Novo Módulo de MD
2013/1
Unidade 1
Matemática Discreta
Tópicos da Linguagem e da Lógica Matemáticas
Texto da Semana 1, Parte 3
Simbolização de Enunciados
Sumário
1 Conectivos e simbolização dos conectivos
18
2 Enunciados componentes
18
2.1 Observações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Exercı́cio resolvido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Legendas
20
3.1 Observações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Exercı́cio resolvido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Simbolização de enunciados
24
4.1 Observações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 Exercı́cio resolvido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Neste texto, estudamos uma das principais ferramentas empregadas na análise
lógica dos enunciados: a simbolização. A simbolização de um enunciado explicita a
sua forma, transformando-o em um objeto mais enxuto, mais tratável, do ponto de
vista da análise lógica. Abordamos os conceitos de enunciado componente, legenda
e simbolização baseada em uma legenda. Depois de estudarmos os conteúdos deste
texto, vamos ser capazes de
– reconhecer os componentes de um enunciado;
– determinar legendas para a simbolização de enunciados;
– simbolizar enunciados, usando legendas.
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Unidade 1
Conectivos e simbolização dos conectivos
O estudo da formação de enunciados consiste em, dado um enunciado, analisálo, classificando-o como atômico ou molecular e, quando molecular, explicitando a
maneira como ele é formado.
As partı́culas
não é o caso que
,
e
,
ou
,
se . . . então
,
se, e somente se
são chamadas de conectivos lógicos, quando são usadas na formação de enunciados da maneira que será agora especificada.
Inicialmente, vamos simbolizar os enunciados de acordo com a maneira como eles
são formados pela aplicação de conectivos a enunciados atômicos. Posteriormente,
vamos simbolizar enunciados formados de maneira mais complexa.
Sempre que for conveniente, vamos simbolizar os conectivos de acordo com a
tabela:
conectivo não e ou se . . . então se e somente se
sı́mbolo
¬ ∧ ∨
→
↔
Esta convenção tem dois objetivos: (1) simplificar a formação e a avaliação de
enunciados; (2) alertar que na Linguagem Matemática os conectivos são empregados
de uma maneira peculiar, diferente da maneira como eles são usados em outras
linguagens.
Além disso, enunciados genéricos serão denotados pelas letras gregas minúsculas
α alfa
θ teta
σ sigma
β beta
λ lambda
τ tau
γ gama
µ mi
φ fi
δ delta
ρ rô
ψ psi,
usualmente indexadas por números naturais. Também vamos utilizar a letra grega
φ estilizada, escrevendo-a como ϕ.
2
Enunciados componentes
Para analisar e simbolizar um enunciado é essencial que saibamos explicitar
corretamente a maneira como ele é formado a partir de enunciados atômicos. Vamos,
agora, estudar este processo, de maneira detalhada.
Seja ϕ um enunciado e ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn enunciados atômicos.
Dizemos que ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn são os componentes de ϕ, quando ϕ é formado a
partir de ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn pela aplicação (zero, uma, ou mais vezes) dos conectivos lógicos.
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2013/1
Unidade 1
O primeiro passo para a simbolização é determinar os enunciados componentes.
Exemplo 1 (a) O componente de
ela não gosta de bebidas amargas
é
ela gosta de bebidas amargas
(b) Os componentes de
ψ : está chovendo ou está fazendo sol
são
está chovendo
2.1
,
está fazendo sol
Observações
Observação 1 Como os componentes são enunciados atômicos, eles não possuem
ocorrências de conectivos. Por exemplo, o componente de
não é o caso que x não é primo
é
x é primo
Os componentes de
se x não é primo, então x é igual a 1 ou x não tem um fator próprio
são
x é primo
,
x é igual a 1
,
x tem um fator próprio
Observação 2 Ocorrências distintas de um mesmo enunciado atômico, em um dado
enunciado, são consideradas como distintas. Por exemplo,
ϕ : se 2 é par e 3 é par, então 2 é par
é formado a partir de dois enunciados atômicos:
2 é par
,
Neste caso, o componente
2 é par
ocorre duas vezes em ϕ.
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3 é par
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2.2
2013/1
Unidade 1
Exercı́cio resolvido
Exercı́cio 1 Para cada enunciado abaixo, determine o(s) componente(s).
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
2 é ı́mpar
3 não é par
eu trabalho e os outros ficam ricos
f (x) não é derivável ou f (x) é continua
se estudo para a prova, então não vou à praia e não vou ao cinema
sou realizado se, e somente se, planto uma árvore, escrevo um
livro e tenho um filho
Antes de ler a resolução, tente resolver o exercı́cio usando os conceitos estudados.
Resolução do Exercı́cio 1: (i) Componente: 2 é ı́mpar. (ii) Componentes: 3 é
par. (iii) Componentes: eu trabalho , os outros ficam ricos. (iv) Componentes:
f (x) é derivável , f (x) é continua. (v) Componentes: eu estudo para a prova ,
eu vou à praia , eu vou ao cinema. (vi) Componentes: eu sou realizado , eu
planto uma árvore , eu escrevo um livro , eu tenho um filho.
3
Legendas
O segundo passo para a simbolização é simbolizar os componentes.
(1) Sejam ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn enunciados atômicos, distintos dois a dois.
Uma legenda para ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn é um esquema da forma:
l1 : ϕ1
l2 : ϕ2
..
.
ln : ϕn
onde l1 , l2 , . . . , ln são n letras distintas, escolhidas dentre as letras
p, q, r, s, p1 , q1 , r1 , s1 , . . .
chamadas de variáveis para enunciados.
(2) Seja ϕ um enunciado.
Uma legenda para ϕ é uma legenda para os componentes de ϕ.
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Unidade 1
Exemplo 2 (a) Uma legenda para o enunciado atômico
ela gosta de bebidas amargas
pode ser a seguinte:
p : ela gosta de bebidas amargas
(b) Uma legenda para o enunciado molecular
ela não gosta de bebidas amargas
também pode ser:
p : ela gosta de bebidas amargas
(c) Uma legenda para o enunciado molecular
não é o caso que x não é primo
pode ser a seguinte:
q : x é primo
(d) Uma legenda para o enunciado molecular
está chovendo ou está fazendo sol
pode ser a seguinte:
r : está chovendo
s : está fazendo sol
(e) Uma legenda para o enunciado molecular
se x não é primo, então x é igual a 1 ou x não tem um fator próprio
pode ser a seguinte:
p1 : x é primo
p2 : x é igual a 1
p3 : x tem um fator próprio
(f) Uma legenda para o enunciado molecular
se 2 é par e 3 é par, então 2 é par
pode ser a seguinte:
q1 : 2 é par
q2 : 3 é par
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3.1
2013/1
Unidade 1
Observações
Observação 3 Todos os enunciados que ocorrem nas legendas devem ser atômicos
e, por isto, não devem possuir ocorrências de conectivos.
Observação 4 Numa legenda para um enunciado ϕ, cada um dos componentes de
ϕ deve ser denotado por uma letra diferente, escolhida dentre as variáveis
p, q, r, s, p1 , q1 , r1 , s1 , . . .
Oficialmente, estas são as únicas letras que podem ser usadas nas legendas mas,
muitas vezes, para facilitar a análise de um enunciado, usamos letras mais sugestivas.
Observação 5 Dada um enunciado ϕ, ocorrências distintas de um mesmo enunciado atômico em ϕ são consideradas como distintas, mas são denotadas pela mesma
letra. Por exemplo, o enunciado
eu vou e eu vou, e eu vou
possui três ocorrências do enunciado
eu vou
Uma legenda para ele é, simplesmente,
v : eu vou
3.2
Exercı́cio resolvido
Exercı́cio 2 Para cada enunciado abaixo, faça o que se pede:
(1) Determine seu(s) componente(s). Observe que alguns conectivos foram escritos
de uma forma estilizada. Por isto, quando for necessário, reescreva o enunciado, de
modo a tornar a sua estrutura mais aparente.
(2) Baseado na solução do item (1), defina uma legenda para o enunciado.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(vii)
(viii)
(ix)
(x)
(xi)
(xii)
P é um ponto de acumulação
4 não é um quadrado perfeito
4 nunca foi um número primo
eu trabalho e eu ganho dinheiro
eu trabalho, mas não ganho dinheiro
eu não estudo ou eu não me divirto
se eu não vou ao jogo, então eu lavo o carro
caso eu lave o carro, eu vou ao jogo
eu vou ao jogo se eu não lavar o carro
eu lavo o carro quando vou ao jogo
o dia está nublado se, e somente se, o sol está encoberto
o dia não está nublado quando, e somente quando, o sol brilha no céu
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Unidade 1
Antes de ler a resolução, tente resolver o exercı́cio usando os conceitos estudados.
Resolução do Exercı́cio 2: (i) Componente: P é um ponto de acumulação. Legenda:
p : P é um ponto de acumulação
(ii) Componente: 4 é um quadrado perfeito. Legenda:
q : 4 é um quadrado perfeito
(iii) O enunciado pode ser reescrito como 4 não é um número primo. Componente:
4 é um número primo. Legenda:
n : 4 é um número primo
(iv) Componentes: eu trabalho , eu ganho dinheiro. Legenda:
t : eu trabalho
d : eu ganho dinheiro
(v) O enunciado deve ser reescrito como eu trabalho e eu não ganho dinheiro.
componentes e a legenda são os mesmos do item (iv).
Os
(vi) Componentes: eu estudo , eu me divirto Legenda:
e : eu estudo
d : eu me divirto
(vii) Componentes: eu vou ao jogo , eu lavo o carro Legenda:
j : eu vou ao jogo
l : eu lavo o carro
(viii) O enunciado deve ser reescrito como se eu lavo o carro, então eu vou ao jogo.
Os componentes e a legenda são os mesmos do item (vi).
(ix) O enunciado deve ser reescrito como se eu não lavo o carro, eu vou ao jogo.
Os componentes e a legenda são os mesmos do item (vi).
(x) O enunciado deve ser reescrito como se eu vou ao jogo, então eu lavo o carro.
Os componentes e a legenda são os mesmos do item (vi).
(xi) Componentes: o dia está nublado , o sol está encoberto.
Legenda:
n : o dia está nublado
e : o sol está encoberto
(xii) O enunciado deve ser reescrito como o dia não está nublado se, e somente se, o
sol brilha no céu. Componentes: o dia está nublado , o sol brilha no céu. Legenda:
n : o dia está nublado
b : o sol brilha no céu
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Unidade 1
Simbolização de enunciados
Após determinar os componentes, e definir uma legenda, o último passo é, simplesmente, simbolizar.
Vamos ver, agora, alguns exemplos da aplicação deste procedimento.
Exemplo 3 (a) O enunciado
ela gosta de bebidas amargas
pode ter
p : ela gosta de bebidas amargas
como legenda. Portanto, ele pode ser simbolizado por
p
(b) O enunciado
ela não gosta de bebidas amargas
também pode ter
p : ela gosta de bebidas amargas
como legenda. Portanto, ele pode ser simbolizado por
¬p
(c) O enunciado
não é o caso que x não é primo
pode ter
q : x é primo
como legenda. Portanto, ele pode ser simbolizado por
¬(¬q)
ou, simplesmente,
¬¬q
(d) O enunciado
está chovendo ou está fazendo sol
pode ter
r : está chovendo
s : está fazendo sol
como legenda. Portanto, ele pode ser simbolizado por
r∨s
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2013/1
Unidade 1
(e) O enunciado
se x não é primo, então x é igual a 1 ou x não tem um fator próprio
pode ter
p1 : x é primo
p2 : x é igual a 1
p3 : x tem um fator próprio
como legenda. Portanto, ele pode ser simbolizado por
(¬p1 ) → (p2 ∨ (¬p3 ))
(f) O enunciado
se 2 é par e 3 é par, então 2 é par
pode ter
q1 : 2 é par
q2 : 3 é par
como legenda. Portanto, ele pode ser simbolizada por
(q1 ∧ q2 ) → q1
4.1
Observações
Observação 6 A simbolização de um enunciado deve mostrar corretamente de que
maneira o enunciado é obtido a partir dos enunciados atômicos que o compõem, por
aplicações dos conectivos. Por exemplo, o enunciado
eu vou e eu vou, e eu vou
pode ter
v : eu vou
como legenda. Portanto, ele pode ser simbolizada por
(v ∧ v) ∧ v
Observe que devido ao fato da vı́rgula ocorrer após a segunda ocorrência do e,
este enunciado não é simbolizado como
v ∧ (v ∧ v)
Como veremos adiante, os dois enunciados simbolizados acima têm o mesmo
significado, mas isto nem sempre acontece quando mudamos a maneira como um
enunciado é formado por aplicação dos conectivos.
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4.2
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Unidade 1
Exercı́cio resolvido
Exercı́cio 3 Classificar e simbolizar cada um dos enunciados a seguir.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(vii)
(viii)
(ix)
(x)
(xi)
eu gosto de Lógica
Lógica não é difı́cil
não é o caso que 8 não é maior do que 7
Matemática Discreta não é fácil e Matemática Discreta é interessante
25 não é um quadrado perfeito e 25 não é um múltiplo de 5
eu estudo bastante ou eu não passo em Matemática Discreta
f está bem definida e o gráfico de f é uma reta, ou f não é contı́nua
se ela aprende com facilidade, então: eu vou estudar com ela e ela vai
me ensinar a matéria
se x2 é ı́mpar e x não é diferente de 0, então x não é par
eu passo em Matemática Discreta se, e somente se, eu estudo bastante e
eu tiro as minhas dúvidas
n é um número primo se, e somente se, n não é igual a 1 e n não possui
fatores próprios
Antes de ler a resolução, tente resolver o exercı́cio usando os conceitos estudados.
Resolução do Exercı́cio 3: (i) Atômico. Expressão e propriedade. Legenda:
g : eu gosto de Lógica
Simbolização:
g
(ii) Negação. Formado por aplicação do não ao atômico Lógica é difı́cil. Legenda:
d : Lógica é difı́cil
Simbolização:
¬d
(iii) Negação. Formado por duas aplicações do não ao atômico 8 é maior do que
7. Legenda:
m : 8 é maior do que 7
Simbolização:
¬(¬m)
(iv) Conjunção. Formado por aplicação do e a matemática Discreta não é fácil e
matemática Discreta é interessante. O primeiro é negação, formado por aplicação
do não ao atômico Matemática Discreta é fácil. O segundo é atômico. Legenda:
f : Matemática Discreta é fácil
i : Matemática Discreta é interessante
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Unidade 1
Simbolização:
(¬f ) ∧ i
(v) Conjunção. Formado por aplicação do e a 25 não é um quadrado perfeito e
25 não é múltiplo de 5. O primeiro é negação, formado por aplicação do não ao
atômico 25 é um quadrado perfeito. O segundo é negação, formado por aplicação
do não ao atômico 25 é um múltiplo de 5. Legenda:
q : 25 é um quadrado perfeito
m : 25 é um múltiplo de 5
Simbolização:
(¬q) ∧ (¬m)
(vi) Disjunção. Formado por aplicação do ou a eu estudo bastante e eu
não passo em Matemática Discreta. O primeiro é atômico. O segundo é negação,
formado por aplicação do não ao atômico eu passo em Matemática Discreta.
Legenda:
p : eu estudo bastante
q : eu passo em Matemática Discreta
Simbolização:
p ∨ (¬q)
(vii) Disjunção. Formado por aplicação do ou a f está bem definida e o gráfico de
f é uma reta e f não é contı́nua. O primeiro é conjunção, formado por aplicação
do e aos atômicos f está bem definida e o gráfico de f é uma reta. O segundo
é negação, formado por aplicação do não ao atômico f é contı́nua. Legenda:
d : f está bem definida
r : o gráfico de f é uma reta
c : f é contı́nua
Simbolização:
(d ∧ r) ∨ (∼ c)
(viii) Implicação. Formado por aplicação do se . . . então a ela aprende com
facilidade e eu vou estudar com ela e ela vai me ensinar a matéria. O primeiro é
atômico. O segundo é conjunção, formado por aplicação do e aos atômicos eu
vou estudar com ela e ela vai me ensinar a matéria. Legenda:
a : ela aprende com facilidade
e : eu vou estudar com ela
m : ela vai me ensinar a matéria
Simbolização:
a → (e ∧ m)
(ix) Implicação. Formado por aplicação do se . . . então a x2 é ı́mpar e x não é
diferente de 0 e x não é par. O primeiro é conjunção, formado por aplicação
do e a x2 é ı́mpar e x não é diferente de 0. Este primeiro é atômico. Este
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Unidade 1
segundo é negação, formado por aplicação do não ao atômico x é diferente de
zero. Já x não é par é negação, formado por aplicação do não ao atômico x
é par. Legenda:
i : x2 é ı́mpar
d : x é diferente de zero
p : x é par
Simbolização:
(i ∧ (¬d)) → (¬p)
(x) Biimplicação. Formado por aplicação do se, e somente se a eu passo em
Matemática Discreta e eu estudo bastante e eu tiro as minhas dúvidas. O primeiro
é atômico. O segundo é conjunção, formado por aplicação do e aos atômicos eu
estudo bastante e eu tiro as minhas dúvidas. Legenda:
p : eu passo em Matemática Discreta
e : eu estudo bastante
d : eu tiro as minhas dúvidas
Simbolização:
p ↔ (e ∧ d)
(xi) Biimplicação. Formado por aplicação do se, e somente se a n é um número
primo e n não é igual a 1 e n não possui fatores próprios. O primeiro é atômico.
O segundo é conjunção, formada por aplicação do e a n não é igual a 1 e n
não possui fatores próprios. Este primeirao enunciado é uma negação, formado por
aplicação do não ao atômico n é igual a 1. Este segundo, é negação, obtido
por aplicação do não ao atômico n possui fatores próprios. Legenda:
p : n é um número primo
i : n é igual a 1
f : n possui fatores próprios
Simbolização:
p ↔ ((¬i) ∧ (¬f ))
c 2013 Márcia Cerioli e Petrucio Viana
Coordenação da Disciplina MD/CEDERJ-UAB
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