CAPÍTULO 6
FUNÇÃO EXPONENCIAL
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. (UF-MA) Qual o valor numérico da expressão
35 1  40 1  10 2  5  100
23  14 1  5  25
1. REVISÃO DE POTENCIAÇÃO
A) POTÊNCIA DE EXPOENTE NATURAL
Resolução:
Sendo dados um número real “a” e um número natural
“n”, com n  2 , chama-se “potência de base a” e
“expoente n” o número an que é o produto de “n”
fatores iguais a “a”.
Vamos efetuar nossos cálculos com potências de
mesma base; para tal, vamos arrumar algumas bases
presentes na expressão dada:
an  a  a  a    a


n fatores
(7  5)1  (23  5)1  (5  2)2  5  (5  2)2
2 3  ( 7  2 ) 1  5  5 2
Agora vamos eliminar os parênteses...
1
Observação: a  a e, sendo a  0, a0  1
B) POTÊNCIA DE EXPOENTE INTEIRO NEGATIVO
Dados um número real “a”, não nulo, e um número
natural “n”, chama-se “potência de base a” e expoente
“– n” o número a  n , que é o inverso de an .
1
a n  n
a
B) POTÊNCIA DE EXPOENTE RACIONAL
Dados um número real “a” (positivo), um número
inteiro “p” e um número natural “q” (q  1) , chama-se
“potência de base a” e expoente " p / q" a raiz q-ésima
p
de a .
p
q
q
a  ap
p
Observação: Sendo
p
 0 , define-se 0 q  0 .
q
7 1  5 1  2 3  5 1  5 2  2 2  5  5 2  22
2 3  7 1  2 1  5  5 2
Assim podemos agrupar as potências de mesma base
(2 3  22  22 )  (5 1  5 1  5 2  5  5 2 )  7 1
( 2 3  2 1 )  ( 5  5 2 )  7 1
Agora ficou bem mais simples, concorda?
(2 3  2  2 )  (5 11 2 1 2 )  7 1
(2
3 1
1 2
)  (5
)7
1

(21 )  (5 3 )  7 1
2
3
( 2 )  (5 )  7
2. (Americano 2010) Simplifique
1
 2 1 
2 x 1  2 x  2
2x
Resolução:
2 x 1 2 x  2
 x  2 x  x 1  2 x  x  2  21  22  2  4  6
x
2
2
Outra opção de resolução seria colocar o 2 x em
evidência no numerador...
2 x 1  2 x  2 2 x  (21  22 )

 24  6
2x
2x
10n  2  10n 1
10n  10n  3
1.1. PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS
3. (Americano 2010) Simplifique
P1  am  an am  n
Resolução:
Vamos colocar as menores potências em evidência
tanto no numerador quanto no denominador...
m
a
 am  n
an
P3  (am )n  amn
P2 
10n  2  10n 1 10n 1  (10 3  1)
 n3
 10(n 1)  (n  3 )
n
n3
3
10  10
10
 (10  1)
n
an
a
P4     n
b
b
(b  0)
P5  (a  b)n  an  bn
1.2. PROPRIEDADES DOS RADICAIS
n p
amp
P1 
n
am 
P2 
n
a b  n a n b
P3 
n
a

b
n
a
n
b
(b  0)
P4  (n a )m  n am
P5 
p n
a 
p n
a
10n  2  10n 1
 10 2  100
n
n3
10  10
1
2
4. (UMC-SP adaptado) O tempo de circulação do
sangue (em segundos) de um mamífero (o tempo
médio que todo o sangue leva para circular uma vez e
voltar ao coração) é proporcional à raiz quarta do
“peso” do corpo do mamífero, isto é:
2. FUNÇÃO EXPONENCIAL (Definição)
Chama-se função exponencial qualquer função f de IR
em IR dada por uma lei da forma f ( x )  a x , em que
“a” é um número real dado, a  0 e a  1 .
1
T(M)  k  M 4
Para um elefante cujo “peso” é 5184 quilos, o tempo
foi estimado em 150 segundos.
a) Determine o valor de k.
b) Determine o tempo aproximado para um mamífero
de 16 quilos e para outro de 64 quilos.
2.1. GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
a>1
a função é crescente
0<a<1
a função é decrescente
Resolução:
1
a) T(M)  k  M 4
T(5184 ) 
1
k  5184 4
2
2  3  5  k  (2
6
 150 
1
 34 ) 4
2
 235 
2
235 
k
2  52
3
22
1
2
3
2
 52  2

1
2
3
k  22
 25 
1
Em ambos os casos:
1
k  5184 4
6
k  24
Domínio: D( f )  IR
4
34
3
25 2
25
25


1/ 2
2
2
2
1
b) T(16)  k  16 4  T(16) 
(1  x ) x , em que x  IR * ,
e vejamos alguns valores que ela assume quando x se
“aproxima” de zero.
25 2
2 
2
T(64) 
25 2
25 2
 64 4  T(64) 
 (26 ) 4
2
2
T(16)  25 2
1
25 2
T(64) 
2
T(64) 
1
25  2 2
T(64)  25  2
1

3
1
 22
2 1
T(64)  25
 T(64) 
3
1
2  22
1 3
 1
25  2 2 2
 T(64)  25  2 
T(64)  50
Respostas:
25 2
b) T
)

25
2 e T(64)  50 segundos.
a)
(16


2
aprox. 35 segundos
Um importante número irracional, que é estudado
particularmente na disciplina de Cálculo presente no
currículo do ensino superior de, por exemplo,
Engenharia, Ciência da Computação, Física,
Administração e Economia, é indicado pela letra “e”.
Para compreendê-lo, consideremos a expressão
1
25 2
 (24 ) 4
2
T(16) 
3
 22
Conj. Imagem: Im ( f )  IR *  { y IR | y  0 }  ] 0,   [
x
1
(1  x ) x
0,1
0,01
0,001
0,0001
0,00001
2,594
2,705
2,717
2,7182
2,7183
1
x) x
A medida que x se torna menor, a expressão (1 
fica cada vez mais próxima do número e  2,7183 .
O gráfico da função f ( x )  e x
abaixo:
está representado
EXERCÍCIOS
1. (Iezzi 2007 adaptado) Na figura está representado o
gráfico de f ( x )  a  2 x , sendo “a” uma constante real.
Determine o valor de f(3).
a) 1
b) 1,5
c) 2
d) 2,5
e) 3
2. (Iezzi 2007) O gráfico a seguir representa a função f
cuja lei é f ( x )  a  b  2 x , sendo a e b constante
positivas.
4. (Americano 2010) Em uma região industrial, a
emissão de poluentes aumenta à taxa de 50% ao ano.
Em relação à taxa atual, podemos afirmar que, em
quatro anos, a quantidade anual de poluentes emitida
na região, aproximadamente,
a) duplicará.
b) triplicará.
c) quadruplicará.
d) quintuplicará.
e) sextuplicará.
5. (FGV-SP) Curva de aprendizagem é um conceito
criado por psicólogos que constataram a relação
existente entre a eficiência de um indivíduo e a
quantidade de treinamento ou experiência possuída
por esse indivíduo.
Um exemplo de Curva de Aprendizagem é dado pela
expressão Q  700  400 e  0,5 t , em que:
Q = quantidade de peças produzidas mensalmente por
um funcionário;
t = meses de experiência;
e = 2,7183
a) De acordo com essa expressão, quantas peças um
funcionário com 2 meses de experiência deverá
produzir mensalmente?
b) E um funcionário sem qualquer experiência, quantas
peças deverá produzir mensalmente? Compare com o
resultado do item (a). Há coerência entre eles?
a) Determine a e b.
b) Qual é o conjunto imagem de f?
c) Calcule f(– 2).
3. (UENF-RJ modificada) A inflação anual de um país
decresceu no período de sete anos. Esse fenômeno
pode ser representado por uma função exponencial do
tipo f ( x )  a  b x , conforme o gráfico abaixo.
6. (Iezzi 2007 modificada) No dia 1º de janeiro, dois
amigos criaram uma comunidade no Orkut. No dia
seguinte, cada um dos “fundadores” convidou três
novos amigos para se integrarem à comunidade. No
dia 3 de janeiro, cada novo integrante convidou três
novos amigos para se juntarem à comunidade e assim
por diante, até o final do mês. Admita que todos os
convidados aceitem a proposta de se integrar à
comunidade e que ninguém receba o convite de mais
de uma pessoa.
a) quantos membros ingressarão na comunidade no
dia 4? E no dia 5?
b) qual é o total de membros que a comunidade
possuirá no dia 5?
A taxa de inflação desse país no quarto ano de
declínio foi de
a) 45%.
b) 50%.
c) 55%.
d) 60%.
e) 65%.
TEMPO MEIA VIDA OU PERÍODO
DE SEMI-DESINTEGRAÇÃO
Cada elemento radioativo, seja natural ou obtido
artificialmente, se transmuta (se desintegra ou decai) a
uma velocidade que lhe é característica. Para se
acompanhar a duração (ou a “vida”) de um elemento
radioativo foi preciso estabelecer uma forma de
comparação. Por exemplo, quanto tempo leva para um
elemento radioativo ter sua atividade reduzida à
metade da atividade inicial? Esse tempo foi
denominado meia-vida do elemento.
Meia-vida, portanto, é o tempo necessário para a
atividade de um elemento radioativo ser reduzida à
metade da atividade inicial. Isso significa que, para
cada meia-vida que passa, a atividade vai sendo
reduzida à metade da anterior, até atingir um valor
insignificante, que não permite mais distinguir suas
radiações das do meio ambiente. Após o primeiro
período de meia-vida, somente a metade dos átomos
radioativos originais permanece radioativa. No
segundo período, somente 1/4, e assim por diante.
Alguns elementos possuem meia-vida de frações de
segundos. Outros, de bilhões de anos.
Partindo de n0 átomos radioativos de um elemento, é
possível representar graficamente o número de
átomos radioativos, em função da quantidade de
meias-vidas transcorridas:
A meia-vida é a quantidade de tempo característica de
um decaimento exponencial. Se a quantidade que
decai possui um valor no início do processo, na meiavida a quantidade terá metade deste valor.
No caso do carbono-14 a meia-vida é de 5.730 anos,
ou seja, este é o tempo necessário para uma
determinada massa deste isótopo instável decair para
a metade da sua massa , transformando-se em
nitrogênio-14 pela emissão de uma partícula beta. Esta
medida da meia-vida é utilizada para a datação de
fósseis.
A quantidade de carbono-14 num ser vivo é de 10ppb
(10 partes por bilhão). Esta quantidade permanece
constante até o dia da sua morte. A partir daí esta
quantidade vai diminuindo por conta de desintegração.
Quando examinamos um fóssil, uma múmia, ossos
etc..., determina-se a quantidade de carbono-14
presente. Sabendo que seu período de meia vida é de
5600 anos, determinamos a idade do material.
EXERCÍCIOS
7. (Americano 2010) Estudou-se a cinética da
transformação
2 N2O5 (g)  4 N0 2 (g)  O 2 (g)
e chegou-se à conclusão de que o tempo de meia-vida
para essa transformação, nas condições do
experimento, era de 1,0 s.
Assinale a alternativa em que o gráfico descreve
corretamente essa observação.
a)
b)
c)
d)
e)
Observação: Quando na análise de átomos radioativos “m e
m 0 ” significam tais quantidades.
8. (FESP-SP) Uma amostra de 64 g de uma
substância radioativa apresenta um período de semidesintegração de 20 h. O tempo necessário para a
amostra ficar reduzida a 2 g será:
a) 64 h.
b) 48 h.
c) 36 h.
d) 100 h.
e) 72 h.
9. (VUNESP) O acidente do reator nuclear de
Chernobyl, em 1986, lançou, para a atmosfera, grande
quantidade de 90
38 Sr radioativo, cuja meia-vida é de 28
anos. Supondo ser esse isótopo a única contaminação
radioativa, e sabendo que o local poderá ser
considerado seguro quando a quantidade de 90
38 Sr se
reduzir, por desintegração, a 1/ 16 da quantidade
inicialmente presente, o local poderá ser habitado
novamente a partir do ano de:
13. (UFPE 2004) Devido à desintegração radioativa,
uma massa m0 de carbono 14 é reduzida à uma
massa m em t anos. As duas massas estão
relacionadas pela fórmula m  m0 .2  t / 5 400 . Nessas
condições, em quanto tempo 5g de carbono 14 serão
reduzidos a 1,25g ?
a) 10 000 anos
b) 18 800 anos
c) 10 800 anos
d) 8 100 anos
e) 18 100 anos
14. (FUVEST-SP 2007) Um biólogo está analisando a
reprodução de uma população de bactérias, que se
iniciou com 100 indivíduos. Admite-se que a taxa de
mortalidade das bactérias é nula. Os resultados
obtidos, na primeira hora, são:
a) 2004.
b) 2098.
c) 2266.
d) 2986.
e) 3000.
10. (FUVEST-SP) O decaimento radioativo de uma
amostra de Sr-90 está representado no gráfico a
seguir. Partindo-se de uma amostra de 40,0g, após
quantos anos, aproximadamente, restarão apenas
5,0g de Sr-90?
a) 15.
b) 54.
c) 90.
d) 100.
e) 120.
a) 51 200
b) 102 400
c) 409 600
d) 819 200
e) 1 638 400
11. (FGV-SP 2005) Um computador desvaloriza-se
exponencialmente em função do tempo, de modo que
seu valor y, daqui a x anos, será y  A  k x , em que A
e k são constantes positivas.
Se hoje o computador vale R$ 5 000,00 e valerá a
metade desse valor daqui a 2 anos, seu valor daqui a
6 anos será:
a) R$ 625,00
b) R$ 550,00
c) R$ 575,00
d) R$ 600,00
e) R$ 650,00
12. (Mack-SP/2003) O gráfico mostra, em função do
tempo, a evolução do número de bactérias em certa
cultura. Dentre as alternativas abaixo, decorridos 30
minutos do início das observações, o valor mais
próximo desse número é:
a) 18.000
c) 32.000
e) 40.000
Supondo-se que as condições de reprodução
continuem válidas nas horas que se seguem, após
quatro horas do início do experimento, a população de
bactérias será de
b) 20.000
d) 14.000
15. (UFSCAR 2007) Para estimar a área da figura
ABDO (sombreada no desenho), onde a curva AB
é parte da representação gráfica da função
f ( x )  2 x , João demarcou o retângulo OCBD e,
em seguida, usou um programa de computador
que “plota” pontos aleatoriamente no interior desse
retângulo.
Sabendo que dos 1000 pontos “plotados”, apenas
540 ficaram no interior da figura ABDO, a área
estimada dessa figura, em unidades de área, é
igual a
a) 4,32.
b) 4,26.
c) 3,92.
d) 3,84.
e) 3,52.
1) E
6) (***)
11) A
(*)
(**)
(***)
EXERCÍCIOS SÉRIE AULA
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
TÓPICOS 1 e 2
2) (*)
3) D
4) D
5) (**)
7) C
8) D
9) B
10) C
12) D
13) C
14) C
15) A
2. a) a = 1; b = 2. b) { y  IR | y  1 }
5. a) 552 peças.
b) 300 peças.
6. a) 54; 162 membros b) 242
1) (PUC-SP) Se 28 x 55  0,8 x 10n , então n é igual a:
c) 1,5.
a) 6
b) 5
c) – 1
d) 2
e) – 3
2)
3. EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
(UFPR)
Para
verificar
a
igualdade
2
2. 4 2x  3  256, x deve valer:
3.1. DEFINIÇÃO
Equação exponencial é toda equação que apresenta
pelo menos uma incógnita no expoente.
Basicamente existem apenas
equações exponenciais, ou seja:
dois
tipos
de
e)  2
A) TIPO 1
São equações exponenciais facilmente arrumadas em
uma igualdade de potências de mesma base,
apresentando uma e somente uma potência em cada
membro.
Exemplo: Resolva 16
x
a) 0
b) +1
c) 1
d) 1
1
4  8 x 1 .
Resolução:
3) (UnB-DF) A solução da equação 5 y 1 
24 x 1  23 x  3
4x  1  3x  3  x  4  S  { 4 }
Exemplo 2: Resolva 4 x  3.2 x  2
Resolução:
Fazendo 2 x  y
 y1  1

y  3.y  2  0   ou
y 2  2

Como 2 x  y

2x  1
2x  2
2 x  20
2 x  21
x1  0
x2  1
Resposta: S { 0 ; 1 }
+9
x + 1
x
x
x
= 12 . 3
x + 1
,
2
5) (MACK-SP/2003) Se 2 . 2 + 4 = 8 , então x é
igual a:
a) 2
b) 4
c) 1
d) 0
e) 9
18 y
, então “x.y” é:
2
a) 0
b) – 1
c) 2
d) – 3
e) 1
(2x )2  3.( 2x )  2  0
2
x + 2
6) (MACK-SP) Se 2 x . 3 y 1 
4 x  3.2 x  2  0
é:
a) 0
b) 1
c) – 1
d) 2
e) – 2
B) TIPO 2
São equações exponenciais que não permitem serem
arrumadas apresentando uma e somente uma
potência, de mesma base, em cada membro.
Neste caso, para resolvê-las, precisaremos encontrar
a potência repetitiva que possua incógnita...
5. 5
a) 7 / 12
b) – 5 / 12
c) 9 / 12
d) – 7 / 12
e) 2.
4) (MACK-SP/2003) Se 3
então x – 2 vale:
 1
4 x  
2  4   23( x 1)
3 25
7) (Cesgranrio-RJ) O número de raízes reais de
2
3 2x  7 x  5  1 é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) maior que 3.
8)
(FATEC-SP)
O
valor
de
x,
tal
que
10 x  10  0,2  4 10 é:
a) 0,05
b) – 0,05
c) 0,5
d) – 0,5
e) 0,005
6)
(Cesgranrio-RJ) Se (x;y) é solução
2 x  3 y  11
sistema: 
então x + y é;
 2 x  3 y  5
a) 11
b) 3
c) 6
d) 4
e) 5
EXERCÍCIOS – SÉRIE CASA
7) (FGV) A raiz da equação 2 x 1  2 x 1  2 x  7 é:
1) (PUC-SP/2005) Se N é o número que resulta do
a) um número primo.
b) um número negativo.
c) um número irracional.
d) um número maior ou igual a 1.
e) um múltiplo de 5.
cálculo de 219  215 , então o total de algarismos
que compõem N é:
a) 17
b) 19
c) 25
d) 27
e) maior do que 27
2) (MACK-SP/2005) Se os inteiros x e y satisfazem à
equação 3 x 1  2 y  2 y  2  3 x , então o valor de
3 x é:
a) 1
b) 1/3
c) 1/9
d) 3
e) 9
8) (UFRN) No universo IR, o produto das raízes da

1 
  17 é igual a:
equação 4   2 x 
2x 

a) – 4
b) – 2
c) 1
d) 2
e) 4
9) (UFBA)
O
conjunto
verdade
da
equação
2 x  2 x  5  (1  2 x ) é:
3) (UFPA)
A raiz da equação  7 x  2 10    7 x  2 10   9 é um

 

número:
a) irracional negativo
b) irracional positivo
c) par
d) inteiro negativo
e) inteiro positivo
4) (Unimep-SP) O valor de x que torna verdadeira a
sentença (0,125 ) x  0,5 é:
10) (FEI-SP) A equação 2 x  21 x  3 tem duas raízes
reais. O produto delas é:
a) – 1
b) 0
c) 1
d) 2
e) 3
11) (PUC-RS) A soma das raízes da equação
a) – 2
b) – 1
c) 0
d) 1
e) 2
(MACK-SP)
x 3
a) { 1 ; 4 }
b) { 1 ; 2 }
c) { 0 ; 1 }
d) { 0 ; 2 }
e) 
4 x 1  9  2 x  2  0 é:
a) – 3
b) + 3
c) – 2 / 3
d) – 1 / 3
e) + 1 / 3
5)
do
x
A
solução
da
equação
 9 
 12 
   é um número racional x tal que:
 
 16 
 9 
a) – 1  x < 0
b) 0  x < 1
c) 1  x < 2
d) 2  x  3
e) 3  x < 4
12) (UFSC) O valor de x que satisfaz a equação
1 x 8
1
9 
 3 x   0 é:
27
27
3
a) 2
b) 1
c) 3
d) 0
e) – 2
13)
(PUC-MG)
A
soma
dos
zeros
da
função
GABARITO TESTES – SÉRIE AULA
f ( x )  2 x 1  3  2 x 1  2 é:
a) 1,5
b) 2,5
c) 3,0
d) 4,0
e) 5,0
14) (UFMG) O produto das raízes da equação
1
4 3
é:
3x 

x
3
3
a) – 3
b) – 1 / 4
c) – 1 / 3
d) 1
4 3
e)
3
15) (UFRS) Sabendo que 4 x  4 x 1  24 , então x1 / 2
vale:
a)
2
5
b)
5
2
c)
2
d)
e)
10
5
10
2
1
A
5
C
2
E
6
C
3
A
7
C
4
C
8
A
GABARITO TESTES – SÉRIE CASA
1
A
6
D
11
B
2
D
7
D
12
A
3
E
8
A
13
D
4
E
9
D
14
B
5
D
10
B
15
E