) = (x - 2)(x - 4)2
mdc (I, g) = (x - 1)3 (x + 1)4
comuns: 1 e -2
não comuns: 3 e -1
a e -b
i e -i
a = 6 ou a = 12
mmc = xiS _ x 14 _ x 13 + x 12
mdc = x - 1
F.329 mmc = x S - x 3 - x 2
mdc = x - 1
TESTES
-1.
NÚMEROS COMPLEXOS
TF.l
(CESCEM-68) Os números complexos x e y para os quais:
x + Y • i
xí + y '--- 2i - 1
São respectivamente:
n)
1 + i;
di O; 1
+
TF.2
=
iz + 2z
x2 - 1
V
F.309 27p 4 + 256q 3 = O
x=
e)
nenhum dos anteriores
1 - ;
cl
2
1 + i; 1 - ;
+ 1 - i "-- O é:
bl -1 + i
cl
1 - ;
(CESCEM-7ü) A potência enésima
di 1 +
el -1 - ;
I
(n inteiro) de um número imaginário puro é:
a) sempre um número imaginário puro
b) sempre um número real negativo
=
{l,
-3}
F.311 m = -3 e S = {-1, 2}
=
TF.3
~
F.310 m = -6 e S
F.314 k
ai -1 + 2i
3
- 3x +
x2 +x + 1
F.334 2x
1 - ;
2
(PUC-74) O número complexo z que verificJ a equação
F.332 5x - 2
F.308 m = 1 ou m
bl
1
F.3074p 3 = 27q2
23
i
19
.12 7 .12}
7
s= {-1'3'+'3'3-'-3-
F.336 A
=
..!- . B
2'
=
C =
c) sempre um número real positivo
1
d) nulo ou um número imaginário puro
2
e)
F.337
a = íJ
nenhuma das anteriores
1
= -
2
TF.4
(MACK-73) A igualdade
+
(1
i)n
0;=
(1 - i)n
verifica-se para todos os números na-
turais divisíveis por
ai
e)
TF.5
cI 3
bl 2
di 4
nenhuma das respostas anteriores
(MACK-77) Sejam os números complexos u = 1 + i e v ::::: 1 - i. Então u~2 • v-~l é
igual a:
ai V
TF.6
cl 2v
bl u
(FEI-721 O número complexo
a)
imaqinário para
V
di 2u
( ~In
.
1
-
I
e)
não sei
'.
e.
b) pOSitiVO para n múltiplo de 2
n
c) positivo para n da forma
4
It + 1
d) complexo déJ for-ma o + bi com a
*
O
e) conforme n pode valer 1, i, -1 ou -i
TF.7
(MACK-751 Dado
1 + i é:
f(zl _ z4 + iz' - (1 + 2ilz 2 + 3z + 1 + 3i, o valor de I no ponto
2 '----
ai
176-F
1 + i
bl 211
I
il
cI 3 + i
di 7 - ;
el 8 + 5;
177-F
TF.S
(ITA-75) Se
e l1
li
são números complexos,
II
TF.16 (PUC-74) Na forma trigonométrica o número complexo
+ Z2 e
II
z2
•
são ambos reais,
então podemos afirmar que:
Z
ai z, e 22 são ambos reais ou II co:: Z2
bl ZI e z, são números complexos não reais
cl zl e z2 são números reais IrraCionaiS
di ZI é número complexo puro e z, é número real
el nenhuma das anteriores
TF.9
(MACK-77)
o
número
(a
aI
+ bi)4, a e b reais, é real e estritamente negativo se e
el
di a
=
*
O
*
O e b
o
TF.l0 ICESCEM-681
ai 1 - i
bl b
O e a
cl a*O
O
±b
conlugado de
br _ 1 + i
bl 1 + i
rcos
-
i sen
31T.
-
-
i
el 11 - il- 1
1 + i
1
~
di V 2 -cos
431T
2~
]
4
31T
+ i sen 4
31T ]
4
= P • Icos
e Z2
l\
cp
cp
+ i • sen cpl
+ i • cos
são conjugados
II
cp I
b) ZI + z2
é um número real
e) zI - iZ 2 é um núme~o real
d) zl
• z2
é um número real
+ iZ 2 é um número real
: : I-I. é:
TF.18 ICESCEA-741 Seja
el 1 - i
di i
cl i - 1
a)
c)
Z =
. r:: r
431T 1
z2 = P • Isen
d)
V2
TF.17 ICESCEM-701 Dados os números complexos:
vale:
+i
bl _1_ [cos 31T + i sen
4
sen -
I
4
ZI
1 + i
cl
V2
fica:
b*O
el não sei
TF.ll IPUC-771 O conjugado do inverso do número complexo
ai -i
e
1
-~
2
31T ]
+ i sen 4
cl V ~2 [31T
cos 4
somente se:
ai a
V22 [31T
cos 4
11 + iI
1 - i
co::
v'3
o produto dos números complexos
Z
+i e
~2
11 +
V3 il.
Então, o módulo e o argumento de z são, respectivamente:
TF.12 (EPUSP-671 Sejam u e v dois números complexos tais que u 2 - v2 :: 6 e IT
(O
ai 4 e 30°
e li conjugados de u e v). Então u - v é igual a:
e)
bl 1 + i
ai 1 - i
e)
+ li:: 1 - i
cl 3 - 3i
são reais. Se
x - iy
x + iy
=
a e b
a + ib
Z =
x + iy
TF.19 IUNICAMP-671 O módulo de
um número complexo não nulo, onde x e y
são númeroS reais tais que:
<
=
TF.14 (EPUSP-65) O quociente do número complexo
nulo
c + id
a) ~
c
d
b
di a + c + b + d = O
a + ib
pelo número complexo não
=
c +d
cl ac
=
bd
a)
cos x
178-F
Ix * k1T + 2 • k inteirol é:
tg x
1
bl sen x
di sec x
cl 1 + tg2 x
1
TF.21 IMACK-75ISe z+,=-l, então o valor de
Izl
é:
e) nenhuma das respostas anteriores
xey reaisl;
1
z +z
cl 1
bl O
ai 2
di 2
TF.22 IMACK-741 O número complexo z = a + bi é tal que
bl x 2 + y2 + 1 = O
el y = O e i z 1 = 1
el 4
é real se
e somente se:
1
cl 1
e) nenhuma das respostas anteriores
z=x+iy. x 2 +y2*01i 2 =-1.
ai x 2 + y2 - 1 = O
di x = O e Z i = 1
a e b reais, é:
1T
1 + i
1
TF.15ICICE-681 Seja
bl 2
para
nenhuma das respostas anteriores
di a 2 + b 2 = 1
1
será um número real se
bl a + b
a + bi
a - bi
TF.20 IFFCLUSP-691 O módulo do número complexo
cl a = b
bl a = -b
ai a2 + b 2
e)
podemos afirmar que:
ai i a I + 1 b I
1
el a> O e b > O
di 6 e 90°
di 3 + 3i
nenhuma das respostas anteriores
TF.13 ICESGRANRIO-771 Seja
bl 12 e 80°
não sei
cl y = O e x 2 + y2 = 1
ai a
=
-b
bl a
=
b
cI a = 2b
l-i
1-z- 1
di a = 3b'
= 1.
Então:
el a=-7b
179-F
TF.23 IMACK-731 A solução da equação
lo:
a)
2.
b)
4
..j5
1
z 1 + z = 2 + i é um número complexo de módu-
di
1
c)
.J5
e)
2
~
c)
então o número complexo
TF.31 IITA-741 Seja
a) de valor absoluto 1
b) imaginário puro
di real
e) nenhuma das respostas anteriores
e
Iz,l = Izzl = 2
bl z, = zz
e
I
Z11 =
=
a)
b)
c)
d)
e)
2. Então temos:
V2
Izzl = v'2
1
todos os 2k, k = O, 1, ...• 4 então sobre uma circunferência
todos os zk, k == O, 1,
, 4 estão sobre uma reta paralela ao eixo real
todos os zk, k = O, 1,
,4 estão sobre uma reta paralela ao eixo imaginário
a equação não admite solução
nenhuma das respostas anteriores
TF.32 IMACK-75) Os números complexos z tais que Iz - a) (, - ã)
e r real, representados no plano de Argand-Gauss, formam:
zzl =
c) Zl = Zz e Iz,l =
di z, + Zz = 2a e a Z + yZ = 4
e} nenhuma das respostas anteriores
TF.26 (PUC-70) Se b ~ 2 (cos 30° + i • sen 30°1 e z = p • (cos 8 + i • sen 81,
correspondentes a b, b + z, b + Z + iz, b + iz são os vértices de um:
a) trapézio
d) quadrilátero qualquer
os afixos
b) losango
c) quadrado
el nenhuma das respostas anteriores
a)
c)
d)
e)
uma
uma
uma
uma
TF.27 (UNICAMP-671 Dois números complexos, não nulos, estarão representados, no plano
complexo, sobre uma reta que passa pela origem:
TF.33 (MACK-76) Seja
c) somente se seus argumentos forem côngruos a
1T
2
a)
0< x < 2
b) 1 ,,;; x
<: 5
cl -1";;x";;2
°,,; x ,,;; 3
di
el O
<x<3
e
e
Iz -
31 = 2. Então, necessaria-
O< < 2
y
-2";; Y ,,;; 2
A={zE<I:llz-tl";;1}
e -3";;y";;3
e
O";; Y ,,;; 3
e y não tem restrição
180-F
b) 2
c) 3
=
a r bi
e
e
b";; 3}.
então no plano de Argand-Gauss,
A
n
B
é:
bl uma semicircunferência
dl uma circunferência
do ângulo
z;ü?;"
é:
TF.35 ICESCEM-741 As funções hIperbólicas coshL e sen hz são definidas como:
e Z + e- z
cosh z = - - 2 - 2
TF.29 tMACK-77l Representando-se graficamente, no plano de Argand-Gauss, os números
complexos z tais que z2 = Z I, o número de pontos obtidos é:
al i
um número complexo. Se
TF.34 ICOMBITEC-COMBIMED-75) Sejam O, zl e Zz as representações gráficas dos complexos O, (2, +3) e (-5, -1 I,
respectivamente. A menor determinação positiva
e) nunca
TF.28 IMACK-74) O número complexo z = x + yi é tal que
mente:
t = 2 + 3i
a) um conjunto v~zio
c) um semidrculo
e) um círculo
a) se seu produto for um número complexo
b} se seu quociente for um número real
rZ, com a complexo
reta
bl uma parábola
elipse com focos em a e a
circunferência com centro em a e rala r
hipérbole
B ~ {z E <I: 1 z
dl sempre
um número complexo, solução da equação
Podemos afirmar que:
z,=a+xi e zz=a+yi, a*O, x*O
21· Z2
Zk
c) não real
TF.25 IITA-76) Suponhamos que
a) zl =zz
todos os pontos x + iy tais que y ~ 2
e) diferente dos quatro anteriores
é:
são dois números complexos, tais que
do plano com-
d) uma reta
e 1 +zw*O,
z+ w
1 + ZW
z = x + iy
a) o conjunto vazio
b) uma região não limitada do plano
2
TF.24 IFFCLUSP-69) Se z e w são dois números complexos quaisquer tais que
Izl= Iwl=1
TF.30 (CESGRANRI0-COMCITEC-73) O conjunto dos pontos
plexo que satisfazem Iz - 11 z = 2x e y;;" 2 é
d) 4
el não sei
onde z = x + iy e eX + iy =; e Z = eX (cos y 1- i sin y)
Nesws condições, podemos dizer que cosh z é igual a:
a) sinh x • sin y -f i cosh x • cos y
b) sinh x • cos y , i cosh x • sin y
c} cosh x • cos y + i sinh x .- sin y
d) cosh x • sin y + i sinh x • Cos y
e) cosh x • sinh x + i sin x • cos y
181-F
TF.36 (CESCEM-72) Considere-se o conjunto K dos números complexos da forma
a _ bi
onde a e b são números racionais. Indique Qual das operações seguintes pode não
ter resultado em K:
a) adição
b) subtração
di divisão com divisor não nulo
c) multiplicação
e) radiciação
d) -1
+
PO)
x 2 - 2x.
P(x)
b) -2
2i
o valor de
P(l
d) 6
cl 7
TF.38 (MACK-73)
b) C é o conjunto de todos os polinômios da forma
cl O
o.,
+ aI + ao
P(xl =
P(x)
aox 3 + bx.
é Um polinômio.
TF.46 (ITA-69) Seja C o conjunto de todos os polinômios P(x) de grau 2 que se anulam para
x = 1 e x = 2. Seja D o conjunto de todos os polinômios P(xl de grau 2 que se anulam
é a soma dos coeficientes do polinômio p(x),
A soma dos coeficientes do polinômio
de grau 3. tais que
e) C tem apenas um elemento.
d) C tem uma infinidade de elementos.
ai nenhuma das anteriores.
= an x n + an . t x n · t + ... + at x + ao
p(x)
P(xl
ai C tem apenas dois elementos.
+ il será:
e} nenhuma das anteriores.
a n + 8 n _1 +
bl 3
a) 4
é:
TF.45 (ITA-701 Considere o conjunto C dos polinômios
= P(-x) para todo x real. Temos. então. que:
TF.37 (CESCEM-69) Dado o polinômio
+
Ílx 2 + x + 1)s - (x lO + 2)} : (x 3 + 11
e) nenhuma das respostas anteriores.
POLlNÓMIOS
a) P(l)
TF.44 (GV-70) O grau do polinômio quociente resultante da operação
(4x 3 - 2x 2 - 2x _ 1 )36
a) O
b) -36
cl 1
e) impossível de calcular no tempo disponível.
é
para x = 1, x = 2 e x = 3. Então uma das afirmações abaixo é verdadeira.
d) -1
a)
bl a união de C com D é igual a D
d) D está contido em C
C= D
cl C está contido em D
ai nenhuma das anteriores.
TF.39 (CESCEA-701 Seja
P(xl
P{O) = -20
um polinômio do 2? grau tal que:
P(l) + P(2) = -18
Então, o conjunto de todos os
a) (x E IR
cl (x E IR
e)
(x
Ix
I4
E IR I
x
P(l) - 3 P(21
< -2 ou x > 101
< x < 5)
< -20 ou x > 1)
b) (x E IR
d) (x E IR
Ix < 4
I -2 < x
di f(4)
<O
>6
TF.41 IITA-701 Seja
se o termo independente for nulo.
11. Um polinômio de grau m terá, no máximo, (m + 1) termos não nulos.
111. Dois polinômios serão do mesmo grau quando possuírem o mesmo número de ter-
> 5)
mos.
b) 0< f(4) < 3
fiO) = -2 f(1)
3'
uma função real tal que
f(x) = ax 3
+
bx2 + cx
f(x) = O para todo
+
e) nenhuma das afirmaçães acima é válida
c) f (6)
x do conjunto
1 = P(1)
di -2
e) 68
cl i
dI 2i
e)
nenhuma das anteriores
r(xl uma função racional. Ela pode ser representada de forma única
. PO I'InomlOS
-..
P(x) on d e Q(I
t
primos entre SI. QTX1
x tem o coe f""
lelen e
dOIS
do termo de maior grau, unitário. Nestas condições, definimos ordem K de r(xl como:
K = [2 X grau (q(xl)
L2
TF.43 (CESCEA-701 O coeficiente da maior potência de um polinômio P(x) do 3? grau é 1.
Sabendo-se que P(1) = P(2) = O e P(3) = 30, então PH) vale:
18
bl 1 - i
como o quociente de
bl P(OI = 3
cl P(OI = 9
e) nenhuma das respostas anteriores
cl
a) -i
TF.49 (CESCEM-71I Seia
TF.42 (ITA-771 Se P(xl é Um polinômio do S? grau que satisfaz as condições
= P{21 = P(3) = P(4) = PIS) e P(6) = O, então temos:
bl 66
an o coeficiente de x n num polinômio de coeficientes complexos
1 + ia n (n ;;. OI. então a30 é igual a:
de grau 30. Sendo ao = -1 e an + I
TF.48 (EPUSP-681 Seja
d, para todo
= a+ 3
b) f(6) = a + 2
d) t(6) = d
182-F
cl somente II é verdadeira
el nenhuma das respostas anteriores
a) f (61 = a + 1
ai 48
b) somente I é verdadeira
d) somente 111 é verdadeira el todas são falsas.
2, 3, 4, S}, temos, então, que:
a) PIO) = 4
d) P{OI = 2
então
a) todas são verdadeiras
cl 3 < f(4) < 6
x real, onde a. b, c, d são números reais. Se
Ú,
I. Um polinômio cujo termo de maior grau é Aox m , (Ao *0), será do grau Im - 11
ou x
< 10)
TF.40 (EPUSP-67) Se f(x) é um polinômio do terceiro grau tal que
f(2) = 1 e f(31 = 6, então·
ai f(4)
TF.47 (CESCE M-75) Considere as proposições:
6.
P(x) < O é:
x para os quais
x grau de (p(x)1 -1
Assim, dado o polinômio
ai 1
bl 2
se grau (p(x)) é grau (q(xll
se grau (p(x)1
r(x)
cl 3
>
grau
3x 2 + 2x - 1
x - 4
d) 4
(q(x))
a ordem de
e)
r(x)
é:
S
183-F
TF.56 (GV-731 Um, e somente um, dos polinômios abJixo satisfaz a relação
TF.50 ICESCEM-701 P , (xl é um polinômio de grau n tal que:
i- o.
P, (OI
isto é. P , (xl
c
aox n ~ a,x n , + ... lao
'*
Plxl - P(x - 1 l-x. para todo x real.
O)
Assinale-o.
e
x
então
P2 (xl
c
O
é:
l.Jl um polinômio de grau n
b} uma função racional não inteira
c) uma funç50 irracional
d} uma função transcedente
I
b)2 -
x2
di P(xl
- x
-I-
1
2
- 2
-l--X
3
e P31xl são linearmente indepen-
alPl
e
P3Ixlcx2~2x+2
Pl (xl
=
x 2 -t 2x
-I-
1,
são:
e) nenhuma das anteriores.
TF.58 (PUC-72) Os volores de m, n e p p<.lra que a expressão
cl 10
di -2
2x 2 -I- 17
seja idêntico à expressão
2 ) (x 2 -\- a 2 ), com a
Im - 1 Ix31 (n - 21x 2 + (p - 31x + 8
2x 2 -\- 3x -\- 4
di 2
>O
e
b
> O,
a(x 2
+
x
+ li +
el 8
devemos ter para a - b
seja independente de x silo:
"I mcl mel m ~
n
n
5
5
n = 3
~
~
pc 2
pc 4
p - 6
TF.59 ICESCEA-731 Determine a e
o
bl-3
cl-l
e) nenhuma das alternativas
n
n
bl m
di m-
~
~
6
4
p
p
~
9
6
b de modo que a expressão
3x 2 +5x-8
não dependa de x. Então, a -\- b é iguJI:
ai -10
d) não sei.
TF.60 (GV-71) Simplificando-se a expressão:
x 3 l° x 2 - x -
x 3 +8
Ix+lllx+21
x2 - 1
3B
3A
cl 8
bl 10
C2A
B
bl C 3A3
e
e
D c
CD2
B2
B2 A2
obtém-se
ai
2x S -\- 4x 2 - 3x -\- 9
(x + 112 Ix _ 11 (x + 21
bl lx - 11 (x+ll(x+21
cl
2x 2 +x+2
Ix + 11
di
27A3
B2
B3
e
di C - - D
3A
27A'
e) nenhuma das <mterlores.
184-F
2
-+ 1 é identicamente nulo,
TF.55 IITA~~691 Os coeficientes A, B. C e D do polinomio Plxl - Ax 3 + Bx 2 + Cx + D devem
sJtisf<.1zer certas relações para que P(x) seja um cubo perfeito. Assinale a opção correta
paro que isto se verifique:
cl BC
2- x2
3x 2 -1üx+b
ai 1
di 3
D
CC-
são linearmente dependentes (L. D,), Os polinômios
v<:llor
ai
bl Plxl
ai L. I.
bl nem L. I. nem L. D.
c) L.1. se Dl (x), D2 (xl e P3(x) tiverem as r<.lÍzes reüis.
di L. D.
TF.53 ICESCEA-751 Sabendo que a. b e c "10 tais que x 2 - 2x -\- 1
-\- (bx + c) (x -\- 1) é um<.J identidade, o valor de a -\- b -\- c é:
(x 2 - (
3
I
(xl + 32P2 (x) + él3P3(x);::; O implica ai -,-- 32 33 - O,
são números reais. Caso contrário, dizemos que P1 (xl. P2(x} e
a,. a2. iJ3
P2(xl~x2+1
x
(m -\- n - 3) x -\- 2m .. 5n
ai
bl 5
cl 4
e) nenhuma das alternativas anteriores.
(x 2 -I-
el Plxl
x2 + x
P3(x)
TF.52 (GV-71) Se m e n sao taIs que o polinômio
TF.54 (GV-72) Para que o binômio
x 2 + 3x
onde
ai X" + x -\- 1
bl x 3 - 3x
cl 4x 2 + Ix 3 - li + 2x
di x 2 + x
el 4x' - (x 2 + x 3 1 -\- x 3 + 2x - 3x 2 - 2x
bl -6
cl Plxl
2
2
dentes (L. I.) se <J relação
TF.51 IPUC-731 Qual polinômio übJixo é identicamente nulo?
-+
~X2 + -1 x
TF.57 IITA-681 Dizemos que os polinômios p, (xl, P2 (xl
e) nenhuma das resposws anteriores.
(mn - 2) x 3 -\- (m 2 - n 2 - 3) x 2
então, m 2 -\- n 2 vale:
ai Plxl
el
x 4 I 2 x 2 - 3 x-\-1
x- 1
xl
2
2x 2 -\- 5
x+1
185-F
TF.67 ICESCEM-671 Dados os polinômios
TF.61 ICOMSART-731 A expressão:
2x + 4
x 2 + 3x + 2
3x - 3
+ ---
x 2 + 2x + 1
resto da divisão do polinômio
x2 - 1
a)
é equivalente a:
c)
x + 2
oi Ix + 1)2
bl x
cl _ _ L_
x 2 + 2x + 1
x - 2
di Ix + 112
e)
um polinômio de grau
b) um polinômio de grau
P(x}
Plxl
por
1 + x
~
n
d) um polinômio identicamente nulo
e)
um polinômio de grau menor que
m - n
TF.68 IE ESCUSP-661 Seja O o quociente e R o resto da divisão de um polinômio A por um
polinômio S. Então, quando A é dividido por 28:
A e B tais que:
A
= --;- +
cl o quociente é
B
_x
são respectivamente:
bl 3 e 2
6 - 5x
x 3 __ 5x 2 + 6x
TF.63 IITA-771 Se
raízes da equação
-O
2
x3
-
A
B
C
;-::-;; + x- b + x- c onde A, B e C são reaise a. be c são
bl A
di A
~
~
2; B
5; B
~
~
TF.69 (CESCEM-701 Dividindo
4; C ~ 1
2; C ~ 1
1
1 •3 + 3 •5 +
1
50
1
+
ai 1
bl -1
M
+ ... + 12n - 1112n + 1 I +.
_A_ + _B_ I
2n - 1
2n + 1
e) n50 seI.
Pllxl
=
ai 21x 4 _ x 3 + x 2 - 2x + 11
cl 21x 4 - x 3 - x 2 - 2x + 11
e) 21x 4 _ x 3 + x 2 + 2x - li
P 2 1xl
=
(x + 11,
é:
bl 2(x 4 + x 3 _ x 2 - 2x + 11
di 21x 4 + x 3 - x 2 + 2x - 11
a) x 2
x2
el x 2
x 4 + x 2 + 1 por Dlx} =
Plxl
+ 1 são, respectivamente:
x e x- x - 1
e x +
+ x + 1 e O.
-
x
do dom(nio de
plxl ~ 2x 3 + x 2
4
x - 4
1
-el 2x + 1 + x2 - 1
bl - x 2 - x di x 2 + x e
e
x
-x + 2
F, tem-se:
-
8x
e
-x - 3
x - 3
x 2 .. 4,
qlxl
então
p(xl
qlxl
é
bl 2x + 5
4
di 2x + 1 - - 2 - x .. 4
TF.72 (ITA-71I Dividindo O polinômio Plxl = x 3 + x 2 + x + 1 pelo polinômio Olxl obtemos
o quociente Slxl = 1 + x e o resto Rlx) = x + 1. O polinômio Olxl satisfaz
ai 0121
TF.66 ICESCEA-751 O quociente e o resto da divisão de
= x2 - x
-2x - 6 + 13 - xlix - 41
+-2
cl 2x +
'21
cl x 2 - x + 1
31x - 211x 2 - 11 - 12x - 411x 2 + 31
ai 2x +
TF.65IPUC-771 O quociente da divisão do pol inômio
por
(x 3 - 4x 2 + 7x - 3) por um certo polinômio p(x) obtemos
ai Flxl ~ x + 3
bl F(xl
cl Flxl ~ -x + 3
di F (xl
el nenhuma das alternativas anteriores é correta
TF.71 ICESCEM-771 Se
di 2
x 5 + 3x 2 + x -
R
2
é:
então, para todo
(2n -1112n + 11
R
Alxl
F Ixl . Blxl
1
(Determine duas constantes A e 8 tais que
2..2
di o quociente é 20 e o resto
bl x 2 - 3x + 2
B Ixl
TF.64 IMACK ..771 O valor de
1
R
2
e o resto
e) nenhuma das anteriores
TF.70 IMACK ..761 Se Alxl
nenhuma das anteriores.
O
"'2
quociente (x - 1) e resto (2x - 11. O polinômio p(xl é igual a:
ai 2x 2 -3x+2
di 2x 2 -3x+l
5x 2 + 6x "-- O, então:
bl o quociente é
e o resto é R
el 1 e 3
di 2 e 3
e 2
cl
ai A- .. 2; B-·-1; Co-O
cl A - 1; B ~ - 3; C ~ 2
186-F
O
m - n
um polinômio de grau menor que
el o quociente é 20 e o resto
ai 2 e 1
c)
< ml;
O; isto é uma constante
ai o quociente é 20 e o resto 2R
cl
In
nenhuma das respostas anteriores.
TF.62 IPUC-761 OS valores de
e)
de grau me S(xl de grau n
é necessariamente
S(x)
di 0111
=
*
O
O
bl 0131 = O
cl 0(01
*
O
e) nenhuma das anteriores
TF.73 IPUC-771 Se a divisão do polinômio Pllxl = x 3 + px 2
-
qx + 3 por P2 (xl = x 2
..
x + 1,
for exata, então os valores de p e q são, respectivamente:
ai 2 e 1
bl 1 e 2
cl 2 e 2
di 1 e 1
el 3 e 3
187-F
TF.74 IPUC-701 Para que valor de m o resto da divisão de Pjlx) = 4x 3 - 3x 2 + mx + 1 por
P2 Ix) = 2x 2 - x + 1 independe de x?
e)
el m=5"
e)
nenhuma das anteriores
do 4 0 grau é divisível por
Ix - 21 3
e que PIO) - -8 e Pl1 I = -3, ovalor de P(3) é:
bl - 8
10
el 6
di 7
el 3
TF.76 IITA-71 I Seja P(x) = ao + ajx + a2x2 • a3x3 +
+ a100xlOO, onde
polinômio divisível por (x + 9)100. Nestas condições temos:
50 X 99 X 9 98
bl a2
1 OO! 9 2
=
a100=1, um
100!
99!
2 98!
'
2 1 981
e) nenhuma das anteriores
di a2 = 2! 98!
TF.77 (PUe-70) Uma condição necessária e suficiente para que um polinômio P(xl de coeficientes inteiros seja divisivel por (x + a) é que;
a) seja divisível por (x
+ a}2
b) seja divisivel por (x - aI
el a seja raiz de P Ixl
e)
se abed * O
a "" b = c
>1
di -a seja raiz de Plxl
TF.82 ICESCEM-731 A divisão de
Ix 999 -1 I por
Ix - 1 I tem resto R Ixl e quociente Olxl.
Pode-se afirmar que:
ai Rlx) ==-2
b) Rlx) == O
el Rlx) == -2
di R(x) == O
e) Rlx) ==-2
e
e
e
e
e
Olxl
O(xl
Olxl
Olx)
O(x)
tem grau
998
se anula para
se anula para
vale 1 para
vale 1 para
x
x
x =
x =
= O
= -1
O
O
TF.83IEPUSP-67) O resto da divisão de um polinômio
~I
c)
.2-.
a
bl PI
d) a • PI.!:.)
a
el nenhuma das anteriores.
TF.84IPUC-71 I O valor de k para o qual o polinômio
+ 2x + 8 é divisível por Olxl = 3x + 4 é:
é:
el -1
Plxl
6x 5 + 11 x 4 + 4x 3 -+ kx 2 +
el 3
di 2
TF.85 ICESCEA-751 ASSinalar a afirmação falsa:
bl Plx) é divisível por x + 1
di Plxl é divisivel por x 2 - 1
a)
5x 4
+
6x 2 -. 11
é divisível por x 2 - 1
x5 _ y5
TF.79 IMACK-761 O resto da divisão de kx 2 + x - 1 por x + 2k é:
bl k - 1
c) 4k 2 - 2k - 1
e) 4k 3 - 2k - 1
TF.80 ICESCEA-731 Os coeficientes ao. aj ..... ano do polinômio Plxl = ao + aj x + ... + anx n .
formam, nesta ordem, uma P.G. de razão 1/2. Então, o festo da divisão de P{x} por
x + 2, é:
a) O se n é ímpar
el O se ao
bl O se n é par
d) não sei.
TF.81 IMACK-771 O resto da divisão por x - b. do polinômio
Plxl
bl -2
ai -3
por ax - b
Plbl
ai Plbl
a
Plxl
é um número natural então o polinômio Plx) = 5x n - 4x n- 1 -1
a) P(x) é divisível por x - n
c) Plxl é divisível por x - 1
el Plxl é divisível por x + 2
ai -2k-l
dlk 3 -k-1
d
não sei.
nenhuma das anteriores
TF.78 ICESCEA-681 Se n
é tal que:
188-f
em geral, um polinômio não nulo de grau 3
"d) sempre o polinômio nulo
TF.75 ICESCEA-751 Sabendo-se que um polinômio P(x)
a)
Ix - ai Ix - el Ix - di
b)
c) o polinômio nulo se e somente se
3
2
ai m=5"
ai
x
x2
x3
x4
a
a'
a3
a4
b
b3
b4
c
b'
e2
e3
d
d'
d3
e4
d4
bl - - - = x 4 + x 3 y + x 2 y 2 -\ xy3 + y4,
x-v
com x * y
c) Se
di
n ~ 2 é um inteiro, então, o resto da divisão de 4x
x 3 + x2 + x
x+1
e) Se
I- 1
= x2 + 1
n
x e y,
+ 3x n- 2 + 1 por x - 1 é 8
para todo real x *-1
n2
n ~ 2 é um inteiro, então, o resto da divisão de 4x n + 3x - + 1 por x + 1 é 8
TF.86 (ITA-76) Os valores reais a e b, tais que os polinômios
x3 - 2ax 2 + (3a + blx - 3b
sejam divisíveis-por x + 1,
a)
é:
quaisquer que sejam os reais
e
x 3 - la + 2b)x + 2a
são:
dois números inteiros positivos
bl dois números inteiros negativos
c) números inteiros, sendo que um e positivo e o outro negativo
d) dois números reais, sendo um racionJI e o outro irracional
e)
nenhumâ dJS respostas anteriores.
189-f
TF.87 (MACK-75) Sabe-se que os restos das divisões de
são iguais entre si. O valor de a é:
y2 + ay + 2
por y - 1 e y + 1
TF.94 (GV-74) Sejam a. b. c. d. e. f os números que aparecem no dispositivo Ide Briot-Ruffini) para o cálculo do quociente e do resto da divisão de
ai O
bl 1
cl 2
el impossível de ser calculado com a informação dada
2x4 + 8x 3 - x2 + 16 por x + 4.
di 3
8
-1
O
16
-8
b
4
e
a
c
d
2
TF.88 ICESCEM-761 O quociente de 2x 4 - 5x 3 - 10x - 1 por x - 3 é:
ai 2x 3 -11x 2 +23x-68
ai 4x 3 - 14x + 74
!.... x +
di 2x3 _
2.
por
di 2x3 _
2.
2
x _ 37
4
ai sempre
c) desde que Pia + b) ~ P(abl = O
el nenhuma das anteriores
x _ 37
2
2
+ ax 3 + a 2 x2 + a 3 x + 04 I
x S - aS = Ix - a)
x S - aS = Ix + ai 10 - ax 3 + a 2 x2 - a 3 x + 041
x4 - a 4 ~ (x - ai Ix 3 - ax 2 + a 2 x - a 3 1
x 4 + a 4 = Ix + ai Ix 3 - ax 2 + a 2 x - a 3 )
x 5 - 1 = (x - 11 Ix 4 + x 3 + x 2 - x + 11
TF,97 (CESCEA-721 Se a e b
por
x - 2,
C,
seja divisível por
3x 3 + x 2 - 6x - 2 + P(xl
ai -21
divisível por
é:
x2 -
bl
2
el (x - 1) Ix 2 + x + 11
cl
x3
+ 3
TF.93 (CESCEA-70) O quadro
O
190-f
b) -0,826
cl m
~
-19, n
~
23
vale:
e) não sei
di 20
x 2 - 5x - 6,
a) x 2 + 4x + 4
d) x 3 - 3x + 1
m e n
de forma que
x 4 - x 3 - 22x 2
+ mx + n
seja
o quociente dessa divisão será:
bl x 2 - 4
e) Ix - 31 (x + 4)
x2n _ a2n é divisível por
cl x 2 + 4x - 10
x 2 - a2
a) se, e somente se, n for um número natural par
bl se, e somente se, n for um número natural impar
-0,52
-1,626
cl se, e somente se, n
1,32
1,7424
1,613568
1,32
1,2224
-0,012432
é o dispositivo prático de Briot-Ruffini, da divisão de determinado polinômio P{xl
por determinado binômio linear D(x). Então, o valor de Plxl + Dlxl
no ponto x = 1 é:
a I -1,466
a + b
então
cl 15
TF.99 (MACK-731 O polinômio
1,32
O
são determinados de forma que o polinômio
x 2 - 5x + 4,
b) -20
TF.98 (GV-711 Determinando-se
=
~
d, e
TF.92 (CONSART-74) O polinômio Plxl que satisfaz a igualdade
ai x 3 - 2x - 2
di x 3 - 6x - 2
P'lb)
x3 + ax 2 + bx + 20
en-
d) 231
~
2x 4 + 3x 3 + mx 2 - nx - 3 para que
bl m ~ 19, n = -23
el m = -17, n = 24
ai m ~ -18, n = 20
di m = 21, n ~ ~1
TF.91 (MACK-69) Na divisão do polinômio 5x 5 + ax 3 + bx2 + 3x + 1
controu-se O quociente 5x 4 + cx 3 + dx 2 + ex + 115. O resto é:
(3x + 21 • Plxl
bl desde que P'(al
d) desde que a '" b
TF.96 ICICE -681 Determinar m e n no polinômio
seja divisível pelo polinômio x 2 - 2x - 3.
Ix 4
bl 229
c) -231
ai -229
e) impossível de determinar sem conhecer a, b,
el -13
dI 21
cl 16
bl 19
TF.95 (CESCEM-701 Se P(xl é um polinômio divisível por (x - a) e por Ix - b) podemos
concluir que (x - a) (x - b) divide Plx):
TF.90 (GV-731 Assinale a afirmação verdadeira:
ai
bl
cl
d)
el
Então a+b+c+d+e+f vale:
a) -16
b) 2x 3 - 7x + 37
37
4
2
2
(4x4 + 6x 3 - 7x 2 + 8x - 7)
TF.89 (GV-741 O quociente da divisão do polinômio
12x + 31 é:
cl 2x3 _
-4
bl 2x 3 - 11 x 2 + 33x + 109
d) 2x 2 + x - 7
cl 2x 3 - 11 x2 + 33x - 109
el 2x 3 + x2 + 3x - 1
cl
di -0,332432
el 0,854
== 1 ou n == 2
d) se, e somente se, a == 1
e) qualquer que seja o número natural n
TF,tOO (PUC-76l Os valores de a e b de modo que o polinômio
seja divisível pelo polinômio P2 (x) = (x - 1)2, são:
ai a ~ 2 e b
=
cl a ~ 1 e b
=
-3
3
P I Ix) = x 3 + ax + b
b) a = 3 e b = -2
d) a = 3 e b ~ -1
el a = -3 e b = 2
191-f
TF.101 IFFCLUSP-691 Para todo número natural
n
n
Plxl ~ 1(x
1 I Ix + 1 - 1)
a)
x2 - 4
n ;;;'1,
é divisível por:
bl Ix - 1) 2 1x + 11
d) Ix - l)3lx + li
e)
(x - 1 I Ix - 21
por
ai x - 3
x - 2
ai
cl Ix - 21 Ix - 11
nenhuma das anteriores
x - 1
deixa resto 2
deixa resto 1. Então o resto da divisão desse polinômio
c) x + 3
di x - 5
el -x
c) 9
bl 7
d) 11
nenhuma das anteriores
Plx)
e
por
(x - 2),
são, respectivamente
Ix + 11 Ix - 1 I Ix - 21
x2
Plxl
5, -1, -1.
pelos binômios
Ix + li,
Então o resto da divisão de
é:
x2
cl x 2 - 3x + 2
bl
+ 3x + 2
el x 2 + 3x + 3
ai
+ 3x - 1
di x 2 - 3x + 1
TF.105 (CESCEA-721 O coeficiente de x 3 no polinômio Plxl do terceiro grau que se anula
para
x = -1
e tal que dividido separadamente por x - 1, x + 2 e x + 3 deixa
sempre resto 10, é:
ai 5
di
cl 1
bl 10
~
2
e)
não sei
TF.106 IGV-751 O resto da divisão de polinômio
2x s
a,
número complexo
- 15x 3 + 12x 2 + 7x - 6 por (x - 11 Ix - 21 Ix + 3) é:
ai x 2 - 2x + 5 bl -6
cl x - 4
TF.107 (ITA-68) Suponhamos que os polinômios
ai 4
é uma das raízes da equação
I
el 128i
di 16i
di 1
Plxl, Olx), plx)
el
bl x 3 - 6x 2 + 11 x - 6
di x 3 + 6x 2 - 7x + 6
ai x 3 + 6x 2 - 11 x + 6 - O
cl x 3 - 6x 2 + 7x - 6 = O
el x 3 - 2x 2 + 3x - 6
O
TF.112 (CESCEA-771 As raízes do polinômio
quociente de Plx) por x - 3 é:
bl x 2 - 3x + 2
Plxl
são 1. 2 e 3. O
di x 2 - 2x + 1
eI x2 -
x 4 - 20x 2 + 36 - O
2
pode·
mos afirmar:
a) formam uma sucessão de 4 números em progressão geométrica
b) duas são complexas conjugadas e duas são reais
c) nenhuma delas é real
d) formam uma sucessão de 4 números em progressão aritmética
e)
são todas racionais
x 8 - 13x 4 + 36 ~ O.
TF.114 ICESGRANRI0-COMCITEC-731 Dada a equação
tern·se que:
b) admite 8 raízes reais
4 raizes reais irracionais
a)
admite
c)
não admite raízes reais
e)
as 4 afirmativas anteriores são falsas
4 raízes reais inteiras
d) admite
n x n,
I é a matriz identidade de ordem
n, então o determinante da matriz (A - xl) é um polinômio de grau n na variável x,
cujas raizes são chamadas valores próprios de A. Então os valores próprios da matriz
satisfazem as
para todo x complexo
ai -1; O; 1
=
x
b) Plxl e O(x) não são primos entre si
d) p(xl não é divisível por R Ixl = x - 1
b} O; 1
cI O; -1 ; 3
ai 1
e)
da equação
x -
x 4 - x 3 - 3x 2 + 5x - 2
di 4
cl 3
nenhuma das anteriores
=
O
é:
el 5
x 3 + 4x 2 + x - 6
é 1. Com re·
lação às outras raízes do polinômio podemos afirmar que:
a)
TF.10B IPUC-761 Uma raiz da equação
b) 2
di O; 3
TF.117 (CESGRANRI0-76) Uma das raízes do polinômio
EQUAÇÕES POLINOMIAIS
b) -i
O
O
x 3 +mx 2 +nx+p
TF.113 ICOMBITEC-COMBIMED-751 Sobre as raízes da equação
TF.116IPUC-741 A multiplicidade da raiz
ai P(xl é divisível por Slxl
cl O(pll I) ~ O
el piO) ~ O
c
cl x 2 + 3x - 2
TF.115 (CESCEM-70) Se A é uma matriz quadrada
O
e q(x)
~
~
Assinale a afirmação correta:
192-F
2
são:
Plxl • plxl + O(xl • qlxl
P(qllll = O, 0101 ~ O
i
1+
cl 128
bl 16
seguintes condições:
a)
~
z
e)
o valor de a é:
ai x 2 + 2
TF.104IPUC-721 Os restos das divisões de um polinômio
(x - 1)
x8 -
di -2
cl
TF.111 ICESCEM-71 I Uma equação de 3 0 grau cujas ra izes são 1, 2 e 3 é:
+ 5
TF.103 IITA-751 Se dividirmos um polinômio Plxl por x - 2 o resto é 13 e se dividirmos
plxl por Ix - 2) o resto é 5. Supondo que R(x) é o resto da divisão de P(xl
por xl - 4, podemos afirmar que o valor de R(xl, para x = 1 é:
e)
b) -1
é:
b) - x + 3
ai zero
O
TF.ll0 ICESCEM-741 Se o
TF.l02 (MACK-74l Um polinômio desconhecido ao ser dividido por
e ao ser dividido por
TF.109 IMACK-751 O valor de m de modo que -1 seja raiz da equação
x 3 + Im + 21 x 2 + 11 - ml x - 2 o O é igual a:
o polinômio
z4 -
cl 1
z - 1 + i
~-
O é:
di -1
ambas são negativas
c) ambas são positivas
e) O
e)
b) uma é negativa e a outra é positiva
d) uma delas é nula
são complexas com a mesma parte real
193-F
TF.118IGV-73) Sabendo que P(x) = _x 4 + l1x 3 - 38x 2 + 52x - 24 tem uma raiz dupla x ~ 2. o domínio de definição da função f(x) ~ log [Plx)] é:
a) {x E A
Ix
=1= 2
e
x =1= 3}
b) {x E A
c){xERll<x<6}
e) {x E IR
I1
<
x <
2
I2
<
x <
dl{xERlx<-l
ou
2 <
x <
ou
x>7}
é divisível
P(xl
~
...
ai O
d) 2n(n - 1)
Qlx)
ai =
e
...
ai
b)
c)
dI
e)
= an
~
=
3
e
c
=
C.
a) vale 5
di é divisível por 3
Então:
I78
+
6
Plxl é um polinômio de grau m. Se
P{ 1) necessariamente:
b) vale 3
e) nenhuma das anteriores
P{x)
c) é divisível por 5
TF.129 (CESCEM-76) O polinômio de grau 3
cujo gráfico está esboçado na flgu ra ao
lado tem
aOx4+alx3+a2xZ ~a3x+a4, degrau 4,
TF.123 IITA-701 Considere os poiinômios Plx)
tais que PI21 = P(3) = P(4) = P{r) = O, onde r ~ {2, 3, 4;. Temos, então. necessariamente, que:
194-F
cl 2nln + 1)
4
b) 1 e 3 são falsas
di não sei
O
CDS
cujos
tem o produto das raIzes igual a 1
admite zero como raiz simples
admite zero como raiz de multiplicidade 46
não admite raízes reais
nenhuma das anteriores
6
do grau n:admite no máximo, n raízes reais.
a) ao > 4
b) ao < O
c) ao
e) nenhuma das afirmações anteriores é válida
b) 2n
e) nenhuma das respostas anteriores
TF.128 (ITA-721 Seja a equação Plx) ~ O, onde
admite uma raiz inteira, então P(-1) PIO)
O
então:
a) todas são verdadeiras
cl 2 e 3 são falsas
.,8n
c) é de grau par
1°)(sen 2° + cos 2°)x
+ (sen 1° + cos 1°)(sen 2° + cos 2°)(sen 3° + cos 3 0 jx 177 +
Qlx) = x 2 + 5x +
para todo x real <=> a = 1. b
3. Todo polinômio Plx)
81,82,"
valores distintos de x, pode-se afirmar:
b) é de grau ímpar
e) nenhuma das anteriores
TF,127 IEPUSP-681 O polinômio
x 1SO + {sen 1° + cos 10 )x 179 + (sen 1° +
Então:
+ an°
para tOO o x real =ao
(ax + 2)x + bx + 4
é um polinômio do grau n, então, existem números reais
P(x) = Ix - al)(x - a21 ... Ix - anl
TF.126 IEPUSP-67) Qual é o coeficiente de x n + 1 no polinômio x n +3 + ax n +2 +
zeros são O com multiplicidade 3, 2 com multiplicidade' n?
TF.122 ICESCEA-73) Considere as afirmações
~
onde 2 "" con-
O
ai o grau de Plxl é;;;' 2 ou Plxl identicamente nulo
b) o grau de P(x) é menor ou igual a 2
c) o grau de P(x) será 3
d) o grau de P(x) é exatamente 2
e) nenhuma das anteriores
Plx)
P{x)
tais que
máximo n que se anula para n + 1
TF.121 IGV-731 Se a e b são raízes do polinômio Plx) então:
2. Sejam
c) Se
a) é constante
d) é identicamente nulo
c) se tiver uma raiz de multiplicidade 3. tem duas raizes de multiplicidade 1
d) se tiver apenas 4 raízes distintas. uma deias tem multiplicidade 2
e) se tiver uma raiz real, todas serão reais
O
a 5t~,
TF.125 (PUC-70) Sobre um polinômio na indeterminada x de coeficientes inteiros e de grau no
b) se tiver apenas 2 raízes de multiplicidade 1, existe uma raiz de multiplicidade 2
Plx)
então,
d) não sei.
aox s + a[ x 4 + a2x3 + a3x4 + a4x + as
P(x) = aox n + aI x n - 1 +
O,
b) Seja P(x) um polinômio do grau n. Então:
x + a divide P(xl <=> P(al ~ O
6}
ai só admite uma raiz de multiplicidade 5
1. Seja
x 3 + 4x 2 + 6x + 2
junto dos números inteiros relativos
cinco raízes reais
três raízes reais e duas complexas
quatro raízes reais e uma complexa
duas raízes reais e duas complexas
uma raiz real e quatro complexas
TF.120 (ITA-67) A equação
a) Se a é raiz da equação
3}
TF.119ISANTA CASA-77) O polinômio p(x) = ax S + bx4 + cx 3 + dx 2 + ex + f
por gl (x) = -2x 2 + V5x e por g2 (xl = x 2 - x - 2. Então p(x) tem:
a)
b)
c)
d)
e)
TF.124ICESCEA-731 Assinale a afirmação verdadeira:
d)
ao
>
O
I. uma raiz igual a -2, uma raiz igual a
3 e uma raiz complexa
11. termo independente igual a -3
111. uma raiz real e duas complexas
a)
b)
c)
d)
el
x
somente I é correta
somente II é correta
somente III é correta
apenas I e II são corretas
apenas 11 e III são corretas
195-F
TF.130 IITA-74) Se a, b, c, são raízes da equação
2. + 2. + 2.
a
c
b
x 3 - 2x 2 + 3x - 4
=
0,
então o valor de
é:
1
2x 3 - 19x 2 + 37x - 14 = O
3
1
4
b)
a) 4
d)
cl 4
é 1. A soma das duas maiores raízes da equação é:
~
2
ai 7
e) nenhuma das respostas anteriores
TF.131 IITA-75) Sendo a, b, c, d as raízes da equação
podemos afirmar que:
2x 4
-
7x 3 + 9x2 - 7x + 2
TF.137 (CESCEA-751 Chamando-se
é igual a
C,
x3
e sabendo-se que
13
5
a) -1
TF.132 (FEI-67) Sendo a, b, c as raízes da equação
da expressão a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 é:
duas, o valor de
2x 3 - 3x 2 + 5x +
d) 31
e) nenhuma das anteriores
4
c)
TF.133 (E.E.LINS-68) Sendo a, b, c as raízes da equação
bc
ac
ab
10gl--;;- + b + -;;- I é:
b) 2
aI 1
c)
°
o,
o valor
x3 + x - 1
o,
então o valor de
Y3 =
se
a
ai 2
'*
onde a é um número real.
O
'* °
b) S = O, somente se a
cl Se a for inteiro, P é inteiro
d) P é irracional qualquer que seja a
el P é irracional somente se a for irracional
c,
as raízes da equação
é:
cl 6
d)
°
el 4
°
é igual à soma das outras
c) 3,-2,1
b) 2,-1,3
e) nenhuma das anteriores
b) é complexa
cl -
~
d
d)
TF.141 ICOMBITEC-COMBIMED-751 Uma das rafzes do polinômio
x = 1. O produto das duas outras raízes é:
cl (q2 - dlt
°
c) 1
bl i
di -1
°
bl
1
2"
cl 1 ou
ou -1
p(x) - x 3 - x 2 + x -1 é
e) - i
x 3 + hx 2 + 12h + 1)x + 1 - O.
TF.142 IPUC-701 OS valores de h para que a equação
admita duas raízes opostas são:
ai O ou 1
0,
<b<
e) 2
di 3
Sabendo que uma raiz é a diferença entre as outras
O.
a - b + c
el nenhuma das anteriores
Assinale a assertiva Correta.
a
é:
TF.140 ICESCEM-681 O produto de duas das rafzes da equação x 3 + bx 2 + 2x + d - O.
é igual a 2 e a soma das mesmas raízes é diferente de zero. A 3~ raiz vale:
a)
é:
TF.135ICESCEM-73) Sejam S e P, respectivamente, a soma e o produto das raízes da equação
x 3 + ax +
=
a + b
e) qualquer valor real conforme os valores de b e d
bl (q2- r + s ll t
a) (q2 _ 2dlt
q
r
s
t
di - + - + - + r
q
s
t
3
o valor de
c) 8
b) 5
ai 2, - 2, 1
d) 1,-1,-2
d) não se pode calcular
L
P
M
N
-- + -- + -- +
MNP
LNP
LMP
LMN
a)
°
TF.139 (MACK-751 Uma raiz da equação x 3 - 4x 2 + x + 6 =
duas. As raízes dessa equ.ação são:
19
4
TF.134 (ITA-731 Seja a equação do 49 grau x 4 + qx 3 + rx 2 + sx + t ~ 0, onde q, r, s, t,
são números racionais não nulos tais que: L, M, N, P são raízes reais dessa equação.
O valor de
196-F
c = -a,
b) 5
x3 _ 10x2 + 31 x - 30
b) 31
0,
O e
TF.138 (GV-731 Sejam a, b e c, com
a) 19
'*
>
a
19
as raízes da equação
2x 2 - 9x + 18 =
-
d não são reais
di _1_ + _1_ + _1_ + ...!- é a soma das raízes
bcd
acd
abd
abc
e) nenhuma das anteriores
aI S
a, b e c
e)
di 1912
cl 9
b) 8
0,
a) a, b, c, d são reais positivas
c) a, b,
TF.136 (CESGRANRlo-77) O produto de duas das raízes da equação
1
di 2 ou 3
2
e) nenhuma das respostas anteriores
TF.143 (EESCUSP-671 A equação
x3
-
ax 2 + bx - c = 0,
alab=c
bla~-b~c
e) nenhuma resposta é verdadeira
tem duas raízes simétricas se:
dla~b=c
eiabc=-1
TF .144 ICESCEA-761 Sendo c a maior das três ra ízes a, b e c da equação x 3 + 6x 2 + 11 x + 6 ~ 0,
e sabendo-se que uma delas é média aritmética das outras duas, o valor de a + b + 4c é:
a) -9
b) -12
c) -10
d) -8
e)
-7
197-F
TF.145 (MACK-76) As rarzes da equação
geométrica. O valor de k é:
estão em progressão
o
6x 2 + kx + 64
-
cl -24
bl -18
a) -10
x3
dI 16
TF.154 (ITA-76) A equação 4x 3 - 3x 2 + 4x - 3
imaginária). Deduzimos, então, que:
o
admite uma raiz igual a i (unidade
ai tal equação não admite raiz real, menor que 2
el 12
b) tal equação admite como raiz, um número racional
TF.l46 ICESCEA-74) Seja P{x) = x 3 + ax 2 + bx + c. Sabendo-se que Plx) + PI-x) é
um trinômio que se anula para x:; -2 e x = 2 e com coeficiente de x 2 igual a 2,
então. o produto das raizes de P(x) é:
a) 4
cl 2
b) 1
d) 3
TF.147 (FFCLUSP-66) Se xI. X2, X3 com O
ção x 3 + bx 2 + ex + d = O, então:
xi
<
1, i = 1,2,3 são raízes da equa-
>
cl d
1
bl b = 3 e c = -3
e) não há equação satisfazendo à condição dada
ai b e c têm módulo menor que 3
di b
-1 e c
1
>
<
e) não sei
<
x 3 + ax 2 + 18 = O
TF.148 (ITA-77) Os valores reais de a e b, para os quais as equações
e x 3 + bx + 12
O têm duas raízes comuns, são:
a) a = 1; b = 2
d) a = -4; b = 1
bl a=-l; b=4
e) nenhuma das anteriores
c) a
= 5; b = 3
x 4 - 3x2 - 4
x 3 + ax 2 + bx + c
com a.b, c E IR.
cl 3° grau
d) 4° grau
cl x4
-
x
d) x 4 + x
el x 4 + 2x
TF.153 (MACK-74) Os números complexos 1 + i, 1 + i2 e 2 - i são raízes do polinômio P de coeficientes reais. Podemos afirmar que o grau de P é necessariamente:
a) par
b) ímpar
d) maior ou igual a quatro
198-F
TF.156 IFFCLUSP-69) Sabe-se que a equação algébrica x 4 - ax 3 + bx 2 - cx + d = O
onde
a, b, c, d são números reais, admite 1 como raiz dupla e i (unidade imaginária) como
raiz simples. Os valores de a, b, c. d são:
b) a = 2; b = 2; c = 2; d = 2
-1; b = 3; c = 3; d = 1
di a
bl 2, 1 - 2i, 1 + 2i
c) 0,3 - 2i, 1 + 2i
e) nenhuma das anteriores
Plx)
tem:
1. Uma única raiz inteira xl de multiplicidade p.
2. Uma única raiz racional não inteira x2 de multipl icidade q.
3. Uma única raiz irracional x3 de multiplicidade r.
c) maior ou igual a seis
e) igual a três
a)
bl
c)
d)
e)
está definida para todo x complexo
está definida para todo x =F xl maS não está definida para x = xl
é limitada para todo x real
não está definida nos pontos Xl, x2, x3, xl - 1, Xl + 1, x2 - 1, x2 + 1, x3 -1, x3 + 1
nenhuma das respostas anteriores
e) 5° grau
TF.152IMACK-76) Os coeficientes do polinômio p são reais e sabe-se que ele possui três
ra izes, duas das quaissão O e i (;2 = -lI. Então p pode ser:
b) x4 + x 2
e) b é um número ímpar
Pode-se então concluir que a função racional R (x)
TF.151 (PUC-741 O grau mínimo que um polinômio de coeficientes reais admite, sabendo que
ZI = 1 + i
e z2 = -1 + i são raízes, é:
a) x 4 - x 2
b) b é um número irracional
d) b e c não estão univocamente determinados
Plxl
b) pode não ter raiz real
c) pode ter apenas uma raiz imaginária
di tem pelo menos uma raiz real
e) não satisfaz a nenhuma das quatro afirmativas acima
b) 2° grau
com b e
cl c é um número irracional
TF.158 ICESCEM-701 Sabe-se que o polinômio
O,
O.
a) c é um número ímpar
a) 1 - i, 2 - i, 1 + i
d) 3, -2'" 1 + 2i
=
x2 + bx + c
TF.157 IE.E.LINS-67) Uma raiz de uma equação de terceiro grau com coeficientes reais é
1 + ai e a soma das demais raízes é 3 - 21. As raízes dessa equação são:
a) possu i sempre raiz não real
a) 1° grau
TF.155ICESCEM-731 O número 2 + 3; é raiz da equação
c reais. Podemos então afirmar que:
O.
essa equação tem uma solução de multiplicidade 2
as soluções de:ssa equação formam uma progressão
a equação tem 2 soluções reais irracionais
a equação tem 2 soluções reais racionais
a equação não tem soluções reais
TF.150 ICESGRANRI0-COMCITEC-73) A equação
<
2
ai a
-2; b = 2; c = -2; d
cl a = 2; b = 2; c = 2; d = 1
TF.l49 IMACK-75) Sabe-se que o número complexo i é solução da equação
Então:
a)
b)
c)
d)
e)
cl tal equação não admite como raiz, um número positivo
d) tal equação não possui raiz da forma bi, com b
1
e) nenhuma das respostas anteriores
TF.159 IGV-73) Considere a equação polinomial Plx) = O, com coeficientes reais, e o
O. Neslas conO e PI21
intervalo aberto ]-1. 2 [, Sabe-se que PI-lI
dições podemos afirmar que:
>
>
ai existe um número par de ratzes reais ou não existem raízes reais da equação
Plx) = O em ]-1.2 [
bl -1 e 2 são raizes de Plxl = O
c) não existem raízes reais da equação em ] -1,2 [, nunca
d) o número de raízes de P{x) = O em ]-1, 2 [ é impar
el o gráfico de Plx) está sempre acima do eixo dos x
199-F
TF.160 ICESCEM-70) o gráfico acima é o de um polinômio cujos zeros reais estão todos no
trecho desenhado. Esse polinômio
y
~ ~ ~ 2. ~
5
7
11
9
13
TF.167ICESCEM-73) Dentre as frações 4'7'8'8'10'11'12'13'15'16' podem
ser raízes da equação 16x 6 + ax 5 + bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + 45 = O (a, b, c, d, e inteiros)
a)
~ e -5
4
9
8
5
e
"8
13
16
e
5
11
<
c
e)
12
cl
e
7
d) 11
7
bl 15
~
e
7
11
13
x
TF.168 ICESCEA-73) Sejam
Então, a + 2b + c,
cl pode ser do 6 0 grau
b) pode ser do 59 grau
a) pode ser do 39 grau
d) pode ser quadrado perfeito
<
a
b
c) -3
b) 3
ai 2
TF.161 (GV-74) Dentre·as equações seguintes, assinale aquela que tem pelo menos uma raiz r,
satisfazendo, a condição 1
r
2.
< <
11)
3x 2 + x
IIII
O·
(lVI
x 3 - 9x + 4 = O;
IVI
x4
+
l
x3
3
+
x
b) (V)
(I)
c)
a)
+ 20
O.
d) IIV)
e)
11
,
(11)
el 11, 3, -6, -2 ± i
=
07
ai [150; 200]
b) [-14; -12]
d) [-10; 10]
e) nenhuma das respostas anteriores
c) [12; 13]
TF.163 (ITA-771 Seja IR o corpo dos números reais. Em relação à equação
5x 3 - 15x 2 - 15x - 20 = O, x E IR, podemos afirmar que:
d) 5
cl 4
e)
j
a) k< 2
d) k> 7
b) 1 < k < 2
c) 2 >
e) nenhuma das respostas anteriores
TF.166 (UNICAMP-671 O valor de k tal que a função
zero entre 2 e 3 é:
a)
k
di k
200-F
<
<
6
6
f(x)
ou
k
>
18
y
bl k> O
e)
6
<k<
c
k
k
-
x4
é raiz da equação
é raiz da equação
TF.172IMACK-75) O polinômio
82x 3
Y3
2
-
±
281x 2
i
-
v'3
2'
279x _ 198
-2
±
=
O
Y3
2
di lI, -3, -6, 4,-1
o:
e ~ raízes da equação x 3 + x 2 + x + 1 =~
x 7 - 2x 6 + x 5 - x 4 + 2x 3 - x 2
O
tem:
a) 2 rarzes duplas
3
bl
x 3 - 2x 2 + 3x - k
k > 6
ou
<
-
é:
nenhum dos valores anteriores
e)
e) as quatro afirmativas anteriores são falsas
x 3 - 2x 2 + 3x - k
c)
18
=
x5
x 6 + 8x 4 + 21 x 2 + 60 ~ O
é raiz da equação
o:~
e) 4
TF.165 (ITA-74) O conjunto dos valores de k, para os quais
tem um ou três zeros reais entre 1 e 2, é:
v:
di o?
cl
TF.164 (CICE-681 Determinar a cota superior da raiz positiva da equação
2x 6 + 3x 5 + 10x 4 - 7x 3 - 12x 2 + x - 4 = O
b) 2
O.
bl o: + ~ é raiz da equação
b) tem somente uma solução
a) não tem solução inteira
c) tem somente duas soluções distintas d) tem três soluções distintas
e) nenhuma das anteriores
1
d) 6
TF.171 ICESGRANRIO-COMCITEC-73) Sejam
Tem-se então que:
ai
a)
x - 2
di 1
b) 7 -3
"
-3 , -6 ' -2
~ ±i
TF.162 (ITA-761 Em que intervalo estão as rarzes reais da equação:
x 5 - 5x 4 + 2x 3 - 6x - 9
cl 3
ai 11,-3,-6,2,4
c)
(111)
bl 2
1
TF.170 (CICE -681 Resolver a equação:
2x 3 - 7x 2 + 4x + 4 = O;
(111 I
a)
~ O;
4
-
e) nenhuma das anteriores.
TF.169 ICESCEM-681 O número de raízes inteiras da equação:
x 5 + 2x 3 + x +
x 3 + 2x 2
as raízes da equação
vale:
O
tenha um
raiz tripla
ízes não rea is
nl
d) 6 raízes não reais
e) 3 raízes duplas
TF.173 (MACK-69) A equação
7x 3
3x 2 + 2x - 11 ~ O
-
a) admite uma raiz complexa de multiplicidade 2
b) não admite raízes reais
c) zero é a raiz da equação
di o produto das raízes é_lI
7
e) as quatro sentenças acima são falsas
201-F
px 3 + qx 2 + rx - 1 = O,
TF.174IEESCUSP-691 Dada a equação
então,
a) é possível achar valores reais para p, q e r de modo que 1, 2, 3 e 4 sejam
raízes desta equação
b) é ~ssível achar valores reais para p, q e r. com p inteiro, de modo que 1, 3 e
V 2 sejam raízes desta equação
c) lero é raiz desta equação
d) é possível encontrar valores reais para p, q e r de modo que 1, -1 e 2 sejam
raízes desta equação
el nenhuma das respostas é verdadeira
TF.1751ITA-681 A equação
3x 5 - x 3 + 2x 2 + x -
o
TF.180 ICESCEM-71l Um polinômio de coeficientes inteiros tem uma raiz dupla igual a
a +
onde a e b são números primos. Podemos concluir que este polinômio:
vb
a) tem grau 2
d) admite pelo menos uma raiz complexa
e) não existe
TF.181 IpUC-70) A equação desprovida do termo de primeiro grau que se obtém transfor2
mando a equação 5x - 3x + 8 = O é:
ai 100/ + 151
di 3y 2 - 4 = O
possue:
a)
b)
c)
d)
três raízes complexas e duas raízes reais
pelo menos uma raiz real positiva
todas raízes inteiras
uma raiz complexa
e) nenhuma das respostas anteriores
5x
podemos af irmar que esta equação tem:
b)
di
e)
raiz simples, duas duplas e uma tripla
raiz simples, uma dupla e uma tripla
raízes simples, uma dupla e uma tripla
raízes simples e duas duplas
raízes simples e uma tripla
TF.177 (ITA-74) A equação
tem:
x n -1
=
O,
onde n é um número natural maior do que 5,
a)
b)
c)
di
raiz positiva, 1 raiz negativa e In - 21 ra (zes complexas quando
raiz positiva, (n - 1) raízes não reais quando n é par
raiz negativa, (n - 1) raízes complexas quando n é ímpar
raiz positiva, 1 raiz negativa e (n - 21 ra ízes complexas quando
número natural qualquer
e) nenhuma das respostas anteriores
n é par
x S + x4 + x 3 + x2 + x + 1
V3
b) _
2
v0.
2
-
4x 2 + 7x - 2 ~ O
+
n 8 _ 7n 6 _ n
4
+
1
2
6n
e) 1
O
{a, b, c}
TF.184 (GV-75) Desenvolvendo-se o polinômio y
de x - 1, o coeficiente de Ix - 1)2 vale:
b) 3
TF.185 (MACK-691
não pode ser um número
desenvolvido segundo as potências
2x 3 - 3x 2 + 4x - 5
di 2
cl 4
em potências
1
e)
8,
2x 4 - 5x 3 + 3 = O
As raízes da equação
b. c. d. A equação cujas raízes são representadas por
a) é múltiplo de 3
c)
b) pode ser um número primo
d) é sempre estritamente maior do Que zero
par
são representadas por
-.!., ..:!-, .!,
a
b
c
~ é:
d
a) 3x 4 - 5x 3 + 2x 2 ~ O
b)
cl
di
el
3x 4
3x 4
4
3x
4
3x
- 5x
3
+ 2x
= O
3
+ 2 = O
2
- 5x + 2 = O
- 5x + 2 = O
- 5x
TF.186IFFCLUSP-691
2
el nenhuma das afirmações anteriores é verdadeira
202-F
é
TF.183IPUC-74) O polinômio P(xl
3x 2 - 4x + 2
de Ix + 21 fica:
ai P(xl o 31x + 21 2 - 16(x + 21 + 22
bl Plxl = 3(x + 2)2 - 8(x + 2) - 22
c) Plx)
3(x + 21 2 + 161x + 21 + 22
2
d) Plxl
31x + 21 + 51x + 21 - 1
e) Plx)
31x + 21 2 + 6(x + 21 + 11
TF.179 (F FCLUSP-67) Sendo n um número inteiro, positivo, ímpar, mostra-se que
n 10
cl y2 c
O
{2a, 2b, 2c} é:
bl 5x 3 - 8x 2 + 28x - 16 = O
di 40x 3 - 16x 2 + 14x - 2 = O
2
ai 5
= 01
di _
cl O
=
n é um
TF.178 (FFCLUSP-69) Qual dos seguintes números é parte real de uma das raízes da equação
a)
3
ai 10x - 8x + 14x - 4 = O
c) 2(x - a)lx - bl(x - cl
e) nenhuma das anteriores
x 6 - 3x 5 + 6x 3 - 3x 2 - 3x + 2 = O
c)
b) 5V2 + 8
e I 8y - 3 = O
então a equação cujo conjunto-verdade ~
TF.176 IITA-70) Calculando as raízes simples e múltiplas da equação
uma
uma
duas
duas
duas
O
TF.182 Se o conjunto da equação
3
a)
bl tem grau pelo menos 4
c) tem uma única raiz complexa dupla
2
x - 2 Icos a)x + 1 = O.
É dada a equação
r é uma raiz desta equação, então
r
6
+ r~
Admitimos que se
= 2.
Nestas condições, qual dos valores abaixo pode ser assumido por a7
a) 51T
3
b) 51T
6
c)
!!..
6
d)
!!'....
12
el 7rr
12
203-F
Plxlo x 4 + aox 3 + alx2 + a2x + a3
TF.194 IITA-701 Sejam
TF.187 IPUC-761 Os valores de a, b e c de modo que a equação
x 6 + Sa,s + Ib _ 21x 4 + 14a + b + clx 3 + 2ax 2 + Ib - 2alx - 1
Q(x)
o
seja recíproca, são:
>
~
bl a o 1; b
2; c
c
ai Ola)
-2
di 0(a31 <-3
1
1
el a=-2;b=3;c=-1
cl 4x 3
-
7x 2 + 7x - 4
O
cl 4 -
bl 3
Y3
TF.190 IEESCUSP-67) Seja
P(x)
ax 3 + bx
k
± 1 é raiz de Plxl, então:
*'
ai k, -k, 1
1
cl k,
k'
-1
x - -1
el k,
1
k'
+ 1
=
3,4 + 12x - 7
cI O
bl -7
el 24
di 1
x
tem grau par,
=;
O é um número impar
b) () zero não é raiz desse polinômio
o polinômio derivado tem grau ímpar
e) nenhum númerO par pode ser raiz desse polinômio
+ bx + a
a
com
*'
O e b
*' o.
Se
TF.197 (CESCEM-711 Um polinômio P(xl
é iÇJual ao produto de seu polinômio derivado
P'(x) por (x - a). Então podemos concluir:
a) a raiz
é raiz tripla
ax
4
+ bx
3
e)
são as ra ízes
+ cx
x = a
é múltipla
b) o grau do polinômio é pelo menos 3
c) o grau do polinômio é iÇju(]1 a 2
são as ra ízes
TF.191IFEIUC-661 A resolução da equação
Plxl
vale:
a) o valor do polinômio para x
c)
di k, -1, + 1
são as raízes
cl -2 < 0la31 <-1
nenhuma das anteriores
d) o coeficiente do termo de maior grau do polinômio derivado é um número ímpar
b) k,
são as ra ízes
x real, ternos, então, que
Assinale a resposta falsa:
e) nenhuma das respostas anteriores
2
para todo
seu termo independente é (mpar e o coeficiente do termo de maior grau é igual a 1.
é:
di 4
2
>O
TF.196 (CESCEM-72l Um polinômio de coeficientes inteiros na variável
TF.189 (ITA-74) O valor absoluto da soma das duas menores raízes da equação
4
+ aox
bl Ola) ,;;; -3
e)
ai -16
TF.188 Uma equação recrproca que admite as raízes 1 e 2 é:
2
2
"I x - 3x + 2 = O
bl x + 3x + 1 = O
2
3
di 2x - 7x + 7x - 2 = O
e) nenhuma das respostas anteriores
P{x)
e
TF.195 (CESCEM-721 O valor numérico do polinomlo derivado de
para
ai 2
a3x4 + 82X3 + alx
--=
dois polinômios. Sabendo-se que
2
d) o grau do polinômio é igual u 1
não existe tal polinômio.
TF.198 (MACK-69) Admite uma raiz de multiplicidade dois a seguinte equação:
ai x 2 - 4 ~ O
bl x 6 - x 4 + 3x 2 o O
cl x - 2 ~ O
2
+ bx + a - O,
se reduz
d) (x - 1)4 = O
e) nenhuma das anteriores
à resolução de equações do segundo grau pela substituição
ai y =
di y =
bl y
x
x +
o
1 4
TF.192 (ITA-67l A equação -x
2
di ±i;
± 2 y2i
3
± 5
7
y =
v'2
2
1 3
-x + x
3
1 - 3;
bl T+
1 ±3
el
5
TF.1931ITA-681 Para que a equação
2x
4
7
2- x
3
a) b um número real qualquer
204-F
>O
>4
+
± 3i
2
2 ±
2
+ bx
3
1
2
três:
O tem raízes:
± 1;
cl
2
± 2i
3
ai x - 1 = O
4
bl Ix - 21 = O
4
2
cl x - 4x = O
3
di (x_11 (x+ 11 = O
3
TF.200 (PUC-72) Se
1
ai k
-
bx - 2
e distintas devemos ter:
cl b
el b
TF.199 (CESCEA-731 Assinale entre as equações abaixo a que apresenta raiz de multiplicidade
x + a
el nenhuma das anteriores
x + a
ai ±i;
cl
x
O
bl b
di b <-1
o
tenha quatro soluções reais
=
-4
Xl
= -2
b) k = 1
é uma raiz dupla da equação
c)
TF.201IFFCLUSP-661 Se a equação
k
=
2
d) k
=
e) nenhuma das anteriores
O
x 3 + ax 2 + 3x + 1
3
2
2x + 7x + 4x + k = O então:
= O,
tem raiz tripla, então:
ai " ~ 1
c) a = -3
b) a pode [Issumir mais de um valor
d) a = 6
e) nenhuma das anteriores
205-F
RESPOSTAS
TF.2D2 tCESCEM-68) Os valores de a e b para que a equação
2
x 4 + (3a _ b)x 3 + (2b - 41x + (ab + 4)x + a + b ~ O
tenha uma raiz dupla igual a zero, respectivamente:
cl qualquer; 2
b) 4; -4
a) 2;-2
di -2; 2
e) nenhuma das anteriores
T F.1 a
TF.203 IFFCLUSP-69) Para que a equação algébrica
x 3 _ (4 + m)x 2 + (4 + 4m)x - 4m ~ O
admita o valor 2 como raiz dupla, o valor de m deve ser:
a)
0/= 2
b) 2
c)
>O
d)
<3
e) nenhuma das respostas anteriores
TF.204IcESCEM-73) Os valores de m e n a fim de que a equação
x 7 _ 5x 6 + 4x S _ 3x 4 + 2x 3 + (m _ 5nlx 2 + (
l
5
m - n + 2)x + (5 - m' nl
~
O
admita duas, e apenas duas raízes nulas, são, respectivamente,
a)
~ e-5
b) -5 e 3
c)
3
t
~ e-1
el
d) -5 e -1
e 3
3
TF.205 ICESCEA-75) Sabendo que zero é raiz de multiplicidade 3 da equação
x S _ 3x 4 + 4x 3 + 112b + ~ Ix
2
3
então, a + b
a)
vale:
cl 13
b) -13
3
+ la - 3b + 13)x + lab + 4) ~ O,
TF.206 IFFCLUSP-67) Se
Ix - a)
d) _
é m.d.c. de
a
b)
d)
é raiz simples de Plx)
cl a é raiz tripla de Plxl
e
el -8
plxl ~ x n + aI x n - I + .. ' + an-I x + an
Qlxl ~ nx n - I + In - 1)alxn-2 + ... + a n -l,
a)
35
3
5
a
a
e de
então:
é raiz dupla de Plx)
não é raiz de Plx)
nenhuma das anteriores
2
TF.207 IF FCLUSP-66) Se dois trinômios do segundo grau Plx) ~ ax + bx + c e
2
Q(x) = a'x + b'x + c'
possuem uma e uma só raiz comum xo. simples, o seu
mínimo múltiplo comum é o polinômio
a) lax 2 + bx + c)(a'x 2 + b'x + c')
bl x - Xo
cl Ix - xo)(x + ...!õ...- )(x +
axo
e)
20G-F
~ x20 +
a'
!'-
b'
Xo + ~
c'
c'
a'xQ
di Ix - xo)(x -
c
axo
)(x
c'
a'xQ
TF.2 e
TF.3 e
TF.4 d
TF.5 a
TF.6 e
TF.7 b
TF.8 a
TF.9 d
TF.1D c
TF.11 a
TF.12 c
TF.13 d
TF.14 a
TF.15c
TF.16 a
TF.17e
TF.18 d
TF.19 c
TF.2D a
TF.21 c
TF.22b
TF.23 a
TF.24d
TF.25 c
TF.26 c
TF.27 b
TF.28 b
TF.29 d
TF.3D a
TF.31 c
TF.32d
TF.33 c
TF.34 c
TF.35 c
TF.36 e
TF.37 b
TF.38 c
TF.39b
TF.4D a
TF.41 d
TF.42 d
TF.43 b
TF.44d
TF.45 e
TF.46 d
TF.47 e
TF.48 e
TF.49 c
TF.50 e
TF.51 e
TF.52 b
TF.53 d
TF.54 a
TF.55d
TF.56 a
TF.57 a
TF.58 b
TF.59 b
TF.6D e
TF.61 a
TF.62 c
TF.63 e
TF.64 c
TF.65 e
TF.66 e
TF.67 c
TF.68 c
TF.69b
TF.7D b
TF.71 c
TF.72 d
TF.73 c
TF.74 d
TF.75 d
TF.76 a
TF.77 d
TF.78 c
TF.79 e
TF.8D a
TF.81 d
TF.82d
TF.83 b
TF.84 a
TF.85 e
TF.86 c
TF.87 a
TF.88 e
TF.89 d
TF.90 a
TF.91 d
TF.92 b
TF.93 a
TF.94 e
TF.95d
TF.96 c
TF.97 a
TF.98 a
TF.99 e
TF.100 e
TF.101 b
TF.1D2 b
TF.103 d
TF.1D4 d
TF.105 d
TF.106 e
TF.1D7 d
TF.1D8·a
TF.1D9c
TF.110b
TF.111 b
TF.112b
TF.113 d
TF.114a
TF.115 d
TF.116 c
TF.117 a
TF.118 e
TF.119 a
TF.12D d
TF.121 a
TF.122 a
TF.123 e
TF.124 a
TF.125 d
TF.126 d
TF.127 c
TF.128 e
TF.129 b
TF.13D c
TF.131 d
TF.132 d
TF.133 c
TF.134 a
TF.135 d
TF.136 c
TF.137 b
TF.138 e
TF.139 b
TF.14D d
TF.141 c
TF.142 b
TF.143 a
TF.144 a
TF.145 c
TF.146 c
TF.147 a
TF.148 a
TF.149 d
TF.15D d
TF.151 d
TF.152 b
TF.153 d
TF.154 b
TF.155 a
TF.156 c
TF.157b
TF.158 a
TF.159 a
TF.16D c
TF.161 e
TF.162 d
TF.163 b
TF.164 b
TF.165 e
TF.166 e
TF.167 a
TF.168 c
TF.169 e
TF.170 c
TF.171 e
TF.172 b
TF.173 e
TF.174 d
TF.175 b
TF.176 b
TF.177 a
TF.178 d
TF.179 a
TF.18D b
TF.181 a
TF.182 b
TF.183 a
TF.184 b
TF.185 e
TF.186 a
TF.187 e
TF.188 d
TF.189 b
TF.19D c
TF.191 b
TF.192 a
TF.193 e
TF.194 a
TF.195 c
TF.196 d
TF.197 d
TF.198 b
TF.199 d
TF.20D a
TF.2D1 e
TF.202 a
TF.203 a
TF.204 c
TF.2D5 d
TF.206 b
TF.207 d
207-F