REVISÃO DE COORDENADAS POLARES EM R
2
No sistema de coordenadas polares, as coordenadas consistem de uma distância e da
medida de um ângulo em relação a um ponto xo e a uma semirreta xa. A Figura 1
ilustra um ponto P num sistema de coordenadas polares. O ponto xo, denotado por O, é
P
r
θ
o
A
Figura 1: Ponto P usando coordenadas polares
chamado pólo ou origem. A semirreta xa OA é chamada eixo polar. O ponto P ca bem
determinado através do par ordenado (r, θ), onde r representa a distância entre a origem e o
ponto P, e θ representa a medida, em radianos, do ângulo orientado AÔP. O segmento OP ,
é chamado raio.
Relação entre o Sistema de Coordenadas Cartesianas Retangulares e o Sistema
de Coordenadas Polares













x = r cos θ
y = r sin θ
r2 =√x2 + y 2 .
r = x2 + y 2
y
tan θ =
x
Algumas equações em coordenadas polares e seus respectivos grácos
Retas
1. θ = θ0 ou θ = θ0 ± nπ, n ∈ Z é uma reta que passa pela pólo e faz um ângulo θ0 ou
θ0 ± nπ radianos com o eixo polar.
2. r sin θ = a e r cos θ = b, com a, b ∈ R, são retas paralelas ao eixo polar e θ = π2 ,
respectivamente.
Circunferências
1. r = a, a ∈ R é uma circunferência de raio |a|.
2. r = 2a cos θ é uma circunferência de raio |a|, com centro sobre o eixo polar e tangente
ao eixo θ = π2 de modo que
(i) se a > 0 o gráco está à direita do pólo;
(ii) se a < 0 o gráco está à esquerda do pólo.
1
3. r = 2b sin θ é uma circunferência de raio |b|, com centro sobre o eixo θ =
ao eixo polar de modo que
π
2
e tangente
(i) se b > 0 o gráco está acima do pólo;
(ii) se b < 0 o gráco está abaixo do pólo.
Limaçons
Equações do tipo r = a ± b cos θ ou r = a ± b sin θ, onde a, b ∈ R o gráco varia conforme
os casos abaixo.
1. se b > a, então o gráco tem um laço. Veja a Figura 2.
r=a-bcosθ
r=a+bsinθ
r=a+bcosθ
r=a-bsinθ
Figura 2: Limaçons com laço
2. se b = a, então o gráco tem o formato de um coração, por isso é conhecido como
Cardióide. Veja a Figura 3.
r=a(1+ cosθ)
r=a(1- cosθ)
r=a(1- sinθ)
r=a(1+ sinθ)
Figura 3: Cardióide
3. se b < a, então o gráco não tem laço e não passa pelo pólo. Veja a Figura 4.
r=a - bcosθ
r=a+bcosθ
r=a+bsinθ
Figura 4: Limaçons sem laço
2
r=a - bsinθ
Rosáceas
Equações do tipo r = a cos(nθ) ou r = a sin(nθ), onde a ∈ R e n ∈ N o gráco varia
conforme os casos abaixo.
1. Se n é par temos uma rosácea com 2n pétalas. Veja a Figura 5.
r = asin(4θ)
r = acos(4θ)
Figura 5: Rosáceas com 2n pétalas
2. Se n é ímpar temos uma rosácea com n pétalas. Veja a Figura 6.
r=a sin(5θ)
r=a cos(5θ)
Figura 6: Rosáceas com n pétalas
Lemniscatas
Equações do tipo r2 = ±aa cos(2θ) ou r2 = ±a2 sin(2θ), onde a ∈ R. Os grácos para cada
caso estão na Figura 7.
3
r²=-a²sin(2θ)
r²=-a²cos(2θ)
r²=a²sin(2θ)
r²=a²cos(2θ)
Figura 7: Lemniscatas
Espirais
As equações seguintes representam algumas espirais.
1. Espiral hiperbólica: rθ = a, a > 0.
2. Espiral de Arquimedes: r = aθ, a > 0.
3. Espiral logarítmica: r = eaθ .
4. Espiral parabólica: r2 = θ.
A Figura 8 ilustra estas espirais.
(a, π/2)
(a, π/2)
rθ=a (θ>0)
rθ=a (θ<0)
r=eaθ
r=
θ
Figura 8: Espirais
4
r=aθ (θ ³0)
r=aθ (θ£ 0)
r=-
θ