TOPOGRAFIA
AULA 3
SISTEMAS DE COORDENADAS
E ORIENTAÇÃO
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Natureza dos dados espaciais
• Dados espaciais caracterizam-se especificamente pelo
atributo da localização geográfica.
• Um objeto qualquer (como uma cidade, a foz de um rio,
o pico de uma montanha, etc.) somente tem sua
localização geográfica estabelecida quando se pode
descrevê-lo em relação a outro objeto cuja posição seja
previamente conhecida ou quando se determina sua
localização em relação a um certo sistema de
coordenadas.
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SISTEMAS DE COORDENADAS
Para a determinação da posição tridimensional de pontos,
dois tipos de sistemas são utilizados:
• Sistemas de coordenadas cartesianas e
• Sistemas de coordenadas esféricas.
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SISTEMAS DE COORDENADAS
• Os sistemas de coordenadas são necessários para
expressar a posição de pontos sobre uma superfície, seja
ela, um plano, uma esfera ou um elipsóide.
• Para a esfera ou elipsóide, usualmente emprega-se um
sistema de coordenadas cartesiano e curvilíneo, através de
PARALELOS e MERIDIANOS.
• Para o plano, um sistema de coordenadas cartesianas X
e Y é usualmente aplicável.
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SISTEMAS DE COORDENADAS
Sistemas de Coordenadas Cartesianas
• Quando se posiciona um ponto nada mais está se fazendo do
que atribuindo coordenadas ao mesmo
• Estas coordenadas deverão estar referenciadas a um sistema
de coordenadas
• No espaço bidimensional, um sistema bastante utilizado é o
sistema de coordenadas cartesianas ou retangulares.
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SISTEMAS DE COORDENADAS
Sistemas de Coordenadas Cartesianas
• Este é um sistema de eixos ortogonais no plano,
constituído de duas retas orientadas X e Y,
perpendiculares entre si.
• A origem desse sistema é o cruzamento dos eixos X e Y.
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SISTEMAS DE COORDENADAS
Sistemas de Coordenadas Cartesianas
• Um ponto é definido neste sistema através de uma
coordenada denominada abscissa (coordenada X) e
outra denominada ordenada (coordenada Y)
• Para denominar um ponto P qualquer, utiliza-se uma
das notações: P(x,y) ou P=(x,y)
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SISTEMAS DE COORDENADAS
Sistemas de Coordenadas Cartesianas
Origem O(0,0)
A (?,?)
B (?,?)
C (?,?)
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SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL
• Caracterizado por um conjunto de três retas (X, Y, Z)
denominadas de eixos coordenados, mutuamente
perpendiculares
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SISTEMAS DE COORDENADAS
Sistemas de Coordenadas Esféricas
• Um ponto no espaço tridimensional pode ser
determinado pelo afastamento r entre a origem do
sistema e o ponto R considerado, pelo ângulo β
formado entre o segmento OR e a projeção ortogonal
deste sobre o plano xy e pelo ângulo α que a projeção
do segmento OR sobre o plano xy forma com o semieixo OX.
• As coordenadas esféricas de um ponto R são dados por
(r, α, β)
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SISTEMAS DE COORDENADAS
Sistemas de Coordenadas Esféricas
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SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA
• Devido às irregularidades da superfície terrestre,
modelos mais simples, regulares, geométricos e que
mais se aproximam da forma real são utilizados para
efetuar os cálculos da representação
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• A definição de posições sobre a superfície terrestre
requer que a Terra possa ser tratada matematicamente.
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Forma da Terra
- A fim de simplificar o cálculo de coordenadas da
superfície terrestre foram adotadas algumas superfícies
matemáticas simples.
- Uma primeira aproximação foi a Esfera:
Modelo esférico
Globo terrestre
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SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA
Modelo Esférico
• Em diversas aplicações a Terra pode ser considerada
uma esfera – ASTRONOMIA
• Um ponto é localizado sobre esta esfera através de sua
latitude e longitude
• Latitude e longitude astronômicas – no caso da
Astronomia
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•Esta esfera gira em torno de si mesma, sendo este
movimento realizado em torno de um eixo imaginário.
• Os pontos onde este eixo atravessa a superfície da esfera
são chamados de:
Pólo Norte e Pólo Sul
No ponto médio deste eixo está o Centro da Terra
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A Terra como uma esfera: pólos e equador.
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- A GEOMETRIA DA ESFERA
A esfera é uma figura geométrica sólida que tem a
propriedade de todos os pontos da sua superfície serem
eqüidistantes do centro.
Quando um plano intercepta uma esfera, a figura
resultante dessa intersecção é sempre um círculo.
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Equador é o círculo máximo. É perpendicular ao eixo de
rotação da Terra, o qual intercepta a superfície em dois
pólos geográficos.
Pólo Norte
Pólo Sul
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• MERIDIANOS
Os meridianos são círculos que contêm ambos os pólos
sendo, portanto, perpendiculares ao equador.
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• O meridiano de origem é
o de GREENWICH (0º),
que é o Meridiano
Internacional
de
Referência.
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• PARALELOS
Os paralelos são círculos menores paralelos ao equador
sendo, portanto, perpendiculares ao eixo de rotação da
Terra e ao plano de todos os meridianos.
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O raio dos paralelos varia entre um valor máximo igual ao
valor do raio da Terra, no equador, e um valor nulo, nos
pólos. Desta forma, existe apenas um círculo máximo, o
Equador (0º).
• Os círculos, tanto no
hemisfério Norte quanto no
hemisfério
Sul
vão
diminuindo de tamanho à
proporção que se afastam do
Equador,
até
se
transformarem
em
cada
pólo, num ponto.
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A figura abaixo ilustra a esfera terrestre, bem como os
paralelos e meridianos, círculo máximo e círculo menor.
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Para referenciar, no sistema de coordenadas esféricas, a
posição horizontal de um ponto situado na superfície da
Terra bastarão dois ângulos.
• Os ângulos utilizados para expressar as coordenadas
geográficas medem-se em graus (), minutos (’) e
segundos (”), valendo cada grau 60 minutos e cada
minuto 60 segundos.
Denomina-se por esses dois ângulos
latitude e longitude
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Latitude Astronômica ϕ  arco de meridiano contado
desde o equador até o ponto considerado
• A latitude dos lugares à
superfície da Terra mede-se
para norte e para sul do
equador,
variando
entre
noventa graus sul (90 S), no
Pólo Sul, e noventa graus
norte (90 N), no Pólo Norte.
• A latitude no equador é igual a 0.
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• Na esfera, a diferença de latitudes entre dois lugares, A e B, é
ϕ = ϕA - ϕB
• As diferenças de latitude medem-se em graus, minutos e
segundos de arco.
• Para efeitos de cálculo, considera-se que as latitudes no
hemisfério Norte são:
positivas
e as latitudes no hemisfério Sul são:
negativas
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Assim, sua variação é de:
0º a 90º N ou 0º a + 90º
0º a 90º S ou 0º a - 90º
Por exemplo, a diferença de latitudes entre Lisboa (ϕ  39
N) e Luanda (ϕ  10 S) é cerca de 49
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Longitude Astronômica   arco de equador contado
desde o meridiano de origem (Greenwich) até o meridiano
do ponto considerado.
• A longitude mede-se de
0 a 180, para leste e de
0 a -180 para oeste de
Greenwich.

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A diferença de longitudes entre dois lugares A e B é =A
- B
• Tal como as latitudes, as diferenças de longitude
medem-se em graus, minutos e segundos de arco.
• Considera-se que as longitudes a leste do semimeridiano superior de Greenwich são:
positivas
e as longitudes a oeste do semi-meridiano superior de
Greenwich são:
negativas
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• Assim, a Longitude varia de:
0º a 180º W Gr. ou 0º a - 180º
0º a 180º E Gr. ou 0º a + 180º
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A esfera ilustrando o
meridiano e paralelo de
referência.
A esfera ilustrando
coordenadas
geográficas:
latitude
(ϕ=30S)
e
longitude (=60W).
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Forma da Terra
- Segundo o conceito introduzido pelo matemático
alemão CARL FRIEDRICH GAUSS (1777-1855), a
forma do planeta, é o GEÓIDE:
Superfície da Terra
Elipsóide
Geóide
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SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA
Modelo Geoidal
• Para o geodesista a melhor aproximação dessa Terra
matematicamente tratável é o geóide, que pode ser
definido como a superfície que mais se aproxima do
nível médio dos mares (ausência de correntezas,
ventos, variação de densidade da água, etc.).
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SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA
Modelo Elipsoidal
• Porém, o equacionamento matemático do geóide é
complexo, o que o distancia de um uso mais prático.
Então utiliza-se a aproximação mais grosseira aceita
pelo geodesista: um elipsóide de revolução.
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a= semi-eixo maior
b= semi-eixo menor
Um Elipsóide de Revolução é
caracterizado pelo semi-eixo
maior e pelo achatamento
(semi-eixo menor)
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Latitude Geodésica ϕ – ângulo que a normal forma com sua projeção
no plano do equador, sendo positiva para o Norte e negativa para o Sul
Longitude Geodésica  - ângulo formado pelo meridiano geodésico de
Greenwich (origem) e do ponto P, sendo positivo para Leste e negativo
para Oeste
Normal – reta ortogonal ao elipsoide que passa pelo ponto P na
superfície física
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No Brasil, o atual Sistema Geodésico Brasileiro – SIRGAS2000 (Sistema
de Referência Geocêntrico para as AmericaS) – adota o elipsoide de
revolução GRS80 (Global Reference System 1980), cujos semi-eixo
maior e achatamento são:
a= 6.378.137,000m
f=1/298,257222101
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SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA
Modelo Plano
• Considera a porção da Terra em estudo como sendo plana
• É a simplificação utilizada pela Topografia
• Esta aproximação é válida dentro de certos limites e facilita
bastante os cálculos topográficos
• Face aos erros decorrentes destas simplificações, este plano tem
suas dimensões limitadas
• Na prática tem-se adotado como limite para este plano a dimensão
de 20 a 30 km.
• A NBR 13133 (Execução de Levantamento Topográfico) admite
um plano com até 80km aproximadamente.
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ORIENTAÇÃO
Norte Magnético e Norte Geográfico
O planeta Terra pode ser considerado um gigantesco imã, devido à
circulação da corrente elétrica em seu núcleo formado de ferro e
níquel em estado líquido. Estas correntes criam um campo magnético.
Este campo magnético ao redor da Terra tem a forma aproximada do
campo magnético ao redor de um imã de barra simples.
Tal campo exerce uma força de atração sobre a agulha da bússola,
fazendo com que a mesma entre em movimento e se estabilize quando
sua ponta imantada estiver apontando para o Norte magnético.
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ORIENTAÇÃO
Norte Magnético e Norte Geográfico
A Terra, na sua rotação diária, gira em torno de um eixo. Os pontos de
encontro deste eixo com a superfície terrestre denominam-se de Pólo
Norte e Pólo Sul verdadeiros ou geográficos.
O eixo magnético não coincide com o eixo geográfico. Esta diferença
entre a indicação do Pólo Norte magnético (dada pela bússola) e a
posição do Pólo Norte geográfico denomina-se de declinação
magnética.
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AZIMUTE E RUMO
Azimute
Azimute de uma direção é o
ângulo
formado
entre
o
meridiano de origem que
contém os Pólos, magnéticos ou
geográficos,
e
a
direção
considerada.
É medido a partir do Norte, no
sentido horário e varia de 0º a
360º
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AZIMUTE E RUMO
Rumo
Rumo é o menor ângulo formado pelo
meridiano
que
materializa
o
alinhamento Norte Sul e a direção
considerada. Varia de 0º a 90º, sendo
contado do Norte ou do Sul por leste e
oeste. Este sistema expressa o ângulo
em função do quadrante em que se
encontra.
Além do valor numérico do ângulo
acrescenta-se uma sigla (NE, SE, SW,
NW) cuja primeira letra indica a
origem a partir do qual se realiza a
contagem e a segunda indica a
direção do giro ou quadrante.
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AZIMUTE E RUMO
Conversão entre Rumo e Azimute
Sempre que possível é recomendável
a transformação dos rumos em
azimutes,
tendo
em
vista a
praticidade
nos
cálculos
de
coordenadas, por exemplo, e também
para a orientação de estruturas em
campo.
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AZIMUTE E RUMO
Conversão de Rumo para
Azimute
Conversão de Azimute
para Rumo
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EXERCÍCIO
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EXERCÍCIO
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EXERCÍCIO
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DECLINAÇÃO MAGNÉTICA
•
Ângulo formado entre o meridiano verdadeiro e o meridiano
magnético;
• ou também pode ser identificado como desvio entre o azimute ou
rumo verdadeiros e os correspondentes magnéticos.
• Varia com o tempo e com a posição geográfica, podendo ser
ocidental δ(W), negativa quando o Pólo magnético estiver a oeste
do geográfico e oriental (δE) quando estiver a leste.
• Atualmente, em nosso país a declinação magnética é negativa, logo
ocidental.
• No Brasil o órgão responsável pela elaboração das cartas de
declinação é a o Observatório Nacional e a periodicidade de
publicações é de 10 anos. http://staff.on.br
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DECLINAÇÃO MAGNÉTICA
Transformação de Norte Magnético em Geográfico
e vice-versa
A transformação de elementos (rumos e azimutes) com orientação pelo
Norte verdadeiro ou magnético é um processo simples, basta somar
algebricamente a declinação magnética.
No caso (Figura A) em que a declinação magnética é positiva, ou seja, o
Norte magnético está a leste do Norte verdadeiro, o azimute verdadeiro é
calculado por:
Para o caso do Brasil, onde a declinação magnética é negativa (Figura B), o
Norte magnético situa-se a oeste do Norte verdadeiro e o azimute
verdadeiro é obtido da seguinte forma:
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