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Equações e sistemas de equações do 2º grau
Aluno(a):
________________________________ Número: _______ Ano:
Professor(a):
Data:
____
Nota: ____
Questão 1
(OBMEP – RJ) Qual é a menor das raízes da equação
Questão 2
(OBMEP – RJ – adaptada) Mariana entrou na sala e viu no quadro algumas anotações da aula
anterior, parcialmente apagadas, conforme a figura. Qual número foi apagado na linha de
cima do quadro?
a) 11
b) 12
c) 13
d) 20
e) 22
Questão 3
(OBMEP – RJ) Para cercar um terreno retangular de 60 metros quadrados com uma cerca
formada por dois fios de arame foram usados 64 metros de arame. Qual é a diferença entre
o comprimento e a largura do terreno?
a) 4 m
b) 7 m
c) 11 m
d) 17 m
e) 28 m
Questão 4
(UEL – PR) Consideremos o polinômio –x 3 + 4x + 16. O conjunto dos valores reais de x
para os quais o valor numérico desse polinômio seja 2 4 é:
a) {0, –2, 2}.
c) {0, 4}.
b) {–2, 2}.
d) {0, 2, 4}.
e) {2, 4}.
Questão 5
(PUCCamp – SP) A equação mx 2 + 4x + 4 = 0 não admite raízes reais quando:
a) m = 0.
b) m < 1.
c) m , 1.
d) m < – 1.
e) m , – 1.
Questão 6
(FCC – SP) Se x é um número real tal que
a) 0.
b) 1.
c) 1 ou 2.
d) -
e) –1 ou –2.
Questão 7
(EPCAR – MG) O produto das raízes da equação
é:
a) –50.
b) –10.
c) –5.
d) 50.
Questão 8
(EPCAR – MG) Se
a) 18.
b) 9.
c) –9.
d) –18.
Questão 9
(PUC – BA) O polinômio P(x) = x 4 – 4x 3 + 4x 2 – 9 é divisível pelo polinômio D(x) = x 2
– 2x + 3. Sendo Q(x) o polinômio quociente obtido e sabendo que Q(x) = 0, determine os
valores reais de x .
Questão 10
(PUC – SP) Determine os valores de x para que se tenha
com x
Questão 11
(UPM – SP) A soma dos quadrados de dois números pares, positivos e consecutivos é 244.
Nessas condições, a razão entre o menor e o maior desses números é igual a:
Questão 12
(UFMG – MG) Sejam x’ e x’’ as raízes da equação 3x 2 – 5x + p = 0 e
, determine o valor de p .
Questão 13
(ESPM – SP) Quantos divisores naturais tem a maior raiz real da equação x 2 – 7x + 6 = 0?
Questão 14
(Unitau – SP) Uma pessoa distribui 240 balas para um certo número de crianças. Se cada
criança receber uma bala a menos, o número de balas que cada criança receber será igual ao
número de crianças. Qual é o número de crianças?
Questão 15
(FGV – SP) A soma das raízes da equação kx 2 + 3x – 4 = 0 é igual a 10. Qual será o valor
do produto das raízes dessa equação?
Questão 16
(FGV – SP) Um terreno com formato retangular tem área igual a 160 m 2 . Sabendo que seu
perímetro é 56 m, podemos afirmar que:
a) O lado maior terá comprimento igual a 10 m.
b) O lado menor terá comprimento inferior a 6 m.
c) O lado maior terá comprimento superior a 25 m.
d) O lado menor terá comprimento superior a 7 m.
e) n.d.a.
Questão 17
(PUC – SP) A parábola de equação y = 4x 2 + 4x + 1 tem vértice no ponto:
Questão 18
(Fuvest – SP) Se x (1 – x) =
Questão 19
Determine a medida dos lados do retângulo abaixo, sabendo que sua área é 21 cm 2 .
Questão 20
O terreno de Paulo é retangular e tem 440 m 2 de área. Paulo fez o seguinte esboço:
Seu irmão, Guilherme, pegou o esboço para calcular quanto precisaria de arame para fazer
uma cerca com três voltas de arame ao redor do terreno. Os dados do esboço são suficientes
para Guilherme resolver o problema? Caso afirmativo, quantos metros de arame serão
necessários?
Questão 21
O primeiro membro da equação x 2 – 8x – 9 = 0 não é um trinômio quadrado perfeito.
Mostre como resolver essa equação pelo método da fatoração.
Questão 22
Em um galpão de 80 m por 50 m será construída uma quadra de futsal de 1 000 m 2 . Em
torno dessa quadra será deixado um espaço de x m como mostra a figura. Qual é a medida
x?
Questão 23
Resolva os itens a seguir.
a) Descubra a área da sala e da copa da planta abaixo, sabendo que elas são quadradas,
suas áreas somam 52 m 2 e a diferença entre a medida do lado da sala e a medida do lado
da copa é 2 m.
b) Sendo a cozinha retangular, qual é a sua área?
Questão 24
Analise a frase: “O quadrado do quadrado de um número menos o quíntuplo do quadrado
desse número é –4.”. Expresse essa frase na forma de equação e responda: Quantos e quais
os números satisfazem essa equação?
Questão 25
A raiz quadrada de um número real positivo y aumentada de 6 unidades tem como
resultado o próprio número y . Que número é esse? Expresse a equação irracional para
encontrar o valor de y .
Questão 26
Qual é o número real positivo que tem seu quadrado igual à terça parte do seu dobro?
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Questão 27
Resolva o sistema usando números reais.
Questão 28
Encontre as raízes reais das equações abaixo e coloque-as em ordem crescente.
a) - x² + 12x – 36 = 0
Resposta:
__________________________________________________________________________
b) x² - 5x – 2 = 0
Resposta:
__________________________________________________________________________
c) 3x² + 15x = 0
Resposta:
__________________________________________________________________________
Questão 29
a e b são dois números negativos, tal que a – 2b = 4 e a + b² = 7. Então:
a) ab = 12
b) a² + b² = 13
c) a²b = - 18
d) a² - b² = 5
Questão 30
Nas equações de 2º grau a seguir, identifique os coeficientes a, b e c. Classifique-as como
completas ou incompletas:
a) 2x2+3x+1=0
Resposta:
__________________________________________________________________________
b) x2+4x-5=0
Resposta:
__________________________________________________________________________
c) -x2+1=0
Resposta:
__________________________________________________________________________
d) 2x2-6x=0
Resposta:
__________________________________________________________________________
Questão 31
Resolva, sem desenvolver o quadrado, as seguintes equações:
a)(x-2)2=9
Resposta:
__________________________________________________________________________
b)(x+1)2=100
Resposta:
__________________________________________________________________________
c)(2x+3)2=25
Resposta:
__________________________________________________________________________
Questão 32
Resolva as seguintes equações de 2º grau pelo método de completamento de quadrados.
a)x2+2x=3
Resposta:
__________________________________________________________________________
b)4x2+12x+5=0
Resposta:
__________________________________________________________________________
c)x2-8x-9=0
Resposta:
__________________________________________________________________________
Questão 33
Calcule o ? de cada equação e verifique se ela tem uma, duas ou nenhuma raiz real.
a) x2+3x-5=0
Resposta:
__________________________________________________________________________
b)4x2+12x+9=0
Resposta:
__________________________________________________________________________
c)x2+2x+5=0
Resposta:
__________________________________________________________________________
Questão 34
Calcule os valores de k para que a equação x2+kx+1=0 tenha apenas uma raiz real.
Resposta:
__________________________________________________________________________
Questão 35
Resolva as seguintes equações biquadradas:
a)x4-13x2+36=0
Resposta:
__________________________________________________________________________
b) 4x4-21x2-100=0
Resposta:
__________________________________________________________________________
c) x4-16=0
Resposta:
__________________________________________________________________________
Questão 36
A diferença de idade entre um pai e seu filho é 30 anos. Sabendo que há 5 anos o produto
das idades era 175, quais são as idades deles hoje?
Resposta:
__________________________________________________________________________
Questão 37
A soma de três números pares consecutivos é 108. Quais são esses números?
Resposta:
__________________________________________________________________________
Questão 38
Um número x somado com seu próprio dobro resulta em 60, menos o triplo do número
original x. Qual é esse número?
Resposta:
__________________________________________________________________________
Questão 39
Um pai quer dividir R$100,00 entre seus filhos de modo que os valores sejam proporcionais
às suas notas de matemática. Sabendo que o mais velho teve nota 5, o mais novo, nota 7 e
o do meio, nota 8, quando receberá cada filho?
Resposta:
__________________________________________________________________________
Questão 40
Um casal tem três filhas cuja soma das idades é 26 anos. Sabendo que Ana é 6 anos mais
velha que Cláudia, que por sua vez é dois anos mais nova que Clara, calcule as idades das
meninas.
Resposta:
__________________________________________________________________________
Questão 41
Num triângulo, um dos ângulos mede o dobro do outro, e o terceiro mede 10º a menos que
o maior. Quais são os ângulos?
Resposta:
__________________________________________________________________________
Questão 42
Indique 5 soluções da equação: x+y=4.
Resposta:
__________________________________________________________________________
Questão 43
A caixa mostrada abaixo tem volume de 75 cm 3 . Calcule x.
Resposta:
__________________________________________________________________________
Questão 44
Identifique se os números indicados na primeira coluna da tabela são raízes das equações
indicadas nas outras colunas:
Questão 45
Resolva as seguintes equações incompletas do 2º grau:
a) x2-25=0
b) x2+4x=0
c) 2x2-14=0
d) 12x2+4x=0
Questão 46
O retângulo ao lado tem área de 400 cm 2 . Supondo que as medidas a seguir estão dadas
em cm, calcule x.
Resposta:
__________________________________________________________________________
Questão 47
Considere a seguinte equação de 2º grau: x 2 -11x+30=0
a) Identifique os coeficientes a, b e c da equação.
b) calcule ?.
c) calcule as duas raízes da equação.
d) faça a verificação dos valores encontrados substituindo-os na equação.
Questão 48
Resolva as seguintes equações de 2º grau calculando ? e usando a fórmula para x:
a) 2x2-3x+1=0
b) 4x2-4x+1=0
c) x(x+1)=2
e) x2+x+1=0
Resposta:
__________________________________________________________________________
Questão 49
Calcule k para que a equação (k-1)x2+2x-1=0 tenha duas raízes distintas.
Resposta:
__________________________________________________________________________
Questão 50
O sr. João usou 36m de cerca para fazer um galinheiro de largura x, ao lado de um muro,
como mostra a figura abaixo:
Ao terminar ele constatou que a área do galinheiro era de 160m 2 . Calcule a largura x.
Resposta:
__________________________________________________________________________
Questão 51
Resolva as seguintes equações irracionais:
Resposta:
__________________________________________________________________________
Questão 52
A altura h de um triângulo isósceles é 1 cm maior que a metade da sua base B. A área desse
triângulo é 12 cm 2 . Calcule seu perímetro.
Resposta:
__________________________________________________________________________
Questão 53
Reduza os termos semelhantes e indique o grau de cada uma das equações. Caso a equação
seja de 2º grau, escreva-a na forma geral, ax 2 + bx + c = 0, e indique se ela é completa
ou incompleta.
a) 3x 2 – 2x = 3x (x + 9)
b) 3x 2 – 2x = –3x (x + 9)
c) (x + 1)(x – 3) = (2 – x)(1 + 5x)
d) (x 2 – 1) 2 = x – 7
e) x(4x 2 – 1) = 6 – 5x 2
f) 2x(x – 10) = (2x – 5) 2
Questão 54
De acordo com os valores a , b e c dados em cada item da coluna à esquerda, escreva
uma equação de 2º grau na forma geral ax 2 + bx + c = 0. Depois, por meio de verificação,
associe cada equação obtida às raízes correspondentes à direita:
Questão 55
Mostre que m + 1 e 2m são raízes da equação literal, de incógnita x :
x 2 = (3m + 1) x – 2m (m + 1)
Questão 56
Questão 57
Encontre o valor de x nas equações incompletas abaixo. Informe quando não houver
solução real para a equação:
Questão 58
Encontre o valor de x nas equações abaixo. Informe quando não houver solução real para a
equação:
a) (x + 3) 2 = 1
b) (x – 4) 2 = 0
c) (2x + 1) 2 = –25
d) (–7x + 5) 2 = 4
e) (m – nx) 2 = 3
Questão 59
Resolva as equações de 2º grau a seguir, sabendo que o primeiro membro é um trinômio
quadrado perfeito.
Questão 60
Usando o método de completamento de quadrado, determine as raízes das equações de 2º
grau a seguir. Indique quando não for possível obter solução real.
Questão 61
Resolva as equações de 2º grau usando a fórmula de Bhaskara. Ao calcular
a) x 2 – 2x – 3 = 0
b) 2x(x + 5) = x – 7
c) – 9x 2 + 4x –
Questão 62
Resolva as equações de 2º grau usando a fórmula de Bhaskara. Ao calcular
Questão 63
Determine o valor de n nas equações de incógnita x a seguir para que:
a) nx 2 – 6x + 18 = 0 seja de 2º grau e tenha duas raízes reais distintas.
b) 4x 2 – 8x + n 2 = 0 tenha uma única raiz real (duas raízes reais iguais).
c) x 2 + 2nx + n 2 – 3n = 0 não possua raiz real.
d) a raiz da equação 7x 2 + nx – 10 = 0 seja cinco.
Questão 64
A idade de Décio é o triplo da idade de Danilo. Somando as idades dos dois, obtemos como
resultado o quadrado da idade de Danilo. Sabendo que Danilo tem mais de um ano, qual é a
idade de cada um?
Questão 65
O terreno retangular onde será construída uma casa possui x metros de largura. A sua
profundidade é o dobro da largura, menos 11 m. Sabendo que a área total do terreno é 76 m
2 , calcule os valores da largura e da profundidade.
Questão 66
Para cada um dos itens a seguir, use as relações entre coeficientes e raízes
a) x 2 + 2x – 3 = 0
b) x 2 – 7x + 10 = 0
c) x 2 + 13x + 12 = 0
Questão 67
Obtenha as equações de 2º grau correspondentes às raízes dadas abaixo. Para cada item,
utilize dois métodos diferentes.
a) Raízes 0 e –3.
b) Raiz: –11 (duas raízes iguais).
c) Raízes –3
Questão 68
Resolva as equações biquadradas e irracionais a seguir. Indique quando não for possível
obter uma solução real para a equação. Para as equações irracionais, verifique os valores
encontrados:
Questão 69
Obtenha o comprimento x e a largura y de uma região retangular de perímetro 18 m e
área 14 m 2 , montando um sistema:
Questão 70
(OBMEP – RJ) O perímetro de um retângulo é 100 cm, e a diagonal mede x cm. Qual é a
área do retângulo em função de x ?