Matemática Básica II - Trigonometria
Nota 01 - Sistema de Coordenadas no Plano
Márcio Nascimento da Silva
Universidade Estadual Vale do Acaraú - UVA
Curso de Licenciatura em Matemática
[email protected]
11 de março de 2014
1 Coordenadas no plano
A idéia de localizar posições utilizando-se números, vem de longe e é usada em muitas situações
da nossa vida.
Quando vamos ao teatro e temos um bilhete marcado G-7, sabemos que devemos nos
dirigir a fileira (linha) G, cadeira (coluna) número 7. Também quando localizamos uma cidade
no mapa usamos a linha do Equador (horizontal) e o meridiano de Greenwich (vertical) para
informar onde está esta cidade. “Retas paralelas” ao Equador determinam a latitude de um
ponto qualquer, isto é a distância, dada em graus, deste ponto ao Equador. Como o Equador
divide a Terra em duas metades, pontos (no mapa) localizados acima dele têm latitude Norte e
pontos localizados abaixo, latitude Sul. Da mesma maneira, ”retas paralelas”ao meridiano de
Greenwich determinam a longitude de um ponto ou sua distância em relação a este meridiano.
Pontos localizados a sua esquerda têm longitude Oeste e pontos localizados a sua direita,
longitude Leste.
4
y
P
3
2
1
−5
−4
−3
−2
1
−1
2
3
4
5
−1
−2
x
−3
−4
Figura 1: A cada ponto P do plano fica associado um par de números (x, y), que são as coordenadas deste
ponto.
1
Em 1619, o filósofo e matemático francês René Descartes (1596-1650) percebeu que a ideia
de determinar posições utilizando retas escolhidas como referência, poderia ser aplicada à
matemática. Para isso usou retas numeradas. Como já sabemos, numa reta numerada cada
ponto corresponde a um número e cada número corresponde a um ponto, definindo-se desta
maneira, um sistema de coordenadas na reta.
Como o plano tem duas dimensões, para localizar pontos no plano, precisamos de dois
números, e não apenas um. Descartes resolveu este problema usando duas retas numeradas,
perpendiculares, cujo ponto de encontro chamamos origem. Usualmente, uma dessas retas é
horizontal, com a direção positiva para a direita. Esta reta será chamada eixo X ou eixo das
abscissas1 . A outra reta, vertical com a direção positiva para cima, é chamada eixo Y, ou eixo das
ordenadas2 . Veja Figura 1.
Pelo esquema fixado, todo ponto P determina um par ordenado de números reais e reciprocamente, todo par ordenado de números reais (a, b) determina um único ponto do plano.
Temos, então, uma correspondência biunı́voca entre os pontos do plano e os pares ordenados
de números reais. Uma correspondência desse tipo é chamada um sistema de coordenadas no
plano.
Este sistema de coordenadas é chamado sistema de coordenadas retangulares ou sistema de
coordenadas cartesianas em homenagem, claro, a Descartes, que primeiro definiu um sistema de
coordenadas no plano, estabelecendo as bases de um novo ramo da Matemática chamado, hoje,
Geometria Analı́tica. Parte do mérito da descoberta da Geometria Analı́tica deve ser creditado
também, a um outro francês, Pierre Fermat (1601, 1665) que estabeleceu os mesmos princı́pios,
mais ou menos na mesma época que Descartes.
O plano, munido deste sistema de coordenadas, é usualmente chamado plano coordenado ou
plano cartesiano e é denotado por R2 (que é a convenção para o produto cartesiano R × R).
O eixo das abscissas e o eixo das ordenadas, usualmente colocados na posição indicada na
Figura 2, dividem o plano em quatro regiões, denominadas quadrantes, indicados por i, ii, iii, iv,
respectivamente.
ii
i
iii
iv
Figura 2: O primeiro quadrante é o conjunto de todos os pontos (x, y) do plano para os quais x > 0 e
y > 0; o segundo quadrante é o conjunto de todos os pontos (x, y) do plano para os quais x < 0 e y > 0;
no terceiro temos x < 0 e y > 0 e, no quarto, x > 0 e y < 0.
Como a correspondência entre os pontos do plano e o conjunto de pares ordenados de
números reais é biunı́voca, em geral, nos referimos a um ponto P escrevendo P(x, y) que
1
2
Palavra derivada do latim abscindere, que significa cortar em dois; divide o plano em dois.
Ordena os pontos em relação a abscissa.
2
significa, sem ambiguidade, o ponto do plano cujas coordenadas são (x, y).
Exercı́cios I
1. Represente no plano cartesiano os seguinte pontos:
P1 (0, −1), P2 (−2, 1), P3 (1, 1)
2. Represente no plano cartesiano os seguintes subconjuntos de R2 :
(a) A = {(x, y) ∈ R2 ; x ≥ 0, y > 1}
(b) B = {(x, y) ∈ R2 ; x < −2, y < −1}
(c) C = {(x, y) ∈ R2 ; x < 1}
(d) D = {(x, y) ∈ R2 ; x ≤ 1, y ≤ 2}
(e) E = {(x, y) ∈ R2 ; x > 0, y = 1}
2 Distância entre dois pontos
A distância entre dois pontos P1 (x1 , y1 ) e P2 (x2 , y2 ) no plano é representada por d(P1 , P2 ) e
definida por:
q
d(P1 , P2 ) =
(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2
P2
y
2
P
1
y
1
x1
x2
Figura 3: Esta fórmula é facilmente justificada pelo Teorema de Pitágoras se observarmos que o comprimento do segmento P1 P2 é a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem
|x2 − x1 | e |y2 − y1 |, como mostra a figura.
Exemplo 1 Calcular a distância entre os pontos (1, −2), (6, 2).
p
p
√
√
d(P1 , P2 ) = (1 − 6)2 + (−2 − 2)2 = (−5)2 + (−4)2 = 25 + 16 = 41
Exemplo 2 Calcular a distância entre os pontos (0, 0), (3, 1)
p
p
√
√
d(P1 , P2 ) = (0 − 3)2 + (0 − 1)2 = (−3)2 + (−1)2 = 9 + 1 = 10
3
Exercı́cios II
1. Calcule os valores de t para que o ponto P, de coordenadas (2t + 4, 3 − 2t), esteja:
(a) No primeiro quadrante.
(b) No quarto quadrante.
(c) Sobre os eixos.
2. Calcular o perı́metro do triângulo ABC sendo dados
A(2, 1), B(−1, 3), C(4, −2)
3. Determinar x de modo que o triângulo ABC seja retângulo. São dados:
A(4, 5), B(1, 1), C(x, 4)
4. Dados A(x, 5), B(−2, 3), C(4, 1) obter x de modo que modo que A seja equidistante de B e
C.
5. Determinar o ponto P, pertencente ao eixo das abcissas, sabendo que é equidistante dos
pontos A(1, 3), B(−3, 5).
6. Determinar o ponto P da bissetriz dos quadrantes pares, que equidista de A(8, −8) e
B(12, −2).
7. Dados os pontos M(a, 0) e N(0, a), determinar P de modo que o triângulo MNP seja
equilátero.
8. Dados A(−2, 4), B(3, −1) vértices consecutivos de um quadrado, determinar os outros dois
vértices.
9. Dados A(8, 7), C(−2, −3) extremidades da diagonal de um quadrado, calcular as coordenadas dos vértices B e D, sabendo que xB > xD .
√
√
√ √
√
10. Mostre que os três pontos (1, 1 + 2 3), (2 + 3, 2 + 3) e ( 3, 3) são vértices de um
triângulo equilátero.
11. Mostre que os quatro pontos (4, −2), (10, 8), (−6, 5), (0, 15) são vértices de um paralelogramo.
12. Mostre que os três pontos (−2, 2), (5, 1), (4, −5) estão em um cı́rculo com o centro em (1, −2).
Qual o raio deste cı́rculo?
13. Prove que se o ponto (x, y) está no cı́rculo com centro (3, −2) e de raio 4 unidades, então
x2 + y2 − 6x + 4y = 3
14. Ache um ponto sobre o eixo dos Y que está equidistante de (9, −11) e (5, −15).
15. Ache as coordenadas do centro de um cı́rculo que passe por três pontos
(−1, 1), (6, 0), (5, 1)
Qual o raio desse cı́rculo?
4
2.1 Condição para alinhamento de três pontos
Teorema 3 Três pontos A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ), C(x3 , y3 ) são colineares se, e somente se,
x1 y1 1 D = x2 y2 1 = 0
x3 y3 1 Exemplo 4 Mostrar que A(−1, 1), B(1, 3), C(7, 9) são colineares:
−1 1 1 D = 1 3 1 = (−3 + 7 + 9) − (21 − 9 + 1) = 13 − 13 = 0
7 9 1 Exemplo 5 Para que valores de x os pontos A(x, x), B(3, 1), C(7, −3) são colineares?
x x 1 D = 3 1 1 = (x + 7x − 9) − (7 − 3x + 3x) = 8x − 16
7 −3 1 Logo, se D = 0, os pontos são colineares, isto é, se 8x = 16 ⇐⇒ x = 2.
Exercı́cios III
1. Mostrar que A(a, 2a − 1), B(a + 1, 2a + 1) e C(1 + 2, 2a + 3) são colineares para todo valor real
de a.
2. Dados A(1, 1), B(10, −2), obter o ponto em que a reta AB intercepta o eixo das abscissas.
3. Dados A(2, −3) e B(8, 1), obter o ponto que em que a reta AB intercepta a bissetriz dos
quadrantes ı́mpares.
4. Dados A(−3, 4), B(2, 9), C(2, 7), D(4, 5) obter a interseção das retas AB e CD.
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