RESUMO E EXERCÍCIOS – NÚMEROS COMPLEXOS
NÚMEROS COMPLEXOS
Forma algébrica e geométrica
Um número complexo é um número da forma a + bi, com a e b reais e i = −1 (ou, i2 = -1), chamaremos: a – parte
real; b – parte imaginária; e i – unidade imaginária.
Fixando um sistema de coordenadas no plano, o complexo z = a + bi é representado pelo ponto P(a, b). O ponto P é
chamado de imagem (ou afixo) do complexo z. O plano no qual representamos os complexos é chamado de plano de
Argand-Gauss. O eixo dos x é chamado de eixo real e o eixo dos y é chamado de eixo imaginário.
Em particular o número complexo z = a + bi, será chamado: imaginário puro se a = 0 e b ≠ 0; imaginário se a ≠ 0 e
b ≠ 0; real se b = 0.
POTÊNCIAS DA UNIDADE IMAGINÁRIA
As potências de i apresentam um comportamento interessante. Essas potências se repetem em ciclos de 4 e para qualquer
potência natural n de i corresponderá a uma das seguintes possibilidades: i0 = 1; i1 = i; i2 = –1; i3 = –i.
Observe que n pode ser escrito como n = 4q + r, onde q é quociente e r é o resto da divisão de n por 4, assim:
i n = i 4 q + r = i 4 q .i r = ( i 4 ) .i r = 1q.i r = i r .
q
IGUALDADE
Os complexos z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i são iguais se, e somente se, a1 = a2 e b1 = b2.
OPERAÇÃO DE ADIÇÃO/SUBTRAÇÃO E MULTIPLICAÇÃO
Definem-se, no conjunto dos complexos, as operações usuais, válidas para os números reais, isto é, para efetuarmos a
adição/subtração entre complexos basta adicionar/subtrair as partes reais e imaginárias ordenadamente, para efetuarmos a
multiplicação entre complexos basta usarmos a distributividade entre seus elementos.
CONJUGADO
O conjugado do complexo z = a + bi, a e b reais, é o complexo z = a – bi. Os complexos conjugados tem imagens
simétricas em relação ao eixo real. Fazendo z.z obtemos a norma de z, um número real.
DIVISÃO
Para dividir números complexos, multiplicamos dividendo e divisor pelo conjugado do divisor, o que transforma o
problema em uma divisão por um número real.
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EXERCÍCIOS EM SALA
1. (FUVEST) Sabendo que α é um número real e que a parte imaginária do número complexo
2+i
é zero, então α é:
α + 2i
a) -4
b) -2
c) 1
d) 2
e) 4
2. (UEL) Seja o número complexo z = x + yi, com x e y reais. Se z.(1 – i) = (1 + i)2, então:
a) x = y
b) x – y = 2
c) x.y = 1
d) x + y = 0
e) y = 2x
3. Seja a matriz
z + z
A=
 zz
i342 
 , onde z = a + bi é um número complexo.
z − z
Sendo det A = 27, o valor de a2 + b2 é igual a...
QUESTÕES PROPOSTAS
01 - (UFJF MG) A figura abaixo mostra, no plano complexo, o círculo de raio 1, os afixos de cinco números complexos e
as bissetriz dos quadrantes. O número complexo i z , onde “i” é a unidade imaginária e z é o conjugado de z, é
igual a:
.
.
.
..
z
r
s
a)
b)
c)
d)
e)
w
t
z;
w;
r;
s;
t;
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02 - (UNICAMP) Um triângulo eqüilátero, inscrito em uma circunferência de centro na origem, tem como um de seus
vértices o ponto do plano associado ao número complexo 3 + i .
a) Que números complexos estão associados aos outros dois vértices do mesmo triângulo? Faça a figura desse
triângulo.
b) Qual a medida do lado desse triângulo?
03 - (UNIFICADO) A figura mostra, no plano complexo, o círculo de centro na origem raio 1, e as imagens de cinco
números complexos.
O complexo 1/z é igual a:
.
.
w
r
.
z
.
.
s
t
a)
b)
c)
d)
e)
z
w
r
s
t
04 - (UEM) Seja i a unidade imaginária, a e b as raízes da equação 2x 2 + ix + 1 = 0 , é incorreto afirmar que
a) a parte real de a e a parte real de b são iguais.
b) |a| + |b| = |a − b|
v
c) a + b = a + b
 3π 
 3π 
π
π
 + i ⋅ sen   e cos  + i ⋅ sen  
 2 
 2 
2
6
d) as raízes são cos
e) |ab| = ab
05 - (UFSC) Dados z = −1 + i 3 , determine a soma dos números associados à(s) afirmações verdadeira(s):
01. O conjugado de z é z = −1 − i 3
02. O quadrado de z é z ² = 2(1 − 3i)
04. O oposto de z é − z = 1 − i 3
08. O produto de z pelo seu conjugado é z.z = 4
16. A norma de z é 4.
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06 - (UERJ) O valor de
1+ 2i
é
1+i
3 1
+ i.
2 2
3 1
b) − + i.
2 2
3 1
c) − − i.
2 2
3 1
− i.
d)
2 2
a)
e) 3.
2
2
07 - (IBMEC) Dada uma constante real k, considere a equação x – 2kx + k + 1 = 0, na variável x. Para cada valor de k, a
equação foi resolvida e suas soluções foram plotadas no plano complexo de Argand-Gauss.
Dentre as alternativas abaixo, aquela que mais se assemelha à figura obtida é
a)
b)
c)
d)
e)
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08 - (UFOP MG) O conjunto-solução da equação z 2 + ( z ) 2 = 0 (onde z denota o conjugado do número complexo z) é
representado no plano complexo por:
a) duas retas perpendiculares.
b) uma elipse.
c) uma hipérbole.
d) duas retas paralelas.
09 - (UEPG) Sabendo que i = − 1 , assinale as proposições corretas.
01. 1 + i + i 2 + i3 + ..... + i 400 = 1
02. Se 2i é uma raiz da equação x 4 + bx 2 = 0 , então b = 4
04. Para que z =
2 + ai
seja um número real, a = –2
1− i
4
08. O termo médio do desenvolvimento do binômio (2i + 1) vale –24
16. O argumento do complexo z = 1 − i é
10 - (UFRN) O número complexo
a)
b)
c)
d)
( )
1− i 25
1+ i
7π
rad
4
é igual a:
i
1
−1
−i
11 - (FURG) Se u = 1 – 2i é um número complexo e u , seu conjugado, então z = u 2 + 3u é igual a
a) – 6 – 2i
b) 2i
c) – 6
d) 8 + 2i
e) – 6 + 2i
1
12 - (UNESP) Considere o número complexo z = i, onde i é a unidade imaginária. O valor de z 4 + z 3 + z 2 + z + é
z
a) – 1
b) 0
c) 1
d) i
e) – i
50
13 - (UFJF MG) Se i é a unidade imaginária, então ∑ i n vale:
n =1
a)
b)
c)
d)
e)
1 – i;
1 + i;
0;
– 1 + i;
– 1 – i.
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14 - (UNIMEP) O valor de (1 + i)10 onde i é a unidade imaginária, é:
a) 64 i
b) 128 i
c) 32 i
d) -32 i
e) nenhuma das anteriores
15 - (ITA)
2
Sejam x e y números reais, com x ≠ 0, satisfazendo (x + iy) = (x + y) i. Então:
a) x e y são números irracionais.
b) x > 0 e y < 0
3
2
c) x é uma raiz da equação x + 3x + 2x – 6 = 0
d) x < 0 e y = x
2
2
e) x + xy + y = 0,5
16 - (UEPG)
Sendo m o número que torna o complexo z =
17 - (UEL) Qual é o valor de a, real, para que
a)
b)
c)
d)
e)
2 − 4mi
, um imaginário puro; então o valor de N = 4m 2 − 2m é…
3−i
2 + ai
seja um imaginário puro?
1− i
−2
−1
0
1
2
18 - (UNIOESTE) Seja z um número complexo da forma a + bi, onde a e b são escolhidos dentre os elementos do
conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
a) Quantos números complexos podem ser assim formados?
b) Dentre os números formados, quais satisfazem a equação z + z = 2 ?
19 - (IME) Sejam z e w números complexos tais que:
w 2 − z 2 = 4 + 12i

z − w = 2 + 4i
onde z e w representam, respectivamente, os números complexos conjugados de z e w. O valor de z + w é:
a) 1 – i
b) 2 + i
c) –1 + 2i
d) 2 – 2i
e) –2 + 2i
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20 - (UEM) Considerando z1e z2 dois números complexos distintos entre si, cujas representações geométricas em um
sistema ortogonal de coordenadas são simétricas em relação ao eixo das abscissas, marque a(s) alternativa(s)
correta(s).
01. Se z 1 =
2
2
2
2
+
i , então, z 2 = −
+
i.
2
2
2
2
02. z 12 = z 22 .
04. z1 + z2 = 0.
08. Se z1 é a raiz de um polinômio com coeficientes reais, então, z2 também é raiz deste polinômio.
16. Se O é a origem do sistema ortogonal de coordenadas, então, os pontos que representam O, z1e z2, no sistema
ortogonal, são pontos colineares.
GABARITO
Unidades
Dezenas
0
0
1
2
D
08
1
A
B
2
*
E
3
E
D
4
C
C
5
29
C
6
A
12
7
D
E
8
A
*
9
31
D
02.
a)
;A=
3 + i ; B = - 3 + i ; C = -2i.
b) 2 3
18.
a) 36
b) 1, 1+i, 1+2i, 1+3i, 1+4i, 1+5i.
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Forma trigonométrica
Representaremos o complexo z = a + bi, no plano de Argand-Gauss, não mais como um ponto P(a, b), mas como um
vetor OP = (a, b).
Assim o módulo de um número complexo z = a + bi é definido como sendo o módulo do vetor que o representa, isto é, o
valor da distância de sua imagem P à origem. Portanto, z = a 2 + b 2 .
Um argumento de um complexo z ≠ 0, é por definição qualquer dos ângulos θ que o vetor OP forma com o semi-eixo
positivo dos x. O argumento que pertence ao intervalo ]-π, π] é dito argumento principal (na maioria dos problemas
quando existe referência ao argumento de um complexo é sobre este de que se trata).
Usando a trigonometria temos que: a = | z |.cosθ; e b = | z |.senθ. Logo o complexo z = a + bi pode ser escrito como:
z = | z |.(cosθ + i.senθ ).
OPERAÇÕES
Para efetuarmos as operações de multiplicação e divisão entre complexos usamos o seguinte teorema.
Teorema: Se z1 = z1 . ( cos α + i.senα ) e z2 = z2 . ( cos β + i.senβ ) números complexos então:
z1 .z 2 = z1 .z2 . ( cos(α + β) + i.sen(α + β) )
e se z2 ≠ 0,
z1
z
= 1 . ( cos(α − β) + i.sen(α − β) ) .
z2
z2
Se n é um número inteiro a potência de um complexo é dada por: z n = z n . ( cos(nθ) + i.sen(nθ) ) . Este resultado é
conhecido como Fórmula de Moivre.
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Cálculo de raízes de um complexo
Para calcular
n
z=
n
z . ( cos θ + i.senθ ) devemos obter ωn = z . ( cos θ + i.senθ ) .
Fazendo ω = ω . ( cos α + i.senα ) , obtemos:
( ω . ( cos α + i.senα ) )
n
= z . ( cos θ + i.senθ ) ⇒ ωn . ( cos(nα) + i.sen(nα) ) = z . ( cos θ + i.senθ )
Como complexos iguais tem módulos iguais e argumentos congruentes, temos:
a) ωn = z ⇒ ω =
n
z ;e
b) nα = θ + 2kπ ⇒ α =
θ + 2k π
, k inteiro.
n

 θ + 2k π 
 θ + 2k π  
Assim as raízes n-ésimas de z são dadas por: ωk = n | z |.  cos 
 + i.sen 
  , com k = 0, 1, 2, ..., (n-1).
n


 n 

Observe que: as imagens das raízes de um complexo se situam em uma circunferência de centro na origem e raio igual a
n
| z | formando um polígono regular inscrito de n lados (se n>2); os argumentos crescem em progressão aritmética de
razão
2k
.
n
São formas equivalentes de se escrever um complexo:
z = a + bi =| z | . ( cos θ + i.senθ ) =| z | .eθi , respectivamente forma algébrica, trigonométrica e exponencial.
EXERCÍCIOS EM SALA
1. (UFSC) Sendo θ o argumento principal do número complexo z = − 2 + i 2 , então o valor da quinta parte de θ em
graus, é:
2. (UEL) Sejam z1 e z2 os números complexos z1 = 3.(cos 30º + i.sen 30º) e z2 = 5.(cos 45º + i.sen 45º). O produto de z1
por z2 é o complexo:
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a) 15.(cos 1350º + i.sen 1350º)
b) 8.(cos 75º + i.sen 75º)
c) 8.(cos 1350º + i.sen 1350º)
d) 15.(cos 15º + i.sen 15º)
e) 15.(cos 75º + i.sen 75º)
 2
2
3. (UFPR) Sendo i a unidade imaginária, o valor de 
−i

2 
 2
30
é:
4. (FGV) As raízes quadradas do número 3+4i, onde i representa a unidade imaginária, são:
a) {2+i, –2–i}
b) {1+i, –1–i}
c) {3+i, –3–i}
d) {4+i, –4–i}
e) {1+2i, –1–2i}
QUESTÕES PROPOSTAS
01 - (ITA) Considere os números complexos z = 2 + i 2 e w = 1 + i 3 . Se m =
a)
b)
c)
d)
e)
w 6 + 3z 4 + 4i
2
3
z + w + 6 − 2i
2
, então m vale:
34
26
16
4
1
πi
02 - (ITA) As raízes de ordem 4 do número z = e 2 , onde i é a unidade imaginária, são:
a)
zk = cos θk + i . sen θk, onde θ k = 1+ 4 k .π , com k = 0, 1, 2, 3.
8
b) zk = e iθ k , onde θ k = 1+ 3k .π , com k = 0, 1, 2, 3
8
zk = e
iθ k
, onde θk = 4kπ, com k = 0, 1, 2, 3
d) zk = e
iθ k
, onde θ k = 1− 4k .π , com k = 0, 1, 2, 3
c)
e)
8
n.d.a
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03 - (UNIFOR CE) Seja o número complexo z = x + 3i, em que x é um número real negativo. Se z = 6 , então a forma
trigonométrica de z é
2π
2π
a) 6.(cos
+ i.sen )
3
3
5π
5π
b) 6.(cos
+ i.sen )
6
6
4π
4π
c) 6.(cos
+ i.sen )
3
3
5π
5π
+ i.sen )
d) 6.(cos
3
3
11π
11π
e) 6.(cos
+ i.sen
)
6
6

04 - (UEM) Seja z = 3 cos

5π
5π 
+ i sen  um número complexo.
3
3 
É correto afirmar que o conjugado de z é
a) z = 3(1 + i 3 )
b)
c)
d)
e)
3
(1 + i 3 )
2
3
z = (1 − i 3 )
2
3
z = (−1 + i 3 )
2
z=
z = 3(1 − i 3 )
05 - (UEM) Considerando o polinômio de variável complexa p( z) = z12 − 1 , assinale o que for correto.
 2π 
 2π 
 + i sen  é uma raiz para esse polinômio.
12
 
 12 
01. Pode-se afirmar que z = cos
 2π 
 2π 
k
 + i sen  é uma raiz para esse polinômio, então, para todo natural k, z é
12
12
 
 
02. Pode-se afirmar que, se z = cos
também raiz desse polinômio.
 2 kπ 
 2 kπ 
 + i sen
,k∈
 12 
 12 
04. Pode-se afirmar que, se z k = cos
, é uma raiz para esse polinômio, então o polinômio
tem infinitas raízes.
08. As raízes desse polinômio estão sobre a circunferência de centro na origem e raio1, dada por z = 1 .
(
)(
)
16. Como p( z) = z 6 − 1 z 6 + 1 , considere apenas as raízes de q (z) = z 6 − 1 . Essas raízes determinam um polígono
inscrito na circunferência z = 1 , cuja área é 3
3
u.a.
2
06 - (UEPG) Em relação aos números complexos z1 = 2 + i , z2 = 1 + 2i e z3 = 3i , assinale o que for correto.
01. z1, z2 e z3, nesta ordem, formam uma P. G. de razão
3
i.
5
02. z1, z2 e z3, nesta ordem, formam uma P.A. cuja razão é o conjugado de z = – 1 – i.
04. O módulo e o argumento de z3 são, respectivamente, 3 e
π
rd .
2
08. A soma dos quadrados dos módulos de z1 e z2 é 50.
6
16. O valor de
z1
é 125.
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07 - (CEFET) O número complexo, cujas raízes sextas estão representadas a seguir, é:

5π
5π
+ isen
.
6
6 
a)
729  cos
b)
5π
5π 

27  cos
+ isen
.
216
216


c)
729  cos
d)
5π
5π

+ isen
81  cos
.
6
6 

e)
27  cos





5π
5π
+ isen
.
36
36 
5π
5π 
+ isen  .
6
6 
08 - (IME RJ/2010)
Considere o sistema abaixo, onde x1, x2, x3 e Z pertencem ao conjunto dos números complexos.
(1 + i ) x 1 − ix 2 + ix 3 = 0

 2 ix 1 − x 2 − x 3 = Z

( 2i − 2 ) x 1 + ix 2 − ix 3 = 0
O argumento de Z, em graus, para que x3 seja um número real positivo é:
a) 0
b) 45
c) 90
d) 135
e) 180
Obs.: i = − 1
09 - (UEM) Com relação aos números complexos, assinale o que for correto.
6
01. (2 + 2 i) é um número imaginário puro.
i103
2
é um número cujo módulo é
.
1+ i
2
z + 2i
9+7i
04. Se
= 3 , então z =
.
i z +1
10
02. z =
08. O ponto, no plano complexo, correspondente ao número complexo z =

16. 8 cos

i103
está localizado no 4.º quadrante.
1+ i
5π
5π 
+ i sen
 é a forma trigonométrica do número complexo z = - 4 3 − 4i .
6
6 
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RESUMO E EXERCÍCIOS – NÚMEROS COMPLEXOS
π
3
π
3
10 - (UEM) Considere os números complexos z1 = 2(cos + i sen ) e z 2 = 2(cos
7π
7π
+ i sen ) e as suas representações no
6
6
plano complexo xOy. Considere ainda que, se z é um número complexo, então z representa o seu conjugado.
Sobre o exposto, é correto afirmar que
01. z1 = z 2 .
02. (z1 ) 7 = 32(z 2 ) 2 .
04. z1 e z 2 pertencem à circunferência de equação x 2 + y 2 = 2 .
08. z1 é solução da equação z 2 − 2z + 4 = 0 .
16. a medida do segmento que une z1 e z 2 é (1 + 3 ) unidades de comprimento.
11 - (UFRJ) No jogo Batalha Complexa são dados números complexos z e w, chamados mira e alvo respectivamente.
O tiro certeiro de z em w é o número complexo t tal que tz = w.
Considere a mira z e o alvo w indicados na figura acima. Determine o tiro certeiro de z em w.
12 - (UEPG) A respeito do número complexo z=1+i, assinale o que for correto.
10
01. z = 32i
02. z − z é um número real ( z é o conjugado de z)
04. z é uma das raízes cúbicas de –4

π
4
π
4
08. A forma trigonométrica de z é z = 2  cos + i sen 

13 - (UEM) Com relação aos números complexos, assinale a alternativa incorreta.
 2kπ 
 2kπ 
 + isen 
 é solução de x n − 1 = 0 , para qualquer n ∈ N * .
 n 
 n 
a) Para todo k ∈ Z , z = cos
b)
c)
i 2006 + i 2008
= i 2007 .
2
π
π


i (cos θ + isenθ) = cos θ +  + isen  θ +  , em que θ ∈ R .
2
2



d) Se z = a + bi, então z 2 + z 2 = 2(a + b)(a − b) , em que a,b ∈ R e z é o conjugado de z.
e) Se z = 1 − i , então
1 z
= , em que z é o conjugado de z.
z 2
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RESUMO E EXERCÍCIOS – NÚMEROS COMPLEXOS
14 - (UNESP) Considere o número complexo z = cos
π
π
+ isen . O valor de z 3 + z 6 + z12 é:
6
6
a) –i
b)
1
3
+
i
2
2
c) i – 2
d) i
e) 2i
15 - (UEM) Considere os números complexos z1 = 6 + 23i e z 2 = 12 + 29i . No plano complexo (ou plano de ArgandGauss), a curva definida pela equação | z − z1 |=| z − z 2 | intersecta o eixo y (ou eixo imaginário) em um ponto Q. A
ordenada de Q é…
16 - (UFMS) Um número complexo é um número da forma z = x + yi , com x e y reais e i = − 1 . Fixando um sistema de
coordenadas no plano, o complexo z = x + yi pode ser representado pelo ponto ( x , y) , chamado imagem do complexo
z. O conjugado do complexo z = x + yi é o número complexo z = x − yi .
A figura abaixo mostra, no plano complexo, uma circunferência de centro na origem e raio 1, e as imagens de oito
números complexos z1, z2, z3, z4, z5, z6, z7 e z8, que estão sobre os vértices de um octógono regular inscrito nessa
circunferência.
Considerando essas informações, assinale a(s) proposição(ões) verdadeira(s).
01. z 2 = z 8
02. z 3 ⋅ z 7 = −1
04. z 2 ⋅ z 3 ⋅ z 4 = z 3
08. z 4 = cos135º −i sen 135º
16. z 2 + z 6 = 0
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RESUMO E EXERCÍCIOS – NÚMEROS COMPLEXOS
17 - (UEM) Denomina-se argumento de um número complexo não nulo z = x + yi um ângulo θ tal que cos θ =
x
e
r
y
, em que r = z . Considerando 0 ≤ θ < 2π , assinale a alternativa incorreta.
r
π
a) O argumento de z = 3 + i é
6
senθ =
b) Se o argumento de um número complexo z0 é
c)
Se z = i, então o argumento de z é
π
1
3
e o módulo de z0 é 1, então z 0 = +
i
3
2
2
π
2
d) Se z = x + yi é um número complexo qualquer não nulo, então podemos escrevê–lo como z = z (cos θ + i senθ) ,
e)
em que θ é um argumento z.
Se o módulo de um número complexo z0 é 5, então z 0 = 5 + 5i
3
2
18 - (UNESP) As soluções da equação z = i, onde z é um número complexo e i = –1, são:
a)
b)
c)
d)
e)
2 1
+ i
2
2
3 1
z=±
− i
2
2
3 1
z=±
+ i
2
2
2 1
z=±
− i
2
2
1
3
i
z=± −
2
2
z=±
ou z = − i
ou z = − i
ou z = − i
ou z = − i
ou z = − i
3
19 - (UEPG) As representações gráficas dos complexos z tais que z = 1 são os vértices de um triângulo. Em relação a
esse triângulo assinale o que for correto.
01. É um triângulo equilátero de lado igual a
3 u.c.
3
u.c.
4
04. Um de seus vértices pertence ao 2º quadrante.
02. É um triângulo isósceles de altura igual a
08. Seu perímetro é 3 3 u.c.
16. Sua área é
3 3
u.a
4
20 - (UEM) Sobre os números complexos, assinale o que for correto.
4 1
01) Se z = 4 + i e w = − i , então zw = 1.
17 17
45
02) (i) = -1.
6 + 3i
04) z =
é um número real.
4 + 2i
08) Se z = 2 + 3i, então | z | = 5.
π
π

16) Se z = 3 + i , então z = 2.  cos + i.sen  .
6
6

iα
iβ
i(α+β)
32) Se z1 = r1e e z2 = r2e , então z1z2=r1r2e
.
iα
-1
-iα
64) Se z = re então z = re .
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RESUMO E EXERCÍCIOS – NÚMEROS COMPLEXOS
GABARITO
Unidades
Dezenas
0
0
1
2
11
53
1
A
*
2
A
09
3
B
B
4
B
D
5
27
35
6
22
21
7
A
E
8
E
C
9
07
29
11. t = − 3 − i
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